модели финансовой математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Дальневосточный государственный университет
Л.Е. ЛАВРУШИНА, Л.А. МОЛЧАНОВА
МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие
для cтудентов математических cпециальноcтей
Владивосток
Издательство Дальневосточного университета
2006
ББК 65.9(2)23
Л13
Рецензенты:
А.Г. Колобов, к.ф.-м.н. (ИМКН ДВГУ);
П.В. Юдин, к.э.н. (ИИИБС ВГУЭС)
Лаврушина Е.Г., Молчанова Л.А.
Л13
Модели финансовой математики. Учебно-методическое пособие. - Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2006. - 36 с.
Данное учебно-методическое пособие включает краткие сведения из
теории финансовых вычислений, расширенный список литературы
по вопросам решения задач финансовой математики, описание финансовых функций популярных пакетов прикладных программ, примеры и задания для самостоятельного решения, сгруппированные в
20 индивидуальных вариантов.
Пособие предназначено для проведения лабораторных работ
по дисциплине "Пакеты прикладных программ"у студентов специальности 010200 "Прикладная математика и информатика", а также
может быть использовано для самостоятельного изучения вопросов
математической экономики студентами различных специальностей
1702050000
Л 180(03)−2006
ББК 65.9(2)23
c Лаврушина Е.Г., 2006
c Молчанова Л.А., 2006
c ИМКН ДВГУ, 2006
Учебное издание
Елена Геннадьевна Лаврушина
Лилия Александровна Молчанова
МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методическое пособие
для cтудентов математических cпециальноcтей
В авторской редакции
Технический редактор Л.М. Гурова
Компьютерный набор и верстка автора
Подписано в печать 30.04.06
Формат 60 × 84 1/16. Усл. печ. л. 2,2. Уч.-изд. л. 1,9.
Тираж 20 экз.
Издательство Дальневосточного университета
690950, Владивосток, ул. Октябрьская, 27.
Отпечатано в лаборатории
кафедры компьютерных технологий ИМКН ДВГУ
690950, Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 132.
Содержание
1. Модели финансово-коммерческих операций
2. Теория процентов
2.1. Модели развития операций по схеме простых процентов
2.2. Модели развития операций по схеме сложных процентов
2.3. Модели операций дисконтирования
2.4. Модели сравнения финансовых операций
3. Модели финансовых потоков
4. Погашение долгосрочной задолженности равными платежами
5. Литература
6. Задания
7. Финансовые функции пакетов прикладных программ
7.1. Финансовая математика в MS Excel
7.2. Финансовые вычисления в среде Maple
3
5
5
8
11
13
15
19
21
21
29
29
34
1. Модели финансово-коммерческих операций
Методы финансовой математики условно делятся на две категории: базовые и прикладные.
К базовым методам и моделям относятся:
1) простые и сложные проценты как основа операций, связанные с наращением или дисконтированием платежей;
2) расчеты последовательностей (потоков) платежей применительно к
различным видам финансовых рент.
К прикладным методам финансовых расчетов относятся [11]:
1) планирование и оценка эффективности финансово-кредитных операций;
2) расчет страховых аннуитетов;
3) планирование погашения долгосрочной задолженности;
4) планирование погашения ипотечных ссуд и потребительских кредитов;
5) финансовые расчеты по ценным бумагам;
6) лизинговые, факторинговые и форфейтинговые банковские операции;
7) планирование и анализ инвестиционных проектов и другие операции.
Особенностью всех финансовых расчетов является временная ценность
денег, т.е. принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Предполагается, что полученная сегодня сумма обладает
большей ценностью, чем ее эквивалент, полученный в будущем. Будущие
поступления менее ценны, чем современные, так как имеющиеся сегодня
3
деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Сберегаемые деньги подвержены всевозможным рискам.
Необходимость учета временной ценности денег проявляется в ссудозаемных операциях. В них заложены простейшие схемы начисления процентов. Представляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому
алгоритму в течение определенного промежутка времени. Стандартным
временным интервалом в финансовых операциях является один год.
Основными понятиями финансовых методов расчета являются [11]:
процент — это доход от предоставления денег в долг в различных формах (ссуда, кредит и т.д), либо от инвестиций производственного или финансового характера;
процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби;
период начисления — интервал времени, к которому приурочена процентная ставка. Период может разбиваться на интервалы начисления;
интервал начисления — это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов;
капитализация процента — присоединение начисленных процентов к
основной сумме;
наращение — увеличение первоначальной суммы в связи с капитализацией;
дисконтирование — приведение стоимостной величины, относящейся к
будущему, на некоторый, обычно более ранний момент времени (операция,
обратная наращению).
Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы P с условием, что через некоторое
время t будет возвращена большая сумма S. Результативность подобной
операции может охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного
показателя - прироста (S-P), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели не подходят для оценки ввиду
их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Используют
специальный коэффициент - ставку.
В финансовых расчетах используются следующие виды процентных
ставок [11]:
• в зависимости от базы для начисления процента различают простые
проценты (постоянная база) и сложные проценты (переменная база);
• по принципу расчета различают ставку приращения - декурсивная
ставка и учетную ставку - антисипативная ставка;
• по постоянству значения процентной ставки в течение действия кон4
тракта - фиксированные и плавающие (фиксируется ли изменяющаяся во
времени база и размер надбавки к ней – маржа).
Существуют два способа определения и начисления процентов.
Антисипативный способ начисления процентов. Процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы. Процентная ставка будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого
за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по
прошествии интервала. Этот процент называется учетной ставкой или
антисипативным процентом.
Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется,
исходя из величины предоставления капитала. Декурсивная процентная
ставка (ссудный процент) представляет собой выраженное в процентах
отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме,
имеющейся на начала данного интервала.
При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут
быть либо простыми (если применяются и одной и той же первоначальной
сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к наращенной
сумме и начисленных за предыдущие интервалы проценты).
Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, называется процессом наращения. Процесс, в котором заданы возвращаемая
сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования. В процессе наращения идет речь о движение денежного потока
о настоящего к будущему, а в процессе дисконтирования - от будущего к
настоящему.
Известны две основные схемы дискретного начисления:
схема простых процентов (simple interest);
схема сложных процентов (compound interest).
2. Теория процентов
2.1. Модели развития операций по схеме простых процентов
Рассмотрим сначала декурсивный способ. В простейшем случае кредитор и заемщик договариваются о величине кредита P (первоначальная
денежная сумма), размере годовой процентной ставке (i%), сроке кредита
и длительности периода начисления процентов [14].
5
Математически такая операция может быть представлена в виде модели простых процентов. По этой модели происходит накопление общей
суммы долга S за счет периодического, например ежегодного, начисления
процентных денег (Ii ). В соответствии с этим наращенная сумма равна:
к концу первого года –
S1 = P + Ii ;
к концу второго года –
S2 = S1 + Ii = P + 2 · Ii ;
к концу n-го года –
Sn = P + n · Ii .
Таким образом, накопление суммы происходит по схеме простых процентов и образует возрастающую числовую последовательность:
So , S1 ,· · · ,Sn ,
которая представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
So и разностью прогрессии S2 − S1 = Ii .
Процентная ставка определяется по формуле
I =P ·
i%
= P · i,
100%
где i – относительная величина годовой ставки ссудного процента:
i=
i%
.
100%
На этом основании модель накопления капитала по схеме простых процентов принимает вид
S = P + n · P · i = P · (1 + n · i).
Срок ссуды n может быть как целым, так и дробным положительным
числом
t
n= ,
K
где t – срок ссуды в днях; K – количество дней в году (360, 365, 366).
Тогда приведенную модель можно записать в другом виде:
S = P (1 + i
t
).
K
В зависимости от содержания поставленной задачи, пользуясь этой моделью, можно определять различные показатели операции:
• величину первоначальной (математическое дисконтирование) суммы –
P =
S
S
=
1+n·i
1+i·
6
t
K
;
•
относительную величину процентной ставки –
S − P K
S −P
=
· ;
P ·n
P
t
продолжительность года –
i=
•
•
•
K=
i·P ·t
;
S−P
n=
S−P
;
i·P
срок ссуды (лет) –
срок ссуды (дней) –
t=K·
•
S − P ;
P ·i
коэффициент наращения по простой процентной ставке –
kн =
S
= (1 + i · n).
P
Если на последовательных интервалах начисления процентов n1 , n2 , · · · ,
nm устанавливаются разные ставки процентов i1 , i2 , · · · , im , наращенная
сумма будет равна
m
X
S =P 1+
nk ik = P · kн .
k=1
Коэффициент наращения равен
kн = 1 +
m
X
nk i k .
k=1
В финансовой математике принято рассчитывать результаты операций
для единичных сумм, умножая затем результат на первоначальную величину и получая значение наращенной суммы.
В банковской практике разных стран расчетное число дней в году при
начислении процентов определяется по-разному: в так называемой германской практике расчет числа дней основывается на длительности года 360
дней, а месяцев - 30 дней; во французской - годовой период приравнивается
также к 360 дням, а вот месячный - к их фактической продолжительности
(28, 29, 30 или 31 день соответственно), в английской - продолжительность
и года и месяцев берется точно по календарю [7].
7
Пример 1. Ссуда выдана под 10% годовых сроком: а) на 5 месяцев;
б) на 3 месяца. Определить процентную ставку за срок ссуды.
Решение. а) t = 5/12; i5/12 = 0, 1 · 5/12 = 0, 0417;
б) t = 0, 25; m = 4; i0,25 = 0, 1/4 = 0, 025.
Пример 2. Предоставлена ссуда в размере 5 млн. руб. 25 января с погашением через 6 месяцев (26 июля) под 60 % годовых (год невисокосный).
Рассчитать различными способами сумму к погашению.
Решение. Точное число дней: 206-25=181 день. Приближенное число дней:
январь (30-25)+ 150(30*5 мес)+25=180 дней.
Французская практика: S=5(1+181/360 · 0, 6)=6, 508 млн. руб.
Немецкая практика: S=5(1+180/360 · 0, 6)=6, 5 млн. руб.
Английская практика: S=5(1+181/365 · 0, 6)=6, 487 млн. руб.
Пример 3. Определить проценты, множитель наращения и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 тыс. руб., срок долга - 2 месяца,
номинальная процентная ставка - 10%.
Решение. I=100000 · 0, 1 · 2/12=1667 руб.; s=1+0, 1 · 2/12=1, 01667;
S=100000 · 1, 01667 = 101667 руб.
Пример 4. Определить сумму вклада, который надо положить в банк
сроком на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 101667
руб.
Решение. P =101667/(1 + 0, 1 · 2/12) = 100000 руб.
Пример 5. Клиент внес вклад в банк в сумме 1 тыс. руб. сроком на 1
год. Процентная ставка до середины второго квартала составляла 30 %
годовых, далее до конца третьего квартала - 25 %, а с начала четвертого
квартала - снова 30%. Какую сумму клиент получил в конце года?
Решение. Период с начала года до середины второго квартала (аналогично
с середины второго квартала до конца третьего) равен 4,5 месяца, или 0,375
года.
Проценты за период до середины второго квартала –
I1 =0, 3 · 0, 375 · 1000=112, 5 руб.;
проценты от середины второго квартала до начала четвертого квартала –
I2 =0, 25 · 0, 375 · 1000=93, 75,
проценты за четвертый квартал – I3 =0, 3 · 0, 25 · 1000=75 руб.
В результате клиент получил в конце года сумму 1281,25 руб.
2.2. Модели развития операций по схеме сложных процентов
Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленный
за данный период процент) не выплачивается, а присоединяется к основной
8
сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложного процента.
Пусть ic – относительная величина годовой ставки сложного ссудного
процента.
По прошествии первого года наращенная сумма составит S1 = P (1+ic ),
в конце второго года – S2 = S1 (1 + ic ) = P (1 + ic )2 и т.д.
По прошествии n лет наращенная сумма составит S = P (1 + ic )n .
Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов образует возрастающую числовую последовательность So ,S1 ,· · · Sn , которая
представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом So = P
и знаменателем q = 1 + ic. В соответствии с этим можно записать формулу
для определения любого ее члена:
Sn = P · q n = P (1 + ic )n .
Таким образом, получена модель наращения по формуле сложных процентов
S = P (1 + ic )n = P (1 + ic )t/K = P · s,
где t - срок контракта в днях, s - коэффициент наращения.
Выпишем формулы для определения таких показателей финансовой операции, как величина первоначальной суммы –
S
S
P =
=
n
(1 + ic )
(1 + ic )t/K
(математическое дисконтирование при начислении сложных процентов);
• относительная величина процентной
ставки –
r
S
ic = n
− 1;
P
• срок ссуды (лет)–
S
ln
P
n=
;
ln(1 + ic )
• срок ссуды в днях –
S
P ;
t=K·
ln(1 + ic )
ln
•
продолжительность года в днях –
K=
•
t ln(1 + ic )
;
ln PS
коэффициент наращения –
s = (1 + ic )n = (1 + ic )t/K .
9
Значение ставки сложного процента может быть разным на различных
интервалах начисления. Если n1 , n2 , · · · , nN – продолжительность интервалов начисления в годах; i1 , i2 , · · · , iN – годовые ставки процентов, соответствующие
данным интервалам, тогда наращенная сумма составит
Q
SN = N
(1
+
nk · ik ).
k=1
Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз
в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемых на каждом интервале начисления. При m равных интервалах
начислениях и номинальной процентной ставки jm это величина считается
равной jm /m.
Наращенная сумма при начислении процентов m раз в году будет равна
S = P (1 + jm /m)mn ,
где n - общее число периодов начисления.
В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процента по полугодам, покварталам и ежемесячно (иногда может быть и день).
Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью называются дискретными. В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложного процента (продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m - к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы рассматривается
следующее выражение:
S = P lim (1 + jm /m)mn .
m→∞
Так как lim (1 + jm /m)mn = ejm n , то для наращенной суммы имеют
m→∞
S = P ejm n = P · sc , sc = ejm ·n ,
где sc – коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов
по номинальной годовой ставке jm .
При непрерывном наращении используют особый вид процентной ставки – силу роста δ. Наращенная за время t сумма определяется формулой
S = P eδt .
Пример 1.Какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. руб. положены
на 33 года под 13,5% годовых? Проценты начисляются каждые полгода.
Решение. S = 27(1 + 0, 135/2)66 = 2012, 07 тыс. руб.
Пример 2. Рассчитать, через сколько лет вклад размером 1 млн. руб.
достигнет 1 млрд., если годовая ставка процента по вкладу 16,79% и начисление процентов производится ежеквартально.
10
Решение.
n=
S/P
ln 1000
=
= 42 года.
m ln(1 + jm /m)
4 ln(1 + 0, 167/4)
2.3. Модели операций дисконтирования
Различают математическое дисконтирование и коммерческий (банковский) учет.
Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного, или приведенного, значения P на некоторый момент
времени, которое соответствует заданному значению S в другой момент
времени. Простейшая задача - определение суммы вклада P на основе заданной конечной величины в будущем S через временной период начислений n под заданную, например, простую ставку процентов:
P =
S
= S · d,
1 + ni
где d - коэффициент дисконтирования (приведения) по простой ставке процентов d = 1/(1 + ni).
Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке
процентов равно:
S
P =
= S · dc ,
(1 + ic )n
где dc – коэффициент дисконтирования (приведения) по сложной ставке
процентов dc = 1/(1 + ic )n , а по номинальной ставке процентов jm при
начислении процентов m раз в году –
P =
S
(1 +
jm mn .
m)
Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, например векселя банком по цене, которая меньше номинальной указанной
в ней суммы. В этом случае говорят, что вексель учитывается и клиент
получает сумму:
P = S − D,
где S - номинальная сумма данного обязательства; P - цена покупки векселя банком; D - дисконт, сумма процентных денег (доход банка).
Процентный доход покупателя векселя банка может определяться по
простой годовой учетной ставке:
d% =
D
· 100%.
S
11
Если срок n от даты учета до даты погашения будет составлять часть
года, то дисконт определяется по формуле
D = n·d·S =
t
· d · S,
K
где d - относительная величина простой учетной ставки.
Предъявителю учитываемого денежного обязательства будет выдана
сумма:
t
P = S − D = S(1 − nd) = S · (1 − d).
K
Дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму P за вычетом процентных денег D из
суммы кредита S, подлежащего к возврату. Поэтому при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой
S=
P
;
1 − nd
при проведении операции по сложной учетной ставке dc –
S=
P
.
(1 − dc )n
Отсюда можно найти другие показатели операции:
r
ln PS
n P
n=
; dc = 1 −
.
ln(1 − dc )
S
В финансовых операциях используется и номинальная годовая учетная ставка f , по которой при начислении процентов m раз в году можно
определить
P
S=
.
(1 − f /m)mn
Отсюда находят следующие формула расчета показателей операции:
r
ln PS
nm P
n=
; f = m(1 −
).
m ln(1 − f /m)
S
При непрерывном начислении процентов по номинальной годовой учетной ставке f справедливо соотношение
S=
P
lim (1 −
n→∞
f mn
m)
12
= P e−f ·n ,
из которого следуют следующие формулы:
n=
1 P
ln ;
f
S
f=
1 P
ln .
n S
Формула дисконтирования капитала при непрерывном начислении процентов имеет вид
P = Se−δt.
Пример 1. Определить современную стоимость 10 тыс. руб., которые
будут выплачены через три года при условии, что при расчетах применяется ставка сложных процентов, равная 24% годовых.
Решение.
S
P =
= 10(1 + 0, 24)−3 = 5.245тыс. руб.
(1 + ic )n
Пример 2. Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3
года продан с дисконтом по сложной учетной ставке 30% годовых. Какова
сумма дисконта и современная величина платежа? Как изменятся их значения, если в операции будет использована простая учетная ставка?
Решение.P = S(1 − dc )n = 1000(1 − 0, 3)3 = 343 тыс. руб.;
D = S − P = 1000 − 343 = 657 тыс. руб.
P = S(1 − nd) = 1000(1 − 3 · 0, 3) = 100 тыс. руб.
D = 1000 − 100 = 900 тыс. руб.
Пример 3. Определить современную величину стоимости векселя на
сумму 500 тыс. руб., срок погашения которого наступает через полтора
года при непрерывном начислении процентов по ставке 12% годовых.
Решение. P = Se−δn = 500 · e−0,12·1,5 = 417, 635 тыс. руб.
Пример 4. Заемщик должен возвратить кредитору долг в сумме 1
млн. 200 тыс. руб. Первоначальная сумма была выдана заемщику ссудой
в размере 1 млн. руб. под 50% годовых, начисляемых по простой учетной
ставке. На какой срок заемщику выдавалась ссуда, если K=360 дней?
Решение [13].
S −P
1, 2 − 1
P = S(1 − td/K); t =
K=
360 = 120 дней или 4 месяца.
Sd
1, 2 · 0, 5
2.4. Модели сравнения финансовых операций
При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки
стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях. Условия контракта могут быть различными и надо иметь возможность
сравнивать различные виды начисления процентов. Для этого выбирают
13
некий показатель, который является универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем может быть эффективная годовая процентная ставка. Для сравнения контрактов вводят понятие эквивалентности
процентных ставок и эффективность процентной ставки.
Определение. Две процентные ставки называются эквивалентными, если применение к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков
времени дает одинаковые наращенные суммы.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности, принцип составления которого заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма). На
основе равенства двух выражений для данной величины и составляется
уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующего преобразования получается соотношение, выражающее зависимость между ставками различного вида.
Простейшим видом финансово-коммерческой операции является однократное предоставление кредитором в долг товара на сумму или суммы
P заемщику (дебитору) с условием, что через некоторое время n будет
возвращена сумма S. Для оценки эффективности такой операции можно
использовать следующие показатели:
относительную величину ставки процента, называемую интересом –
i = (S − P )/P ;
относительную скидку, или дисконт –
d = (S − P )/S.
Эти показатели характеризуют приращение капитала кредитора, отнесенное либо к первоначальной сумме (интерес), либо к конечной сумме
(дисконт).
Между этими показателями существует связь, которая находится путем
совместного решения этих уравнений, откуда можно получить следующие
модели:
i = d/(1 − d); d = i/(1 + i).
В операциях иногда вместо дисконта используется дисконт - фактор,
определяемый по такой формуле
V = 1 − d = P/S = 1/(1 + i).
Эквивалентные ставки дают одинаковые финансовые результаты или
наращенные суммы S на равных промежутках времени n.
Для этих целей используют базовые модели вычисления наращенных
сумм процентных ставок:
S = P (1 + ni); S = P/(1 − nd);
S = P (1 + ic )n ; S = P/(1 − dc )n ;
14
S = P (1 + jm /m)nm ; S = P/(1 − f /m)mn .
Тридцать моделей связи возможных вариантов сочетания эквивалентных ставок можно найти в книге [14].
При начислении сложных процентов получаем следующее уравнение
эквивалентности:
(1 + ic )n = (1 + jm /m)nm ,
откуда получим эквивалентную ставку сложных процентов:
ie = (1 + jm /m)m − 1,
которая определяет так называемую годовую эффективную ставку сложных процентов (ie ), эквивалентную номинальной сложной процентной
ставке (j), и не зависит от срока операции n.
Пример 1. Эффективная ставка (ie ) составляет 28%, а начисление процентов происходит√ежемесячно. Рассчитать номинальную ставку (j).
Решение. ie = 12( 12 1 + 0, 28 − 1) = 0,2494 или 24,94%.
Пример 2. Рассчитать современную величину платежа и эффективной
учетной ставки при учете через 3 года векселя на сумму 100 тыс. руб.,
дисконтированную поквартально по номинальной учетной ставке 18 %.
Решение. P = S(1 − f /m)mn = 100(1 − 0, 18/4)4·3 = 57, 549 тыс. руб.
(1 − de ) = (1 − f /m)m ; de = 1 − (1 − f /m)m = 1 − (1 − 0, 18/4)4 = 0, 1682 или
16,82%
3. Модели финансовых потоков
Финансовые потоки (cash flow)являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы человеческой деятельности. Примерами
таких потоков являются: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени; погашение банковской задолженности или коммерческого
кредита частями и т.п.
При некоторых платежах проценты начисляются на находящиеся в обороте деньги. Здесь возникают две основные задачи: определить наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме рассчитать величину отдельного платежа [15].
Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через
равные промежутки времени, называются финансовой рентой, или аннуитетом. Это частный случай потока платежей, все члены которого положительные величины. Примерами аннуитета могут быть регулярные
взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным
бумагам, например, по акциям и т.д. Финансовая рента имеет следующие
15
основные характеристики: член ренты Rj - величина каждого отдельного
платежа; срок ренты t - время от начала реализации ренты до момента
последнего платежа (бывают и вечные ренты); процентная ставка для расчета наращения или дисконтирования платежей; S - наращенная будущая
сумма ренты, включающая всех члены потока платежей с процентами на
дату последней выплаты; современная (приведенная) величина ренты A сумма всех членов потока платежей, дисконтированная (уменьшенная) на
величину учетной ставки на начальный момент времени ренты.
Ренты подразделяются на постоянные (R1 = R2 = · · · = Rn ), и переменные.
По моменту выплат членов ренты различают ренты: постнумерандо
(обычные,ordinary), в которых платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, и пренумерандо (due), в которых платежи производят
в начале указанных периодов.
Рассмотрим модели потоков ежегодных платежей с начислением процентов на платежи в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке (ic ).
Сумма первого платежа S1 с наращенными на него за весь срок процентами определяем из уравнения
S1 = R · (1 + ic )n−1 ,
где n - количество платежей величиной R.
Для второго платежа, для которого проценты начисляются на один год
меньше, соответственно получим
S2 = R · (1 + ic )n−2 .
На последний платеж, произведенный в конце последнего n-го года,
проценты не начисляются:
Sn = R · (1 + ic )n−n = R.
Тогда для всей наращенной суммы ренты получим
S=
n
X
t=1
St =
n
X
R(1 + ic )n−t = R
t=1
n
X
(1 + ic )n−t .
t=1
Коэффициент наращения равен:
s=
n
X
(1 + ic )n−t .
t=1
Следует отметить, что этот коэффициент представляет собой сумму
членов геометрической прогрессии, где первый член равен R, а знаменатель q = (1 + ic ) > 1. На этом основании, используя формулу для сум16
мы членов геометрической прогрессии, преобразуем полученное выражение для наращенной суммы ренты к такому виду
S=R
(1 + ic )n − 1
,
ic
из которой следует, что коэффициент наращения постнумерандо равен:
spro =
(1 + ic )n − 1
.
ic
Для каждого платежа современное значение определяется формулой
At = R
1
.
(1 + ic )t
Современная приведенная величина всей ренты будет определяться выражением
n
n
X
X
A=
At =
R(1 + ic )−t = a · R,
t=1
t=1
где a является коэффициентов приведения ренты и определяется формулой для суммы геометрической прогрессии с параметрами
b1 =
1
,
1 + ic
q=
1
,
1 + ic
в соответствии с которой находим
apro =
n
X
t=1
(
1 − (1 + ic )−n
1 t
) =
.
1 + ic
ic
Следовательно, получим выражение для приведенной величины ренты
A=R
1 − (1 + ic )−n
.
ic
Полученные модели позволяют определить, например, величину отдельного платежа
R=
S · ic
A · ic
=
.
(1 + ic )n − 1
1 − (1 + ic )−n
Если платежи выплачиваются p раз в году, годовой платеж равен R,
а проценты начисляются m раз в год по ставке jm , то наращенная сумма
ренты составит
R (1 + jm /m)nm − 1
S=
.
p (1 + jm /m)m/p − 1
17
Если платежи R выплачиваются через каждые r лет (r > 1), а сложные
проценты по годовой ставке ic начисляются в течение n лет, то
S=R
(1 + ic )n − 1
.
(1 + ic )r − 1
Современную величину ренты можно определять так:
A=
S
.
(1 + jm /m)mn
При непрерывном вычислении процентов по ставке δ наращенная сумма
ренты определяется по формуле [13]:
S =R·
eδ·n − 1
.
eδ − 1
В моделях пренумерандо (начисление процентов в начале каждого года) по сложной процентной ставке коэффициенты наращения и приведения
должны быть умножены на величину (1 + ic ):
spre = spro · (1 + ic ), apre = apro · (1 + ic ).
Пример 1. Есть два варианта инвестирования средств в течении 4 лет: в
начале каждого года под 26% годовых или в конце каждого года под 38%.
Ежегодно вносится 300 тыс. руб. Сколько денег окажется на счете в конце
4-го для каждого варианта?
Решение.
Spre = 300
(1 + 0, 26)4 − 1
∗ 1, 26 = 2210, 53тыс. руб.
0, 26
Spro = 300
(1 + 0, 38)4 − 1
= 2073, 74тыс. руб.
0, 38
Пример 2. Клиент в течение 5 лет делает вклады в банк под сложную
процентную ставку 20% годовых. Вклады делаются:
а) в начале каждого квартала; б) в начале каждого месяца.
Определить величину накопленной к концу 5-го года суммы, если сумма
взносов за год равна 10 тыс. руб.
Решение. В первом случае число взносов N =20, размер каждого квартального взноса равен 2,5 тыс. руб. Ставка j/4 = (1+ic )1/4 −1=0,046635 (4,66%).
S = 2, 5
1, 04663520 − 1
· 1, 046635 = 83, 506 тыс. руб.
0, 046635
18
Во втором случае число взносов равно N = 60, размер каждого месячного
взноса равен 0,833 тыс. руб. Ставка j/12 = (1 + i)1/12 − 1=0,01531 (1,53%).
1, 0153160 − 1
· 1, 01531 = 82, 222 тыс. руб.
S = 0, 833
0, 01531
Пример 3. Клиент делает в банк накопительные вклады с взносами в
размере 2,5 тыс. руб. в конце каждого квартала; к концу срока накоплена
сумма 83,506 тыс. руб.; процентная ставка равна 4,6635%. Определить количество взносов.
Решение.
(1 + i)n − 1
(1+i);
S=R
i
n=
Si
ln( R(1+i)
+ 1)
ln(1 + i)
=
83,506·0,046635
ln( 2,5(1+0.046635)
+ 1)
ln(1 + 0.046635
=20 лет.
Пример 4. Рассматриваются два варианта покупки дома: заплатить
сразу 99 млн. руб. или платить в рассрочку по 940 тыс. ежемесячно в
течении 15 лет. Определить, какой вариант предпочтительнее, если ставка
процента - 8% годовых.
Решение.
A=R
1 − (1 + j/m)−nm
1 − (1 + 0, 08/12)−12·15
= 940
= 98362, 16 тыс. руб.
j/m
0, 08/12
4. Погашение долгосрочной задолженности
равными платежами
Погашение долга частями — наиболее часто встречающийся в практике
деятельности коммерческих организаций способ выполнения обязательств
заемщика перед кредитором.
Рассмотрим вариант уплаты равными платежами, которые делаются
через равные промежутки времени. Предполагается, что заемщик взял ссуду, равную A рублей и обязался вернуть долг, сделав n равных срочных
уплат через равные промежутки времени по ставке сложных процентов ic
за каждый промежуток времени.
Отличительной чертой метода является то, что сумма процентных платежей уменьшается, а сумма платежей по погашению основного долга растет.
Последовательность срочных уплат является рентой, имеющей n членов, современная ценность которой равна A. Величина каждого платежа
определяется формулой [13]
A
ic
R= ; a=
a
1 − (1 + ic )−n
19
Тогда:
•
величина суммы погашения долга в t-ом периоде составит:
bt = R − At · ic = bt−1 · (1 + ic ), t = 1, 2, · · · , n;
(1 + ic )n − 1
b1 = R − A1 · r = A1 /sn , sn =
;
r
•
остаток долга на начало года:
At+1 = At − bt = Dt · (1 + r) − A,
•
сумма погашенного долга на начало года (St ):
St = b1 · st−1 ,
где st−1 – коэффициент наращения постоянной годовой ренты за период
t − 1 год.
Пример 1. Согласно кредитному договору клиент банка получил кредит в сумме 10 млн. руб. на срок 3 года по ставке 12% годовых с условием погашения задолженности равными срочными ежегодными платежами.
Рассчитать суммы срочных годовых уплат заемщика, погашения долга и
процентов по кредиту.
Решение. A=10 (млн. руб.); n=3 (года); ic =0,12; a=2,4018.
Срочные годовые уплаты будут равны: R = 10/2, 4018 = 4, 16534 (млн.
руб.) Размер погашения долга в этом случае составит:
b1 = 4.16534 − (10 · 0, 12) = 2, 9635 (млн. руб.)
Остаток долга
на начало второго года: 10-2,96534=7,03646 (млн. руб);
на начало третьего года: 7,03646-[4,16354-(7,03646 0,12)]=3,7174 (млн. руб.)
Суммы погашения долга b2 и b3 равны:
b2 = 2, 96354 · 1, 12 = 3, 3191 (млн. руб.)
b3 = 3, 3196 · 1, 12 = 3, 7174 (млн. руб.)
План погашения заемщиком кредита при ежегодных платежах представлен в таблице 1.
Номер
года
Остаток долга
на начало года
Сумма
срочной
уплаты
Сумма выплаты процентов
1
1
2
3
Итого
2
10,00000
7,03646
3,7174
3
4,16534
4,16534
4,16534
12,49062
4
1,2000
0,8444
0,4462
2,4906
20
Сумма
погашения
основного
долга
5
2,9635
3,3191
3,7174
10,0000
5. Литература
1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. -М.: 1997.
2. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. -М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998.
3. Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расчетам. -М.: Мир, 1997.
4. Ван Хорн, Дж.К. Основы финансового менеджмента. -М.: Финансы
и статистика, 1996.
5. Гарнаев А. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах.
-СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 1999.
6. Ковалев В.В. Финансовый анализ: управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. -М.: Финансы и статистика, 1997.
7. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы
расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. -М.:
Дело, 1998.
8. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. -М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998.
9. Меншиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. Курс лекций
FAST. -М.: Финансы и статистика, 1998.
10. Общая теория финансов. Уч. для вузов. -М.: "Банки и биржи"ИО
"Юнити", 1995.
11. Овчаренко Е.К., Ильина О.П., Балыбердин Е.В. Финансово-экономические расчеты в EXCEL. -М.: Информационно - издательский дом "Филинъ", 1998.
12. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. -М.:
Дело, 1995.
13. Фисенко А.И. Финансово-экономические расчеты по кредитам и
внешнеторговым контрактам: Учебное пособие для вузов. -Владивосток:
Изд-во Дальневост. ун-та, 1998.
14. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. -М.: Финансы и статистика, 2005.
6. Задания
Вариант 1
1. Вкладчик положил в банк, выплачивающий 7% простых в год, вклад
3 тыс. руб. Какая сумма будет на счету вкладчика а) через 3 месяца,
б) через год, в) через 3 года 5 месяцев? Ответ: а) 3 052,5 руб.,
б) 3 210 руб.; в) 3 717,5 руб.
21
2. В банк, начисляющий 6% годовых (сложных), клиент положил
80 тыс. руб. Какая сумма будет на счету этого клиента а) через 1 год,
б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев? Ответ: а) 84
800 руб.; б) 83 168,83 руб.; в) 100 998,16 руб.; г) 116 836,39 руб.
3. Г-н Петров вкладывает 25 тыс. руб. в конце каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 5% годовых (сложных). Какая сумма будет
на счету г-н Петрова а) через 3 года, б) через 10 лет? Ответ: а) 78 812,50
руб.; б) 314 447,31 руб.
4. Определите, какая сумма окажется на счете, если вклад размером 900
тыс. руб. положен под 9% годовых на 19 лет, а проценты начисляются ежеквартально. Ответ: 4 882,64 руб.
Вариант 2
1. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4% простых в год,
чтобы получить 50 тыс. руб. а) через 4 месяца, б) через 1 год, в) через 2
года 9 месяцев? Ответ: а)49342,11 руб.; б)48 076,92 руб.; в)45 045,05 руб.
2. Господин Филиппов хочет вложить 5 тыс. руб., чтобы через 2 года получить 7 тыс. руб. Под какую процентную ставку j1 он должен вложить
свои деньги? Ответ: 18,3%
3. Г-н Петров вкладывает 25 000 руб. в конце каждого квартала в банк,
выплачивающий проценты по ставке j4 =5%. Какая сумма будет на счету
г-н Петрова а) через 3 года, б) через 10 лет? Ответ: а) 321 509,04 руб.;
б) 1 287 238,93 руб.
4. Какая сумма должна быть выплачена, если шесть лет назад была выдана ссуда 1500 тыс. руб. под 15% годовых с ежемесячным начислением
процентов. Ответ: -3 668,88 руб.
Вариант 3
1. В банк положено 100 тыс. руб. Через 2 года 6 месяцев на счету было 120 тыс. руб. Сколько процентов (простых) выплачивает банк в год?
Ответ: 8%
2. Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий проценты
по ставке j6 =10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить
20 тыс. руб. через 3 года 3 месяца? Ответ: 14 489,31 руб.
3. Г-н Сидоров хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб., делая ежегодные
равные вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке i=10%
годовых (сложных). Какую сумму должен вкладывать ежегодно г-н Сидоров? Ответ: 5 184,30 руб.
4. Взносы на сберегательный счет составляют 200 тыс. руб. в начале каждого года. Определите, сколько будет на счете через семь лет при ставке
процента 10%. Ответ: 2 087,18 руб.
22
Вариант 4
1. В банк, выплачивающий 6% простых годовых, положили 60 тыс. руб.
Через сколько лет на счету будет 65 400 руб.? Ответ: Через 1,5 года.
2. Г-н Петров хочет вложить 30 тыс. руб., чтобы через 5 лет получить
40 тыс. руб. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои
деньги? Ответ: 5,77%
3. Г-н Сидоров хочет накопить за 6 лет 40 тыс. руб., делая ежемесячные
вклады в банк, который выплачивает проценты по ставке j12 =5. Какую
сумму должен вкладывать ежегодно г-н Сидоров? Ответ: 477,53 руб.
4. Какую сумму необходимо ежемесячно вносить на счет, чтобы через 3 года получить 10 тыс. руб., если годовая процентная ставка 18,6%?
Ответ: 209,54 руб.
Вариант 5
1. Покупатель приобретает костюм, который стоит 50 тыс. руб. Он уплатил сразу 20 тыс. руб., а на остальную сумму получил кредит на 1 год 6
месяцев под 4% годовых (простых), который должен погасить ежемесячными равными уплатами. Чему равна каждая уплата? Ответ: 1 766,67 руб.
2. Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты
по ставке j1 =10% превратится в 1 млн. руб.? Ответ: Около 145 лет.
3. Фермер образовал фонд для покупки техники, вкладывая в него ежегодно 300 тыс. руб. При этом каждое полугодие он делает равные вклады
в банк, который выплачивает 5% годовых (сложных). Какая сумма будет
на счету фермера через 4 года? Ответ: 1309 003,33 руб.
4. Сколько лет потребуется, чтобы платежи размером 1 млн. руб. в конце
каждого года достигли значения 10,897 млн. руб., если ставка процента
14,5%. Ответ: 7 лет.
Вариант 6
1. Г-н Иванов покупает в магазине телевизор, цена которого 450 тыс. руб.
На всю сумму он получает кредит, который должен погасить за 2 года равными ежеквартальными уплатами. Чему равна каждая уплата, если магазин представляет кредит под 6% годовых (простых)? Ответ:
63 000 руб.
2. Клиент вложил в банк 100 тыс. руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке а) j1 =5%;
б) j6 =5%, в) j12 =5%, г)j360 =5%, д)j∞ =5%? Ответ: а) 105 000 руб.;
б) 105 105,33 руб.; в) 105 116,19 руб.; г) 105 126,74 руб.; д)105 127,11 руб.
3. Фермер образовал фонд для покупки техники. При этом каждое полугодие он делает равные вклады в банк, который выплачивает 5% годовых
(сложных). Какую сумму должен вкладывать фермер ежегодно, если ему
необходимо накопить за 4 года 2 млн. руб.? Ответ: 458 364 руб.
23
4. Предполагается, что ссуда размером 5 млн. руб. погашается ежемесячными платежами по 141,7 тыс. руб. Рассчитайте, через сколько лет произойдет погашение, если годовая ставка процента 16%. Ответ: 4 года.
Вариант 7
1. Фермер приобрел трактор, цена которого 1,5 млн. руб., уплатив сразу
600 тыс. руб. и получив на остальную сумму кредит на 2 года 6 месяцев,
который он должен погасить равными уплатами по полугодиям. Чему равна каждая уплата, если кредит выдан под 8% годовых (простых)? Ответ:
216 тыс. руб.
2. Клиент вложил в банк 100 тыс. руб. Какая сумма будет на счету этого
клиента через 8 лет, если банк начисляет проценты по ставке j∞ =5% ?
Ответ: 149 182,47 руб.
3. Предприятие создает фонд постройки нового здания, вкладывая в него
каждые 4 года 15 млн. руб. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5%
годовых (сложных). Какая сумма будет в фонде через 16 лет?
Ответ: 82 332 270,03 руб.
4.Рассчитайте текущую стоимость вклада, который через три года составит 15 тыс. руб. при ставке процента 20% годовых. Ответ: 8 680,56 руб.
Вариант 8
1. Банк выдал г-ну Федорову ссуду в 90 тыс. руб. на 2 года под простой
дисконт, равный 12% в год. Какая сумма будет выдана г-ну Федорову на
руки? Ответ: 68 400 руб.
2. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты по ставке j∞ =7%, чтобы через 10 лет на счету было 50 тыс. руб.?
Ответ: 24 829, 27 руб.
3. Предприятие создает фонд постройки нового здания, вкладывая в него
каждые 4 года деньги. Деньги кладутся в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных). Какую сумму должно вкладывать в банк предприятие,
чтобы через 20 лет накопить 120 млн. руб., необходимых для постройки
здания? Ответ: 15 641 919,73 руб.
4. Фонд размером 21 млн. руб. был сформирован за два года за счет отчислений по 770 тыс. руб. в начале каждого месяца. Определите годовую
ставку процента. Ответ: 12,10%.
Вариант 9
Банк выдал г-ну Федорову на руки 90 тыс. руб. на 2 года под простой
дисконт, равный 12% в год. Какую сумму он будет должен банку? Ответ:
118 421,05 руб.
2. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно по
ставке в 1990 г. - 12%, в 1991 г. - 18%, в 1992 и 1993 гг. - 24%. Какая сумма
будет на счету 31 декабря 1993 года, если 1 января 1990 года на этот счет
24
было положено 30 000 руб.? Ответ: 65 444,17 руб.
3. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих
8 лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 25 тыс. руб., исчерпав
счет полностью, если банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке: 5% годовых? Ответ: 161 580,32 руб.
4. Рассчитайте, какую сумму надо положить на депозит, чтобы через 4 года она выросла до 2000 тыс. руб. при норме процента 9% годовых. Ответ:
14 168,50 руб.
Вариант 10
1. Банк выдал г-ну Федорову ссуду в 90 тыс. руб. на 2 года под 12% годовых (простых). Какая сумма будет выдана г-ну Федорову на руки? Ответ:
111 600 руб.
2. Банк выдает ссуду на 10 лет или под 7% годовых (сложных) или под
простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить
банк, чтобы полученный им доход не изменился? Ответ: 9,67% (простых
годовых).
3. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих
8 лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 25 тыс. руб., исчерпав
счет полностью, если банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по непрерывной ставке d=5%? Ответ: 160 753,32 руб.
4. Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом 100 тыс. руб.,
выпущенной на семь лет, если в первые три года проценты начисляются
по ставке 17%, а в остальные четыре года - по ставке 22% годовых. Ответ:
354,81 руб.
Вариант 11
1. Г-н Петров имеет вексель на 15 000 руб., срок которого 1 июля. Он хочет
учесть его 1 марта того же года в банке, простая учетная ставка которого
7%. Какую сумму он получит за этот вексель? Какую сумму получит г-н
Петров, если срок этого векселя 1 июля следующего года? Ответ: 14 644,17
руб.; 13 594,17 руб.
2. Г-н Петров имеет вексель на 15 тыс. руб., который он хочет учесть 1
марта текущего года в банке по сложной учетной ставке, равной 7%. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля
следующего года? Сравните этот результат с результатом пункта 1. Ответ:
а) 14 635,60 руб.; б)13 611,11 руб.
3. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих
8 лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 25 тыс. руб., исчерпав
счет полностью, если банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке: j4 =5%? Ответ: 160 964,65 руб.
4. Какую сумму необходимо положить на депозит под 16,5% годовых, что-
25
бы получить через три года 44 млн. руб. при полугодовом начислении процентов? Ответ: -27,35 руб.
Вариант 12
1. Что выгоднее: заплатить за учебу в вузе в начале обучения 10 тыс. у.д.ед.
или по окончании учебы (через 5 лет) 15 тыс. у.д.ед.? Процентная ставка
(коэффициент дисконтирования) равна 10Ответ: 5 тыс. у.д.ед., приведенные к началу обучения равны 9,314 тыс. у.д.ед. Выгоднее с оплатой не
торопиться.
2. Банк выдает ссуду на 10 лет под 7% (простые проценты). Какую ставку
сложных процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход
не изменился? Ответ: 5,45%.
3. Г-н Федоров кладет в конце каждого года 120000 тыс. руб. в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j6 =8%. Какую сумму
накопит г-н Федоров за 10 лет? Ответ: 1760957,70 руб.
4. Оцените, что выгоднее: получить 100 тыс. руб. сразу или 50 тыс. сейчас
и 90 тыс. руб. через два года, если ставка процента 13%. Ответ: 120,48 руб.
Вариант 13
1. Клиент учел 1 февраля 1992 года вексель на сумму 40 тыс. руб., срок
которого 1 июня того же года, и получил за него 28 790 руб. Какова учетная ставка банка? Ответ: 9%.
2. Определить ставку сложных процентов ic , эквивалентную ставке
а)j2 =10%, б)j6 =10%, в) j12 =10%, г) j∞ =10%? Ответ: а) 10,25%; б) 10,43%;
в) 10,47%; г) 10,52%.
3. Г-н Федоров вносит в конце каждого года деньги в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j6 =8%. Какую сумму он должен
вносить, чтобы за 10 лет накопить 2 млн. руб.? Ответ: 136 289,48 руб.
4. Определите текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей
размером 120 тыс. руб. в течение 4 лет, если годовая процентная ставка 14%. Ответ: 4442,58 руб.
Вариант 14
1. Г-н Гаврилов должен выплатить г-ну Серову 20 тыс. руб. в следующие
сроки: 5 тыс. руб. через 2 года, 5 тыс. руб. через 3 года и еще 10 тыс. руб.
через 5 лет, считая от настоящего момента. Г-н Гаврилов предложил изменить контракт, обязавшись уплатить 10 тыс. руб. через 3 года и еще 10 тыс.
руб. через 4 года от настоящего момента. Эквиваленты ли эти контракты,
если на деньги начисляются 5% годовых (простых). Если контракты не
эквиваленты, то какой из них выгоднее для г-на Серова? Ответ: 16 893,28
руб.; 17 028,98 руб. Второй контракт выгоднее для Серова.
2. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных).
Какую ставку jm должен установить банк, чтобы доходы клиентов не из-
26
менились, если а) m=2, б) m=6, в) m=12, г) m = ∞ Ответ: а) 7,85%;
б) 7,75%; в) 7,72%; г) 7,70%.
3. Г-н Федоров вносит ежеквартально по 120 тыс. руб. в банк, который
выплачивает сложные проценты по ставке j6 =8%. Какую сумму накопит
г-н Федоров за 10 лет? Ответ: 1 814 678,95 руб.
4. Рассматриваются два варианта покупки дома: заплатить сразу 99000
тыс. руб. или в рассрочку - по 940 тыс. руб. ежемесячно в течение 15 лет.
Определить, какой вариант предпочтительнее, если ставка процента - 8%
годовых. Ответ: 98362,16 тыс. руб. Второй вариант.
Вариант 15
1. Г-н Гаврилов должен выплатить г-ну Серову 20 тыс. руб. в следующие
сроки: 5 тыс. руб. через 2 года, 5 тыс. руб. через 3 года и еще 10 тыс.
руб. через 5 лет, считая от настоящего момента. Г-н Гаврилов предложил
изменить контракт, обязавшись уплатить 10 тыс. руб. через 3 года и еще
одну сумму через 4 года от настоящего момента, такую что контракт будет
эквивалентен первоначальному? Ответ: 9 837,16 руб.
2. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20 тыс. руб. Какая сумма будет на счету через 5 лет?
Ответ: 29386,56 руб.
3. Г-н Федоров вносит ежеквартально деньги в банк, который выплачивает сложные проценты по ставке j6 =8%. Какую сумму должен вносить г-н
Федоров, чтобы за 15 лет накопить 3 млн. руб.? Ответ: 2 6243,297 руб.
4. Рассчитайте, через сколько лет обязательные ежемесячные платежи размером 150 тыс. руб. принесут доход в 10 млн. руб. при ставке 13,5% годовых. Ответ: 4 года.
Вариант 16
1. Работник финансовой компании получил кредит на сумму 50 тыс. руб.
сроком на 3 года по процентной ставке 45% простых годовых. Определить
сумму долга работника (с процентами) и величину ежемесячных погасительных платежей по кредиту. Ответ: 117,5 тыс. руб; 3264 руб.
2. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой
учетной ставке dn=6%. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился? Ответ: 5,85%.
3. Банк на вложенные в него деньги начисляет непрерывные проценты по
ставке (силе роста) 8%. Клиент вкладывает в этот банк в конце каждого
года 50 000 руб. Какая сумма будет на его счету через 7 лет 6 месяцев?
Ответ: 493 545,29 руб.
4. Рассчитайте, какая сумма будет на счете, если сумма размером 5000 тыс.
руб. размещена под 12% годовых на 3 года, а проценты начисляются каждые полгода. Ответ: 7092,60 руб.
27
Вариант 17
1. Банк выдал клиенту ссуду в размере 500 тыс. руб. с 16 января по 11
ноября включительно текущего года (год високосный) по 65% годовых.
Рассчитать сумму погасительного платежа (наращенную сумму) заемщики по трем вариантам начисления простых процентов. Ответ: 767 281 руб.;
771 736 руб.; 766 319 руб.
2. Банк учитывает вексель по учетной ставке f3 =8% и желает перейти к
сложной учетной ставке dc. Какой величины должна быть ставка dc, чтобы доход банка не изменился? Ответ: 7,79%.
3. Господин Иванов желает положить в банк, который выплачивает 10%
годовых (сложных), такую сумму, чтобы его сын, студент первого курса,
мог снимать с этого счета ежегодно по 10000 руб., исчерпав весь вклад к
концу пятилетнего срока учебы (деньги снимаются в конце каждого года).
Какую сумму должен положить в банк г-н Иванов? Ответ: 37 907,87 руб.
4. На сберегательный счет вносятся платежи по 200 тыс. руб. в начале
каждого месяца. Рассчитайте, какая сумма окажется на счете через 4 года
при ставке процента 13,5% годовых. Ответ: 12 779,34 тыс. руб.
Вариант 18
1. Финансовая компания дает ссуду 5 тыс. руб. на 3 года под простой дисконт, равный 5% в год. Какую сумму получит клиент в момент получения
ссуды? Ответ: 4 250 руб.
2. Господин Смирнов может вложить деньги в банк, выплачивающий
j1 2=7%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 3000 руб.
черeз 4 года и 6 месяцев? Ответ: 2191,37 руб.
3. Определить текущую стоимость обычных ежемесячных платежей размером 50 тыс. руб. в течение 2 лет при начислении 18% годовых. Ответ: 1
001,52 тыс. руб.
4. По вкладу размером 2 млн. руб. начисляется 10% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на сберегательном счете через 5 лет, если проценты
начисляются ежемесячно. Ответ: 3290,62 тыс. руб.
Вариант 19
1. На сумму вклада в размере 50 тыс. руб. в течение месяца начисляются
простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 месяцев текущего года
(т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных
процентов с фактическим числом дней ссуды с 1-го марта? Ответ: 56,362
тыс. руб. Без инвестирования эта сумма была бы равна S=50(1+5*0,24)=56
тыс. руб.
2. Банк выплачивает по вкладам 6% годовых (сложных). Какова реальная доходность вкладов в этот банк, если начисление процентов делается
28
а) по полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно, г) непрерывно? Ответ:
а) 6,09%; б) 6,14%; в) 6,17%; г)6,18%.
3. Вкладчик намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение
пятилетнего срока обучения мог снимать в конце каждого года по 10 тыс.
руб. и израсходовать к концу учебы весь вклад. Определить сумму вклада,
если готовая ставка сложных процентов - 12%. Ответ: 36 047,76 коп.
4. На сберегательный счет вносятся платежи по 200 тыс. руб. в конце каждого месяца. Рассчитайте, какая сумма окажется на счете через 4 года при
ставке процента 13,5% годовых. Ответ: 12637,17 тыс. руб.
Вариант 20
1. Банк принял на депозит денежные средства в сумме 80 тыс. руб. сроком
на 7 дней по ставке 24,9%. Какую сумму он возвратит? Ответ: 80 382,03
руб.
2. Вкладчик банка открыл депозитный счет и намерен увеличить свой
вклад в 3 раза. Через сколько лет депозит вкладчика увеличится в три
раза, если банк начисляет сложные проценты по ставке 22% годовых? Ответ: 5,52 года.
3. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих
8 лет иметь возможность ежегодно снимать со счета 25 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банк начисляет на вложенные в него деньги по
непрерывной ставке 5%? Ответ: 160 964,65 руб.
4. У Вас просят в долг 10 тыс. руб. и обещают возвращать по 2 тыс. руб. в
течение 6 лет. Будет ли выгодна эта сделка при годовой ставке 7%? Ответ:
не выгодна, т.к. вернут 9 533 руб.
7. Финансовые функции
пакетов прикладных программ
7.1. Финансовая математика в MS Excel
В пакете Excel существует группа функций, предназначенных для расчета финансовых операций по кредитам, ссудам, займам. Большинство
функций имеет одинаковый набор базовых аргументов: ставка - процентная ставка (норма доходности или цена заемных средств - i); кпер - срок
(число периодов n) проведения операции; выплата - величина периодического платежа (R); нз - начальное значение (величина P ); бс - будущее
значение (величина S); [тип] - тип начисления процентов (1 - начало периода, 0 - конец периода), необязательный аргумент.
29
Общая формула расчетов, связанных с денежными потоками, имеет вид
R
(1 + i)n − 1
(1 + n · type) + P (1 + i)n + S = 0.
i
(1)
При i = 0 используется формула Rn + P + S = 0.
Для реализации расчетов в MS Excel в соответствии с данными формулами используются функции БЗ, ПЗ, КПЕР, НОРМА, ППЛАТ.
Определение будущей и текущей стоимости
Функция БЗ рассчитывает будущую стоимость периодических постоянных платежей и будущее значение единой суммы вклада или займа на
основе постоянной процентной ставки (величина S из формулы (1)).
Функция БЗ(ставка;кпер;выплата;нз;[тип])
Функция ПЗ предназначена для расчета текущей стоимости как единой
суммы вклада (займа), так и фиксированных периодических платежей.
Этот расчет является обратным к определению будущей стоимости при
помощи функции БЗ (величина P из формулы (1)).
Функция ПЗ(ставка;кпер;выплата;бс;[тип])
Значение ставка обычно задается в виде десятичной дроби. Если начисление процентов осуществляется m раз в году, аргументы необходимо
откорректировать соответствующим образом: i = i/m, n = n · m.
Варианты использования функций.
1. Классическая формула расчета наращенной суммы и текущей стоимости вклада по методу сложных процентов.
S = P (1 + i)n ;
P =
S
.
(1 + i)n
(2)
Обращение к функциям:
=БЗ(ставка;кпер;;нз) =ПЗ(ставка;кпер;;бс)
2. Платежи пренумерандо и постнумерандо.
Формулы расчета будущей стоимости платежей и текущей стоимости
приведенной ренты (пренумерандо):
S=R
(1 + i)n − 1
(1 + i);
i
P =R
1 − (1 + i)−n
(1 + i).
i
(3)
Обращение к функциям
=БЗ(ставка;кпер;выплата;;1) =ПЗ(ставка;кпер;выплата;;1)
Формулы расчета будущей стоимости платежей и текущей стоимости обычной ренты (постнумерандо):
S=R
(1 + i)n − 1
;
i
P =R
30
1 − (1 + i)−n
.
i
(4)
Обращение к функциям:
=БЗ(ставка;кпер;выплата) =ПЗ(ставка;кпер;выплата)
Задача 1. (Пример 4, c. 8.) Определить сумму вклада, который надо
положить сроком на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 101667 руб.
Решение.
=ПЗ(0.1*2/12;1;;-101667) (Результат: 100 тыс. руб.)
Задача 2. (Пример 1, c. 10.) Какая сумма окажется на счете, если 27
тыс. руб. положены на 33 года под 13,55% годовых? Проценты начисляются
каждые полгода.
Решение.
=БЗ(0,1335/2;66;-27) (Результат:2012,07 тыс. руб.)
Аргумент начальное значение - нз взят с отрицательным знаком, так
как c точки зрения вкладчика эта операция влечет за собой отток его денежных средств.
Задача 3 (Пример 2, с. 19.) Рассматривается два варианта покупки дома: заплатить сразу 99 млн. руб. или платить в рассрочку по 940 тыс. ежемесячно в течение 15 лет. Определить, какой вариант предпочтительнее,
если ставка процента - 8% годовых?
Решение.
=ПЗ(0,08/12;15*12;-940) (Результат: 98362,16 тыс. руб. Второй вариант).
Расчет срока платежа
Функция КПЕР() вычисляет количество периодов начисления процентов n, исходя из известных величин i, S и P из уравнения (1). Аргументы
нз и бс должны иметь противоположные знаки.
Функция КПЕР(ставка;выплата;нз;бс;[тип])
Варианты использования.
1. Общее число периодов n выплат вклада (формулы 2).
=КПЕР(ставка;;нз;бс)
2. Число периодов n приведенной ренты (пренумерандо) и обычной ренты (постнумерандо) (формулы 3 и 4).
=КПЕР(ставка;выплата;; бс;1)
=КПЕР(ставка;выплата;;бс)
3. При погашении займа размером нз равномерными платежами в конце
каждого расчетного периода число периодов, через которое произойдет
полное погашение, равно
=КПЕР(ставка;выплата;нз)
Задача 4 (Пример 2, с. 10.) Рассчитать, через сколько лет вклад размером 1 млн. руб. достигнет 1 млрд. руб., если годовая ставка процента по
вкладу 16,79%.и начисление процентов производится ежеквартально.
31
Решение.
=КПЕР(0.1679/4;;-1000000;1000000000) (Результат: 168.
Число кварталов 168/4 = 42 года).
Задача 5. В фонд поступают средства в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Размер разового платежа 16 млн. руб. На поступившие
взносы начисляется 11,18% годовых. Необходимо определить, когда величина фонда будет равна 100 млн. руб.
Решение.
=КПЕР(0,1118;-16;;100) (Результат: 5 лет).
Расчет процентной ставки
Функция НОРМА() используется для расчета процентной ставки i за
один расчетный период из формулы (1). Для нахождения годовой процентной ставки полученное значение следует умножить на число расчетных
периодов, составляющих год.
Функция НОРМА(кпер;выплата;нз;бс;[тип])
Аргументы функции нз и бс должны иметь противоположные знаки.
Варианты использования функции.
1. Известны обе стоимости и число периодов в формуле (2).
=НОРМА(кпер;;нз;бс)
2. Платежи пренумерандо и постнумерандо (формулы 3 и 4).
=НОРМА(кпер;выплата;;бс;1;) =НОРМА(кпер;выплата;;бс;;)
3. Расчет процентной ставки по займу размером нз при равномерном
погашении обычными периодическими платежами, при условии что заем
полностью погашается, ведется по формуле
=НОРМА(кпер;выплата;нз)
Задача 6. Компании требуется 100000 тыс. руб. через 2 года. Компания
готова сегодня положить на депозит 40000 тыс. руб. Каким должен быть
процент, чтобы получить необходимую сумму в конце второго года?
Решение.
=12*НОРМА(24;;-40000;100000) (Результат: 46,7
Задача 7. Предполагается путем ежеквартальных взносов постнумерандо по 35 млн. руб. в течении 3 лет создать фонд размером 500 млн. руб.
Какой должна быть годовая процентная ставка?
Решение.
=НОРМА(3*4;-35;;500) (Результат: 3,116
Задача 8. Клиент делает в банк накопительные вклады сроком на 5
лет с взносами в размере 2,5 тыс. руб. в конце каждого квартала; к концу
срока накоплена сумма 83,506 тыс. руб.; Определить процентную ставку
за период (квартал).
32
Решение.
=НОРМА(20;2.5;;-83.506;1) Результат: i =0,046635 (4,6635%).
Расчет постоянных периодических выплат
Функция ППЛАТ() вычисляет величину выплаты за один период на
основе фиксированных периодических выплат и постоянной процентной
ставки. Выплаты включают основные платежи и платежи по процентам.
Результатом является величина R из формулы (1).
Функция ППЛАТ(ставка;кпер;нз;[бс];[тип])
Варианты использования функции.
1. Расчет выплат, если известна будущая стоимость выплат S, производимых в начале или в конце каждого периода (формулы 3 и 4).
=ППЛАТ(ставка;кпер;;бс;тип)
2. Определение равных периодических платежей R по займу величиной P , необходимые для полного погашения займа через кпер периодов с
известной ставкой процентов (формулы 3 и 4).
=ППЛАТ(ставка;кпер;нз;;тип) или =ППЛАТ(ставка;кпер;нз)
Задача 9. Необходимо накопить 4000 тыс. руб. за 3 года, откладывая
постоянную сумму в конце каждого месяца. Какой должна быть эта сумма,
если норма процента по вкладу составляет 12% годовых.
Решение.
=ППЛАТ(0.12/12;12*3;;-4000) (Результат: 92,86 тыс. руб).
Задача 10. Банк выдал ссуду 200 млн. руб. на 4 года под 18% годовых.
Ссуда выдана в начале года, а погашение начинается в конце года одинаковыми платежами. Определить размер ежегодного погашения ссуды.
Решение.
=ППЛАТ(18/100;4;-200) (Результат:74,35 млн. руб).
Задача 11. Рассчитать современную величину платежа при учете через
3 года векселя на сумму 100 тыс. руб., дисконтированную поквартально по
номинальной учетной ставке 18 %.
Решение.
=БЗ(-0.18/4;12;;-100) (Результат: 57,549 тыс. руб.)
Расчет эффективной и номинальной ставки процентов
Функции НОМИНАЛ() и ЭФФЕКТ() вычисляют соответственно номинальную и эффективную процентные ставки.
=НОМИНАЛ(эф\_ставка;кпер) =ЭФФЕКТ(ном\_ставка;кпер)
Эти функции удобно использовать при сравнении операций с различными периодами начисления процентов. Функция ЭФФЕКТ() вычисляется
по формуле
ie = (1 + j/m)m − 1.
Значение функции НОМИНАЛ() - аргумент j.
33
Задача 12. Эффективная ставка составляет 28%, а начисление процентов производится ежемесячно. Рассчитать номинальную ставку.
Решение.
=НОМИНАЛ(28;12) (Результат:0,2494 или 24,29%).
Задача 13. Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет
18% годовых. Определить реальную доходность вклада (т.е. эффективную
ставку), если проценты выплачиваются ежемесячно.
Решение.
=ЭФФЕКТ(0,18;12) (Результат: 0,1956 или 19,56%)
7.2. Финансовые вычисления в среде Maple
Подключение пакета: >with(finance):
Ограничимся упоминанием нескольких функций:
1. annuity(P, i, n) - вычисление суммы, находящейся на вкладе с начальным значением P , процентом начисления i и числом периодов n;
2. effectiverate(j, n) - вычисление эффективной ставки, если заданы номинальная годовая ставка j и число периодов n.
3. futurevalue(P, i, n) - вычисление будущего значения вклада при начальном вложении P , проценте начисления i и числе периодов n;
4. presenvalue(S, i, n) - вычисление начального вклада для получения
суммы S при проценте начисления i и числе вкладов n;
Задача 1. Определить сумму вклада, который надо положить сроком
на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 101667 руб.
Решение. presentvalue(101667,0.1*2/12,1); 100000.33 руб.
Задача 2. (Пример 1, c. 10.) Какая сумма окажется на счете, если 27
тыс. руб. положены на 33 года под 13,55% годовых? Проценты начисляются
каждые полгода.
Решение. futurevalue(27,0.135/2,66); 2012.07 тыс. руб.
Задача 3 (Пример 2, с. 19.) Рассматривается два варианта покупки дома: заплатить сразу 99 млн. руб. или платить в рассрочку по 940 тыс. ежемесячно в течение 15 лет. Определить, какой вариант предпочтительнее,
если ставка процента - 8% годовых?
Решение. annuity(940,0.08/12,15*12); 98362.16
Задача 4. Рассчитать, через сколько лет вклад размером 1 млн. руб.
достигнет 1 млрд. руб., если годовая ставка процента по вкладу 16,79%.и
начисление процентов производится ежеквартально.
Решение. solve(futurevalue(106 ,0.1679/4,n)=109,n)/4; 42 года.
Задача 5. В фонд поступают средства в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Размер разового платежа 16 млн. руб. На поступившие
34
взносы начисляется 11,18% годовых. Необходимо определить, когда величина фонда будет равна 100 млн. руб.
Решение. solve(futurevalue(16,0.1118,n)*annuity(1,0.1118,n)=100,n);
5 лет.
Задача 6. Компании требуется 100000 тыс. руб. через 2 года. Компания
готова сегодня положить на депозит 40000 тыс. руб. Каким должен быть
процент, чтобы получить необходимую сумму в конце второго года?
Решение. fsolve(futurevalue(40000,r,24)=100000,r)*12; 46,7%.
Задача 7. Предполагается путем ежеквартальных взносов постнумерандо по 35 млн. руб. в течении 3 лет создать фонд размером 500 млн. руб.
Какой должна быть годовая процентная ставка?
Решение. fsolve(futurevalue(35,r,12)*annuity(1,r,12)=500,r); 3,12%.
Задача 8. Клиент делает в банк накопительные вклады сроком на 5
лет с взносами в размере 2,5 тыс. руб. в конце каждого квартала; к концу
срока накоплена сумма 83,506 тыс. руб.; Определить процентную ставку
за период (квартал).
Решение. fsolve(futurevalue(2.5,r,20)*annuity(1,r,20)*(1+r)=83.506,r);
4,67%.
Задача 9. Необходимо накопить 4000 тыс. руб. за 3 года, откладывая
постоянную сумму в конце каждого месяца. Какой должна быть эта сумма,
если норма процента по вкладу составляет 12% годовых.
Решение. solve(annuity(x,0.01,36)*futurevalue(1,0.01,36)=4000.,x);
92.86 тыс. руб.
Задача 10. Банк выдал ссуду 200 млн. руб. на 4 года под 18% годовых.
Ссуда выдана в начале года, а погашение начинается в конце года одинаковыми платежами. Определить размер ежегодного погашения ссуды.
Решение. solve(annuity(x,0.18,4)=200.,x); 74.35 млн. руб.
Задача 11. Рассчитать современную величину платежа при учете через
3 года векселя на сумму 100 тыс. руб., дисконтированную поквартально по
номинальной учетной ставке 18 %.
Решение. futurevalue(100,-0.18/4,12); 57.549 тыс. руб.
Задача 12. Эффективная ставка составляет 28%, а начисление процентов производится ежемесячно. Рассчитать номинальную ставку.
Решение. solve(effectiverate(r,12)=0.28,r); 24,94%.
Задача 13. Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет
18% годовых. Определить реальную доходность вклада (т.е. эффективную
ставку), если проценты выплачиваются ежемесячно.
Решение. effectiverate(0.18,12); 19,6%.
35