

(Класс 11, модуль XI, урок 4)
Урок 5. Функции с основным периодом
План урока
 4.1. Теорема о периодах.
 4.2. Линейная подстановка в аргумент для синуса и косинуса.
 4.3. Теорема о линейной подстановке в аргумент.
 4.4. Тригонометрический двучлен
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
рассмотреть свойства функций, имеющих основной период, доказать теорему об
основном периоде при линейной подстановке вместо аргумента для
периодической функции, в качестве приложения основного результата изучить
тригонометрические двучлены и способ нахождения основного периода
тригонометрического двучлена.
4.1. Теорема о периодах.
Заметим, что если функция f ( x ) имеет основной период T  то каждое число,
кратное T , то есть число вида Tn где n — целое, также будет периодом функции
f ( x )
Действительно, обозначим область определения функции f ( x ) через D Если число
x принадлежит области определения D то числа x  T и x  T тоже принадлежат
D По определению периода числа ( x  T )  T  x  2T и ( x  T )  T  x  2T тоже
принадлежат D и так далее. Следовательно, числа вида x  nT , где n  Z ,
принадлежат D и выполняются равенства:
f ( x)  f ( x  T )  f ( x  2T )  …  f ( x  nT )
Например, функции sin x и cos x имеют основной период 2  Поэтому все
числа 2 n , где n  Z  также являются периодами функций sin x и cos x Числа вида
 n ( n  Z ) являются периодами функции x
Следующая теорема показывает, что при наличии основного периода
функция не имеет других периодов, кроме кратных основному периоду.
Теорема о периодах. Пусть функция f ( x ) обладает основным периодом T Тогда
любой ее период кратен основному периоду T
Доказательство. Рассмотрим произвольный положительный период P функции
f ( x ) По аксиоме Архимеда для числа P найдется такое кратное числа T вида Tn
где n  Z  что выполняются неравенства
nT  P  (n  1)T 
Это значит, что число P можно записать в виде
P  nT  S 
где 0  S  T 
Предположим, что S  0 Покажем, что в этом случае число S  P  nT является
периодом функции f ( x ) Пусть D — область определения функции f ( x ) Если
x  D то ( x  P)  D , а отсюда ( x  P)  nT  D так как P и nT — периоды.
Следовательно, для любого числа x  D имеем x  S  D Аналогично доказывается,
что x  S  D Для любого числа x  D выполняются равенства
f ( x  S )  f (( x  P)  nT )  f ( x  P)  f ( x)
Таким образом, число S — период функции f ( x ) По условию T — наименьший
положительный период, а так как 0  S  T  то приходим к противоречию.
Следовательно, предположение о том, что S  0 неверно. Значит S  0 откуда
P  nT 
Вопрос. Какие периоды имеет функция tg x
4.2. Линейная подстановка в аргумент для синуса и косинуса.
Покажем, что если аргумент функции sin x заменить линейным выражением
kx  a где k  0 то получим функцию
F ( x)  sin(kx  a )
2
с основным периодом k 
Действительно, число 2k является периодом функции F ( x ) так как верны
тождества
2 
 
2 


Fx
  sin  k  x 
 a 
k 
k 

 

 sin(kx  a  2 )  sin(kx  a)  F ( x)
Пусть T — произвольный положительный период функции F ( x )
выполняется тождество F ( x  T )  F ( x) которое можно записать в виде
sin(k ( x  T )  a)  sin(kx  a)
Тогда
Положив y  kx  a получим тождество
sin( y  kT )  sin y
Следовательно, kT — положительный период функции sin y откуда kT  2 и
T  2k  Значит, число 2k — наименьший положительный период функции F ( x )
Вопрос. Какой основной период имеет функция

1
f ( x)  cos  x   
3
3
4.3. Теорема о линейной подстановке в аргумент.
Докажем общую теорему, позволяющую находить основные периоды
некоторых функций.
Теорема о линейной подстановке в аргумент. Если функция f ( x ) обладает
основным периодом T  то подстановка в ее аргумент линейного выражения kx  a
где k  0 дает функцию
F ( x)  f (kx  a )
T
с основным периодом k 
Доказательство. Функция F ( x ) определена для тех и только тех значений x для
которых число kx  a принадлежит к области определения функции f ( x )
Обозначим области определения функций f ( x ) и F ( x ) соответственно через D f и
DF  Тогда условие x  DF равносильно тому, что (kx  a )  D f 
Покажем сначала, что Tk – - период функции F ( x ) Для этого мы должны проверить
выполнимость двух условий:
1) если x  DF  то  x  Tk   DF 
2) F  x  Tk   F ( x) для всех x  DF 
Заметим, что если x  DF  то (kx  a )  D f и поэтому
T

k  x    a  (kx  a )  T  D f 
k

откуда  x  Tk   DF  Для всех x  DF имеют место равенства
T
T


F  x    f (k  x    a )  f ((ka  a )  T ) 
k
k


 f (kx  a)  F ( x)
Пусть теперь P — произвольный положительный период функции F ( x ) Тогда
F ( x  P)  F ( x) для всех x  DF  Отсюда получаем, что для всех y  kx  a из D f
выполняются равенства
f ( y  kP)  f (k ( x  P)  a)  F ( x  P) 
 F ( x)  f (kx  a)  f ( y )
Следовательно, kP — положительный период функции f ( x ) откуда kP  T  то
есть P  Tk 
Вопрос. Как доказать, что ненулевым периодом функции
2
1

2

sin  x  1  sin x  sin  x  1
3
2

5

является общий период всех трех слагаемых?
4.4. Тригонометрический двучлен
Тригонометрическим двучленом называется функция вида
a sin kx  b cos kx
где число k и хотя бы один из коэффициентов a или b отличны от нуля.
Теорема. Тригонометрический двучлен обладает основным периодом, равным
2
k 

Доказательство. На координатной плоскости рассмотрим точку A(a b) (рисунок
1).
Длину вектора OA обозначим через r а направленный угол, образованный
вектором OA с осью Ox через   Тогда будем иметь:
r  a 2  b2  a  r cos   b  r sin  
Отсюда
a sin kx  b cos kx  r cos   sin kx  r sin   cos kx  r sin(kx   )
Если k  0 то применив теорему о линейной подстановке в аргумент, получим, что
основной период функции a sin kx  b cos kx равен 2k и равен 2k  так как k  0
При k  0 можем записать равенства
r sin(kx   )  r sin(kx   )  r sin( k  x   )
Поэтому по теореме о линейной подстановке в аргумент также получаем, что
основной период равен 2k 
Вопрос. Как по формуле (5) запишется тригонометрический двучлен sin 2x  cos 2x
и чему равен его основной период?
Проверь себя. Функции с основным периодом
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Известно, что функция имеет основной период T 
2
. Какое из указанных чисел не
3
является периодом этой функции?
8
 1.
3
 2. 2
 3. 3
11
 4.
3
(Правильный вариант: 4)
Известно, что функция f ( x ) имеет основной период T  2 . Какой основной период
2
имеет функция F ( x)  f ( x  3) ?
5
 1. 0,4
 2. 2,5
 3. 5
 4. 10
(Правильный вариант: 3)
Какой основной период имеет функция f ( x)  3sin(
2x
2x
)  2 cos( ) ?
3
3
2
π
3
 2. π
3
 3. π
2
 4. 3π
(Правильный вариант: 4)
 1.
Какой основной период имеет функция f ( x)  sin  x  cos  x ?
 1. 1
1
 2. π
2
 3. 2
 4. π
(Правильный вариант: 3)
Проверь себя. Функции с основным периодом
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных чисел являются периодом функции f ( x)  1  2 cos 4 x  3sin 4 x ?

 1.
4

 2.
2
3
 3.
4
 4. 
(Правильные варианты: 2, 4)
Найдите, какие из указанных функций имеют период T=3π.
2
2
 1. sin x  cos x
3
3
3
3
 2. sin x  cos x
2
2
x
x
 3. cos  sin
3
3
 4. cos3x  sin 3x
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Какие
из
указанных
f ( x)  sin 5 x  2 cos 5 x  3 ?
чисел
не
являются
периодом
функции
 1.
 2.

5
2
5
3
 3.
5
4
 4.
5
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Найдите, какие из указанных функций имеют период T 
 1. sin 2x  cos 2x
 2. sin 4 x  cos 2 2 x


2
.

 3. 2sin(4 x  )  cos(4 x  )
3
3
 4. sin 2 x  (sin 2 x  cos 2 x)
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Домашнее задание
[**]Докажите, что если функция f ( x ) имеет основной период T  то любой ее
период P кратен основному периоду T.
[**]Сформулируйте и докажите теорему о линейной подстановке в аргумент.
[**]Какая функция называется тригонометрическим двучленом?
[**]Докажите, что тригонометрический двучлен обладает основным периодом.
1 если x рационально

1. Рассмотрим функцию Дирихле:  ( x)  {
0 если x иррационально
Докажите, что:
а) каждое рациональное число T  0 является периодом  ( x )
б) ни одно иррациональное число T не является периодом  ( x ) ;
в) функция d ( x ) не имеет основного периода.
2. Какие периоды имеет функция:
а) tg 2x 
б) ctg 3x
в) sin(01x)
г) cos10x
3. Докажите периодичность функции f ( x)  sin 2 x  cos 3x вычислив наименьшее
общее кратное основных периодов слагаемых.
4. Докажите периодичность функции:
а) sin(0 7 x)  cos(0 9 x)
б) tg  2 x 1  sin(3 x  1)
5. Найдите период и постройте график функции y  sin 2 x  cos 2 x
6. Запишите тригонометрический двучлен в виде
a sin kx  b cos kx  a 2  b2  cos(kx   )
7. Вычислите значение функции y  sin x  cos x  2  cos 2 x при x  512 


8. Найдите наибольшее значение функции y  sin x  cos x  2 cos  x   
4

Словарь терминов
Периодическая функция. Функция f (x ) , определенная на множестве D,
называется периодической, если существует число T  0 такое, что при всех
действительных x  D числа x  T и x  T принадлежат D, и выполняется
равенство f ( x  T )  f ( x) .
Период функции. Число T  0 из определения периодической функции
называется ее периодом.
Основной период. Наименьший положительный период периодической
функции.
Тригонометрический двучлен общего вида. Выражение вида a sin kx  b cos kx ,
где a, b, k - заданные числа, x - переменная.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
11-12_7.CDR