Лекция 4 Распределение Пуассона и экспоненциальное распределение Развитие темы биномиального распределения Допустим, вероятность наступления события исключительно мала, а число договоров очень велико. Налицо вероятностная неопределенность типа 0 · ∞ Как для этой ситуации посчитать среднее число требований, (а значит и средний размер иска), и, конечно, дисперсию? Решение Запишем формулу Бернулли: ! ! ! Из биномиального распределения мы знаем, что Сделаем замену ≡ Из →∞ следует, что lim →∞ 1 →∞ … 1 и lim →∞ ! . и вычислим предел lim lim 1 и 1 ,поэтому: ! ! 1 ! 1 1 ! lim →∞ 1 1 Итак, необходимо вычислить: lim ! →∞ lim → 1 1 Для этого вспомним второй замечательный предел: 1 lim 1 →∞ 1 Если положить ≡ , то Поэтому предел, стоящий в числителе, равен: lim 1 →∞ lim →∞ 1 lim →∞ 1 1 lim →∞ 1 Предел, стоящий в знаменателе, очевидно равен 1: lim 1 1 →∞ Итого: lim →∞ ! lim → Это и есть распределение Пуассона: ! 1 1 ! 1 Характеристики распределения Пуассона ! Для решения исходной задачи нужно вычислить матожидание сл. в. . Построим производящую функцию: ∞ ∞ 0 0 ! ! Теперь нужно вспомнить формулу Тейлора и ряд Маклорена: ∞ 2 1 1! ⋯ 2! 0 Таким образом: ! 1 ! Следовательно, матожидание: ′ 1 ′ И дисперсия: ′′ 2 ′ 2 2 1 ′′ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 0 Пример: Колесников, с. 87 Число требований по страховой выплате составило 65% от общего числа проданных полисов. Какова вероятность: А) того, что произвольно выбранный клиент ни разу не обратится за выплатой? Б) Один раз обратится за выплатой? В) Два и более раз обратится за выплатой? Решение Поскольку n велико, а p мало, то логично предположить, что мы имеем дело с распределением Пуассона. Пусть N – общее число проданных полисов, а n1 – число обращений 1 раз, n2 – число обращений 2 раза и т. д. Тогда общее число обращений равно ⋯ 1 В таком случае понятно, что 1 2 2 ⋯ 0,65 При увеличении среднее стремится к математическому ожиданию, а у распределения Пуассона . Следовательно, можно считать, что 0,65. Это означает, что 0,650 0.65 0 0,5220 ! 0! 0,651 0.65 1 0,3393 1! 0,652 0.65 2 0,1102 2! Два и более раз: 2, 3, … 1 0 1 1 0,5220 0,1102 0,3676 Экспоненциальное распределение Распределение Пуассона определяет вероятность того, что за некоторый промежуток времени произойдет случайное количество событий. Интересно, каково среднее время ожидания между двумя соседними событиями? Решение В распределении Пуассона: – интенсивность потока, ! то есть это среднее число событий за единицу времени, поэтому можно записать: Если , то вероятность появления хотя бы одного события за промежуток времени равна: 0 0 1 1 0! Или в привычных обозначениях 1 Это интегральная функция распределения, поэтому плотность вероятности ее будет равна ′ Это и есть показательное распределение: , 0, при при 0 0 Характеристики экспоненциального распределения Итак, показательное распределение: , 0, при при 0 0 Случайной величиной в показательном распределении является время между двумя событиями потока. Среднее время между двумя событиями потока – это мат.ожидание показательного распределения: ∞ ∞ ∞ 0 0 0 Применим формулу интегрирования по частям, получим: Дисперсия: ∞ 2 1 0 Теперь рассмотрим «задачу про газопровод» Задача про газопровод, с. 129 На участке газопровода аварии случаются в среднем 8 раз в год. С момента последней аварии прошел 1 месяц. А) Какова вероятность того, что авария не произойдет в течение следующего месяца? Б) Следующих двух месяцев? Решение , при 0 0, при Логично предположить , что интенсивность потока аварий равна 8 0,6667 12 Пусть случайная величина ‐ время безотказной работы газопровода, тогда в пункте А нас интересует следующая геометрическая вероятность: 2 2 1 1 2 1 ∞ ∞ 1 2 ∞ 1 1 ∞ 1 ∞ | 2 ∞ | 1 · 1 1 Вероятность еще 1 месяца безаварийной работы: Вероятность 2 месяцев безаварийной работы: 1 · · 1 1 1 ∙ ∙ 1 · 1 1 1 1 · 1 2,71 , 0,59646 1 0,59646 0,3557 0 Развитие темы: 2 задачи: 1. Как найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, например , ? Решение приводит к появлению функции Лапласа и далее – к нормальному распределению 2. Очень часто событие бывает одно, а влечет за собой ущербов – 2, 3 и т.д. причем число событий есть одна случайная величина, а число ущербов – другая, то есть распределенная по совсем другому закону. Так получается сначала ГАММА‐РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, а затем и все обобщенные распределения. Следующая тема – Нормальное и все прочие распределения ))) Увидимся через неделю )