РПД Математический анализ

1. Рабочая программа
1.1. Цели освоения дисциплины
Ознакомление с фундаментальными методами дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ является основой для изучения других математических курсов, дает необходимый математический аппарат для изложения экономических дисциплин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций.
Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Статистика», «Институционная экономика»,
«Теория вероятностей и математическая статистика», «Экономико-математическое
моделирование», «Методы оптимальных решений», «Эконометрика».
Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой части математического цикла (Б.2).
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
В результате изучения данной дисциплины студент должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
- способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для
расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
- способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой
базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);
- способен выполнять необходимые для составления экономических разделов
планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии
с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
- способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для
решения поставленных экономических задач (ПК-4);
- способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических
данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5).
В результате изучения дисциплины «Математический анализ» обучающийся
должен:
знать:
– основные понятия и факты теории числовых множеств;
– основные понятия теории пределов;
– основные понятия теории непрерывных функций;
– основные понятия дифференциального и интегрального исчислений функции
одной и нескольких переменных;
– основные понятия теории рядов;
уметь:
– находить пределы последовательности и функции;
– исследовать функцию (одной переменной, многих переменных) с помощью
производной и строить эскиз ее графика;
– решать задачу на безусловный и условный экстремумы функции;
– находить наибольшее и наименьшее значения функции в области;
– вычислять неопределенные, определенные интегралы;
– исследовать на сходимость ряды и несобственные интегралы;
– использовать методы математического анализа для исследования функциональных зависимостей экономического характера.
владеть:
– методами дифференциального и интегрального исчислений;
– методами приближенного вычисления значений функции;
– методами исследования функций и построения графиков;
– методами исследования функций (одной и нескольких переменных) на безусловный и условный экстремумы, нахождений наибольшего и наименьшего
значений функции в области;
– методами исследования рядов и несобственных интегралов на сходимость.
1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Математический анализ»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часов.
Форма контроля – экзамен.
Вид учебной работы
Всего
часов
Очное
Заочное
Очно-
отделение отделение
заочное
отделение
1 сем.
Общая трудоемкость
3 сем.
1 сем
288
288
288
288
126
126
24
72
64
64
16
46
дисциплины
Аудиторные занятия
(всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия
62
62
8
26
126
126
255
180
126
126
255
180
Вид промежуточного
36
36
9
36
контроля (экзамен)
Экзамен
Экзамен
Экзамен
Экзамен
(ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы
(ЛР)
Самостоятельная
работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические
работы
Реферат
И (или) другие виды
самостоятельной работы
1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в часах)
Практические занятия
Самостоятельные занятия
2
8
1
14
2
1
10
Опрос
2
2
4
6
1
12
2
2
10
Опрос
1
2-3
8
8
16
2
1
32
6
3
24
Контрольная
работа №1
4
1
4-5
8
6
12
2
1
26
6
4
24
Контрольная
работа №2
Лекции
Практические занятия
4
1
Практические занятия
Лекции
Неделя семестра
Самостоятельные
занятия
3
Формы текущего контроля
успеваемости и
промежуточной
аттестации
Лекции
2
Теория множеств
Числовые последовательности
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производная и
дифференциал
функции одной
переменной
Очно-заочное
отделение
Самостоятельные
занятия
1
Заочное отделение
1
Раздел дисциплины (модуля)
Семестр
№
п/
п
Дневное
отделение
Исследование
функций одной
переменной
6 Функции нескольких переменных
7 Неопределенный
интеграл
8 Определенный
интеграл
9 Дифференциальные уравнения
10 Числовые ряды
1
6-7
8
8
14
1
1
28
4
2
16
Контрольная
работа №3
1
8
4
2
6
1
1
12
2
1
8
Контрольная
работа №4
1
9 - 11
8
8
16
2
1
32
8
4
24
1
11 - 13
8
8
16
2
1
32
6
2
22
1
14 - 16
4
6
16
2
32
4
2
16
1
16 - 17
6
6
10
1
1
20
3
3
14
11 Степенные ряды
1
18
4
4
8
1
1
15
3
2
12
Контрольная
работа №5
Контрольная
работа №6
Контрольная
работа №7
Контрольная
работа №8
Контрольная
работа №9
5
1.4.2. Содержание лекционных занятий
№
п/п
Наименование раздела дисциплины
(модуля)
1
Теория множеств
2
Числовые последовательности
3
Предел и непрерывность функции одной переменной
Содержание раздела
Множества и их обозначения. Вещественные числа и
их основные свойства. Наиболее употребительные
множества. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший
(наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя)
грань множества.
Числовые последовательности и ее свойства. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел
числовой последовательности и его свойства. Сходящиеся последовательности.
Определение функции и основные понятия. Способы
задания функции. Графики основных элементарных
функций. Понятие сложной и обратной функции.
Предел функции. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций.
Основные приемы раскрытия неопределенностей при
вычислении пределов. Первый и второй замечательные
4
Производная и
дифференциал
функции одной переменной
5
Исследование
функций одной переменной
6
Функции нескольких переменных
7
Неопределенный
пределы. Второй замечательный предел в задаче о
начислении процентов.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки
разрыва и их классификация. Непрерывность основных
элементарных функций.
Понятие производной функции одной переменной. Физический, геометрический и экономический смысл производной. Уравнение касательной.
Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной
переменной. Основные теоремы о дифференцируемых
функциях и их приложения.
Понятие дифференциала и его геометрический смысл.
Свойства дифференциала функции одной переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков
функции одной переменной и их свойства. Правило
Лопиталя для вычисления пределов функции.
Понятие и признаки возрастания и убывания функции в
точке и на интервале. Понятие об экстремумах функции
одной переменной. Задача максимизации прибыли
фирмы. Необходимый и достаточные признаки экстремумов функции одной переменной.
Кривизна функции. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условия
выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое
и достаточное условия точки перегиба.
Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции одной переменной.
Исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение ее
графика. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения.
Функции двух переменных. Понятие о линии уровня
функции двух переменных. Обобщение на случай
функций нескольких переменных Экономические иллюстрации (функции спроса и предложения, функция
полезности, производственная функция). Функции нескольких переменных, их непрерывность.
Производные по направлению функций нескольких переменных. Градиент функции нескольких переменных.
Частные производные и частные дифференциалы. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Экстремумы функций нескольких переменных.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и
интеграл
8
Определенный интеграл
9
Дифференциальные
уравнения
10
Числовые ряды
11
Степенные ряды
его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов.
Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в интегрировании. Метод интегрирования по
частям. Основные группы интегралов, берущихся по
частям. Интегрирование простейших рациональных
дробей.
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла. Особенности замены переменной и формулы интегрирования
по частям для определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Несобственный интеграл.
Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Понятие об общем и частном решениях
дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов.
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных
рядов.
Степенные ряды: область и радиус сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Степенные ряды: область и радиус сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
1.4.3. Содержание практических занятий
Наименование раздела
дисциплин
(модуля)
Компе- Образовательтенции ная технология
Содержание занятий
Теория
множеств
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Числовые
последовательности
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Предел и
непрерывность функции одной
переменной
Производная и дифференциал
функции
одной переменной
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Рассмотрение примеров множеств.
Изучение свойств множества натуральных
чисел, множества действительных чисел.
Решение примеров на группировки элементов конечного множества (размещения, перестановки, сочетания).
Рассмотрение примеров числовых последовательностей. Составление формулы
общего члена числовой последовательности. Вычисление пределов числовых последовательностей.
Вычисление пределов функций с использованием основных теорем о пределах.
Нахождение односторонних пределов.
Решение примеров на вычисление пределов функции в случае возникновения неопределенностей различных типов, отработка приемов устранения неопределенностей различных типов.
Исследование функций на непрерывность.
Нахождение точек разрыва функции и
определение их типов.
Нахождение производной функции с использованием определения понятия производной.
Нахождение производной функции с использованием правил дифференцирования
и формул производных основных элементарных функций и вычисление значений
производной в заданной точке. Нахождение производной сложной функции. Решение задач на определение угла наклона
касательной к графику функции в заданной точке. Решение задач на нахождение
дифференциала функции.
Решение задач на нахождение производных и дифференциалов функции второго,
Исследование функций одной
переменной
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Функции
ПК – 1, Практикум
нескольких ПК – 2,
переменных ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Неопределенный
интеграл
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Определенный интеграл
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Дифференциальные
уравнения
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
третьего и других порядков.
Вычисление пределов функций с применением правила Лопиталя.
Изучение алгоритма исследования функции. Решение задач на определение монотонности, экстремумов, кривизны функции. Нахождение асимптот функции. Построение графиков функций.
Рассмотрение примеров функций нескольких переменных. Решение задач на нахождение градиента функции двух переменных. Нахождение частных производных и
полных дифференциалов функции двух
переменных. Решение задач на определение экстремумов функции двух переменных.
Решение задач на нахождение неопределенного интеграла с использованием основных свойств неопределенных интегралов , а также применения методов непосредственного интегрирования, замены
переменной и интегрирования по частям.
Отработка навыков интегрирования рациональных дробей, тригонометрических
функций.
Решение задач на вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница, с использованием основных свойств определенных интегралов.
Решение задач на применение методов
замены переменной и интегрирования по
частям в определенных интегралах.
Решение задач на составление формулы и
вычисление площадей плоских фигур.
Рассмотрение примеров, приводящих к
дифференциальным уравнениям. Решение
задач на дифференциальные уравнения
первого порядка с разделяющимися пере-
ПК – 5
Числовые
ряды
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
Степенные
ряды
ПК – 1, Практикум
ПК – 2,
ПК – 3,
ПК – 4,
ПК – 5
менными. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение задач на составление формулы
общего члена числового ряда. Решение задач на проверку необходимого признака
сходимости числового ряда. Исследование
сходимости числовых рядов с положительными членами на основе достаточных
признаков (признака Даламбера и интегрального признака).
Изучение особенностей сходимости степенных рядов. Решение задач на определение радиуса и области сходимости степенных рядов.
Решение задач на разложение в ряд Маклорена и в ряд Тейлора некоторых функций. Решение задач на приближенное вычисление значений функций с помощью
степенных рядов.
1.5. Образовательные технологии
В качестве образовательной технологии при проведении практических занятий по всем темам данной дисциплины используется практикум. На каждом практическом занятии студенты под руководством преподавателя и самостоятельно приобретают и закрепляют навыки решения задач и примеров по соответствующей теме.
В ходе решения задачи или примера производится анализ возможных методов решения и выбор наиболее приемлемого, реализация выбранного подхода, а также
оценка достоверности и правильности полученного решения. Особое внимание уделяется отработке наиболее сложных вопросов каждой темы.
1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных
работ, выполняемых на практическом занятии по темам 3,4,5,6,7,8,9,10,11и индивидуальных самостоятельных работ, выполняемых дома в ходе подготовки к занятию
по «Математическому анализу», по темам 3,4,5,6,7,8,9,10,11. Примеры решения задач, подобных входящим в контрольные работы, можно найти в лекции по соответствующей теме. Образцы контрольных заданий прилагается в п.7.1.
Тема 3. Предел и непрерывность функции одной переменной
Контрольная работа № 1
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области вычисления пределов функции одной переменной, в том числе в случае возникновения неопреде0  
ленностей вида   ,   , 0   ,    и др. Указание:
вычисление
пределов
0  
функции необходимо производить, не применяя правило Лопиталя.
Тема 4. Производная и дифференциал функции одной переменной
Контрольная работа № 2
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области нахождения производных и дифференциалов первого и второго порядков функции одной переменной, а также вычисления пределов функции одной переменной, в том числе в случае
0  
возникновения неопределенностей вида   ,   , 0   ,    и др. с помощью
0  
правила Лопиталя.
Тема 5. Исследование функций одной переменной
Контрольная работа № 3
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области исследования и
построения графика функции одной переменной.
Тема 6. Функции нескольких переменных
Контрольная работа № 4
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области нахождения
частных производных и полного дифференциала функции двух переменных.
Тема 7. Неопределенный интеграл
Контрольная работа № 5
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области нахождения неопределенных интегралов с использованием непосредственного интегрирования, а
также интегрирования по частям и заменой переменной.
Задание: найти неопределенный интеграл.
Тема 8. Определенный интеграл
Контрольная работа № 6
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области вычисления
определенных интегралов, а также их применения для практических приложений
(вычисления площадей плоских фигур).
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Контрольная работа № 7
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области решения дифференциальных уравнений, а также их применения в геометрических и иных задачах.
Тема 10. Числовые ряды
Контрольная работа № 8
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области исследования
сходимости числовых рядов.
Тема 11. Степенные ряды
Контрольная работа № 9
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области исследования
сходимости степенных рядов и их применения для приближенного вычисления значений функций.
1.6.2 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Математический анализ” заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Пять заданий по
каждой теме (на выбор студента) предоставляются преподавателю. (Из них необходимо правильно решить не менее трех).
Тема 3. Предел и непрерывность функции одной переменной
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
x 2  x  12
1. xlim
;
3 x 3  27
x 2  x  12
2. xlim
;
3 x 3  27
x x
3. lim
;
x 1
x 1
4. xlim
10
x 1  3
;
x  10
1  cos 2 x
;
5x 2
tg 2 x
12. lim
;
x 0
x
11. lim
x 0
sin 2 2 x
13. lim
;
x0
3x 2
(3xctg2 x) ;
14. lim
x0
x 2 1
5. lim
;
x 1 x 2  3 x  2
15. lim
x 0
5  x2  3  x
6. lim
;
x1
x 2  3x  2
16. lim
x 0
1 x  x 1
7. lim
;
x0
3x
7 x  8x 4
17. lim
;
x  4 x 4  3 x 2  1
x 3  2 x 2  5x  6
8. xlim
;
3
x2  7x  6
18. lim
x
sin 2 x  sin 8 x
;
4x
sin 3x
;
sin 10 x
49 x 4  5  x  2
;
7 x 2  3x  10
3 
 1
 3 ;

9. lim
2
x 1 x  x
x 1 

 3x 4
2

 ;
lim

3
x
10. x 3
x

3


 2x3


 ;
lim

x
19. x 2
2
x

x


( 2 x  10  x  20 ) .
20. lim
x
Тема 4. Производная и дифференциал функции одной переменной
Для самостоятельной работы по данной теме рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
I. Найти y ' и dy .
1. y  x sin x;
2. y  x tgx;
ln x
 xctgx;
3. y 
sin x
100
5. y  cos x;
1 ex
;
4. y 
1 ex
6. y  ln tgx;
cos x
 x
y


ln
 tg ;
2
8.
sin x
 2
2
1
y

xarctgx

ln( 1  x 2 );
7.
2
9. y  e
1
cos x
10. y  tg sin cos x;
;
11. y  sin 3x;
12. y  e ;
2
tgx
x
13. y  xe ;
15. y  1  e
4
14. y  x cos x;
2
4x
 5;
17. y  x ln x;
3
2
16. y  3x ln( 1  x );
2
18. y  1  x arccos x.
2
2
II. Найти y ' ' и d y .
x
y

arcsin
;
1.
2
3. y  x ln x;
2. y  cos x;
5. y  x 2 ;
6. y  arcsin
7. y  ln( 2 x  3);
8. y  1  x .
3
x
2
4. y  x sin x;
2
x;
2
III. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя
ex 1
;
1. lim
x0
x
e3 x  3x  1
;
3. lim
x0
sin 2 5 x
ax
;
5. lim
x x
2 x3  x 2  6 x
;
7. lim
x x 3  6 x  16
ln( x 2  3)
;
9. lim
x2 x 3  3 x  14
11. lim x ln x;
x0
1
 1
lim


;
13. x0
 sin x x 
 1

lim

tgx

;
15.  cos x
x 

e x  esin x
;
2. lim
x0 x  sin x
e x  e x
;
4. lim
x0 ln( 1  x)
ln( x  a)
lim
;
6. xa
ln( e x  e a )
x3  x 2  5x  3
;
8. lim
x1 x 3  4 x 2  5 x  2
x3  1
;
10. lim
x1 ln x
x
12. lim xe ;
x
 1
2 
lim

ctg
x ;

14. x0 2
x

arcsin xctgx .
16. lim
x 0
2
Тема 5. Исследование функций одной переменной
Для самостоятельной проработки отдельных вопросов данной темы рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Исследовать на монотонность следующие функции и найти их экстремумы:
1. y  x  4 x  5;
2
x3
;
2. y  4 x 
3
x 2
y


3.
2 x.
2. Исследовать на непрерывность следующие функции и определить для
них типы точек разрыва (если они существуют):
x
y

;
1.
( x  1)( x  4)
sin x
;
2. y 
x
x 2  25
3. y 
.
x 5
3. Исследовать кривизну и найти точки перегиба (если они существуют)
следующих функций:
1. y  ( x  1) ( x  2);
2
x2 1
 ;
2. y 
2 x
4. Найти асимптоты следующих функций:
3. y  x  6 x  9 x .
3
2
1. y 
x3
;
x2
ln 2 x
 3x .
3. y 
x
2 x
2. y  x e ;
5. Исследовать следующие функции и построить их графики:
x3  4
;
1. y 
x2
2. y  x  e
x
3. y  1  x .
3
;
3
Тема 6. Функции нескольких переменных
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
Найти частные производные и полный дифференциал функции двух
переменных
1. z  ln( x  y );
2. z  xe ;
3. z  x ;
4. u  y ln x;
x2 x
5. u  2  ;
y
y
y
z

ln
tg
;
7.
x
x
9. z  e (cos y  x sin y);
x
z

x
ln
;
6.
y
2
2
xy
y
8. z  y arctgxy;
2
10. z  xe  sin( x  y ).
y
Тема 7. Неопределенный интеграл
Для самостоятельной проработки методов интегрирования в неопределенных и определенных интегралах рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
А. Задания на применение метода непосредственного интегрирования в неопределенных интегралах:
1.
2
3
(
x

3
x
 x  1)dx;


e x 
3.  e  2  x 3 dx;


x
x 2
(sin

cos
) dx;
5. 
2
2
2
3  2ctg x
dx;
7. 
cos 2 x
2.
x
4.
x
x
(
2

3
)dx;

 (sin x  5 cos x)dx;
cos 2 x
dx;
6. 
2
2
sin x cos x
1  sin 3 x
dx;
8. 
sin 2 x
9.
 ctg
2
x2
dx;
10.  2
x 1
( x  1) 3
dx .
12. 
x
xdx;
5x4  7
dx;
11. 
5
x
Б. Задания на применение метода замены переменной (метода подстановки)
в неопределенных интегралах:
 cos 5 xdx;
4.  e dx;
6.  2 x  5dx;
 sin 7 xdx;
3.  sin( 3 x  5)dx;
5.  ( 2  5 x ) dx;
1.
2.
2x
4
dx
;
7. 
3x  2
cos 3x
dx;
9. 
3  3 sin 3x
11.
sin x
dx;
8. 
1  5 cos x
10.
 tgxdx;
12.
sin 2 x
cos 2 xdx;
13.  e
15.

3  cos 5 x sin 5 xdx;
3
sin
 x cos xdx;

x
e
x
dx ;
1  ln x
dx;
14. 
x
arcsin x
dx .
16. 
2
1 x
В. Задания на применение метода интегрирования по частям в неопределенных интегралах:
 ln xdx;
3.  xarctgxdx;
5.  ( x  2) ln xdx;
7.  x e dx;
9.  x sin xdx;
11.  e sin 2 xdx;
1.
3 x
2
x
 x ln xdx;
4.  arcsin xdx;
6.  xe dx;
8.  xe dx;
10.  ( x  4) cos 3 xdx;
12.  e cos xdx .
2.
x
5x
3x
Тема 8. Определенный интеграл
Для самостоятельной проработки методов вычисления определенных интегралов и их применения для вычисления площадей плоских фигур рекомендуется
выполнение следующих дополнительных заданий:
А. Задания на применение метода замены переменной (метода подстановки)
в определенных интегралах:

6
1.
4
1
 sin 3xdx;
2.
0
 x(1  x) dx;
0

1
2
arctgx
dx;
2
3. 
1 x
0
2
sin
x
cos
xdx;
4. 
0
e2
1
x
2
dx
5.  x ln x ;
e
e
6.  2 dx;
x
1
2
9
xdx
7.  ( 4  x 2 ) 2 dx;
2
8.

3
x  1dx;
2
ln 6
2
dx
9.  2 x  1 dx;
1
10.

ln 3
e x dx
e 2
x
dx .
Б. Задания на применение метода интегрирования по частям в определенных интегралах:
 xe dx;
x
1.
4.

ln 5
1
2.
 xe
0
0
e
2
 x ln xdx;
5.
x
x
4
dx;
3.
0
1
2
ln xdx;
1
0
 x sin 4 xdx;
6.
 arctgxdx .
0
В. Задания на применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. y  x , y  2  x .
2
2
2. y  x  4 x , y  x  4 .
2
3. y  sin 3 x , y  0 , где: 0  x 

3.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения
xy'  y  0 ,
если y  40 при
x  20 .
2. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения
2 y' x  y ,
если y  e при x  4 .
3. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения
y'  y  0
2
при следующих начальных условиях:
y  5 при x  0 .
4. Найти общее и частные решения дифференциального уравнения
yy '  x  0
при следующих начальных условиях: y  4 при
x 2.
5. Найти общее и частные решения дифференциального уравнения
yy'   x
при следующих начальных условиях: y  5 при
x  3.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy'  y 2  0 .
7. Найти общее и частные решения дифференциального уравнения
y'
 x(1  x)
y
а) y  1 при
при следующих начальных условиях:
x  1;
б) y  4 при
x  2 .
Тема 10. Числовые ряды
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
Исследовать сходимость числовых рядов
а). По интегральному признаку
1.
1+
2.
1
23

3.
1
1
1
+
+
+ …
4
7
10
3
2
+ 3 + 3 + …
4
3
1
 (3n  2) ln( 3n  2)
n 1
б) По признаку Даламбера
1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3
5
7
+ +
+…
4
9
16
21
41
61
+
+
+…
3
9
15
1
1 2
1 2  3
+ 2 +
+…
10
10
10 3
2 4 6
8
 
  ...
3 9 27 81
2 4 8
1     ...
2! 3! 4!
3
32
33
1


 ...
2  3 2 2  5 23  7
1
5
9
13



 ...
3
2  32
3  33
4  34
21 41 61


 ...
3
9 27
1+
Тема 11. Степенные ряды
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
Найти радиус сходимости степенного ряда
1. 1 +
2x
32 3
2. 1 + 2! x

3.
n!
 10
n 1
n
+
4x 2
+ …;
5 2 32
+ 3! x 2 + 4! x 3 + …;
x n 1 ;

n3
x n1 ;
4. 
n 1 (n  1)!
n(n  1) n 1
x .
3n
n 1

5.

1.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов, /Н.Ш. Кремер,
Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд.–
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 479 с. - (Золотой фонд российских учебников).
2. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.
3. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: Учебник/ М.С.
Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2011. – 472 с. – (Высшее образование). –
ЭБС: http://znanium.com/
б) дополнительная литература:
1. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/ Б.А. Горлач. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 911 с.
2. Щипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие для вузов/
Под ред. А.Н. Тихонова. - 7-е изд. – М.: Юрайт; Высшее образование, 2009. – 479 с. (Основы наук)
1.8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины (модуля)
Аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
2. Перечень вопросов к зачету
Зачет по данной дисциплине не предусмотрен.
3. Перечень вопросов к экзамену
Экзамен по данной дисциплине проводится в письменной форме.
Экзаменационная работа включает в себя три части: тестовую, практическую
и общетеоретическую.
Результат сдачи экзамена оценивается по десятибалльной системе суммированием баллов, получаемых студентом за каждую часть экзаменационного билета.
Ниже излагаются основные принципы формирования экзаменационных билетов и рекомендации по оцениванию знаний студентов.
I. Тестовая часть
Тестовая часть состоит из 10 заданий, которые, в свою очередь, включают в
себя:
а) задания на знание определений основных понятий математического анализа, основных свойств производных и интегралов, применение этих свойств в практических приложениях и т.п., при этом студент должен выбрать один правильный
ответ из предлагаемых вариантов ответа;
б) примеры и задачи по отдельным вопросам (вычисление пределов функций,
нахождение производных и дифференциалов функций одной и двух переменных,
нахождение неопределенных и определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений, исследование сходимости рядов). Задание считается выполненным
правильно, если выбранный вариант ответа подтверждается соответствующим расчетом.
Тестовая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 5 баллов (1 балл
студент получает за каждые два правильно выполненных задания).
Ниже приводятся 3 примера из 10 заданий тестовой части экзаменационной
работы и оформления их решения.
1. Предел lim
x 0
sin 6 x  sin 4 x
равен:
2x
1) 0;
2) 1; 3) 2,5; 4) 5; 5) 10.
Решение.
sin 6 x  sin 4 x 1 
sin 6 x
sin 4 x  1 
6 sin 6 x
4 sin 4 x 
  lim
 lim
  lim
 lim


x 0
x 0
x 0
2x
2  x 0 x
x  2  x 0 6 x
4x 
1
sin 6 x
sin 4 x  1
  6 lim
 4 lim
  6  4  5 .
x 0 4 x
2  x 0 6 x
 2
Ответ: вариант № 4.
lim
2. Найти неопределенный интеграл
1)
4)
x 2 sin( x 2  1)  C ;
 sin( x 2  1)  C ;
2
2
x
cos(
x
 1)dx .

cos( x 2  1)  C ; 3) sin( x 2  1)  C ;
2
5) 2 sin( x  1)  C .
2)
Решение.
Принимая за t 
Следовательно:
 2 x cos( x
2
x 2  1 , имеем dt  2 xdx .
 1)dx   cos tdt  sin t  C  sin( x 2  1)  C .
Ответ: вариант № 3.
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения
Решение.
xy'  y ;
dy
 y;
dx
dy dx

y
x ;
x
dy
dx

y x;
ln y  ln x  ln C ;
xy'  y .
ln y  ln Cx ;
y  Cx .
Ответ:
y  Cx
II. Практическая часть
Практическая часть включает в себя одну задачу прикладного характера,
требующую использования знаний по нескольким темам дисциплины, таким как,
исследование функций, вычисление площадей фигур и т.п.
Практическая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 2 баллов в
зависимости от правильности и полноты решения задачи.
Ниже приводятся примеры заданий практической части экзаменационной работы и оформления их решения.
1. Исследовать на монотонность и найти экстремумы следующей функции:
y  x 2  3x  2 .
Решение.
Область определения функции: (;) .
Для определения интервалов монотонности находим производную данной
функции и приравниваем ее нулю.
y'  2 x  3 ;
2x  3  0 ;
x  1,5 .
При x  1,5 y ' 0 , следовательно, функция при этом убывает.
При x  1,5 y '  0 , следовательно, функция при этом возрастает.
Т.к. при переходе через точку x  1,5 слева направо происходит смена знака
производной с “–”на “+”, то x  1,5 – точка минимума и минимальное значение
функции ymin  (1,5)  3  (1,5)  2  0,25 .
2
Ответ: функция убывает при x  1,5 ; функция возрастает при x  1,5 ; мини-
ymin  0,25 при x  1,5 .
x
2. Найти асимптоты функции y 
( x  1)( x  4) .
мальное значение функции
Решение.
Находим область определения функции.
Т.к. знаменатель функции не должен быть равным нулю, то
x  1 и x  4 . Следо-
вательно, область определения функции: (;1)  (1;4)  (4;) .
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот, проходящих через
точки x  1 и x  4 .
а) Находим односторонние пределы функции при
x
lim
  ;
x4 ( x  1)( x  4)
x  1:
x
  .
x4 ( x  1)( x  4)
В связи с тем, что односторонние пределы бесконечны, функция имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой имеет вид x  1.
б) Находим односторонние пределы функции при x  4 :
x
lim
  ;
x 1 ( x  1)( x  4)
lim
x
  .
x 1 ( x  1)( x  4)
В связи с тем, что односторонние пределы бесконечны, функция имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой имеет вид x  4 .
Исследуем функцию на наличие горизонтальных асимптот.
x
 0 , следовательно, функция имеет левосторона) Находим xlim
 ( x  1)( x  4)
lim
нюю горизонтальную асимптоту, уравнение которой y  0 .
x
 0 , следовательно, функция имеет правостоб) Находим xlim
 ( x  1)( x  4)
роннюю горизонтальную асимптоту, уравнение которой y  0 .
Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот.
Уравнение наклонной асимптоты в общем виде y  kx  b .
f ( x)
x
 lim
 0 , следовательно, функция не
Находим k  xlim

x x( x  1)( x  4)
x
имеет наклонных асимптот.
Ответ: а) функция имеет вертикальные асимптоты вид x  1 и x  4 ;
б) функция имеет левостороннюю горизонтальную асимптоту y  0 ;
в) функция имеет правостороннюю горизонтальную асимптоту y  0 ;
г) наклонных асимптот нет.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 
x ; y  2 и x  0.
Решение
На рис. 1.1 в виде заштрихованного криволинейного треугольника ОАВ схематично изображена искомая фигура.
Y
y2
y x
В
А
С
0
X
Рис. 1.1
Введем следующие обозначения:
S – площадь заданной фигуры ОАВ;
S1 – площадь прямоугольника ОАВС;
S 2 – площадь криволинейного треугольника ОВС.
Тогда S  S1  S2 .
Для определения площадей прежде всего найдем абсциссу точки В (точки пересечения линий y 
ний:
x и y  2 ). Для этого приравняем правые части их уравне-
x  2.
Решив последнее уравнение, получаем x  4 .
Площадь прямоугольника ОАВС S1  4  2  8 (кв. ед.).
Площадь криволинейного треугольника ОВС
4
4
S2  
0
3
2
x
x dx 
3
2
3
3
2
16
 (4 2  0 2 ) 
3
3 (кв. ед.).
0
16 8
S

8


Следовательно,
3 3 (кв. ед.).
8
S

Ответ:
3 (кв. ед.).
III. Общетеоретическая часть
Общетеоретическая часть экзаменационной работы включает в себя один
теоретический вопрос из предлагаемого ниже перечня.
Общетеоретическая часть оценивается от 0 до 3 баллов в зависимости от правильности и полноты изложения.
Перечень теоретических вопросов
1.Числовая последовательность и ее предел.
2.Предел функции.
3.Основные приемы раскрытия неопределенности типа  / , 0/0, … при вычислении пределов.
4.Непрерывность функции.
5.Производная функции одной переменной.
6.Физический и геометрический смысл производной функции.
7.Основные правила и формулы дифференцирования.
8.Понятие дифференциала.
9.Производные и дифференциалы функций высших порядков.
10. Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции.
11. Исследование кривизны функции. Точки перегиба.
12. Асимптоты функции.
13. Частные производные первого порядка функции нескольких переменных и ее
полный дифференциал.
14. Понятие и свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
15. Основные методы интегрирования.
16. Понятие определенного интеграла, его основные свойства. Формула НьютонаЛейбница.
17. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной (подстановки) и интегрирования по частям.
18. Геометрический смысл определенного интеграла.
19. Основные приложения определенного интеграла.
20. Несобственный интеграл.
21. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
22. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Необходимый и достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
23. Степенные ряды. Основные понятия и определения. Исследование сходимости
степенных рядов.
24. Ряды Маклорена и Тейлора. Применение степенных рядов в приближенных
вычислениях.
4. Методические рекомендации
по изучению учебной дисциплины для студентов
При изучении темы “Теория множеств” необходимо обратить внимание на
многообразие применения понятия множества в различных областях, в том числе в
экономике, действия с множествами.
При изучении темы “Числовые последовательности” особое внимание следует
обратить на понятие предела числовой последовательности его вычисление.
При изучении темы “Предел и непрерывность функции одной переменной”
особое внимание следует обратить на следующие моменты:
– условия существования предела функции;
– особенности вычисления пределов функций в условиях возникновения различного вида неопределенностей;
– связь понятия предела функции с ее непрерывностью;
– понятие и типы точек разрыва функции и алгоритм их нахождения.
При изучении темы “Производная и дифференциал функции одной переменной” особое внимание следует обратить на основные правила дифференцирования,
нахождение производной сложной функции, а также возможности применения методов дифференциального исчисления в экономике.
При изучении темы “Исследование функции одной переменной” особое внимание следует обратить на общий порядок исследования функции, применение пределов и производных для исследования функции и построения ее графика.
При изучении темы “Функции нескольких переменных” особое внимание следует обратить на понятие частной производной функции нескольких переменных и
особенности ее нахождения, а также применении частных производных для нахождения экстремумов таких функций.
При изучении темы “Неопределенный интеграл” особое внимание следует обратить на основные свойства и таблицу неопределенных интегралов, методы интегрирования.
При изучении темы “Определенный интеграл” особое внимание следует обратить на существенные отличия определенного интеграла от неопределенного, особенностям применения методов замены переменной и интегрирования по частям
при вычислении определенных интегралов, особенностям вычисления несобственных интегралов, а также на возможности практического применения определенных
интегралов.
При изучении темы “Дифференциальные уравнения” особое внимание следует
уделить классификации дифференциальных уравнений, понятиям общего и частного
решения дифференциальных уравнений, а также методам решения линейных дифференциальных уравнений.
При изучении темы “Числовые ряды” особое внимание следует обратить на
понятие сходимости числовых рядов, основные признаки их сходимости.
При изучении темы “Степенные ряды” особое внимание следует обратить на
особенности исследования на сходимость степенных рядов в отличие от числовых
рядов, определение области (радиуса) сходимости, разложение функции в ряд Маклорена и применение степенных рядов для приближенного вычисления значений
функций.