О связи облика и реальной формы кристалла

ПОИСКОВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
И АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
УДК 548.12
О СВЯЗИ ОБЛИКА И РЕАЛЬНОЙ ФОРМЫ КРИСТАЛЛА
Д.Г. Степенщиков, Ю.Л. Войтеховский
Геологический институт КНЦ РАН
Аннотация
Реальная форма кристалла (простая форма или их комбинация при неодинаковом развитии
различных граней) определяет комбинаторику кристалла: число граней, их взаимное
расположение и способ контактирования между собой. Однако она не задает геометрических
параметров кристалла – характеристику, используемую кристаллографами через понятия
«облик» и «габитус». В данной работе приводится анализ связи облика и реальной формы
кристалла.
Ключевые слова:
облик кристалла, реальная форма кристалла, грани кристалла.
Объектом нашего исследования является форма кристаллов
минералов – огранка кристалла, определенная его внутренней
структурой и внешними условиями роста. Ограничимся в
дальнейшем
только
выпуклыми,
плоскогранными
и
замкнутыми в пространстве формами кристаллов.
В изотропных условиях кристалл, несущий на себе грани только
одной простой кристаллографической формы, будет иметь именно
эту форму, так как все его грани развиты в равной степени и
эквивалентны друг другу относительно элементов его симметрии.
В анизотропных условиях роста грани кристалла развиваются неравномерно и будут отличаться числом и
длинами ребер, сохраняя при этом свою взаимную ориентировку.
Полученная форма отличается от простой формы иной
комбинаторикой поверхности – числом сторон граней, способом
их контактирования, появлением дополнительных ребер и вершин
(рис. 1). Такая форма кристалла названа реальной
кристаллографической формой (сокращенно – реальной формой)
[1]. Основное отличие значения данного термина от
общепринятого состоит в том, что здесь не учитывается скульптура
Рис. 1. Простая (слева) и реальная
граней кристалла – все они предполагаются идеально плоскими
(справа) формы октаэдра
поверхностями.
Для каждой простой формы (или их комбинации) существует бесконечное множество {R} реальных
форм, которое можно разбить на подмножества {R}i по комбинаторному типу – числу элементов
поверхности образуемого многогранника и способу их контактирования. В каждом подмножестве {R}i
полиэдры комбинаторно эквивалентны и образованы набором одних и тех же граней (рис. 2). Условимся,
что все полиэдры из {R}i имеют одну и ту же реальную форму, и наоборот, реальная форма,
соответствующая {R}i может быть охарактеризована любым полиэдром из этого подмножества. Число
таких подмножеств {R}i уже является конечным (хотя иногда и очень большим).
Рис. 2. Пример трех реальных форм октаэдра. Формы, объединенные под одним номером,
комбинаторно эквивалентны и представляют одну и ту же реальную форму
144
Реальная форма позволяет проанализировать влияние анизотропии среды роста на огранку кристалла
– та или иная реальная форма может развиваться в определенных анизотропных условиях. Альтернативный
способ описания формы кристалла был предложен И.И. Шафрановским [2] – перечисление возникающих
на искаженном кристалле ложных простых форм, на которые распадаются неравномерно развитые грани
каждой простой формы. В реальной форме фиксируются индексы присутствующих на кристалле граней и
соответствующий комбинаторный тип. Рассмотрим положение реальной формы кристалла среди других
способов его описания. Всего их нами найдено восемь.
1. Облик – самая общая характеристика, указывающая на относительную вытянутость кристалла
вдоль трех взаимно-перпендикулярных направлений. Облик не характеризует кристалл как ограненное
тело, а дает понятие о его общем виде.
2. Габитус указывает на самые развитые грани одной или нескольких простых
кристаллографических форм, присущих данному кристаллу. Как правило, говоря о габитусе, перечисляют
индексы граней простых форм, предполагая, что грани одной и той же формы развиты в равной степени.
3. Комбинаторный тип – характеристика формы кристалла, задающая число и способ
контактирования вершин, ребер и граней. Она не имеет прямого отношения к кристаллографии, так как не
задает формы кристалла и тем более – ориентировки граней. Ее достоинством является простота
представления в математических терминах (матрица смежности вершин, матрица индциденций вершин и
ребер), что позволяет работать с кристаллографической информацией средствами математики и, в
частности, определять видимую (максимально возможную для данного комбинаторного типа) симметрию
кристалла или получать комбинаторные типы кристаллов с фиксированным набором вершин, граней или
ребер.
4. Реальная форма рассмотрена выше. Очевидно, что она позволяет более полно описывать кристалл,
чем 2-й и 3-й способы, включая как кристаллографическую, так и комбинаторную информацию. Вместе с
тем, реальная форма не фиксирует степень развития граней и не точно описывает геометрию кристалла.
5. Развертка – графическое изображение граней кристалла с указанием их формы и порядка
соединения. Это редкий тип описания, не дающий наглядного представления об общей форме кристалла и
применяемый, скорее, для полного отображения скульптуры его граней [3, 4].
6. Площади граней. Этот способ использует теорему Минковского, согласно которой выпуклый
многогранник однозначно описывается площадями и ориентировками граней [5]. По этой информации
можно восстановить точную форму кристалла. Преимущества описания заключаются в легком определении
всех параметров и их краткой записи, недостатки – в необходимости специальных компьютерных программ
для восстановления формы кристалла.
7. Аналитическое описание. Каждая грань описывается уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, где
(A; B; C) – декартовы координаты нормали к грани, D – параметр, задающий удаление грани от начала
координат (центра кристалла). Этот способ позволяет работать с формой кристалла методами стереометрии
и аналитической геометрии.
8. Сканирование – запись формы кристалла через указание пространственных координат всех точек
его поверхности. Для этого применяется лазерное сканирование, фиксирующее с некоторым шагом все
точки поверхности кристалла, что позволяет
зафиксировать даже тонкую скульптуру его граней. К
недостаткам можно отнести большой объем описания,
необходимость
специального
оборудования
и
программного обеспечения для измерения и
восстановления формы кристалла.
Каждый из способов описания фиксирует определенный
набор параметров формы кристалла. Одно из описаний
может включать в совокупность своих параметров все
параметры из другого описания и, таким образом, быть
информативнее последнего. Если обозначить такую
взаимосвязь «по включению» стрелкой (от менее
информативного описания к более информативному), то
получится схема, показанная на рис. 3. Пунктирные
стрелки означают, что указанная связь выполняется не
Рис. 3. Взаимосвязь описаний формы
всегда. Двойная стрелка между габитусом и реальной
кристалла. Пунктирные стрелки означают,
формой означает, что информативнее может быть как
что отношение наблюдается не всегда
одно, так и другое описание.
145
Способы описания 5–8 специфичны
и не имеют широкого применения. Связи
между обликом и габитусом, а также
между комбинаторным типом и реальной
формой просты для понимания. Габитус
неявно
содержит
информацию
о
геометрических параметрах кристалла
(призматический,
дипирамидальный,
Рис. 4. Кубический габитус, однозначно
ромбоэдрический, кубический и др.), а в
определяющий комбинаторный тип (1) и три формы
некоторых случаях даже отождествляется
с кубооктаэдрическим габитусом, имеющие разный
с обликом кристалла. Комбинаторный тип
комбинаторный тип (2)
является составляющей реальной формы;
для габитуса комбинаторный тип не всегда определен однозначно (рис. 4).
Рассмотрим подробнее связь между обликом и реальной формой кристалла. По определению,
облик кристалла оценивается по его линейным параметрам a, b и с, измеренным вдоль трех взаимно
перпендикулярных осей. В зависимости от соотношения этих параметров различают четыре
основных облика кристаллов: столбчатый, таблитчатый, призматический и изометричный. Если
упорядочить параметры по возрастанию a b с, то все возможные облики кристаллов будут
задаваться точками с координатами (b/a; c/a) и лежать в единичном квадрате в первом квадранте
декартовой системы координат. Его можно разбить на 4 зоны, каждая соответствует одному из
четырех основных обликов кристалла (рис. 5). Точка пересечения всех зон с координатами (0.5; 0.5)
соответствует переходному облику с соотношением параметров 4:2:1. Крайние точки диаграммы с
координатами (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1) соответствуют предельным случаям призматического,
столбчатого, таблитчатого и изометричного обликов.
Почти все реальные формы имеют грани, параллельное перемещение которых допустимо, то
есть сохраняет комбинаторный тип, присущий данной реальной форме. При этом геометрические
параметры кристалла изменяются. Возникает вопрос: каково многообразие облика определенной
реальной формы кристалла. Так как облик является диагностическим признаком минералов и
указывает на условия образования минералов, а реальная форма зависит от анизотропии среды
кристаллообразования, сопоставление этих двух описаний имеет практическое значение.
Для некоторых реальных форм вопрос решается просто. Так, реальная форма куба допускает любые
параллельные перемещения граней и, следовательно, любые соотношения параметров a, b и c. На
диаграмме облика реальной форме куба будет соответствовать вся область единичного квадрата. Реальная
форма октаэдра, совпадающая с его простой формой, (рис. 2, случай 2) не допускает отдельного
перемещения одной или части граней без изменения комбинаторного типа. На диаграмме облика ей будет
соответствовать точка с координатами (1; 1), отвечающая идеальной
изометрии кристалла. Это же касается и реальной формы тетраэдра,
параллельный независимый сдвиг граней которого не изменяет
относительных размеров кристалла. Но для подавляющего
большинства реальных форм определение вариации облика
является непростой задачей. Во-первых, сложность заключается в
проблеме выбора направлений трех осей, вдоль которых
измеряются параметры a, b и c. Если брать главные оси кристалла за
такие направления, то не для всех сингоний (например, для
триклинной
или
моноклинной)
они
будут
взаимно
перпендикулярными. Сам вопрос о перпендикулярности осей
является открытым – определение облика не постулирует
ортогональности выбранных направлений, за исключением
замечания
Разумовского,
предлагающего
призматический
Рис. 5. Диаграмма облика
(досковидный) облик кристалла. С другой стороны, использование
кристалла
даже взаимно перпендикулярных главных осей кристалла не
устраняет некорректности определения облика. Для примера рассмотрим реальную форму октаэдра (рис. 6).
Независимо от сдвига выделенных граней (серое) все три параметра a, b и с, измеренные вдоль осей L4
будут оставаться неизменными и равными друг другу. Таким образом, даже вытянутая вдоль оси L3
реальная форма октаэдра будет считаться изометричной, что не соответствует интерпретативной функции
облика.
146
Во-вторых, для некоторых реальных форм даже
одинаковое развитие всех граней, свидетельствующее об
изотропных условиях кристаллообразования, приводит к
неизометричному облику. Так, для дипирамид, грани
которых имеют малый угол с главной осью с, облик имеет
явный столбчатый характер, что не согласуется с
однородными условиями роста кристалла. В этом случае
остается заключить, что облик кристалла указывает не
Рис. 6. Пример реальной формы
только на условия его образования, но и на особенности
октаэдра (пояснения в тексте)
внутреннего строения.
Таким образом, переход от качественного характера облика кристалла к количественному сопряжен
только с одной принципиальной трудностью – однозначным определением «удлинения по трем разным
направлениям». После этого поиск всех возможных обликов, соответствующих определенной реальной
форме при вариации ее геометрических размеров проводится достаточно просто. В результате каждой
реальной форме кристалла на диаграмме облика будет соответствовать некоторая замкнутая область.
Обозначим множество ее точек как {H(Ri)}, где Ri – некоторая реальная форма кристалла, а H(Ri) – облик Ri,
соответствующий некоторой точке области.
Возьмем многообразие реальных форм {R} для какой-либо простой кристаллографической формы
(или их комбинаций) и оценим облик каждой формы. Даже не зная конкретного вида H(Ri), можно сделать
ряд выводов. Во-первых, так как грани реальной формы в границах допустимых пределов сдвигаются
непрерывно, множество {H(Ri)} является непрерывным и связным. Во-вторых, реальные формы, хотя бы в
некоторых вершинах которых сходится более трех граней, являются предельными случаями реальных
форм, в каждой вершине которых сходится ровно три грани (назовем их регулярными). Соответственно,
если {R}НР – реальные формы, соответствующие некоторой регулярной реальной форме RР, то для любого
R{R}НР верно H(R)H(RР). Иначе говоря, множество обликов реальной формы является подмножеством
обликов соответствующей ей регулярной реальной формы. То же справедливо для неполногранных
реальных форм, являющихся предельными случаями полногранных с вырождающимися гранями.
Полногранные регулярные реальные формы занимают, таким образом, особое положение и определяют
весь возможный диапазон изменения облика кристаллов. Например, для октаэдрических кристаллов
таковыми будут пять регулярных реальных форм (рис. 7).
Подробный анализ взаимосвязи
различных описаний формы кристаллов
может
дать
дополнительную
информацию,
важную
для
их
интерпретации с точки зрения механизмов
и
условий
образования.
Кратко
Рис. 7. Полногранные регулярные реальные формы октаэдра
рассмотренные выше комбинаторный тип
и габитус (причем последний имеет явно
более широкое распространение при рассмотрении вопросов генезиса кристаллов) могут быть аналогичным
образом детально проанализированы с точки зрения корреляционных зависимостей.
В заключение отметим, что перевод качественных характеристик геологических объектов на
количественный уровень является следствием своеобразного дуализма: любое качество рано или поздно
оценивается в численных величинах, и наоборот, количественные характеристики объединяются в
отдельные блоки, интервалы, зоны (например, фазовые диаграммы) и т.п., каждым из которых
приписывается качественный признак. Наконец, заметим, что развиваемое авторами направление, уже
получившее название комбинаторной кристалломорфологии, продолжает забытую на многие годы работу
акад. Е.С. Фёдорова по генерированию полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров и
увязывает ее с классическими методами кристалломорфологии, тем самым представляя know how
российской науки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Voytekhovsky Y.L. On the real crystal octahedra. Acta. Cryst. 2002. A58. P. 622–623. 2. Шафрановский И.И. Лекции по
кристалломорфологии. М.: Высшая школа, 1968. 174 с. 3. Мокиевский В.А. Морфология кристаллов. Л.: Недра, 1983. 296
с. 4. Леммлейн Г.Г. Морфология и генезис кристаллов. М.: Наука, 1973. 328 с. 5. Войтеховский Ю.Л. и др. Теорема
Минковского и описание формы кристалла / Ю.Л. Войтеховский, Д.Г. Степенщиков, М.С. Макаров // ЗРМО. 2006. № 5,
С. 101–102.
Сведения об авторах
Степенщиков Дмитрий Геннадьевич – к.г.-м.н., научный сотрудник; e-mail: [email protected]
Войтеховский Юрий Леонидович – д.г.-м.н., директор института; e-mail: [email protected]
147