ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГТУ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГТУ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И
СПЛАВОВ»
Институт Базового Образования
Кафедра Физики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ФИЗИКА
Часть I.
Механика. Молекулярная физика и
термодинамика
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Москва 2006 г.
Кинематика поступательного и вращательного движения.
1. Точка двигалась в течение t1 =15с со скоростью v1 =5 м/с, в течение
t 2 =10 с со скоростью v2 =8 м/с и в течение t 3 =6 с со скоростью v3 =20
м/с. Определить среднюю путевую скорость точки.
2. Движение материальной точки задано уравнениями x=A t +B t 2 , где
А=4 м/с, В=-0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в которой
скорость v точки равна нулю.
3. Движение материальной точки задано уравнением r (t )  ( A  Bt 2 )i  Ct j ,
где А=10 м, В=-5 м/с 2 , С=10 м/с. Найти для момента времени t=1 с
v (t ), a (t ) , вычислить модуль скорости v , модуль ускорения a ,
тангенциальное ускорение a , нормальное ускорение a n
4. Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением
S  A  Bt  Ct 2 , где А= 10 м, В= -2 м/с, С=1 м/с 3 . Найти тангенциальное
a , нормальное a n и полное а ускорения точки в момент времени t.
5. По дуге окружности радиусом R=10 м, двигается точка, В некоторый
момент времени нормальное ускорение точки a n = 4,9 м/с 2 , в этот
момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол
  60 o . Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.
6. С высоты h вертикально вверх с начальной скоростью v0 =5 м/с бросили
мяч. Через t=2 c мяч упал на землю. Определить высоту h и скорость
мяча v в момент удара о землю.
7. Пуля пущена с начальной скоростью v0 = 200 м/с под углом  =60 o к
горизонту. Определить максимальную высоту H подъема, дальность S
полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке.
8. Камень брошен в горизонтальном направлении с начальной скоростью
v0 =30м/с. Определить скорость, тангенциальное a , нормальное a n в
конце второй секунды после начала движения.
9. Колесо вращается с частотой n=5c 1 . Под действием сил трения оно
остановилось через t =1 мин. Определить угловое ускорение  и
число N оборотов, которое сделает колесо за это время.
10.Колесо вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно
изменило частоту вращения с n1 =4с 1 до n 2 =6с 1 . Определить угловое
ускорение  колеса.
Динамика поступательного движения.
11. Вагон с массой 20 т движется равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с 2 и
начальной скоростью 54 км/ч. Найти силу торможения, действующую на
вагон, время движения вагона до остановки и перемещения вагона.
12. Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся
равнозамедленно вертикально вверх с ускорением 1 м/с 2 . Определить силу
давления человека на пол кабины лифта.
13. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под
действием силы 294 Н, направленной под углом 30
o
к горизонту.
Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения
груза.
14. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под
действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой нити,
перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о
поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити.
Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.
15. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к
концам которого привязали грузы массами m1 =1,5 кг и m2 =3 кг. Каково
будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура
пренебречь.
16. Наклонная плоскость, образующая угол  =25 o с плоскостью горизонта,
имеет длину l=2м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой
плоскости за время t=0,01 с. Определить коэффициент трения f тела о
плоскость.
17. Брусок массой m2 =5 кг может свободно скользить по горизонтальной
поверхности без трения. На нем находится другой брусок массой m1 =1 кг.
Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков f=0,3.
Определить максимальное значение силы FMAX , приложенной к нижнему
бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска.
18. Определить первую и вторую космические скорости ракеты, запущенной
с поверхности Земли. Радиус Земли считать равным 6400 км.
19. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета,
пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v ракеты равна первой
космической скорости?
20. Грузик, привязанный к нити длиной l=1 м, описывает окружность в
горизонтальной плоскости. Определить период T обращения, если нить
отклонена на угол  =60 o от вертикали.
21. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом r=4 м. С
какой наименьшей скоростью v MIN должен проезжать акробат верхнюю точку
петли, чтобы не сорваться?
22. Через блок перекинута нерастяжимая нить, на концах которой висят
грузы с массами m1 и m2 , причем m1 > m2 . Блок начали поднимать вверх с
ускорением w0 относительно Земли. Полагая, что нить скользит по блоку без
трения, найти ускорение w1 груза m1 относительно Земли.
Импульс. Работа. Энергия. Законы сохранения
импульса энергии.
23. Тело массой m= 5 кг брошено под углом  =30 o к горизонту с начальной
скоростью v0 =20 м/с. Найти: импульс силы F, действующий на тело, за время
его полета; изменение  р импульса тела за время полета.
24. Шарик массой m= 100 г упал с высоты h=2,5 м на гризонтальную плиту,
масса которой много больше массы шарика, и отскочил от нее вверх. Считая
удар абсолютно упругим, определить импульс р, полученный плитой.
25. Шарик массой m= 300 г ударился о стену со скоростью v0 =10 м/с под
углом  =30 o к поверхности стены. Определить импульс р, полученный
стеной, если удар абсолютно упругий.
26. На железнодорожной платформе М= 15 т установлено орудие, которое
стреляет под углом  =60 o к горизонту в направлении пути. С какой
скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m=
20 кг вылетает со скоростью v0 =600 м/с?
27. Снаряд массой m= 10 кг, имея скорость v =600 м/с в верхней точке
траектории, разорвался на 2 части. Меньшая масса m= 3 кг получила
скорость u=400 м/с в прежнем направлении. Определить скорость второй
части после разрыва.
28. Вычислить работу подъема груза по наклонной плоскости длиной l=2м,
если масса m груза равна 100 кг, угол наклона плоскости  =30 o ,
коэффициент трения k=0,1 с ускорением а=1 м/с 2 .
29. Камень брошен под углом  =60 o к горизонту. Кинетическая энергия
камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую
и потенциальную энергии камня в высшей точке его траектории.
30. Материальная точка массой m= 2 кг двигалась под действием силы вдоль
оси х согласно уравнению x=A+Bt+Ct 2 , где В= -2 м/с, С=1 м/с 2 , D= -0,2 м/с 3 .
Найти мощность, развиваемую силой в момент t= 2 с.
31. При выстреле снаряд массой m= 10 кг получает кинетическую энергию
1,8 МДж. Определить кинетическую энергию орудия вследствие отдачи, если
масса орудия М= 600 кг.
32. Два шарика m1 =2 кг и m2 = 3 кг движутся со скоростью v1 =8 м/с и v2 = 4
м/с навстречу друг другу. Определить увеличение внутренней энергии шаров
после неупругих соударений.
33. Груз массой М= 400 кг падает на сваю массой m= 100 кг. Определить
среднюю силу сопротивления груза, если при каждом ударе свая погружается
в грунт на S= 5 см, а высота подъема груза h= 1,5 м. Удар неупругий.
34. На покоящийся шар налетает со скоростью v=2 м/с другой шар
одинаковой с ним массы, В результате столкновения этот шар изменил
направление движения на угол  =30 o . Определить скорость шаров после
удара.
Вращательное движение твердого тела.
35. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длинной l= 30
см и массой m= 100 г относительно ори, перпендикулярной стержню и
проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
36. Вал массой m= 100 кг и радиусом R= 5 см вращается с частотой n= 8 с 1 .
К боковой поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 Н,
под действием которой вал остановился через t= 10 с. Определить
коэффициент трения f . Вал считать однородным диском.
37. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура
привязали грузики массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением будут
двигаться грузики, если масса блока M= 400 г?
38. Шар массой m= 10 кг и радиусом R= 20 см вращается вокруг оси,
проходящей через его центр. Уравнение движения шара имеет вид
  A  Bt 2  Ct 3 , где В= 4 раз/с 2 , С= -1 раз/с
3
. Найти закон изменения
момента сил и определить момент сил М через время t=x.
39. Маховик с моментом инерции J=50 кг м 2 вращается по закону
  A  Bt  Ct 2 , где А= 2 раз, В=16 раз/с, С= - 2 раз/с 2 . Найти закон изменения
момента сил М и мощности N. Определить мощность через время t=3 c.
40. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под
действием постоянного тормозящего момента маховик остановился, сделав
N=80 оборотов. Определить момент торможения.
41. Маховик с моментом инерции J= 40 кг м 2 начал вращаться
равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы M= 20 Н м
в течение t= 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную
маховиком.
42. Однородный тонкий стержень длиной l= 1 м может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень
отклонили от положения равновесия на угол  =60 o и отпустили. Определить
угловую и линейную скорость центра стержня при прохождении им
положения равновесия.
43. Карандаш длиной l= 15 см, поставленный вертикально, падает на стол
так, что его нижний конец не проскальзывает. Определить угловую и
линейную скорость верхнего его конца в момент в конце падения.
44. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной
плоскости высотой h= 10 см и длиной l= 2 м?
45. Обруч и сплошной цилиндр одинаковой массы m= 2 кг катятся без
скольжения с одинаковой скоростью v= 5 м/с. Найти кинетические энергии
этих тел.
46. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень
длиной l=2,4 м и массой m=8кг, расположенный вертикально по оси
вращения скамьи, частота вращения n= 1 с 1 . С какой частотой будет
вращаться скамья, если человек повернет стержень в горизонтальное
положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J= 6 кг м 2
Идеальные газы. Уравнение состояния. Изопроцессы.
Основные уравнения кинетической теории газов. Энергия
молекул и теплоемкости.
47. В сосуде вместимостью V=20л находится газ количеством вещества
V=1,5кмоль. Определить концентрацию молекул газа.
48. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V=30л при
температуре Т=300К и давлении р=5 МПа?
49. 10 г кислорода находятся под давлением р=0,303 МПа при
температуре t=10 С. После нагревания при постоянном давлении
кислород занял объем V=10 л. Найти начальный объем и конечную
температуру газа.
50. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32г
кислорода, при температуре t=7 C и давлении р=93 кПа.
3
51. В колбе объемом V=100 см находится газ при температуре Т=300К.
Насколько понизится давление газа в колбе, если вследствие утечки из
колбы выйдет N=10
20
молекул.
10
52. Давление газа равно р= 1 мПа, концентрация молекул n=10 см 3 .
Определить температуру Т газа, среднюю кинетическую энергию
поступательного движения молекул.
53. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной
молекулы гелия, кислорода, водяного пара при температуре Т=400К.
54. Вычислить удельные теплоемкости CV и C Р гелия, водорода,
углекислого газа.
55. Определить удельные теплоемкости CV и C Р смеси газов, содержащих
кислород массой 10г и азот массой 20г?
56. Сколько молекул воздуха находится в 1 см 3 сосуда при t=10 С, если
воздух откачан до давления р=1,33 мкПа?
Элементы статистической физики. Длина свободного
пробега. Число столкновений.
57. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <l> молекул
азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?
58. Определить плотность  разреженного водорода, если средняя длина
свободного пробега <l> молекул равна 1 см.
59. Найти среднюю продолжительность <  > свободного пробега молекул
кислорода при температуре Т=250 К и давлении р=100 Па.
60. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия
станет равной второй космической скорости v2 = 11,2 км/с?
61. Во сколько раз средняя квадратичная скорость < vКВ > молекул кислорода
больше средней квадратичной скорости пылинки массой m=10 8 г,
находящейся среди молекул кислорода?
62. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул газа, если
их средняя квадратичная скорость < vКВ >=1 км/с.
63. Найти среднее число <z> столкновений, испытываемых в течение t=1 с
молекулой кислорода при нормальных условиях.
Работа. Первое начало термодинамики. Циклы.
65. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода
массой m=5 г, взятого при температуре Т=290 К, если объем газа
увеличивается в три раза?
66. Определить работу А адиабатного расширения водорода массой m=4 г,
если температура газа понизилась на  Т = 10 К.
67. Баллон вместимостью V=20 л содержит водород при температуре Т=300
К под давлением р = 0,4 МПа. Каковы будут температура T1 и давление p1 .
Если газу сообщить количество теплоты Q= 6 кДж?
68. Кислород при неизменном давлении р = 80кПа нагревается. Его объем
увеличивается от V1 =1 м 3 до V2 = 3 м 3 . Определить: 1) изменение  U
внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совершенную им при
расширении; 3) количество теплоты Q , сообщенное газу.
69. При изотермическом расширении водорода массой m=1 г, имевшего
температуру Т= 280 К, объем газа увеличился в три раза. Определить работу
А расширения газа и полученное газом количество теплоты Q.
70. Углекислы газ СО 2 массой m=400 г был нагрет на  Т = 50 К при
постоянном давлении. Определить изменение  U внутренней энергии газа,
количество теплоты Q , полученное газом, и совершенную им работу А.
71. Кислород массой m=800 г, охлажденный от t1 =100 С до температуры t 2 =
20 С, сохранил неизменный объем V. Определить: 1) количество теплоты Q ,
полученное газом; 2) изменение  U внутренней энергии; 3) совершенную
газом работу А.
72. Азот массой m = 200 г расширяется изотермически при температуре Т=
280 К, причем объем газа увеличивается в два раза. Найти: 1) изменение  U
внутренней энергии газа; 2) совершенную при расширении газа работу А; 3)
количество теплоты Q , полученное газом.
73. Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой m=1 г, взятый
при температуре Т= 280 К под давлением p1 = 0,1 МПа, изотермически сжать
до давления p2 = 1 МПа?
74. При адиабатном расширении кислорода с начальной температурой T1 =
320 К внутренняя энергия уменьшилась на  U= 8,4 кДж, а его объем
увеличился в n=10 раз. Определить массу m кислорода.
75. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T2 охладителя равна
290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя
повысится от T '1 = 400 К до T "1 =600 К?
76. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя
количество теплоты Q 1 = 4,2 кДж, совершил работу А=590 Дж. Найти
термический КПД  этого цикла. Во сколько раз температура T1 нагревателя
больше температуры T2 охладителя?
77. Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагревателя количество
теплоты Q 1 = 4 кДж. Определить работу А газа при протекании цикла, если
его термический КПД  =0,1.
Энтропия
78. Найти изменение  S энтропии при изобарном расширении азота массой
m=4 г от объема V 1 =5 л до объема V 1 =9 л.
79. Лед массой m 1 =2 кг при температуре t 1 =0 o C был превращен в воду той
же температуры с помощью пара, имеющего температуру t 2 =100 o C.
Определить массу m 2 израсходованного пара. Каково изменение  S
энтропии системы лед-пар?
80. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в n=5 раз один раз
изотермически, другой - адиабатно. Найти изменения энтропии в каждом из
указанных процессов.
81. Водород массой m=100 г был изобарно нагрет так, что объем его
увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что его
давление уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение  S энтропии в ходе
указанных процессов.
Реальные газы. Жидкости.
82. В сосуде вместимостью V=0,3 л находится углекислый газ, содержащей
количество вещества  =1 моль при температуре Т=300 К. Определить
давление р газа: 1)по уравнению Менделеева – Клапейрона; 2) по уравнению
Ван-дер-Ваальса.
83. Давление р кислорода равно 7 МПа, его плотность  =100 кг/м 3 . Найти
температуру Т кислорода.
84. Трубка имеет диаметр d 1 =0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля
воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d 2 этой капли.
85. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь,
увеличить его диаметр от d 1 =1 см до d 2 =11 см? Считать процесс
изотермическим.
86.Капиллярная трубка диаметром d=0,5 мм наполнена водой. На нижнем
конце трубки вода повисла в виде капли. Эту каплю можно принять за часть
сферы радиуса r=3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.
87. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше
атмосферного давления р 0 , если диаметр пузыря d=5 мм?
Примеры решений.
1. Колесо вращается по закону   4  5t  t 3 . Найти в конце первой
секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную
скорость и полное ускорение точек, лежащих на ооде колеса. Радиус
колеса 2 см.
Решение. Согласно определению, угловая скорость
d
d
 (4  5t  t 3 )  5  3t 3
dt
dt
(1)
  (5  3  1) рад / с  2 рад / с

Линейная скорость
v  R; v  2  0,2 м / с  0,4 м / с
По определению, угловое ускорение  

d
, или с учетом (1)
dt
d
(5  3t 3 )  6t ;   6 рад / с 2 .
dt
Полное линейное ускорение
a  a к2  aц2 , где
aк  R; aц   2 R .
Тогда
a  R  2   4 ; a  0,2 (6) 2  (2) 4 м / с 2  1,44 м / с 2
2. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под
действием груза массой 0,5 кг, прикрепленного к концу нерастяжимой
нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения
бруска о поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу
натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке
пренебречь.
Решение. Рассмотрим движение каждого тела отдельно. На брусок
действуют:
m 1 g- сила тяжести, N- сила нормальной реакции плоскости, Т 1 - сила
натяжения нити, F ТР - сила трения. Запишем для бруска второй закон
Ньютона:
m 1 g+N+ Т 1 + F ТР = m 1 a 1 .
Спроецировав полученное уравнение на выбранные направления осей Х и
Y , получим
Т 1 -F ТР = m 1 a 1 , (1)
m 1 g-N=0.
(2)
Так как из уравнения (2) следует, что N=m 1 g, то F ТР =  N=  m 1 g. Тогда
[см (1)]
Т1 -  m1 g = m1 a1 .
(3)
На груз действуют:
m 2 g- сила тяжести, Т 2 - сила натяжения нити. Запишем для груза второй
закон Ньютона:
m 2 g+ Т 2 =m 2 a 2 (4).
Спроецировав уравнение (4) на ось Y, получим
m 2 g- Т 2 =m 2 a 2 . (5)
Складывая уравнения (3) и (5) и учитывая, что Т 1 = Т 2 =Т, а a 1 = a 2 =а,
получаем m 2 g-Т+Т-  m 1 g=( m 1 + m 2 ) а, откуда
a
m2 g  m1 g g (m2  m1 )

;
m2  m1
m2  m1
9,8(0,5  0,1  2) м
a
 1,2 м / с 2
2
0,5  2
c
.
Силу натяжения нити находим из уравнения (5):
Т 2 =m 2 g- m 2 a 2 = m 2 (g-a);
T=0,5(9,8-1,2)H  4,3H
3. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль
железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с
песком массой 10 т и застревает в нем. Найти скорость вагона, если он
двигался со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
Решение. Запишем для снаряда и вагона с песком закон сохранения
импульса при неупругом ударе:
m1v1  m2 v2  (m1  m2 )u
(1)
Выбирая направление оси Х совпадающим с направлением движения
снаряда и проецируя на нее обе части уравнения (1), получаем
m1v1  m2 v2  (m1  m2 )u , откуда
u
m1v1  m2 v2
100  500  10 4  10 м
;u 
 5 м / с.
m1  m2
c
100  10 4
Следовательно, направление движения вагона не изменилось.
4. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r=20 см был
раскручен до частоты вращения n=480 мин
1
и затем предоставлен
самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент
М сил трения, считая его постоянным, если маховик остановился через
t=50c.
Решение. По второму закону динамики вращательного движения
твердого тела имеем:
M Z =J  Z , где J- момент инерции маховика, M Z и  Z - момент силы трения
и угловой ускорения, спроецированные на ось вращения.
Движение равнозамедленное, поэтому угловая скорость изменяется по
закону    0  t , где  0 - начальная угловая скорость,  0 =2 n , конечная
угловая скорость  =0, отсюда,  0  t =0,    0 t  2n t .
Момент инерции диска относительно оси проходящей через центр
инерции равен:
J  mr 2 / 2 . Подставляя выражения J и  в формулу (1), получаем:
2
M Z = mr  2n
2t
Результат расчета в СИ дает тормозящий момент сил трения M=1Hм.
5. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода и 32 г
кислорода, при температуре 7 С и давлением 93 Па.
Решение. По закону Дальтона, давление смеси
р = р 1 + р 2 (1) , где р 1 и р 2 - парциальные давления водорода и кислорода
при данных условиях. Запишем уравнение Клапейрона –Менделеева для
каждого газа в отдельности;
1V1  m1 RT1 / M 1
 2V2  m2 RT2 / M 2
По условию задачи, V 1 =V 2 =V, T 1 =T 2 =T.
Тогда для водорода 1V  m1 RT / M1
(2)
Аналогично для кислорода-  2V  m2 RT / M 2 (3)
Подставим выражения (2), (3) в (1):
p
m1 RT m2 RT RT m1 m2


(

)
M1 V
M2 V
V M1 M 2
Откуда V 
RT m1 m2
(

)
 M1 M 2
(4)
По определению, плотность смеси газов  = m/V (5), где
m=m 1 + m 2 - масса смеси и газов.
Подставим выражение (4) в (5):

m1  m2

;
m1 / M 1  m2 / M 2 RT

4  10 3  32  10 3
9,3  10 4 кг
 0,48кг / м 3
3
3
3
3
3
4  10 /( 2  10 )  32  10 /( 2  10 ) 8,32  280 м
6. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при
нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю
арифметическую скорость <v> молекул и число z соударений, которые
испытывает молекула в 1 с.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по
формуле  v  8RT / M , где М- молярная масса вещества.
Подставив числовые значения числовые значения, получим  v  =362 м/с.
Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отношением
средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега
<l>:
<z>=<v>/<l>.
Подставив в эту формулу значения <v>=362 м/с, <l>=40 нм=4  10 4 м,
получим
<z>=9,05  10 9 c
1
7. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до 30 С при постоянном
давлении. Найти работу расширения газа и изменение его внутренней
энергии.
Решение. Изменение внутренней энергии углекислого газа при его
нагревании от температуры Т 1 до температуры Т 2 найдем по формуле
U 
m

CV (T2  T1 ) 
mi
R(T2  T1 ) , где m- масса газа,  - молярная масса газа
2
(  CO =44  10 3 кг/моль), i- число степеней свободы, i=6 для трехатомного
2
газа,
R=8,31 Дж/моль К- газовая постоянная, Т 1 и Т 2 - температура газа
начальная и конечная по шкале Кельвина.
Подставляя данные в СИ, получаем U  83 Дж.
Работа расширения углекислого газа
A
V2
 pdV
V1
(1)
По условию задачи, давление углекислого газа p=const. Тогда давление,
как постоянную величину, можно вынести из под знака интеграла и
выражение (1) примет вид
V2
A  p  dV  p(V2  V1 ).
V1
Из уравнения Клапейрона - Менделеева
 V  m RT / M
Находим объем углекислого газа при температуре Т:
V=mRT/(Mp). Следовательно, при температурах Т 1 и Т 2 углекислый газ
будет занимать объемы
V1 
mRT1
mRT2
и V2 
.
Mp
Mp
Подставим выражения (3) в (1):
A  p(
A
mRT2 mRT1
mR

)
(T2  T1 );
Mp
Mp
M
10 2  8,32
(303  293) Дж  18,9 Дж
44  10 3
8. Определить изменение  S энтропии при изотермическом расширении
кислорода массой m=10 г от объема V 1 =25 л до объема V 2 =100 л.
Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении
2
энтропии S  S 2  S1   dQ температуру выносят за знак интеграла.
1
T
2
Выполнив это, получим S  1  dQ  Q .
T
1
T
(1)
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу
термодинамики Q  U  A . Для изотермического процесса U  0 ,
следовательно, Q=A,
(2)
а работа А для этого процесса определяется по формуле
A
V
m
RT ln 2 .
M
V1
(3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид
S 
V
m
R ln 2 .
M
V1
(4)
Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим
S  (10 103 /(32 103 ))  8,31ln( 100 103 /( 25 103 )) Дж/К  3,60 Дж/К
9. Определить изменение свободной энергии  Е поверхности мыльного
пузыря при изотермическом увеличении его объема V 1 =10 см 3 до
V 2 =2V 1 .
Решение. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорциональна
площади S этой поверхности: E=  S,
(1)
где  - поверхностное натяжение.
У мыльного пузыря имеются две поверхности – внешняя и внутренняя,
площади которых фактически равны из-за малой толщины мыльной
пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и внутренней
вместе) мыльного пузыря:
 E=2   S
(2)
Где  S- изменение поверхности пузыря (одной – внутренней или
внешней).
Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение
площади поверхности:
 S= 4r22  4r12 ,
(3)
где r 1 и r 2 - радиусы сфер, соответствующие изначальному V 1 и
1/ 3
1/ 3
конечному V 2 объемам: r1   3V1  , r2   3V2  . Теперь формула (3)
 4 
 4 
 3V2  2 / 3  3V1  2 / 3 
примет вид S  4 
 
  . Учитывая, что V 2 =2V 1 :
 4  
 4 
 3V 
S  4  1 
 4 
2/3
(2 2 / 3  1) .
Подставим выражение  S в формулу (2):
 3V 
E  8  1 
 4 
2/3
(2 2 / 3  1)  106 мкДж .
Ответы
Кинематика
16)
0,35
38)
-0,64 Нм
1) 8,7 м/с
17)
17,7 Н
39)
0,8 кВт
2) 40 с, 80 м, - 0,1
18)
1 и 2 м/с
40)
1,99 Нм
19)
h=R
41)
500 Дж
20)
1,42 с
42)
3,83 1/с, 1,92
м/с 2 , 7,07 м/с 2 , -
21)
6,26 м/с
7,07 м/с 2
22)
7,91 км/с,
м/с 2
3) 14,1 м/с, -10
4) 2 м/с 2 , 1 м/с 2 ,
2,24 м/с 2
5) 7 м/с, 8,5 М
м/с
11,19 км/с
23)
100 Нс, 100 кг
м/с
43)
14 1/с, 2,1 м/с
44)
4,04 с
45)
50 Дж, 37,5
Дж
6) 9б62 м, 14,6 м/с
24)
1,4 Нс
46)
7) 1,53 км, 3,53 км,
25)
3 Нс
Идеальные
26)
0,4 м/с
газы.
27)
114 м/с
28)
4,72 кДж
29)
5 Дж, 15 Дж
30)
0,32 Вт
Динамика
31)
30 кДж
поступательного
32)
86,4 Дж
33)
99000 Н
34)
1,73 м/с, 1 м/с
1,02 км
8) 3,58 м/с, 5,37
м/с 2 , 8,22 м/с 2
9) -0,523 м/с 2 , 150
10)
1,261 1/с 2
движения
11)
6 кН, 50 с,
375 м
13)
5,9 м/с 2
твердого тела
14)
1,2 м/с 2 , 4,3
35)
4  10 3 кг м
36)
0,31
37)
0,24 м/с 2
15)
39,2 Н
4,52  10 28
1/м 3
48)
3,62  10 25
49)
V 1 =2,4  10 3
К
движение
616 Н
1
м 3 , T 2 =1,18  10 3
Вращательное
12)
Н
47)
0,61 с
50)
0,48 кг/м 3
51)
4,14 кПа
52)
1,24  10 20 Дж
53)
8,28  10 21 Дж,
13,8  10 21 Дж,
2
16,6  10 21 Дж
54)
3,12
кДж
кг  К
55)
715
кДж
,
кг  К
71)
11,6 кДж
кДж
1,01
кг  К
56)
-41,6 кДж,
72)
0, 11,6 кДж,
11,6 кДж
3,4  10 8
Энтропия
78)
2,43 Дж/К
79)
251 г, 610
Дж/к
Элементы
73)
191 Дж
80)
836 Дж/к
статистической
74)
67,22
81)
457 Дж/К
75)
1,88
Реальные газы.
76)
14%, 1,16
77)
400 Дж
физики
Жидкости.
57)
3,5 мПа
58)
1,55 мг/ м
59)
288 нс
60)
20,1 кК
83)
287 К
61)
1,37  10 7
84)
4,4 мм
62)
0,92 км/с
85)
3 мДж
63)
3,7  10 9 с 1
86)
6,37 см
64)
–
87)
62,5 Па
3
1 начало
термодинамики.
Циклы.
65)
6,62 кДж
66)
416 Дж
67)
390 К, 520
кПа
68)
400 кДж, 160
кДж, 560 кДж
69)
1,28 кДж
70)
11,3 кДж,
17,1 кДЖ, 5,8
кДж
82)
8,31 МПа,
5,67 МПа