Российский Государственный Университет нефти и газа имени И.М. Губкина

Российский Государственный Университет нефти и газа имени И.М. Губкина
факультет Автоматики и Вычислительной Техники
кафедра Автоматизации Технологических Процессов
Вопросы по дисциплине
«Планирование и обработка результатов научного эксперимента»
весенний семестр 2007/08 учебного года
Раздел 1.
1.1. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины, её
свойства. Функция плотности распределения. Построение эмпирической функции
распределения и гистограммы.
1.2. Характеристики случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия,
среднеквадратическая ошибка. Точечные оценки этих величин на основе выборки из
генеральной совокупности. Квантили и процентные точки.
1.3. Дать определения следующим понятиям: генеральная совокупность, выборка,
вариационный ряд, арифметическое среднее, геометрическое среднее, выборочная медиана,
выборочная мода, коэффициент вариации.
1.4. Схема независимых испытаний Бернулли. Биномиальное распределение. Аналитическое
выражение закона распределения, математического ожидания, дисперсии.
1.5. Асимптотическое приближение биномиального приближения с помощью распределения
Пуассона и с помощью нормального распределения.
1.6. Полиномиальное распределение. Аналитическое выражение закона распределения,
математического ожидания, дисперсии.
1.7. Распределение Пуассона. Аналитическое выражение закона распределения,
математического ожидания, дисперсии.
1.8. Гипергеометрическое распределение. Аналитическое выражение закона распределения,
математического ожидания, дисперсии.
1.9. Равномерное распределение. Аналитическое выражение закона распределения,
математического ожидания, дисперсии.
1.10. Нормальное (гауссовское) распределение. Аналитическое выражение и график функции
плотности вероятности. Математическое ожидание и дисперсия. Нормированное нормальное
распределение N(0;1) .
1.11. Распределение хи-квадрат. Привести качественный рисунок функции плотности
распределения. Асимптотические свойства функции плотности распределения.
Аналитическое выражение математического ожидания, дисперсии.
1.12. Распределение Стьюдента. Привести качественный рисунок функции плотности
распределения. Асимптотические свойства функции плотности распределения.
Аналитическое выражение математического ожидания, дисперсии.
1.13. Распределение Фишера. Привести качественный рисунок функции плотности
распределения. Асимптотические свойства функции плотности распределения.
Аналитическое выражение математического ожидания, дисперсии.
1.14. Связь распределения хи-квадрат с нормальным распределением. Пусть случайная
величина распределена по закону хи-квадрат. Написать её выражение через случайные
величины, распределённые по закону N(0;1) .
1.15. Связь распределения Стьюдента с нормальным распределением. Пусть случайная
величина распределена по закону Стьюдента. Написать её выражение через случайные
величины, распределённые по закону N(0;1) .
1
1.16. Связь распределения Фишера с нормальным распределением. Пусть случайная
величина распределена по закону Фишера. Написать её выражение через случайные
величины, распределённые по закону N(0;1) .
Раздел 2.
2.1. Задача проверки гипотез. Статистический критерий. Ошибки первого и второго рода.
Уровень значимости. Мощность критерия.
2.2. Дана выборка из нормальной генеральной совокупности. Проверить гипотезу о
равенстве нулю математического ожидания в двух случаях: если дисперсия известна и если
дисперсия неизвестна.
2.3. Доверительное оценивание (интервальное оценивание). Методы построения
доверительного интервала математического ожидания и дисперсии, для выборки из
нормальной генеральной совокупности.
2.4. На основе выборки из нормальной генеральной совокупности построить доверительный
интервал для математического ожидания в двух случаях: если дисперсия известна и если
дисперсия неизвестна.
2.5. Даны выборки из двух нормально распределённых генеральных совокупностей.
Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий с помощью распределения
Стьюдента.
2.6. Даны выборки из двух нормально распределённых генеральных совокупностей.
Проверить гипотезу о равенстве дисперсий с помощью распределения Фишера.
2.7. Хи-квадрат критерий Пирсона проверки на основе выборки гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности.
2.8. Проверка с помощью нормального закона распределения гипотезы о вероятности
появления события в схеме независимых испытаний Бернулли.
Раздел 3.
3.1. Двумерное нормальное распределение случайных величин. Аналитическое выражение
функции плотности распределения. Пять параметров функции плотности распределения.
3.2. Двумерные нормальные распределения случайных величин x и y. Аналитические
выражения для условных математических ожиданий: M( y / x ) и M( x / y) (уравнения
регрессии y на x и x на y). Аналитические выражения для условных дисперсий: D( y / x ) и
D( x / y) .
3.3. Коэффициент корреляции как мера линейной зависимости случайных величин x и y.
Корреляционное отношение, как общая мера статистической зависимости двух случайных
величин. Свойства корреляционного отношения.
3.4. Многомерные нормально распределённые случайные величины. Ковариационная
матрица и корреляционная матрица.
3.5. Аналитическое выражение функции плотности n-мерного нормального распределения.
3.6. Коэффициент парной корреляции. Эмпирический коэффициент парной корреляции.
Корреляционное поле. Свойства эмпирического коэффициента корреляции, вытекающие из
неравенства Коши-Буняковского.
3.7. Проверка нулевой гипотезы относительно парного коэффициента корреляции двумя
способами: с помощью распределения Стьюдента и с помощью Z-преобразования Фишера.
3.8. Построение доверительного интервала для парного коэффициента корреляции с
помощью Z-преобразования Фишера.
3.9. Частный коэффициент корреляции. Определение. Аналитическое выражение через
корреляционную матрицу. Основные свойства.
3.10. Проверка нулевой гипотезы относительно частного коэффициента корреляции.
Построение доверительного интервала с помощью Z-преобразования Фишера.
2
3.11. Множественный коэффициент корреляции. Основные свойства множественного
коэффициента корреляции. Аналитическое выражение множественного коэффициента
корреляции через корреляционную матрицу.
3.12. Проверка нулевой гипотезы относительно множественного коэффициента корреляции с
помощью распределения Фишера.
3.13. Частная регрессия. Определение. Аналитические выражения для коэффициентов
частной регрессии с помощью корреляционной матрицы и среднеквадратичного отклонения
случайных величин.
3.14. Дисперсия ошибок относительно частной регрессии. Аналитическое выражение с
помощью коэффициентов частной регрессии и элементов ковариационной матрицы.
3.15. Общая характеристика корреляционного анализа. Условия его применимости для
исследования реальных объектов.
3.16. Ранговая корреляция. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.
Раздел 4.
4.1. Регрессионный анализ. Определение уравнения регрессии. Преобразование уравнения
регрессии, линейного по неизвестным коэффициентам, но нелинейного по переменным, к
уравнению линейной регрессии.
4.2. Множественная линейная регрессия. Какими свойствами должен обладать объект
управления, чтобы для получения его статической характеристики можно было применить
метод множественной линейной регрессии.
4.3. Метод наименьших квадратов (МНК) и его применение для вычисления коэффициентов
множественной линейной регрессии на основе проведённых экспериментов.
4.4. Система нормальных уравнений и её свойства. Определители Грамма.
4.5. Формула для вычисления коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии
на основе матрицы значений входных сигналов и вектора значений отклика.
4.6. Основные статистические характеристики множественной линейной регрессии:
YN1  X Nn A n1 . Ковариационные матрицы оценок выходного сигнала (отклика, ŶN1 ) и
оценок коэффициентов уравнения регрессии Â n1 . Оценка дисперсии ошибки  .
4.7. Построение доверительных интервалов для коэффициентов линейной множественной
регрессии с помощью распределения Стьюдента.
4.8. Вопросы проверки адекватности линейной регрессионной модели.
2
Раздел 5.
5.1. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ. Линейная модель. Основные
понятия: факторы, уровни факторов, отклик.
5.2. Основное тождество однофакторного дисперсионного анализа: разложение суммы
2
2
квадратов отклонений на два слагаемых. Две несмещённые оценки дисперсии: SA и S0 (А –
фактор).
5.3. Проверка нулевой гипотезы о влиянии различных уровней фактора А на отклик Х с
помощью распределения Фишера.
5.4. Понятие линейных контрастов в однофакторном дисперсионном анализе. Несмещённая
оценка линейного контраста. Проверка нулевой гипотезы с помощью распределения
Стьюдента.
5.5. Основное тождество двухфакторного дисперсионного анализа: разложение суммы
2
2
2
квадратов отклонений на три слагаемых. Три несмещённые оценки дисперсии: SA , S B , S0
(А и В – факторы).
5.6. Проверка нулевой гипотезы о влиянии факторов А или В на величину отклика Х с
помощью распределения Фишера.
3
5.7. Проверка гипотезы о влиянии i-ого уровня фактора А (или В) на величину отклика Х при
условии, что принята гипотеза о том, что данный фактор в целом влияет на отклик.
Раздел 6.
6.1. Постановка задачи планирования эксперимента при поиске оптимальных условий.
Полный факторный эксперимент. Четыре свойства столбцов матрицы плана полного
факторного эксперимента.
k
6.2. Метод построения плана полного факторного эксперимента 2 , когда известен план
2k 1 . Правила перемножения столбцов матрицы плана.
6.3. Дробный факторный эксперимент. Полуреплики. Дробные реплики. Определяющий
контраст.
6.4. Генерирующие соотношения и определения смешения эффектов. Разрешающая
способность. Выбор полуреплики с наибольшей разрешающей способностью.
6.5. Подготовка к эксперименту. Метод рандомизации строк плана.
6.6. Исследование результатов эксперимента. Критерии исключения резко выделяющихся
наблюдений в случае, когда математическое ожидание и дисперсия неизвестны.
6.7. Исследование результатов эксперимента. Критерий принадлежности двух выборок
одной и той же генеральной совокупности.
Раздел 7.
7.1. Статистическое моделирование. Генерирование n-мерной нормально распределённой
случайной величины в математических пакетах (MathCAD), где предусмотрена генерация
только одномерной нормально распределённой случайной величины.
7.2. Методы генерирования одномерных случайных последовательностей с заданным
законом распределения. Таблица случайных чисел.
7.3. Методы статистического анализа в пакете MathCAD. Вычисление плотности
вероятности, функции распределения вероятности, величины квантиля для следующих
распределений: нормального, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера. Генерирование
последовательности случайных величин, распределённых по равномерному и нормальному
закону.
Литература для изучения дисциплины.
1. Гусейнзаде М.А., Калинина Э.В., Добкина М.Б., Методы математической статистики
в нефтяной и газовой промышленности, М., 1979 (кроме главы 7).
2. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р., Таблицы по математической статистике, М., 1982.
3. Энциклопедия «Вероятность и математическая статистика», гл. ред. Прохоров Ю.В.,
М., 1999.
К разделу 3–Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, М., 1973, глава 27.
К разделу 4 – Линник Ю. В., МНК и основы математико-статистической теории
обработки наблюдений, М., 1962, глава 6.
К разделу 5 – Математическая статистика / Горяинов В.Б., Павлов Г.М., Цветкова Г.М,
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2001, глава 8.
К разделу 6 – Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В., Планирование эксперимента
при поиске оптимальных условий, М., 1976, главы 4,6,7,8,9.
Лучший учебник по математической статистике, на наш взгляд, - Айвазян С.А.,
Мхитарян В.С., Прикладная статистика и основы эконометрии, М., 1998
4