Итак, мы видим, что реализм ориентируется на понятия

Проблема интеллектуальной интуиции
в математике
Итак, мы видим, что реализм ориентируется на
понятия, отчетливо данные в сознании, истолковывая их как отражение некоторых неэмпирических
сущностей. Но что значит быть отчетливо данным
в сознании? Если простые законы логики, правила арифметики и простые геометрические построения интуитивно ясны обычному человеческому
сознанию, то где источники этой ясности, в каком
отношении находятся они к опыту? Не есть ли эта
ясность лишь проявление того же опыта, но в бо-
148
лее скрытой форме? По отношению к правилам
логики мы видели, что это не так. Интуитивная
очевидность логических норм имеет праксеологическую, но не эмпирическую основу. Вопрос заключается, следовательно, в том, может ли этот
вид очевидности быть присущ также и математическим утверждениям, по крайней мере некоторым..
В целом мы должны ответить на него утвердительно. Когда мы говорим об интуитивной ясности понятия или об интуиции как способе постижения некоторой истины, то мы можем иметь в
виду интуицию трех видов.
Прежде всего, это эмпирическая интуиция, появляющаяся на основе длительного общения с определенного рода объектами. Пусть мы оцениваем эти объекты по некоторым признакам А, В, С,...,
которые выявляются не непосредственно, но на
основе некоторого анализа. Хорошо знакомый эффект длительного опыта состоит в том, что мы начинаем судить об этих искомых признаках в конкретных случаях задолго до детального анализа,
так сказать, с первого взгляда, на основе некоторых, как правило, четко не сформулированных
признаков. Механизм такого интуитивного предвосхищения достаточно прост: с признаками А, В,
С мы постепенно, в значительной степени подсознательно, связываем некоторые другие признаки
а, b, с..., которые фиксируются непосредственно и
служат с той или другой степенью вероятности основой для предварительного заключения о наличии искомых признаков А, В, С. Так, мы можем
с какой-то степенью вероятности судить о характере человека по его внешнему виду и т. д. Интуиция такого рода играет важную роль и в математике. Профессиональный математик чувствует
задачу в плане возможностей ее решения, наиболее вероятных методов и т. д. И дело здесь прежде всего в опыте. В основе такого рода предчувствий наряду с ясными критериями лежит вся система представлений, сложившаяся в процессе решения аналогичных задач.
В математике и физике интуиция выступает
149
часто и в другой форме, а именно, как акт конструирования объекта в свете некоторых к нему
требований. Мы совершаем здесь действие обратное дедукции. Простейший случай — это угадывание закона для данного ряда чисел или какой-то
другой последовательности математических объектов. Здесь также очевидную роль играет опыт,
различного рода аналогии, но с логической точки
зрения это принципиально иной случай. Интуиция
обеспечивает не предвосхищение признаков нового
объекта в ряду аналогичных, но конструирование
объекта принципиально другой природы. Конструирующая интуиция играет важную роль при
введении идеальных понятий в математике, в построении аксиоматик и т. д.
Третья форма интуиции, которую можно назвать интеллектуальной или категориальной, радикально отличается от указанных двух форм.
Эмпирическая и конструирующая интуиция имеют
динамический характер в том смысле, что они
обеспечивают появление ясного видения на месте
первоначально смутных представлений. Интуиция
здесь появляется на основе некоторого труда, опыта и т. д., она отнюдь не обеспечена сама по себе
с самого начала. Интуиция в указанных двух формах также очевидно необщезначима: интуитивно
ясное для одного отнюдь не обязательно является таковым для другого. Интеллектуальная интуиция, в отличие от указанных форм, есть нечто статичное, достаточно общезначимое, заданное с самого начала как постоянный факт сознания, как
некоторая предпосылка всякой другой формы очевидности.
Такая форма очевидности или интуитивной ясности, как мы уже говорили, может быть отнесена к логике. Она также лежит в основе общих категориальных представлений о мире, выражая фактически самый существенный их момент. Независимо от сферы практической деятельности, воспитания и т. д., люди имеют ясные и общезначимые
представления о причине, пространстве, времени,
необходимости, случайности и т. д., вследствие чего собственно и становится возможной языковая
150
коммуникация, однозначное истолкование конкретных высказываний и сама совместная деятельность. Очевидность, безусловная данность для сознания основных законов логики и общих категориальных представлений имеет не эмпирическое и
не психологическое, но праксеологическое основание.
Многие математики и философы прошлого верили в то, что очевидность математических истин
проистекает также из интеллектуальной интуиции,
из некоторого безусловного видения мира, связанного с природой познания. Лейбницу вся математика представлялась сферой интеллектуальной
очевидности: любая математическая теорема в такой мере заложена в душе человека, что она может быть проявлена непосредственно и усмотрена
в своей истинности. Здесь можно также назвать
Декарта, Спинозу, Паскаля, Канта. В XX в. учение о непосредственной данности представлений
математики и логики было возрождено Гуссерлем,
а также рядом более непосредственных преемников Канта.
С признанием неевклидовых геометрий и с общим усложнением и логизацией математики это
воззрение в целом было отвергнуто. Вместе с тем
вопрос о том, не является ли какая-то часть математических представлений интеллектуально интуитивной, т. е. интуитивной в той же мере, что и
сами законы логики, остается открытым. Идея об
особой интуитивной данности евклидовой геометрии совсем недавно защищалась английским философом Д. Лукасом. Согласно Лукасу, евклидовая
структура реальной геометрии отнюдь не случайна, она продиктована также не особой психической
организацией людей, которая может измениться,
ко самой общей структурой познавательного и деятельностного отношения человека к миру. Так, от
ходя от дома, человек видит его в уменьшенном
размере, но тем не менее считает этот дом тем же
самым. Практическая деятельность по Лукасу ж
избежно связана с принятием идеи подобия, а также с отождествлением движущихся и вращающихся предметов, а это однозначно определяет евкли151
дову структуру нашего восприятия мира [114, с. 4—
10].
Но это значит, что хотя евклидова и неевклидова геометрии равноправны как математические
структуры, они не равноправны в отношении к наглядности. Обычная геометрия в исходных понятиях интуитивно ясна, причем эта интуиция отражает не какую-либо эмпирическую ситуацию, но
прежде всего саму структуру деятельности и, следовательно, является общезначимой, так как закрепляется каждым актом деятельности. Другими словами, ее ясность праксеологического характера,
она отражает в своих исходных отношениях общую структуру деятельности и имеет, таким образом, тот же или почти тот же источник интуитивной ясности, что и система законов логики. То же
самое, очевидно, можно допустить и для исходных
представлений арифметики.
Если принять такой ход мысли, то это существенно изменит наш подход к обоснованию геометрии и арифметики. В частности, мы должны
будем признать рациональный момент интуиционистской программы обоснования
математики
именно в идее праинтуиции, в отказе от логического обоснования исходных арифметических представлений. Если допустить, что эти представления
имеют тот же источник и ту же достоверность, что
и законы логики, тогда логическое обоснование их
представляет собой круг, по крайней мере оно не
может радикально повысить нашу уверенность
в надежности арифметики.
Логика имеет свои пределы. Нельзя логически
обосновать, что сегодня на улице дождь. Это факт,
данный в ощущениях, и этот факт просто есть. Он
общезначим, ибо никто не откажется его признать.
Такого рода внелогическая общезначимость является необходимым условием всякого познания и
всякой согласованной деятельности. Если исходные представления арифметики и геометрии имеют
праксеологический статус, то они также попадают
в сферу внелогической общезначимости, хотя и
другого рода, и вопрос об обосновании этих элементарных разделов математики получает совер152
шенно особый смысл. Конечно, заведомо неверно
утверждать, как это делает Кант, что вся арифметика или вся геометрия интуитивны. Речь идет
здесь в лучшем случае о выявлении в этих науках некоторого компонента, сравнимого по своему
статусу со статусом логики.
Признание особого рода интуитивно ясных элементов в структуре знания, закрепленных в человеческом сознании самой структурой деятельности,
позволяет, на наш взгляд, удовлетворительно интерпретировать и объяснить истоки реалистического мышления в математике. Первый смысл тезиса о существовании абстрактных сущностей, таких, как число, класс и др., независимо от символов, которыми мы их обозначаем, негативный. Для
Больцано, Фреге и Рассела это было отрицанием
психологизма и эмпиризма в истолковании математических понятий, ставивших математические
понятия на один уровень с эмпирическими, и отрицанием конвенционализма, в соответствии с которым все фундаментальные математические представления в принципе могут быть заменены другими. Идея жесткого логического универсума в несколько мистифицированной форме выражает ту
мысль, что законы логики и математики не зависят от индивидуальной психологии, но представляют собой вполне объективный феномен.
Позитивная основа математического реализма,
которая не была в достаточной мере выявлена
самими реалистами, состоит в том, что фундаментальные математические понятия занимают особое место в человеческих представлениях. Они
органически связаны с категориальными представлениями о мире и в этом смысле являются понятиями, данными до всяких математических структур в качестве определенного рода устойчивых интуиций. Представления о множестве, числе и величине входят в сознание человека вместе с усвоением категориального мышления и логики. Платон в определенной степени прав, утверждая, что
все люди носят в себе математические истины.
Наконец, реализм можно оправдать и в непосредственно онтологическом плане, в том допуще7 Зак. 59
153
нии, что фундаментальные математические понятия отражают определенные реальности, хотя эти
реальности и не обнаруживают себя в непосредственном чувственном восприятии. Мы убеждены,
к примеру, что мир бесконечен в пространстве, что
каждое явление имеет причину и что время необратимо. Ни одно из этих положений не доказуемо
и не опровержимо эмпирически, но тем не менее
мы не сомневаемся в том, что они характеризуют
некоторые реальные отношения действительного
мира. Математические понятия, в той мере, в которой они связаны с логикой и категориями, обладают тем же объективным статусом, что и сами
категории. Множество, число, величина — реальности в том же смысле, в каком таковыми являются причинность, время и т. д.
Мы можем также сказать, что математический
объект существует независимо от нас, если он причастен к интеллектуальной интуиции. Такое, на
первый взгляд, чисто гносеологическое истолкование математического реализма будет адекватным,
если мы уясним природу интеллектуальной интуиции, ее связь с категориальными представлениями
о мире. Данное в интеллектуальной интуиции интерсубъективно, оно принадлежит в принципе всем
субъектам, а это значит, что оно уже не имеет корней в субъективном, а отражает некоторую
необходимую сторону реальности. Отсюда понятно, в частности,
что
атрибут реального
существования может быть приписан только
немногим
фундаментальным
понятиям
математики:
сама эта идея
появилась
исторически как один из вариантов объяснения особой данности (аподиктичности), интеллектуальной
ясности исходных понятий арифметики и геометрии. Чисто логические конструкции, как мнимые и
иррациональные числа и понятия, ясность которых
обусловлена исключительно их связью с опытом,
не могли способствовать возникновению этой идеи.
Традиционная и современная критика математического реализма неадекватны, поскольку они
рассматривают его вне его истоков и, как правило,
на основе узкого эмпиризма и операционализма.
154
Обычное опровержение сводится к тому, что, поскольку наличие сущностей, которые причинно не
действуют на человека, не может быть обосновано, гипотеза о таких сущностях является бессмысленной или бесполезной [116, с. 118]. Предполагается само собой разумеющимся, что методологически значимые представления выражаются только
в тезисах, поддающихся эмпирической проверке.
Такая установка является однако неверной. Достаточно сказать, что она совершенно игнорирует
познавательную значимость категориальных представлений.
Представления о необходимости, безусловной
данности для сознания, которые мы связываем с
математическими положениями, имеют двоякое
основание. С одной стороны это является отражением жесткой логической организации математической теории, необходимости логического следования, а с другой — отражением того факта, что
математические утверждения, по крайней мере —
некоторые, генетически связаны с особыми представлениями о реальности и они безусловны для
нашего сознания в том же смысле, в каком таковыми являются категориальные принципы: «каждое явление имеет причину», «время необратимо»
и т. д. Но это значит, что гносеологический статус
этих положений не может быть понят без ссылки
к некоторым внешним по отношению к математике представлениям.
Принимая в указанном смысле тезис математического реализма, нельзя говорить, как это склонен делать Гедель и другие реалисты, что математика имеет свой предмет исследования в виде абстрактных сущностей, точно так же, как физика
имеет такой предмет в виде физических тел и процессов. Отношение математики к категориальным
представлениям не аналогично отношению физики
к физическим процессам. Это отношение модифицировано самим характером математики как науки. Математик, исследуя функцию, описывающую
движение, не исследует движение. Предмет его исследования не физическое движение, а сама функция. Точно так же, исследуя фундаментальные по7
*
155
нятия, причастные к категориальному видению
мира, математик не входит в область онтологии.
Как сфера физических, так и сфера онтологических представлений для математика выступают
лишь в качестве интуитивной основы, но не в качестве предмета исследования в обычном понимании этого слова.
Рациональный смысл реализма в философии
математики состоит в констатации того факта, что
фундаментальные структуры математики имеют
непосредственное отношение к категориальным
представлениям о реальности, они как бы смыкаются с онтологией, вбирают в себя некоторые аспекты категориальных представлений, обеспечивая
соответствующим понятиям статус универсальности, интуитивной ясности и определенной независимости от формального языка математики. Отсюда в конечном итоге происходят идеи о реальной геометрии, о единственной истинной арифметике [69, с. 13], о настоящей теории множеств и
т. д. Речь идет о математических теориях, наиболее адекватно отражающих некоторые фундаментальные представления. Нельзя согласиться с Кантом или Брауэром, что убедительность исходных
принципов арифметики всецело покоится на интуиции времени, но несомненно однако, что арифметические представления органически связаны с
некоторым комплексом категориальных представлений и, таким образом, имеют статус, отличный
от статуса эмпирических представлений, помимо
их особой логической организации.
Отсюда следует также, что различные математические теории имеют разный онтологический
статус, они содержательны по-разному, в своей интуитивной основе относятся к различным уровням
представлений о реальности, и понятия о числе и
множестве не родственны в этом отношении понятиям о векторе и потенциале.
Сказанное позволяет бросить некоторый дополнительный свет на программу логицизма. Как уже
говорилось, логика и математика в целом отражают принципиально различные уровни представлений о реальности и уже в силу этого не могут
156
быть сведены друг к другу. Это, однако, не исключает того положения, что отдельные математические понятия сориентированы с самого начала не
на эмпирические, а на категориальные представления и в этом смысле являются родственными
логическим понятиям. Это относится, очевидно,
прежде всего к исходным понятиям арифметики и
теории множеств, что и обусловило относительную
успешность редукции этих дисциплин к логическим
отношениям. Реализм, таким образом, представляет некоторое оправдание попыткам логицистов.
Английский логик М. Мосс полагает, что разумная интерпретация реализма в математике сводится к различию между математическими теориями,
родственными логике, положения которых истинны во всех мирах, и теориями, которые родственны
физике и которые истинны только в нашем мире,
хотя они и неопровержимы в опыте, как и всякие
математические теории. Тезис реализма с этой точки зрения сводится к утверждению, что существует
часть математики, имеющая особое отношение к
логике и, следовательно, несколько иной онтологический статус [116, с. 419]. Эта идея, содержит
часть истины, но она плохо согласуется с историческим становлением реализма в математике.
Реалистические идеи в математике появились задолго до того, как возникла мысль о сведении математики к логике и в первоначальной форме выражали объективность, интерсубъективный характер и особую данность для сознания математических объектов и отношений. При чисто логической
трактовке реализма мы должны были бы также
приписать онтологическое значение многим частным определениям, с которыми такое значение исторически никогда не связывалось. Это означает,
что адекватное истолкование математического реализма может быть достигнуто только через анализ
понятия интеллектуальной интуиции и через выяснение ее связи с категориальными представлениями о реальности.
Каждый подход к логическому обоснованию
математики по необходимости предполагает нечто внелогическое (логически необоснованное), хо157
тя бы саму логику. Основное различие между номинализмом и реализмом состоит в ориентации на
различные уровни исходных представлений, на
различные сферы внелогического. Если номинализм ориентируется на эмпирическую сферу, на
сферу фактов, конкретного опыта, на очевидность
эмпирических суждений об индивидуальном, то
реализм сориентирован на другую внелогическую
сферу, на данные интеллектуальной интуиции, на
понятия, ясность которых гарантирована их прямой связью с логикой и категориями.
Реализм в философии математики тесно связан
с традиционным априоризмом. Оба эти направления мышления исходят из факта особой интуитивной ясности математических образов, с той однако разницей, что реализм стремится объяснить
этот факт не из свойств разума, но из отношения
этих образов к некоторым объективным сущностям. Рациональный момент обоих этих воззрений
состоит в конечном итоге в том, что они фиксируют связь фундаментальных математических понятий с категориальными представлениями о мире,
которая полностью игнорируется как эмпиристской, так и формалистской философией математики.