Об одном классе точных решений теории упругости

УДК 539.3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Н. Г. Рябенков
Казанский государственный технологический университет, Казань, Россия
В работах [1, 2] показано, что асимптотические разложения уравнений теории
упругости в ряды по степеням малого параметра h (толщины пластины) в первом и
втором приближениях вместе с приближенными решениями содержат и точные решения
задачи теории упругости. Далее вопрос о точных решениях рассмотрен для любого
асимптотического приближения.
При выполнении определенных условий [3] аналитические методы решения задачи
теории упругости (метод последовательных приближений, метод гипотез, метод
степенных рядов) эквивалентны асимптотическому методу и приводят к тождественному
с асимптотическим методом результату. Поэтому далее с целью упрощения выкладок в
качестве базового рассмотрим метод степенных рядов, когда напряженное состояние
пластины раскладывается в ряды по степеням координаты z . Полагаем, что две другие
координаты x, y параметризуют срединную плоскость пластины.
(u, v, w), ( x ,  y ,  z , xy   yx , xz   zx , yz   zy )
Пусть
– компоненты вектора
перемещений и тензора напряжений. Анализ асимптотических свойств показывает, что
систему уравнений теории упругости удобно записать в следующей форме
w
2
w
)   2 ( xz  2G ), ( x, y ),
x
z
x
(1)
  xz  yz
2w
2
 w  (1  )(

)  (  2G ) 2 .
G x
y
z
Остальные неизвестные элементарными операциями выразим через касательные
напряжения  xz ,  yz и прогиб w из соотношений Коши и закона Гука. Уравнения
 2 ( xz  2G
неразрывности деформаций при этом удовлетворены тождественно. Здесь 2 

2
2

,
x 2 y 2
2G
, G,  – модуль сдвига и коэффициент Пуассона.
1  2
Решение уравнений (1) будем искать в виде
n
n
k 0
k 0
 xz   z k Fxk , ( x, y ), w   z k Fzk .
(2)
Здесь Fxk , Fyk , Fzk – функции координат срединной плоскости.
Подставим ряды (2) в уравнения (1), приведем подобные члены и приравняем нулю
коэффициенты при всех степенях z . В результате получим рекуррентную систему,
состоящую из 3n  3 соотношений
2 ( Fxn  2G
n
Fzn
 F n F
)  0, ( x, y ), 2 Fzn  (1  )( x  y )  0,
x
G x
y
2 ( Fxn 1  2G
n 1
Fzn 1
 F n 1 F
)  0, ( x, y ), 2 Fzn 1  (1  )( x  y )  0,
x
G
x
y
2 ( Fxk  2G
Fzk
F k 2
)  (k  2)(k  1)( Fxk 2  2G z ), ( x, y ),
x
x
(3)
(4)
(5)
 2 Fzk  (1 
 Fxk

Fyk
)  (k  2)(k  1)(  2G) Fzk  2, k  n  2, n  3,..., 0
(6)
G x
y
Из уравнений (3), (4) находим Fxn , Fyn , Fzn и Fxn1, Fyn1, Fzn1 . Далее выразим из
соотношений (5), (6) эти величины и подставим в (3), (4). Получим уравнения для
определения Fxn2 , Fyn2 , Fzn2 и Fxn3 , Fyn3 , Fzn3 . Продолжая этот процесс, определим все
коэффициенты разложений.
В каждом приближении имеем следующую систему разрешающих уравнений:
)(
Fzk
)  0, ( x, y ),
x
(7)
k
Fyk
2j k
k 2 j  2 Fx
 Fz  1  (

)  0, k  n, n  1,..., 0.
x
y
При четных n для четных k показатель степени оператора набла 2 j  n  2  k , для
нечетных k имеем 2 j  n  1  k . При нечетных n – наоборот. Константы 1k ,  2k
вычисляются по рекуррентным формулам.
Если уравнение 2 F  0 называется гармоническим, а его решение – гармонической
функцией, уравнение  4 F  0 – бигармоническим и его решение – бигармонической
функцией, то уравнение  2 j F  0 будем называть полигармоническим порядка j и его
решение – полигармонической функцией того же порядка.
Систему уравнений (7) приводим к виду
k
k
Fyk
k
k Fz
2j
2 k
k Fx
Fx   2
  x , ( x, y ),  Fz  1 (

)   z2 j 2 .
x
x
y
2j
2j
2 j 2
Здесь  x ,  y ,  z
– произвольные полигармонические функции порядка j и j  1 .
После элементарных преобразований находим
2j
F k
k
1
 2 j  y
,  2k 
.
2 Fzk   1k ( x 
)   1k z2 j 2 , Fxk   x2 j   2k z , ( x, y ).  1k  k 1k
x
 2 1  1
1   2k 1k
x
y
Итак, проблема построения точных решений теории упругости сводится к нахождению
решений уравнений Пуассона, в правой части которого имеем полигармонические
функции.
Требуется определить частные решения. Поэтому поступим следующим образом.
Имея уравнение  2 F   , введем комплексные координаты z  x  iy , z  x  iy и
совершим замену переменных. Тогда уравнение примет вид
2F
4
 [ x( z, z ), y ( z, z )]
z z
и его решение с точностью до произвольной гармонической функции можно записать в
форме
1
F   dzd z.
4
Таким образом, показано, что в любом приближении степенное разложение по
координате z содержит точные решение задачи теории упругости. При этом коэффициенты
разложений являются полигармоническими функциями координат x и y . Коэффициенты
при старшей степени являются бигармоническими функциями. Далее с уменьшением
показателя степени z порядок гармоничности коэффициентов возрастает. Максимальный
порядок имеют коэффициенты при минимальных степенях разложений.
 2 j ( Fxk   2k
ЛИТЕРАТУРА
1. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. Асимптотический метод в теории
деформирования плоского упругого тела // МТТ. – 2005. – № 3. – С. 53–59.
2. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. Точные решения задачи теории упругости,
следующие из асимптотического разложения // Матер. Х Междунар. симп.
«Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». –
М.: МАИ, 2004. – Т. 1. – С. 45–46.
3. Рябенков Н.Г., Файзуллина Р.Ф. О единой асимптотической природе методов
решения задач теории упругости для плит и пластин // ПММ. – 2006. – Т. 70. – № 3. –
С. 440–448.