Приложения 4

Отдел образования, спорта и туризма
Несвижского райисполкома
Государственное учреждение образования
«Грицкевичская средняя школа»
Исследовательская работа на тему
«Узлы и косы»
Выполнил:
Данилов Павел Викторович, учащийся
8 класса
Руководитель:
Данилова Елена Ивановна,
учитель математики и информатики
высшей квалификационной категории
Грицкевичи, 2014
2
Содержание
Введение ................................................................................................. 3
Глава 1. Теория кос................................................................................ 6
1.1. Понятие косы, виды кос, эквивалентность кос........................... 6
1.2. Алгебра кос......................................................................................6
Глава 2. Теория узлов………………………..........................................8
2.1. Что такое узел..................................................................................8
2.2. Тривиальный узел, эквивалентные узлы.......................................8
2.3. Диаграмма узла................................................................................9
2.4. Типы узлов.....................................................................................10
2.5. Инварианты узла....…………………….......................................10
2.6. Классификация узлов....................................................................11
2.7. Арифметика узлов………………………………………………12
Глава 3. Применение узлов и кос ........................................................13
3.1. Применение ...................................................................................13
Заключение .......................................................................................... 14
Список использованных источников..................................................16
3
Введение
Математики всюду найдут пищу для размышлений: для них математика
повсюду – и это правда. Задумывается ли мужчина, завязывая узел галстука,
что формирует сложную математическую фигуру, которую можно описать
формулой?
Шведские математики задумались, сколько комбинаций можно создать из
двух концов мужского галстука, применили компьютер и получили
ошеломляющий результат: возможны 177147 комбинаций. Ранее рекорд
комбинаций сводился к 85 узлам, зафиксированным математикамирекордсменами из Кембриджского университета (см. Приложение 1).
За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных
областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время
эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях.
Топология (от греч. tоpos – место и логия) является одним из самых
«молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства
таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие),
не допускающих разрывов и склеивания.
Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и
растягивать – делать с ней всё что угодно. И при этом он будет считать, что
ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не
имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.
Топология в основном изучает поверхности тел, и она находит
математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак
между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку,
макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет
отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.
Топология не имеет границ. Она
проникает не только во все области
математики, но и во многие другие
науки. Топологию нельзя заключить
ни в какие рамки и поэтому я взял наиболее интересные (как мне кажется)
факты.
В своей работе я исследовал замечательную связь между двумя красивыми
топологическими объектами: косами и узлами.
Что такое коса в математике? Грубо говоря, это формальная модель того,
что понимается под словом «коса» или «сплетение» в обычной жизни (девичья
коса, плетеный брелок, классический канат из переплетенных жил и т. д.), т. е.
множество нитей, запутанных некоторым определенным образом.
Теория кос, основания которой были построены благодаря азарту и
настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина в двадцатых годах
прошлого столетия, является красивым синтезом геометрии, алгебры и
алгоритмических методов. Первоначально косы были предложены Артином в
качестве математической модели для текстильной промышленности, но
4
приложения этой теории оказались весьма разнообразными; теперь они
занимают важное место в комплексном анализе, комбинаторике, квантовой
механике и квантовой теории поля. Одно из приложений теории кос –
использование её в теории узлов.
Узлы появились в доисторические времена – вместе с первыми нитками и
верёвками. Узлами пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители...
Узлы — предметы простые и наглядные. Все мы, конечно, встречались с
ними в повседневной жизни (см. Приложение 2)
Математические узлы во многом напоминают узлы самые обычные, с
одним важным отличием – концы узла всегда считаются склеенными. В
последние годы математики и физики с огромным интересом и удивительной
интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно
теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса
были получены именно за работы, связанные с этой теорией.
Развитие теории узлов инициировал великий английский физик Дж.
Максвелл. Он пришёл к выводу, что волны осуществляют электромагнитные
взаимодействия, а потом его осенила ещё более смелая мысль: сами
взаимодействующие частицы – тоже волны; но так как частицы (атомы) очень
маленькие, а волны – длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на
небольшом участке пространства: это узелки, в памяти которых хранится вся
физико-химическая информация об атоме, закодированная в самом характере
заузливания атома. Максвел и его ученики принялись за исследование узлов,
начали их систематическую классификацию в виде таблиц.
Однако наиболее успешно теория узлов стала развиваться лишь вместе с
топологией. Математиков привлекла сама красота предмета.
В последние годы теория узлов перестала быть утехой лишь небольшого
числа специалистов, неожиданно превратившись в одно из самых модных
увлечений математиков, физиков и даже генетиков. Например, в молекулярной
биологии при расшифровке аминокислот и изучении ДНК возникла идея о том,
что кодирование химической информации происходит в маленьких узелках и
косах.
Тема исследования: Узлы и косы.
Объекты исследования: узлы, косы, взаимосвязь между ними и области
их применения.
Цель исследования: исследовать связь между косами и узлами,
установить существуют ли какие-то признаки, по которым можно определить,
возможно ли развязать данный узел или нет.
Задачи исследования:
 познакомиться с историей возникновения и развития теории кос и узлов;
 показать связь между косами и узлами;
 найти признаки, по которым можно установить, можно ли развязать узел
или нет;
 изучить вопрос о сферах применения теорий кос и узлов.
5
Актуальность данной темы заключается в том, что главные проблемы
теории узлов по-прежнему открыты: узлы продолжают ускользать от попыток
их ясно классифицировать, и по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко
вычислимой полной системой инвариантов; узлы находят применение как в
чистой математике, так и в реальных физических, химических и биологических
процессах и объектах.
Гипотеза: существует взаимосвязь между косами и узлами, которую
можно проследить с помощью математических приемов и методов; существуют
числовые инварианты (признаки) развязывания узлов и установления их
эквивалентности.
Методы исследования:
 поисковый метод с использованием научной и учебной литературы,
поиск необходимой информации в сети Интернет;
 практический метод завязывания и развязывания узлов, плетения кос;
 метод анализа полученных в ходе исследования данных;
 метод сравнения;
 метод систематизации и обобщения данных.
Этапы исследования:
1. Ноябрь – декабрь 2013 г. – знакомство с литературой и Интернетресурсами.
2. Январь – февраль 2014 г. – обобщение полученных данных.
3. Март – апрель 2014 г. – систематизация и оформление работы.
Практическая значимость работы:
Развитие геометрического воображения можно осуществлять на различном
материале как каноническом, так и более современном. В последние годы все
большее место в геометрическом образовании занимают графы,
многогранники, мозаики, паркеты и такие, на мой взгляд, важные, наглядные и
интересные геометрические объекты как косы и узлы.
Результаты данной работы в дальнейшем могут послужить для изучения
инвариантов узлов, которые имеют приложения в биологии, физике и химии.
Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы попрежнему открыты: узлы продолжают ускользать от попыток их ясно
классифицировать, и по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко
вычислимой полной системой инвариантов. И наконец, та фундаментальная
роль, которую, как полагают, они играют в физике, еще до конца не
определилась.
Поэтому естественно предположить, что затронутые в этой работе
проблемы заинтересуют кого-то из моих одноклассников и подтолкнут их к
изучению этих замечательных топологических объектов.
6
Глава 1 Теория кос
1.1 Понятие косы, виды кос, эквивалентность кос
Теория кос – это реальная и живая наука, возникшая в 20-х годах
прошлого века, – еще не завершена и не исчерпала своих приложений.
Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1, 2, 3,...) – каждый из
гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего;
нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не
имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх) (см. рис. 1,2
Приложения 3).
Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну
можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и
склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в,
горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рис. 3 Приложения 3.
На рис.1 Приложения 3 вверху у начала каждой нити указан ее
порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити – но здесь номера
не обязаны идти по порядку: каждой косе соответствует перестановка номеров
ее нитей. Так, косам К1, К4, К5 на рисунке 1 отвечают перестановки:
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
(
), (
), (
).
2 3 1
1 2 3 4 2 4 1 3
Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса К4. Так она называется
вовсе не потому, что ее нити нарисованы разными цветами: крашеной
называется любая коса, которой отвечает тождественная перестановка
1 2 3…𝑛
(
), т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей. Тривиальная
1 2 3…𝑛
коса, все нити которой вертикальные прямые, – частный случай крашеной
косы.
На рисунке 1 показана не одна, а две тривиальные косы: коса Кз
тривиальна, ибо она легко превращается (см. рис. 3 Приложения 3) в косу из
четырех вертикальных нитей.
Среди всех кос следует выделить, кроме крашеных, в известном смысле
противоположные им циклические косы: это косы, переставляющие все номера
нитей по единому циклу, как это делает коса К5: 1→2→4→3→1.
1.2 Алгебра кос
Косы – один из простейших геометрических объектов, легко поддающихся
«алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается
это совсем просто (см. рис.4 Приложения 3): нужно приложить одну косу к
другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики
(нижние гвозди первой косы и верхние — второй). Такое умножение обладает
рядом свойств обычного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон
К1(К2К3) = (К1К2)К3, есть аналог единицы – тривиальная коса К2=1, для которой
1 ∙ К = К ∙ 1 = К.
Есть и аналог деления: у каждой косы К имеется обратная коса К-1; для нее
К-1 · К= К· К-1=1 (см. рис.5 Приложения 3).
Умножение кос, однако, не коммутативно: К ∙ L не обязательно равно L∙ К.
7
Оказывается, что любая коса представляется в виде произведения
элементарных кос (см. рис.6 Приложения 3) S1, S2, ... и обратных к ним.
Например, очевидно, что К1= S1S2-1S1S2-1S1S2-1 S1S2-1.
Далее К3 = S2 S1 S3-1 S1-1 S3 S2-1 S1 S3 S1-1 S3-1. Это становится очевидным,
если надлежащим шевелением нитей немного опустить 4 двойные точки,
находящиеся справа на косе Кз (см. рис.7 Приложения 3).
В теории кос алгебраическая запись позволяет геометрические
рассуждения
заменить
совершенно
механическими
вычислениями,
основанными на следующих тождествах:
I. Тривиальные соотношения
SiSi-1=Si-1Si=1, Si ∙ 1=1 ∙ Si (i=1,2,…, n - 1)
II.
Далекая коммутативность
SiSj=SjSi при |𝑖 − 𝑗| ≥ 2 (i, j=l, 2, …, n - 1).
III.
Соотношения
сплетения
SiSi+1Si=Si+1SiSi+1 (i=l, 2,..., n - 2).
Справедливость этих тождеств почти очевидна (см. рис. 8 Приложения 3).
Разберем еще один пример: докажем соотношение К3=1 (установленное
геометрическим путем на рис.3 Приложения 3) прямым вычислением. Имеем:
К3= S2(S1 S3-1) S1-1 S3S2-1 S1( S3S1-1)S3-1= S2S3-1(S1S1-1)S3S2-1(S1S1-1)(S3S3-1)= =S2S3-1 ∙
1 ∙ S3S2-1 ∙ 1 ∙ 1= S2(S3-1S3)S2-1= S2S2-1=1.
Здесь мы вначале воспользовались далекой коммутативностью, а затем все
«само» сократилось (за счет тривиальных соотношений).
Чем объяснить успех в решении рассмотренных упражнений –
результатом удачного подбора задач или закономерностью? Иными словами,
достаточно ли соотношений I—III для доказательства всех равенств в теории
кос? Оказывается – да: немецкий математик Эмиль Артин, создатель теории
кос, доказал в 1936 году, что любое равенство в теории кос вытекает из
соотношений I – ІІІ . Эта замечательная теорема позволяет решить основную
проблему теории кос — проблему классификации. Именно, можно указать
(бесконечный) список кос (без повторений) и алгоритм, относящий любой косе
ее номер в этом списке.
С помощью этих фактов геометрическая теория кос превращается в
вычислительную науку, в которой все конкретные вопросы могут, в принципе,
быть решены компьютером.
А зачем нужно уметь решать эти «конкретные вопросы»?
Оказывается теория кос имеет много приложений как в математике, так и
за ее пределами. Я остановлюсь здесь лишь на одном приложении –
приложении к теории узлов.
8
Глава 2. Теория узлов
2.1 Что такое узел
Узел – древнейшее изобретение, намного более древнее, чем колесо, и
настолько привычное, что его трудно назвать изобретением. В течение
тысячелетий искусством «вязания» и «развязывания» узлов овладевали
кружевницы и ткачи, матросы парусных кораблей и любители головоломок. А
математическая теория узлов, раздел обширной области математики –
топологии, возникла около ста лет тому назад.
Книги античных историков сохранили для нас легенду-притчу о том, как
македонский царь Александр, проходя с войском во время своего
победоносного похода в глубины Азии через персидский город, посетил храм и
увидел одну из достопримечательностей Персии — узел, сплетенный мудрецом
Гордием; предание гласило, что тот, кто развяжет этот узел, станет царем
Вселенной. Юный царь разрубил узел мечом.
Даже если Александр хорошо знал античную математику, он, конечно, был
бы удивлен, узнав, что задача, от решения которой он так по-царски уклонился,
математическая. Тем более, что решена эта задача была только в наше время,
около сорока лет тому назад, когда был придуман метод, позволяющий по виду
или описанию узла определять, развязывается данный узел или нет.
Занимаясь каким-нибудь предметом из реальной жизни, математики
обычно заменяют его подходящим математическим объектом. Не избежал этой
участи и веревочный узел — он был превращен в узел математический.
Прототип математического узла – это заузленный кусок веревки с
закрепленными концами. Одним из вопросов, побудивших математиков
заняться узлами, был вопрос, какие узлы можно развязать, не порвав, и какие
нельзя. Концы веревки приходится закреплять, потому что если не запретить
ими манипулировать, все узлы окажутся одинаково завязанными (в самом деле,
любой узел на веревке можно развязать, протягивая конец веревки поочередно
через петли узла).
Более удобный способ избавиться от
заботы о концах веревки – соединить их
друг с другом. Эта операция показана на
рисунке 1. В результате кусок веревки преРис. 1
вращается в заузленное кольцо.
Математический узел – это замкнутая линия в пространстве, гладкая или
ломаная, которая может быть как угодно закручена и переплетена (см. рис.1
Приложения 4). Полезно себе представлять, что узел сделан из тонкой, гибкой
и растяжимой нити.
2.2 Тривиальный узел, эквивалентные узлы
Будем считать, что два узла одинаковы (эквивалентны), если можно один
превратить в точную копию другого, двигая, изгибая, растягивая и сжимая эту
нить в пространстве, не разрывая ее. Среди узлов выделяется тривиальный узел
(собственно, и не узел вовсе) – обычная, незаузленная окружность Yo на рис.1
Приложения 4. На этом рисунке показано два изображения тривиального узла:
9
узел Y7 тоже тривиален — его легко распутать, превратив в большую
окружность.
Однако математикам удобнее иметь точное определение эквивалентности
узлов, а не наглядное описание, подобное данному выше. Приведем такое
определение. Для этого условимся считать, что узел – не плавно изгибающаяся
кривая, а ломаная. Тогда элементарной операцией называется замена одного
звена ломаной – скажем, ломаной АВ на рис. 2 Приложения 4 – на двузвенную
ломаную АСВ (и обратный переход от АСВ к АВ), при условии, что узел не
содержит внутренних точек треугольника ABC. Два узла будут
эквивалентными, если от одного к другому можно перейти с помощью
конечной последовательности элементарных операций (см. рис.2 Приложения
4). Разглядев этот рисунок, можно без труда понять, что этому определению
эквивалентности действительно отвечает приведенное выше наглядное
описание.
2.3 Диаграмма узла
Кратные точки – точки, в которых скрещиваются несколько участков
линии, изображающей узел. Такие точки на рисунках узлов называют точками
скрещивания — двойными, тройными или n-кратными, если в них встречаются
две, три или n линий. Тройных точек и точек большей кратности, а также
совпадения линий и прочих «неправильностей» плоского изображения узла
всегда можно избежать выбором подходящего «места», откуда мы «смотрим»
на узел, когда рисуем его.
Любое плоское изображение узла, все кратные точки которого – это
двойные точки скрещивания, называется диаграммой узла.
Для каждой двойной точки скрещивания на диаграмме узла нужно,
конечно, указать, какая из двух пересекающихся в этой точке линий проходит
«над», а какая «под» другой (обычно «нижнюю» из двух линий прерывают).
Житейский опыт говорит нам, что любой, даже очень сложный узел может
быть при некотором терпении развязан. Но вспомним: развязывая узел, мы, как
правило, манипулируем его концами. У наших же «абстрактных» узлов концов
нет, и следует ожидать, что не разрывая «веревки, из которой «связан» узел, мы
не сможем развязать большинство из узлов.
Рассматривая топовый узел на рис. 4 Приложения 4, можно заметить, что
он легко развязывается, если только его петли не охватывают деталей оснастки
корабля.
Узлы, которые, подобно топовому, могут бьпь развязаны, называют
узлами тривиального типа, или просто тривиальными.
Большой опыт в искусстве «плетения» тривиальных (но часто весьма
затейливых) узлов накоплен любителями популярной игры с веревочным
кольцом. Один из таких узлов-узоров под названием «лестница Иакова»
изображен на рисунке 5 Приложения 4.
Итак, топовый узел, «лестница Иакова» и окружность — это один и тот же
узел в разных обличьях.
Существуют ли другие типы узлов?
10
И как различать узлы?
2.4 Типы узлов
Ручной узел может быть приведен к замкнутой пространственной ломаной
с конечным числом звеньев и без точек самопересечения. Такие узлы похожи
на обычные веревочные узлы.
Кроме ручных узлов существуют так называемые дикие узлы. Дикие узлы
могут обладать неожиданными свойствами; например, узел, изображенный на
рис. 6 Приложения 4, развязывается, но лишь после бесконечного числа
последовательных операций: сначала петлю А1, нужно вынуть из петли А2,
потом петлю А2 — из А3 и так далее. Развязать же этот узел в обычном смысле
невозможно.
Говорят, что два узла изотопны, или имеют один изотопический тип, если
один узел можно «перевязать» в другой, не разрезая его и не допуская
самопересечений.
Практически изотопность двух узлов можно иногда доказывать либо с
помощью веревочного кольца, либо на серии рисунков-диаграмм. Например,
как мы уже знаем, топовый узел изотопен «лестнице Иакова» и оба они
изотопны окружности.
Вот еще пример: одинарный узел (см. рис. 7 Приложения 4) изотопен
простейшему после окружности узлу, изображенному на рис. 8 Приложения 4.
Благодаря сходству с контуром клеверного листа, узел на рис. 8 называется
клеверным листом, или трилистником.
Уже в возрасте двух-трех лет дети умеют доказывать (потянув за
свободный конец веревочки), что «бантик» (см. рис.9 Приложения 4) как и
«двойной бантик» изотопны одинарному узлу, а значит, и клеверному листу.
Два узла эквивалентны, или имеют одинаковый тип, если они изотопны
или если один из них изотопен зеркальному изображению второго.
Согласно
этому
определению,
всякий
узел
эквивалентен
своему зеркальному образу. А вот восьмерка даже изотопна!
Узлы, которые, подобно восьмерке, изотопны своему зеркальному
изображению, называют зеркальными.
Существуют ли незеркальные узлы? Да: в 1914 году немецкий математик
Ден, один из основателей теории узлов, доказал незеркальность клеверного
листа. Иными словами, эквивалентные узлы не всегда изотопны (изотопные же
эквивалентны по определению).
2.5 Инварианты узла
По каким же признакам различают узлы? Одного ощущения, что два узла
«похожи» или «не похожи», мало: даже такие простые узлы, как клеверный
лист и восьмерка, можно изображать и завязывать по-разному.
Для нас важны только те признаки и свойства узлов, которые не зависят от
способа их реализации или изображения и которые совпадают, поэтому, для
всех узлов одного типа. Такие признаки называют инвариантами узла.
Инвариант (слово латинского происхождения) — неизменный, не зависящий от
11
формы. Большинство известных инвариантов определяется и вычисляется
довольно сложно. Рассмотрим лишь простейшие числовые инварианты.
Для достаточно простых узлов значения этих инвариантов находятся почти
сразу по диаграмме узла; но доказать, что найденное число и есть значение
инварианта, как правило, очень сложно.
1) Минимальное число скрещиваний узла
Из всех диаграмм узла В выберем ту, для которой число точек
скрещивания минимально. Это число М (В) и называется минимальным числом
скрещиваний узла В.
2) «Изломанность» узла
В соответствии с определением ручных узлов представим узел А в виде
замкнутой ломаной с наименьшим возможным числом звеньев. Назовем это
число И (А) «изломанностью» узла А.
3) «Кондитерское число» узла
Из всех узлов только окружность можно нарисовать на сфере без точек
самопересечения; клеверный лист можно нарисовать на «бублике» (торе), а для
восьмерки нужен «крендель»; как расположить эти узлы на таких
поверхностях, видно из рис. 11 а), б), в) Приложения 4.
И тор, и «крендель» получаются из гибкой сферы, к которой приклеены
полые гибкие «ручки» (см. рис. 12 Приложения 4).
Наименьшее число ручек, которые нужно приклеить к сфере, чтобы на
получившейся поверхности можно было разместить узел А без точек
самопересечения — числовой инвариант К (А). Этот инвариант К (А) иногда
называют «кондитерским числом» узла.
4) Число правильных раскрасок диаграммы узла в три цвета
Для доказательства неизотопности узлов оказывается полезно
раскрашивать их диаграммы, соблюдая некоторые правила.
Раскраска диаграммы узла в черный, красный и синий цвета называется
правильной, если каждый ее участок окрашен в один цвет и вблизи каждой
точки скрещивания либо все три участка окрашены в один цвет, либо
встречаются все три цвета.
Функция раскрасок является инвариантом, то есть не меняется при
применении к диаграмме узла (или зацепления) движений Рейдемейстера (см.
Приложения 5,6).
2.6 Классификация узлов
Для узлов, как и для кос, можно ставить проблему классификации: указать
(бесконечный) список узлов (без повторений) и алгоритм, относящий любому
узлу его номер в этом списке. Хотя эта проблема сегодня в принципе решена,
решение это настолько громоздко, что практической пользы от него нет. Нельзя
ли свести эту проблему к (уже решенной) проблеме классификации кос? Здесь
напрашивается следующий ход.
Возьмем косу, изогнем ее дугой и склеим конец с началом (рис. 1
Приложения 7). Получится узел. Впрочем, всегда ли такое замыкание косы дает
узел?
12
Поэкспериментировав с различными косами, можно убедиться, что только
циклические косы при замыкании дают узлы. Все ли узлы могут быть получены
таким образом? Оказывается — все!
Замечательный американский математик Дж. Александер доказал в 1925
году, что любой узел является замыканием некоторой косы. Я не буду
подробно доказывать эту теорему, но укажу два основных приема,
используемых при ее доказательстве.
Первый прием («раскручивание»). Нарисуем узел, выберем на нем
направление и возьмем произвольную точку О вне его. Назовем звено узла
положительным (относительно точки О), если направление движения по нему
видится из точки О слева направо; так все звенья узла кроме АВ и FG на рис.
2а) Приложения 6, положительны. Узел назовем положительным (относительно точки О), если все его звенья положительны. Для положительных
узлов легко найти косу, замыканием которой он является: нужно разрезать и
раскрутить узел так, как показано на рис. 3 Приложения 7.
Второй прием («трюк Александера»). Отрицательные звенья узла (рис. 2
б), в) Приложения 7 заменяются на двухзвенные положительные ломаные,
охватывающие точку О. После уничтожения всех отрицательных звеньев
применяется первый прием.
Так доказывается, что каждый узел — замыкание некоторой косы, а косы
можно классифицировать. Нельзя ли воспользоваться этим для классификации
узлов? Увы, нет. Дело в том, что замыкание разных кос не всегда приводит к
разным узлам. Например, коса (из трех нитей), показанная на рис.4
Приложения 7, не совпадает с косой (из двух нитей) на рис.1 Приложения 7, но
при замыкании тоже дает трилистник.
Таким образом, непосредственно свести классификацию узлов к
классификации кос не удается.
2.7 Арифметика узлов
Если два узла завязаны рядом на одной веревке, то получившийся узел
называют произведением или композицией этих двух узлов. Операция
композиции узлов очень похожа на операцию умножения целых чисел.
Чтобы уточнить эту операцию, мы поместим узлы в ящики: мы
представляем, таким образом, каждый узел как завязанную бечевку внутри
кубического ящика, при этом ее концы приклеены к ящику с двух противоположных сторон (см. рис. 2а) Приложение 8). Легко видеть, что нужно сделать,
чтобы превратить узел в ящике в узел, являющийся замкнутой кривой:
достаточно соединить два конца бечевкой вне ящика, и наоборот.
Как только все узлы помещены в ящики, нет ничего более простого, чем
определение их композиции, или произведения: достаточно приставить ящики
один к другому и убрать двойную перегородку, которая их разделяет.
1.
Роль «единицы» при «умножении двух узлов, очевидно, играет
тривиальный узел – окружность. Обозначив его буквой Е, а композицию двух
узлов А и В через А#В, получим А = Е #А =А#Е (см. рис. 1 Приложение 8).
13
2.
Композиция – коммутативная операция: А#В =В#А. Это легко
доказать, протащив по веревке один узел «сквозь» другой (см. рис.3
Приложение 8). Что происходит на этом рисунке? Сначала, потянув за концы
бечевки, образующей первый узел, получаем маленький затянутый узелок
(рис.3 (б)). Затем протаскиваем этот узелок вдоль бечевки и далее через весь
второй узел (см. рис. 3 (в)). Малый узелок проходит (все время скользя вдоль
бечевки) большой узел и оказывается справа от него (рис. 3 (г)). Наконец,
переводим второй узел в первый ящик, затем расслабляем малый узелок. И —
ура! Фокус удался (рис. 3 (д)).
Эта же процедура, осуществляемая некоторыми организмами на самих
себе, дает право говорить о важности узлов в биологии (см. Приложение 9)
3. Узел В делит узел А, если найдется такой узел С, что А = В # С.
Подобно единице, тривиальный узел делится только сам на себя. Никакой
нетривиальный узел нельзя развязать, завязав рядом с ним другой.
4. Узел называется простым, если он нетривиален и делится только на
тривиальный узел и на узлы, изотопные ему самому.
Подобно простым числам, существует бесконечное число простых узлов.
5.Как и натуральное число, любой нетривиальный узел представим в виде
композиции конечного числа простых узлов, причем такое представление
единственно.
Существование простых узлов было доказано более чем через двадцать
лет после того, как простейшие из них были собраны и систематизированы; в
1926 году американские математики Александер (один из основателей теории
узлов) и Бриггс опубликовали таблицу диаграмм узлов (см. Приложение 10) (в
те времена их еще не называли простыми), аналогичную таблицам простых
чисел). Место узла в таблице определяется, прежде всего, его минимальным
числом скрещиваний, а среди узлов с одинаковым таким числом – прежде
всего, «кондитерским числом» узла, а затем уже другими, инвариантами.
Глава 3. Применение узлов и кос
3.1 Применение
Узлы находят применение, как в чистой математике, так и в реальных
физических объектах. Узлы также интересны и сами по себе. Теория узлов
вляется популярным разделом современной математики из-за своей
доступности для общей аудитории.
Спустя 100 лет после того, как учёные озвучили возможность завязывания
воды в узлы, физики придумали и осуществили подобный эксперимент в
лаборатории (см. Приложение11). Завязанные в узлы вихревые потоки –
идеальная модельная система, позволяющая во всех подробностях изучить
самостоятельное распутывание узлов в реальных физических процессах.
Связанные вихри присутствуют в разных областях физики. Ученым
удалось предложить возможный способ зацикливания светового луча. (см.
Приложение 12). Кроме того, недавно астрономы показали, что расслабляются
("развязываются") завязанные магнитные поля, которые могут отвечать за
14
перенос тепла в солнечную корону или внешнюю атмосферу светила. Этот
процесс объясняет, почему плазма в этой области звезды гораздо горячее, чем
на поверхности.
Разработка физиков из Чикаго по завязыванию воды в узлы также поможет
понять сверхпроводимость, сверхтекучесть жидкости и поведение жидких
кристаллов.
В биологии узлы проявляются в нитеподобной структуре ДНК. Это делает
возможным для молекулы ДНК завязываться в узел. Молекулы ДНК очень
велики; это позволяет им обладать свойствами сжатия и растяжения,
необходимыми для формирования узлов. Используя теорию узлов, биологи
способны предсказать, на что будут похожи более комплексные структуры.
Химики также заинтересованы в сплетённых узлами молекулах. Свойства
сплетённых и расплетённых молекул могут сильно различаться, даже если они
состоят из тех же атомов. При переплетении атомов становится возможно
создать узел и его зеркальное отражение. Основное препятствие заключается в
том, что создание переплетённых молекул весьма трудоёмко. Проблема лежит в
способности закрутить связи между атомами для формирования узла. Это
требует использование крупных молекул.
Еще одним крупным полем исследования, на первый взгляд несвязанным с
узлами, является статистическая механика. Это направление в физике,
моделирующее поведение большого количества частиц. Зачастую, система
моделируется в форме решётки. Луис Кауфман и другие теоретики узлов нашли
связь между некоторыми моделями статистической механики и узлами. К этому
моменту, статистическая механика произвела некоторые открытия в области
теории узлов, тогда как теория узлов пока ещё ничего нового не сделала для
статистической механики. Совершенно ясно, что эти две области останутся
тесно связанными.
Заключение
Первые результаты теории узлов являются заслугой физика, Уильяма
Томсона (лорда Кельвина). Точкой отсчета (1860) была его идея сделать узел
моделью атома, моделью, которую окрестили «атомом-вихрем». Для
построения теории материи с этой точки зрения необходимо было начинать с
изучения узлов. Теория Кельвина не развилась и скоро была забыта, оставив, в
наследство ряд проблем, которые физики тогда не смогли разрешить, но с
которыми математики сумели разобраться спустя столетие.
Фундаментальную связь между узлами и косами, открыл американец Дж.
Александер спустя полвека после неудачного старта Кельвина.
Алгебраическая теория кос, разработанная в свое время совсем еще юным
немецким математиком Эмилем Артином, более алгебраична (и, следовательно,
более проста и эффективна), чем геометрическая теория узлов. Эта связь
(геометрическая суть которой по-детски проста: «замыкание косы») позволила
получить — это результат Александера — все узлы, отталкиваясь от кос. И
поскольку классификация кос была быстро получена Артином, была сделана,
15
конечно же, попытка вывести из нее классификацию узлов. Усилия в этом
направлении не привели к цели, но породили ряд красивых результатов.
Существует хитроумная и одновременно очень простая геометрическая
конструкция, принадлежащую немецкому математику Курту Рейдемейстеру.
Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их
проекций (называемых «диаграммами узлов») на плоскости.
Существует алгоритм, изобретенный соотечественником Рейдемейстера
Вольфгангом Хакеном, который позволяет определить, можно или нельзя
развязать данный узел, но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что
иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его еще больше запутать (так, в
переносном смысле, бывает и в реальной жизни).
В 1949 г. немцем Хорстом Шубертом была сформулирована и доказана
теорема о существовании и единственности разложения узла на простые
множители. Подозрительное сходство между множеством узлов, наделенным
операцией композиции (которая состоит просто-напросто в завязывании узлов
последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с
операцией умножения породила различные надежды.
Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим
кодированием чисел, не сведется ли классификация узлов к банальному
пересчитыванию? Эти надежды были разбиты.
Теория узлов, блестящий дебют которой состоялся почти сто пятьдесят лет
тому назад, развивалась затем благодаря настойчивым усилиям математиков,
которыми
управляло
чисто интеллектуальное любопытство. Чтобы
продвигаться, нужны были новые конкретные идеи.
И они возникали в воображении лучших исследователей, порождая каждый
раз надежды, часто, увы, чрезмерные. Но каждая неудача позволяла лучше
сконцентрироваться на нерешенных проблемах.
Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы попрежнему открыты. И наконец, та фундаментальная роль, которую, как
полагают, они играют в физике, еще до конца не определилась.
16
Список использованных источников
1. Белага, Э.Г. Узел на столе математика /Э.Г. Белага// Квант. – 1975. –
№7
2. Виро, О. Раскрашенные узлы / О. Виро// Квант. – 1981. –№3
3. Сосинский, А.Б. Косы и узлы /А.Б. Сосинский// Квант. – 1989. –№2
4. Сосинский, А.Б. Узлы, зацепления и их полиномы /А.Б. Сосинский//
Квант. – 1989. –№4
5. http://argumentiru.com/science/2014/02/319565
6. http://www.gorod.lv/novosti/76936-fiziki_zavyazali_svet_uzlom
7. http://www.vesti.ru/(Дата общения 07.03.2013 ).
8. Физико-математический журнал "Квант" : [Электронный ресурс].
URL: http://kvant.mccme.ru/ (Дата общения 12.02.2014)