компл.числа

i
-1
Урок 3
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Пусть задана комплексная плоскость и комплексное число z = x + iy  0.
Определение 5. Аргументом комплексного числа z = x + iy  0 называется угол ,
на который надо повернуть положительную часть действительной оси, чтобы
она совпала с лучом Оz, причем угол  считают положительным, если поворот
совершается против часовой стрелки и отрицательным в противном случае.
Итак из определения аргумента следует, во-первых, что не всякое комплексное число
имеет аргумент: число ноль аргумента не имеет, а во-вторых, что аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно: каждое комплексное число (не равное нулю) имеет
бесконечно много аргументов и все они отличаются на число, кратное 2 (см. рис. 4а).
Обозначают аргумент комплексного числа z = x + iy символом argz или arg(x + iy).
y
y
y

0

z = x + iy
y
z
arg(–5) = 
x
a)
i
0
–5
z
arg(i) = 

x
0
x
x
c) x =zcos y =zsin 
b)
Рис. 4.
Так, например, argi = /2, arg(–5) =  (см. рис. 4b). При этом в обоих случаях мы могли
взять и другие значения аргумента, например, argi = –3/2 и arg(–5) = 3.
Теперь действительную и мнимую части комплексного числа
z = x + iy можно
выразить через его модуль и аргумент  ( см. рис. 4с ):
Rez = x = zcos и Imz = y =zsin.
(3)
Используя формулы (3), получим тригонометрическую форму комплексного числа
z = x + iy:
z=z(cos +isin)
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2. Записать i в тригонометрической форме.
Решение. Находим: i= 1, argi = /2, следовательно, i = cos(/2) + isin(/2).
Ответ: i = cos(/2) + isin(/2) – тригонометрическая форма данного числа.
Пример 3. Записать в тригонометрической форме число z = 2(cos(/3) – sin(/3) ).
Решение. Прежде всего заметим, что число z записано не в тригонометрической форме,
так как перед синусом стоит знак –, а не +. Чтобы получилась тригонометрическая форма,
надо угол /3 заменить на угол (–/3), тогда сos(/3) = cos(–/3) и –sin(/3) = sin(–/3).
Следовательно, z = 2( cos(/3) – isin(/3) ) = 2( cos(–/3) + isin(–/3) ).
Ответ:
z = 2(cos(–/3) + isin(–/3))
–
тригонометрическая
форма
данного
комплексного числа z =2(cos(/3) – isin(/3)).
Пример 4. Записать комплексное число –1 + i в тригонометрической форме.
Решение. Сначала найдем модуль: –1 + i= 2 . Чтобы найти аргумент  этого числа,
выразим его действительную и мнимую части через cos и sin: –1= 2 cos и 1= 2 sin,
следовательно, tg = –1 и, так как точка, соответствующая этому числу (ее координаты (–
1, 1) ), лежит во второй четверти, то  = 3/4. Следовательно, –1 + i = 2 (cos3/4 + isin3/4 ).
Ответ:
–1 + i = 2 (cos3/4 + isin3/4) – тригонометрическая
форма
данного
комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет дать геометрическую
интерпретацию операций умножения и деления.
Пусть даны комплексные числа z1 и z2, модули и аргументы которых соответственно
равны r1 и r2, 1 и 2, то есть z1 = r1(cos1 + isin1) и z2 = r2(cos2 + isin2). Перемножим эти
числа:
z1z2 = r1r2((cos1cos2 – sin1sin2) + i(sin1cos2 + cos1sin2)).
Теперь видно, что первая скобка
(cos1cos2 – sin1sin2) = cos(1 + 2),
а вторая скобка
(sin1cos2 + cos1sin2) = sin(1 + 2),
то есть
z1z2 = r1r2(cos(1 + 2) + isin(1 + 2)).
Но это есть тригонометрическая форма комплексного числа! Значит, модуль z1z2 равен r1r2 и
аргумент z1z2 равен 1 + 2. Таким образом мы получили следующий важный результат: при
умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Отсюда следует, что с геометрической точки зрения при умножении комплексного
числа z1 на комплексное число z2 происходит следующее: вектор z1 поворачивается на угол,
равный аргументу z2, а его длина увеличивается в z2 раз, если z2>1 и уменьшается в
z2 раз, если z2<1, если жеz2=1, то длина остается прежней (см. рис. 5).
z1 z2
y
6
21
z2
3
2
z1
1
0
2
x
Рис. 5.
Полученные результаты позволяют сформулировать правило возведения комплексного
числа в натуральную степень: при возведении комплексного числа z = r(cos + isin) в
степень n  N, его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n:
zn = rn (cos(n) + isin(n)).
Пример 5. Найти (1 + i)12.
Решение. Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его
модуль: 1 + i= 2 и аргумент: arg(1 + i) = /4. Тогда 1+ i = 2 (cos/4 + isin/4) и
(1 + i)12 = ( 2 )12(cos(12/4) + isin(12/4)) = 64(cos3 + isin3) = – 64.
Ответ: (1 + i)12 = – 64.
Рассмотрим теперь комплексное число, не равное нулю,
z = r(cos + isin),
где r – модуль этого числа,  – аргумент. Если это число умножить на обратное ему, то есть
на 1/z, то получим 1 = 1(cos0 + isin0). Следовательно, модуль 1/z равен 1/r, так как при
умножении комплексных чисел их модули перемножаются: r1/z= 1, а аргумент равен – ,
так как при умножении комплексных чисел их аргументы складываются:  + arg(1/z) = 0.
Таким образом ,
1/z = (1/r)(cos(–) + isin(–)).
Теперь несложно понять, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а
аргументы вычитаются. В самом деле, если
z1 = r1(cos1 + isin1) и z2 = r2(cos2 + isin2) (z2  0),
то
z1/z2 = z1(1/z2) = 2(r1/r2)(cos(1–2) + isin(1 – 2)).
Следовательно, при возведении комплексного числа в целую отрицательную степень – n его
модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на – n.
Таким образом получаем следующее общее правило: при возведении комплексного
числа в целую степень q его модуль возводится в степень q , а аргумент умножается на
q:
zq = rq(cos(q) + isin(q)), где q  Z.
Пример 6. Найти (1 + i)–10.
Решение. Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его
модуль: 1 + i= 2 и аргумент: arg(1 + i) = /4. Тогда 1 + I = 2 (cos/4 + isin/4) и
(1+ i)-10 = ( 2 )10( cos(–10/4) + isin (–10/4)) = (1/32)(cos(–5/2 + isin(–5/2)) = – i/32.
Ответ: (1+ i)10 = – i/32.
Рассмотрим
теперь
комплексное
число,
модуль
которого
равен
единице:
z = cos + isin, и обозначим его символом еi, то есть положим по определению для любого
R:
еi = (cos + isin).
(4)
Формула (4) носит название формулы Эйлера. Она находит полное обоснование, если
показательную
функцию
действительного
переменного
естественным
образом
с
действительной оси продолжить на всю комплексную плоскость. Механизм этого
продолжения подробно рассматривается в теории функций комплексного переменного и
базируется на представлении показательной функции в виде суммы некоторого степенного
ряда. Для нас же пока оправданием такого обозначения служит тот факт, что остается
справедливым основное свойство показательной функции:
e i1  e i2  e i(1   2 ) .
Используя формулу Эйлера, можно вместо тригонометрической
ввести более
компактную запись числа z  0, которая называется показательной формой записи
комплексного числа:
z = rеi , где r =z и argz = .
(5)
Например,
i = еi/2 ; –1 = еi.
Теперь произведение и частное комплексных чисел z1 и z2 запишется в виде:
z1 z2 = r1r2ei(1   2 ) ;
z1  r1  i(1   2 )
  e
z2  r2 
(6)
Формулы (5) и (6) позволяют получить формулу для возведения комплексного числа
z = rеi в целую степень q:
zq = rqеiq , где qZ.
(7)
Используя формулу Эйлера (4) и правило возведения комплексного числа в целую
степень (7), получим формулу Муавра:
еin = z = (cos + isin)n = (cos(n) + isin(n))
(8)
Эту формулу можно использовать для того, чтобы получить выражения для синусов и
косинусов кратных углов. Например, положим в (8) n = 2:
(cos + isin)2 = (cos)2 + (isin)2 + 2isincos = (cos)2 – (sin)2 + 2isincos = (cos2+isin2),
но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда равны их
действительные и мнимые части. Следовательно,
cos2 = (cos)2 – (sin)2 и sin2 = 2sincos.
Аналогично при n = 3 получим:
(cos + isin)3 = (соs)3 + 3isin(cos)2 + 3cos(isin)2 + (isin)3 =
(cos)3 –3cos(sin)2 + i( 3sin(cos)2 – (sin)3 ) = ( cos3 + isin3 ),
следовательно,
cos3 = (cos)3 – 3cos(sin)2 и sin3 = 3sin(cos)2 – (sin)3.