финансовые вычисления - Южно-Уральский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра «Бухгалтерский учет и анализ»
У9(2)26.я7п
Б33
А.В. Башарина
ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Учебное пособие
Челябинск
Издательский центр ЮУрГУ
2010
ББК У9(2)26-21.я7 + У9(2)262.5.я7
Одобрено
учебно-методической комиссией факультета права и финансов
Рецензенты:
Н.Ю. Черненко, О.А. Волченкова
Башарина, А.В.
Б33
Финансовые вычисления: учебное пособие /
Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. – 71 с.
А.В. Башарина. –
Учебное пособие включает теоретический материал, содержащий примеры
решения практических задач, задания для самостоятельного решения,
контрольные задачи и тесты, методические указания по изучению
теоретического материала, выполнению практических и контрольных заданий,
словарь. Учебное пособие предназначено для студентов специальностей
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Налоги и
налогообложение», а также направления бакалавриата «Экономика»
ББК У9(2)26-21.я7 + У9(2)262.5.я7
© Издательский центр ЮУрГУ, 2010 2
ВВЕДЕНИЕ
Цель преподавания финансовых вычислений – дать студентам теоретические
знания и практические навыки, необходимые для оценки эффективности таких
сделок как депозитные вклады, кредиты, операции с ценными бумагами, с
иностранной валютой и т.п. Поскольку перечисленные финансовые операции
могут осуществлять и организации, и частные лица, знание методов финансовых
вычислений полезно для решения как индивидуальных, так и корпоративных
задач.
Спецификой финансовых вычислений является учет временной ценности
денег. Поэтому областью применения соответствующей дисциплины являются
операции, связанные как непосредственно с вложением денежных средств под
проценты на определенный срок, так и с любой отсрочкой платежа в ходе
предпринимательской деятельности. Это определяет широкие возможности
использования финансовых вычислений на практике. Специалист, владеющий
методами финансовых вычислений, может оценить эффективность заключаемых
договоров и обеспечить их соответствие интересам своей организации.
Данное учебное пособие содержит лекционный материал, практикум,
методические рекомендации по изучению лекционного материала и выполнению
практических заданий, словарь, тесты и контрольные вопросы.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальностям «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит»,
«Налоги и налогообложение», а также по направлению бакалавриата
«Экономика».
Студент, приступающий к изучению дисциплины «Финансовые вычисления»,
должен обладать соответствующими знаниями по дисциплинам «Математика» и
«Экономическая теория». Знания методов финансовых вычислений являются
базовыми для изучения таких дисциплин как: «Финансы», «Финансовый
менеджмент», «Деньги, кредит, банки», «Рынок ценных бумаг».
3
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
План темы
1.1. Временная ценность денег.
1.2. Показатели результативности финансовой операции.
1.3. Операции наращения и дисконтирования.
Цель изучения темы – получение студентами общего представления о
финансовых операциях и показателях, используемых для оценки их
эффективности.
1.1. Временная ценность денег
Временная ценность денег − свойство денег, при котором их ценность зависит
от периода времени, в течение которого они будут получены.
Временная ценность денег обусловлена: 1) обесцениванием денег с течением
времени; 2) возможностью вложения денег с целью получения прибыли.
Сумма денег, которая будет получена в будущем, стоит меньше, чем та же
сумма, имеющаяся в настоящий момент. Это объясняется тем, что имеющуюся
сумму можно использовать в предпринимательской деятельности, и в будущем
она возрастет на сумму прибыли. Для определения сумм денежных потоков с
учетом временной ценности денег необходимы специальные расчеты, называемые
финансовыми вычислениями.
Финансовые вычисления применяются при предоставлении кредитов для
определения:
1) суммы процентных платежей;
2) суммы долга, включающей основной долг и процентный платеж;
3) суммы отдельного платежа в погашение кредита;
4) части отдельного платежа в погашение кредита, направленной на погашение
основного долга и на уплату процентов;
5) срока кредита, процентных и учетных ставок, если задана сумма долга
вместе с процентным платежом;
6) величины и срока консолидированного платежа (если платежи в погашение
кредита, предусмотренные ранее в кредитном договоре, по решению сторон
консолидируются);
7) величины нового платежа в погашение кредита (если по соглашению сторон
изменен срок его выплаты);
4
8) срока нового платежа в погашение кредита, если по соглашению сторон
изменена его сумма.
Финансовые вычисления применяются также при расчетах, связанных с
учетом кредитной организацией долговых обязательств, при расчетах, связанных
с инвестированием средств, при вложении средств в инвалюту, для устранения
влияния инфляции на величину денежных потоков.
Следует отметить специфику термина «учет долговых обязательств»,
применяемого в финансовых вычислениях − это выкуп долговых обязательств до
наступления срока их исполнения по стоимости равной сумме данных
обязательств за вычетом скидки, включающей процент за время от выкупа до
исполнения и комиссионные.
1.2. Показатели результативности финансовой операции
Финансовая операция – это хозяйственная операция, доход от которой
получают за счет изменения ценности денег во времени. Наиболее
распространенным видом финансовой операции является предоставление денег в
долг под проценты.
Пусть, предоставлена в долг сумма P c условием, что через время n будет
возвращена бóльшая сумма F .
Результативность данной операции можно оценить посредством расчета:
1) абсолютного показателя. Данный показатель называется процент и
рассчитывается по формуле
I = F − P.
(1.1)
Название данного показателя связано с английским происхождением и не
имеет ничего общего с математическим понятием процента как одной сотой части
числа. Процент I представляет собой прибыль кредитора от предоставления
кредита. Недостатком данного показателя является несопоставимость для
различных финансовых операций, отличающихся суммами вложенных средств и
длительностью. Поэтому применяются относительные показатели эффективности
финансовых операций;
2) относительных показателей. К ним относятся:
а) процентная ставка (ставка процента, процент, рост, норма прибыли,
доходность)
F−P
,
(1.2)
r=
P⋅n
где n – параметр времени, позволяющий перевести ставку, рассчитанную на
период равный длительности финансовой операции, в годовую.
Как видно, одним и тем же термином «процент» обозначается и процентная
ставка r, и сумма дохода от предоставления денег в кредит I;
5
б) учетная ставка (дисконт, дисконтная ставка)
d=
F −P
.
F ⋅n
(1.3)
Параметр времени n позволяет перевести ставку, рассчитанную за период
равный длительности финансовой операции в годовую. Это необходимо, так как
ставки принято выражать в расчете на год, что делает их сопоставимыми для
различных по времени финансовых операций.
Если длительность финансовой операции выражена числом дней t, то параметр
времени n принимает вид
t
n= ,
(1.4)
T
где Т – временная база в днях, то есть период, в расчете на который должна быть
задана ставка. Как правило, временная база равна длительности года, так как
используются годовые ставки.
Подставив в формулу (1.3) выражение для расчета n (1.4), получим
d=
F−P F−P T
=
⋅ .
t
F
t
F⋅
T
Последняя формула позволяет понять смысл использования в расчетах
параметра времени n.
F−P
равна учетной ставке в расчете на период, равный
Величина
F
длительности финансовой операции. Делением ее на количество дней финансовой
F −P 1
⋅ ). Умножением
операции t получим учетную ставку за один день (
F
t
учетной ставки за один день на количество дней в году Т получим годовую
учетную ставку.
Если длительность финансовой операции выражена числом месяцев m, то
параметр времени n принимает вид
n=
m
.
12
(1.5)
В этом случае определяется ставка за месяц делением ставки за период равный
длительности финансовой операции на количество месяцев финансовой операции.
Полученная месячная ставка умножается на количество месяцев в году, таким
образом, определяется годовая ставка.
6
Если длительность финансовой операции выражена числом лет L, то параметр
времени n принимает вид
n = L.
(1.6)
В данном случае годовая ставка определяется делением ставки за период
финансовой операции на количество лет в этом периоде L.
Процентная и учетная ставка взаимосвязаны. Эта взаимосвязь может быть
выявлена следующим образом. Выразим из уравнений (1.2) и (1.3) сумму долга,
включающую доход кредитора F .
Из уравнения (1.2) получим
F = P ⋅(1 + r ⋅ n ) .
(1.7)
P
1− d ⋅n
(1.8)
Из уравнения (1.3) получим
F=
тогда P ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) =
P
.
1− d ⋅n
Решая последнее уравнение относительно r и d , получим
r=
d
;
1− d ⋅n
(1.9)
d=
r
.
1+ n ⋅r
(1.10)
Кроме показателей-ставок, существуют другие относительные показатели:
1) дисконт-фактор v
P
v= .
(1.11)
F
Дисконт-фактор показывает, какую долю сумма P составляет в сумме F ;
2) индекс роста B суммы P за время n
B=
F
.
P
(1.12)
Индекс роста В показывает, во сколько раз увеличилась начальная сумма P .
Формулы индекса роста и дисконта-фактора не позволяют привести эти
показатели к единой длительности финансовой операции (например, к одному
7
году, как в случае процентной и учетной ставки), а значит, индекс роста и
дисконт-фактор не могут применяться для сравнения результативности разных по
длительности операций.
Все относительные показатели эффективности финансовой операции
измеряются либо в десятичных дробях, либо в процентах. Далее по тексту будем
выражать относительные показатели в десятичных дробях.
1.3. Операции наращения и дисконтирования
Наращение − определение суммы, включающей проценты F, по исходной
сумме P и ставке r либо d.
Исходя из формулы (1.2) (то есть с использованием процентной ставки),
наращенная сумма определится по формуле (1.7).
Исходя из формулы (1.3) (то есть с использованием учетной ставки),
наращенная сумма определится по формуле (1.8).
Искомая величина F называется наращенной суммой, а ставка r либо d −
ставкой наращения. В качестве ставки наращения может использоваться и
процентная, и учетная ставка.
Величина, на которую умножается текущая стоимость P при наращении,
называется множителем наращения. Он равен: при наращении по процентной
1
ставке ( 1 + r ⋅ n ) , при наращении по учетной ставке
.
1− d ⋅n
Дисконтирование − определение исходной суммы P по ожидаемой в будущем
к получению сумме F и ставке r либо d.
Искомая величина (то есть исходная сумма P, называется приведенной
(текущей, современной, капитализированной) стоимостью величины F, а ставка r
либо d − ставкой дисконтирования. В качестве ставки дисконтирования может
использоваться и процентная, и учетная ставка.
F называется будущей стоимостью величины P. Говорят, что капитал F
дисконтируется (или учитывается). Разность между F и P в данном случае
называется дисконтом.
Исходя из формулы (1.2) (то есть с использованием процентной ставки),
приведенная сумма Р определится по формуле
P=
F
.
1+ r ⋅n
(1.13)
Исходя из формулы (1.3) (то есть с использованием учетной ставки),
приведенная сумма определится по формуле
P = F ⋅ ( 1 − d ⋅ n ).
(1.14)
В формулах наращения и дисконтирования (1.7), (1.8), (1.13), (1.14) параметр
8
времени n позволяет выразить длительность финансовой операции в годах, что
соответствует величине ставки, которая, как правило, задается в расчете на один
год.
Величина, на которую умножается будущая стоимость F при
дисконтировании, называется множителем дисконтирования. Он равен: при
1
дисконтировании по процентной ставке
, при дисконтировании по
(1 + r ⋅ n )
учетной ставке (1 − d ⋅ n ) .
Пример 1.1.
Срок кредита 1 год. Сумма кредита 50 тыс. руб. Процентная ставка 60 %.
Требуется рассчитать все приведенные выше показатели.
Решение.
Сначала определяется сумма долга вместе с процентами, потом
рассчитываются другие показатели:
1) сумма долга определится по формуле (1.7): F =50⋅(1+0,6⋅1)=80 (тыс. руб.);
2) процент определится по формуле (1.1): I =80−50=30 (тыс. руб.);
Учетная ставка за период равный длительности финансовой операции
определится по формуле (1.3): d =(80−50)/80⋅1=0,375.
Дисконт-фактор определится по формуле (1.11): v =50/80=0,625.
Индекс роста определится по формуле (1.12): B =80/50=1,6.
Таким образом, кредитору будет возвращена сумма кредита вместе с
процентами 80 тыс. руб., из нее 30 тыс. руб. или 37,5 % представляет собой доход
кредитора. Предоставленная в долг сумма составляет 62,5 % от возвращенной
суммы. Возвращенная сумма в 1,6 раза больше предоставленной в долг.
Резюме
Финансовые вычисления применяются для определения параметров таких
операций как депозитный вклад, кредит, операции с долговыми ценными
бумагами и т.п. Спецификой финансовых вычислений является учет изменения
ценности денег во времени. Денежная единица, которая будет получена, имеет
меньшую ценность, чем имеющаяся в настоящий момент. Это обусловлено:
1) возможностью обесценения денег с течением времени;
2) возможностью вложения денег с целью получения прибыли.
Сумма денег, которая относится к настоящему моменту времени, называется
текущей (современной, капитализированной, приведенной).
Сумма денег, относящаяся к будущему моменту времени, но эквивалентная по
величине текущей стоимости, называется будущей (наращенной). Чем больше
отдален будущий момент времени от текущего, тем выше будущая стоимость
денег. Это обусловлено необходимостью обеспечения эквивалентности будущей
и текущей стоимости.
Будущая стоимость (сумма кредита вместе с процентами) превышает текущую
(сумму кредита без процентов) на величину прибыли кредитора, которая
9
называется процентом. Эффективность финансовой операции характеризуют:
1) процентная ставка – отношение процента к текущей стоимости;
2) учетная ставка – отношение процента к будущей стоимости;
3) дисконт-фактор – отношение текущей стоимости к будущей;
4) индекс роста – отношение будущей стоимости к текущей.
Определение будущей стоимости по процентной или учетной ставке и по
текущей стоимости называется наращением. Оно применяется при
предоставлении средств в долг под проценты.
Определение текущей стоимости по процентной или учетной ставке и по
будущей стоимости называется дисконтированием. Оно применяется в операциях
учета долговых обязательств, а также для предварительной оценки величины
кредита, если известна сумма, которая может быть направлена на его погашение.
Процентная и учетная ставки обычно являются годовыми. Поэтому в
финансовых вычислениях срок финансовой операции должен быть выражен в
годах.
Контрольные вопросы
1. Чем обусловлено изменение ценности денег во времени?
2. Какие существуют показатели результативности финансовых операций?
3. В чем заключается экономический смысл показателей результативности
финансовых операций?
4. В чем заключаются операции наращения и дисконтирования?
5. По каким формулам осуществляется наращение и дисконтирование?
6. Чем отличается процентная ставка от учетной?
7. Чем отличается текущая стоимость от будущей?
Тесты для самоконтроля
1. Временная ценность денег это:
1) увеличение суммы денег при осуществлении банковского вклада в
результате начисления процентов;
2) снижение ценности денег в результате инфляции;
3) зависимость ценности денег от периода их получения;
4) изменение покупательной способности денег.
2. Текущая и будущая суммы денег соотносятся следующим образом:
1) текущая стоимость превышает будущую;
2) будущая стоимость превышает текущую;
3) текущая и будущая стоимость равны;
4) их соотношение не может быть точно определено.
3. Учет кредитной организацией долговых обязательств это:
1) выкуп долговых обязательств до окончания срока их погашения;
2) перепродажа долговых обязательств до окончания срока их погашения;
3) досрочное исполнение долговых обязательств;
4) продление срока исполнения долговых обязательств.
10
4. Процентная ставка рассчитывается:
1) делением суммы процентов на будущую стоимость;
2) делением суммы процентов на текущую стоимость;
3) делением будущей стоимости на текущую;
4) делением текущей стоимости на будущую.
5. Процентная ставка – это:
1) доля суммы средств, вложенных в финансовую операцию, в сумме,
полученной по окончании финансовой операции;
2) доля процентов в сумме, полученной по окончании финансовой операции;
3) соотношение суммы процентов от финансовой операции и суммы,
вложенных в нее средств;
4) количество раз превышения суммы, полученной по окончании финансовой
операции, над суммой, вложенной в финансовую операцию.
6. Учетная ставка рассчитывается:
1) делением суммы дисконта на будущую стоимость;
2) делением суммы дисконта на текущую стоимость;
3) делением будущей стоимости на текущую;
4) делением текущей стоимости на будущую.
7. Учетная ставка – это:
1) доля суммы, вложенной в финансовую операцию, в сумме, полученной по
окончании финансовой операции;
2) доля дисконта в сумме, полученной в результате операции;
3) соотношение суммы дохода от финансовой операции и суммы, вложенных в
нее средств;
4) количество раз превышения суммы, полученной по окончании финансовой
операции, над суммой, вложенной в финансовую операцию.
8. Дисконт-фактор рассчитывается:
1) делением суммы процентов на будущую стоимость;
2) делением суммы процентов на текущую стоимость;
3) делением будущей стоимости на текущую;
4) делением текущей стоимости на будущую.
9. Дисконт-фактор – это:
1) доля суммы, вложенной в финансовую операцию, в сумме, полученной в
результате финансовой операции;
2) доля процентов в сумме, полученной по окончании финансовой операции;
3) соотношение суммы дохода от финансовой операции и суммы, вложенных в
нее средств;
4) количество раз превышения суммы, полученной по окончании финансовой
операции, над суммой, вложенной в финансовую операцию.
10. Индекс роста рассчитывается:
1) делением суммы процентов на будущую стоимость;
2) делением суммы процентов на текущую стоимость;
3) делением будущей стоимости на текущую;
4) делением текущей стоимости на будущую.
11
11. Индекс роста – это:
1) доля суммы средств, вложенных в финансовую операцию, в сумме,
полученной по окончании финансовой операции;
2) доля процентов в сумме, полученной по окончании финансовой операции;
3) соотношение суммы дохода от финансовой операции и суммы, вложенных в
нее средств;
4) количество раз превышения суммы, полученной по окончании финансовой
операции, над суммой, вложенной в финансовую операцию.
12. Процент, как абсолютный и как относительный показатель
рассчитывается (два ответа):
1) как разность между будущей и текущей стоимостью;
2) как отношение суммы процентов к будущей стоимости;
3) как отношение суммы процентов к текущей стоимости;
4) как отношение будущей стоимости к текущей.
13. Синонимы термина «учетная ставка» (два ответа):
1) норма прибыли;
2) дисконт;
3) дисконтная ставка;
4) рост.
14. Синонимы термина «процентная ставка» (два ответа):
1) норма прибыли;
2) дисконт;
3) дисконтная ставка;
4) процент.
15. Чтобы привести длительность финансовой операции в соответствие с
величиной ставки (процентной или учетной), надо ее выразить:
1) в днях;
2) в месяцах;
3) в кварталах;
4) в годах.
16. Синоним термина «приведенная стоимость» (два ответа):
1) сумма долга с процентами;
2) современная стоимость;
3) дисконтированная сумма;
4) наращенная сумма.
17. Синонимы термина «будущая стоимость» (два ответа):
1) сумма долга с процентами;
2) приведенная стоимость;
3) дисконтированная сумма;
4) наращенная сумма.
18. При одинаковой наращенной сумме процентная и учетная ставки:
1) равны;
2) процентная ставка меньше учетной;
3) процентная ставка больше учетной;
12
4) в различных ситуациях процентная и учетная ставки могут соотноситься поразному.
19. Наращение это (два ответа):
1) расчет будущей стоимости с использованием процентной ставки;
2) расчет будущей стоимости с использованием учетной ставки;
3) расчет текущей стоимости с использованием процентной ставки;
4) расчет текущей стоимости с использованием учетной ставки.
20. Дисконтирование это (два ответа):
1) расчет будущей стоимости с использованием процентной ставки;
2) расчет будущей стоимости с использованием учетной ставки;
3) расчет текущей стоимости с использованием процентной ставки;
4) расчет текущей стоимости с использованием учетной ставки.
21. Временная база это:
1) длительность финансовой операции;
2) число дней в году;
3) период, в расчете на который задана ставка;
4) средняя длительность аналогичных финансовых операций.
ТЕМА 2. НАРАЩЕНИЕ ПРОСТЫМИ ПРОЦЕНТАМИ
План темы
2.1. Простой и сложный процент.
2.2. Способы начисления процентов.
2.3. Наращение с использованием процентной ставки.
2.3.1. Основные формулы.
2.3.2. Расчеты при изменении суммы вклада на счете.
2.3.3. Расчеты при неизвестной текущей стоимости.
2.3.4. Расчеты при изменяющейся ставке.
2.3.5. Расчеты при реинвестировании.
2.4. Наращение с использованием учетной ставки.
2.4.1. Основные формулы.
2.4.2. Сопоставление динамики наращения по процентной и по учетной ставке.
2.4.3. Расчеты при изменяющейся ставке.
2.5. Определение срока кредита и величины ставки.
Цель изучения темы – получение знаний о методах определения параметров
финансовых операций, связанных с наращением.
13
2.1. Простой и сложный процент
Существуют две основные схемы начисления процентов:
1) простой процент, при этом проценты начисляются на первоначальную
сумму вклада без учета начисленных и не востребованных процентов;
2) сложный процент, при этом проценты начисляются на общую сумму
вклада, включая сумму ранее начисленных и не востребованных процентов.
2.2. Способы начисления процентов
При определении продолжительности финансовой операции день выдачи и
день погашения кредита принимается за один день.
В зависимости от того, чему принимается равной продолжительность года
(квартала, месяца), существуют два варианта процентов:
1) точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365
или 366), в квартале, в месяце;
2) обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа
дней в году, в квартале, в месяце (соответственно 360, 90, 30).
При определении продолжительности финансовой операции также возможны
два варианта:
1) берется точное число дней финансовой операции;
2) берется приблизительное число дней финансовой операции (исходя из
продолжительности месяца − 30 дней).
Для подсчета точного числа дней финансовой операции используются
специальные таблицы (приложения А и Б), в которых дни в году последовательно
пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется
вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.
Сочетание способа определения продолжительности финансовой операции и
вида процентов называют способом начисления процентов. Способ начисления
процентов записывают в виде обыкновенной дроби. В числителе этой дроби
указывается признак продолжительности финансовой операции, а в знаменателе –
признак вида процентов (величина временной базы Т). Существуют следующие
способы начисления процентов:
1) точный процент и точное число дней финансовой операции (обозначается
365/365 или АСТ/АСТ);
2) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции
(обозначается 365/360 либо АСТ/360);
3) обыкновенный процент и приближенное число дней финансовой операции
(обозначается 360/360).
Обозначение АСТ представляет собой сокращение английского слова actual –
действительный, точный.
14
2.3. Наращение с использованием процентной ставки
2.3.1. Основные формулы
Данный вид наращения используется при краткосрочных кредитах
(длительностью не более года). К таким видам кредитов относятся:
краткосрочный кредит в банке, потребительский кредит, ломбардный кредит.
Рассмотрим схему наращения по простому проценту.
Как правило, процентная ставка является годовой, то есть проценты
начисляются один раз в год.
Пусть предоставленная в долг сумма денег равна P , требуемая доходность −
r . При схеме начисления простыми процентами предоставленная в долг сумма
денег ежегодно увеличивается на величину P ⋅ r .
Таким образом, размер долга F через n лет будет равен
F = P + P ⋅ r ⋅ n = P ⋅ ( 1 + r ⋅ n ).
(2.1)
Процент (также называется процентным платежом) при использовании
процентной ставки I r определится по формуле
I r = P ⋅ n ⋅ r.
(2.2)
Как было отмечено, размерности r и n должны быть согласованы. То есть,
если ставка годовая, то и период финансовой операции должен быть выражен в
годах. Например,
t
(2.3)
F = P ⋅ ( 1 + ⋅ r ),
T
t
где
– продолжительность финансовой операции, выраженная в годах.
T
Пример 2.1.
Срок кредита 60 дней. Сумма кредита 200 тыс. руб. Процентная ставка 20 %
годовых. Расчет ведется способом 360/360.
Требуется найти сумму процентного платежа.
Решение.
По формуле (2.2) I r = 200⋅0,2⋅60/360 = 6,7 (тыс. руб.).
Таким образом, доход от предоставления денег в долг составит 6,7 тыс. руб.
2.3.2. Расчеты при изменении суммы вклада на счете
Формулу для определения процентного платежа можно представить в виде
Ir = P ⋅
t
⋅ r.
T
15
(2.4)
Разделив числитель и знаменатель формулы (2.4) на r, получим
Ir = P ⋅
t
P ⋅t P ⋅t
⋅r =
=
,
T
D
T
r
(2.5)
где P ⋅ t − процентное число;
D = T − дивизор (процентный ключ, постоянный делитель).
r
Дивизор D численно равен такому количеству рублей (или других денежных
единиц), с которого при процентной ставке r получается 1 руб. дохода в день.
Это можно пояснить следующим образом. r − процентная ставка за один день.
T
Сумма процентного платежа за один день рассчитывается по формуле I r = P ⋅ r .
T
Исходя из определения дивизора, сумма процентного платежа за один день
должна быть равна одному рублю. Тогда формула для расчета процентного
платежа примет вид 1 = P ⋅ r . Из полученного уравнения следует, что P − это
T
такая сумма, от предоставления которой в долг величина дохода за один день
равна 1 рублю. Решая данное уравнение относительно P, получим формулу для
расчета дивизора P = T = D .
r
Рассмотрим, как применяются при практических расчетах процентные числа и
дивизор. Сумма на счете может меняться в результате поступлений и изъятий
денег. Для того чтобы найти общую сумму начисленных процентов за некоторый
срок, вначале определяют процентные числа за каждый промежуток времени,
когда сумма на счете не менялась. Затем, все процентные числа складывают и
полученное значение делят на дивизор. Сумма процентов определяется по
формуле
j=J
Ir =
j=J
tj
∑ Pj ⋅ T
j =1
⋅r =
j=J
j=J
∑ Pj ⋅ t j
r
1
j =1
⋅ ∑ Pj ⋅ t j = ⋅ ∑ Pj ⋅ t j =
T j =1
D j =1
D
,
(2.6)
где j − условный номер поступления или изъятия денег со счета. Наибольшее
значение j (J) равно количеству поступлений и изъятий денег со счета;
D − дивизор.
Рассмотрим расчет процентного платежа, если сумма на счете менялась.
Пример 2.2.
В день открытия сберегательного счета на счет поступила сумма 5 тыс. руб.,
через 20 дней после открытия счета поступило еще 25 тыс. руб., через 5 дней
после поступления счет был закрыт. Процентная ставка 10 % годовых.
Применяется способ 365/360.
Требуется определить сумму начисленных процентов.
16
Решение:
1) определяется сумма процентных чисел
j=J
∑ Pj ⋅ t j :
j =1
5 тыс. руб.⋅20 дн.+(5 тыс. руб.+25 тыс. руб.)⋅5 дн. = 250 (тыс. руб.⋅дн.);
2) по формуле T рассчитывается дивизор: 360 дн./0,1 = 3600 (дн.);
r
3) по формуле (2.6) рассчитывается сумма процентов:
250 тыс.руб.⋅дн./3600 дн.=0,069 тыс.руб.=69 (руб.).
2.3.3. Расчеты при неизвестной текущей стоимости
При вычислении процентного платежа не всегда известна исходная величина
капитала P . Возможны ситуации (например, при залоговых операциях), что
известна либо только величина кредита, увеличенная на процентный платеж (то
есть P + I r ), либо уменьшенная на процентный платеж (то есть P − I r ).
Если известна величина кредита, увеличенная на процентный платеж (то есть
F = P + I r ), то сумма процентного платежа определяется следующим образом.
Сумма процентного платежа определяется по формуле I r = P ⋅ r ⋅ n . В данной
формуле неизвестна сумма кредита P .
Сумма кредита P может быть выражена из формулы для расчета общей
суммы кредита, увеличенной на процентный платеж F: F = P + P ⋅ r ⋅ n . Отсюда
. Сумма процентного платежа определится по формуле
P=F
1+ r ⋅n
Ir =
F ⋅r⋅n
.
(1 + r ⋅ n )
(2.7)
Пример 2.3.
Найти величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода
некоторой суммы денег он получил от заемщика в совокупности 6,3 тыс. руб. При
этом применялась простая процентная ставка 10 % годовых.
Решение:
1) производится вывод формулы (2.7);
2) по формуле (2.7) I r = 6,3⋅0,5⋅0,1/(1+0,5⋅0,1) = 0,3 (тыс. руб.).
Таким образом, доход кредитора составил 300 руб.
Если известна величина K = P − I r , то процентный платеж определяется
следующим образом.
I
I
I r = P ⋅ r ⋅ n . Отсюда P = r . Тогда K = r − I r . Отсюда
r⋅n
r⋅n
Ir =
K
1
−1
r⋅n
=
17
K ⋅r ⋅n
.
1− r ⋅n
(2.8)
Пример 2.4.
При выдаче кредита удержаны проценты. Клиент получил на руки 10 тыс. руб.
Простая процентная ставка 20 % годовых. Срок кредита − 3 месяца. Используется
способ 360/360. Определить общую сумму долга, включающую проценты.
Решение.
1) производится вывод формулы (2.8);
2) по формуле (2.8) определяется сумма процентного платежа:
3
10 ⋅ 0,2 ⋅
12 = 0,526 (тыс. руб.).
Ir =
3
1 − 0,2 ⋅
12
Определяется общая сумма долга: P =10+0,526=10,526 (тыс. руб.).
2.3.4. Расчеты при изменяющейся ставке
Финансовое соглашение может предусматривать изменяющуюся во времени
процентную ставку. Рассмотрим, как в общем случае будет определяться
наращенная сумма F .
Пусть rk − процентная ставка на период nk . Тогда приращение вклада за
период nk составит P ⋅ nk ⋅ rk . Если таких периодов m , то наращенная сумма за
все эти периоды составит
F = P + P ⋅ n1 ⋅ r1 + P ⋅ n2 ⋅ r2 + K + P ⋅ nk ⋅ rk =
k =m
= P ⋅ ( 1 + n1 ⋅ r1 + n2 ⋅ r2 + K + nk ⋅ rk ) = P ⋅ ( 1 + ∑ nk ⋅ rk )
k =1
.
(2.9)
2.3.5. Расчеты при реинвестировании
Реинвестирование (капитализация) − присоединение начисленных процентов
к вкладу. Рассмотрим, как в общем случае будет определяться наращенная сумма
при реинвестировании.
Через время n1 наращенная сумма будет равна F1 = Р ⋅ ( 1 + r1 ⋅ n1 ) , после чего
она будет переоформлена на следующий срок длительностью n2 , процентная
ставка в котором будет равна r2 . Через время n2 наращенная сумма станет
равной величине: F2 = F1 ⋅ ( 1 + n2 ⋅ r2 ) = P × ( 1 + n1 ⋅ r1 ) ⋅ ( 1 + n2 ⋅ r2 ). Аналогично, за
m периодов при реинвестировании наращенная сумма составит
Fm = Fm−1 ⋅ ( 1 + nm ⋅ rm ) =
= P ⋅ ( 1 + n1 ⋅ r1 ) ⋅ ( 1 + n2 ⋅ r2 ) ⋅K⋅ ( 1 + nm ⋅ rm ) =
k =m
= P ⋅ ∏( 1 + nk ⋅ rk ).
k =1
18
(2.10)
2.4. Наращение с использованием учетной ставки
2.4.1. Основные формулы
Данный вид наращения применяется, в частности, при определении суммы,
которую нужно написать в векселе (номинальной стоимости векселя), если задана
величина долга. Наращенная сумма при использовании учетной ставки
определяется по формуле
P
(2.11)
F=
.
(1− n ⋅ d )
Приращение капитала при использовании учетной ставки I d вычисляется по
формуле
P
P⋅n⋅d
Id =
−P=
.
(2.12)
1− n ⋅d
1− n ⋅d
2.4.2. Сопоставление динамики наращения по процентной и по учетной
ставке
При наращении капитала на основе простой процентной ставки r капитал P
ежегодно увеличивается на одну и ту же величину P ⋅ r . Так, за первый год
исходная сумма возрастет на величину P ⋅ ( 1 + 1 ⋅ r ) − P = P ⋅ r , за второй год − на
величину P ⋅ ( 1 + 2 ⋅ r ) − P ⋅ ( 1 + 1 ⋅ r ) = P ⋅ r , и так далее.
При применении наращения на основе простой учетной ставки d величина
процентов с каждым годом увеличивается.
Так, по формуле (2.12) приращение капитала за первый год составит
ΔI d 1 = I d 1 =
P⋅d
,
1− d
(2.13)
где I d 1 – сумма процентов за первый год.
Приращение капитала за второй год составит
2⋅P⋅d P⋅d
P⋅d
=
ΔI d 2 = I d 2 − I d 1 =
−
,
1 − 2 ⋅ d 1 − d ( 1 − d ) ⋅ ( 1 − 2d )
(2.14)
где I d 2 – сумма процентов за второй год.
Приращение капитала за третий год составит
3⋅ P ⋅ d 2 ⋅ P ⋅ d
P⋅d
ΔI d 3 = I d 3 − I d 2 =
−
.
=
1 − 3 ⋅ d 1 − 2 ⋅ d ( 1 − 2d ) ⋅ ( 1 − 3d )
19
(2.15)
За k-й год капитал увеличится на величину
ΔI dk =
k ⋅ P ⋅ d ( k −1)⋅ P ⋅ d
P⋅d
−
=
,
1 − k ⋅ d 1 − ( k − 1 ) ⋅ d (1 − ( k − 1 ) ⋅ d ) ⋅ ( 1 − k ⋅ d )
(2.16)
1
1− d
Следовательно, I d 2 = I d 1 ⋅
, Id 3 = Id 2 ⋅
.
1 − 2d
1 − 3d
То есть I dk = I dk −1 ⋅
Поскольку
1−(k − 2)⋅d
.
1− k ⋅d
1− ( k − 2 )⋅ d 1− k ⋅ d + 2 ⋅ d
=
> 1 , то I dk > I d ( k −1 ) .
1− k ⋅d
1− k ⋅d
Пример 2.5.
На капитал в 3 млн. руб. в течение трех лет осуществляется наращение
простыми процентами по учетной ставке 12 %.
Требуется найти приращение первоначального капитала за каждый год и
общую наращенную сумму.
Решение.
Общая наращенная сумма определится по формуле (2.11):
F =3/(1−3⋅0,12) = 4,68 (млн. руб.);
Приращение капитала за три года составит: I d =4,68−3=1,68 (млн. руб.).
Приращения за каждый год:
I d 1 = 3⋅0,12/(1−0,12)=0,4090 (млн. руб.) (по формуле (2.13));
I d 2 = 3⋅0,12/[(1−0,12)⋅(1−2×0,12)]=0,5383 (млн. руб.) (по формуле (2.14));
I d 3 =3⋅0,12/(1−2⋅0,12)⋅(1−3⋅0,12)=0,7401 (млн. руб.) (по формуле (2.15)).
Таким образом, приращение капитала за три года составило 1,68 млн. руб. и от
года к году увеличивалось.
Простая учетная ставка дает более быстрый рост, чем такая же по величине
процентная ставка, так как учетная ставка определяется относительно
наращенной суммы (F), а процентная – относительно исходной суммы (P).
2.4.3. Расчеты при изменяющейся ставке
Учетные ставки могут изменяться. Пусть на период nk установлена учетная
ставка d k . Тогда дисконт за период n k равен величине F ⋅ nk ⋅ d k . Если таких
m
(то есть,
k = 1 + 2 + ... + m ), то дисконт за время
периодов
k =m
n = n1 + n2 + K + nm = ∑ nk определяется по формуле
k =1
20
k =m
I d = F ⋅ n1 ⋅ d1 + F ⋅ n2 ⋅ d 2 + K + F ⋅ nm ⋅ d m = F ⋅ ∑ nk ⋅ d k .
k =1
Следовательно,
k =m
P = F − F ⋅ ∑ nk ⋅ d k .
k =1
(2.17)
(2.18)
Наращенная сумма определится по формуле
P
F=
k =m
.
(2.19)
1 − ∑ nk ⋅ d k
k =1
2.5. Определение срока кредита и величины ставки
При заключении кредитных договоров может возникнуть необходимость
определения срока кредита, величин процентных и учетных ставок.
Например, заемщику требуется некоторая сумма P. Он знает, что по истечении
определенного срока n он сможет погасить кредит вместе с процентами в сумме
F. Необходимо определить процентную ставку, при которой это возможно.
В таких случаях процентная и учетная ставки определяются по формулам (1.2)
и (1.3).
Срок кредита определится из формулы (2.1) (при использовании процентной
ставки) и из формулы (2.2) при использовании учетной ставки:
n=
F −P
,
P⋅r
(2.20)
n=
F −P
.
F ⋅d
(2.21)
По формулам (2.20) и (2.21) срок финансовой операции определится в годах.
Он может быть переведен в дни или месяцы умножением на количество дней или
месяцев в году.
Резюме
Существуют две основные схемы начисления процентов:
1) простой процент, при этом проценты начисляются на первоначальную
сумму вклада, без учета начисленных и не востребованных процентов;
2) сложный процент, при этом проценты начисляются с общей суммы вклада,
включая сумму ранее начисленных и не востребованных процентов.
21
В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года
(квартала, месяца), существуют два варианта процентов:
1) точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365
или 366), в квартале, в месяце;
2) обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа
дней в году, в квартале, в месяце (соответственно 360, 90, 30).
При определении продолжительности финансовой операции также возможны
два варианта:
1) берется точное число дней финансовой операции;
2) берется приблизительное число дней финансовой операции (исходя из
продолжительности месяца − 30 дней).
Сочетание способа определения продолжительности финансовой операции и
вида процентов называют способом начисления процентов. Существуют
следующие способы начисления процентов:
1) точный процент и точное число дней финансовой операции (обозначается
365/365 или АСТ/АСТ);
2) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции
(обозначается 365/360 либо АСТ/360);
3) обыкновенный процент и приближенное число дней финансовой операции
(обозначается 360/360).
Наращение по простым процентам с использованием процентной ставки
используется при краткосрочных кредитах (длительностью не более года). К
таким видам кредитов, как правило, относятся: краткосрочный кредит в банке,
потребительский кредит, ломбардный кредит. Текущая стоимость в данном
случае равна сумме кредита. Величина процентного платежа определяется
умножением суммы кредита на процентную ставку в расчете на соответствующий
период. Наращенная величина кредита равна сумме кредита с процентами.
Наращение по простым процентам с использованием учетной ставки
применяется, в частности, при определении суммы, которую нужно написать в
векселе, если задана величина долга. Величина процентного платежа
определяется умножением суммы кредита вместе с процентами на учетную
ставку в расчете на соответствующий период.
При наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал
ежегодно увеличивается на одну и ту же величину. При применении наращения
на основе простой учетной ставки величина процентов с каждым годом
увеличивается.
Простая учетная ставка определяется относительно текущей стоимости, а
учетная ставка – относительно бóльшей по величине будущей стоимости.
Поэтому учетная ставка дает бóльшие проценты, чем такая же по величине
процентная ставка.
22
Контрольные вопросы
1. В чем отличие простого процента от сложного?
2. Что понимается под способом начисления процентов?
3. Какие существуют способы начисления процентов?
4. По какой формуле осуществляется наращение с использованием процентной
ставки?
5. По какой формуле осуществляется наращение с использованием учетной
ставки?
6. Каким образом определяется сумма процентов в случае, когда сумма вклада
на счете меняется?
7. Каким образом определяется сумма процентного платежа, если известна
сумма кредита либо увеличенная, либо уменьшенная на величину процентов?
8. Каким образом преобразуются формулы наращения по простой процентной
и по простой учетной ставке, если ставка является переменной?
9. Каким образом преобразуются формулы наращения по простой процентной
и по простой учетной ставке в случае капитализации процентов?
Тесты для самоконтроля
1. Для простого процента характерно:
1) проценты начисляются на первоначальную сумму вклада, без
начисленных и не востребованных процентов;
2) в расчет принимается точное число дней в году;
3) проценты начисляются с общей суммы вклада, включая сумму
начисленных и не востребованных процентов;
4) в расчет принимается приближенное число дней в году.
2. Для сложного процента характерно:
1) проценты начисляются на сумму вклада без процентов;
2) в расчет принимается точное число дней в году;
3) проценты начисляются на сумму вклада, включая сумму процентов;
4) в расчет принимается приближенное число дней в году.
3. Для точного процента характерно:
1) проценты начисляются на первоначальную сумму вклада, без
начисленных и не востребованных процентов;
2) в расчет принимается точное число дней в году;
3) проценты начисляются с общей суммы вклада, включая сумму
начисленных и не востребованных процентов;
4) в расчет принимается приближенное число дней в году.
4. Для обыкновенного процента характерно:
1) проценты начисляются на первоначальную сумму вклада, без
начисленных и не востребованных процентов;
2) в расчет принимается точное число дней в году;
3) проценты начисляются с общей суммы вклада, включая сумму
23
учета
ранее
учета
ранее
учета
ранее
начисленных и не востребованных процентов;
4) в расчет принимается приближенное число дней в году.
5. При определении длительности финансовой операции не используется
правило:
1) день выдачи и день погашения кредита принимаются за один день;
2) день выдачи и день погашения кредита принимаются за два дня;
3) в расчет принимается точное число дней финансовой операции;
4) в расчет принимается приближенное число дней операции.
6. К способам начисления процентов относится правило:
1) использование точного числа дней финансовой операции;
2) начисление простых процентов;
3) АСТ/АСТ;
4) 360/АСТ.
7. Не используется в финансовых расчетах способ:
1) 360/360;
2) 360/365;
3) 365/365;
4) 365/360.
8. Аббревиатура АСТ используется для обозначения (два ответа):
1) точного числа дней финансовой операции;
2) приближенного числа дней финансовой операции;
3) приближенного числа дней в году;
4) точного числа дней в году.
9. В числителе дроби, обозначающей сочетание способа определения
длительности финансовой операции и способа определения количества дней в
году, может указываться признак (два ответа):
1) точного числа дней финансовой операции;
2) приближенного числа дней финансовой операции;
3) приближенного числа дней в году;
4) точного числа дней в году.
10. В знаменателе дроби, обозначающей сочетание способа определения
длительности финансовой операции и способа определения количества дней в
году, может указываться признак (два ответа):
1) точного числа дней финансовой операции;
2) приближенного числа дней финансовой операции;
3) приближенного числа дней в году;
4) точного числа дней в году.
11. Если срок кредита 8 месяцев, простая процентная ставка 10 %, сумма
кредита 10 000 руб., то сумма процентов равна:
1) 667 руб.;
2) 800 руб.;
3) 6758 руб.;
4) 686 руб.
24
12. Если срок кредита 8 месяцев, сложная процентная ставка 10 %, сумма
кредита 10 000 руб., проценты начисляются ежемесячно, то сумма процентов
равна:
1) 666 руб.;
2) 800 руб.;
3) 6758 руб.;
4) 686 руб.
13. Синонимами термина дивизор являются (два ответа):
1) процентный делитель;
2) постоянный множитель;
3) процентный ключ;
4) постоянный делитель.
14. Дивизор рассчитывается:
1) делением процентной ставки на временную базу;
2) делением процентной ставки на число ней в году;
3) делением временной базы на процентную ставку;
4) делением числа дней в году на процентную ставку.
15. Процентное число рассчитывается:
1) умножением суммы вклада (без процентов) на количество дней нахождения
его на счете;
2) умножением суммы вклада (без процентов) на временную базу;
3) умножением суммы вклада с процентами на количество дней пребывания
его на счете;
4) умножением суммы вклада с процентами на временную базу;
16. Если сумма вклада на счете меняется, то величина процентов
определяется:
1) делением суммы процентных чисел на дивизор;
2) умножением суммы процентных чисел на дивизор;
3) сложением суммы процентных чисел и дивизора;
4) вычитанием из суммы процентных чисел дивизора.
17. При использовании простой процентной ставки сумма начисляемых
процентов от одного периода их начисления к другому:
1) может изменяться по-разному;
2) уменьшается;
3) увеличивается;
4) не изменяется (одинакова в каждом периоде).
18. При использовании простой учетной ставки сумма начисляемых
процентов от одного периода их начисления к другому:
1) не изменяется (одинакова в каждом периоде);
2) уменьшается;
3) увеличивается;
4) может изменяться по-разному в зависимости от конкретной финансовой
операции.
25
ТЕМА 3. ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ КРЕДИТ
План темы
3.1. Вариант начисления процентов на первоначальную сумму кредита.
3.2. Вариант начисления процентов на непогашенную часть кредита.
Цель изучения темы – получение знаний о методах начисления процентов и
методах определения параметров финансовых операций, связанных с
потребительскими кредитами.
Потребительский кредит − это кредит, предоставляемый банком или
торговой организацией физическим лицам на потребительские нужды.
Существуют следующие основные способы расчета процентных платежей при
продаже товара в кредит:
1) проценты начисляются на всю цену товара. При этом фактическая
процентная ставка оказывается больше процентной ставки, предусмотренной
договором, поскольку величина долга по мере его погашения уменьшается, а
проценты уже начислены на его первоначальную сумму;
2) проценты начисляются каждый раз на непогашенную часть цены товара.
Рассмотрим, как определяется общая величина долга, суммы погасительных
платежей, суммы процентов в составе погасительных платежей.
3.1. Начисление процентов на всю первоначальную сумму кредита
Сумма долга определяется по формуле наращения по простым процентам:
F = P ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) . Долг погашается равными платежами в течение всего срока
кредита. Сумма одного погасительного платежа равна
q=
F
,
m
(3.1)
где m − количество погасительных платежей.
Сумма погасительного платежа включает часть, идущую на погашение
основного долга и часть, идущую на погашение процентов. Наиболее
распространен случай, когда часть погасительного платежа, идущая на погашение
процентов, в течение срока кредита снижается. То есть, сумма уплачиваемых
процентов в составе первого погасительного платежа наибольшая, затем, от
одного погасительного платежа к другому, она снижается, и в последнем
погасительном платеже она наименьшая. Схема с убывающей величиной
процентного платежа выгодна кредитору, так как при досрочном погашении
кредита заемщик заплатит большую сумму процентов, чем, если бы проценты
погашались равномерно или увеличивались.
26
Долю каждого погасительного платежа, идущую на погашение процентов и на
погашение основного долга можно определить, используя «правило 78».
«Правило 78» применяется в такой последовательности.
Шаг 1. Находится сумма порядковых номеров всех платежей по формуле
K = 1 + 2 + K + k посл =
1 + k посл
⋅ k посл ,
2
(3.2)
где k посл − последний порядковый номер.
Например, срок потребительского кредита равен одному году, погасительные
платежи осуществляются ежемесячно. Тогда сумма порядковых номеров
погасительных платежей составит 78: (1+2+3+…+12) = (12+1)⋅12/2 = 78.
Шаг 2. Определяется часть общей суммы процентов, приходящаяся на каждый
погасительный платеж. Часть первого погасительного платежа, идущая на уплату
процентов
k
(3.3)
I1 = I ⋅ ,
K
где I − общая сумма процентов;
k − порядковый номер последнего платежа.
Часть первого погасительного платежа, идущая на погашение основного долга,
равна
d1 = q − I1 .
(3.4)
Часть второго погасительного платежа, идущая на уплату процентов
определяется по формуле
k −1
I2 = I ⋅
.
K
(3.5)
Для третьего погасительного платежа
I3 = I ⋅
k −2
.
K
(3.6)
1
общей суммы процентов включительно.
K
Сумма всех этих дробей равна единице. Так, если сумма порядковых номеров
погасительных платежей равна 78, то часть первого погасительного платежа,
идущая на погашение процентов, будет равна 12/78 от общей суммы процентов
(то есть 12 ⋅ I ). На погашение основного долга пойдет оставшаяся часть
78
погасительного платежа (то есть q − 12 ⋅ I ).
78
И так далее, до части, равной
27
Второй погасительный платеж пойдет на погашение 11/78 общей суммы
процентов и т.д. Последний погасительный платеж пойдет на погашение 1/78
общей суммы процентов.
При распределении общей суммы процентов между погасительными
платежами можно использовать любую последовательность дробей (в том числе и
возрастающую), лишь бы их сумма была равна единице.
Пример 3.1.
Товар ценой 10 тыс. руб. продается в кредит, оплата осуществляется в
рассрочку. Срок кредита − три месяца с ежемесячными погасительными
платежами. Процентная ставка 20 % годовых. Начисляются простые проценты на
всю первоначальную сумму долга. Часть погасительного платежа, идущая на
погашение процентов в течение срока кредита снижается.
Определить:
1) сумму долга с процентами;
2) сумму одного погасительного платежа;
3) часть каждого погасительного платежа, идущую на погашение основного
долга и на уплату процентов.
Решение:
1) по формуле наращения простыми процентами (2.1) определяется сумма
долга с процентами: F =10+10⋅0,2⋅3/12=10,5 (тыс. руб.);
2) по формуле (3.1) рассчитывается сумма одного погасительного платежа:
q=10,5/3=3,5 (тыс. руб.);
3) рассчитываются части погасительных платежей за каждый месяц, идущие
на погашение процентов и основного долга.
Общая сумма процентов равна 10,5−10=0,5 (тыс. руб.).
Число погасительных платежей равно трем. Сумма порядковых номеров
погасительных платежей равна 1+2+3=6.
По формуле (3.3) рассчитывается часть первого погасительного платежа,
которая идет на уплату процентов: I1 =0,5⋅3/6=0,25 (тыс. руб.).
По формуле (3.4) рассчитывается часть первого погасительного платежа,
которая идет на погашение основного долга: d1 =3,5−0,25=3,25 (тыс. руб.).
Аналогичные расчеты производятся за второй и третий месяц по формулам
(3.5) и (3.6):
I 2 =0,5⋅2/6=0,17 (тыс. руб.);
d 2 =3,5−0,17=3,33 (тыс. руб.);
I 3 =0,5⋅1/6=0,08 (тыс. руб.);
d 3 =3,5−0,08=3,42 (тыс. руб.).
Проверка:
сумма
долга
без
учета
процентов
равна
d1 + d 2 + d3 =3,25+3,33+3,42=10 (тыс. руб.). Общая сумма процентов равна
I1 + I 2 + I 3 =0,25+0,17+0,08=0,5 (тыс. руб.).
28
3.2. Начисление процентов на непогашенную часть кредита
Процентные платежи рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга.
Основной долг погашается равными суммами. За счет уменьшения процентов
сумма погасительных платежей от периода к периоду снижается.
Рассмотрим пример (в общем виде). Пусть срок потребительского кредита
равен n лет. Погасительные платежи вносятся каждые l месяцев.
12
Количество погасительных платежей в году равно
раз.
l
12
Всего погасительных платежей за срок кредита m = ⋅ n . Тогда за период l
l
месяцев начисляются проценты в размере
I1 =
P⋅l ⋅r
.
12
(3.7)
За следующие l месяцев начисляются проценты на остаток долга
I2 = ( P −
1
P l ⋅r P ⋅r ⋅l
)⋅
=
⋅ ( 1 − ).
m 12
m
12
(3.8)
Процентные платежи за следующие l месяцев
I3 = ( P −
2
2P l ⋅ r P ⋅ r ⋅ l
)⋅
=
⋅ ( 1 − ).
m 12
m
12
(3.9)
Последний раз проценты начисляются в размере
Im = ( P −
( m −1)
( m −1)⋅ P l ⋅ r P ⋅ r ⋅ l
=
).
⋅(1 −
)⋅
m
12
12
m
(3.10)
Проценты, приходящиеся на z-й погасительный платеж
Iz =
P ⋅r ⋅l
( z −1)
⋅(1−
).
m
12
(3.11)
Общая величина процентных платежей равна сумме этих платежей
s =m
1
2
P ⋅l ⋅r
m −1
)).
⋅(1 + (1 − ) + (1 − ) + K + (1 −
I = ∑ Is =
12
m
m
m
s =1
29
(3.12)
В скобках формулы (3.12) получена арифметическая прогрессия. Сумма
членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле
a + an
Sn = 1
⋅n,
2
где a1 и a n − первый и последний члены арифметической прогрессии;
n − количество членов арифметической прогрессии.
В данном случае первый член арифметической прогрессии равен 1. Последний
член арифметической прогрессии равен ⎛1− m −1 ⎞.
⎜
⎝
⎟
m ⎠
Количество членов арифметической прогрессии равно m.
По формуле суммы членов арифметической прогрессии получим
(1+ (1−
m −1
1
2
) + (1− ) +K+ (1−
)) =
m
m
m
m −1
)
m ⋅m = m +1.
2
2
1+ (1−
(3.13)
Формула общей суммы процентных платежей (3.12) примет вид
I=
P ⋅ r ⋅l m +1
⋅
.
12
2
(3.14)
Пример 3.2.
Условия предыдущего примера, но проценты начисляются на непогашенную
сумму долга.
Решение:
1) определяется сумма процентов по формуле (3.14):
I=10⋅0,2⋅1⋅(3+1)/24=0,33 (тыс. руб.);
2) по формулам (3.7), (3.8) и (3.9) определяются суммы процентов,
выплачиваемых в суммах погасительных платежей за каждый месяц:
I1 =10⋅0,2⋅1/12=0,17 (тыс. руб.);
I 2 =(1-1/3)⋅10⋅0,2⋅1/12=0,11 (тыс. руб.);
I 3 =(1-2/3)⋅10⋅0,2⋅1/12=0,05 (тыс. руб.);
5) часть каждого погасительного платежа, идущая на погашение основного
долга, равна:
d1 = d 2 = d 3 =10/3=3,33 (тыс. руб.);
6) суммы первого, второго и третьего погасительных платежей равны:
q1 =3,33+0,17=3,5 (тыс. руб.);
q2 =3,33+0,11=3,44 (тыс. руб.);
q3 =3,33+0,05=3,38 (тыс. руб.).
30
Проверка: сумма всех погасительных платежей должна быть равна сумме
долга вместе с процентами 3,5+3,44+3,38=10,32 (тыс. руб.).
Резюме
Потребительский кредит − это кредит, предоставляемый банком или торговой
организацией физическим лицам на потребительские нужды.
Существуют два способа расчета процентных платежей при продаже товара в
кредит.
При первом способе проценты начисляются на всю сумму потребительского
кредита, независимо от того, что кредит погашается. Кредит погашается равными
платежами. Сумма погасительного платежа включает часть, идущую на
погашение основного долга, и часть, идущую на погашение процентов. Наиболее
распространен случай, когда часть, идущая на погашение процентов, от платежа к
платежу снижается. Схема с убывающей величиной процентного платежа
выгодна кредитору, так как при досрочном погашении кредита заемщик заплатит
большую сумму процентов, чем, если бы проценты погашались равномерно или
увеличивались. Часть каждого погасительного платежа, идущую на погашение
процентов и на погашение основного долга, можно определить, используя
«правило 78». Общая сумма процентов определяется умножением суммы кредита
на процентную ставку, приведенную в соответствие сроку кредита. Согласно
«правилу 78» сумма процентов в составе одного погасительного платежа
определяется умножением общей суммы процентов на дробь. В знаменателе этой
дроби находится сумма порядковых номеров погасительных платежей. Числитель
этой дроби от одного платежа к другому изменяется. Так, при схеме с убывающей
величиной процентов для первого погасительного платежа числитель дроби
наибольший и равен порядковому номеру последнего платежа. Для второго
погасительного платежа числитель дроби на единицу меньше, чем для первого и
т.д., а для последнего платежа равен единице. Сумма этих дробей должна быть
равна единице.
Сумма одного погасительного платежа определяется делением общей суммы
кредита с процентами на количество погасительных платежей. Часть
погасительного платежа, идущая на погашение основного долга, определяется
вычитанием из суммы погасительного платежа его части, идущей на погашение
процентов.
При втором способе проценты начисляются каждый раз на непогашенную
часть долга. Основной долг погашается равными суммами. За счет уменьшения
процентов сумма погасительных платежей от периода к периоду снижается.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под термином «потребительский кредит»?
2. Какие способы начисления процентов при потребительском кредите Вам
известны?
31
3. Каким образом определяются сумма одного погасительного платежа, его
части, идущие на уплату процентов и основного долга, сумма кредита вместе с
процентами, общая сумма процентов, когда проценты начисляются на всю сумму
кредита?
4. Каким образом определяются сумма одного погасительного платежа, его
части, идущие на уплату процентов и основного долга, сумма кредита вместе с
процентами, общая сумма процентов, когда проценты начисляются на
непогашенную часть кредита?
Тесты для самоконтроля
1. Для начисления процентов на первоначальную сумму потребительского
кредита характерно (два ответа):
1) уменьшение суммы погасительного платежа;
2) неизменная величина погасительного платежа;
3) увеличение суммы погасительного платежа;
4) применение «правила 78».
2. Для начисления процентов на непогашенную сумму потребительского
кредита характерно (два ответа):
1) уменьшение суммы погасительного платежа;
2) неизменная величина погасительного платежа;
3) увеличение суммы погасительного платежа;
4) уменьшение суммы процентов в составе погасительного платежа от одного
платежа к другому.
3. При начислении процентов на первоначальную сумму потребительского
кредита часть погасительного платежа, идущая на уплату процентов,
определяется:
1) делением общей суммы процентов на количество погасительных платежей;
2) по «правилу 78»;
3) по правилу финансовой эквивалентности;
4) умножением непогашенной суммы кредита на процентную ставку и на
длительность периода от одного погасительного платежа до другого.
4. При начислении процентов на непогашенную сумму потребительского
кредита часть погасительного платежа, идущая на уплату процентов,
определяется:
1) делением общей суммы процентов на количество погасительных платежей;
2) по «правилу 78»;
3) по правилу финансовой эквивалентности;
4) умножением непогашенной суммы кредита на процентную ставку и на
длительность периода от одного погасительного платежа до другого.
5. При начислении процентов на первоначальную сумму потребительского
кредита часть погасительного платежа, идущая на погашение основного долга,
от одного платежа к другому:
32
1) может изменяться по-разному, но, как правило, увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется;
4) может изменяться по-разному, но, как правило, уменьшается.
6. При начислении процентов на непогашенную сумму потребительского
кредита часть погасительного платежа, идущая на погашение основного долга,
от одного платежа к другому:
1) может изменяться по-разному, но, как правило, увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется;
4) может изменяться по-разному, но, как правило, уменьшается.
7. При начислении процентов на всю сумму потребительского кредита общая
сумма процентов определяется:
1) умножением суммы потребительского кредита на процентную ставку и на
длительность предоставления кредита;
2) умножением суммы потребительского кредита на учетную ставку и на
длительность предоставления кредита;
3) умножением суммы потребительского кредита вместе с процентами на
процентную ставку и на длительность предоставления кредита;
4) умножением суммы погасительного платежа на процентную ставку и на
длительность предоставления кредита.
8. Общая сумма процентов при начислении их на непогашенную сумму
потребительского кредита определяется:
1) умножением суммы потребительского кредита на процентную ставку и на
длительность предоставления кредита;
2) умножением суммы потребительского кредита на учетную ставку и на
длительность предоставления кредита;
3) умножением суммы потребительского кредита вместе с процентами на
процентную ставку и на длительность предоставления кредита;
4) сложением процентов, начисленных на суммы кредита, остающиеся после
каждого погасительного платежа.
9. При начислении процентов на первоначальную сумму потребительского
кредита сумма одного погасительного платежа определяется:
1) делением первоначальной суммы потребительского кредита на количество
погасительных платежей и умножением на процентную ставку за
соответствующий период;
2) делением суммы потребительского кредита вместе с процентами на число
погасительных платежей;
3) делением суммы потребительского кредита на количество погасительных
платежей и прибавлением суммы процентов, уплачиваемых в составе
соответствующего погасительного платежа;
4) делением суммы потребительского кредита с процентами на количество
погасительных платежей и умножением на учетную ставку.
33
10. При начислении процентов на непогашенную сумму потребительского
кредита сумма одного погасительного платежа определяется:
1) делением первоначальной суммы потребительского кредита на количество
погасительных платежей и умножением на процентную ставку за
соответствующий период;
2) делением суммы потребительского кредита вместе с процентами на число
погасительных платежей;
3) делением суммы потребительского кредита на количество погасительных
платежей и прибавлением суммы процентов, уплачиваемых в составе
соответствующего погасительного платежа;
4) делением суммы потребительского кредита с процентами на количество
погасительных платежей и умножением на учетную ставку.
ТЕМА 4. ДИСКОНТИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
УЧЕТНОЙ СТАВКИ
Цель изучения темы – получение знаний о методах оценки параметров
финансовых операций, связанных с учетом векселей банком.
Дисконтирование с использованием учетной ставки называется банковским
дисконтированием, коммерческим дисконтированием или банковским учетом и
используется при учете векселей банком.
Вексель − ценная бумага, удостоверяющая ничем не обусловленное
обязательство векселедателя (простой вексель) или иного указанного в векселе
плательщика (переводной вексель) выплатить по наступлении предусмотренного
векселем срока полученные взаймы деньги (Гражданский кодекс РФ, ст. 815).
Вексель представляет собой форму привлечения заемных средств. В векселе
указывается сумма, включающая проценты по векселю и основной долг.
Учет векселя (дисконтирование векселя) − покупка банком векселя до срока
его погашения по цене меньше суммы, указанной в векселе на величину скидки
(дисконта).
Рассмотрим операцию учета векселя.
Векселедержатель предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его.
При учете векселя банк выплачивает векселедержателю сумму P , которая
меньше обозначенной в векселе на величину скидки. Скидка определяется в
процентах от указанной в векселе суммы F.
Сумма P , которую получает векселедержатель при учете векселя, называется
дисконтированной величиной векселя.
Проценты, то есть скидка, называется дисконтом.
34
Дисконт I d равен процентам, начисленным на сумму погашения векселя F за
время n от дня учета до дня погашения по учетной ставке d.
Id = F ⋅ n ⋅ d ,
(4.1)
P = F − I d = F − F ⋅ n ⋅ d = F ⋅ ( 1 − n ⋅ d ).
(4.2)
Владелец векселя получит
Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360 (АСТ/360)
(обыкновенный процент с точным числом дней от учета до погашения векселя).
Для того, чтобы операция учета векселя была выгодна для векселедержателя,
необходимо, чтоб дисконтированная величина векселя P превышала стоимость
приобретения векселя векселедержателем Р1 . Стоимость Р1 может являться либо
номинальной, либо рыночной. Таким образом, должно выполняться неравенство
Р f Р1 .
(4.3)
Используя формулу (4.2), данное неравенство можно представить в виде
F − F ⋅ n ⋅ d f P1 .
(4.4)
Отсюда можно определить наибольший срок от учета до погашения векселя,
при котором при заданной учетной ставке векселедатель будет иметь доход от
операции учета векселя
F − P1
.
(4.5)
np
F ⋅d
Пример 4.1.
Вексель на сумму 10 тыс. руб. был выдан на 150 дней, при этом
предусматривалось начисление на указанную сумму процентов по процентной
ставке 16 % годовых способом АСТ/АСТ. За 80 дней до погашения вексель был
учтен банком по учетной ставке 12 % годовых способом 365/360.
Определить сумму дисконта, полученного банком.
Решение:
1) по формуле (2.3) находим сумму, которая должна быть выплачена
предъявителю векселя при его погашении:
F =10⋅(1+0,16⋅150/365)=10,658 (тыс. руб.);
2) дисконт, полученный банком, определится по формуле (4.1):
I d =10,658⋅0,12⋅80/360=0,284 (тыс. руб.).
Таким образом, банк приобрел вексель со скидкой 284 руб. от будущей суммы
векселя.
35
Резюме
Дисконтирование с использованием учетной ставки называется банковским
дисконтированием, коммерческим дисконтированием или банковским учетом и
используется при учете векселей банком.
Учет векселя (дисконтирование векселя) − покупка банком векселя до срока
его погашения по цене меньше суммы, указанной в векселе на величину скидки
(дисконта). Скидка определяется в процентах от указанной в векселе суммы, то
есть от суммы долга по векселю, включающей проценты.
Сумма, которую получает векселедержатель при учете векселя, называется
дисконтированной величиной векселя. Операция учета векселя выгодна
векселедержателю, если дисконтированная величина векселя превышает
стоимость его приобретения.
Контрольные вопросы
1. Что понимается под банковским дисконтированием (банковским учетом,
коммерческим дисконтированием)?
2. Каково определение векселя?
3. Что понимается под учетом векселя?
4. Каким образом определяется дисконтированная величина векселя?
5. Какое условие должно выполняться, чтобы операция учета векселя была
выгодна векселедержателю?
6. Каким образом можно вывести формулу для расчета наибольшего срока от
учета до погашения векселя, при котором операция учета векселя выгодна
векселедержателю?
7. Каким образом можно вывести формулу для расчета наибольшей учетной
ставки, при которой операция учета векселя выгодна векселедержателю?
Тесты для самоконтроля
1. Под банковским дисконтированием понимается:
1) выдача банком векселя;
2) дисконтирование с использованием процентной ставки;
3) дисконтирование с использованием учетной ставки;
4) предоставление банком кредита.
2. Синонимом термина «коммерческое дисконтирование» не является:
1) банковское дисконтирование;
2) математическое дисконтирование;
3) банковский учет;
4) учет долговых обязательств.
3. Дисконт при учете векселя это:
1) скидка при приобретении векселя банком;
2) сумма процентов по векселю, причитающихся векселедержателю;
36
3) величина, определяемая умножением суммы, указанной в векселе, на
учетную ставку и на длительность периода от учета до погашения векселя;
4) сумма, выплачиваемая векселедержателю при учете векселя.
4. Дисконтированная величина векселя это:
1) скидка при приобретении векселя банком;
2) сумма процентов по векселю, причитающихся векселедержателю;
3) величина, определяемая умножением суммы, указанной в векселе, на
учетную ставку за соответствующий период;
4) сумма, выплачиваемая векселедержателю при учете векселя.
5. При учете векселя зависимость величины скидки от срока между учетом и
погашением векселя:
1) прямая;
2) обратная;
3) отсутствует;
4) косвенная.
6. Операция учета векселя выгодна векселедержателю если:
1) сумма, указанная в векселе, превышает стоимость его продажи;
2) сумма, указанная в векселе, меньше стоимости его продажи;
3)
стоимость
приобретения
векселя
векселедержателем
меньше
дисконтированной величины векселя;
4)
стоимость
приобретения
векселя
векселедержателем
больше
дисконтированной величины векселя.
ТЕМА 5. ОЦЕНКА ОПЕРАЦИЙ С ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТОЙ
Цель изучения темы – оценка доходности и других параметров операций типа
«конвертация → наращение → конвертация».
Если есть возможность обмена валют, то возникают вопросы: оставлять ли
деньги в данном виде валюты и, поместив их на депозит, получать доход при
наращении процентами согласно процентной ставке для конкретного вида
свободно-конвертируемой валюты (СКВ)? Или же конвертировать валюту, чтобы
использовать ожидаемое изменение валютного курса и различие процентных
ставок? Для ответа на эти вопросы проводятся нижеследующие расчеты.
Рассмотрим поэтапно финансовую операцию следующего типа:
1) обмен рублей в количестве P* на СКВ и получение в результате суммы P ;
2) помещение полученной суммы P на банковский депозит, наращение
простых процентов по ставке r и получение в результате наращенной суммы F ;
3) конвертирование наращенной суммы F в рубли и получение при этом
окончательно суммы F* .
Определим доходность данной операции в виде процентной ставки.
37
Обозначения: n − срок депозита; K0 − курс покупки СКВ в начале операции;
K п − курс продажи СКВ в конце операции.
Исходная сумма в СКВ равна
*
(5.1)
P=P
K0
Наращенная сумма в СКВ равна
P* ⋅ ( 1 + r ⋅ n )
F = P ⋅(1 + r ⋅ n ) =
K0
(5.2)
Наращенная сумма, переведенная в рубли, равна
F* = F ⋅ Kп .
(5.3)
P* ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) ⋅ K п
F =
.
K0
(5.4)
Отсюда
*
Обозначим
Kп
= k . Тогда формула (5.4) примет вид
K0
F * = P* ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) ⋅ k .
(5.5)
Процентная ставка за весь срок финансовой операции определяется по
формуле
r⋅n =
F * − P*
P*
.
(5.6)
Процентная ставка за один год равна
r=
F * − P*
P* ⋅ n
.
(5.7)
Подставляя в формулу для определения процентной ставки выражение для
расчета F * , получим формулу доходности данной операции:
38
r=
P* ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) ⋅ K п
− P*
K0
*
P ⋅n
( 1 + r ⋅ n ) ⋅ Kп
−1
K0
(1 + r ⋅ n )⋅ k −1
=
=
n
n
(5.8)
Используя формулу (5.8), можно определить критическое значение k , при
(1 + r ⋅ n ) ⋅ k − 1
котором доходность r данной операции будет равна нулю:
= 0,
n
отсюда
1
k=
.
(5.9)
1+ n ⋅r
Из формулы (5.9) можно определить критическое значение курса продажи:
Kп =
K0
.
1+ n ⋅r
(5.10)
В начале данной финансовой операции значение курса продажи неизвестно.
Полезно знать его значение, при котором конвертация не дает никакой
дополнительной выгоды. То есть сумма дохода, полученная от вложения денег в
рублях на депозит, равна доходу от рассматриваемой операции. Введем
обозначения r ′ − простая процентная ставка по депозитам в рублях, F ′ −
наращенная сумма при осуществлении депозитного вклада в рублях. Тогда
F ′ = P* ⋅ ( 1 + n ⋅ r ′ ) .
Рассматриваемая
финансовая
операция
не
даст
дополнительной выгоды, если F * = F ′ . То есть,
P* ⋅ ( 1 + r ⋅ n ) ⋅ K п
= P* ⋅ ( 1 + n ⋅ r ′ ) .
K0
Таким образом, курс продажи СКВ, при котором сумма, наращенная в
результате двойной конвертации и вложения денег на валютный депозит, равна
наращенной сумме при осуществлении депозитного вклада в рублях,
определяется по формуле
Kп = K0 ⋅
1 + n ⋅ r′
.
1+ n ⋅ r
(5.11)
Итак, если предполагается, что курс продажи СКВ в конце финансовой
1 + n ⋅ r′
, то данную операцию целесообразно
операции будет больше, чем K 0 ⋅
1+ n ⋅r
осуществлять. Если курс продажи СКВ в конце финансовой операции будет
39
меньше или равен K 0 ⋅
1 + n ⋅ r′
, то осуществлять данную операцию не имеет
1+ n ⋅r
смысла.
Если используется учетная ставка, то доходность данной операции можно
определить используя формулу d =
F * − P*
*
.
F ⋅n
Данный подход к определению доходности применим для всех финансовых
операций типа «конвертация → наращение → конвертация».
В общем случае значение курса продажи СКВ, начиная с которого двойная
конвертация не имеет смысла, можно определить следующим образом.
Обозначим: A1 и A2 − множители наращения на валютных депозитах, на
которых помещены суммы СКВ1 и СКВ2 ( A1 = 1 + n ⋅ r1 , A2 = 1 + n ⋅ r2 ); K 0 и K п −
курсы покупки и продажи СКВ1 в единицах СКВ2 в начале и в конце финансовой
операции. Тогда после соответствующей замены в формуле (5.11) получим
А
Кп = К0 ⋅ 2 .
А1
(5.12)
Пример 5.1.
Сумма 100 000 руб. обменяна на доллары по курсу 25 руб./долл. Полученная
сумма долларов помещена на валютном депозите на срок 6 месяцев. Годовая
процентная ставка по долларовому депозиту − 10 %, по рублевому депозиту −
15 %. По истечении срока вклада полученная сумма вместе с процентами
обменяна на рубли. Курс продажи долларов составил 28 руб./долл.
Определить:
1) доходность данной операции в виде процентной ставки;
2) критический курс продажи долларов, при котором доходность данной
операции равна нулю;
3) значение курса продажи долларов, при котором помещение средств на
валютный депозит и двойная конвертация не дают дополнительной выгоды, то
есть доход от помещения средств на рублевый депозит равен доходу от
рассматриваемой операции.
Решение:
1) по формуле (5.1) определяется сумма валюты, приобретенная на
100 000 руб. ( P ):
P =100 000/25 = 4000 (долл.);
2) по формуле (5.2) определяется наращенная сумма на валютном
депозите ( F ):
F =4000⋅(1+0,1⋅6/12)=4200 (долл.);
3) по формуле (5.3) определяется сумма рублей, полученная в обмен на
доллары ( F * ):
F * =4200⋅28=117 600 (руб.);
40
4) по формуле (5.7) определяется доходность данной операции ( r ):
r =(117 600−100 000)/(100 000⋅6/12)=0,352;
5) определяется критический курс продажи долларов, при котором доходность
операции равна нулю.
Для этого выведем формулу для расчета доходности рассматриваемой
операции в виде процентной ставки (аналогично формулам (5.1) – (5.8)):
*
P=P
K0
;
F = P ⋅(1 + n ⋅ r ) ;
P*
F = F ⋅ Kп =
⋅ (1 + n ⋅ r ) ⋅ Kп ;
K0
*
r=
F * − P*
P* ⋅ n
=
Исходя из условия
приравниваем к нулю
P*
⋅ ( 1 + n ⋅ r ) ⋅ Kп − P*
K0
P* ⋅ n
задачи,
(1 + n ⋅ r ) ⋅ Kп
−1
K0
=
.
n
доходность
рассматриваемой
операции
(1 + n ⋅ r ) ⋅ Kп
−1
K0
= 0;
n
отсюда K п =
K0
25
=
= 23,8 (руб./долл.).
1 + n ⋅ r 1 + 0,1 ⋅ 6
12
Таким образом, если за время финансовой операции (6 месяцев) курс доллара
снизится от 25 руб./долл. до 23,8 руб./долл., то финансовая операция не принесет
ни прибыли, ни убытка. Если же курс будет ниже 23,8 руб./долл., то финансовая
операция будет убыточной;
6) определяется курс продажи доллара, при котором доходность данной
операции равна доходности при рублевом депозитном вкладе. Для этого формулу
доходности рассматриваемой операции приравняем к процентной ставке по
рублевым депозитам r ′
41
(1 + n ⋅ r ) ⋅ Kп
−1
K0
r′ =
;
n
Kп =
K0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r′ )
=
1+ n ⋅r
25 ⋅ ( 1 + 0,15 ⋅
1 + 0,1 ⋅
6
12
6
)
12 = 25,6 (руб./долл.).
Таким образом, если за время финансовой операции (6 месяцев) курс доллара
не повысится от 25 руб./долл. до более, чем 25,6 руб./долл., то финансовая
операция не будет иметь смысла, так как больший доход даст непосредственное
наращение на рублевом депозите, без конвертации суммы в рублях в доллары.
Пример 5.2.
Клиент собирается поместить в банке 2000 долл. на рублевом депозите сроком
на полгода под 14 % годовых. Курс продажи долларов на начало срока составляет
25 руб./долл., ожидаемый курс покупки через полгода – 28 руб./долл. процентная
ставка при долларовом депозите − 12 %. При любом депозите начисляются
простые проценты.
Требуется:
1) найти наращенную сумму: а) при конвертации валюты; а) непосредственно
на валютном депозите;
2) выяснить наибольшее значение курса, выше которого нет смысла в
конвертации при перемещении денежных средств на депозит.
Обозначения: P* − первоначальное количество долларов; P − количество
рублей, полученное в обмен на доллары; F − наращенная сумма в рублях; F * −
наращенная сумма в долларах; K 0 − курс доллара в начале операции; K п − курс
доллара в конце операции.
Решение:
1) определяем сумму в рублях, которая получена в обмен на доллары:
P = P* ⋅ K 0 = 2000⋅25=50 000 (руб.);
2) определяем наращенную сумму в рублях:
F = P ⋅ ( 1 + n ⋅ r ) =50 000⋅(1+0,14⋅6/12) = 53 500 (руб.);
3) определяем наращенную сумму в долларах:
F* = F
=53 500/28=1910,7 (долл.).
Kп
От данной операции получен убыток в сумме:
2000−1910,7=89,3 (долл.) или 89,3⋅28=2500,4 (руб.);
4) определяем наращенную сумму при вложении средств на долларовый
депозит:
2000⋅(1+0,12⋅6/12)=2120 (долл.).
42
Таким образом, наращение на долларовом депозите дает большую сумму, чем
наращение на рублевом депозите и двойная конвертация. Наращение на
долларовом депозите принесет прибыль в сумме 2120−2000=120 (долл.);
5) определяем наибольшее значение курса продажи, выше которого
конвертация не имеет смысла. В этом случае доходность рассматриваемой
операции (выраженная процентной ставкой) будет равна доходности долларового
депозита.
Выведем формулу для расчета доходности рассматриваемой операции в виде
процентной ставки (аналогично формулам (5.1) – (5.8)).
Сумма долларов, конвертированная в рубли
P = P* ⋅ K 0 .
Наращенная сумма в рублях
F = P ⋅ ( 1 + n ⋅ r ) = P* ⋅ K 0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r ) .
Наращенная сумма в рублях, конвертированная в доллары
P* ⋅ K 0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r )
F
F =
=
.
Kп
Кп
*
Доходность рассматриваемой операции в виде процентной ставки
r=
F * − P*
*
P ⋅n
=
P* ⋅ K 0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r )
− P*
Kп
*
P ⋅n
=
K0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r ) − Кп
Kп ⋅ n
.
Определим курс покупки доллара, при котором доходность данной операции
равна доходности при долларовом депозитном вкладе. Для этого формулу
доходности рассматриваемой операции приравняем к процентной ставке по
долларовым депозитам r ′
rдолл = r , то есть,
K0 ⋅ ( 1 + n ⋅ r ) − К п
= rдолл ;
Kп ⋅ n
6
)
К0 ⋅ ( 1 + r ⋅ n )
12
=
Кп =
= 25,23 ( руб . / долл.).
6
1 + rдолл ⋅ n
( 1 + 0,12 ⋅ )
12
43
25 ⋅ ( 1 + 0,14 ⋅
Следовательно, если курс покупки доллара в конце финансовой операции
составит 25,23 руб./долл., то конвертация долларов в рубли и их наращение на
рублевом депозите не имеет смысла, так как доходность этой операции будет
равна доходности при наращении непосредственно на долларовом депозите.
Если курс покупки доллара в конце финансовой операции будет превышать
25,23 руб./долл., то эффективность рассматриваемой финансовой операции будет
ниже, чем наращение на долларовом депозите.
Таким образом, чтобы операция по конвертации долларов в рубли, по
размещении их на рублевом депозите на 6 месяцев и по обратной конвертации
рублей в доллары была целесообразной, необходимо, чтобы через полгода курс
доллара не превысил 25,23 руб./долл.
Резюме
Рассмотрена операция с СКВ, включающая следующие этапы:
1) конвертация в другой вид СКВ;
2) помещение полученной суммы на депозит и наращение по ставке,
установленной для соответствующего вида СКВ;
3) конвертация наращенной суммы в исходный вид СКВ.
Эффективность данной операции можно оценить путем расчета процентной
или учетной ставки. Процентная ставка определяется делением дохода от
рассматриваемой операции на сумму, имеющуюся в начале первого этапа.
Учетная ставка определяется делением дохода от рассматриваемой операции на
сумму, имеющуюся по окончании третьего этапа. Доход от рассматриваемой
операции определяется как разность между суммами, имеющимися по окончании
третьего и на начало первого этапа.
Рассмотрены методы расчета критических курсов продажи СКВ, при которых:
1) доходность рассматриваемой операции равна нулю;
2) конвертация не дает никакой дополнительной выгоды, то есть сумма
дохода, полученная от вложения денег в исходной СКВ на депозит, равна доходу
от рассматриваемой операции.
Контрольные вопросы
1. Каким образом можно оценить доходность операции с СКВ типа
«конвертация → наращение → конвертация»?
2. Каким образом можно определить критический курс продажи СКВ, при
котором доходность операции типа «конвертация →наращение→конвертация»
равна нулю?
3. Каким образом можно определить критический курс продажи СКВ, при
котором сумма дохода, полученная от вложения денег в исходной СКВ на
депозит, равна доходу от операции типа «конвертация → наращение →
конвертация»?
44
Тесты для самоконтроля
1. Процентная ставка, характеризующая доходность операции типа
«конвертация → наращение → конвертация» рассчитывается:
1) делением процента на сумму, имеющуюся на начало операции;
2) делением процента от наращения на сумму, имеющуюся по окончании
операции;
3) делением разности между суммами, имеющимися на начало и на конец
операции в исходной валюте, на сумму, имеющуюся на начало операции;
4) делением разности между суммами, имеющимися на начало и на конец
операции в исходной валюте, на сумму, имеющуюся на конец операции.
2. Учетная ставка, характеризующая доходность операции типа
«конвертация → наращение → конвертация» рассчитывается:
1) делением процента от наращения на сумму, имеющуюся на начало
операции;
2) делением процента от наращения на сумму, имеющуюся по окончании
операции;
3) делением разности между суммами, имеющимися на начало и на конец
операции в исходной валюте, на сумму, имеющуюся на начало операции;
4) делением разности между суммами, имеющимися на начало и на конец
операции в исходной валюте, на сумму, имеющуюся на конец операции.
ТЕМА 6. ЗАМЕНА И КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
План темы
6.1. Замена платежей при использовании процентной ставки.
6.2. Консолидация платежей при использовании процентной ставки.
6.3. Замена платежей при использовании учетной ставки.
6.4. Консолидация платежей при использовании учетной ставки.
Цель изучения темы – получение знаний о методах оценки параметров
финансовых операций при замене или консолидации платежей.
Возникают ситуации, когда участники финансового соглашения вынуждены
менять сроки платежей, объединять несколько платежей в один (консолидация
платежей).
При замене и консолидации платежей руководствуются принципом
финансовой эквивалентности, который означает, что в результате любых
изменений ни один из участников сделки не должен терпеть убыток.
45
6.1. Замена платежей при использовании процентной ставки
При замене платежей принцип финансовой эквивалентности реализуется через
взаимосвязь суммы и срока нового платежа. С увеличением срока платежа
увеличивается и его сумма, поскольку на нее начисляются проценты. В свою
очередь, если задана сумма платежа, то можно вычислить его срок.
Пусть, платеж F1 со сроком n1 требуется заменить платежом F0 со сроком n0 .
Сроки измеряются от одного момента времени. Наращение осуществляется по
простой процентной ставке r . Необходимо определить сумму нового платежа F0 .
Если известна сумма долга без процентов Р, то расчет F0 осуществляется по
формуле наращения простыми процентами с использованием процентной ставки
F0 = P ⋅ (1 + r ⋅ n0 ) .
(6.1)
Если сумма долга без процентов не известна, то она предварительно
определяется дисконтированием F1
Р=
F1
.
1 + r ⋅ n1
(6.2)
При известной сумме нового платежа F0 его срок n0 может быть определен из
формулы (6.1).
6.2. Консолидация платежей при использовании процентной ставки
При консолидации платежей принцип финансовой эквивалентности
реализуется через составление уравнения эквивалентности, согласно которому
сумма заменяемых платежей, приведённых к одному моменту времени,
приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому
же моменту времени.
Пусть, платежи F1 , F2 , ..., Fm со сроками, соответственно, n1 , n2 , ..., nm ,
заменяются одним платежом F0 со сроком n0 . Приведенная стоимость
консолидированного платежа равна сумме приведенных стоимостей
запланированных ранее платежей, что выражает уравнение финансовой
эквивалентности
k =m F
F0
k
.
= ∑
1 + n0 ⋅ r k =1 1 + nk ⋅ r
(6.3)
Из уравнения (6.3) можно определить сумму и срок консолидированного
платежа:
46
k =m
Fk
,
k =1 1 + n k ⋅ r
F0 = (1 + n0 ⋅ r ) × ∑
(6.4)
⎛
⎞
⎜
⎟
F0
1 ⎜
− 1⎟ .
n0 = ⋅
⎜
⎟
=
k
m
r
Fk
⎜ ∑
⎟
+
⋅
n
r
1
k
⎝ k =1
⎠
(6.5)
Формулой (6.5) можно воспользоваться, если выполняется неравенство
k =m F
k
, то есть сумма консолидированного платежа больше суммы
F0 f ∑
k =1 1 + n k ⋅ r
запланированных ранее платежей.
6.3. Замена платежей при использовании учетной ставки
Если известна сумма долга без процентов Р, то расчет F0 осуществляется по
формуле наращения простыми процентами с использованием учетной ставки
F0 =
P
.
(1 − d ⋅ n0 )
(6.6)
Если сумма долга без процентов не известна, то она предварительно
определяется дисконтированием F1
Р = F1 ⋅ (1 − d ⋅ n1 ) .
(6.7)
При известной сумме нового платежа P0 его срок n0 может быть определен из
формулы (6.6).
6.4. Консолидация платежей при использовании учетной ставки
Учетная ставка используется при консолидации векселей.
Составляется уравнение эквивалентности, которое представляет собой
равенство приведенных стоимостей первоначальных и консолидированной суммы
F0 × ( 1 − n0 ⋅ d ) =
k =m
∑ Fk ⋅ ( 1 − nk ⋅ d ) ,
k =1
47
(6.8)
Из уравнения финансовой эквивалентности получим:
m
∑ Fk ⋅ ( 1 − nk ⋅ d )
F0 = k =1
( 1 − n0 ⋅ d )
,
m
⎛
⎞
⎜
∑ Fk ⋅ ( 1 − nk ⋅ d ) ⎟
⎟
1 ⎜
n 0 = ⋅ ⎜1 − k =1
⎟,
d ⎜
F0
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
где F0 f
k =m
∑ Fk ⋅ ( 1 − nk ⋅ d ) ,
(6.9)
(6.10)
то есть сумма консолидированного платежа должна
k =1
быть больше суммы заменяемых платежей.
Резюме
При замене и консолидации платежей руководствуются принципом
финансовой эквивалентности, который означает, что в результате любых
изменений ни один из участников сделки не должен терпеть убыток.
При замене платежей принцип финансовой эквивалентности реализуется через
взаимосвязь суммы и срока нового платежа. С увеличением срока платежа
увеличивается и его сумма, поскольку на нее начисляются проценты. В свою
очередь, если задана сумма платежа, то можно вычислить его срок. Расчет суммы
и срока нового платежа осуществляется, исходя из формулы наращения по
процентной или учетной ставке.
При консолидации платежей принцип финансовой эквивалентности
реализуется через составление уравнения эквивалентности, согласно которому
приведенная стоимость консолидированного платежа равна сумме приведенных
стоимостей запланированных ранее платежей. Исходя из данного уравнения,
определяются сумма и срок консолидированного платежа.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается принцип финансовой эквивалентности?
2. Каким образом при замене платежей определяется сумма нового платежа?
3. Каким образом при замене платежей определяется срок нового платежа?
4. Каким образом при консолидации платежей определяется сумма нового
платежа?
5. Каким образом при консолидации платежей определяется срок нового
платежа?
48
Тесты для самоконтроля
1. Принцип финансовой эквивалентности заключается:
1) в неизменности сумм платежей до и после их замены или консолидации;
2) в обеспечении соблюдения интересов всех участников сделки;
3) в неизменности величины дохода кредитора до и после замены или
консолидации платежей;
4) в неизменности процентной или учетной ставки при замене или
консолидации платежей.
2. Принцип финансовой эквивалентности при замене платежей реализуется
(два ответа):
1) через изменение суммы платежа в соответствии с изменением его срока;
2) через составление уравнения финансовой эквивалентности;
3) через неизменность процентной или учетной ставки при замене платежа;
4) через изменение срока платежа в соответствии с изменением его суммы.
3. Принцип финансовой эквивалентности при консолидации платежей
реализуется:
1) через изменение суммы платежа в соответствии с изменением его срока;
2) через составление уравнения финансовой эквивалентности;
3) через неизменность процентной или учетной ставки при замене платежа;
4) через изменение срока платежа в соответствии с изменением его суммы.
4. При замене платежей сумма нового платежа определяется:
1) наращением исходной суммы долга;
2) дисконтированием исходной суммы долга;
3) исходя из уравнения финансовой эквивалентности;
4) сложением неизменной суммы дохода кредитора и новой суммы погашения
основного долга.
5. Сумма консолидированного платежа определяется:
1) наращением исходной суммы долга;
2) дисконтированием исходной суммы долга;
3) исходя из уравнения финансовой эквивалентности;
4) сложением неизменной суммы дохода кредитора и новой суммы погашения
основного долга.
6. При замене платежей срок нового платежа определяется:
1) исходя из формулы наращения;
2) исходя из формулы дисконтирования;
3) исходя из уравнения финансовой эквивалентности;
4) делением общей суммы долга на среднюю сумму его погашения за один
день.
7. Срок консолидированного платежа определяется:
1) исходя из формулы наращения;
2) исходя из формулы дисконтирования;
3) исходя из уравнения финансовой эквивалентности;
4) делением общей суммы долга на сумму его погашения за один день.
49
II. ПРАКТИКУМ
ТЕМА 1. ЛОГИКА ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Задача 1.1.
Сумма кредита 10 000 (руб.). Сумма процентного платежа 2000 (руб.). Срок
кредита 1 год.
Определить: процентную ставку, учетную ставку, дисконт-фактор, индекс
роста суммы кредита.
Ответы: процентная ставка 0,2, учетная ставка 0,17, дисконт-фактор 0,83,
индекс роста суммы кредита 1,2.
Задача 1.2.
Сумма кредита 40 000 руб. Срок кредита 7 месяцев.
Определить сумму кредита вместе с процентами, если:
1) процентная ставка 10 % годовых;
2) учетная ставка 10 % годовых.
Ответы: 1) 42 333 (руб.); 2) 42 478 (руб.).
Задача 1.3.
Определить учетную ставку, при которой наращенная сумма равна
наращенной сумме при использовании процентной ставки:
1) 10 %;
2) 30 %.
Ответы: 1) 0,09 (9 %); 2) 0,23 (23 %).
Задача 1.4.
Будущая стоимость равна 75 000 руб.
Определить текущую (приведенную) стоимость, величину процента и
дисконта, если: 1) процентная ставка 15 %; 2) учетная ставка 15 %.
Ответы: 1) текущая стоимость 65 217 руб.; процент 9783 руб.; 2) текущая
стоимость 63 750 руб.; дисконт 11 250 руб.
ТЕМА 2. НАРАЩЕНИЕ ПРОСТЫМИ ПРОЦЕНТАМИ
2.1. Наращение простыми процентами
с использованием процентной ставки
Задача 2.1.1.
Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. руб. на один год. Процентная
ставка 24 % годовых. Проценты выплачиваются ежемесячно.
Определить, какую сумму клиент будет получать каждый месяц?
Ответ 0,07 тыс. руб.
50
Задача 2.1.2.
Предоставлен кредит в сумме 60 тыс. руб. Срок кредита с 10 февраля по 10
августа (год не високосный). Процентная ставка 25 % годовых.
Рассчитать разными способами сумму к погашению.
Ответы: 67,500 тыс. руб. (при способе 360/360); 67,541 тыс. руб. (при
способе 365/360); 67,438 тыс. руб. (при способе 365/365).
Задача 2.1.3.
Сумма кредита 10 тыс. руб. Процентная ставка 21 %. Срок кредита с 5 марта
по 21 сентября того же года. Применяется способ 365/365.
Определить сумму процентного платежа.
Ответ 1,15 тыс. руб.
Задача 2.1.4.
Сумма, полученная в погашение кредита вместе с процентами равна
150 тыс. руб. Срок кредита 9 месяцев. Простая процентная ставка 25 %.
Определить сумму кредита и сумму процентного платежа.
Ответы: сумма кредита 126,3 тыс. руб., сумма процентов 23,7 тыс. руб.
Задача 2.1.5.
При выдаче кредита удержаны проценты. Сумма кредита за вычетом
процентов равна 30 тыс. руб. Простая процентная ставка 25 %. Срок кредита с 6
июля по 14 сентября того же года. Используется способ 365/360.
Определить общую сумму долга Р, включающую кредит и проценты.
Ответ 31,533 тыс. руб.
Задача 2.1.6.
Сберегательный счет был открыт 15 февраля, и на него была зачислена сумма
5 тыс. руб.
10 апреля на счет поступили 3 тыс. руб.
20 мая со счета были сняты 2 тыс. руб.
1 сентября добавлена сумма 1 тыс. руб.
4 декабря счет был закрыт.
Все операции осуществлялись в течение года (невисокосного). Процентная
ставка равна 12 % годовых. Используется способ 365/360.
Определить сумму, полученную клиентом при закрытии счета.
Ответ 7,624 тыс. руб.
Задача 2.1.7.
Сумма вклада 15 тыс. руб. Срок вклада 2 года. Простая процентная ставка
20 % в первый год, каждые последующие пол года ставка повышается на 3 %.
Найти наращенную сумму.
Ответ 21,675 тыс. руб.
Задача 2.1.8.
Исходные данные задачи 2.7, но одновременно с изменением процентной
ставки происходит капитализация процентов.
Ответ 22,679 тыс. руб.
51
2.2. Наращение простыми процентами
с использованием учетной ставки
Задача 2.2.1.
Сумма кредита равна 100 тыс. руб. Срок кредита 4 года. Простая учетная
ставка 15 %.
Найти сумму процентов, начисленных за каждый год, общую сумму
процентов, сумму долга вместе с процентами.
Ответы:
1) сумма процентов: за первый год 17,647 тыс. руб.; за второй год
25,210 тыс. руб.; за третий год 38,961 тыс. руб.; за четвертый год 68,182
тыс. руб.;
2) общая сумма процентов 150 тыс. руб.;
3) сумма долга вместе с процентами 250 тыс. руб.
2.3. Определение срока кредита и величины ставки.
Задача 2.3.1.
Банк учитывает вексель за 210 дней до срока погашения по учетной ставке
12 %, используя способ 365/360.
Определить доходность такой операции по процентной ставке при способе
365/365.
Ответ 0,14.
Задача 2.3.2.
Определить время, за которое капитал в 3 тыс. руб. при простых процентах
возрастет до 3,6 тыс. руб., если используется: 1) процентная ставка 10 %;
2) учетная ставка 15 %.
Ответы: 1) 2 года; 2) 1,11 года.
Задача 2.3.3.
Определить срок, на который клиент банка может взять кредит в размере 4
тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвращаемой
суммы не превышала 4,2 тыс. руб. Процентная ставка 12 % годовых.
Используется способ 365/365.
Ответ 152 дня.
ТЕМА 3. ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ КРЕДИТ
Задача 3.1.
Товар ценой 20 тыс. руб. продается в кредит с оплатой в рассрочку. Срок
кредита 1 год. Погашение кредита осуществляется ежеквартально равными
платежами. Проценты начисляются на первоначальную сумму долга. Процентная
ставка 18 % годовых. Сумма, идущая на погашение процентов в составе
погасительных платежей, от платежа к платежу увеличивается.
52
Определить сумму погасительного платежа и часть каждого погасительного
платежа, идущую на погашение основного долга и на погашение процентов.
Ответы:
1) сумма одного погасительного платежа 5,9 тыс. руб.;
2) части погасительных платежей, идущие на погашение основного долга и
процентов, соответственно:
для первого платежа 5,54 тыс. руб. и 0,36 тыс. руб.;
для второго платежа 5,18 тыс. руб. и 0,72 тыс. руб.;
для третьего платежа 4,82 тыс. руб. и 1,08 тыс. руб.;
для четвертого платежа 4,46 тыс. руб. и 1,44 тыс. руб.
Задача 3.2.
Условие задачи 3.1, но проценты начисляются каждый раз на оставшуюся
сумму долга.
Ответы:
1) сумма одного погасительного платежа и его часть, идущая на погашение
процентов, соответственно:
для первого платежа 5,9 тыс. руб. и 0,9 тыс. руб.;
для второго платежа 5,68 тыс. руб. и 0,68 тыс. руб.;
для третьего платежа 5,45 тыс. руб. и 0,45 тыс. руб.;
для четвертого платежа 5,23 тыс. руб. и 0,23 тыс. руб.;
2) часть каждого погасительного платежа, идущая на погашение основного
долга 5 тыс. руб.
ТЕМА 4. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
Задача 4.1.
Банк учел вексель на сумму 80 тыс. руб. за 123 дня до срока погашения
векселя. Учетная ставка 30 %.
Найти сумму, которую векселедатель получит от банка (дисконтированную
величину векселя).
Ответ 71,8 тыс. руб.
Задача 4.2.
Сумма долга по векселю 35 тыс. руб. На эту сумму начисляются простые
проценты, процентная ставка 20 % годовых. При этом используется способ
365/365. Срок погашения векселя 300 дней.
Определить наибольший срок от учета до погашения векселя, при котором
векселедатель будет иметь доход от операции учета векселя, если учетная ставка
равна 45 % годовых.
Ответ 113 дней.
53
ТЕМА 5. ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ ОПЕРАЦИЙ
С ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТОЙ
Задача 5.1.
Сумма 150 000 руб. обменяна на доллары по курсу 27 руб./долл. Полученная
сумма долларов помещена на валютном депозите на срок 4 месяца. Годовая
процентная ставка по долларовому депозиту – 9 %, по рублевому 16 %. По
истечение срока вклада полученная сумма вместе с процентами обменяна на
рубли. Курс продажи долларов составил 28 руб./долл.
Определить:
1) доходность данной операции в виде процентной ставки;
2) критический курс продажи долларов, при котором доходность данной
операции равна нулю;
3) значение курса продажи долларов, при котором помещение средств на
валютный депозит и двойная конвертация не дают дополнительной выгоды, то
есть доход от помещения средств на рублевый депозит равен доходу от
рассматриваемой операции.
Ответы:
1) доходность данной операции в виде процентной ставки 0,2;
2) критический курс продажи долларов, при котором доходность данной
операции равна нулю, составляет 26,21 руб./долл.;
3) значение курса продажи долларов, при доход от помещения средств на
рублевый депозит равен доходу от рассматриваемой операции 27,61 руб./долл.
Задача 5.2.
Клиент собирается поместить в банке 1000 долл. на рублевом депозите сроком
на 7 месяцев под 13 % годовых. Курс покупки долларов на начало срока 28
руб./долл., ожидаемый курс продажи через семь месяцев 29 руб./долл. процентная
ставка при долларовом депозите – 10 %. При любом депозите начисляются
простые проценты.
Найти:
1) наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на
валютном депозите;
2) наибольшее значение курса, выше которого нет смысла в конвертации при
перемещении денежных средств на депозит;
3) эффективность данной операции посредством расчета процентной ставки.
Ответы:
1) наращенная сумма: а) при конвертации валюты 30 123 руб. или 1038 долл.;
б) непосредственно на валютном депозите 1 058 долл.;
2) наибольшее значение курса, выше которого нет смысла в конвертации при
перемещении денежных средств на депозит 28,46 руб./долл.;
3) эффективность данной операции в виде процентной ставки 0,07.
Задача 5.3.
Сумма 50 000 руб. обменяна на доллары по курсу 28 руб./долл. и помещена на
долларовый депозит на 3 месяца. Применяется простая учетная ставка 8 %
54
годовых и способ 365/360. По истечении срока депозита доллары обменяны на
рубли по курсу 28,8 руб./долл.
Определить доходность данной операции путем расчета:
1) процентной ставки;
2) учетной ставки.
Сравнить доходность данной операции с доходностью при помещении денег
на рублевый депозит без конвертации.
Определить критический курс продажи долларов, при котором доходность
данной операции равна доходности при помещении денег на рублевый депозит
без конвертации. Процентная ставка по рублевому депозиту равна 16 %,
применяется способ 360/360.
Ответы:
1) доходность данной операции: а) процентная ставка 0,20; б) учетная
ставка 0,19;
2) доходность при помещении средств на рублевый депозит меньше
доходности от помещения денег на долларовый депозит и двойной конвертации
(учетная ставка в первом случае 0,15, во втором 0,19);
3) критический курс продажи долларов, при котором доходность данной
операции равна доходности при помещении денег на рублевый депозит без
конвертации 28,54 руб./долл.
ТЕМА 6. ЗАМЕНА И КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
Задача 6.1.
Платеж в 25 тыс. руб. со сроком уплаты 7 месяцев заменить платежом со
сроком уплаты: 1) 1 месяц; 2) 6 месяцев; 3) 10 месяцев. Используется простая
процентная ставка 21 %.
Определить новые суммы платежа.
Ответы:
1) 22,662 тыс. руб.;
2) 24,611 тыс. руб.;
3) 26,170 тыс. руб.
Задача 6.2.
Исходные данные предыдущей задачи. Платеж предполагается заменить
платежом 28 тыс. руб.
Определить новый срок платежа.
Ответ: 1,22 года.
Задача 6.3.
Выдан кредит 05.01.2010 на сумму 100 тыс. руб. Простая процентная ставка
20 % годовых. По договору кредит погашается пятью платежами (не считая
процентов) сроки и суммы платежей приведены в табл. 1. Применяется способ
365/360. Через некоторое время стороны решили погасить кредит одним
платежом в срок 20.05.2010. Определить величину консолидированного платежа.
55
Таблица 1
Сведения о заменяемых платежах
Номер
платежа
1
2
3
4
5
Сумма платежа,
тыс. руб.
30
25
20
15
10
Дата платежа
28.01.2010
15.03.2010
30.04.2010
25.05.2010
15.06.2010
Порядковый номер
дня платежа
28
74
120
145
166
Ответ 102,764 тыс. руб.
Задача 6.4.
Платежи в 10 тыс. руб. и 20 тыс. руб. должны быть погашены соответственно
через время 3 месяца, 4 месяца.
Решено заменить два платежа одним 28 тыс. руб.
Определить срок уплаты консолидированного платежа, если используется
простая процентная ставка 20 % и способ 360/360.
Ответ 3,7 месяца.
Задача 6.5.
Требуется заменить платеж 500 тыс. руб. со сроком уплаты 9 месяцев
платежом со сроком уплаты: 1) 7 месяцев; 2) 12 месяцев. В расчетах применяется
простая учетная ставка 16 % и способ 360/360.
Определить сумму нового платежа.
Ответы: 1) 485,294 (тыс. руб.); 2) 523,810 (тыс. руб.).
Задача 6.6.
Исходные данные задачи 6.5.
Сумма нового платежа равна: 1) 560 тыс. руб.; 2) 490 тыс. руб.
Определить срок нового платежа.
Ответы: 1) 1,3 года, 2) 0,64 года.
Задача 6.7.
Владелец векселей со сроками уплаты через 75 дней на сумму 4 тыс. руб. и
через 90 дней на сумму 5 тыс. руб. согласился с предложением должника об
объединении двух платежей в один со сроком погашения через 80 дней.
Используется учетная ставка 12 % и способ АСТ/АСТ.
Определить сумму, которую необходимо поставить в консолидированном
векселе.
Ответ 8,989 (тыс. руб.).
Задача 6.8.
Исходные данные задачи 6.7.
Сумма консолидированного платежа равна 11 тыс. руб.
Определить срок консолидированного платежа.
Ответ 1,7 года.
56
III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Методические рекомендации
представлены в табл. 2.
по
изучению
теоретического
материала
Таблица 2
Методические рекомендации по изучению теоретического материала
Тема
Ключевые понятия,
которые необходимо усвоить
1. Основные
понятия,
используемые
в финансовых
вычислениях
временная ценность денег,
процентная ставка (ставка
процента, процент, рост, норма
прибыли, доходность), учетная
ставка (дисконт), индекс роста,
дисконт-фактор, наращение,
дисконтирование, приведенная
(текущая, современная,
дисконтированная) стоимость,
наращенная (будущая)
стоимость, ставка наращения,
ставка дисконтирования, процент
(процентный платеж), дисконт,
множитель дисконтирования,
множитель наращения
2. Наращение
простыми
процентами
простой и сложный процент,
способ начисления процентов,
точный и обыкновенный
процент, дивизор, процентное
число, реинвестирование
(капитализация)
57
Ключевые моменты
Специфика финансовых вычислений
заключается в учете изменения ценности
денег во времени.
Следует различать текущую и будущую
стоимость. В кредитных операциях
будущая стоимость (сумма кредита с
процентами) превышает текущую (сумму
кредита без процентов) на величину
прибыли кредитора, которая называется
процентом.
Следует обратить внимание на различие
процентной и учетной ставки. Это
различие состоит в том, что при расчете
процентной ставки сумма процентов
соотносится с текущей стоимостью, а при
расчете учетной ставки – с наращенной
Существуют две схемы начисления
процентов: 1) простой процент;
2) сложный процент. В лекционном
материале рассматриваются,
преимущественно, методы вычислений по
простому проценту, которые при наличии
соответствующих знаний и навыков могут
быть адаптированы к схеме начисления по
сложному проценту. Следует обратить
внимание на содержание и варианты
способов начисления процентов. Следует
обратить внимание на изменение суммы
процентов от одного периода их
начисления к другому при использовании
простых процентной и учетной ставки
Окончание табл. 2
Тема
Ключевые понятия,
которые необходимо
усвоить
Ключевые моменты
3. Потребительский
кредит
потребительский кредит
Следует обратить внимание на различия
двух методов начисления процентов при
потребительском кредите:
1) сумм, на которые начисляются проценты;
2) сумм уплачиваемых процентов;
3) изменения сумм платежей в погашение
кредита
4. Дисконтирование
с использованием
учетной ставки
дисконтирование с
использованием учетной
ставки (банковское,
коммерческое
дисконтирование,
банковский учет), вексель,
учет векселя
Следует обратить внимание на специфику
терминов «учет долговых обязательств» и
«дисконтированная величина векселя», а
также на условие, при котором операция
учета векселя выгодна векселедержателю
5. Оценка операций
с иностранной
валютой
6. Замена и
консолидация
платежей
Необходимо отследить логику расчета
показателя эффективности операции типа
«конвертация→наращение→конвертация»,
а также критических курсов продажи СКВ
при которых: 1) доходность
рассматриваемой операции равна нулю;
2) конвертация не дает никакой
дополнительной выгоды, то есть сумма
дохода от вложения денег в исходной СКВ
на депозит равна доходу от
рассматриваемой операции
Следует понять сущность принципа
финансовой эквивалентности и обратить
внимание на его применение при замене и
консолидации платежей
–
принцип финансовой
эквивалентности
Для закрепления теоретического материала следует ответить на контрольные
вопросы, выполнить тесты, решить задачи по темам. Для перехода к изучению
следующей темы необходимо по предыдущей теме давать правильные ответы на
все вопросы и тесты, правильно решить задачи.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Рекомендации по решению практических задач приведены в табл. 3.
Последовательность расчета, рекомендованная в табл. 3, не является единственно
возможной.
58
Таблица 3
Рекомендации по решению практических задач
Номер
задачи
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
Порядок решения
Последовательность решения:
1) расчет процентной ставки по формуле (1.2);
2) расчет учетной ставки по формуле (1.3);
3) расчет дисконта-фактора по формуле (1.11);
4) расчет индекса роста по формуле (1.12)
Последовательность решения:
1) расчет наращенной суммы с использованием процентной ставки по формуле (1.7);
2) расчет наращенной суммы с использованием учетной ставки по формуле (1.8)
Из равенства сумм, наращенных по процентной и по учетной ставкам, выводится
уравнение, позволяющее определить учетную ставку по процентной (1.10). Учетная
ставка определяется по формуле (1.10)
Последовательность решения варианта «1»:
1) по формуле дисконтирования по процентной ставке (1.13) определяется текущая
стоимость;
2) процент определяется как разность между будущей и текущей стоимостью (по
формуле (1.1)).
Последовательность решения варианта «2»:
1) по формуле дисконтирования по учетной ставке (1.14) определяется текущая
стоимость;
2) дисконт определяется как разность между будущей и текущей стоимостью (по
формуле (1.1))
Последовательность решения:
1) расчет суммы процентов по формуле (2.2);
2) расчет суммы процентов за одни месяц делением общей суммы процентов на
количество месяцев
По формуле наращения по простой процентной ставке (2.3) определяется сумма
кредита с процентами:
1) способом 360/360. При этом продолжительность кредита определяется, исходя из
длительности месяца 30 дней. Поэтому срок кредита равен: двадцать дней февраля
«плюс» десять дней августа «плюс» сто пятьдесят дней пяти промежуточных месяцев.
Длительность года принимается равной 360 дням;
2) способом 365/360. При этом продолжительность кредита определяется точно как
разность между порядковым номером его последнего и первого дня. Номера дней в
году указаны в приложении А. Длительность года принимается равной 360 дням;
3) способом 365/365. При этом продолжительность кредита и года определяются
точно. Продолжительность года принимается равной 365 дням
Сумма процентного платежа определяется по формуле (2.2). При этом
продолжительность кредита определяется точно как разность между порядковым
номером его последнего и первого дня. Номера дней в году указаны в приложении А.
Длительность года принимается равной 365 дням.
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (пункт 2.3.1)
Последовательность решения:
1) расчет суммы кредита без процентов по формуле дисконтирования по простой
процентной ставке (1.13);
2) расчет суммы процентов по формуле (1.1) или (2.2)
59
Продолжение табл. 3
Номер
задачи
2.1.5
2.1.6
2.1.7
2.1.8
2.2.1
2.3.1
2.3.2
2.3.3
3.1
Порядок решения
Последовательность решения:
1) производится вывод формулы (2.8);
2) расчет суммы кредита (Р) по формуле (2.8).
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (пункт 2.3.3)
Последовательность решения:
1) расчет суммы процентных чисел;
2) расчет дивизора;
3) расчет процентов делением суммы процентных чисел на дивизор;
4) расчет суммы, которая будет получена при закрытии счета, сложением
начисленных процентов и денежных средств, оставшихся на счете в момент его
закрытия.
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (пункт 2.3.2)
Наращенная сумма рассчитывается по формуле (2.9)
Наращенная сумма рассчитывается по формуле (2.10)
Последовательность решения:
1) расчет суммы процентов за первый год по формуле (2.13) или (2.16);
2) расчет суммы процентов за второй год по формуле (2.14) или (2.16);
3) расчет суммы процентов за третий год по формуле (2.15) или (2.16);
4) расчет общей суммы процентов суммированием процентов за три года или по
формуле (2.12);
5) расчет суммы долга вместе с процентами суммированием суммы долга и процентов
или по формуле (2.11).
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (пункт 2.4.2)
Процентная ставка определяется из равенства наращенных сумм по процентной и
учетной ставке. В формулах для расчета наращенных сумм следует учесть способы
начисления процентов (по условию 365/360 и 365/365). В ходе решения суммы
кредита будут сокращены
Расчет срока наращения определяется по формуле (2.20) (при использовании
процентной ставки) и по формуле (2.21) (при использовании учетной ставки)
Расчет срока кредита производится по формуле (2.20)
Последовательность решения:
1) расчет суммы кредита с процентами по формуле наращения по простым процентам
(1.7);
2) расчет суммы одного погасительного платежа делением суммы кредита с
процентами на количество погасительных платежей (формула (3.1));
3) расчет суммы порядковых номеров погасительных платежей по формуле (3.2);
4) расчет общей величины процентов как разности между суммой кредита с
процентами и без процентов (формула (1.1));
5) расчет сумм процентов в составе каждого погасительного платежа по «правилу 78».
При этом следует учитывать, что по условию задачи сумма, идущая на погашение
процентов в составе погасительных платежей, от платежа к платежу
увеличивается. В теоретическом материале приведен противоположный пример,
когда сумма процентов в составе погасительных платежей, от платежа к платежу
уменьшается;
60
Продолжение табл. 3
Номер
задачи
3.2
4.1
4.2
5.1
5.2
Порядок решения
6) расчет сумм погашения основного долга в составе каждого погасительного платежа
как разности меду суммой погасительного платежа и процентов в составе этого
платежа (для первого погасительного платежа по формуле (3.4)).
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (подраздел 3.1).
Последовательность решения:
1) расчет общей суммы процентов по формуле (3.14);
2) расчет суммы процентов в составе каждого погасительного платежа по формуле
(3.11) или (3.7) – для первого платежа, (3.8) – для второго платежа; (3.9) – для третьего
платежа, (3.10) – для четвертого и любого платежа;
3) расчет части каждого погасительного платежа, идущей на погашение основного
долга делением суммы основного долга на количество погасительных платежей;
4) расчет сумм погасительных платежей суммированием части соответствующего
погасительного платежа, ищущей на уплату процентов и погашение основного долга.
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (подраздел 3.2).
Дисконтированная величина векселя определяется по формуле дисконтирования по
учетной ставке (1.14) или (4.2).
Последовательность решения:
1) расчет суммы векселя по формуле наращения по простой процентной ставке (1.7);
2) вывод формулы для расчета наибольшего срока от учета до погашения векселя, при
котором операция учета векселя выгодна векселедержателю (формулы (4.3), (4.4),
(4.5)). Примечание: сумма долга по векселю равна стоимости приобретения векселя
векселедержателем
Последовательность решения:
1) расчет суммы долларов, приобретенных на рубли, делением суммы в рублях на
курс покупки доллара (по формуле (5.1));
2) расчет наращенной суммы долларов по формуле наращения по простой процентной
ставке (по формуле (1.7) или (5.2);
3) расчет наращенной суммы, переведенной в рубли, умножением наращенной суммы
в долларах на курс продажи доллара (по формуле (5.3));
4) расчет доходности данной операции в виде процентной ставки по формуле (5.7);
5) расчет критического курса продажи долларов, при котором доходность данной
операции равна нулю по формуле (5.10). Предварительно следует вывести эту
формулу;
6) расчет критического курса продажи долларов, при котором доход от помещения
средств на рублевый депозит равен доходу от рассматриваемой операции по формуле
(5.11). Предварительно следует вывести эту формулу.
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (тема 5)
Последовательность решения:
1) расчет наращенной суммы непосредственно на долларовом депозите по формуле
наращения по простой процентной ставке (1.7);
2) расчет суммы в рублях, которая будет получена в обмен на первоначальную сумму
долларов, умножением последней на курс продажи долларов;
3) расчет наращенной суммы в рублях по формуле наращения по простой процентной
ставке (1.7);
4) расчет наращенной суммы, переведенной в доллары, делением суммы в рублях на
курс покупки доллара;
61
Продолжение табл. 3
Номер
задачи
5.3
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Порядок решения
5) расчет доходности рассматриваемой операции в виде процентной ставки по
формуле (5.7);
6) расчет критического курса покупки долларов, при котором доход от помещения
средств на долларовый депозит равен доходу от рассматриваемой операции по
формуле (5.12). Предварительно следует вывести эту формулу.
Пример решения задачи приведен в теоретическом материале (тема 5)
Последовательность решения:
1) расчет суммы долларов, приобретенной на рубли, делением суммы в рублях на курс
покупки доллара (по формуле (5.1));
2) расчет наращенной суммы долларов по формуле наращения по простой учетной
ставке (1.8);
3) расчет наращенной суммы, переведенной в рубли, умножением наращенной суммы
в долларах на курс продажи доллара (по формуле (5.3));
4) расчет доходности данной операции в виде процентной ставки по формуле (5.7);
5) расчет доходности данной операции в виде учетной ставки по формуле (1.3) (при
этом текущая и будущая стоимость должны быть выражены в исходной СКВ –
рублях);
6) расчет доходности при помещении средств на рублевый депозит в виде учетной
ставки по формуле (1.3);
7) расчет критического курса продажи долларов, при котором доходность
рассматриваемой операции равна доходности при помещении денег на рублевый
депозит без конвертации. Для этого производится вывод формулы аналогично
приведенному в теоретическом материале, но доходность и от рассматриваемой
операции, и от рублевого депозита выражается учетной ставкой
Последовательность решения:
1) расчет текущей суммы платежа по формуле дисконтирования по простой
процентной ставке (1.13) или (6.2);
2) расчет сумм новых платежей по формуле наращения по простой процентной ставке
(1.7) или (6.1)
Последовательность решения:
1) расчет текущей суммы платежа по формуле дисконтирования по простой
процентной ставке (1.13) или (6.2);
2) расчет срока нового платежа. Формула для расчета срока нового платежа
выводится, исходя из формулы (6.1)
Сумма консолидированного платежа определяется по формуле (6.4). Предварительно
эта формула выводится из уравнения эквивалентности (6.3)
Срок консолидированного платежа определяется по формуле (6.5). Предварительно
эта формула выводится из уравнения эквивалентности (6.3)
Последовательность решения:
1) расчет текущей суммы платежа по формуле дисконтирования по простой учетной
ставке (1.14) или (6.7);
2) расчет сумм новых платежей по формуле наращения по простой учетной ставке
(1.8) или (6.6)
62
Окончание табл. 3
Номер
задачи
6.6
6.7
6.8
Порядок решения
Последовательность решения:
1) расчет текущей суммы платежа по формуле дисконтирования по простой учетной
ставке (1.14) или (6.7);
2) расчет сроков новых платежей. Формула для расчета срока нового платежа
выводится, исходя из формулы (6.6)
Сумма консолидированного платежа определяется по формуле (6.9). Предварительно
эта формула выводится из уравнения эквивалентности (6.8)
Срок консолидированного платежа определяется по формуле (6.10). Предварительно
эта формула выводится из уравнения эквивалентности (6.8)
IV. СЛОВАРЬ
Банковское дисконтирование (коммерческое дисконтирование, банковский
учет) – это дисконтирование с использованием учетной ставки.
Вексель − ценная бумага, удостоверяющая ничем не обусловленное
обязательство векселедателя (простой вексель) или иного указанного в векселе
плательщика (переводной вексель) выплатить по наступлении предусмотренного
векселем срока полученные взаймы деньги (Гражданский кодекс РФ, ст. 815).
Временная ценность денег − свойство денег, при котором их ценность зависит
от периода времени, в течение которого они будут получены. Временная ценность
денег обусловлена: 1) обесцениванием денег с течением времени; 2)
возможностью вложения денег с целью получения прибыли.
Дивизор (процентный ключ, постоянный делитель) – отношение количества
дней в году к годовой процентной ставке. Дивизор численно равен такому
количеству рублей (или других денежных единиц), с которого при заданной
процентной ставке получается 1 руб. дохода в день.
Дисконт – 1) доход, полученный по учетной ставке; 2) учетная ставка;
3) скидка при учете долговых обязательств; 4) скидка (например, с цены товара).
Дисконтирование векселя (учет векселя) см. учет долговых обязательств
Дисконтированная величина векселя – это сумма, которую получает
векселедержатель при учете векселя (равна сумме, указанной в векселе за
вычетом дисконта).
Дисконт-фактор – показатель доходности финансовой операции,
определяется как отношение текущей суммы (без процентов) к будущей сумме
(включающей проценты). Он показывает, какую долю составляет текущая сумма
в будущей.
63
Индекс роста – показатель доходности финансовой операции, определяется
как отношение будущей суммы (включающей проценты) к текущей сумме (без
процентов). Он показывает, во сколько раз увеличилась сумма, вложенная в
финансовую операцию.
Множитель дисконтирования – величина, на которую умножают будущую
стоимость, при дисконтировании.
Множитель наращения – величина, на которую умножают текущую
стоимость, при наращении.
Наращение − определение будущей суммы по текущей сумме и ставке
(процентной либо учетной).
Наращенная (будущая) сумма – величина капитала, вложенная в финансовую
операцию и увеличенная на сумму начисленных на него процентов; определяется
путем наращения.
Номинальная стоимость ценных бумаг – это стоимость ценных бумаг,
устанавливаемая эмитентом при их выпуске.
Потребительский кредит − это кредит, предоставляемый банком или
торговой организацией населению на потребительские нужды.
«Правило 78» – способ определения части одного платежа в погашение
кредита, идущей на уплату процентов. «Правило 78» используется при
потребительском кредите, когда проценты начисляются на всю первоначальную
сумму долга, без учета ее периодического погашения. Кредит погашается
равными платежами. Сумма одного погасительного платежа включает часть,
идущую на погашение основного долга, и часть, идущую на погашение
процентов. Наиболее распространен случай, когда часть, идущая на погашение
процентов, от платежа к платежу снижается. Общая сумма процентов
определяется умножением суммы кредита на процентную ставку,
соответствующую сроку кредита. Согласно «правилу 78» сумма процентов в
составе одного погасительного платежа определяется умножением общей суммы
процентов на дробь. В знаменателе этой дроби находится сумма порядковых
номеров погасительных платежей. Числитель этой дроби от одного платежа к
другому изменяется. Так, при схеме с убывающей величиной процентов для
первого погасительного платежа числитель дроби наибольший и равен
порядковому номеру последнего платежа. Для второго погасительного платежа
числитель дроби на единицу меньше, чем для первого и т.д., а для последнего
платежа равен единице. Сумма этих дробей должна быть равна единице. При
распределении общей суммы процентов между погасительными платежами
можно использовать любую последовательность дробей (в том числе и
возрастающую), лишь бы их сумма была равна единице. Название правила 78
связано с тем, что если срок потребительского кредита равен одному году и
погасительные платежи осуществляются ежемесячно, то сумма порядковых
номеров погасительных платежей составит 78.
64
Принцип финансовой эквивалентности – правило, используемое в финансовых
расчетах при замене и консолидации платежей, означающее, что в результате
любых изменений ни один из участников сделки не должен терпеть убыток.
Продолжительность финансовой операции определяется одним из двух
способов: 1) как точное число дней финансовой операции; 2) как приблизительное
число дней финансовой операции (исходя из продолжительности месяца 30 дней).
Дни выдачи и погашения кредита принимаются за один день.
Простой процент – схема начисления процентов, при которой проценты
начисляются на первоначальную сумму вклада, без учета начисленных и не
востребованных процентов.
Процент – это: 1) величина дохода от предоставления денег в долг.
Определяется как разница между будущей и текущей стоимостью; 2) процентная
ставка – показатель доходности финансовой операции, определяется как
отношение дохода от предоставления денег в долг к сумме долга без процентов.
Процентная ставка (ставка процента, процент, рост, норма прибыли,
доходность) – показатель доходности финансовой операции, определяется как
отношение дохода от предоставления денег в долг к сумме долга без процентов.
Она показывает соотношение дохода от финансовой операции и вложенной в нее
суммы.
Процентное число – произведение суммы вклада и количества дней, в течение
которых эта сумма находилась на счете.
Проценты обыкновенные – проценты, определяемые исходя из
приближенного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360, 90, 30).
Проценты точные – проценты, определяемые исходя из точного числа дней в
году (365 или 366), квартале (от 89 до 92), месяце (от 28 до 31).
Реинвестирование (капитализация) − присоединение начисленных процентов
к вкладу.
Сложный процент – схема начисления процентов, при которой проценты
начисляются на общую сумму вклада, включая сумму ранее начисленных и не
востребованных процентов.
Способ начисления процентов – это сочетание способа определения
продолжительности финансовой операции и вида процентов. Существуют
следующие способы начисления процентов: 1) точный процент и точное число
дней финансовой операции (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ); 2)
обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции (обозначается
365/360 либо АСТ/360); 3) обыкновенный процент и приближенное число дней
финансовой операции (обозначается 360/360).
Ставка дисконтирования – ставка, используемая для расчета приведенной
стоимости. В качестве ставки дисконтирования может использоваться и
процентная, и учетная ставка.
Ставка наращения – ставка, используемая для расчета будущей (наращенной)
суммы. В качестве ставки наращения может использоваться и процентная, и
учетная ставка.
65
Текущая, современная, приведенная, капитализированная сумма – это
величина капитала, вложенного в финансовую операцию (без учета начисленных
процентов); определяемая путем дисконтирования.
Учет долговых обязательств − это выкуп долговых обязательств до
наступления срока их исполнения по стоимости равной сумме данных
обязательств за вычетом скидки, включающей процент за время от выкупа до
исполнения и комиссионные. Например, учет векселя.
Учетная ставка (дисконт, дисконтная ставка) – показатель доходности
финансовой операции, определяется как отношение дохода от предоставления
денег в долг к сумме долга, включающей проценты. Она показывает долю
процентов в будущей стоимости.
66
ПРИЛОЖЕНИЕ А
НОМЕРА ДНЕЙ В НЕВИСОКОСНОМ ГОДУ
Дни Январь Февраль Mapт Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
–
–
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
ИЗ
114
115
116
117
118
119
120
–
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
–
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
67
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
–
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
–
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
НОМЕРА ДНЕЙ В ВИСОКОСНОМ ГОДУ
Дни Январь Февраль Mapт Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
–
–
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
–
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
–
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
68
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
–
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
–
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
ПРИЛОЖЕНИЕ В
КЛЮЧИ К ТЕСТАМ
Номер темы
1. Основные
понятия,
используемые в
финансовых
вычислениях
2. Наращение
простыми
процентами
3. Потребительский
кредит
4. Дисконтирование
с использованием
учетной ставки
5. Оценка операций
с иностранной
валютой
6. Замена и
консолидация
платежей
Номер вопроса, соответствующего варианту ответа
вариант 1
вариант 2
вариант 3
вариант 4
1,
2,
3,
8,
5,
4,
6,
11,
10,
7,
9,
14,
12,
13,
12,
15,
13,
16,
14,
17,
16,
18,
17,
20
20,
19
19
21
1,
2,
4,
8,
6,
3,
8,
9,
10,
7,
10,
11,
13,
9,
12,
13,
14,
5
17
15,
18
16
1,
1,
2,
2,
6,
3,
5,
4,
10
9
7
8
1,
5
2
3,
4
6
–
–
1
2
2,
4,
6
1,
3,
7
5
2
69
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..
I. Теоретический материал
Тема 1. Основные понятия, используемые в финансовых вычислениях……….
1.1. Временная ценность денег…………………………………………………….
1.2. Показатели результативности финансовой операции……………………….
1.3. Операции наращения и дисконтирования……………………………………
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
Тема 2. Наращение простыми процентами………………………………………..
2.1. Простой и сложный процент…………………………………………………..
2.2. Способы начисления процентов………………………………………………
2.3. Наращение с использованием процентной ставки
2.3.1. Основные формулы…………………………………………………………..
2.3.2. Расчеты при изменении суммы вклада на счете…………………………...
2.3.3. Расчеты при неизвестной текущей стоимости……………………………..
2.3.4. Расчеты при изменяющейся ставке…………………………………………
2.3.5. Расчеты при реинвестировании …………………………………………….
2.4. Наращение с использованием учетной ставки
2.4.1. Основные формулы…………………………………………………………..
2.4.2. Сопоставление динамики наращения по процентной и по учетной
ставке………………………………………………………………………………...
2.4.3. Расчеты при изменяющейся ставке…………………………………………
2.5. Определение срока кредита и величины ставки……………………………..
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
Тема 3. Потребительский кредит…………………………………………………..
3.1. Начисление процентов на всю первоначальную сумму кредита…………...
3.2. Начисление процентов на непогашенную часть кредита…………………...
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
Тема 4. Дисконтирование с использованием учетной ставки…………………...
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
Тема 5. Оценка операций с иностранной валютой……………………………….
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
70
3
4
4
5
8
9
10
10
13
14
14
15
15
17
18
18
19
19
20
21
21
23
23
26
26
29
31
31
32
34
36
36
36
37
44
44
45
Тема 6. Замена и консолидация платежей………………………………………...
6.1. Замена платежей при использовании процентной ставки…………………..
6.2. Консолидация платежей при использовании процентной ставки………….
6.3. Замена платежей при использовании учетной ставки……………………….
6.4. Консолидация платежей при использовании учетной ставки………………
Резюме……………………………………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………...
Тесты для самоконтроля……………………………………………………………
II. Практикум
Тема 1. Логика финансовых вычислений…………………………………………
Тема 2. Наращение простыми процентами
2.1. Наращение простыми процентами с использованием процентной ставки..
2.2. Наращение простыми процентами с использованием учетной ставки…….
2.3. Определение срока кредита и величины ставки……………………………..
Тема 3. Потребительский кредит…………………………………………………..
Тема 4. Дисконтирование по простым процентам с использованием учетной
ставки………………………………………………………………………………...
Тема 5. Оценка доходности операций с иностранной валютой…………………
Тема 6. Замена и консолидация платежей………………………………………...
III. Методические рекомендации
1. Методические рекомендации по изучению теоретического материала……...
2. Методические рекомендации по решению практических задач……………...
IV. Словарь………………………………………………………………………….
Приложение А. Номера дней в невисокосном году………………………………
Приложение Б. Номера дней в високосном году…………………………………
Приложение В. Ключи к тестам…………………………………………………...
71
45
46
46
47
47
48
48
49
50
50
52
52
52
53
54
55
57
58
63
67
68
69