Дедков В.К.

Дедков В.К.
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ МНОГОФАЗНОЙ НАСОСНОЙ СТАНЦИИ ПО КРИТЕРИЮ «ПОТЕРЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ»
В статье рассмотрены принципы формирования математических моделей функционирования многофазных
насосных станций с использованием многофазных насосов, способных перекачивать ГЖС, и узла
нефтяных скважин по результатам опытной эксплуатации. Прогнозирование показателей надежности на
основе этих моделей позволяет устанавливать обоснованные сроки проведения обслуживания МФНС и
скважин.
Параметры математической модели закона распределения экстремальных снижений (падений)
производительности
многофазной
насосной
станции
(МФНС),
при
которых
возможна
потеря
функциональных возможностей системы «узел скважин – МФНС» по критерию «потеря производительности»
определяются на основе опытных данных, полученных при опытной эксплуатации. Поскольку «отказ»
(потеря функций) системы «узел скважин – МФНС» наблюдается только при достижении наименьшего
экстремального значения производительности МФНС на рассматриваемом интервале времени кор, то
теоретическим законом распределения случайной величины – падения производительности насосной
стации –является закон экстремальных распределений первого типа 1.
Функция распределения Fu (u ) и плотность распределения u (u ) закону экстремальных распределений
первого типа выражаются в форме [2]
(1)
Fu (u)  exp[ exp( y)] ,
где y – нормированное отклонение от моды, определяемое соотношением y   (u   ) , где  и 
– параметры распределения.
Рассмотрим
проверку
достоверности
гипотезы
о
законе
экстремальных
распределений
некоррелированных наименьших значений производительности МФНС и  t  . Существуют различные подходы
к проверке гипотез о законе распределения эмпирических данных. Так, например, критерий А.Н.
Колмогорова [3] основан на сравнении наибольшего отклонения теоретического распределения от
эмпирического, т.е. на сравнении функций в одной точке. Этот критерий не позволяет учесть всю
совокупность отклонений. Применение критерия 
результатов наблюдений на группы. К тому же
2
связано с довольно произвольным подразделением
при малых объемах выборки подобное разбиение
становится практически неосуществимым. В отличие от
(омега-квадрат), рассмотренный в [2, 4], основан
критерия  , критерий соответствия 
на данных непосредственных наблюдений
2
2
(несгруппированных) значений измеряемых величин. Кроме того, распределение 
2
быстрее сходится к
предельному закону, особенно в области больших значений  , которые только и существенны для
вероятностной оценки. Поэтому, для проверки гипотезы о законе экстремальных распределений
2
производительности МФНС u воспользуемся критерием  .
2
В [2, 4] показано, что величина  N
2
N2 
определяется по формуле
2
1
1
i  0,5 

  Fu (u ) 
,
N 
12 N 2 N i 1 
N
(2)
где N – объем выборки, ( i  1(1) N ), Fu (u ) – теоретическая функция распределения.
Гипотеза
о
соответствии
эмпирического
распределения
производительности
экстремальных распределений отвергается, если
верхнего предела
NN2
т.е.
(где
 кр
МФНС
закону
– критическое значение для
при определенном уровне значимости). Из табл.13 ([4], стр. 93) находим,
что при уровне значимости, равном 0,05:
NN2 
NN2   кр
 кр  0,4614 . Окончательно, в соответствии с (2) имеем
1
 0,0301  0,0329  0,4614 ,
12  30
NN2   кр , что свидетельствует о правомочности принятия гипотезы о законе экстремальных
распределений первого рода случайной величины u . Таким образом, функция распределения Fu (u )
может быть представлена в виде (1).
В статье «Методика обработки опытных данных при прогнозировании надежности многофазной
насосной станции по критерию «потеря производительности» приведена методика обработки опытных
данных и формирование на этой основе математической модели составляющей комплекса условий
эксплуатации
МФНС
и t  .
В
результате
получена
математическая
модель
закона
распределения
экстремальных снижений производительности МФНС, при которых возможна потеря функциональных
возможностей системы «узел скважин – МФНС».
Однако, возможность такого развития событий зависит не только от вариации производительности
МФНС, но также и от изменения дебита узла скважин, который, согласно приведенным выше данным,
также подвержен случайным изменениям.
Известно, что снижение производительности скважин за межремонтный цикл, равный 2 годам,
составляет 50%.
При проведении регламента скважины ее производительность восстанавливается до прежнего уровня.
Регламенты скважин производятся не одновременно, а по мере необходимости, обусловленной величиной
падения производительности. Поэтому производительность узла скважин в среднем остается
постоянной, но с определенной вероятностью может быть как выше средней величины, так и ниже ее.
Поскольку как максимальная производительность узла скважин, равная сумме максимальных
производительностей составляющих, так и минимальная производительность, равная сумме минимальных
производительностей составляющих, маловероятны, или практически невозможны, то принимаем
вероятности этих величин равными нулю. Полагая, что средняя производительность узла скважин
является наиболее вероятной, и, принимая ее за моду закона распределения вероятностей, следует в
качестве рабочей гипотезы рассматривать нормальное распределение вероятностей производительности
узла скважин.
При нормальном законе распределения случайной величины производительности узла скважин все
возможные ее значения укладываются на интервале (300-400) м3/час.
Средняя величина падения производительности одной скважины на интервале времени, равном одному
году, составляет 25%. Восстановление производительности одной из 4-х скважин до максимального
уровня осуществляется с периодичность. 0,5 года. Поэтому в течение одного года производительности
2-х скважин будут выше среднего уровня, а производительности других 2-х скважин – ниже среднего
уровня. Отсюда следует, что средняя производительность куста из 4-х скважин равна 350 м3/час.
Максимально
возможная
производительность
равна
400
м3/час,
а
минимально
возможная
производительность равна 300 м3/час. Геометрическая интерпретация отмеченного выше изменения
производительности куста скважин показана на рис. 1.
Учитывая изложенное выше и применяя к оценкам вариаций производительности скважин правило
«трех сигм», находим, что среднее кавадратическое отклонение производительности равно х = 17,0.
Отсюда закон распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины
производительности куста скважин, можно записать в виде функционала

Fx  x   F н x, xср , x
где х
ср

(3)
=350 м /ч – математическое ожидание случайной величины х ;
3
х= 17,0 – среднее квадратическое отклонение случайной величины х .
Данные, полученные на основе обработки опытной информации, представлены
распределения наименьшей величины производительности узла скважин Fx  x  .
в
виде
функции
Эти функции являются характеристиками комплекса условий эксплуатации, обеспечивающими
возможность прогнозирования надежности функционирования куста скважин по критерию потери
производительности.
Поскольку прогнозируемые характеристики надежности зависят не от абсолютных значений случайных
процессов и  t  и
х  t  , а от их соотношения, поэтому не имеет принципиального значения с какой
переменной связывать необратимые изменения производительности МФНС.
Графическая интерпретация расчетной схемы надежности, приведенная на рис. 1, описывается
аналитическими зависимостями (4) и (5), которые использованы для численного прогнозирования
вероятности безотказной работы Rn  n  и плотности распределения времени безотказной работы Pn  n  .

Rn (n)  P(n  n) 
n
Fu ( x; xi )dFx ( x)

i 1
(4)


Pn (n)  P(n  n) 
n
Fu ( x; xi )dFx ( x)
 Ru ( x; xn )
i 1
(5)

Результаты прогнозирования по формулам (4) и (5), выполненные с помощью компьютера, в
графической форме приведены на рис. 1.
Из графика приведенного на рис.1 следует, что вероятность безотказной работы МФНС за три года
эксплуатации (tн+18п =18п +18п=36п, при τкор = 30 сут. и tн=18п) составит Rn  n  =0,6.
При этом вероятность отказа будет равна 1– Rn  n  = 0,4.
Исходя из приведенных данных, предполагается проведение плановой замены каждого насоснокомпрессорного агрегата на основе роторно-шарнирно-лопастного механизма через три года
эксплуатации.
Рис. 1. Результаты прогнозирования вероятности безотказной работы системы «МФНС – узел
скважин» по критерию «потеря производительности».
Чтобы оценить степень достоверности прогноза, воспользуемся имеющимися статистическими данными
об
отказах
типа
«потеря
производительности».
Оценка
соответствия
результатов
прогноза
эмпирическим данным может быть как качественной, так и количественной.
На рис.1 приведено прогнозируемое распределение вероятности отказа
корреляции п и эмпирическое распределение вероятности отказа
Pn  n  по числу периодов
P *n  n  , построенное по методу
«прямоугольных вкладов» на основе данных об отказах, имевших место при отработке и опытной
эксплуатации четырех роторно-шарнирно-лопастных механизмов МФНС-200. Качественное сравнение
свидетельствует о достаточной степени конгруэнтности прогнозируемой Pn  n  и эмпирической P *n  n 
функций. Для количественной оценки соответствия эмпирической и прогнозируемой характеристик
надежности можно воспользоваться критерием (омега-квадрат) 4.
Статистика отказов подтверждает достоверность результатов расчета. В заключение следует
отметить, что расчет функциональной надежности МФНС по отношению к отказам типа «потеря
производительности» носит иллюстративный характер. В настоящее время, благодаря планово
предупредительным мероприятиям, предпосылки, приводящие к высокому уровню отказов этого типа, в
значительной мере устранены.
Литература
1. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир. 1965.
2. Смирнов В.И., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики
для технических приложений. М.: Наука, 1965.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.Наука. 1964.
4. Рябинин И.А., Киреев Ю.Н. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового
электрооборудования. Л.: Судостроение. 1974.