КИНЕМАТИКА 1 - Естественнонаучная школа ТПУ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
« НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.И. Кузнецов, Т.Н. Мельникова, Е.Н.
Степанова
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями.
Аэростатика. Гидростатика.
Молекулярная физика и
термодинамика
Издательство
Томского политехнического университета
2011
1
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
К 891
Кузнецов С.И.
Решение задач по курсу общей физики. Аэростатика.
Гидростатика. Молекулярная физика и термодинамика:
учебное пособие/ С. И. Кузнецов, Т.Н. Мельникова, Е.Н.
Степанова; – Томск: Изд-во ТПУ, 2011. – 40 с.
В учебном пособии рассмотрены основные вопросы аэростатики,
гидростатики, молекулярной физики и термодинамики, приведены
методические указания по решению типовых задач, а так же приведены
задачи для самостоятельного решения.
Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы,
научить активно применять теоретические основы физики как рабочий
аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести
уверенность в самостоятельной работе.
Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует
программе курса физики, общеобразовательных учебных заведений и
направлено на активизацию научного мышления и познавательной
деятельности учащихся.
Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и
подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы.
Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной
работы.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ
А.В. Шаповалов
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ
А.Г. Парфенов
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство ТПУ, 2011
© Кафедра общей физики. 2011
2
Когда кончился бензин, автомобиль вынужден был
остановится. Это я тоже сам вчера видел. А после этого
еще болтают об инерции, господа! Не едет, стоит, с места
не трогается! Нет бензина. Ну не смешно ли?
Я. Гашек. Похождения бравого солдата Швейка
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМ ЗАДАЧ
1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную
запись данных и искомых физических величин, предварительно
представив их в системе СИ.
Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных
единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м);
массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического
тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К);
количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд).
Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад);
единица телесного угла – стерадиан (ср).
Производные единицы устанавливаются через другие единицы
данной системы на основании физических законов, выражающих
взаимосвязь между соответствующими величинами.
В условиях и при решении задач часто используются множители и
приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц (см.
Приложение).
2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о
котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые
можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие
абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света.
3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж.
4. С помощью физических законов установите количественные
связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте
замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось
бы числу неизвестных.
5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде
алгоритма, отвечающего на вопрос задачи.
6. Проверьте правильность полученного решения, использую
правило размерностей.
7. Подставьте в полученную формулу численные значения
физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на
точность численного ответа, которая не может быть больше точности
исходных величин.
3
ОСНОВЫНЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
АЭРОСТАТИКА. ГИДРОСТАТИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Механика жидкостей и газов
F
.
S
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
ρυ2
 ρgh  P  const .
Уравнение Бернулли
2
F2 S 2
Соотношение для гидравлического пресса
 .
F1 S1
h1 ρ 2
Закон сообщающихся сосудов
 .
h2 ρ1
Архимедова сила FA  ρgV .
 Давление





P
Sυ  const .
 Формула Торричелли υ  2 gh .
 Формула Стокса F  6πηrυ .
 Формула Пуазейля V  πR 4 ΔPt /(8ηl ) .
 Формула Лапласа для произвольной поверхности
ΔP  σ(1 / R1  1 / R2 ) .
 Формула Лапласа для сферической поверхности
 Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
 Поверхностное натяжение
σ
ΔP  2σ / R .
2σ cos θ
.
h
ρgr
F
ΔE
или σ 
.
lb
ΔS
Молекулярная физика. Термодинамика




1. Молекулярно-кинетическая теория
m
Молярная масса вещества μ  Amед N A или μ  .
v
m
Атомная масса A  A .
mед
1
1,66  10 27 кг .
Атомная единица массы mед 
12mC
μ
1
 6,023  10 26
.
Число Авогадро N A 
M  mед
моль
4
P0
 2,68  10 25 м 3 .
kT0
N
 Концентрация частиц n  .
V
 Число Лошмидта N L 
 Универсальная газовая постоянная R  kN A  8,31
Дж
.
моль  К
 Нормальные условия P0  10 5 Па; T0  273 K .
ΔF
 Давление на поверхность P 
.
ΔS
F 1
 Давление газа на стенку сосуда P   m0 υ 2x .
S 3
2
1
 Основное уравнение МКТ P  n  Ek  nkT  nm0  υ кв  2 .
3
3
2
m υ 
 Абсолютная температура T  0
.
3k
nk
 Объем газа в трубке газового термометра V  T .
P0
P
 Изохорический процесс. Закон Шарля
 const при V , m  const .
T
 Уравнение изохорического процесса для температуры по шкале
Цельсия P  P0 (1  αt ) .
V
 Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака  const,
T
при P, m  const
 Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта PV  const ,
при T , m  const .
 Адиабатический процесс (изоэнтропийный) S  const , ΔS  0 .
 Политропический процесс C  const .
 Закон Дальтона Pсм  P1  P 2 ...  Pn .
PV
 Объединенный газовый закон (закон Клапейрона)
 const .
T
5
 Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева –
m
Клапейрона)
PV  RT  vRT ; для смеси газов
μ
m m
m 
PV   1  2  n  RT .
 μ1 μ 2 μ n 
2. Распределение газовых молекул по скоростям
P
 Скорость звука в газе υ зв  γ .
ρ
 Наиболее вероятная скорость υ вер 
2kT
2 RT
или υ вер 
.
m
μ
3kT
3RT
или υ кв 
.
m
μ
 Средняя квадратичная скорость υ кв 
 Средняя арифметическая скорость υ ср 
 Относительная скорость u 
8kT
8RT
или υ ср 
.
πm
πμ
υ
.
υ вер
3. Элементы физической кинетики
 Эффективное сечение молекулы σ  πd 2 .
 Среднее число столкновения молекулы за 1 с v  2πd 2 n υ .
 Средняя длина свободного пробега молекул
υ
kT
kT
λ 


.
2
v
2πd P
2σP
2
mυ
i
 Средняя энергия молекулы K 
 kT .
2
2
4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергии. Работа и
теплота
 Первое начало термодинамики δQ  dU  δA .
3
 Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна U  RT .
2
mi
i
 Внутренняя энергия произвольной массы газа U 
RT  v RT .
μ2
2
dQ
 Удельная теплоемкость C уд 
.
dT
 Молярная теплоемкость C μ  Cудμ .
6
i
R.
2
i2
Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении С p 
R.
2
Уравнение Майера C P  CV  R
C
i2
Коэффициент Пуассона γ  P 
.
CV
i
m R
PV
Внутренняя энергия одноатомного газа U 
.
T
μ γ 1
γ 1
Закон Больцмана о равномерном распределении энергии
i
 K  kT .
2
Работа газа при изменении его объема δA  pdV .
Количество теплоты, сообщенное в изохорическом процессе
Q  CV (T2  T1 ) .
Изменение внутренней энергии в изохорическом процессе dU  δQ .
m R
i
Теплоемкость и изохорическом процессе CV 
 R.
μ γ 1 2
m
Работы в изобарическом процессе A  PV2  V1   R(T2  T1 ) .
μ
Количество теплоты, сообщенное в изобарическом процессе
m
i

Q  C P T2  T1   RΔT   1 .
μ
2 
Изменение внутренней энергии в изобарическом процессе
im
ΔU  CV T2  T1  
RΔT .
2μ
m γR m dQ
Теплоемкость в изобарическом процессе CP 
.

μ γ  1 μ dT
Работа газа при изобарном расширении
m
A  p(V2  V1 ) 
R(T2  T1 ) .
M
Работа газа в изотермическом процессе
V
P
m
m
A  Q  RT ln 2  RT ln 1 .
μ
V1 μ
P2
 Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме СV 















7
 Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)
PV γ  const , TV γ 1  const , T γ P1 γ  const .
 Работа газа при адиабатическом расширении
m
A  ΔU  CV (T1  T2 )
μ
5. Круговые процессы. Тепловые машины
Q  Q2
 Термический КПД для кругового процесса η  1
.
Q1
T T
 Термический КПД цикла Карно η  1 2 .
T1
T  ΔT
 Термический КПД необратимого цикла ηнеобр  1  2
.
T1  ΔT
 Работа тепловой машины A  Q1  Q2 .
6. Второе начало термодинамики
 Количество теплоты, необходимой для нагревания тела массой т от
температуры Т1 до температуры Т2 Q  Cm T2  T1  .
 Закон плавления и кристаллизации δQ  λdm .
 Изменение энтропии при плавлении и кристаллизации ΔS   λm Tпл
 Закон испарения и конденсации δQ   rdm .
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Резиновый мяч массой 200 г и объемом 220 см3 погружают под воду
на глубину 3 м и отпускают. На какую высоту (в метрах), считая от
поверхности воды, подпрыгнет мяч? Сопротивление воды и воздуха при
движении мяча не учитывать. Плотность воды 103 кг/м3.
Дано:
0 = 0
m = 0,200 кг
V = 22010-6 м3
h=3м
в = 103 кг/м3
Н=?
Решение:
2
H
h
1
a
FA
W =0
mg п
gV  mg
m
Движение
мяча
в
воде
равноускоренное. Ускорение а можно
найти из уравнениядинамики.


ma  FA  mg .
В скалярном виде:
ma = FA – mg,
ma = gV – mg 
(1)
8
Тогда
12  02 12
.
h

2a
2a
Подставим в уравнение (2) выражение для ускорения (1):
12
Eкин
m
h



2 gV  mg gV  mg
(2)
Екин = h(gV - mg) = hg (V - m).
(3)
При вылете из воды мяч обладает кинетической энергией, которая в
точке 2 переходит в потенциальную.
Екин = mgH.
(4)
В уравнениях (3) и (4) приравниваем правые части:
hg (V - m) = mgH

h (V - m) = mH
Отсюда определим высоту, на которую подпрыгнет мяч, считая от
поверхности воды.
h(ρV  m) 3(10 3  220  10 6  0 ,2)
=
= 0,3 (м).
H
0,2
m
Ответ: H = 0,3 м
2. Определите натяжение нити, связывающей два шарика объёмом
10 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину
погрузившись в воду. Масса нижнего шарика в три раза больше массы
верхнего шарика. Плотность воды 103 кг/м3, g = 10 м/с2. Ответ
представьте в мН.
Дано:
V = 10 см3 = 10-5м3
m2 = 3m1
g = 10 м/с2
 = 1000 кг/м3
Т=?
Решение:
FA1 1
T
FA2
m1g
T
2
Выполним рисунок, расставим силы,
действующие на каждое тело, и для каждого
тела запишем свое условие равновесия.
1 шар:
FA1 – m1g – T = 0,
где
FA1  g
m2g
V
.
2
9
(1)
2 шар:
FA2 – m2g + T = 0,
(2)
где
FA2 = gV.
В уравнения (1) и (2) подставим силы Архимеда, действующие на
каждое тело, и выразим массы этих тел:
V
g – m1g – T = 0,
2
gV – m2g + T = 0.
V
g  T
gV  T
2
m1 
,
.
m2 
g
g
Так как по условию задачи
m2 = 3m1,
то
V
T
gV  T
2
=3
,
g
g
V
gV + T = 3 (g  T ) ,
2
V
gV + T = 3g - 3Т.
2
gV
4Т =
.
2
Из полученного уравнения определим натяжение нити, связывающей
оба шарика:
gV 1000  10  10 5
T

 0,0125 (Н) = 12,5 (мН).
8
8
Ответ: Т = 12,5 мН
g
3. При подъеме с помощью гидравлического пресса груза массой 2 т
была совершена работа 4,9 кДж. Найдите число ходов малого поршня,
перемещающегося за один ход на 10 см, если КПД пресса 90%, а
площадь большого поршня больше малого в 100 раз. Принять g = 9,8
мс2. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано:
Решение:
10
m = 2 т = 2103 кг
Аз = 4,9 кДж = 4,9103 Дж
l = 10 см = 0,1 м
 = 90 = 0,9
s1 = 100 s2
g = 9,8 мс2
N=?
КПД пресса рассчитывается как отношение:
A
(1)
  п 100.
Aз
Полезная работа, которую совершает сила F:
Aп = Fl = FlN.
(2)
Для
гидравлического
пресса
выполняется
соотношение:
mgs2
mg F
 F
.
(3)

s1 s2
s1
Выражение, полученное для силы F, подставим в уравнение (2).
mgs2
Aп =
lN.
(4)
s1
Решая совместно уравнения (1) и (4) найдем число ходов малого
поршня.
mgs2
lN = Аз.
s1
N=
Aз s1
0,9  4,9  10 3  100 s2
=
= 225.
mgs2 l
2  10 3  9,8  s2  0,1
Ответ: N = 225
Дано:
Решение:
d2 = 4 d1
h = 0,7 м
рт = 13,6103 кгм3
в = 103 кгм3
h1 = ? h2 = ?
d1
d2
h
h2
h1
p1
p2
В сообщающихся сосудах
однородная
жидкость
устанавливается
на
одном
уровне (штриховая линия).
Когда в левый сосуд поверх
ртути налили воду, уровень
ртути в нем опустился на h1, а
в правом сосуде поднялся на
h2.
11
4. В сообщающиеся сосуды, диаметр одного из которых больше
диаметра другого в 4 раза, налита ртуть, а в сосуд меньшего диаметра
сверху налита вода высотой 0,7 м. Определите, на сколько изменятся
уровни ртути в сообщающихся сосудах. Плотность ртути 13,6103 кгм3,
плотность воды 103 кгм3. Ответы представьте в сантиметрах и
округлите до десятых.
Давление в сообщающихся сосудах на одном уровне одинаковое, т.е.
р1 = р2.
(1)
F
, F = mg.
s
В нашей задаче это сила тяжести жидкости, находящейся над точкой,
в которой определяется давление. Над первой точкой находится только
вода, над второй – ртуть. Тогда уравнение (1) перепишется в виде:
mв g mрт g
,
(2)

s1
s2
где
mв = вVв = вs1h, mрт = ртVрт = ртs2(h1 + h2).
(3)
р=
Подставим полученные выражения (3) в уравнение (2):
в s1h  рт s2 (h1  h2 )
,

s1
s2
вh = рт(h1 + h2).
(4)
Чтобы найти h1 и h2, нужно найти соотношение между ними.
Объем жидкости, вытесненной из левого сосуда равен объему
жидкости, перешедшей во второй сосуд, т.е.
V1 = V2.  s1h1 = s2h2.
(5)
Но
d 2
4s
s=
 d2  .
(6)
4

Т.к. по условию задачи d2 = 4 d1, тогда d 22  16d12 и с учетом (6)
4s
4s2
= 16  1 ,


s2 = 16s1.
(7)
Выражение (6) подставим в (4), получим:
s1h1 = 16s1h2
или
h1 = 16h2.
(8)
Полученное соотношение подставим в выражение (4):
12
вh = рт(h1 + h2) = рт(16h2+ h2) = рт17h2.
Теперь можно определить, на сколько изменятся уровни ртути в сообщающихся сосудах
в h
10 3  0 ,7

 0,003 (м) = 0,3 (см).
h2 =
17 рт 17  13,6  10 3
Из уравнения (8):
h1 = 160,03 = 4,8 (см).
Ответ: h1= 4,8 см, h2= 0,3 см.
5. Определите минимальный объем наполненного водородом шара,
который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за время
30 с. Общая масса оболочки шара и корзины 20 кг. Принять g = 10 мс2,
плотность воздуха и водорода соответственно равными 1,3 кгм3 и 0,1
кгм3. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ представьте в
единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
0 = 0
m1 = 70 кг
h = 100 м
t = 30 с
m2 = 20 кг
g = 10 мс2
возд = 1,3 кгм3
вод = 0,1 кгм3
Vmin = ?
FA
Необходимо выполнить рисунок, затем
расставить силы, действующие на шар и
записать уравнение динамики.


 



mч a  mш a  mH a  FA  mч g  mш g  mH g .
mчg
Полученное выражение запишем в проекции
на ось y:
mНg
mчa + mшa + mНa = FA – mчg – mшg - mНg.
y
a
m шg
Преобразуем:
(mч + mш)a + mНa = вgV – (mч + mш)g - mНg.
(mч + mш)a + НVa = вgV – (mч + mш)g - НVg.
НVa - вgV + НVg = - (mч + mш)a - (mч + mш)g.
V(вg - Нa - Нg) = (mч + mш)a + (mч + mш)g.
V(вg - Нa - Нg) = (mч + mш)(a + g).
Отсюда
13
V=
(m ч  m ш )( a  g )
.
g(ρ в  ρ Н )  ρ Н a
(1)
В полученном выражении остается неизвестным ускорение, с
которым шар поднимается вверх. Найти ускорение можно из уравнения
движения шара.
at 2
at 2
h = 0t +
=
.
2
2
Тогда ускорение шара.
2h
а=
.
(2)
t2
Решая совместно уравнения (1) и (2) найдем минимальный объем
наполненного водородом шара.
2h
2 100
(m ч  mш )( 2  g )
90  (
 10)
900
t
V=
=
= 77 (м3).
2h
2 100
g(ρ в  ρ Н )  ρ Н 2
10(1,3  0,1)  0,1
t
900
Ответ: V = 77 м3
6. Два сосуда наполнены одним и тем же газом под давлением 4105 Па и
9105 Па массой 0,2 кг и 0,3 кг соответственно. Сосуды соединяют
трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами
сосудов. Найдите установившееся давление в сосудах, если температура
газа в них была одинакова и после установления равновесия
увеличилась на 20%. Ответ представьте в атмосферах (1 атм = 105 Па) и
округлите до десятых.
Дано:
Решение:
Установившееся давление в сосудах можно определить из закона
p1 = 4105 Па
Дальтона:
p2 = 9105 Па
р = р1 + р2,
(1)
m1 = 0,2 кг
m2 = 0,3 кг
где р1, р2 – парциальные давления газа. Эти давления определяем
T = 1,2 T
из уравнения Клапейрона – Менделеева:
1 атм = 105 Па
m
m
p(V1 + V2) =
RT  p =
RT,
(2)
p=?
M V1  V2 
M
где Т - температура газа после соединения сосудов трубкой,
14
p - парциальное давление, т.е. давление, которое создается газом, если
бы он один занимал весь объем.
Подставим выражение (2) в закон Дальтона(1):
m1
m2
р =
RT+
RT.
(3)
M V1  V2 
M V1  V2 
Учитывая условие задачи, согласно которому
T = 1,2 T,
уравнение (3) примет вид:
m1
m2
RT
р = 1,2
R T + 1,2
R T = 1,2
(m1 + m2).
M V1  V2 
M V1  V2 
M V1  V2 
(4)
Объемы V1, V2 выразим также из уравнения Клапейрона –
Менделеева, которое записано для случая, когда сосуды еще не
соединены трубкой.
m
V=
RT
(5)
Mp
Полученное выражение для объема подставим в уравнение(5).
RT
RT
р = 1,2
(m1 + m2) = 1,2
(m1 + m2) =
M V1  V2 
 m1 RT m2 RT 

M 

Mp
Mp

1
2 
m  m2
RT
= 1,2
(m1 + m2) =1,2 1
.
m1 m2
m1 RT m2 RT


p1 p2
p1
p2
Подставим численные значения и рассчитаем установившееся
давление.
0,2  0,3
р =1,2
= 7,2105 (Па) = 7,2 (атм).
0,2
0,3

5
4 10 9 10 5
Ответ: р = 7,2 атм
7. Идеальный одноатомный газ массой 1 кг с молярной массой 4 г/моль
нагревают так, что его температура, пропорциональная квадрату
давления, возрастает от 300 К до 600 К. Определите работу,
совершенную газом. Универсальная газовая постоянная 8,31
Дж/(мольК). Ответ представьте в килоджоулях и округлите до целого
числа.
Дано:
m = 1 кг
M = 4 г/моль = 410-3 кг/моль
Т = k p2
T1 = 300 К
T2 = 600 К
Решение:
15
Работу,
совершенную газом удобнее найти
графически. Известно геометрический смысл работы.
Она представляет собой площадь фигуры под
графиком в pV – координатах. Для этого нужно
построить этот график, то есть определить
зависимость p = f(V).
Для этого запишем уравнение Клапейрона –
Менделеева:
pV = RT.
A=?
По условию задачи
Т = k p2 ,
следовательно,
pV = Rkp2

V = Rkp,
где , R и k – постоянные величины, т.е. V  p. Тогда график
зависимости p = f(V) будет выглядеть следующим образом:
p
p2
p1
2
1
V1
sтр
V2
V
Фигура между графиком и осью х представляет собой трапецию.
Значит, работа численно равна площади трапеции.
ab
sтр =
h,
2
то есть
p1  p 2
А=
(V 2  V1 ) ,
2
где
T
T
p=
, V = Rkp = Rk
.
k
k
Тогда
T1
T
 2
k (νRk T2  νRk T1 ) = νRk ( T2  T1 ) = mR (T  T ) .
А= k
2
1
2
k
k
2 k
k
2M
16
Подставим численные значения и определим работу, совершенную
газом.
1  8,31
mR
 (600  300 ) = 312103 (Дж) = 312 кДж.
А=
(T2  T1) =
3
2M
2  4  10
Ответ: А = 312 кДж
8. Цилиндр с поршнем содержит газ. Сверху поршень прижат
идеальной пружиной. Цилиндр начинают нагревать (см.
рисунок). Объем газа изменяется от V1 до V2, а давление от р1 до
р2. Определите совершаемую при этом работу газа. Вычисления
провести при следующих параметрах: р1 = 1105 Па; р2 = 2105
Па; V1 = 1 л; V2 = 3 л. Ответ представьте в единицах СИ.
х
Дано:
Решение:
р1 = 1105 Па
р2 = 2105 Па
V1 = 1 л = 10-3 м3
V2 = 3 л = 210-3 м3
Так как в системе меняются все параметры: p, V и Т, то работу
газа удобнее рассчитать графически (см. предыдущую задачу).
По определению давление определяется формулой:
F
 Fупр = ps,
(1)
p
s
А=?
Но по закону Гука сила упругости определяется следующим
выражением:
Fупр = kx.
(2)
В уравнениях (1) и (2) приравниваем правые части.
k  Δx
ps = kx  p 
,
(3)
s
где x – перемещение поршня, которое можно определить через объем.
V
V = sx  Δx  .
(4)
s
Подставив в уравнение (3) выражение (4), имеем
k  x k  V
p
 2  const  V ,
s
s
то есть давление газа в цилиндре изменяется пропорционально объему:
p  V.
Тогда в pV – координатах график будет выглядеть аналогично
графику, представленному в предыдущей задаче. Тогда работу
определим через площадь трапеции.
17
p
p
А = sтр =
2
2
А=
1
p
sтр
1
V
V1
V2
ab
h,
2
p1  p2
 V2  V1  .
2


105  2 105
 3 10 3  10 3 = 300 (Дж).
А=
2
Ответ: А = 300 Дж
9. Смесь, состоящую из 5 кг льда и 15 кг воды при общей температуре
0С, нужно нагреть до температуры 80С, пропуская через нее водяной
пар, нагретый до 100С. Определите необходимое количество пара.
Удельная теплота плавления льда 3,36105 Дж/кг, удельная
теплоемкость воды 4190 Дж/(кгК), удельная теплота парообразования
2,26106 Дж/кг. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
Решение:
mл = 5 кг
mв = 15 кг
tл = 0С
tв = 80С
tп = 100С
 = 3,36105 Дж/кг
cв = 4190 Дж/(кгК)
r = 2,26106 Дж/кг
Если через смесь льда и воды пропускать горячий пар,
последний конденсируется и остывает до 80С. При этом лед
плавится, а затем вода, полученная из льда, нагревается от 0С
до 80С. То есть в данной системе происходит теплообмен.
Для решения задачи записываем уравнение теплового баланса:
n
 Qi  0 ,
i 1
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0.
mп = ?
 mл + cв(mл + mв)Т1 - rmп - cвmпТ2 = 0.
Найдем из этого уравнения количество пара, необходимое для
данного процесса.
 mл + cв(mл + mв)Т1 = mп(r- cвТ2)

mл  cв ( mл  mп )T1
.
r  cв T2
336000  5  4190  20  80 1680000  6704000
mп 

= 3,58 (кг).
2260000  4190  20
2343800
Ответ: mп = 3,58 кг
mп 
18
10. В колбе находилась вода при 0С. Выкачивая из колбы воздух, заморозили всю воду посредством собственного ее испарения. Какая часть
воды испарилась при этом, если притока тепла извне не было? Удельная
теплота плавления льда 336 кДж/кг. Удельная теплота испарения воды
при 0С равна 2,5 МДж/кг. Ответ представьте в процентах и округлите
до целого числа.
Дано:
Решение:
t1 = 0С
 = 336 кДж/кг = 3,36105 Дж/кг
r = 2,5 МДж/кг = 2,5 106 Дж/кг
Выкачивая из колбы воздух, заморозили всю
воду mв. При этом часть воды m испарилась.
При заморозке выделяется некоторое количество
теплоты Q1, равное:
Q1 = ( mв - m).
(1)
m
() = ?
m
Выделившееся тепло расходуется на испарение воды.
Q2 = r m.
(2)
Следовательно, сколько теплоты выделилось при заморозке, столько
ее было затрачено на испарение, т.е.
Q1 = Q2.
Тогда
( mв - m) = r m.
(3)
Из полученного уравнения (3) путем математических преобразований
найдем, какая часть воды испарилась.
mв - m = r m.
mв = m + rm = m( + r)

3,36  10 5
m

=
100  12 .

m   r 3,36  10 5  25  10 5
Ответ:
m
= 12 
m
19
11. С какой высоты должен падать оловянный шарик, чтобы при ударе о
Землю он полностью расплавился? Считать, что 95% энергии шарика
ушло на его нагревание и плавление. Начальная температура шарика
20С. Сопротивление воздуха не учитывать. Удельная теплоемкость
олова 200 Дж/(кгК), удельная теплота плавления 58 кДж/кг, температура плавления 232С, g = 10 м/с2. Ответ представьте в километрах и
округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
0,95Е = Qн + Qпл
tо = 20С
c = 200 Дж/(кгК)
 = 58 кДж/кг = 58103 Дж/кг
tпл = 232С
g = 10 м/с2
Находясь на высоте
потенциальной энергией
h,
шарик
Еп = mgh.
По условию задачи 95 этой энергии пошло на
нагревание и плавление шарика.
0,95 mgh = Qн + Qпл.
h =?
Количество теплоты, затраченное на нагревание шарика, можно
рассчитать по формуле:
Qн = cmt = cm(tпл – tо).
(2)
Количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы расплавить
шарик, рассчитывается по формуле:
Qпл = m.
(3)
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1).
0,95 mgh = cm(tпл – tо) + m.
0,95 gh = c(tпл – tо) + .
(4)
Из уравнения (4) выразим и рассчитаем искомую высоту.
h=
обладал
ctпл  t0   
.
0,95 g
200  232  20   58  10 3
h=
= 10568 (м)  11 (км).
0,95  10
Ответ: h = 11 км
12. Состояние одноатомного идеального газа изменяется по циклу,
представленному рисунком на рV диаграмме. Чему равен КПД
теплового двигателя, основанного на использовании этого цикла? Ответ
представьте в процентах и округлите до десятых.
20
(1)
Дано:
р
2ро
Решение:
КПД теплового двигателя рассчитываем по формуле:
A
= п .
(1)
Q1
ро 1
Т.е. для расчета КПД двигателя необходимо
определить полезную работу Aп и тепло, которое
подводится к системе Q1.
0 Vo
3Vo V
Полезную работу Aп рассчитаем, используя ее
=?
геометрический смысл, как площадь треугольника 1-2-3.
1
1
Aп = sтр = аh = (3V0 - V0)(2p0 - p0) = p0V0.
(2)
2
2
Тепло, подведенное к системе Q1, определим, используя первое
начало термодинамики. Из рисунка видно, что тепло подводится на
участках 1-2 и 2-3, так как на этих участках происходит увеличение
давления и объема.
2
3
Q1 = Q12 + Q23.
Q1 = A12 + U12 + A23 + U23 ,
где U – изменение внутренней энергии.
3
3
RТ, U = RТ.
2
2
На участке 1-2 процесс изохорный, следовательно, А12 = 0.
3
3
Q1 = 0 + RТ12 + 2p02V0 +  RТ23
2
2
3
3
Q1 = R(T2 – T1) + 4p0V0 + R(T3 – T2).
2
2
3
3
Q1 = R(T2 – T1 + T3 – T2) + 4p0V0 = R(T3 – T1) + 4p0V0 .
2
2
pV
pV = RT  T =
.
R
2 p  3V0
p V
23
3
3
Q1 = R( 0
– 0 0 ) + 4p0V0 = 5p0V0 + 4p0V0 =
p0V0.
R
R
2
2
2
(3)
U=
Полученные выражения (2) и (3) подставим в уравнение (1) и
рассчитаем КПД теплового двигателя.
21
=
2 p0V0
Aп
=
 100  = 8,7 .
23 p0V0
Q1
Ответ:  = 8,7 
13. Смешали 1 м3 воздуха влажностью 20% и 2 м3 воздуха влажностью
30 %. При этом обе порции были взяты при одинаковых температурах.
Определите относительную влажность смеси. Ответ выразите в
процентах и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
V1 = 1 м3
1 = 20%
V2 = 2 м3
2 = 30%
Т1 = Т2
Относительная влажность воздуха определяется соотношением:

=
(1)
 100 ,
н
где , н – абсолютная влажность ненасыщенного и насыщенного
водяного пара.
н
=?
=
.
100
Смешали воздух с разными объемами и разными влажностями. Масса
смеси:
m = m1 + m2,
где
m = V.
(2)
Тогда
m = 1V1 + 2V2 =
1нV1  2 нV2
  V   2V3 
+
= н  1 1
.
100
100
100


Или из уравнения (2).
н
(V1 + V2).
100
Приравняем уравнения (2) и (3).
  V   2V2  н
н  1 1
(V1 + V2).
=
100

 100
1V1 + 2V2 = (V1 + V2).
m = V= (V1 + V2) =
(3)
Отсюда относительную влажность смеси:
=
1V1   2V2
0,2  1  0,3  2
=
100 = 27.
V1  V2
1 2
Ответ:  = 27 
22
14. Высота плоской льдины над уровнем океана 2 м. Определите
толщину всей льдины. Плотность льда 900 кг/м3, плотность воды 1030
кг/м3. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
h=2м
л = 900 кг/м3
в = 1030 кг/м3
FA = mлg
FA
h
V1
V2
mg
d=?
вgV2 = лg(V1 + V2)
d
в(d – h)s = лds
в(d – h) = лd
вd – вh = лd
d(в – л) = вh
d=
в h
1030  2
=
= 15,85 (м)  16 (м).
в  л
1030  900
Ответ: d = 16 м
15. Стальной полый шар объемом 320 см3, плавает в воде так, что
половина его погружена в воду. Плотность стали 8000 кг/м3, плотность
воды 1000 кг/м3. Каков объем полости в шаре? Ответ представьте в
кубических сантиметрах.
Дано:
Vш = 320 см3
c = 8000 кг/м3
в = 1000 кг/м3
Решение:
FA
Vп
Vп = ?
mg
y
Выполним
рисунок.
Расставим
силы,
действующие на шар. Так как шар плавает,
следовательно, он находится в равновесии. Поэтому
для решения задачи записываем первое условие
равновесия:


FA  mc g  0 .
В проекции на ось у:
FA – mсg = 0
или
FA = mсg.
Сила Архимеда выражается через объем погруженной части шара
Vш
,
2
а масса шара – через объем оболочки стали и ее плотность
FA = вg
23
mс = сVс.
V
вg ш = сgVс.
2
Vс = Vш – Vп,
где Vп – объем полости шара.
вVш = 2сVш – 2сVп
2сVп = Vш(2с - в).
Выразим объем полости в шаре и, подставив численные значения,
произведем расчеты.
Vш 2c  в  320  10 6 2  8000  1000 
Vп =
= 300 (см3).

2c
2  8000
Ответ: Vп = 300 см3
16. По газопроводной трубе идет углекислый газ CO2 под давлением
3,92105 Па при температуре 280 К. Какова средняя скорость движения
газа в трубе, если через поперечное сечение трубы, равное 5 см2, за
время 10 мин протекает газ массой 20 кг? Универсальная газовая
постоянная 8,31 Дж/(мольК), молярная масса углекислого газа 44
г/моль. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
Средняя скорость определяется, как весь путь
разделить на все время.
l
ср = .
(1)
t
Путь – это то расстояние, которое проходит газ
по трубе.
V
V = sl  l = .
(2)
s
Запишем для газа уравнение Клапейрона –
Менделеева.
m
рV =
RT.
M
CO2
p = 3,92105 Па
T = 280 К
s = 5 см2 = 510-4 м2
t = 10 мин = 600 c
m = 20 кг
R = 8,31 Дж/(мольК)
M = 44 г/моль = 4410-3кг/ моль
ср = ?
Отсюда
V=
m
RT.
Mp
(3)
24
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), найдем среднюю скорость
движения газа в трубе:
m
l V
ср = =
=
RT.
st
Mpst
t
Подставим численные значения
m
20
ср =
RT =
8,31280  9 (м/с). .
Mpst
44  10 -3  3,92  10 5  5  10 - 4  600
Ответ: ср = 9 м/с
17. В закрытом сосуде находится воздух и капля воды массой 1 г. Объем
сосуда 75 л, давление в нем 12 кПа и температура 290 К. Каким будет
давление в сосуде, когда капля испарится? Молярная масса воды 18
г/моль, универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ
представьте в килопаскалях и округлите до десятых.
Дано:
Решение:
m = 1 г = 10-3 кг
V = 75 л = 7510-3 м3
p1 = 12 кПа = 12103 Па
Т = 290 К
M = 18 г/моль = 1810-3 кг/моль
R = 8,31 Дж/(мольК)
Для паров действительны газовые законы.
Следовательно, после испарения капли воды
давление в закрытом сосуде будет определяться по
закону Дальтона:
р = р1 + р2,
(1)
р1 – давление воздуха в сосуде,
р2 – давление паров воды, которое можно найти
p2 = ?
из уравнения Клапейрона – Менделеева.
m
р2V =
RT.
M
Отсюда
m
р2 =
RT.
MV
Подставляем уравнение для давления р2 (2) в закон Дальтона (1).
(2)
m
RT.
MV
Подставим численные значения и рассчитаем давление в сосуде, когда
капля испарится.
10 -3
р = 12103 +
8,31290 = 13,8103 (Па) = 13,8 (кПа).
-3
-3
18  10  75  10
Ответ: р2 = 13,8 кПа
р = р1 +
25
18. В вертикальном открытом сверху цилиндрическом сосуде, имеющем
площадь поперечного сечения 103 м2, на высоте 0,1 м от дна
находится поршень массы 1 кг, поддерживаемый сжатым газом с
молярной массой 32103 кг/моль. Температура газа 300 К,
атмосферное давление 105 Па. Определите массу газа в сосуде под
поршнем. Принять g = 10 м/с2, универсальная газовая постоянная
8,31 Дж/(мольК). Трением пренебречь. Ответ представьте в
миллиграммах и округлите до целого числа.
Дано:
Решение:
Массу газа можно найти, используя уравнение Клапейрона
s = 103 м2
– Менделеева.
h = 0.1 м
m = 1 кг
m
pVM
.
(1)
pV 
RT , m 
3
M = 3210 кг/моль
M
RT
T = 300 К
Объем, занимаемый газом, легко определяется из
5
pатм = 10 Па
соотношения:
2
g = 10 м/с
V = sh.
R = 8,31 Дж/(мольК)
Давление
газа
под
поршнем
уравновешивается
атмосферным давлением и давлением, создаваемым силой
M=?
тяжести поршня.
mg
.
(2)
p  pатм 
s
Подставляя выражения для давления (2) в уравнение (1), получим
mg 

 pатм 
 shM
s 

m
.
RT
Подставляя численные значения, рассчитаем массу газа в сосуде под
поршнем.
 5 1  10  3
1
3
10  3   10  10  32  10
10 
m
 0,141  10 3 (кг) = 141 г.
8,31  300
Ответ: m = 141 мг
26
19. Спутник влетел в тень Земли. При этом температура внутри спутника, равная вначале 290 К, понизилась на 1%, из-за чего давление
воздуха, молярная масса которого равна 29 г/моль, уменьшилось на 1
кПа. Определите массу воздуха в спутнике, если его объем 8,31 м3.
Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ представьте
в единицах СИ.
Дано:
Решение:
T1 = 290 К
T = 0,01T1
р = 103 Па
V = 8,31 м3
М = 29 г/моль = 2910-3 г/моль
R = 8,31 Дж/(мольК)
Массу воздуха в спутнике можно определить из
уравнения Клапейрона – Менделеева:
p VM
m
.
p1V 
RT1 , отсюда m  1
RT1
M
р1 - ?
Из условия задачи понятно, что
m=?
m = const; V = const,
следовательно, по закону Шарля:
p1 p2
,

T1 T2
где давление р2 = р1 – р и температура Т2 = Т1 – Т = 0,99Т1.
Поэтому
p1 p1  p
p 10 3
p1 

 10 5 (Па).
или

0,01 0,01
T1
0,99T1
p1VM 10 5  8,31  29  10 3
m

 10 (кг).
RT1
8,31  290
Ответ: m = 10 кг
20. Автомобиль расходует 5,67 кг бензина на 50 км пути. Определите
среднюю мощность, развиваемую при этом двигателем автомобиля,
если средняя скорость движения 80 кмч и КПД двигателя 22%.
Удельная теплота сгорания бензина
4,5107 Дж/кг. Ответ
представьте в киловаттах и округлите до целого числа.
Дано:
m = 5,67 кг
s = 50103 м
ср = 80 кмч = 22,2 м/с
 = 22%
q = 4,5107 Дж/кг
Решение:
КПД двигателя определяется по формуле:
A
   100% .
Q
Тогда совершаемая работа
27
Q
.
100%
развиваемую двигателем
Р=?
A
Работа также связана с мощностью,
автомобиля.
A = Pt.
Время выражается через пройденный путь.
s
.
t
cp
Тогда работа
Ps
.
A
cp
Приравняем выражения для работы (1) и (2):
(2)
Ps
Q
.

cp 100%
Количество теплоты Q можно определить через удельную теплоту
сгорания бензина
Q = qm.
Тогда средняя мощность, развиваемая двигателем автомобиля найдем
по формуле:
qm cp
P
.
s  100 %
Подставим численные значения:
0,22  4,5  10 7  5,67  22 ,2
P
 24 ,948  10 3 (Вт)  25 (кВт)
4
5  10  100%
Ответ: P = 25 кВт.
21. В сообщающейся трубке с водой площадью сечения S = 1см2
долили: в левую – масла объемом V1 = 30 мл, а в правую – керосин,
объемом V2 = 25 мл. Определить разность установившихся уровней
воды в трубках, если плотность масла ρ1 = 0,9 г/см3, плотность керосина
ρ2 = 0,8 г/см3, плотность воды ρ3 = 1 г/см3.
Дано:
СИ
2
S = 1см
10–4 м
V1 = 30 мл
30∙10–6 м3
V2 = 25 мл
25∙10–6 м3
ρ1 = 0,9 г/см3 900 кг/м3
ρ2 = 0,8 г/см3 800 кг/м3
28
(1)
ρ3 = 1 г/см3
х–?
1000 кг/м3
Решение. Рассмотрим давление на
уровне А (уровне воды в левом сосуде):
Р Л  ρ1 gh1  ρ1 g V1 S  .
Давление в правом сосуде:
PП  ρ 2 gh2  ρ 3 gx  ρ 2 g V2 S   ρ 3 gx .
В сообщающихся сосудах давление в точках на одной горизонтали
одинаково. Следовательно:
ρ1 g V1 S   ρ 2 g V2 S   ρ 3 gх .
откуда разность установившихся уровней воды:
 кг м 3  м 3 
ρ1V1  ρ 2V2
х
 м,
, x    2
3 
Sρ 3
м

кг
м


6
6
900  30  10  800  25  10
х
 7  10  2 м .
4
3
10  10
Ответ: х  7  10 2 м .
22. Два друга решили во время ледохода покататься на льдинах.
Удержит ли их обоих льдина площадью S = 1,5 м2 и толщиной h = 50
см? масса одного мальчика т1 = 28 кг, масса другого – т2 = 32 кг.
Плотность льда ρ = 0,9 г/см3, а плотность воды ρ0 = 1 г/см3.
Решение.
Максимальная
Дано:
СИ
2
выталкивающая сила (сила Архимеда)
S = 1,5 м
действует на льдину, когда она погрузилась
h = 50 см
0,5 м
полностью. Для наименьшей площади
т1 = 28 кг
льдины условие плавания определяется из
т2 = 32 кг
3
2
3
равенства этой силы и силы тяжести,
ρ = 0,9 г/см
9∙10 кг/м
3
3
действующей на систему:
ρ0 = 1 г/см
1000 кг/м
Sminhρ0g = Sminhρg(m1 + m2)g/
Smin – ?
Из этого уравнения находим:
m  m2
кг
S min  1
, S  
,
hρ 0  ρ 
м  кг м 3






29
28  32
 1,2 м 2 .
0,51000  900 
S > Smin, т.е. льдина, которую выбрали друзья, их, к счастью,
удержит.
Ответ: S  1,2 м 2 .
23. Определите площадь сечения S2 открытого цилиндра, стоящего на
ножках длиной h1 = 1 м, если через отверстие у его основания
диаметром d1 = 2,5 см начинает вытекать вода и падает на землю на
расстоянии l = 4,5 м от цилиндра. Высота столба воды в цилиндре Н = 5
м.
Решение. Пренебрегая силами трения,
Дано:
СИ
определим скорость υ1 вытекания воды из
h1 = 1 м
бака.
Для
этого
воспользуемся
l = 4,5 м
–2
кинетическим
уравнением
для
d1 = 2,5 см
2,5∙10 м
горизонтально брошенного тела. Время
Н=5м
падения:
Smin – ?
g
2h
l
t1 
и υ1   l
.
g
t1
2h1
Запишем уравнение неразрывности для сечений S1 и S2:
S1υ1 = S2υ2,
где S1 – площадь отверстия; υ2 – скорость опускания уровня воды в
цилиндре.
Уравнение Бернулли для сечений S1 и S2 имеет вид:
ρυ12
ρυ 22
 ρgh1  P1 
 ρgh2  P2 ,
2
2
где, поскольку бак открыт, давление Р1 и Р2 равны атмосферному
давлению; h2 = h1 + H.
Исходя из этого, получим:
м  м 2 
υ1 S1
πd12 l
2
, S 2   
S2 

м ,
2
2
2
υ1  2 gH 4 l  4h1 H
 м 
S
S2 
3,14  2,5 2  10 4  4,5
4 4,5 2  4  1  5
 44,2  10 4 м2.
Ответ: S 2  44,2  10 4 м2.
24. В сосуде теплоемкостью 0,6 кДж/К находится 0,5 л воды и 300 г
льда при 0° С. Определите, какая установится температура, если в воду
пустить водяной пар массой 100 г при температуре 100° С. Удельная
теплота парообразования 2,26 МДж/кг, удельная теплота плавления
30
льда 3,35∙105 Дж/кг, плотность воды 1 г/см3, удельная теплоемкость
воды 4,19∙103 Дж/(кг∙К).
Решение. Из-за того, что
Дано:
СИ
3
результат процесса теплообмена
С1 = 0,6 кДж/К
0,6∙10 Дж/К
–3 3
неизвестен, предположим, что
V2 = 0,5 л
0,5∙10 м
температура всех тел после
m3 = 300 г
0,3 кг
окончания теплообмена будет Θ,
m4 = 100 г
0,1 кг
причем она больше температуры
tпл = 0° С
Тпл = 273 К
плавления льда, но меньше
tк = 100° С
Тк = 373 К
6
r4 = 2,26 МДж/кг
2,26∙10 Дж/кг температуры кипения воды.
5
Сосуд и вода нагрелись,
λ3 = 3,35∙10 Дж/кг
3
3
получив
соответственное
ρ2 = 1 г/см
1000 кг/м
количество теплоты:
с2 = 4,19 Дж/(кг∙К)
Q1  C1 Θ  Tпл  ,
Θ–?
Q2  c 2 m 2 Θ  Tпл   c 2 ρ 2V2 Θ  Tпл  .
Лед расплавился, а получившаяся вода нагрелась, получив
количество теплоты:
Q3  λ 3 m3  c 2 m3 Θ  Tпл  .
При конденсации пара образовавшаяся вода охладилась, отдав
количество теплоты:
Q4  r4 m 4  c 2 m 4 Θ  Tк  .
Уравнение теплового баланса
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0.
Исходя из этого, получим
C1 Θ  Tпл   c 2 ρ 2V2 Θ  Tпл   λ 3 m3  c 2 m3 Θ  Tпл  
 r4 m 4  c 2 m 4 Θ  Tк   0.
Выразим из этого уравнения установившуюся температуру:
r m  C1Tпл  λ 3 т3  с 2 m 4Tк  ρ 2V2  т3 Tпл 
Θ 4 4
,
C1  c 2 ρ 2V2  т3  т 4 
2,26  10 6  0,1  0,6  10 3  273  3,35  10 5  0,3

3
3
3
3
0,6  10  4,19  10 10  0,5  10  0,3  01
4,19  10 3 0,1  373  10 3  0,5  10 3  0,3 273
 357 К.
0,6  10 3  4,19  10 3 10 3  0,5  10 3  0,3  01
Так как 273 К < 357 К < 373 К, то предположения о теплообмене
верны.
Ответ: Θ = 357 К.
3
25.
Азот (молярная масса М = 28∙10 кг/моль) находится при
температуре Т1 = 280 К. В результате изохорного охлаждения его
Θ




 


31
давление уменьшилось в 2 раза, а затем в результате изобарного
расширения температура газа в конечном состоянии стала равной
первоначальной. Определите: работу, совершенную газом; изменение
внутренней энергии газа.
Решение. Работа, совершенная
Дано:
СИ
-2
т = 50 г
5∙10 кг газом в результате рассматриваемых
3
процессов:
М = 28∙10 кг/моль
А = А12 + А23,
Т1 = 280 К
где А12 = 0 – работа изохорного
V1 = V2
охлаждения; А23 = Р2(V1 – V2) – работа
P1/P2 = n = 2
изобарного расширения. От сюда
P2 = P3
следует:
Т3 = Т1
А = Р2(V1 – V2).
A – ? ΔU – ?
Согласно закону Шарля (V1 = V2 =
= const) Р1/Т1 = Р2/Т2, откуда
P
1
T2  2 T1  T1 .
P1
n
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для состояний 2 и 3:
m
m
m
P2V2 
RT2 и P2V3 
RT3 
RT1 ,
M
M
M
получим
m
P2 V3  V2  
RT1  T2  .
M
Исходя из этого, получим искомую работу, совершенную газом:
m
m
 1  n  1mRT1
A
RT1  T2  
RT1 1   
,
M
M
nM
 n

2  1  5  10 2  8,31  280
A
 2,08  10 3 Дж .
3
2  28  10
Ответ: A  2,08  10 3 Дж .
26. В идеальной тепловой машине Карно, работающей по обратному
циклу (холодильной машине), в качестве холодильника используется
вода при 0°С, а в качестве нагревателя – вода при 100°С. Определите,
сколько воды можно заморозить в холодильнике, если превратить в пар
200 г воды в нагревателе. Удельная теплота плавления льда 3,35∙105
Дж/кг, удельная теплота парообразования воды 2,26∙105 Дж/кг, удельная
теплота парообразования воды 2,26 МДж/кг.
32
Дано:
t1 = 100°C
t2 = 0°C
m1 = 200 г
λ = 3,35∙105 Дж/кг
r = 2,26 МДж/кг
т2 – ?
СИ
Т1 = 373 К
Т2 = 273 К
0,2 кг
2,26∙106 Дж/кг
Решение. Для испарения
воды массой т1 необходимо
затратить количество теплоты:
Q1 = rm1,
где r – удельная теплота
парообразования воды
При замерзании воды массой
т2 выделяется количество
теплоты:
Q2 = –λm2,
где λ – удельная теплота плавления льда.
Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины:
Q1  Q2 T1  T2
η

,
Q1
T1
где Q1 – количество теплоты, полученной от нагревателя; Q2 –
количество теплоты, отданное холодильнику; Т1 – температура
нагревателя; Т2 – температура холодильника. От сюда находим:
T
Q2  Q1 2 .
T1
Исходя из этого, получим:
T mr
λm 2  2 1 ,
T1
выразим из этого выражения массу:
T mr
m2  2 1 ,
T1 λ
273  0,2  2,26  10 6
m2 
 0,987 кг.
373  3,35  10 5
Ответ: m2  0,987 кг.
27. Азот массой т = 10 г, находящийся при нормальных условиях,
сжимается до объема V2 = 1,4 л. Найдем давление Р2, температуру Т2 и
работу сжатия А, если азот сжимается: а) изотермически; б)
адиабатически.
Дано:
СИ
т = 10 г
0,01 кг
–3
μ = 28·10 кг/моль
Р1 = 105 Па
Т1 = 273 К
V2 = 1,4 л
1,4·10–3 м3
33
Решение.
а)
При
изотермическом сжатии газа Т =
const, поэтому Т1 = Т2 = 273 К. Из уравнения Менделеева – Клайперона:
m
Р2V2  RT2 ,
μ
отсюда найдем давление газа:
mRT2
 кг  Дж  К  моль   Н 
P2 
, P2   

 Па ,
μV2
 моль  К  кг  м 3   м 2 
0,01  8,31  273
Р2 
 5,78  10 5 Па .
3
3
28  10  1,4  10
Работа при изометрическом сжатии:
m V
A  RT1 ln 2 .
μ V1
По закону Бойля – Мариотта Запишем: P1V1 = P2V2, от куда
получим отношение (P1/P2 = V2/V1). Тогда получим:
m Р
 кг  моль  Дж  К 
A  RT1 ln 1 ,  А  
 Дж ,
μ Р2
 кг  моль  К 
0,01
5,78  10 5
А  8,31  273 
ln
 1,42 Дж .
28  10 3
10 5
б) Поскольку азот двухатомный газ, то показатель адиабаты γ = 1,4.
Из уравнения Пуассона для адиабатического сжатия запишем:
Р2 – ? Т2 – ? А – ?
Р 2  V1

Р1  V 2
Получим отношение:



γ
Т 1  V2

или
Т 2  V1
Р1Т 2  V2 
 
Р2Т 1  V1 



γ 1
.
 γ  γ 1
,
V 2 P2 T1
. Согласно уравнению Менделеева – Клайперона:
P1T2
m RT1
m
Р1V1  RT1 , тогда V1 
.
μ P1
μ
Исходя из этого, получим:
от куда V1 
γ
P1  V2 μP1 
 ,

P2  mRT1 
отсюда найдем давление Р2:
34
γ
P2  P1

 V2 μP1 
м 3  кг  Па  моль  К 

 , P2   Па
  К,
mRT
моль

кг

Дж

К

1 


1, 4
3
 28  10 3  10 5 
5  1,4  10
  11,6  10 5 Па .
Р2  10 

0,01  8,31  273


По схожему принципу получим отношение для температуры:
Т 1  V2 μP1 


Т 2  mRT1 
отсюда найдем температуру Т2:
Т 2  Т1
 V 2 μP1 


mRT

1 
γ 1
γ 1
,
 м 3  кг  Па  моль  К 
, Т 2   К
  К,
моль

кг

Дж

К


1, 4 1
 1,4  10 3  28  10 3  10 5 

Т 2  273 
 545 К .

0
,
01

8
,
31

273


Найдем работу адиабатического сжатия:
тТ1 R  T2 
кг  моль  Дж  К 
1   ,  А  
А
 Дж ,
μ γ  1  T1 
 кг  моль  К 
0,01  273 8,31  545 
А

1 
  2,02 кДж .
28  10 3 1,4  1  273 
Ответ: а) Р2  5,78  10 5 Па; Т2 = 273 К; А  1,42 Дж.
б) Р2  11,6  10 5 Па; Т 2  545 К; А  2,02 кДж .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Давление газа при 293 К равно 107 КПа. Каково будет давление
газа, если его охладить при постоянном объеме до 250 К?
Ответ: 0,91105 Па.
2. Баллон электрической лампы при изготовлении заполняют
азотом под давлением 50,65 КПа при температуре 288 К. Какова
температура газа в горящей лампе, если давление в ней
повысилось до 1,11105 Па. Объясните практическое значение
пониженного давления при изготовлении ламп.
Ответ: Т = 633 К.
3. Давление в баллоне с газом равно 284 КПа. При повышении
температуры на 85 К давление стало равным 101 КПа. Найти
значения температуры в обоих случаях.
Ответ: Т1 = 323 К; Т2 = 238 К.
35
4. Манометр на баллоне с кислородом показывает давление 0,23
МПа в помещении с температурой 24 С. Когда баллон вывесили
на улицу (t = 12 С), манометр показал 0,19 МПа. Не было ли
утечки газа?
Ответ: нет.
5. Находившийся в закрытом баллоне нагрели от 300 до 360 К, при
этом давление возросло на 81 КПа. Определить первоначальное
давление.
Ответ: 4,1 МПа.
6. Давление в рентгеновской трубке при 15 С равно 1,2 МПа.
Каково будет давление в работающей трубке при 80 С и 150 С?
Ответ: 1,47103 Па; 1,76103 Па.
7. В баллоне содержится газ при температуре t1 = 100 С. До какой
температуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление
увеличилось в два раза?
Ответ: 473 С.
8. В цилиндр длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при
нормальном атмосферном давлении Р, начали медленно вдвигать
поршень площадью S =
= 200 см2. Определить силу F,
которая будет действовать на поршень, если его остановить на
расстоянии h = 10 см от дна цилиндра.
Ответ: 32,3 кН.
3
9. Полый шар объемом V = 10 см , заполненный воздухом при
температуре Т1 = 573 К, соединили с чашкой, заполненной водой.
Определить массу m воды, вошедшей в шар при остывании
воздуха в нем до температуры Т2 = 293 К. Изменением объема
шара пренебречь.
Ответ: m = 66,4 г.
10. В сосуде А объемом V1 = 2 л находится газ под давлением Р1 =
3105 Па, а в сосуде В объемом V2 = 4 л находится тот же газ под
давлением Р2 = 1105 Па. Температура обоих сосудов одинакова и
постоянна. Под каким давлением Р будет находиться газ после
соединения сосудов А и В трубкой.
Ответ: 1,7105 Па.
11. Плотность некоторого газа при температуре t = 14 С и давлении
Р = 4105 Па равна 0,68 кг/м3. Определить молярную массу 
этого газа.
Ответ: 4 кг/моль.
12. Восемь граммов кислорода занимают объем V = 560 л.
Определить давление этого газа в том же объеме при температуре
36
Т1 = 820 К и Т2 = 10 кэВ, когда атомы кислорода полностью
ионизованы.
Ответ: Р1 = 0,03 атм; Р2 = 7,6104 атм.
13. Вычислить, исходя из классических представлений, средние
энергии поступательного и вращательного движения двухатомной
молекулы при Т =
= 4500 К.
Ответ: 9,321020 Дж; 6,211021 Дж.
14. Вычислить, исходя из классических представлений, угловую
скорость вращения молекулы кислорода при температуре t = 27
С.
Ответ: 3,61011 1/с.
15. Вычислить, исходя из классических представлений, угловую
скорость вращения молекулы азота при температуре t = 27 С.
Ответ: 3,61011 1/с.
16. Найти энергию теплового движения молекул NH3, находящихся в
баллоне объемом 10 л при давлении 2,45 КПа. Какую часть этой
энергии составляет энергия поступательного движения?
Ответ: 74 Дж; 37 Дж.
17. Найти энергию теплового движения молекул метана СН4,
находящихся в баллоне объемом 5 л при давлении 4,9 КПа. Какую
часть этой энергии составляет энергия вращательного движения?
Колебательное движение «заморожено».
Ответ: 7,4 Дж; 3/7.
18. Найти энергию теплового движения молекул воздуха,
находящегося в баллоне объемом 10 л при давлении 2,45 КПа.
Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного
движения.
Ответ: 61,7 Дж; 37 Дж.
19. Азот нагрет до температуры Т, при которой у молекул
возбуждены все степени свободы. Вычислить молярную
теплоемкость СV и  = Ср/СV.
Ответ: СV = 3,5R;  = 1,3.
20. Углекислый газ нагрет до температуры Т, при которой у молекул
возбуждены все степени свободы. Найти СV и Ср газа при этих
условиях.
Ответ: СV = 6,5R; Ср = 7,5R.
21. Аммиак нагрет до температуры Т, при которой у молекул
возбуждены все степени свободы. Найти СV и Ср газа при этих
условиях. Сделайте анализ. Как зависят СV и Ср от Т?
Ответ: СV = 9R; Ср = 10R.
37
22. Вычислить среднюю энергию поступательного, вращательного и
колебательного движения двухатомной молекулы газа при
температуре
Т = 3000 К.
Ответ: 6,21020 Дж; 4,11020 Дж; 4,11020 Дж.
23. Найти изменение давления в сосуде объемом V = 30 л, из
которого выпустили 50 г. Плотность газа  = 1,8 г/м3, температура
0 С, давление атмосферное.
Ответ: 0,93 атм.
24. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V .
За один ход поршня насос захватывает объем V. Сколько следует
сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в  раз.
Процесс изотермический.
ln 
Ответ: n 
.
V 

ln 1 

V 

25. В баллоне вместимостью V = 30 л находится кислород при
давлении
7,3 МПа и температуре 264 К. Затем часть газа из
баллона выпустили, причем температура газа повысилась до 290
К, а давление упало до 2,94 МПа. Найти количество кислорода,
выпущенного из баллона.
Ответ: 2 кг.
26. В стеклянной, запаянной с одного конца трубке находится
водород, «закрытый»
столбиком ртути длиной 10,0 см.
Первоначально трубка была повернута открытым концом вверх,
и газ в ней имел температуру 16 С. Какова была длина столбика
водорода, если после перевертывания трубки открытым концом
вниз и нагревании газа до 39 С ртутный столбик переместился на
7,0 см? Атмосферное давление равно 105 Па.
Ответ: 17 см.
3
27. В объем (V = 0,3 м ), содержащий 16 г водорода, проник воздух.
Найти массу этого воздуха, если при 6 С в объеме установилось
давление 93 кПа.
Ответ: 0,116 кг.
Круговые процессы. Тепловые машины
28. Определить температуру горючей смеси в цилиндре двигателя
внутреннего сгорания в конце такта сжатия, если давление до
сжатия 76 кПа, в конце сжатия 851 кПа, начальная температура до
сжатия 315 К, степень сжатия, т.е. отношение объемов,
занимаемых газом в цилиндре двигателя при крайних положениях
поршня, равна 6,3.
38
Ответ: 560 К.
29. В баллоне находился идеальный газ при давлении 40 МПа и
температуре 300 К. После того как 3/5 газа выпустили,
температура понизилась до 240 К. Определить давление в
баллоне.
Ответ: 13 МПа.
30. Найти максимальную температуру идеального газа в следующем
процессе Р = Р0  /V2. Указания: значение Р поставить в
уравнение Менделеева – Клапейрона, выразить Т и
продифференцировать полученное выражение по V. Найденное
таким образом значение объема подставить в формулу для Т.
2 P0 P0
Ответ: T 
.
3 R 3
31. Найти максимальную температуру идеального газа в следующем
процессе: P = P0eV, где Р0,   постоянные.
Р
Ответ: Т  0 .
eR
32. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в
процессе, происходящем по закону Т = Т0 + V2, где Т0,  
положительные постоянные; V – объем газа. Изобразить данный
процесс в параметрах P, V – использовать указания к задаче 30.
Ответ: Pmin  2 R T0 .
33. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в
процессе, происходящем по закону Т = Т0 + V2, Т0 = 330 К;  = 30
К/м6. Изобразить данный процесс в координатах Р, V.
Ответ: Рmin = 1,6106 Па.
39
Учебное издание
КУЗНЕЦОВ Сергей Иванович
МЕЛЬНИКОВА Тамара Николаевна
СТЕПАНОВА Екатерина Николаевна
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
с решениями.
Аэростатика. Гидростатика.
Молекулярная физика и термодинамика
Учебное пособие
Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор
И.П. Чернов
Редактор О.Н. Свинцова
Компьютерный набор: Я.А. Панов
Дизайн обложки: О.Ю. Аршинова
Подписано к печати 30.04.2010. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 6,98. Уч.-изд.л. 6,42.
Заказ
. Тираж 150 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
40