Семинар 5

Семинары по теории игр, 2012 год
Семинар №5. SPNE. Повторяемые игры.
№1 (из семинара №4).
№2.
Рассмотрим повторяемую игру с дисконт-фактором  и матрицей базовой игры вида
c
d
c
2;6 1;3
d
4; 2
1;5
Первый игрок использует следующую стратегию:
В нечетной партии сделать ход c . В четной партии скопировать ход противника в
предыдущей партии
Второй игрок использует следующую стратегию:
В 1-ой партии сделать ход d . Во 2-ой партии сделать ход c . В n -ой партии ( n  3 )
скопировать ход противника в  n  2  -ой партии.
а) Найдите дисконтированные платежи игроков в игре в целом.
б) Найдите дисконтированные платежи игроков в подыгре, начинающейся после
 dd  ,  dd  .
№3.
Рассмотрим повторяемую игру G с дисконт-фактором  и матрицей базовой игры вида
c
d
a 6;0 1; 2
b 4;3 0; 4
а) Найдите в матрице партии равновесие по Нэшу и исход, Парето-доминирующий
это равновесие.
б) Самостоятельно сформулируйте стратегии переключения, так, чтобы в фазе
наказания игралось равновесие по Нэшу из матрицы, а в фазе кооперации – исход,
доминирующий его по Парето.
Семинары по теории игр, 2012 год
в) При каких значениях дисконт фактора пара стратегий переключения будет
равновесием по Нэшу, совершенным в подыграх?
№4.
Статистическая игра для модели Курно задана следующим образом:
Q  q1  q2

 P  Q   30  Q

1  q1 , q2   q1  P  Q   c1   q1  30  q1  q2  c1 
 q , q  q P Q  c  q 30  q  q  c
1
2
2
 2 1 2 2   2 2
Рассмотрим теперь бесконечное число раз повторяемую игру G,    G, G,...,
основанную на базовой игре G дуополии. Пусть фактор дисконтирования равен  . Пусть
c1  c2  1 .
Назовём ситуацию, когда каждая фирмы производит часть «монопольного
выпуска» - кооперативным равновесием.
1) Определите, каким образом фирмы будут делить монопольный выпуск в
кооперативном равновесии.
2) Сформулируйте стратегии переключения.
3) Выясните, при каких значениях  эта стратегия "жесткого переключения"
приведет к совершенному подыгровому исходу.
Стратегия жесткого переключения формулируется по следующему правилу:
Производить часть «монопольного выпуска» в первый период (в первой базовой
игре). В t-й период производить часть «монопольного выпуска», если обе фирмы
производили каждый свою долю монопольного выпуска во все предыдущие t-1 периодов.
В противном случае в t-й период и во всех последующих производить выпуск, который
производили бы в модели Курно.
4)
Пусть теперь c1  1 , а c2  2 . Какие издержки будут у фирм, в случае
кооперации? Как в этом случае вы ответите на вопросы в пунктах 1-3?
№5.
Задана бесконечно повторяемая игра с дисконт-фактором  и матрицей
c
d
c
5; 4 0;7
d
6;0 2;3
а) Выпишите дисконтированные платежи игроков и средний платеж, если
стратегии игроков заданы следующим образом:
А1. (всегда <<c>>, всегда <<c>>)
А2. (всегда <<d>>, всегда <<d>>)
Семинары по теории игр, 2012 год
А3. (стратегия переключения, стратегия переключения)
А4. (наивная стратегия переключения, наивная стратегия переключения)
А5. (зуб за зуб, зуб за зуб)
А6. (стратегия кнута и пряника, стратегия кнута и пряника)
А7. (стратегия переключения наоборот, стратегия переключения наоборот)
А8. (стратегия переключения наоборот, зуб за зуб)
**) Определите, при каких  будут равновесными по Нэщу данные профили
стратегий.
**) Определите, при каких  эти профили будут равновесиями по Нэщу,
совершенными в подыграх.
Названия некоторых стратегий в повторяющейся дилемме заключенного
Стратегия d строго доминирует стратегию c , однако (c;c) - одна из Парето
оптимальных точек.
Всегда <<c>>
В любой партии делать ход c независимо от предыстории.
Всегда <<d>>
В любой партии делать ход d независимо от предыстории.
Цикл <<ccd>>
В первой партии сделать ход c, во второй - c, в третьей d, далее снова играется c, c,
d...
Стратегия переключения (grim trigger)
В первой партии cделать ход c. В n -ой партии сделать ход c , если во всех
предыдущих партиях был исход (c; c) . В n -ой партии cделать ход d , если хотя бы в
одной предыдущей партии не был сыгран исход (c; c) .
Наивная стратегия переключения (naive grim trigger)
В первой партии cделать ход c. В n -ой партии сделать ход c , если во всех
предыдущих партиях противник делал ход c . В n -ой партии сделать ход d , если хотя бы
в одной предыдущей партии противник сделал ход d .
Стратегия <<Зуб за зуб>> (Tit for Tat)
В первой партии сделать ход c . В n -ой партии повторить ход противника в
предыдущей партии.
Стратегия Кнута и Пряника (Win-Stay, Lose-Shift; Pavlov strategy)
В первой партии сделать ход c . В n -ой партии сделать ход c , если в предыдущей
партии действия игроков совпали. В n -ой партии сделать ход d , если в предыдущей
партии действия игроков не совпали.
Стратегия переключения наоборот
В первой партии cделать ход d. В n -ой партии сделать ход d , если во всех
предыдущих партиях был исход (d ; d ) . В n -ой партии сделать ход c , если хотя бы в
одной предыдущей партии не был сыгран исход (d ; d ) .
Стратегия ограниченного возмездия (limited retaliation)
Играть ход c в первой партии и далее до тех пор, пока исходом игры является
(c; c) . Если произошло исход, отличный от (c; c) , то в течение k ходов подряд делать ход
d , затем вернуться в исходное состояние.