При оценке знаний студентов по курсу «Теория случайных

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Теория случайных процессов
для направления/ специальности 230401.65 «Прикладная математика»
Специализации: Математическое и программное обеспечение систем обработки информации и
управления
Математическое моделирование физико-механических систем и процессов
Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач
Математическое и программное обеспечение систем управления
Автор программы:
Каштанов В.А., доктор физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры высшей математики «___»____________ 2012 г
Зав. кафедрой Четвериков В.М.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2012 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета прикладной математики и кибернетики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки/ специальности 230401.65 «Прикладная математика», обучающихся по специализациям «Математическое и программное обеспечение систем обработки информации и управления», «Математическое моделирование физикомеханических систем и процессов», «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», «Математическое и программное обеспечение систем управления», изучающих дисциплину «Теория случайных процессов».
.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/prm722-1.pdf;
 Образовательной программой специальности 230401.65 «Прикладная математика»
 Рабочим учебным планом университета по специальности 230401.65 «Прикладная
математика», обучающихся по специализациям «Математическое и программное
обеспечение систем обработки информации и управления», «Математическое моделирование физико-механических систем и процессов», «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», «Математическое и программное обеспечение систем управления», утвержденным в 2009 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория случайных процессов» являются подготовка выпускников к профессиональной деятельности в качестве исполнителей или менеджеров младшего и среднего уровней, к проведению информационно-аналитической и научноисследовательской работы с возможностью продолжения обучения в аспирантуре или магистратуре.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины





В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
Основные понятия теории случайных процессов и ограничения, связанные с математической формализацией;
основные принципы, методы и результаты современной теории вероятностей и математической статистики;
основы теории случайных процессов,
свойства случайных процессов;
классификацию случайных процессов.
 Уметь
 вычислять вероятностные характеристики случайных величин и случайных процессов;
 использовать методы асимптотического анализа случайных процессов;
 строить физические и математические модели реальных процессов

Иметь навыки (приобрести опыт)
 использования методов классической теории вероятностей и теории случайных процессов;
 математической формализации прикладных задач;
 анализа и интерпретации решений соответствующих моделей.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
стремится к саморазвитию, повышению своей
квалификации и мастерства
осознает
социальную
значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности
использует
основные
законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности,
применять
методы математического
анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования
способен
оформлять,
представлять и докладывать результаты выполненной работы
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-9
ОК-10
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
демонстрирует
саморазвитию,
стремление к Лекции-дискуссии, творческие задания, выдвижение гипотез студентами и
их анализ
представляет связи реальных Лекции-дискуссии, творслучайных процессов, протека- ческие задания, выдвижеющих во времени и модельных ние гипотез студентами и
процессов, изучаемых в теории их анализ
ОК-12
Дает определение основных
понятий, воспроизводит формулировку методов решения
стандартных задач, распознает
область применимости методов.
Владеет навыками математической формализации прикладных задач
Ознакомление с терминологией, формулировка типовых задач и методов их
решения
ОК-14
Использует стандартные математические модели, демонстрирует знание основных методов
решений, способность грамотно
и четко представлять результаты выполненной работы
Применяет математические модели безопасности и надежности
Решение типовых задач
соответствующими математическими методами,
творческие задания
Владеет методами анализа,
представляет связи стандартных и нестандартных постановок проблем
Анализирует и интерпретирует
решения соответствующих математических моделей
Решение задач в нестандартных формулировках,
комбинирование математических методов
владеет основными ме- ПК-10
тодами защиты производственного персонала
и населения от возможных последствий аварий,
катастроф, стихийных
бедствий
знает основные положе- ПК-11
ния, законы и методы
естественных наук; способностью
выявить
естественнонаучную
сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готовностью использовать для их реше-
3
Творческие задания, выдвижение гипотез студентами и их анализ
Творческие задания, выдвижение гипотез студентами и их анализ
Компетенция
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ния
соответствующий
естественнонаучный аппарат
способен самостоятель- ПК-14
но изучать новые разделы
фундаментальных
наук
4
Распознает тип поставленной
задачи, обосновывает применимость метода решения, применяет необходимый метод, интерпретирует полученный результат, оценивает влияние
внешних воздействий на полученное решение поставленной
задачи.
Демонстрирует
способность
самостоятельно изучать новые
разделы фундаментальных наук
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Лекции-дискуссии, творческие задания, выдвижение гипотез студентами и
их анализ
Решение задач в нестандартных формулировках,
комбинирование математических методов
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин,
обеспечивающих профессиональную подготовку.
Для всех специализаций настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ
 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
 Дифференциальные уравнения
 Функциональный анализ
 Теория вероятностей и математическая статистика
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Теорию пределов;
 Дифференциальное и интегральное исчисление;
 Теорию матриц;
 Решение систем линейных уравнений;
 Случайные величины, их характеристики, системы случайных величин, теория
меры;
 Предельные теоремы теории вероятностей.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Теория управления
 Методы оптимизации
 Теория игр и исследование операций
4
Тематический план учебной дисциплины
5
Аудиторные часы
Всего
№
Название раздела
1
Основания теории случайных
процессов
часов Лекции Семинары
Самостоя-
Практические
тельная
занятия
работа
2
2
0
0
2
Марковские цепи
31
10
15
6
3
Процессы восстановления
9
6
0
3
4
Пуассоновский процесс
7
2
2
3
5
Марковские процессы с не24
8
13
3
11
4
4
3
5
2
0
3
89
34
34
21
прерывным временем и дискретным множеством состояний
6
Стационарные процессы.
Корреляционная теория.
7
Процессы с независимыми
приращениями
0
5
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Промежуточный
Зачет
Курсовая работа
Экзамен
Экзамен
Итоговый
6.1
Контрольная работа
1 год
1
2
*
10
*
9
*
*
*
*
Параметры **
письменная работа 90
минут
письменная работа 90
минут
устный экзамен 90 мин.
устный экзамен 90 мин.
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа. По словесной формулировке задачи студент должен продемонстрировать способность: вводить необходимые математические обозначения, выбирать метод решения задачи, используя освоенные теоретические положения (теоремы, леммы, следствия), проводить числовые выкладки, делать практические выводы.
Курсовая работа. Тема: Пуассоновский процесс. Исследование свойств пуассоновского
процесса и поведения траекторий процесса Пуассона. Построение распределений случайных
величин, связанных с поведение траекторий пуассоновского процесса. Выступление по материалам курсовой работы (защита курсовой работы).
Экзамен.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
При проведении экзамена студент должен четко и точно формулировать доказываемые
утверждения (теоремы, леммы, следствия), аккуратно проводить доказательства сформулированных утверждений, корректно использовать теорию при решении конкретных учебных задач,
при изложении всего материала студент должен владеть грамотной речью.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине.
При оценке знаний студентов по курсу «Теория случайных процессов» предложенная методика не используется
На оценку студента за промежуточный и итоговый контроль влияет:
 умение четко и точно формулировать доказываемые утверждения (теоремы, леммы, следствия),
 способность аккуратно проводить доказательства сформулированных утверждений, корректно использовать теорию при решении конкретных учебных задач
 при изложении всего материала студент должен владеть грамотной речью.
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях: [Укажите, каким образом и что
оценивается на семинарских и практических занятиях, например, активность студентов в деловых играх, дискуссиях, правильность решения задач на семинаре и т.д.]. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: [Укажите, каким образом оценивается самостоятельная
работа, например, правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях (имеются ввиду домашние работы, которые не включаются в РУП, это не форма текущего контроля "Домашнее задание"), полнота освещения темы, которую студент готовит для выступления с докладом на занятии-дискуссии и т.д.]. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за
самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
6
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= k1* Отекущий + k2* Оауд + k3* Осам.работа
где
Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = n1·Оэссе + n2·Ок/р + n3·Ореф + n4·Окол + n5·Одз ;
[Оставьте те формы текущего контроля, которые предусмотрены в РУП. сумма удельных весов должна быть равна
единице: ∑ni = 1] Способ округления накопленной оценки текущего контроля: [указывается способ – арифметический, в пользу
студента, другое].
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
1.
Если дисциплина преподается один модуль:
Орезульт = k1* Онакопл + k *·Оэкз/зач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета: [указывается способ –
арифметический, в пользу студента, другое].
2.
Если дисциплина преподается несколько модулей (например, 3):
Опромежуточная i = m1·Отекущая i этапа + m2·Опромежуточный зачет/экзамен
Где Отекущая i этапа рассчитывается по приведенной выше формуле
Онакопленная Итоговая= (Опромежуточная 1+ Опромежуточная 2+ Онакопленная 3):на число модулей
Где Опромежуточная 1+ Опромежуточная 2 – промежуточные оценки этапов 1 и 2,
а Онакопленная 3 – накопленная оценка последнего этапа перед итоговым зачетом/экзаменом
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме экзамена: [указывается способ
– арифметический, в пользу студента, другое].
[Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑mi = 1, при этом, 0,2 ≤ m1 ≤ 0,8 (согласно Положению об организации контроля знаний, утвержденному УС НИУ ВШЭ от 29. 06.2012,протокол №38, приказ "О введении в действие
новой редакции Положения об организации контроля знаний" № 6.18.1-06/2307-03 от 23.07.2012 г.)]
[Далее, по желанию автора, определите, может ли студент получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль или работу на занятиях, самостоятельную работу]
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за
текущий контроль.
На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
На экзамене студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который оценивается в 1 балл.
[Оставьте те оценки, которые учитываются при выставлении результирующей оценки за промежуточный или итоговый контроль. Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ki = 1, при этом, 0,2 ≤ k1 ≤ 0,8 После всех формул в обязательном порядке приводится способ округления полученного результата.]
[Только для многомодульных дисциплин, по которым предусмотрен промежуточный контроль, укажите один из предложенных вариантов формирования оценки, которая идет в диплом]
В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Орезульт = k1·Онакопл + k2·Оитоговый
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: [указывается способ – арифметический, в пользу
студента, другое].
ВНИМАНИЕ: оценка за итоговый контроль блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке она равна
результирующей.
7
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Основания теории случайных процессов
Вводные замечания, основания теории случайных процессов:

связь с классическим курсом теории вероятностей, определение алгебры и сигмаалгебры подмножеств множества элементарных событий, вероятностное пространство, вероятность как функция, областью определения которой является алгебра или сигма-алгебра, действительная случайная величина как измеримая функция, областью определения которой является соответствующая сигма-алгебра

реализация случайной величины,
как задать случайную величину? Функция распределения.

ОБОБЩЕНИЕ - случайная величина, зависящая от параметра (времени), согласованные конечномерные распределения (определения и их свойства).

Теоремы Колмогорова о продолжении мер.
Количество часов аудиторной работы –2 часа (лекции).
Литература по разделу:
1.
Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: МЦНМО,
2004. Кн.1 520с.
Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.:
МЦНМО, 2004. Кн. 2 408с.
2.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа: Учебник для вузов. М.: Наука, 1989. – 624с.
Раздел 2. Марковские цепи
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
 (t )  E  {e1 , e2 ,..., en ,...}  {1,2,..., n,...} - дискретное пространство состояний
t  T  {1,2,..., n,...} - дискретное время.
Марковское свойство – зависимость только от последнего состояния (матрица переходных вероятностей за один шаг)
P{n1  in1 / 0  i0 ,1  i1,...,n1  in1,n  in}  P{n1  in1 / n  in }  pin ,in1 (n) .
Если матрица P(n)  ( pi , j (n)), i, j  E , n  T зависит от n, цепь неоднородная, если
не зависит от n, цепь однородная.
Свойства матрицы:
Элементы неотрицательны 1  pi , j (n)  0 ,
p
jE
i, j
( n)  1 .
Как «приписать» траектории {i1 , i2 ,..., in } вероятностную меру?
Обозначим
 (i0 , i1 ,..., in )  P{0  i0 , 1  i1,...,  n1  in1,  n  in } .
В силу марковского свойства справедлива цепочка равенств (для неоднородного случая)
 (i0 , i1 ,..., in )  P{0  i0 , 1  i1 ,...,  n1  in1 ,  n  in } 
 P{ n  in / 0  i0 , 1  i1 ,...,  n1  in1} (i0 , i1 ,..., in1 ) 
 pi ,i (n) (i0 , i1 ,..., in1 )  pi ,i (n) pi ,i (n  1) (i0 , i1,..., in2 ) 
n n 1
n n 1
n 1 n  2
 ...  pin ,in 1 (n) pin 1 ,in  2 (n  1)... pi1 ,i0 (1) (i0 ),
или справедлива цепочка равенств (для однородного случая)
8
 (i0 , i1 ,..., in )  P{0  i0 , 1  i1,...,  n1  in1,  n  in } 
 P{ n  in /  0  i0 , 1  i1 ,...,  n1  in1} (i0 , i1 ,..., in1 ) 
 pi ,i  (i0 , i1 ,..., in1 )  pi ,i pi ,i  (i0 , i1 ,..., in2 ) 
n n 1
n n 1
n 1 n  2
 ...  pin ,in 1 pin 1 ,in  2 ... pi1 ,i0  (i0 ),
ВЫВОД. Каждой конечной траектории можно приписать вероятность, если задано
начальное распределение
pi   (i )  P{0  i}  0,
p
iE
i
 1, p  p (0)  ( pi , i  E )
и семейство матриц переходных вероятностей P(n)  ( pin ,in 1 (n)), in , in1  E, n  T
для неоднородного случая и матрица переходных вероятностей P  ( pi , j ), i, j  E.
ПЕРЕХОДНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ за несколько шагов, начиная с момента n,
P{nk  j / n  i}  pij( k ) (n), i, j  E , k  2
P( k ) (n)  ( pij( k ) (n))
pij(2) (n)  P{ n 2  j /  n  i}  P{ n 2  j ,  n1  E /  n  i} 
  P{ n 2  j ,  n1  s /  n  i} 
sE
  P{ n2  j /  n1  s,  n  i}P{ n1  s /  n  i} 
sE
  P{ n2  j /  n1  s}P{ n1  s /  n  i} 
sE
  p j ,s (n  2) ps ,i (n  1)
sE
Доказано: Матрица переходных вероятностей за два шага от момента n до момента n+2
определяется произведением матриц переходных вероятностей на n+1-м и n+2-м шагах
P(2) (n)  P(n  1) P(n  2), n T .
По индукции получаем
P( k ) (n)  P(n  1) P(n  2)...P(n  k ), k  2, n T
При n=1
P( k )  P( k ) (1)  P(1) P(2)...P(k ), k  2.
Для однородной цепи получаем степени матрицы переходных вероятностей за один
шаг
P ( k )  P k , k  2.
Вероятности состояний
p (jn )  P{ n  j}   pi pij( n ) , p ( n )  p (0) P(1)...P (n), p ( n )  p (0) P ( n )
iE
Утверждение. При известном настоящем будущее не зависит от прошлого
P{ 0  i0 , 1  i1 ,...,  n1  in1 ,  n1  in1...,  k  n  ik  n /  n  in } 

 (i0 , i1 ,..., in k ) P{ ABC} P{ A / BC}P{BC}


 P{ A / C}P{B / C}
P{ n  in }
P{C}
P{C}
A  { 0  i0 , 1  i1 ,...,  n1  in1}
B  { n1  in1...,  k  n  ik  n }, C  { n  in }
9
СВОЙСТВА СОСТОЯНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ.
А) СВОЙСТВА ОДНОГО СОСТОЯНИЯ
Возвратность. Идея: вложенный процесс восстановления (только время дискретно).
Две случайных величины:

Время возвращения (первого)  ;

Число возвращений  .
Вероятность возвращения  .
Связь этих случайных величин:   P{  }  lim P{  x} .
x

Обозначения:
 n  P{  n},     n .
n 1
Распределение числа возвращений  , P{  k}   (1   ), k  0,,2..., n,...
УТВЕРЖДЕНИЯ:
k


k 1
k 1
M   kP{  k}   k  k (1   ) 

1 
( n)


1, pii ;
   n ,  n  
M   pii( n )
(n)
n 1
n 1

0, 1  pii ,


M   pii( n ) 
n 1

1 
Определение: состояние называется ВОЗВРАТНЫМ, если
  1. Необходимым и до-
статочным условием возвратности является расходимость ряда M 

p
n 1
Возвратное состояние:
  1,

p
Невозвратное состояние:
  1,

p
n 1
.
 , M  
(n)
ii
n 1
(n)
ii
(n)
ii
 , M  
Если состояние возвратное, то для любого конечного k
P{  k}   k (1   )  0, k  0,,2..., n,...
Следовательно, P{  }  1 - число возвращений с вероятностью единица равно бесконечности.
Связь этих случайных величин: 
  P{  }  lim P{  x},   M .
x
  M  
  M  
Положительное состояние
Нулевое состояние
НАРИСОВАТЬ ГРАФИК. ПОЯСНЕНИЯ ПО ГРАФИКУ.
1.
Если невозвратное, то нулевое, все невозвратные нулевые.
2.
Если возвратное, то может быть нулевое, а
может быть положительным.
(n)
ПЕРИОДИЧНОСТЬ. Период d  ОНД n : pii  0
Состояние апериодическое, если d  1
Состояние периодическое, если d  1 .
ТЕОРЕМА (без доказательства)
10
Если d  1, то lim pii( n ) 
n
1

1
Если d  1, то lim pii( nd ) 

n
В) СВОЙСТВА, СВЯЗАННЫЕ С ДРУГИМИ СОСТОЯНИЯМИ
НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ. Состояние i несущественное, если существует j
и n такие, что pij( n )  0 , и p(jik )  0, k  0 .
Вероятность вернуться в несущестенное состояние:
P{  0}  (1   )  pij( n)  0 ,
Несущественное состояние НЕВОЗВРАТНО.
СУЩЕСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ. Состояние i существенное, если существует j и n, к
такие, что pij( n )  0 , и p(jik )  0 .
ДОСТИЖИМОСТЬ. Состояние j достижимо из i (i  j ) , если существует n, для которого pij( n )  0 . Состояния сообщающиеся, если (i  j , j  i )
0
ВЫВОД. Существенные состояния сообщающиеся. Для существенных состояний
 1. ВАЖНО   0.
Свойства существенных состояний:

(i  i)
(i  j ) следует ( j  i )
(i  j  k ) следует (i  k ) .


Разбиение на непересекающиеся замкнутые классы.
Свойства сообщающихся состояний (свойства классов):
1. оба положительные, либо оба нулевые
2. оба возвратные, либо оба невозвратные
3. имеют один период
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(i  j  i ), pij( m )    0, p (jik )    0,
pii( m n1  k )  pij( m ) p (jjn1 ) p (jik )   p (jjn1 )  0,
p (jjm n2  k )  p (jik ) pii( n2 ) pij( m )   pii( n2 )  0
m  k делится на di и на dj , n1 делится на dj и на di, так как на di делится (m+n1+k), значит d j  di , n2 делится на di и на dj, так как на dj делится (m+n2+k), значит di  d j , Следовательно, di  d j .
Два произвольных состояния (i, j ) . Первое попадание
Обозначения


(n)
ij
 P{ ij  n}, ij   ij( n )  P{ ij  }
n 1
Если (i  j ) ,


(n)
ij
 P{ ij  n}, ij   ij( n )  P{ ij  }  0 - вероятность достичь, попасть хотя
n 1
бы раз.
ЛЕММА. Если ( j  i ) и

j
- возвратно, то
0  1   jj  p
(N)
ji
ij   ij( n )  P{ ij  }  1 .
n 1
(N)
ji
(1  ij ), p
11
 0 ij  1
j
- возвратно (процесс восстановления с запаздыванием, необрывающийся)

 i) и
ЛЕММА. Если ( j 
- возвратно, то
j
0  1   jj  p
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если состояние
j
(N)
ji
ij   ij( n )  P{ ij  }  1 .
(1  ij ), p
n 1
(N)
ji
 0 ij  1
нулевое, то при любом i
lim pij( n )  0
n
Доказательство.

pij( n )   ij( k ) p (jjnk ) , p (jjs )  0, s  0, p (0)
jj  1
k 1

(n)
ij
lim p
n
  ij( k ) lim p (jjnk )  0
n
k 1
Эргодическое состояние возвратное, апериодическое, положительное
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если состояние
j
- эргодическое, то lim pij( n ) 
n 
ij
в силу



lim pij( n )   ij( k ) lim p (jjn k ) 
n 

k 1
n 
k 1
 i) и
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если состояние ( j 

j
(k )
ij

ij

- эргодическое, то lim pij 
(n)
n
ij
в



силу lim pij( n )   ij( k ) lim p (jjn k ) 
n 

n 
k 1
k 1
(k )
ij


1

КОНЕЧНАЯ ЦЕПЬ
Если состояние j нулевое, то при любом i lim pij( n )  0
p
J e
n
(n)
ij
1
В КОНЕЧНОЙ ЦЕПИ ВСЕ СОСТОЯНИЯ ОДНОГО КЛАССА НЕ МОГУТ БЫТЬ НУЛЕВЫМИ.
Выводы (для конечной цепи):

все нулевые состояния несущественные

нулевых возвратных нет

все существенные положительно возвратны.
Неприводимая – один класс
НЕПРИВОДИМАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
Тогда
1.
Существуют пределы lim pij( n )   j , нет зависимости от первого индекса,
2.
3.
 j  0,

jE
n
j
 1,
 i    j p ji
jE
4.
(3) имеет единственное решение
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
12
lim pij( n )   j 
n
s
p
j 1
1
0
j
s
( n)
ij
 1, lim  p
n
j 1

s
( n)
ij
  j  1,

j 1
j 1

j
1

s
pij( n1)   pik( n ) pkj   pik( n ) pkj ,  j    k pkj .
k 1

  
jE
j
jE k 1
k 1
k 1

k

pkj   k pkj   k  pkj   k
kE j 1
kE
j 1
kE
Два решения отличаются множителем
 i   j p (jin ) , n  ,  i   j p (jin )   i  j  c i
jE
Множитель равен 1:
jE
c i   c j i ,
jE

jE
jE
j
1
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ. На практических занятиях решаются учебные задачи
по темам:

По физическому описанию ситуации определение характеристик цепи Маркова;

Построение и исследование свойств матриц переходных вероятностей;

Исследование свойств цепей Маркова (однородности, периодичности, возвратности, положительности, эргодичности)
Количество часов аудиторной работы – лекции 10 часов, практические занятия 15 часов.
Литература по разделу:
1.
Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. –
265 с.
2.
Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: МЦНМО,
2004. Кн.1 520с.
Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.:
МЦНМО, 2004. Кн. 2 408с.
Раздел 3. Процессы восстановления

Определение процесса восстановления (простого и с запаздыванием);

Функция восстановления и ее свойства;

Интегральные уравнения восстановления;

Плотность восстановления;

Асимптотическое поведение функции восстановления (элементарная теорема восстановления);

Обрывающиеся процессы восстановления;

Узловая теорема восстановления;

Характеристики случайных величин, связанных с процессом восстановления (перескок, недоскок)
Количество часов аудиторной работы – лекции 6 часов.
1.
Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. – 300с.
2.
Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов, Москва, МИЭМ, 2010
13
Раздел 4. Пуассоновский процесс


Исследование процесса Пуассона как процесса восстановления;
Использование предельных теорем при исследовании времени недоскока и пере-
скока.
Количество часов аудиторной работы – лекции 2 часа.
Литература по разделу:
1. Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. –
300с.
2. Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов, Москва, МИЭМ, 2010
3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.
Изд. 3-е, испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. – 400с.
4. Каштанов В.А., Ивченко Г.И., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Издание 2-е, испр. и доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 304 с.
Раздел 5. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний

Определение марковского процесса

Уравнения Колмогорова

Вложенная цепь и характеристики на периоде между соседними моментами изменения состояний;

Асимптотический анализ марковских процессов

Процессы гибели и размножения
Количество часов аудиторной работы – лекции 2 часа.
Литература по разделу:
1. Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. –
300с.
2. Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов, Москва, МИЭМ, 2010
3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.
Изд. 3-е, испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. – 400с.
4. Каштанов В.А., Ивченко Г.И., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Издание 2-е, испр. и доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 304 с.
Раздел 6. Стационарные процессы. Корреляционная теория

Определения. Стационарность в широком и узком смысле.

Линейные преобразования случайных процессов

Спектр, спектральная плотность.

Фильтрация.
Количество часов аудиторной работы – лекции 4 часа.
Литература по разделу:
1. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971-536с.
14
2. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Наука, 1979.
– 184с.
Раздел 7. Процессы с независимыми приращениями

Винеровский процесс,

Диффузионные процессы
Количество часов аудиторной работы – лекции 2 часа.
Литература по разделу:
1. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971-536с.
2. Розанов Ю.А. Случайные процессы. Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Наука, 1979.
– 184с.
Общий объем самостоятельной работы и распределение самостоятельной работы для
разных видов подготовки студента: для выполнения заданий по текущему контролю, подготовки к семинарским и практическим занятиям, выполнения домашней работы, задаваемой на семинарских или практических заданиях по усмотрению преподавателя и другое.
[Приведите перечень источников, или укажите ссылку на источник из раздела Учебнометодическое и информационное обеспечение дисциплины. Для базового учебника обязательная ссылка на разделы. Если базовый учебник не охватывает какую-либо тему, указывается ридер или другая литература].
Формы и методы проведения занятий по разделу, применяемые учебные технологии:
например, если для освоения раздела предусмотрено проведение деловых игр, дискуссий, мастер-классов, решение задач или рассмотрение кейсов на семинарах.
8
Образовательные технологии
При проведении лекций используются различные виды учебной работы, в том числе
дискуссии по исследуемым проблемам, обсуждение различных гипотез, выдвигаемых студентами относительно возможных математических результатов, теоретическое обсуждение заданий, выполняемых в рамках самостоятельной работы.
При проведении практических занятий осуществляется разбор практических и учебных
задач.
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Рекомендуется следующая структура практического занятия:
 Напоминание студентам о теоретических положениях (теоремах, следствиях,
леммах), на которых базируются решения практических и учебных задач.
 Обратить внимание студентов на проверку условий допустимости использования
данных теоретических положений
 По завершении решения задачи, обратить внимание студента на необходимость
сделать окончательный практический вывод.
Методические указания студентам
Каждому студенту при выполнении курсовой работы выдаются методические указания,
утвержденные на кафедре и изданные в типографии МИЭМ.
8.2
15
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для [Укажите название текущего контроля, проводимого в
письменной форме - контрольной работы, коллоквиума, домашнего задания]:
1. Вопрос
2.
9.1
Тематика [Укажите название текущего контроля - курсовые, эссе или другое] :
1. Тема
2.
Курсовая работа. Тема: Пуассоновский процесс. Исследование свойств пуассоновского
процесса и поведения траекторий процесса Пуассона. Построение распределений случайных
величин, связанных с поведение траекторий пуассоновского процесса. Выступление по материалам курсовой работы (защита курсовой работы).
Тема [Укажите название текущего контроля - эссе, рефераты или другое] для каждого
студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
9.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу
1. Основания теории случайных процессов:
Понятие алгебры, сигма-алгебры
Семейство согласованных конечномерных распределений и их свойства
Формулировка теорем Колмогорова о продолжении вероятностных мер
Случайный процесс как мера в пространстве траекторий
2. Марковские цепи
Марковское свойство, способы задания марковских цепей
уравнения Колмогорова-Чепмена
Классификация марковских цепей (возвратность, положительность, эргодичность)
Теорема о существовании единственного стационарного распределения.
3. Процессы восстановления
Определение простого процесса восстановления и процесса восстановления с запаздыванием
Определение функции восстановления и ее свойства
Интегральное уравнение восстановления
Элементарная и узловая теорема восстановления
Времена перескока и недоскока, предельное распределение
4. Пуассоновский процесс и его свойства
5. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний
Марковское свойство, переходные вероятности и их свойства
предельное поведение переходных вероятностей в окрестностях нуля
уравнения Колмогорова прямые и обратные (для переходных вероятностей и вероятностей состояний)
уравнения гибели и размножения
6. Стационарные процессы. Корреляционная теория.
Стационарные процессы в широком и узком смысле (определения).
Определение корреляционной функции и ее свойства.
Спектр. Спектральная плотность.
16
7. Процессы с независимыми приращениями.
Винеровский процесс.
Свойства траекторий.
Примерный перечень вопросов к каждому промежуточному и итоговому контролю для
самопроверки студентов.
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
По желанию автора программы, приводятся примеры билетов с вопросами и задачами,
заданий для зачета или экзамена, тренировочные тесты по дисциплине.
9.3
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Каштанов В.А. Элементы теории случайных процессов, Москва, МИЭМ, 2010
10.2 Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа:
Учебник для вузов. М.: Наука, 1989. – 624с.
Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: МЦНМО, 2004. Кн.1
520с. Ширяев А.Н.. Вероятность. В 2-х кн. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: МЦНМО,
2004. Кн. 2 408с.
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е,
испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. – 400с.
Каштанов В.А., Ивченко Г.И., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учебное
пособие. Издание 2-е, испр. и доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 304 с.
Кокс Д.Р. и Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио, 1967. – 300с.
Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971-536с.
Розанов Ю.А. Случайные процессы. Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Наука, 1979. – 184с.
10.3 Дополнительная литература
1. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. Пер. с англ. - М.: Наука, 1970. – 265 с.
2. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. Пер. с англ. - М.: Наука, 1987. –
416с.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том 2), М.: Мир, 1967. – 751с.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероятностей математической статистике. М.:
Наука, 1985.- 000с.
17