для всех специальностей Тема «Комплексные числа

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Смоленский политехнический техникум»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по дисциплине
«Математика»
для всех специальностей
Тема «Комплексные числа»
Смоленск
2014
Рассмотрено и утверждено на заседании методического совета колледжа
Составитель: Фатов В.В., преподаватель математики Смоленского политехнического техникума.
Рецензенты: Абрамова Г.М., преподаватель математики Смоленского политехнического техникума.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» тема «Комплексные числа» для студентов 1 курса
всех специальностей.
Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначена для организации аудиторной и
внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
Рабочая тетрадь включает в себя систему упражнений, ориентированных на закрепление теоретических
знаний по данной теме и содержит исторических материал, краткие теоретические сведения, набор заданий для
аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
© Смоленский политехнический колледж
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рабочая тетрадь представляет собой сборник упражнений по дисциплине «Математика» тема
«Комплексные числа» и предназначается для студентов 1 курса всех специальностей.
Настоящая рабочая тетрадь позволяет решить следующие задачи:

сформировать профессионально – прикладную компетенцию будущих специалистов;


повысить уровень математической подготовки студентов;
научить систематизации, обобщению, структурированию знаний, а также их адекватному применению
как в предметных областях, так и в практической деятельности;

помочь студентам научиться математически правильно выражать свои мысли;

формировать учебную мотивацию
В каждое занятие включены: комплексная задача, которая включает в себя применение теоретического
материала, изученного на занятии, краткий теоретический материал, показаны образцы решения конкретных
заданий, задания для аудиторной работы студентов. Отдельным блоком выделены задания для внеаудиторной
самостоятельной работы студентов.
В каждый блок-занятие включены упражнения разного характера: от репродуктивных до творческих.
Такая система упражнений, различных по объему и степени трудности, способствует повышению
математической подготовки студентов.
Преподаватель по своему усмотрению может выбрать материал для аудиторной и внеаудиторной
самостоятельной работы студентов, дифференцируя его с учетом индивидуальных особенностей студентов.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому
естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к
расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни,
положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные
числа и нуль.
Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в
практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем
Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе
было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века
до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий
математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа
подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью
отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8
веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два
значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни
извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = - 9. В 16 веке в связи с изучением кубических
уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В
формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта
формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень
(например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например,
х3-7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось,
что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения
квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545
предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у = 10, ху = 40
не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х =
5
,у=5
, нужно только условиться действовать над такими выражениями
по правилам обычной алгебры и считать, что
= -а. Кардано называл такие
величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их
бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя
выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но
уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были
установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до
извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский
математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х.
Эйлер предложил использовать первую букву французского числа
i =
(мнимой
единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).
В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей,
возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника
операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория
корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных
чисел.
Тема: Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, найдите x и y из соотношения
x 2  5( x  1)  4i  yi  1 .
2. Найдите все значения аргумента комплексного числа z  1  i .
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Комплексным числом называется выражение a  bi где a  и b  действительные числа, а
i  некоторый символ, такой что i 2  1 .
Два комплексных числа a1  b1i и a2  b2 i называются равными, если a1
 a2 и b1  b2 .
Запись комплексного числа в виде z  a  bi называется алгебраической формой
комплексного числа. Действительное число a называется действительной частью
комплексного числа z  a  bi , а действительное число b  мнимой частью.
Комплексное число a  bi называется комплексно-сопряженным с числом a  bi и
обозначается z т.е. z  a  bi  a  bi .
Комплексные числа a  bi и  a  bi называются противоположными.
Комплексное число z  a  bi можно изобразить точкой плоскости с координатами (a; b) .
При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют
действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют
мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только
один вектор с началом в точке O(0;0) и концом в точке M (a; b) , т.е. вектор OM .
Модулем комплексного числа z  a  bi называется число
2
2
a 2  b2 . r  z  a  b
Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число:
причем
.
z  0,
z  0 , когда z  0 .
Угол 
между действительной осью Ox и вектором OM , отчитываемый от
положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного
числа z  a  bi . Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла
считается положительной, а если по движению часовой стрелки, - отрицательной. Аргумент
 комплексного числа z  a  bi обозначается так:   arg z .
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число z  0
имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2
Наименьшее по модулю значение аргумента из промежутка      называется главным
значением аргумента.
a
b
Аргумент комплексного числа z находится из условия cos   , sin   . (1). Таким
r
r
образом, все значения аргумента  можно находить, решая совместно уравнения (1).
Значения аргумента комплексного числа z  a  bi можно так:
1) определить в какой четверти находится точка z  a  bi ;
2) найти в этой четверти угол  , решив совместно уравнения (1) или уравнение tg  
3) найти все значения аргумента числа z  a  bi по формуле arg z    2 .
a
;
b
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример 1.
Пример 1. Найти модуль и аргумент числа z  1  i 3
Р е ш е н и е. Найдем модуль комплексного числа z  1  i 3.
формулам (1) имеем cos  
5
5
, т.е.  
.
3
3
r  1  ( 3 ) 2  2 По
1
3
, sin   
, так cos  >0 и sin   0 , то аргумент числа z равен
2
2
Пример 2. Найти все значения аргумента комплексного числа z  4 .
Р е ш е н и е. Здесь a  4, b  0 ; находим arg (4)    2 k , k  Z .
1. Постройте радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: 1) z  2  3i ; 2)
z  2  3i ; 3) z  2  3i ; 4) z  2  3i ; 5) z  2  3i .
2. Даны числа: 1) z  3  i ; 2) z  3  i ; 3) z  3  i ; 4) z  3  i ; 5) 3 ;6) 3 ; 7) i ; 8) i .
Найдите числа , сопряженные и противоположные данным.
3. Дана точка, изображающая число z  3  2i , Какие числа изображают точки,
симметричные данной относительно: 1) действительной оси; 2) мнимой оси; 3) начала
координат?
4. Найдите действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел: 1)
9  2ix  4iy  10i  5 x  6 y ; 2) 2ix  3iy  17  3x  2 y  18i ; 3) 5 x  2 y  ( x  y)i  4  5i .
5. Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, найдите x и y из соотношений: 1)
x 2  5( x  1)  4i  yi  1 ; 2)
Найдите
6.
1
 4 yi  4 .
x
действительное
значение
x
,
при
которых
справедливо
равенство
( x  1)i  3  x( x  2i)  2 x .
2
7. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: 1) z  3 ; 2) z  3 ; 3)
z  3i ; 4) z  3i ; 5) z  2  2i ; 6) z  1  i 3 ; 7) z  1  i 3 ; 8) z   3  i .
8. Найдите все значения аргумента комплексных чисел: 1) z  1  i ; 2) z 
3 i.
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
8
 2 i 2 
 .
1. Вычислите: 
2


2. Выполнить указанные операции: (2 - i)(2 + i)2 - (3 - 2i) + 7.
3, Решить уравнение x  x  1  0 .
2
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными
числами.
Cуммой комплексных чисел z1  a1  b1i и z2  a2  b2 i называется комплексное число
(a1  a2 )  (b1  b2 )i .
Разностью комплексных чисел z1  a1  b1i и z2  a2  b2 i называется комплексное число
(a1  a2 )  (b1  b2 )i .
Произведением комплексных чисел z1  a1  b1i и z2  a2  b2 i называется комплексное
число (a1a2
 b1b2 )  (a1b2  a2 b1 )i .
Частным комплексных чисел z1  a1  b1i и z2  a2  b2 i называется комплексное число
a1 a2  b1b2
a b
2
2
2
2

a2 b1  a1b2
a22  b22
i.
Справедливы равенства: i
4k
 1 ; i 4 k 1  i ; i 4 k  2  1 ; i 4 k 3  i .
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример 1. Найти сумму и разность комплексных чисел z1  4  5i и z 2  2  3i
Р е ш е н и е. z1  z2  (4  5i)  (2  3i)  (4  (2))  (5  3)i  2  8i
z1  z 2  (4  5i)  (2  3i)  (4  (2))  (5  3)i  6  2i .
Пример 2. Найти произведение комплексных чисел z1  2  3i и z 2  4  2i.
Р е ш е н и е. z1 z 2  (2  3i)(4  2i)  (2  (4)  (3)  2)  (2  2  (3)  (4))i  2  16i
2i
Пример 3. Вычислить
.
3  4i
Р е ш е н и е. Умножим числитель и знаменатель дроби на 3  4i , число сопряженное 3  4i ,
2i
(2  i)(3  4i) 6  3i  8i  4i 2 10  5i
имеем



 0,4  0,2i.
3  4i (3  4i)(3  4i)
25
9  16i 2
Пример 4. Решить уравнение x 2  4 x  13  0
Р е ш е н и е.
D  b 2  4ac, D  (4) 2  4  1  13  16  52  36
х1, 2 
 b  D 4   36 4  6i


, x1  2  3i, x 2  2  3i.
2a
2
2
25
15
Пример 5. Вычислить i ; i .
46 1
43 3
i; i i
 i  i .
Р е ш е н и е. i  i
1. Выполните действия: 1) (3  i)  (3  8i) ; 2) (5  4i)  (7  4i) ; 3) (6  2i)  (6  2i) ;
4) (0,2  0,1i)  (0,8 1,1i) ; 5) (2  3i)  (5  6i)  (3  4i) ;
6) (1  i)  (7  3i)  (2  i)  (6  2i) .
25
2. Вычислите: 1) i  i
6
i  i 2  i 3  i 4 ; 5)
1
i3
15
20
1

i5
 i 30  i 36  i 54 ; 2) i  i 2  i 3  i 4  i 5 ; 3) i  i11  i 21  i 31  i 41 ; 4)
1
; 6)
3
i13

1
i 23

1
i 33
.
3. Выполните действия: 1) i 5  4i 5 ; 2) (5  3i)  2i ; 3) (3  4i)(3  4i) ; 4) (5  3i)  (2  5i) ; 5)
(2  i)  (1  i) ; 6)
4  2i  (1  6i)(6  i) ; 7)
(0,2  0,3i)  (0,5  0,4i)
(3  2i)  (5  4i)  7i  1 ; 8)
 2 1  1 4 
  i   i  ; 9)
 3 3  3 3 
4. Выполните действия: 1) 1 ; 2)
i
2  3i
1
; 3) 1  i ; 4) 3  2i ; 5) (1  2i)(2  i) ; 6)
; 7)
(4  i)(2  2i)
3  2i
1 i
1 i
1  3i
(3  2i)(2  i)
; 8) a  bi ; 9) (a  bi)(b  ai) ; 10)
(2  3i)(1  i)
a  bi
b  ai
5 i
; 11) 1  3i  4i  1 .
i  2 3i 1
5  2i
3


5. Вычислите: 1) (1  i)12 ; 2) (1  i)17 ; 3)  1  i 3  ; 4)

2





2
 2 i 2 
2 1 

 i  ; 5) (1  i)2 ; 6) 


2 2 
2


8
6. Решить уравнения: 1) x2  2 x  5  0 ; 2) x2  6x  18  0 ; 3) x 2  4 x  5  0 ; 4) x 2  2 x  10  0 ;
5) x2  4x  13  0 ; 6) x 2  8 x  25  0.
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и
показательной форме.
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
1. Решить уравнение
2. Вычислите z6 , если z  1  i .
.
i
3. Выполните действия над комплексными числами
6e
i
7
8
.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть r  a  bi  a  b  модуль, а   одно из значений аргумента комплексного числа
a  bi . Так как а  r cos  , b  r sin  , то z  a  bi  r (cos   i sin  ) . Полученное выражение
r (cos   i sin  ) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Произведение комплексных чисел z1  r1(cos1  i sin 1) и z2  r2 (cos2  i sin2 ) находится по
формуле z1  z2  r1  r2 (cos(1  2 )  i sin(1  2 )) . Таким образом, при умножении двух
комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются,
аргументы складываются.
Частное комплексных чисел z1  r1(cos1  i sin 1) и z2  r2 (cos2  i sin2 ) находится по формуле
2
2
z1 r1
 (cos(1  2 )  i sin(1  2 )) . Таким образом, при делении двух комплексных чисел,
z2 r2
заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.
Для возведения комплексного числа r (cos   i sin  ) в степень используется формула
(r(cos  i sin))n  r n (cos n  i sin n), n  Z , которая называется формулой Муавра.
Для извлечения корня n  é степени из комплексного числа r (cos   i sin  ) используется
формула z  n r(cos  i sin )  n r (cos   2 k  i sin   2 k ) , где n r  арифметический корень,
k
n
k  0, 1, 2, , n 1 .
n
Выражение z  rei называют показательной формой комплексного числа.
Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой
положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме,
выполняется по следующим формулам:
i1
re

1
i2
r2e
i1
r1e 
i2

r2e
i(1 2 )
 r1  r2 e 
;
r1 i(1 2 )
e
;
r2
(rei )n  r nei n ;
n
rei  n r e
  2 k
2
, где k  0, 1, 2, , n 1 .
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
Пример 1. Умножить числа z1  2(cos
Р е ш е н и е.

 i sin

4
4




z1  z2  2  3(cos(  )  i sin(  )) 
4 3
7
7
 6 (cos
 i sin )
12
12
4
), z 2  3(cos

4
 i sin


4
3
2
7
7
(cos
 i sin ) .
2
12
12
4
3
2

3
4
), z 2  2(cos
Найти частное z1 / z 2 .
z1
2
 5
 5
2
17
17

(cos(  )  i sin(  )) 
(cos(
)  i sin(
)) 
2
3
 i sin
).
3
Пример 2. Даны комплексные числа z1  2 (cos
z2

12
12
5
5
 i sin
).
3
3
Пример 3. Вычислить (1  i ) 30 .
Найдем тригонометрическую форму числа 1  i.
r  1 1  2 ,   arctg1 , т.к.  - угол первой четверти, то  
1  i  2 (cos

 i sin

) , тогда (1  i ) 20  ( 2 (cos

 i sin

6
, следовательно
30
30
 i sin
)
4
4
3  i.
Найдем тригонометрическую форму числа
3  i.
r  ( 3 ) 2  (1) 2  2 ,   arctg (
т.к. a  3  0, b  1  0 ,то  - угол четвертой четверти, т.е.  
3  i  2(cos
4
)) 30  ( 2 ) 30 (cos
4
4
4
4
6

6

3

3

215 (cos( 6 
)  i sin( 6 
))  215 (cos
 i sin
)  215  i.
4
4
2
2
Пример 4. Вычислить

11
11
 i sin
) , тогда
6
6
11
11


 2 k
 2 k 
6
6
6
  2(cos
 i sin
,
6
6




uk 
6
3  i  6 2(cos
11
. Имеем
6
1
3
),
11
11
 i sin
)
6
6
где k  0,1,2,3,4,5. Тогда получим
11
11
 2  0
 2  0
11
11
6
u0  2(cos
 i sin 6
)  6 2(cos
 i sin
),
6
6
36
36
11
11
 2 1
 2 1
23
11
6
6
u1  2(cos
 i sin 6
 6 2(cos
 i sin
),
6
6
36
36
11
11
 2  2
 2  2
35
35
6
6
u2  2(cos
 i sin 6
)  6 2(cos
 i sin
),
6
6
36
36
11
11
 2  3
 2  3
47
47
6
6
u3  2(cos
 i sin 6
)  6 2(cos
 i sin
),
6
6
36
36
11
11
 2  4
 2  4
59
59
6
6
u4  2(cos
 i sin 6
)  6 2(cos
 i sin
),
6
6
36
36
11
11
 2  5
 2  5
71
71
6
6
u5  2(cos
 i sin 6
)  6 2(cos
 i sin
).
6
6
36
36
6
1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа: 1) 3  i ; 2) 1  i ; 3) 1  i 3 4)
3  i ; 5)
3 1
 i ;6) 3  4i.
2 2
2. Представьте в алгебраической форме числа: 1) 5(cos   i sin  ), 2) 4(cos(  )  i sin(  )) ; 3)


cos  i sin  ; 4) 2(cos  i sin ) ; 5) 3(cos 0  i sin0) .
4
4
3. Найдите произведение:
1) 3(cos   i sin  )  (cos 5  i sin 5 ) ;
8
8
24
24



2) 2(cos  i sin )  5(cos( )  i sin(  )) ;
3)
4)
5)
6)
3
3
4
4
(cos5  i sin5)  (cos2  i sin2) ;
2
2


3(cos  i sin )  (cos( )  i sin( )) ;
3
3
2
2
4(cos10  i sin10 )  2(cos35  i sin35 ) ;
5
5
2
2
(cos  i sin )  (cos  i sin ) .
6
6
3
3
2
2
3
3
4. Выполните умножение, используя тригонометрическую форму комплексного числа:
1)
6
 1 1  2
i
 ; 2)
  i   
6 
 4 4  6
(1  i 3)(2  2i 3) ; 3) (1  i 3)(3  3i 3) ; 4) (6  2i 3)(3  3i) ; 5)


(5  5i)(cos15  i sin15 ) ; 6) (cos( )  i sin( ))(3  3i) .
8
8
5. Выполните деление в тригонометрической форме:
1) 3(cos 3  i sin 3 ) : (cos   i sin  ) ;
4
4
2
2
2) (cos210  i sin 210 ) : (cos150  i sin150 ) ;
3) (cos(  )  i sin(  ))(cos(  )  i sin(  )) ;
3
3
6
6
4) (cos150  i sin150 )(cos(120 )  i sin(120 )) .
6. Возведите в степень:
6
 3 1 
 i  ; 2)
1) 
2
2 



 2(cos 8


8
 i sin )  ; 3) (cos35  i sin35 )12 .
8 
8
8
7. Вычислите: 1) (1 i)12  (1 i)12 ; 2) (1  i) 8 (1  i)8 .
(1  i)  (1  i)
8. Извлеките корни: 1)
3
1 ; 2) 4 1 ; 3) 3 i ; 4) 4 4 ; 5) 4 2  2i 3 ; 6) 6 1 .
9. Представив числа z  1  i и z  1  i 3 в показательной форме, вычислить 1) z1  z2 ; 2)
z16 ; 4)
4
z1
10. Выполните действия над комплексными числами
 3  i 3 1 i
(4  4i ) 4
1 i
.
.
1)
.
2)
.
3)


2

i
i
i
i
8
3
3
3
2
2e
2e
5e
2 e
4)
i
6e
i
7
8
.
z1
; 3)
z2
5)
1 i
2e
i

3
.
6)
8  8i
4
2 e
i
3
4
.
7)
21e
i
2
3
 7  7i 3
.
Содержание.
Предисловие
Историческая справка
Тема: Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и
показательной форме.