Ширяев В.И., Панов С.А.

В.И. Ширяев, С.А. Панов
ЗАДАЧА АДАПТИВНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ
ЦЕНОВОЙ СТРАТЕГИИ ПРОДАВЦА В УСЛОВИЯХ
НЕОПРЕДЕЛЕННОГО СПРОСА
В условиях рыночной экономики особое практическое значение приобретает
задача эффективного управления параметрами сбытовой системы, из которых определяющим является цена на реализуемый товар. При этом важно учесть реальные
условия, при которых кривая рыночного спроса заранее известна лишь приблизительно. В настоящей работе рассматривается задача адаптивного определения оптимальной стратегии проведения торговой операции в условиях определенной и
неопределенной функции спроса.
1. Математическая модель торговой операции. Операция состоит в закупке
партии скоропортящегося товара по оптовой цене с последующим его хранением и
перепродажей по цене U(t), которая может изменяться в течение периода проведения
операции Т(день). Интенсивность выбытия товара со склада, связанная с его порчей, обратно пропорциональна текущим затратам на хранение единицы товара.
Интенсивность продаж V (ед. продукции /ед. времени) зависит от текущей цены U(t).
Цель управления - максимизация средней чистой прибыли Q (денежных ед. /ед. времени) при условии адаптации к поступающей информации о состоянии рынка.
Модель формализована в виде задачи оптимального управления, которая в
простейшем случае фиксированного периода продаж имеет вид
£>-» max ;
п\
X(t)= krU(t)-V\f/(t)]+
ktVp(t)]+
X(Q) = X0; X(T) = XT; U(t)eQ = [ t/min, Umax ]; tе[0,Т]
3
(3)
Здесь X(t) G 5R - параметры системы в момент ^(выручка, затраты, запас товара на
87
складе); к[с/(Г)] - функция спроса; Umin, Umax, к, e<R3,j = 1,4 -напередзаданные
константы.
2. Аналитическая функция спроса. Если, например, F[[/(f)] = £, - кг11(1), тс задача (1) - (3) представляет собой классическую задачу оптимального управления.
Ее типичное решение приведено на рис. 1 -2.
5
10
15 20 25 30 35 40
Рис 1 Ценовая стратегия
Рис.2 Изменение запаса на складе
Как видно из рис.1, в заданных условиях оптимальным будет постепенно
повышать цену на товар, что связано с желанием уменьшить совокупные затраты
на хранение товара, реализуя большую его часть в начале операции.
3. Произвольная функция спроса. Поиск аналитического решения с другими
функциями спроса 1^1/?приводит к значительным трудностям, а иногда и вовсе безрезультатен. Использование дискретной модели позволяет снять ограничения на
функцию спроса и обеспечить неизменность цены на товар, например, в течение дня.
Для анализа дискретных моделей использовались алгоритмы, основанные на принципе оптимальности Беллмана. Результаты численного решения дискретной задачи
имеют вид, схожий с аналитическим решением.
4. Аппроксимация функции спроса ломаной. Задачи п.2,3 основывались на
точном знании функции спроса, чего на практике не случается. Практически значимой задачей является управление торговой операцией в условиях априорно неопределенной функции спроса, ее аппроксимация и уточнение в ходе продаж.
Пусть из экспертных оценок или в результате проведения предварительных
продаж известны лишь несколько точек графика функции спроса. Рассмотрим метод кусочно-линейной аппроксимации идентифицируемой функции спроса. Новую
информацию, уточняющую V(U), используем для расчета оставшейся части траектории управления. На рис. 3 приведены результаты аппроксимации спроса для
K(£/>=10exp(-t//50).
5. Интервальная функция спроса. Получить на практике однозначное выражение для функции спроса можно лишь путем длительных предварительных маркетинговых исследований. Зачастую эксперт может лишь указать некоторую область,
в которую попадет реальный темп продаж при заданной цене. Пусть относительно
функции спроса известно лишь, что любое ее значение находится в заданном доверительном интервале V\Uk \е I\Uk)e S, I\Uk)e 5R+. Вслед за [1] рассмотрим
метод динамического программирования для случая, когда вместо точных чисел
заданы доверительные интервалы из 9Г .Верхняя граница интервала достижима в
случае максимально возможного спроса на всем периоде времени от 0 до А; нижняя
- в случае минимального спроса. На рис. 4 показаны стратегии управления для трех
реализаций спроса в рамках множества
88
S:UV(U),U):V(U)€\9V(U)
10 т>.
о _! ^
10-—|, V(U)>0, 0<U<\00\.
-действующая зависимость
первое приближение по 3 точкам
— приближение после 40 шагов
6 1
4
2
О
U
Средний спрос
- Максимальный спрос
Минимальном спрос
U
20
40
60
80
100
Рис 3 Аппроксимации спроса ломаной
4
7
1
10 13 16 19 22 2
Рис 4 Изменение запаса на складе
Примененный подход позволяет не просто определить оптимальную стратегию, но и учесть информацию о наличии товара на складе, поступающую в течение
операции, адаптируя, таким образом, стратегию продаж к реальной ситуации.
Таким образом, предложены подходы к моделированию рыночного спроса и
синтезу на его основе оптимального управления ценой на реализуемый товар. Основной акцент сделан на возможность практического применения результатов: большая часть зависимостей подразумевается заданными произвольно, в том числе и
таблично.