Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике
1. Матрица. Определитель. Метод Крамера.
2. Метод Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование системы
линейных уравнений (неоднородной и однородной) через ранги основной и
расширенной матриц.
3. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы через обратную
матрицу.
4. Векторы. Операции с векторами. Линейно зависимые и линейно независимые
векторы на плоскости и в пространстве. Базис; разложение вектора по векторам
базиса
5. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, выражение в
координатах.
 
6. Применение скалярного произведения векторов; нахождение Прa b , a , орта
вектора, угла между векторами, работы, проверка перпендикулярности векторов
7. Ортонормированный базис в пространстве. Координаты вектора. Длина вектора.
Направляющие косинусы вектора.
8. Векторное произведение векторов. Определение, свойства, выражение в
координатах (вывод)
9. Применение векторного произведения векторов в физике, геометрии и для
проверки колинеарности векторов.
10. Смешанное произведение векторов. Определение, свойства, выражение в
координатах (вывод).
11. Геометрический смысл смешанного произведения векторов; проверка
компланарности 3-х векторов (вывод)
12. Коллинеарные, компланарные векторы: определение, признаки колинеарности,
компланарности и перпендикулярности векторов
13. Все виды уравнения прямой на плоскости. Нормальный и направляющий векторы.
Угловой коэффициент прямой.
14. Угол между прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых.
15. Парабола. Определение, вывод уравнения, график.
16. Эллипс. Определение, вывод уравнения, график
17. Гипербола. Определение, вывод уравнения, график.
18. Нахождение расстояния между двумя точками. Деление отрезка в данном
отношении. Середина отрезка.
19. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение Частные виды уравнения
плоскости (плоскости, перпендикулярные и параллельные координатным осям и
плоскостям, проходящие через начало координат). Нормальный вектор плоскости
20. Угол между плоскостями. Взаимное расположение плоскостей.
21. Уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое и как
пересечение двух плоскостей)
22. Взаимное расположение прямых в пространстве. Уравнение прямой, проходящей
через две точки
23. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
24. Предел функции. Свойства пределов. Неопределенности. Первый замечательный
предел. Второй замечательный предел.
25. Непрерывность функции. Односторонний предел. Точки разрыва и их
классификация.
26. Определение производной первого порядка от функции одного переменного.
Геометрический и механический смыслы. Касательная и нормаль к кривой.
27. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной и обратной функций.
Дифференцирование параметрически заданной функции.
1

Вывод формул tgx  
cos 2 x
arctgx  1 2
1 x

28. Гиперболические функции и их графики. Вывод формул ch x   sh x ;
sh x   ch x
29. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл, свойства и
применение в приближенных вычислениях.
30. Возрастающие и убывающие функции. Экстремум функции. Необходимое и
достаточные условия экстремума.
31. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое и
достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой и существования точек
перегиба.
32. Асимптоты кривой (вертикальная и наклонная). Вывод формул для асимптот
гиперболы.
Дополнительные вопросы к экзамену (Предварительный
список).
Вычислить определитель не выше 3 порядка
Решить систему (не более трех уравнений с тремя неизвестными)
Умножить матрицу на вектор – столбец
Что такое координаты точки. Построить точку с заданными координатами
Понятие вектора
Вычислить координаты вектора по координатам начала и конца, вычислить длину
вектора, построить вектор с заданными координатами.
7. Выполнить сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число
8. Найти скалярное произведение через координаты векторов
9. Вычислить скалярное произведение через длины векторов и угол между ними
10. Сказать (своими словами) определение векторного произведения, все понятия
объяснить.
11. Вычислить векторное произведение через координаты векторов
12. Вычислить модуль векторного произведения по длинам векторов и углу между ними.
13. Объяснить своими словами, что такое смешанное произведение 3 векторов, найти
смешанное произведение по заданным координатам векторов.
14. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве и на
плоскости, включая случаи прямых, параллельных осям координат и координатным
плоскостям
15. Найти точку пересечения двух прямых на плоскости
16. Вычислить расстояние от точки до прямой
17. Найти расстояние между параллельными прямыми
18. Найти угол между прямыми, если заданы их уравнения
19. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
20. Найти точку пересечения прямой и плоскости
21. Ответить, принадлежит ли точка плоскости?
22. Написать уравнение окружности с центром в заданной точке и заданным радиусом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
23. По заданному каноническому уравнению кривой второго порядка определить ее тип,
построить кривую схематически, показать на чертеже параметры.
24. Найти координаты точки, симметричной данной относительно заданной плоскости
(прямой), начала координат
25. Найти предел функции в точке (неопределенность вида 0/0, числитель и знаменатель –
многочлены не выше 2 степени).
26. Вычислить производную функции, содержащей арифметические операции, функции
sin, cos, xn (x – любое вещественное число), ex, константы, комбинации указанных
функций
27. Построить касательную и нормаль к графику функции в заданной точке.
28. Найти вертикальные и наклонные асимптоты функции
29. Привести выражение a sin  x  b cos  x к виду A sin  x   
30. Построить график функции A sin  x    . Определить ее период, амплитуду, точки
пересечения с осями координат.
Типовые задачи по аналитической геометрии (аналогичны
задачам, которые будут предложены в экзаменационных
билетах)
I Прямая на плоскости.
1. Построить прямую с заданным общим уравнением
2. Построить прямую с заданным уравнением с угловым коэффициентом
3. Определить расположение прямой по отношению к осям и началу координат.
4. Определить,
являются
ли
заданные
прямые
параллельными
или
перпендикулярными.
5. Найти точку пересечения заданных прямых.
6. Найти угол между прямыми.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
8. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно
заданной прямой.
9. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой.
10. Найти проекцию точки на прямую.
11. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку под определенным
углом к данной прямой.
12. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно
заданному вектору.
13. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданному вектору.
14. Найти единичный вектор, перпендикулярный прямой.
15. Найти направляющий единичный вектор.
16. Найти расстояние от прямой до точки.
17. Определить, лежит ли точка на прямой.
18. Найти расстояние между параллельными прямыми.
II Кривые 2 порядка.
1. Задано уравнение кривой 2 порядка в простейшем (каноническом) виде.
Определить тип кривой, найти ее параметры, построить кривую, фокусы,
директрисы, показать геометрический смысл параметров.
2. Задано уравнение 2 порядка. Привести его к простейшему виду, определить
начало системы координат, в которой кривая имеет простейший вид, решить
для нее задачу 1.
3. Задана прямая, параллельная одной из осей координат и точка. Получить
уравнение кривой, для точек которой отношение расстояния до прямой к
расстоянию до заданной точки равно заданному числу k. По полученному
уравнению решить задачи 1,2.
4. По одним параметрам кривой 2 порядка найти ее другие параметры и уравнение
(параметры a, b ,c, p, ε).
III Прямая и плоскость в пространстве.
1. Построить плоскость с заданным общим уравнением, найти точки пересечения с
осями координат.
2. Определить расположение плоскости по отношению к координатным плоскостям,
осям и началу координат.
3. Найти нормальный вектор по заданному общему уравнению плоскости.
4. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным
нормальным вектором.
5. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
6. Определить,
являются
ли
заданные
плоскости
параллельными
или
перпендикулярными.
7. Определить угол между плоскостями.
8. Найти расстояние от точки до плоскости.
9. Найти расстояние между параллельными плоскостями.
10. Каноническое, параметрическое уравнение прямой и уравнение прямой как
пересечения плоскостей. Уметь переводить из одного типа в другой.
11. По заданному уравнению прямой найти ее направляющий вектор.
12. Определить особенности расположения прямой по отношению к осям и началу
координат, координатным плоскостям.
13. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
14. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным
направляющим вектором.
15. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно
заданной прямой.
16. Принадлежит ли заданная точка заданной прямой?
17. Найти точку пересечения прямых или показать, что они не пересекаются.
18. Найти угол между прямыми.
19. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно
двум заданным прямым.
20. Найти угол между прямой и плоскостью.
21. Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой.
22. Найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной плоскости.
23. Найти уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
24. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.
25. Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую параллельно
другой заданной прямой.
26. Найти расстояние от плоскости до параллельной прямой.
27. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
28. Найти расстояние от точки до прямой.
29. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.