Итоговый междисциплинарный экзамен по направлению

ПРОГРАММА ГОСЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
Кафедра высшей математики
Экзамен проводится в устной форме. Билет состоит из двух вопросов.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Вероятность, аксиомы и свойства; условная вероятность; основные формулы
для вычисления вероятностей.
2. Случайные
величины (дискретный, абсолютно непрерывный), их
распределение и моменты.
3. Основные вероятностные распределения, их свойства; композиция
распределений.
4. Характеристические функции (х.ф.), их свойства, связь с моментами.
Теоремы единственности и непрерывности для х.ф.
5. Сходимость случайных величин: виды и соотношения между ними.
6. Предельные теоремы: закон больших чисел, центральная предельная
теорема, теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.
7. Выборка, эмпирическая функция распределения, гистограмма. Теоремы
Гливенко и Колмогорова.
8. Выборочные моменты, их точные и асимптотические свойства (сходимость
по вероятности, асимптотическая нормальность).
9. Порядковые статистики и их распределения.
10. Оценки неизвестных параметров, их свойства; критерии состоятельности и
оптимальности.
11. Достаточные статистики и их применение к построению оптимальных
оценок.
12. Оценки максимального правдоподобия (ОМП),
их асимптотические
свойства для регулярных моделей.
13. Доверительные интервалы (д.и.), центральные статистики, д.и. для
параметров нормальных моделей. Асимптотические д.и.
14. Статистические гипотезы и критерии для них; функция мощности критерия;
оптимальные критерии.
15. Лемма Неймана-Пирсона; равномерно наиболее мощные (р.н.м.) критерии
для моделей с монотонным отношением правдоподобия в случае
односторонних гипотез. Двусторонние гипотезы, несмещенные критерии для
них.
16. Критерии согласия Колмогорова, хи-квадрат, Смирнова для гипотез о виде
распределения, однородности, независимости и случайности.
17. Критерий отношения правдоподобия, его асимптотические свойства для
больших выборок.
Случайные процессы
1. Цепи Маркова с дискретным временем и дискретным множеством
состояний. Матрица переходных вероятностей. Классификация состояний.
Стационарные, предельные и эргодические распределения (условия их
существования).
2. Случайные
процессы
второго
порядка.
Непрерывность
и
дифференцируемость в среднем квадратичном. Ковариационные функции.
3. Стационарные процессы. Стационарность в узком и широком смысле.
Автокорреляционная и частная корреляционная функции.
4. Спектральная функция и спектральная плотность процесса. Теорема о
спектральном представлении стационарного процесса.
5. Оценивание среднего, автоковариации
стационарного процесса.
и
спектральной
плотности
6. Процессы АРСС(p,q). Стационарность и обратимость процессов
АРСС(p,q). Оценивание параметров этих процессов. Теорема Вольда.
7. Случайные процессы с независимыми приращениями. Винеровский
процесс, свойства его траекторий. Распределения простейших
функционалов от винеровского процесса.
8. Пуассоновский поток и его свойства. Простейший поток требований.
Процессы гибели и размножения. Уравнение восстановления.
Элементарная и узловая теоремы восстановления.
Теория игр
1. Бесконечные и антагонистические игры. ε – седловые точки и их свойства.
Вполне ограниченные игры. Компактные игры.
2. Матричные игры, основные определения: оптимальные чистые и смешанные
стратегии, цена. Теорема о минимаксе.
3. Выпуклые и выпукло-вогнутые игры двух лиц. Теория игр и нелинейное
программирование.
4. Игры с участниками. Равновесие по Нэшу. Стратегическая эквивалентность.
Оптимальность по Паретто.
Математический анализ
1. Формула Тейлора для функции y=f(х) ее применения при исследовании
функций и в приближенных вычислениях. Формула Тейлора для
z=f(x1,…,xn).
2. Критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной
формы. Второй дифференциал функции z=f(x1,…,xn) как квадратичная
форма; достаточные условия экстремума.
3. Уравнение F(x¸y)=0 и теорема о неявной функции; ее дифференцирование.
Касательная к кривой, заданной неявным уравнением.
4. Теорема и формула Ньютона-Лейбница, ее применения. Геометрические
приложения и приближенное вычисление определенных интегралов.
ТФКП
1. Интегральная формула Коши для аналитических функций. Вычисление
интегралов при помощи вычетов.
Дифференциальные уравнения
1. Принцип неподвижной точки и его приложение к задаче Коши для
обыкновенных уравнений.
2. Методы решения однородных дифференциальных уравнений и систем с
постоянными коэффициентами.
3. Метод Коши решения неоднородных дифференциальных уравнений.
4. Постановка и примеры простейшей вариационной задачи. Уравнение
Эйлера. Метод Лагранжа в задачах на условный экстремум.
Функциональный анализ
1. Пространство L2(R1). Разложение в ряд Фурье по ортонормированному
базису в гильбертовом пространстве.
2. Свойства преобразования Фурье. Оператор Фурье в L2 .
Алгебра
1. Группа, подгруппа, нормальный делитель, фактор-группа. Циклическая
группа; абелева группа (определения, примеры).
2. Спектральная теорема для компактных операторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.Агар, 2000
2. Айвазян С.А., Мхитарян В.И. т.1.Теория вероятностей и прикладная
статистика. М. Юнити-ДАНА, 2001.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.
ЮНИТИ, 2004.
4. Боровков А.А. Курс теории вероятностей, М.Наука, 1976
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.Наука, 1988
6. Ширяев А.Н. Вероятность. М.Наука
7. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория
вероятностей и математическая статистика в задачах. М.Агар, 2003
8. http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/tv_nsu07.pdf
9. Иванова Т.В. Математическая статистика. Москва, МИЭМ, 2002.
10. Боровков А.А. Математическая статистика. М. Эдиториал, 2003.
11. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику.
2010.
12. Айвазян С.А. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М. ЮнитиДАНА,2001.
13.Y.Suhov, M.Kelbert (2005). Probability and Statistics by Exemple. Cambridge
University Press.
14. F.M.Dekking, G.Kraaikamp, H.P.Lopuhaa, L.E.Meester (2005). A Modern
Introduction to Probability and Statistics.
15.Чернова Н. Учебник по математической статистике.
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/chernova.html
16. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – М.:
Наука, 1977.
17. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М.: Мир, 1973.
18. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения. – М.: Высшая школа, 2000.
19. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. теория массового
обслуживания. – Либроком, 2012
20. Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. «Теория игр», М. Высшая
школа, 1998.
21. А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов. «Исследование операций»,
М. Академия, 2008.
22. Э.Г. Давыдов. «Исследование операций», М. Высшая школа, 1990.
23. Э. Мулен. «Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели», М. Мир,
1991.
24. В.В Морозов, А.Г. Сухарев, В.В Федоров. «Исследование операций в
задачах и упражнениях», М. Высшая школа, 1986.
25. В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. Основы математического анализа, т.1, т.2, М.
Наука, 1971.
26. А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа, М. Наука, 1976.
27. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, М, Наука, 1964.
28. Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. Лекции по теории функций
комплексного переменного. М, Наука, 1982.
29.А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М, Наука, 1968.
Критерии оценки
Оценка за ответ выставляется по 10-балльной шкале по приведенной таблице.
Количество Обоснование
баллов
10 баллов
логически
грамотно
изложенный, содержательный и
аргументированный ответ, подкрепленный знанием источников
по теме вопроса; исключительные знания контролируемого
объема программного материала, абсолютное понимание
сущности и взаимосвязи рассматриваемых процессов и явлений,
безукоризненное знание основных положений в рамках
обсуждаемых
вопросов.
Логически
последовательные,
содержательные, конкретные и исчерпывающие ответы на все
вопросы билета, а также дополнительные вопросы экзаменатора
9 баллов
логически
правильный
и
последовательный
ответ
обнаруживающий знание и понимание студентом предмета, с
раскрытием всех существенных признаков и характеристик
предмета; глубокие исчерпывающие знания контролируемого
объема программного материала, твердое знание основных
положений в рамках обсуждаемых вопросов. Логически
структурированные, последовательные, содержательные, полные,
правильные и конкретные ответы на все вопросы билета, а также
дополнительные вопросы экзаменатора
8 баллов
логически правильный ответ, обнаруживающий знание и
понимание студентом предмета, указание на все существенные
7 баллов
6 баллов
5 баллов
4 балла
3 балла
2 балла
1 балл
0 баллов
признаки и характеристики предмета, но без достаточной
аргументации ответа; глубокие знания контролируемого объема
программного материала; содержательные, полные, правильные и
конкретные ответы на все вопросы билета, а также
дополнительные вопросы экзаменатора
указание на все существенные признаки и характеристики
предмета, но с недостаточно подробными доказательствами
утверждений; твердые и достаточно полные знания
контролируемого
объема
программного
материала,
последовательные, правильные, конкретные ответы на
поставленные вопросы при свободном устранении замечаний по
отдельным вопросам
допущение не более одной ошибки в знании предмета
(упущение не более чем одного из существенных признаков
или элементов доказательства); твердые, но недостаточно
полные знания контролируемого объема программного
материала, последовательные, правильные, конкретные ответы на
поставленные вопросы при свободном устранении замечаний по
отдельным вопросам
незначительное нарушение логики изложения материала, общее
знание и понимание основных вопросов контролируемого
объема программного материала, правильные и конкретные, без
грубых ошибок, ответы на поставленные вопросы при устранении
неточностей и несущественных ошибок в освещении отдельных
положений при наводящих вопросах экзаменатора
нарушение логики изложения материала, допущение
неточностей при доказательстве утверждений; поверхностное
знание и неполное понимание основных вопросов программного
материала, ответы на поставленные вопросы без грубых ошибок;
устранение неточностей в освещении отдельных положений при
наводящих вопросах экзаменатора
неправильный ответ на один из вопросов билета, грубые
ошибки в ответе, непонимание сущности излагаемых
вопросов; неуверенные и неточные ответы на дополнительные
вопросы
неправильный ответ на каждый из вопросов билета, грубые
ошибки в ответе, непонимание сущности излагаемых
вопросов; неуверенные и неточные ответы на дополнительные
вопросы
отсутствие логики изложения материала, неспособность
раскрыть существенные признаки предмета и использовать
математическую терминологию
отсутствие ответа