Программа дисциплины Визуализация аналитических расчетов

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» специализация "Алгоритмика" подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики
отделение прикладной математики и информатики
Программа дисциплины
Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2
для направления 010400.62 – «Прикладная математика и информатика» специализация
"Алгоритмика" подготовки бакалавра
Автор программы: Ф.Л.Быков [email protected]
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики на факультете экономики
«___»____________ 2012 г.
Зав. кафедрой Ф.Т.Алескеров
Рекомендована секцией УМС
«___»____________ 2012 г.
Председатель
Утверждена УС факультета
«___»_____________2012 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов, обучающихся по программе подготовки бакалавра 2 курса.
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.62 – «Прикладная
математика и информатика», утвержденным в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2
1)приобретение навыков двух- и трехмерной визуализации функций, заданных аналитически
или численно; 2)приобретение навыков численного решения задач.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Уметь строить графики функций одной и двух переменных
 Уметь составлять и численно решать системы линейных алгебраических уравнений,
оценивать точность нахождения решения
 Уметь приближенно численно находить решения нелинейных уравнений
 Уметь приближенно численно находить решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений и систем (в том числе и с разрывной правой частью)
 Строить фазовые портреты и траектории для автономных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с двумерным фазовым пространством.
Выпускник по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) бакалавр в соответствии с целями основной образовательной
программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2 и 3.6.1 настоящего ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями.
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Общенаучная
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Семинарские
Общенаучная
ОНК-5
Готовность выявить естественно-
Семинарские
Компетенция
3
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
научную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
4
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения
Семинарские
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Семинарские
ПК-2
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Семинарские
ПК-8
способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Семинарские
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является факультативной.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Математический анализ;
 Высшая и линейная алгебра;
 Основы теории дифференциальных уравнений.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ
 Дифференциальные уравнения
 Уравнения математической физики
 Численные методы
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Тематический план учебной дисциплины
5
2 курс бакалавриата, 1 модуль
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
Название темы
Аудиторные часы
практиче-
Самост. работа
часов
лекции
10
2
2
6
7
2
2
3
11
3
2
6
6
1
2
3
54
8
8
38
ские занятия
Матричная алгебра в MATLAB.
I
Метод Гаусса для решения
СЛАУ. Метод наименьших
квадратов
Методы Ньютона и Ньютона-
II
Рафсона. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной
плоскости (фракталы)
III
Визуализация для решений
I
дифференциальных уравнений и
систем. Методы Рунге-Кутты
Интерполяция
I
и аппроксимация
IV функций
Итого
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Самостоятельная работа
Домашнее
задание
Итоговый Зачет
1
2
2 год
2 3
Кафедра
Параметры
4
0
Письменный зачет
120 мин. 2 задачи различной сложности
1
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Критерии оценки знаний, навыков
При текущем контроле студент должен продемонстрировать понимание пройденного
материала, владение методами двух- и трехмерной визуализации функции, уметь обращаться к
стандартным функциям MATLAB для численного решения систем линейных алгебраических
уравнений, приближенного решения нелинейных уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом экзамене
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Студентам предоставляются m-файлы - примеры решения задач.
6.1
Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.
6.2.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях:
оценивает понимание нового материала, правильность решения задач. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях
определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка
по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или
итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопленная= 0,2 Оаудиторная + 0,8 Осам.работа
Ответ на зачете учитывается с весом 0,7:
Оитоговая = 0,3·Онакопленная + 0,7·Озачет
Итоговый контроль: зачет (2 задачи, решение которых подразумевает использование
компьютера, на выполнение задания дается 120 минут; для получения минимальной положительной оценки достаточно полностью решить одну из задач).
Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,
• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,
• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,
• 8 ≤ O ≤10 -отлично.
Способ округления всех оценок – арифметический.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
7
Содержание дисциплины
Тема I. Матричная алгебра в MATLAB. Метод Гаусса для решения СЛАУ. Метод
наименьших квадратов
Способы задания матриц и многомерных массивов. Способы обращения к отдельным
элементам массива, строкам или столбцам. Основные арифметические операции. Ограничения
на размеры матриц. Поэлементные операции над матрицами. Использование операции \ для
решения линейных систем. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы.
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Построение базиса в пространстве решений. Матрица Гильберта. Метод наименьших квадратов и его визуализация.
Задачи
1.
Вычислите матрицу, обратную к матрице 30 порядка следующего вида:
 2 1 0  0



1 2 1
0 1 2  0 .


  1

 0  0 1 2


2.
Найдите максимальный порядок матрицы Гильберта aij=(1+i+j)-1, для которой линейная система с правой
частью, соответствующей решению из единиц, решается методом Гаусса с погрешностью не более 10 -3.
 1 2 3  x   0 

    имеет нетривиальные ре3. Пусть Y=1,2,…,10. При каких Y однородная система 4 5 6

 y    0 
 7 8 Y  z   0 

   
шения? Постройте в этом случае базис в подпространстве решений системы.
Основная литература.
1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.
2. В. П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, 2003
4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'',
2001.
Дополнительная литература
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab/math.pdf
Тема II. Методы Ньютона и Ньютона-Рафсона. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости (фракталы)
Метод Герона поиска квадратного корня. Метод Ньютона поиска корней уравнения.
Зависимость от начального приближения. Визуализация бассейнов притяжения на комплексной плоскости для поиска корней многочлена. Метод Ньютона-Рафсона. Примеры.
Задачи
1.
Методом Ньютона приближенно вычислите вещественный корень уравнения sin(x)=ctg(x).
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
2.
3.
Методом Ньютона-Рафсона вычислите приближенно вещественный корень системы уравнений sin x=tg y,
x2+y2=1.
Для функции arctg x найдите все начальные условия, для которых метод Ньютона сходится.
Основная литература.
1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.
2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.
3. В. П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, 2003
5. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'',
2001.
Тема III. Визуализация для решений дифференциальных уравнений и систем. Методы Рунге-Кутты. Поиск событий в системе ОДУ
Сведение дифференциального уравнения высокого порядка к системе уравнений
первого порядка. Порядок аппроксимации. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Построение фазового портрета. Остановка в момент времени, когда выполняется условие типа равенства. Определение зависимости периода колебаний маятника от амплитуды.
Визуализация колебаний математического маятника. Поиск времени совершения события
типа равенства в системе, описываемой системой ОДУ. Моделирование отражения тела от
упругой стенки.
Задачи
1.
2.
3.
4.
Решите задачу Коши x’’+x’+1=0, x(0)=1, x’(0)=2, -5<t<5, используя различные h. Найдите погрешность
решения.
Постройте фазовый портрет системы x’’=-sin (x).
Найдите период решения системы Лотки-Вольтерра x’=x(1-2y), y’=y(-2+3x) для начальных условий (1,1).
Смоделируете поведение мяча, на которого действует сила тяжести. При отскоке от пола мяч теряет 20%
скорости и меняет вертикальную компоненту скорости на противоположную.
Основная литература.
1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. — Численные методы, М., 2003.
3. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать?
Рукопись, выложенная в общий доступ.
4. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008.
5. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'',
2001.
Тема IV. Интерполяция и аппроксимация функций
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Поиск коэффициентов интерполяционного
многочлена с помощью системы СЛАУ с матрицей Вандермонда. Сравнение результатов с поиском коэффициентов по методу наименьших квадратов. Визуализация. Устойчивость интерполяционного многочлена к шумам в данных интерполяции. Оценка константы Лебега для данной сетки.
Задачи
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1.
Построить
интерполяционный многочлен Лагранжа (степени N), принимающий в точках
x j  2 j / N , j  0,..., N те же значения, что и функция f ( x)  sin x при N=3,4…,10. Оценить по-
грешности аппроксимации функции интерполяционным многочленом в норме C[0,2 ] при различных N.
2.
3.
Построить график зависимости погрешности от N.
То же, но дополнительно на краях отрезка многочлен (степени N+2) использует значения производной
f’=1.
Для задачи 1. Последовательно найдите коэффициенты многочленов степени n=1,… N с помощью МНК.
Исследуете их сходимость. Верно ли, что они сходятся к коэффициентам ряда Тейлора для f(x)?
Основная литература.
1. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005
2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.
3. В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008
4. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'',
2001.
8
Образовательные технологии
Семинарские занятия в компьютерном классе. Самостоятельное решение задач. Ответы
на вопросы студентов.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Несколько сотен задач имеется в тексте книги В.А.Гордин: Как это посчитать?. М.,
МЦНМО, 2005.
9.1
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Контрольные вопросы содержатся в книге Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.
MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005. Примеры задач см. пункт 5.
9.2
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
9.3
1.
Решите систему линейных алгебраических уравнений 30го порядка
4
1
0
1
4
1
0
1
4 1
⋱ ⋱
1
0
0
𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗
⋱ 0
4 1
( 0
1 4)
𝑖−1
𝑖+1
где 𝑏𝑖 = cos (𝜋
) − cos (𝜋 ). Посторойте график 𝑥(𝑖). Попробуйте реализовать все вы2.
31
31
числения не используя циклы (см. diag).
Замеры профиля шифера показали следующие результаты:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
0.3
2
7.8
9.7
9.7
7.8
5
2
0.3
Приблизьте методом наименьших квадратов профиль шифера по формуле
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Визуализация аналитических расчетов в MATLAB-2» для направления
010400.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
𝑎 cos (
3.
2𝜋
2𝜋
𝑥) + 𝑏 sin ( 𝑥) + 𝑐
10
10
Можно ли какое из слагаемых можно отбросить, так чтобы качество приближения пострадало слабо? Если
да, то какое?
Модель, описывающая войну между двумя ордами x и y , содержит уравнения:
 x  2 x  y

 y   y  0.5 x
Постройте фазовый портрет этой системы и ответьте на вопрос: Всегда ли в такой войне побеждает одна
из сторон?
4. Для функции f(x)=cos x постройте многочлен Лагранжа на равномерной сетке с N=50 узлами на отрезке [0,
π]. Вычислите его производную. Постройте график отклонения найденной производной от истинной производной f(x).
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
В.П. Дьяконов MATLAB 7.* /R2006/R2007. Самоучитель, ДМК пресс, 2008
К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг: MATLAB в математических исследованиях. М., ``Мир'',
2001.
10.2 Основная литература
Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7, БХВ-Петербург, 2005
10.3 Дополнительная литература
Материалы документации MATLAB на сайте (на англ.)
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab
10.4 Справочники, словари, энциклопедии не используются
10.5 Программные средства
 MATLAB не раньше версии 6.5
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Предусмотрена электронная переписка со студентами и использование LMS.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для семинаров используется проектор
10