Автореферат Н.О. Чубырь - Кубанский государственный

На правах рукописи
Чубырь Наталья Олеговна
ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА
БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Краснодар – 2012
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
«Кубанский государственный технологический университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Уртенов Махамет Али Хусеевич
Официальные оппоненты: Калайдин Евгений Николаевич, доктор
физико-математических наук, ФГБОУ ВПО
«Кубанский государственный университет»,
профессор кафедры теоретической экономики;
Шапошникова Татьяна Леонидовна, доктор
педагогических наук, кандидат физикоматематических наук, профессор, ФГБОУ ВПО
«Кубанский государственный технологический
университет», заведующая кафедрой физики.
Ведущая организация:
«МАТИ»- Российский государственный
технологический университет им. К.Э.
Циолковского.
Защита состоится « 25 » мая 2012 г. в ч. мин. на заседании
диссертационного совета Д 212.101.17 в ФГБОУ ВПО «Кубанский
государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар,
ул.Ставропольская, д. 149, в ауд. 231
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО
«Кубанский государственный университет», с авторефератом – на сайте
http://www.kubsu.ru/
Автореферат разослан « » апреля 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.101.17
кандидат физ.-мат. наук, доцент
2
В.Ю. Барсукова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящее время имеется большое количество
математических моделей переноса бинарного электролита (Н.П. Гнусин, В.И.
Заболоцкий, С.С. Духин, Б.П.Графов, А.А. Черненко, В.М. Волгин, А.П.
Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, А.В. Листовничий, Ю.И. Харкац, М.Х.
Уртенов, J.-L. Afonso, M.J. Clifton, I. Rubinstein, L. Shtilman и др.). Однако в
двумерных и трехмерных моделях предполагают электронейтральность
среды
и
вместо
уравнения
Пуассона
используется
условие
электронейтральности (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.М. Волгин, А.П.
Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, М.Х. Уртенов, Ю.И. Харкац, J.-L.
Afonso, M.J. Clifton), хотя запредельный режим переноса непосредственно
связан с наличием пространственного заряда, вызываемого этим эффектом,
например электроконвекции (I. Rubinstein, L. Shtilman, Е.Н. Калайдин, Е.А.
Демехин, М.Х. Уртенов, А.М. Узденова). Математические модели,
учитывающие влияние пространственного заряда на перенос ионов соли
(Б.П. Графов, А.А. Черненко, А.В. Листовничий, М.Х. Уртенов, I. Rubinstein,
L. Shtilman), являются одномерными, даже если изучаемый процесс
исследуется на плоскости или пространстве.
Имеющиеся асимптотические методы погранслойных функций
Люстерника Л. А., Вишика М. И., Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. и других
удобны для решения краевых задач мембранной электрохимии при
допредельных токах. Однако при запредельных токах вырожденные задачи,
лежащие в основе этих методов, не имеют решения во всей области, поэтому
необходимо эти методы модифицировать, использовать их в сочетании с
методом согласования асимптотических решений, с новыми методами,
разработанными специально для краевых задач мембранной электрохимии.
Таким образом, тему диссертационной работы, посвященной
построению двумерных моделей переноса ионов соли в мембранных
системах с учетом пространственного заряда, разработке эффективных
численных и асимптотических методов решения соответствующих краевых
задач, следует признать актуальной.
Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой,
оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в
3
рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно
возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в
обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных
научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта
РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных
мембран
с
использование
углеродных
нанотрубок
с
целью
совершенствования процессов электродиализного обессоливания и
концентрирования»).
Объектом исследования является перенос бинарного электролита.
Предметом исследования математическое моделирование краевых
задач переноса бинарного электролита.
Цель исследования. Разработка и исследование двумерных
математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных
системах, построение эффективных численных и асимптотических методов
их решения.
Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:
1. Построение математических моделей переноса бинарного
электролита;
2. Построение эффективных численных и асимптотических методов
решения краевых задач соответствующих моделей;
3. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для
проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов
переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного
аппарата и проведение вычислительных экспериментов;
4. Установление основных закономерностей переноса бинарного
электролита.
Научная новизна:
1. Выведена иерархическая система двумерных математических моделей
переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом
пространственного заряда: модель переноса бинарного электролита в
декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в
проточной мембране, модель без начального погранслоя (БНП), модель
переноса бинарного электролита в приближении закона Ома (ЗОМ), модель
4
с функцией Хэвисайда. Все модели, за исключением модели ЗОМ, являются
оригинальными и не имеют аналогов;
2. Разработан новый асимптотический метод решения двумерных
краевых задач соответствующих математических моделей, основной
особенностью которого является следующее: 1) решение в разных областях
имеют различные асимптотические разложения, типы уравнений для
коэффициентов разложения зависят от области (например, в области
электронейтральности – эллиптический, в области пространственного
заряда - параболический), 2) в области пространственного заряда для
текущего асимптотического приближения получаем неопределенную
систему, а для следующего переопределенную, поэтому для однозначной
разрешимости текущего асимптотического приближения используем
условие разрешимости для следующего приближения;
3. Предложены алгоритмы численного решения двумерных краевых задач
математических моделей переноса бинарного электролита на основе
модификации метода установления, которая заключаются в следующем:
вводится специальный дифференциальный оператор, имеющий разный тип
в разных областях и два разных времени;
4. Установлены основные закономерности переноса бинарного
электролита и показано: а) существенное влияние пространственного заряда
на перенос в камере обессоливания, б) вместо исходной краевой задачи
можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в
приближении закона Ома, в) область камеры обессоливания разбивается на
области пространственного заряда, примыкающие к мембранам, область
электронейтральности в ядре потока и промежуточный слой между ними, а
также на погранслои вблизи границ, г) закономерности изменения
электрохимических полей по времени и ширине канала обессолевания.
Научная и практическая значимость
1. Разработанные в работе алгоритмы решений модельных задач реализованы
в виде комплекса программ для ЭВМ и могут быть использованы на
практике для выбора оптимальных технологических параметров работы
мембранных систем.
5
2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач,
предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач
для систем квазилинейных уравнений математической физики.
3. Установленные нами основные закономерности переноса бинарного
электролита могут быть использованы научно-исследовательскими
группами, проектными организациями при разработке новых конструкций
электродиализных аппаратов водоподготовки с целью повышения
эффективности этих аппаратов.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Иерархическая система математических моделей переноса в бинарного
электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного
электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса
бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального
погранслоя, модель переноса бинарного электролита в приближении
закона Ома, модель с функцией Хэвисайда.
2. Новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие
между функцией тока, напряженностью электрического поля и
концентрацией электролита для двумерного случая с учетом
пространственного заряда.
3. Алгоритмы асимптотического и численного решения, соответствующих
краевых задач соответствующих математических моделей.
4. Основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных
системах с учетом пространственного заряда: распределение областей
электронейтральности, пространственного заряда, промежуточных и
пограничных слоев, закономерности изменения электрохимических полей
по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.
5. Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения
вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса
бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного
аппарата и проведение вычислительных экспериментов
Внедрение. Результаты диссертационного исследования использованы в
работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при
6
проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ
ВПО «Кубанский технологический университет».
Достоверность
результатов.
Достоверность
исследований
подтверждается согласованием их с результатами других авторов, когда это
возможно.
Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены
лично автором. Диссертантке принадлежат: иерархическая система
математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных
системах, алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач
соответствующих
математических моделей,
комплекс проблемноориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов
по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале
обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных
экспериментов. Ею лично выявлены основные закономерности переноса
бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:
1.На
13
Международных,
Всероссийских
и
Региональных
конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar
2009 - 2010), VI-VII Всероссийских конференциях «Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа (2009,
2010)); на научных конференциях студентов и аспирантов КубГУ ( 20062009гг) и КубГТУ ( 2007- 2011 гг);
2.На научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ
(2006,2007,2009гг), прикладной математики КубГТУ (2007- 2010г)
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных
работ, из них 1 монография, 16 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 6
статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных
результатов докторских и кандидатских диссертаций, 1 свидетельство о
государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения, списка литературы (142 наим.). Работа изложена
на 167 стр., в том числе содержит 12 рисунков.
7
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность диссертационной работы,
сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на
защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность
исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы
по разделам.
В главе 1
рассматриваются электродиализные процессы, приведен
обзор математических моделей, описывающих эти процессы, а также обзор
методов асимптотического решения сингулярно-возмущенных уравнений,
проведен анализ современных математических моделей, описывающих
процессы переноса в электромембранных системах, а также предлагается
новая иерархическая классификация этих моделей. Рассматриваются
основные асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных
уравнений: метод Л. А. Люстерника, М. И. Вишика, погранслойных функций
Васильевой А.Б. и Бутузов В.Ф., метод сращиваемых асимптотических
разложений. Дан обзор методов решения сингулярно-возмущенных задач
мембранной электрохимии.
В главе 2 в п. 2.1 предлагается следующий алгоритм вывода моделей,
описывающих перенос бинарного электролита в мембранных системах
(например, в канале обессоливания электродиализного аппарата):
1. В качестве исходной системы уравнений рассматривается система
уравнений Нернста – Планка и Пуассона. В этой системе переходим к
безразмерному виду, используя характерные для мембранных систем
переменные и величины. При этом появляются два малых параметра:



ji  Di zi Ci E  Di Ci  CiV , i  1,2

divE  z1C1  z2C2

Ci
 div ji ,
t



I  z1 j1  z 2 j2 ,

E  
i  1,2
где   0 ,   0 - безразмерные малые параметры, D i - безразмерные
 

коэффициенты диффузии, z i - зарядовые числа, ji , Ci , E , I искомые потоки,
8
концентрации ионов и напряженность электрического поля и плотность тока,
соответственно, t, x  [0,1], y  [0, L] - безразмерные время, ширина и длина
канала обессоливания.
Таким образом, исходная система электродиффузионных уравнений
является сингулярно - возмущенной, поэтому она неудобна для численного
решения. Кроме того, структура системы уравнений такова, что из нее можно
вывести лишь модельную задачу с условием электронейтральности. Она
содержит 11 уравнений с 11 неизвестными функция, причем можно показать,
что все эти функции имеют погранслои возле мембран и начальные
погранслои.
2. В связи с этим производится преобразование исходной системы
уравнений путем введение новых неизвестных функций: обобщенной


 2
E 1 
~
концентрации S  S 0  z1 z 2 E общей плотности тока   

I и
t Pe
2
функции тока для общей плотности тока  :

 1 ,
y

  2 , так
x
чтобы число неизвестных функций уменьшилась, структура уравнений
улучшилась, а погранслой возникал только для напряженности
электрического поля. Полученную систему уравнений мы называем
декомпозиционной:
~
2

S
~ 
 d 2 z1 z 2 div S E  d 2 z12 z 22 div E E   d 3 (divE ) 2 


t
2
2
2
2
1
~ d
2
 d 3  E  d 3 E1  d 3 E 2  d1S  1 z1 z 2  E 
2
2




2
2

 
~
 d 2  divE  div( S V )  div( E V )  z1 z 2
E ,
2
2 t

 


E
~ 

 d 3 z1 z 2 S E  d 3 z12 z 22 E E  d 4 E div E 
t
2
2


 
~ 
 d 2 z1 z 2  S  d 2 z12 z 22  E  d 3 E   V div E  .
2
Где d1 , d 2 , d 3 , d 4 - некоторые константы.
 



9

3. Поскольку декомпозиционная система уравнений содержит новую
неизвестную функцию тока для общей плотности тока  , то из исходной
системы уравнений для нее выводится новое уравнение и краевые условия:
2
 
~ 1

   (  d 3 z1 z 2 ( S  z1 z 2 E )  d 4 div E , E )1 
2


 


  (E ,V )1  divE  r V .

4. Используя предположение о том, что порядок функций при
стремлении малого параметра к нулю аналогичен одномерному случаю, а

~
именно: S  O(1) , E  O(1 /  ) ,   O(1) , при   0  , равномерно
относительно (t, x, y)  [0, )  [0,1]  [0, L] и относительно малого параметра
 , производим оценку членов декомпозиционных уравнений и, отбрасывая
малые члены, получаем уравнения, описывающие соответствующие модели.
Например, для проточных мембранных систем получена модель,
описанная следующей системой уравнений:
~
2 
S
 2
~
~ 
(1)
 S  div( S V )  div( E V )  z1 z 2
E
t
2
2
t


 2 
E
~ 1
(2)

 E  z1 z 2 S E  z12 z 22 E E  
t
2
 2 
~ 1
  z1 z 2 ( S  z1 z 2 E , E )1
2


(3)
Так как для получения этой системы уравнений кроме предположения о
порядке функций мы воспользовались малостью параметра  , а это
выполняется для проточных мембранных систем, поэтому модель,
описываемую системой уравнений (1)-(3), назовем моделью ППМС
(переноса в проточных мембранных системах).


Если не учитывать переходные процессы, то с учетом   I , получим
систему уравнений:
~
2
S
~
~ 
(4)
 S  div( S V )  div( E V )
t
2

 2 
~ 1
(5)
E  z1z2 S E  z12 z22 E E  I  0
2
10
 2 
~ 
  z1 z 2 ( S  z1 z 2 E , E )1
2


(6)
Модель, описываемую системой уравнений (4)-(6), назовем моделью

БНП (без начального погранслоя по функции E ).
Рисунок 1. Иерархическая система моделей, выведенная в диссертации

Если не учитывать погранслои по функции E , то можно отбросить

член E , тогда получим «нестационарную модель переноса в
приближении закона Ома»:
~
2
S
~
~ 
 S  div( S V )  div( E V )
t
2
 2 
~ 1
z1z2 S E  z12 z22 E E  I  0
2
 2 
~ 
  z1 z 2 ( S  z1 z 2 E , E )1 ,
2


(7)
(8)
(9)
Приведенные выше модели, включая соответствующие стационарные
модели, можно рассматривать как иерархическую систему моделей рис.1.
Системы уравнений дополнены естественными краевыми условиями.
При гальваностатическом режиме естественными являются следующие
краевые условия.
1) Граничные условия
11
~
S
 A(t , y )  0,
x 0
~
S
 C (t , x ),
~
S
 B(t , y )  0,
x 1
~
S
 D (t , x )
y 0

x
0 ,
x 0

x
(10)
yL

0,
x 1
y 0
 0,
 y  L  iav L
2) Начальное условие
~
S
 S 0 ( x , y ) ,  t  0   0 ( x, y )
(11)
t 0
3) Условия согласования граничных условий:
C (t ,0)  A(t ,0);
C (t ,1)  B(t ,0);
D(t ,0)  A(t , L);
D(t ,1)  B(t , L)
(12)
4) Условия согласования граничных и начальных условий:
S 0 (0, y)  A(0, y);
S 0 (1, y)  B(0, y);
S 0 ( x,0)  C (0, x);
(13)
S 0 ( x, L)  D(0, x)
Для функции  граничные условия и начальное условие будет
согласовано, если взять 0 ( x, y ) , например, в виде 0 ( x, y )  iav y .
В п.2.2 произведено расщепление системы уравнений модели переноса в
приближении закона Ома и выведены отдельные уравнения для обобщенной
концентрации и функции тока для плотности тока, не зависящие от других
неизвестных функций для симметричного бинарного электролита
( z1   z 2  1 ):
~

S
~
 S  div(uV )
t


1 
 u 2 3u  2S~

2
2
2
   2
  

 x 2 u 2 3u  2S~ x y xy

2

     2

1
~

 
 1 2


S
, 
~
~
 u 3u  2S  y   y 2 3u  2S


 2 ~
~
2
2u 3  2u 2 S    , где u  E  S .
2
Далее приведены численные и асимптотические алгоритмы решения
этой системы уравнений. На основе одного из методов решена еще одна
модель:


  
 
 x 





12


~
S
~
~
~
 S   ( S )div( S V )
t
  2  ~ 
E E  SE  I
2
  ~   2  
    S  E , E 
2
 1
 
(14)
(15)
t  0, x  (0,1), y  (0, L) ,
которую мы называем моделью переноса с функцией Хэвисайда.
~
2
В п.2.3 рассмотрены методы решения уравнения 2u 3  2u 2 S    :
метод сведения к эталонному уравнению, методом итераций и
асимптотическое решение. В п.2.4. предложены методы решения уравнения
~

S
~
для обобщенной концентрации
 S  div(uV ) с учетом предложенных
t
методов решения уравнения для функции u .
В п.2.5. предложены
асимптотическим метод и метод последовательных приближений решения
уравнения для функции  .
1.Алгоритм асимптотического решения.
Для асимптотического решения краевой задачи с функцией Хэвисайда
предлагается использовать следующий алгоритм:
1) Решаем краевую задачу
~
S
~
~
~
 S   ( S )div( S V )
t
~
~
S
 A(t , y )  0,
S
 B(t , y )  0,
x 0
~
S
~
S
y 0
t 0
x 1
 C (t , x),
~
S
yL
 D(t , x)
 S 0 ( x, y )
~
уравнение S (t , x, y )  0 ,
определяем
области
~
электронейтральности U 1 , где S  0 и пространственного заряда U 2 , где
~
~
S  0 , а также промежуточный слой U 3 около нулей функции S (t, x, y ) .
2)Решая
13
3) В каждой из областей уравнение для функции тока плотности тока 
упрощается. На границах областей используются условия непрерывности
этой функции и ее первых производных.



Находим плотность тока I по формуле
I1  
, I2 
y
x
4) Нами показано, что


S~  ...,

  2 1  1 1 ~ 1 
u   I 3 32 3  S  I
3
9

  1 1
 I  22 2

~  ...,

S
(t , x, y )  U1

2 1 1 5
~
3 23  3 S 3
 ...,
(t , x, y )  U 3
(t , x, y )  U 2
 1

5) Находим напряженность электрического поля E по формуле E  I
u
2. Алгоритм итерационного решения
1) Берем некоторое начальное приближение u ( 0) . Например, в качестве
начального приближения можно использовать найденное выше
асимптотическое представление. Пусть уже найдены приближения u (1) , ..., u ( i )
~
~
 (1) (t , x, y ) , …,  (i ) (t , x, y ) , S (1) (t, x, y ) , …, S ( i ) (t, x, y ) .
~
2). Приближение S ( i 1) определим как решение краевой задачи
~

S
~
 S  div(u (i )V )
t
~
~
S
 A(t , y )  0,
S
 B(t , y )  0,
x 0
x 1
~
~
S
 C (t , x ),
S
 D (t , x )
y 0
~
S
t 0
yL
 S 0 ( x, y ) .
3) Приближения  (i1) (t , x, y ) как решение краевой задачи:
14
2
(i ) 2

(i )
  (i )    2

2






1 



~
~
 (u (i ) ) 2 3u (i )  2S (i 1)  x   x 2 (u (i ) ) 2 3u (i )  2S (i 1) x y xy 

 


(i )  2  2




1
~ (i 1)

   
 1  ( i ) 2 ( i )

S
, 
~ (i 1) 
~
  y 2 3u (i )  2S (i 1)

y
 (u ) 3u  2S

 



0,
 0 ,  y 0  0 ,  y  L  iav L ,  t 0  0 ( x, y ) ,
x x 0
x x 1









4) В качестве u ( i 1) берем решение уравнения
2
~
2u 3  2u 2 S ( i 1)    ( i 1) , найденное, например, методом Ньютона:
~
u i   S i 1



i 1
i
(i 1 2
u
u 



.




i
i  ~ i 1
i
i  ~ i 1
3u  2u S
6u  4u S
В третьей главе предлагается алгоритм нахождения
2
2
2
высших
приближений для краевых задач, построенных в работе моделей переноса,
основные пункты которого прослеживаются при решении всех модельных
задач. Выведены уравнения, описывающие погранслойные функции для
напряженности электрического поля.
В п.3.1 строятся высшие асимптотические разложения модельной
краевой задачи с функцией Хэвисайда.
1. В области электронейтральности используем для асимптотического
решения следующие разложения:

 
  0  E 1  ...,    (0)   (1)  ...
(16)
Для начального приближения система уравнений принимает
следующий вид:
~
 ( 0)   S , E ( 0) 1
(17)

1
(18)
E ( 0)  ~ I ( 0) ,
S

Так как, I 0     (y0) ,  x(0) , то второе уравнение можно преобразовать к


виду:


1 ~
 0   ~ S ,  (0)  0
S
Для i  го приближения разложения имеют вид:
15
(19)

1 
~
E i   ~ I i   i 1 ( E 0  , E 1  E i 1 , S )
S
1 ~
~
 i   ~ S , i    i 1 E 0  , E 1  E i 1 , S , i 1
S



i 1 ( E 0  , E 1  E i 1 ) ,
где

 i 1 ( E 0  , E 1  E i 1 )
некоторые
известные функции от предыдущих коэффициентов.
2. В области пространственного заряда
для асимптотического
решения используем следующие разложения:
 
 1  ( 1)  (0)


    ... ,    (0)   (1)  ... , I  I (0)  I (1)  ...
(20)

1
1) Приравнивая коэффициенты при

уравнений для нулевого приближения имеет вид:
получаем, что система




(21)




(22)
 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 ~  1
 E2
 S   E1  0
 E1
2
2

 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 ~  1
 E2
 S   E2  0
 E1
2
2

I 20  I10   ~


S  E11E10   E21E20   E21 
x
y
x
 ~

S  E11E10   E21E20   E11 ,
y




Уравнения (21), (22) не позволяют однозначно определить
(23)

Выпишем систему для первого приближения относительно вектора E :

E 1 .
I1(0)
~

1 ( 0 )
( 1) ( 0 )
1 1   2  2   S  ( 1) ,
(24)
I 20 
~


1 0 
1 0 
1 1   2  2   S  1 ,
E
(25)
E1
2
Условие разрешимости системы (24), (25) имеет вид:
E21I10  E11I 20  0
(26)
Решая совместно уравнение (21) и условие разрешимости (26) получим:
16
E 1  I 0 
1
1
~
 2S
   
I 0 
1
2
 I 20 
2
1
,
E2
~
 2S
0 
 I2
I     I   
0 2
1
0 2
2
.
(27)
Таким образом, из условия разрешимости следующего приближения
1 1
получается система уравнений для начального приближения E1 , E2 . Из
последних двух формул следует, что необходимо вывести уравнение для  ( 0 ) .
В диссертации выведено это уравнение, имеющее вид:
  0    2 0 
 0   0   2 0    0    2 0 



2

 y  x 2
 y 2 

y

x

x

y

x




2
2
  0  S~
0 
~
 0  S  

 



y

y

x

x


2
(28)
~
2S
Аналогично, условие разрешимости для i  1 члена разложения даёт
возможность однозначного определения для i  го члена разложения.
В п.3.2 приведены высшие асимптотические разложения краевой задачи
модели в приближении закона Ома, в п.3.3 найдены высшие
асимптотические разложения краевой задачи для декомпозиционной системы
уравнений. Все описанные выше асимптотические решения справедливы для

E всюду за исключением области начального времени и границ области. В

п.3.4 вычислены погранслойные функции для E , которые совместно с
построенными выше решениями дают асимптотическое решение во всей
области.
В четвертой главе проводится численное исследование переноса
бинарного электролита в мембранных системах в гальваностатическом
режиме. В п.4.1 главы предлагаются различные алгоритмы численного
решения краевой задачи с функцией Хэвисайда. В п.4.2 приведены
различные обобщения. В п.4.3 описан программный комплекс
«Моделирование переноса бинарного электролита в МС»
В п.4.4 выявлены основные закономерности переноса бинарного
электролита и приведены некоторые результаты численного решения:
17
а)
b)
с)
d)
Рисунок 2. Графики решений краевой задачи при t  0.01 :
~
а) S (t , x, y ) , b) (t , x, y ) , с) I1 (t , x, y ) , d) I 2 (t , x, y ) .
Для повышения точности расчетов и оценки численной устойчивости
использовался метод дробления шага в два раза. Сравнение результатов
показывает достаточно хорошую точность расчетов и их численную
устойчивость. В п.4.5 произведена верификация результатов путем
сравнения с результатами других авторов там где это возможно.
По итогам исследования в главе 4 определены следующие основные
закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах:
1.Показано существенное влияние пространственного заряда на перенос
в камере обессоливания;
2.На основании численного анализа показано, что вместо исходной
краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую
задачу в приближении закона Ома (ЗОМ).
3.Показано, что камера обессоливания (КО) разбивается на ряд
областей: область пространственного заряда, примыкающая к мембране,
область электронейтральности в ядре и промежуточный слой между ними,
кроме того, напряженность электрического поля значительно меняется в
18
начальный момент времени, а также на границах; исследованы
закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине
камеры обессоливания электродиализного аппарата.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
В итоге проведенных в диссертации исследований можно
сформулировать следующие основные результаты и предложения:
1. Предложена иерархическая система математических моделей
переноса бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса
бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса
бинарного электролита в проточной мембране, модель БНП, модель переноса
бинарного электролита в приближении закона Ома, стационарная модель
ЗОМ, стационарная модель переноса бинарного электролита в проточной
мембране, модель с функцией Хэвисайда;
2.Разработан новый асимптотический метод решения краевых задач
соответствующих математических моделей;
3.Разработан новый численный метод решения краевых задач
соответствующих математических моделей;
4.Выведено новое уравнение для функции тока, устанавливающее
соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и
концентрацией электролита для двумерного случая с учетом
пространственного заряда.
5.Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для
проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов
переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного
аппарата и проведение вычислительных экспериментов.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих
работах:
Монография:
1.Чубырь Н.О. Двумерные математические модели переноса бинарного
электролита в мембранных системах (численный и асимптотический анализ):
монография/Коваленко А.В., Уртенов М.Х. –Краснодар: ФГБОУ ВПО
«КубГТУ», 2012. –132с.
19
Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования
результатов кандидатских и докторских диссертаций:
2. Чубырь Н.О. Полная декомпозиция неодномерной системы уравнений
Нернста-Планка-Пуассона для бинарного электролита / Лаврентьев А.В.,
Уртенов К.М., Хромых А.А.//Экологический вестник научных центров
Черноморского экономического сотрудничества. – Краснодар. – 2009. - №2. –
С. 32-37.
3. Чубырь Н.О. Численное и асимптотическое решение неодномерной
системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона/ Лаврентьев А.В., Уртенов
К.М., Хромых А.А.// Известия вузов. Северо-Кавказский регион.
Естественные науки. 2010. №5. С.17-22.
4. Чубырь Н.О. Краевая задача для плотности тока в области
пространственного заряда/Уртенов К.М., Коваленко А.В., Хромых А.А.//
Экологический вестник научных центров Черноморского экономического
сотрудничества, 2010, №1, C.70-74.
5. Чубырь Н.О., Коваленко А.В., Узденова А.М., Уртенов М.Х.
Хромых А.А., Барсукова В. Ю. Численное решение краевой задачи модели
переноса бинарного электролита в приближении закона Ома//
Политематический
сетевой
электронный
научный
журнал
Кубанского государственного аграрного университета, №77(03), 2012 года.
Режим доступа http://ej.kubagro.ru/2012/03/pdf/58.pdf
6. Чубырь Н.О Анализ краевой задачи модели переноса бинарного
электролита в приближении закона Ома /Коваленко А.В., Уртенов М.Х.,
Узденова А.М., Хромых А.А., Барсукова В. Ю.// Политематический сетевой
электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного
университета, №77(03), 2012 года,C1-14 http://ej.kubagro.ru/2012/03/pdf/57.pdf
7. Чубырь Н.О Численное решение краевых задач для квазилинейных
уравнений математической физики с функцией Хэвисайда/ Коваленко А.В.,
Уртенов М.Х, Узденова А.М.// Современные проблемы науки и образования.
– 2012. – № 2; URL: http://www.science-education.ru/102-5919
Публикации по теме диссертации в других изданиях:
8. Чубырь Н.О.(Фоменко Н. О.) Вывод уравнения для плотности тока
для бинарного электролита// Прикладная математика XXI века: Материалы
20
VI: объединенной конференции студентов и аспирантов факультета
компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар: КубГУ,
2006, C.122-125.
9. Чубырь Н.О. (Фоменко Н. О.) Приближенное решение уравнения для
плотности тока для бинарного электролита// Прикладная математика XXI
века: Материалы VII объединенной конференции студентов и аспирантов
факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар:
КубГУ, 2007, С.55-56.
10. Чубырь Н.О., Баталин И.Г., Ковалев А.В. Нахождение первого
приближения для плотности тока в модельной задачи с кубическим
уравнением // Сборник студенческих научных работ, отмеченных наградами
на конкурсах. Выпуск 9.Краснодар, Изд-во КубГТУ, 2008, С.76-77.
11. Чубырь Н.О., Самсон С. Пример решения модельной задачи переноса
бинарного электролита с условием КРЗ// Сборник научных трудов студентов
факультета КТАСиЗИ и ИСТЭК. Выпуск 1. Краснодар,Изд-во
КубГТУ,2008,С.180-181.
12. Чубырь Н.О. Приведение к каноническому виду уравнения первого
приближения для плотности тока краевой задачи с условием
квазиравномерного распределения заряда// Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VI
Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов.
Краснодар:Просвещение-Юг, 2009, С.121-123.
13. Чубырь Н. О. Полная декомпозиция системы трехмерных
электродиффузионных уравнений./ Лаврентьев А.В., Усова Е.С., Уртенов
М.Х., Хромых А.А.// Современное состояние и приоритеты развития
фундаментальных наук в регионах. Труды VI Всероссийской научной
конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг,
2009, С84-86.
14. Чубырь Н. О. Полная декомпозиция двумерной системы уравнений
Нернста-Планка и Пуассона для бинарного электролита./ Лаврентьев А.В.,
Усова Е.С., Уртенов М. Х., Хромых А.А.,.// Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI
21
Всероссийской научной
конференции молодых ученых и студентов.
Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. С. 87-89.
15. Чубырь Н. О. Вывод модельных задач из полной системы
декомпозиционных. /Лаврентьев А.В., Усова Е.С., Уртенов М. Х., Хромых
А.А.// Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук
в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых
ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. С. 89-91.
16. Чубырь Н.О., Хромых А. А. Сопоставительный анализ
асимптотического и численного решения краевой задачи с условием
квазиравномерного распределения заряда// Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI
Всероссийской научной
конференции молодых ученых и студентов.
Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. С. 123-125.
17. Чубырь Н.О. Нахождение первого приближения для плотности тока в
одной модельной задаче переноса бинарного электролита// Прикладная
математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и
аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики.
Краснодар: КубГУ, 2009. C.124-125.
18. Чубырь Н.О., Морозова П.А. Решение краевой задачи с условием КРЗ//
Сборник научных трудов студентов факультета КТАСиЗИ и ИСТЭК.
Выпуск2. Краснодар, Изд-во КубГТУ, 2010. C.59-61.
19. Чубырь Н.О. Асимптотическое решение краевой задачи переноса
бинарного электролита в области пространственного заряда// Прикладная
математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и
аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики.
Краснодар: КубГУ, 2010 c.62-64.
20. Chubyr N.O., M.Kh. Urtenov About one particular solution of QECS tasks.
International conference «Ion transport in organic and inorganic and inorganic
membranes». – Krasnodar, 2009. – P. 38-40.
21. Chubyr N.O., Asymptotics in the solution of two-dimensional marginal task
of transferring binary electrolyte in the sphere of space charge. International
conference «Ion transport in organic and inorganic and inorganic membranes». –
Краснодар, 2010. – P. 40-42.
22
22. Чубырь Н. О., Уртенов М. Х. Асимптотическое решение одной
модельной задачи электромассопереноса/ Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VII
Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов.
Краснодар:Просвещение-Юг, 2010.C.179-180.
23. Чубырь Н. О. Асимптотическое решение декомпозиционной системы
уравнений в области пространственного заряда/ Современное состояние и
приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VII
Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов.
Краснодар:Просвещение-Юг, 2010.C.181-182.
24. Чубырь Н. О. Решение одной рекуррентной системы уравнений//
Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной
конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий
и прикладной математики. Краснодар: КубГУ, 2011.C. 87-88.
25. Чубырь Н. О. Алгоритм асимптотического решения краевой задачи
переноса бинарного электролита//Прикладная математика XXI века:
Материалы IX объединенной конференции студентов и аспирантов
факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар:
КубГУ, 2011.C. 88-89.
26. Чубырь Н.О., Красин П.С., Приходько А.А. Решение системы
уравнений асимптотических приближений в области пространственного
заряда// Сборник научных трудов студентов факультета КТАС КубГТУ.
Выпуск 4. Краснодар, изд-во КубГТУ, 2011.С.57-59.
Свидетельства о государственной регистрации программ
27. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ
№2010615502 от 27.08.2010 г. Алгоритм численного решения одной краевой
задачи с условием КРЗ. Чубырь Н. О., Хромых А.А., заявка №2010613989 от
5.07.2010 г.
23
Подписано в печать 18.04.2012. Печать трафаретная.
Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,35. Тираж 100 экз. Заказ № 450.
ООО «Издательский Дом-Юг»
350072, г. Краснодар, ул. Московская 2, корп. «В», оф. В-120
тел. 8-918-41-50-571
e-mail: [email protected]
Сайт: http://id-yug.narod2.ru
24