§ 6

§ 6. Стабилизация линейной системы уравнений
управлением с соизмеримыми запаздываниями.
Рассмотрим линейную управляемую стационарную систему уравнений
(1)
X  AX  bu,
где управление u - скалярная величина. Предположим, что система (1) полностью
управляема, тогда матрица S  b; Ab;; An 1b - не особая. Пусть характеристическое
уравнение системы X  AX записано в виде
n  p1n 1    pn  0.
(2)
Сделаем в системе (1) линейное преобразование по формуле X  Sy , где y - новый
искомый вектор. Новая система уравнений будет иметь вид:
(3)
y  A y  b u,
где матрица A и вектор b имеют вид:


 0 0   pn 


 1 0   pn 1 
A 
;
  
 


0 0  p 
1 

1
 
0
b  .

 
0
 
Введём также матрицу
1

0
T  0


0

p1
1
0

0
p2
p1
1

0
 pn 1 

 pn  2 
 pn  3 .


 
0
1 
(4)
С её помощью систему (3) можно привести к уравнению
z n   p1 z n 1    pn  u.
(5)
При этом связь между компонентами вектора y и вектора, образованного производными
функции z выражается следующим образом:
 z ( n 1) 
 y1 
 ( n  2) 
 
z

 y2 
  T    .


 
y 
 z 
 n


Постановка задачи: построить управление
d
d
u  Qn 1   z (t   )  Qn  2   z (t  2 )    Q0 z (t  n ),
(6)
 dt 
 dt 
при котором нулевое решение уравнения (5) будет асимптотически устойчиво.
d
Qs   - полином степени s с постоянными
В формуле (6)  - запаздывание,
 dt 
коэффициентами относительно оператора дифференцирования:
d
Qs    k0 ( s )  k1 ( s 1)    k s .
(7)
 dt 
Задача
стабилизации сводится, таким образом, к нахождению коэффициентов
d
полиномов Qs   . После того, как управление (6), стабилизирующее нулевое решение
 dt 
уравнения (5), будет построено, обратными преобразованиями с матрицами T 1 и S 1
получим управление вида
u  C1 X (t   )  C2 X (t  2 )    Cn X (t  n ) ,
(8)
где Ck - постоянные вектора-строки, ( знак  обозначает транспонирование).
Теорема. (Доказана А. В. Прасоловым)
Нулевое решение уравнения (5) всегда можно стабилизировать управлением вида (6), если
все собственные числа матрицы A удовлетворяют условию
Re   1  .
Доказательство. Подставим управление (6) в уравнение (5). Получим:
d
d
z n   p1 z n 1    p n  Qn 1   z (t   )  Qn  2   z (t  2 )    Q0 z (t  n ).
(9)
 dt 
 dt 
Получилось уравнение n -го порядка с n соизмеримыми запаздываниями. Его
характеристическое уравнение имеет вид:
n
n  p1n1    pn   Qn j ( )e  j .
(10)
j 1
Представим теперь уравнение (2) в виде (  a1 )(  a2 )(  an )  0, где a1;; an известные нам собственные числа матрицы A. Рассмотрим далее уравнение
   a
n
k

 qk e    0 .
(11)
k 1
Если раскрыть в этом выражении скобки и перенести в правую часть все слагаемые,
содержащие экспоненты, то мы придём к уравнению (10). Таким образом, квазиполином
n -го порядка (10) можно представить в виде произведения n квазиполиномов первого
порядка. Тогда задача построения управления (6) свелась к следующей задаче: по
известным числам ak выбрать числа qk так, чтобы для всех k  1;; n уравнения
  ak  qk e    0
(12)
имели только корни с отрицательными вещественными частями. Покажем, что в условии
теоремы это всегда возможно сделать. Выделим три случая.
1. Число ak - вещественное. Будем выбирать число qk также вещественным.
Уравнение (12) является характеристическим уравнением для скалярного уравнения с
одним запаздыванием:
x  ak x(t )  qk x(t   ) .
(13)
Метод D-разбиений, рассмотренный в предыдущей главе, даёт точную границу области
асимптотической устойчивости уравнения (13) на плоскости параметров ak и qk (смотри
рисунок). Угловая точка границы области асимптотической устойчивости в предыдущей
главе имела координаты (1; -1); однако, тогда уравнение было преобразовано: его
коэффициенты были умножены на величину запаздывания  ; z   ; a1  a ; b1  b
Если же искать границы области асимптотической устойчивости, не преобразовывая
уравнения, угловая точка будет, очевидно иметь не координаты (1; -1), а координаты
 1 1
 ;  . Число ak является корнем уравнения (2), следовательно, для ak выполнено
  
условие ak  1  . Это означает, что на плоскости параметров ak и qk (смотри рисунок)
число ak лежит левее вертикальной прямой ak  1  .
qk
1
ak
Но тогда для любого ak  1 найдётся целый интервал значений qk , такой, что пара чисел

ak ; qk 
будет находиться в области асимптотической устойчивости. Таким образом, для
вещественных значений ak теорема доказана.
2. Пусть теперь ak - комплексное число. Покажем, что этот случай может быть
сведён к вещественному. Пусть ak    i . Будем выбирать число qk также
комплексным, но представленным в форме: qk  ei . Нужно найти вещественные
величины  и  по известным вещественным величинам  и  .
Уравнение (12) перепишется следующим образом:
(14)
    i  ei e  0 .
Сделаем в этом уравнении замену переменных:     i . Такая замена не изменяет
вещественную часть числа, а, следовательно, не изменяются и условия теоремы. Теперь
уравнение (14) будет иметь вид:
    ei e(   i )  0 .
(15)
Выберем теперь величину    , тогда уравнение (15) преобразуется как:
    e   0 .
(16)
Уравнение (16) совпадает с уравнением (12) с точностью до обозначений. Таким образом,
мы можем воспользоваться рассуждениями, приведёнными ранее. Число   i является
корнем уравнения (2), следовательно, для числа  выполнено условие   1  . Но тогда
для любого   1 найдётся интервал значений  такой, что пара чисел  ;   будет

находиться в области асимптотической устойчивости. Таким образом, для комплексных
значений ak теорема также доказана.
3. Поскольку исходная матрица A предполагается вещественной, то вместе с
собственным числом ak    i она имеет и комплексно-сопряжённое собственное число
ak    i . Тогда вместо уравнения (14) получим:
    i  ei e  0 .
Теперь пусть     i , тогда
    ei e(  i )  0 .
Если теперь выбрать     , то получим уравнение (16), а число  определим по числу
 так же, как и выше. Итак, корню ak    i , комплексно-сопряжённому с корнем
ak    i ,
q k  e
i
соответствует
число
qk  e  i ,
комплексно-сопряжённое
с
числом
.
Подставляя все найденные значения qk в выражение (11), раскроем затем скобки и
получим выражение (10), откуда и найдём коэффициенты полиномов Qs . Заметим, что все
они будут вещественными, так как комплексно-сопряжённой паре корней уравнения (2)
ak и ak соответствуют комплексно-сопряжённые найденные числа qk и qk .
Теорема доказана.
Когда управление в виде (6) будет построено, необходимо обратными
преобразованиями с матрицами T 1 и S 1 получить окончательный вид управления (8).
Доказательство теоремы содержит в себе конструктивный способ построения искомого
стабилизирующего управления. Вопрос о разрешимости поставленной задачи сводится,
таким образом, к проверке простого условия Re   1  .
Пример. При каких значениях  для системы
 0 1
 0
 X   u
X  
  6 5
1
1
существует управление вида (6)? Построить управление (6) при значении   .
4
Решение. Собственными числами матрицы A являются числа 2 и 3. Значит,
 1
условие теоремы выполняется, если    0;  . Построим управление (6) при значении
 3
1
 .
4
Характеристическое уравнение для матрицы A имеет вид 2  5  6    2  3  0.
Уравнение (5) тогда будет иметь вид z  5 z  6 z  u , где
d
u  Q1   z (t   )  Q0 z (t  2 )  k1 z (t   )  k2 z (t   )  k3 z (t  2 ).
 dt 
Уравнение (10) примет тогда вид 2  5  6  k1e    k2e    k3e 2 . Запишем уравнение



(11), которое в нашем случае будет выглядеть так:   2  q1e   3  q2e  0.
Раскрывая в нём скобки, получим
2  5  6  (q1  q2 )e  (3q1  2q2 )e  q1q2e2 .
Итак, k1  q1  q2 ; k2  (3q1  2q2 ); k3  q1q2 . Найдём теперь числа q1; q2 . Для заданного
значения  координаты угловой точки области асимптотической устойчивости уравнения
на плоскости коэффициентов ak и qk есть (4;-4). Итак, если взять, например,
q1  q2  4, то обе точки (2;-4) и (3;-4) попадут в область асимптотической устойчивости
на плоскости коэффициентов. Теперь вычислим k1  8; k2  20; k3  16. Следовательно,
u  8 z(t   )  20 z (t   )  16 z (t  2 ). Вернёмся теперь к исходным переменным x1; x2 .
 0 1
 1  5
; T  
. Переменные x1; x2 связаны с
S  
Матрицы S и T имеют вид
 1 5
0 1 
x 
 x   0 1  x1 
 z 
 z 
 .
переменными z; z соотношением  1   ST   , откуда    ( ST ) 1  1   
z
 z
 x2 
 x2   1 0  x2 
Окончательно
u  8x2 (t   )  20x1 (t   )  16x1 (t  2 )  (20;8) X (t   )  (16;0) X (t  2 ).
Искомое управление построено.