Арифметическая прогрессия - Klm

Арифметическая прогрессия
Тип урока: повторительно-обобщающий
Цели:

знания
(дидактическая) обобщить и систематизировать теоретические
по
арифметической
прогрессии;
совершенствовать
навыки
нахождения n члена и суммы n первых членов арифметической
прогрессии с помощью формул;

(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся,
учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью;
развивать грамотную математическую речь;

(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для
достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения
к одноклассникам.
Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы;
раздаточный дидактический материал; справочный материал.
Структура урока:
1.
Орг. момент, приветствие, пожелания.
2.
Сообщение темы, типа и целей урока.
3.
Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа//
индивидуальная.
4.
Работа в парах // индивидуальная разноуровневая работа у доски.
Проверка, оценивание.
5.
Тренировочные упражнения-закрепления.
6.
Историческая справка.
7.
Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам.
8.
Решение ключевой задачи.
9.
Выставление оценок, домашнее задание.
10.
Рефлексия.
ХОД УРОКА.
1.
Организационный момент, приветствие, пожелания.
Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами
повторительно-обобщающий урок перед контрольной работой.
Эмоциональный настрой нашей совместной работы.
(На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю) учитель,
показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку.
ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объем своих знаний в 1,5
раза; хочу пожелать вам “Ни пуха, ни пера!”.
МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибиться, сомневаться,
консультироваться.
УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения
задач.
ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку “Понять и быть тем первым,
который увидит ход решения”, а вместе с вами сегодня мы движемся только
вперед, т.к. слово “Прогрессио” в переводе с греческого языка обозначает
движение вперед.
2.
Сообщение темы, типа и целей урока. Итак, ребята, тема
нашего урока (Слайд № 1, см. Приложение).
Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока.
Давайте, совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я
вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для
нашей работы и дополнить их:
- Умение применять формулы…
- Умение грамотно говорить…
- Умение обобщать, систематизировать…
- Умение логически мыслить…
- Умение пересказывать…
- Умение молчать… (Слайд №2)
Я, думаю, что вы не раз использовали в своей речи пословицу ”Сделал
дело, гуляй смело!”, теперь сформулируйте её для нашего урока алгебры,
оставив без изменения её смысл (решил задачу, молодец).
Итак, ребята, молодцы! Если всё, сказанное вами, обобщить, то мы
получим цели урока…(Слайд №3)
Индивидуальная работа.
3.
К
доске
я
приглашаю
4
ребят,
которые
желают
поработать
индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровня A,
В, С.
(an)- арифметическая прогрессия.
А
А
В
Дано:
Дано:
Подготовку к экзамену начинают с 15 Является ли
а10=126,
а25=84,
минут. В каждый следующий день ее время число 156 членом
d=4.
а1=12
увеличивают на 10 мин. Сколько дней арифметической
Найти:
Найти:
следует готовиться к экзамену в указанном прогрессии (аn),
а1.
d.
режиме, чтобы достичь максимальной в которой
продолжительности
С
подготовки,
не а1=24, а22=60
влияющей на здоровье подростка, 1 час 45
минут?
Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить
теоретические материал по изученной теме:
1) Дайте определение арифметической прогрессии + формула.
2) Как найти разность арифметической прогрессии + формула?
3) Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
4) Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических
преобразований?
5) Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии,
начиная со второго + формула.
6) Запишите формулы суммы n первых арифметической прогрессии.
Ответы:
1)
Дайте определение арифметической прогрессии + формула
Числовая последовательность, каждый член которой начиная со
второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d,
называется арифметической прогрессией, а число d – разностью
= aп-1 +d; (п=2,3,4,…), где а и
арифметической прогрессии an
d заданные числа, (рекуррентное соотношение).
2)
Как найти разность арифметической прогрессии + формула
Для того, чтобы найти разность арифметической прогрессии d, надо
из любого члена вычесть предыдущий d= an
3)
- aп-1
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
an = a1 + (n – 1)d
4)
Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических
преобразований aк+1 = aк +d= aк + кd
aп = а1 +(п-1)d
aп = nd +(a1 – d)
y = dn +m – линейная функция на множестве N,
угловой коэффициент этой функции равен d –
разность арифметической прогрессии.
Например, a10 = a1 +d= a1 + 9d
5)
Сформулируйте
свойство
каждого
члена
арифметической
прогрессии, начиная со второго + формула каждый член
арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен
среднему арифметическому предшествующего и последующего
членов ап 
ап 1  aп 1
2
Верно и обратное если последовательность (ап) такова, что для любого п>1
выполняется равенство ап 
ап 1  aп 1
2
,
то (ап) арифметическая
прогрессия. Последнее можно записать aп - aп-1 = ап+1 - aп
Если разность между любым членом последовательности и предыдущим
ему всегда одна и та же, что означает: задана арифметическая прогрессия.
Теорема: числовая последовательность является арифметической тогда и
только тогда, когда каждый ее член кроме первого и последнего в случае
конечной
последовательности
равен
среднему
арифметическому
предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство
арифметической прогрессии)
6)
Запишите
прогрессии.
Sп 
формулы
суммы
Sп 
n
первых
а1  aп
n
2
2а1  ( п  1) d
n
2
арифметической

4.Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твердых
знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.
Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте
должны «найти пару», соединив их стрелкой. Проверка (Слайд № 4)
КАРТОЧКА 2
«найти пару», соединив их стрелкой.
Определение
арифметической
ап 
ап 1  aп 1
2
прогрессии
Формула n-го члена
Sn =
•
n
арифметической
прогрессии
an = a1 + (n – 1)d
Свойство каждого
члена арифметической
прогрессии
Сумма первых n членов
арифметической
прогрессии
Формула разности
арифметической
прогрессии
Sn =
•
n
5. Тренировочные упражнения.
Устная работа (Слайд № 5)
Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией,
почему?
1.
3; 6; 9; 12; … (d=3)
2.
-1; -1; -1; …
3.
0; 13; 1; 14; …
4.
Xn = 3n-2;
5.
an = 25+n2;
6.
-3; -1; 1; 3; … (d=2)
(d=0)
Групповая работа (с маркерными досками) : (Слайд № 6)
1) Выразите через a1 и d: a8, a33, a100.
2) Найдите a5, если a1 = 4 и d = 7.
3) Найдите a12, если a11 = 20 и a13 = 30
Решение:
1) a8=a1+7d
d 
а8  a1
7
a33=a1+32d
d 
а33  a1
32
a100=a1+99d
d 
а100  a1
99
2) a5=a1+d(5-1) … a5=32
3) а12 
а11  a13
… a12=25
2
Письменная работа (в тетрадях).
1.
Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии,
заданной под №4.
S24=
a1  a 24
 п ; a1 = 3  1 – 2 = 1; a24 = 3  24 – 2 = 70
2
S24=
1  70
 24  71  12 = 852
2
2.
Выразите an из прогрессии № 1, и найдите сумму первых 18 членов.
a1 = 3; d = a2 –a1 = 3;
an = a1+(n-1)d
an = 3+(n-1)  3
Sn 
2a1  ( п  1) d
п
2
S18 = 2a1  17 d
2
an = 3+3n-3
S18 =(6+51)  9
an = 3n
S18 = 513
3.
 18
Дополнительно. Используя, прогрессию под № 6, найдите сумму
первых десяти её членов (два способа по вариантам). Чему равно Sn?
a1 = -3; d = 2
Sn 
Sn 
2a1  ( п  1) d
п
2
2a1  ( п  1) d
п
2
S10 
a1  а10
 10
2
S10 
2a1  9d
 10
2
S10=(-6+18)  5
Sn 
 6  ( п  1) 2
п
2
Sn 
 61  2п  2
п
2
Sn 
 8  2п
п ;
2
Sn=п2-4п=100-4  10=60
S10=60
4. Задача 1(Слайд № 7) Родители ко Дню рождения своего сына Андрея
решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в
первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц
откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет
у родителей Андрея через 10 месяцев, и смогут ли они купить ему
мобильный телефон «Sony-ARICSON К-750»? Решение (Слайд № 8)
5. Физкультминутка: зарядка для глаз
6. Исторический момент (Слайд №9).
На проекторе высвечивается фотография, где дети считают сумму …
Вопрос 1: Кто изображен на фото и что он делает? (Карл Гаусс)
Вопрос 2: Какую известную математическую фразу он сказал?
(«Математика – царица всех наук, а арифметика – царица математики»)
Историческая справка о К. Гауссе (индивидуальное домашнее задание
ученика).
Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 – 23.02.1855)
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец – садовником, каменщиком,
смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте
мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже
исправлял счетные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель
математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать
сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с
противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и
мгновенно получил результат 50×101=5050. До самой старости он привык
большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством
языков, Гаусс некоторое время колебался между филологией и математикой, но
предпочел последнюю. Ему принадлежит формулировка и доказательства
множества
свойств
алгебраическим
и
теорем
методом
математики.
решил
задачу
В
о
конце
18
построении
века
Гаусс
правильных
многоугольников циркулем и линейкой. В 1801г. Гаусс опубликовал в
Германии свои «Арифметические исследования» - многотомный труд по
теории чисел. Один из немецких экземпляров попал в Казань, по нему учился
Лобачевский. Карл Фридрих
Гаусс
очень любил латинский
язык и
значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую,
французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать
русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел
в
этом
деле.
Великий
математик
завещал
начертать
правильный
семнадцатиугольник, вписанный в круг, на своей надгробной плите: при жизни
он восхищался и гордился первой решенной задачей больше всего. Завещание
этого великого человека было исполнено. Умер Карл Ф. Гаусс в 1855г.
Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного
человека, с отличным чувством юмора…
7. А сейчас, ребята, вы будете работать индивидуально на местах.
Получив дифференцированную карточку-задание, трудитесь как пчелки, ведь
не даром их называют труженицами (Слайд № 10):
А
В
Дано: (aп) – арифметическая
5, 7, 9, … – арифметическая прогрессия
прогрессия
Выразите: aп
a1 = 5; d = 2
Найти: a6
С
Дано: (aп) – арифметическая
прогрессия
Sп=60 aп = 2п+3
Найти: п
Решение (Слайд № 11)
a1  5;
d  7  5  2;
an  a1  (n  1)  d ;
a a
S n  1 n  n;
2
S n  60;
an  5  (n  1)  2;
an  3  2n.
a1  2  1  3  5;
an  2n  3;
5  2n  3
Sn 
 n;
2
8  2n
60 
 n;
2
60  (4  n)  n;
an  a1  (n  1)  d ;
a6  a1  5d ;
a6  5  5  2;
a6  15.
n 2  4n  60  0;
n1  6; n2  10
8. Ключевая задача – проверка индивидуальной работы.
Составьте модель решения задачи (Слайд № 12):
Задача 2 Для участия в международной математической игре «Кенгуру –
математика для всех» необходимо в региональный оргкомитет подать заявку от
школ. В первый день указанного срока заявку подали 5 школ, во второй – 7, в
третий – 9… Через сколько дней в оргкомитет будет подано 60 заявок (считая,
что полученная закономерность не будет нарушена)?
Дано: 5; 7; 9; …
a1  5
S n  60
п-?
Решение (Слайд №13)
1)Sп=60
Sn 
a1  а2
п
2
60 
5  2п  3
п
2
120=(8+2п)п
2п2+8п-120=0
п2+4п-60=0
D=16-4  1  (-60)=256=162
п1,2=
 4  16
2
п1=
 20
= -10; корень не удовлетворяющий условию задачи
2
п2=
12
=6
2
2) а6= а1 + d(n-1)
а6= 5 + 2(6-1)
а6= 5+ 2  5=15
через 6 дней будет 60 заявок
в последний день – 15 заявок
Ответ: п=6
При составлении модели задачи, ребята увидят задачи, которые были
решены ими в индивидуальной работе.
С такими задачами, ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни,
но и на экзамене и в 9 классе, и в 11 классе на ЕГЭ (часть В). Чтобы набрать
большее количество баллов нужно уметь их решать.
9. Выставление оценок. Домашнее задание:
«3» - №371(а), 372(а); «4» и «5» - №264 (*).
10. Рефлексия (Слайд №14).
Ребята, я вам сейчас раздам тексты, заполнив их, вы сможете проанализировать
нашу совместную работу и индивидуальную. Собрать тесты и оговорить ответы
с детьми.
Тест.
1. Результатом своей личной работы считаю, что я…
А. Разобрался в теории
Б. Научился решать задачи
В. Повторил весь изученный материал
2. Чего вам не хватало на уроке при решении заданий:
А. Знаний
Б. Времени
В. Желания
Д. Решал нормально
3. Кто оказал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?
А. Одноклассники
Б. Учитель
В. Учебник
Д. Никто
Презентация.
КАРТОЧКА 1
А
Дано:
А
Дано:
а10=126, а25=84,
В
С
Подготовку к экзамену начинают с 15 Является ли число
минут. В каждый следующий день ее 156 членом
d=4.
а1=12
время
увеличивают
на
10
мин. арифметической
Найти:
Найти:
Сколько дней следует готовиться к прогрессии (аn), в
а1.
d.
экзамену в указанном режиме, чтобы которой а1=24,
достичь максимальной
а22=60
продолжительности подготовки, не
влияющей на здоровье подростка,
1 час 45 минут?
КАРТОЧКА 1
А
А
В
С
Дано:
Дано:
Подготовку к экзамену начинают с 15 Является ли
а10=126,
а25=84,
минут. В каждый следующий день ее число 156 членом
d=4.
а1=12
время
Найти:
Найти:
Сколько дней следует готовиться к прогрессии (аn),
а1.
d.
экзамену в указанном режиме, чтобы в которой а1=24,
увеличивают
на
10
мин. арифметической
достичь максимальной
продолжительности подготовки, не
влияющей на здоровье подростка,
1 час 45 минут?
а22=60
Х О Ч У
М О Г У
У М Е Ю
Д Е Л А Ю
Письменная работа (в тетрадях).
1. Найдите сумму первых 24 членов арифметической
прогрессии, заданной под №4.
S24= a  a  п ; a1 = 3  1 – 2 = 1; a24 = 3  24 – 2 = 70
1
24
2
1  70
 24  71  12
S24=
2
= 852
2. Выразите an из прогрессии № 1, и найдите сумму
первых 18 членов.
a1 = 3; d = a2 –a1 = 3;
an = a1+(n-1)d
Sn  2a  (п  1)d  п
1
2
2 a1  17 d
 18
2
an = 3+(n-1)  3
S18 =
an = 3+3n-3
an = 3n
S18 =(6+51)  9
S18 = 513
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №14
сообщение на тему:
Составила: Рябик Юлия,
ученица 9 «Б» класса
г.о. Коломна
2013
Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 – 23.02.1855)
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец – садовником, каменщиком,
смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте
мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже
исправлял счетные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель
математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать
сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с
противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и
мгновенно получил результат 50×101=5050. До самой старости он привык
большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством
языков, Гаусс некоторое время колебался между филологией и математикой, но
предпочел последнюю. Ему принадлежит формулировка и доказательства
множества свойств и теорем математики. В конце 18 века Гаусс
алгебраическим методом решил задачу о построении правильных
многоугольников циркулем и линейкой. В 1801г. Гаусс опубликовал в
Германии свои «Арифметические исследования» - многотомный труд по
теории чисел. Один из немецких экземпляров попал в Казань, по нему учился
Лобачевский. Карл Фридрих Гаусс очень любил латинский язык и
значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую,
французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать
русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел
в этом деле. Великий математик завещал начертать правильный
семнадцатиугольник, вписанный в круг, на своей надгробной плите: при жизни
он восхищался и гордился первой решенной задачей больше всего. Завещание
этого великого человека было исполнено. Умер Карл Ф. Гаусс в 1855г.
Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного
человека, с отличным чувством юмора…
КАРТОЧКА 2
«найти пару», соединив их стрелкой.
Определение
арифметической
ап 
ап 1  aп 1
2
прогрессии
Формула n-го члена
Sn =
•
n
арифметической
прогрессии
an = a1 + (n – 1)d
Свойство каждого
члена арифметической
прогрессии
Сумма первых n членов
арифметической
прогрессии
Формула разности
арифметической
прогрессии
Sn =
•
n