Document 2472222

РАБОТА № 2
РАСЧЕТ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ
Задание и исходные данные
Схема фермы и исходные данные выбираются соответственно
на рис.25 и в табл.3 по заданию преподавателя.
Таблица 3
Группа
данных
I
II
№ п/п
d,м
h,м
Aв .п . : Ан .п. : А реш : Ашпр
q , кН/м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3,0
4,1
4,0
3,9
3,8
3,7
3,6
4,5
4,3
4,4
4,5
1,8:1,2:1:0,8
1,8:1,3:1:0,9
1,8:1,3:0,9:0,9
1,8:1,5:1:0,8
1,8:1,5:0,9:0,7
1,8:1,6:1,2:1
1,8:1,6:1:1,1
1,8:1,6:1,1:0,8
2:1,5:1:1
2:1,5:1,1:0,9
2:1,6:1:0,9
2:1,6:1,2:1
2:1,6:0,9:1
2:1,7:1:0,9
2:1,5:0,9:0,9
2:2:1,3:1,1
10
11
12
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Для заданной фермы:
- найти степень статической неопределимости;
- выбрать основную систему (для схем 14, 16 применить групповое
неизвестное);
- записать каноническое уравнение;
- определить усилия в основной системе от единичного неизвестного
и от нагрузки (предварительно, распределенную по верхнему поясу
нагрузку заменить узловой);
57
Рис.25
58
* Для схем 13 и 15 нагрузку принять на половине пролета
Рис.25 (окончание)
59
- вычислить единичное и грузовое перемещения в направлении отброшенной связи;
- найти значение лишнего неизвестного;
- определить усилия в заданной ферме;
- выполнить кинематическую проверку.
Расчет выполнить в таблице.
Пример расчета
Рассчитать ферму, приведенную на рис.26.
Рис.26
Исходные данные:
d = 4 м; h = 3 м;
q = 12 кН / м ;
Aв .п . : Ан .п . : А реш : Ашпр = 3 : 2 : 2 : 1 , где Aв .п . , Ан.п . ,
А реш б Ашпр - площади сечений соответственно элементов верхнего
пояса, нижнего пояса, решетки, шпренгеля.
Решение
1. Определяем число лишних связей
n = C + Co − 2 y .
C = 22 - число стержней фермы; C o = 3 - число опорных связей; y = 12 - число узлов фермы.
Здесь
60
Тогда n = 22 + 3 − 2 ⋅ 12 = 1 .
Ферма имеет одну лишнюю связь (один раз статически неопределима).
2. Выбираем основную систему.
Ферма внешне статически определима (3 опорные связи), следовательно, при выборе основной системы необходимо отбрасывать
внутреннюю связь (разрезать один из стержней).
Заданная система представляет собой обычную раскосную ферму 1 − 1′ − 4 ′ − 4 со шпренгенлем 1 − 7 − 7 ′ − 1′ − 2 ′ − 2 , поэтому
удобно отбросить связь в шпренгеле. Учитывая симметрию фермы,
разрежем стержень 7 − 7 ′ (рис.27).
Рис.27
3. Выполняем расчет основной системы на заданную нагрузку (рис.28).
Рис.28
Предварительно, заданную на верхнем поясе (не на шпренгеле)
равномерно распределенную нагрузку приводим к узловой:
61
qd 12 ⋅ 4
=
= 24 кН ;
2
2
F2 = F3 = qd = 12 ⋅ 4 = 48 кН .
F1 =
Опорные реакции
R A = RB =
sin α =
cos α =
3
3 +4 2
4
2
3 2 +4 2
2 ⋅ 24 + 2 ⋅ 48 + 48
= 96 кН .
2
1
= 0 ,6 ; sin β =
= 0 ,243 ;
= 0 ,8 ; cos β =
Усилие в разрезанном стержне
12 +4 2
4
12 +4 2
= 0 ,970 .
7 − 7 ′ N7 −7 ′, f = 0 .
Вырезаем узлы.
Узел 7 : так как N7 −7 ′, f
= 0 , то N 1 −7 , f = N 2 −7 , f = 0 .
Узел 4 : N 1 − 4 , f = − R A = −96 кН ; N 4 − 5 , f = 0 .
Узел 1 :
∑ y = 96 − 24 − N1−5 , f ⋅ sinα = 0 .
96 − 24
= 120 кН ;
0 ,6
∑ x = N1−5 , f ⋅ cos α + N1− 2 , f = 0 ;
N1− 2 , f = −120 ⋅ 0 ,8 = −96 кН .
N1− 5 , f =
Узел 5 :
∑ x = −120 ⋅ cos α + N5 −6 , f
=0;
N 5 −6 , f = 120 ⋅ 0 ,8 = 96 кН ;
∑ y = 120 ⋅ sinα + N 2 −5 , f
=0;
N 2 − 5 , f = −120 ⋅ 0 ,6 = −72 кН
Узел 2 :
∑ y = 72 − 48 − N 2 −6 , f
⋅ sinα = 0 ;
72 − 48
= 40 кН ;
0 ,8
∑ x = 96 + N 2 −6 , f ⋅ cosα + N 2 −3 , f = 0 ;
N 2 −6 , f =
62
N 2 −3 , f = −96 − 40 ⋅ 0 ,8 = −128 кН .
Узел
3 : N 3 −6 , f = −48 кН .
Остальные усилия найдем из условия симметрии, проверку выполняем по условию равновесия узла 6 :
∑x = 0;
∑ y = −48 + 2 ⋅ 40 ⋅ sinα =
= −48 + 2 ⋅ 40 ⋅ 0 ,6 = 0.
4. Выполняем расчет основной системы на действие лишнего неизвестного
X 1 = 1 (рис.29).
Рис.29
Опорные реакции
H A = 0 ; R A = RB = 0 .
Вырезаем узлы.
Узел
4 : N4 − 5 = N1−4 = 0 .
Узел 7 :
∑ x = 1 − N 1 −7 ⋅ cos β = 0 ;
1
= 1,031 ;
0 ,97
∑ y = N1−7 ⋅ sin β + N 2 −7 = 0 ;
N 2 −7 = −1,031 ⋅ 0 ,243 = −0 ,251
N1−7 =
63
Узел
1:
∑ y = 1,031 ⋅ sin β − N1−5 ⋅ sinα
=0;
1,031 ⋅ 0 ,243
= 0 ,418 ;
0 ,6
∑ x = 1,031 ⋅ cos β + N1− 2 + N1−5 ⋅ sinα = 0 ;
N 1− 5 =
N1− 2 = −1,031 ⋅ 0 ,97 − 0 ,418 ⋅ 0 ,8 = −1,334 .
Узел
5:
∑ y = 0 ,418 ⋅ sinα + N 2 −5
=0;
N 2 − 5 = −0 ,418 ⋅ 0 ,6 = −0 ,251 ;
∑ x = N5 −6 − 0 ,418 ⋅ 0 ,8 = 0 ;
N 5 −6 = 0 ,334 .
Узел
2:
∑ y = 0 ,251 − 0 ,251 − N 2 −6 ⋅ sinα
=0;
N 2 −6 = 0 ;
∑ x = 1,334 + N 2 −3
=0;
N 2 − 3 = −1,334 .
Узел
3 : N 3 −6 = 0 .
Проверка по равновесию узла
6:
∑ x = 0 ,333 − 0 ,333 = 0 ;
∑y =0.
Вычисленные усилия удобно записать на соответствующих
стержнях фермы (см. рис.28, 29). Каждую из этих схем фермы с написанными на стержнях усилиями можно считать числовым аналогом
эпюры продольных сил.
Дальнейший расчет выполняем в табл.4.
При заполнении табл.4 необходимо иметь в виду следующее.
При расчете симметричной фермы на симметричную нагрузку можно
учитывать не все стержни, а только до оси симметрии. Для того, чтобы
при суммировании получать половину суммы, соответствующей всей
ферме, необходимо длину стержней, расположенных на оси симметрии (в рассматриваемом примере стержни 3 − 6 и 7 − 7 ′ ) брать поло64
Таблица 4
Элементы
фермы
Стер
жни
l,м
Ao
A
N1
Nf
A
N 1l o
A
A
N 12 l o
A
A
N1 N f l o N1 X 1
A
N
Проверка
A
N1 N l o
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Верхний
пояс
Нижний
пояс
1-2
2-3
4-5
5-6
1-5
2-6
1-4
2-5
3-6
1-7
2-7
7-7´
4
4
4
4
5
5
3
3
3/2
4,123
1
8/2
1
1
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
3
3
3
-1,333
-1,333
0
0,333
0,418
0
0
-0,251
0
1,031
-0,251
1
-96
-128
0
96
120
40
-96
-72
-48
0
0
0
-5,332
-5,332
0
1,998
3,135
0
0
-1,130
0
12,752
-0,753
12,0
7,108
7,108
0
0,665
1,310
0
0
0,284
0
13,147
0,189
12,0
511,9
682,5
0
191,8
376,2
0
0
81,4
0
0
0
0
58,8
58,8
0
-14,7
-18,4
0
0
11,1
0
-45,5
11,1
-44,1
-37,2
-69,2
0
81,3
101,6
40
-96
-60,9
048
-45,5
11,1
-44,1
198,4
369,0
0
162,4
318,5
0
0
68,8
0
-580,2
-8,4
-529,2
Раскосы
Стойки
Шпренгель
∑
41,811
1843,8
1117,1
-1117,8
-0,7
65
Ao A в качестве Ao можно
брать площадь сечения любой группы стержней (в рассматриваемом
примере взята площадь сечения элементов верхнего пояса).
Вычисление единичного и грузового перемещений выполняется
в табл.4 (колонки 8, 9) суммированием в соответствии с формулами
винную. При вычислении отношений
A
EAoδ 11 = ∑ N 12 l o ,
A
A
EAo ∆ 1 f = ∑ N 1 N f l o .
A
Из канонического уравнения метода сил
δ 11 X 1 + ∆ 1 f = 0
получаем лишнее неизвестное
X1 = −
∆1 f
δ 11
=−
EAo ∆ 1 f
EAoδ 11
=−
1843 ,8
= −44 ,10 кН .
41,811
Определение окончательных усилий в заданной ферме выполнено в колонках 10, 11 табл.4 в соответствии с выражением
N = N1 X 1 + N f .
В заключение в колонке 12 табл.4 выполнена кинематическая
проверка в соответствии с формулой
∑
N1 N l
= 0 или
EA
∑ N1 N l
Ao
=0.
A
Абсолютная погрешность расчета составляет – 0,7, относительная
ε=
0 ,7
100 % = 0 ,6 % < 3 % .
1117 ,1
66