Темы лабораторных работ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
1. Рассмотрим LP-задачу, сформулированную для определения арбитражных возможностей
при торговле европейскими колл-опционами с общим базовым активом и датой исполнения, но
разными ценами исполнения:
n
C0i xi
min
x
i 0
n
fi (0) xi
0
i 0
n
fi ( K j ) xi
0, j 1, n
i 0
n
( fi ( K n 1)
fi ( K n )) xi
0
i 0
Эта формулировка предполагает, что i-й колл может быть куплен или продан по одной текущей
цене C 0i . На реальных рынках всегда существует разница между ценами покупки и продажи (bid-ask
spread). Для осуществления сделки рыночный посредник собирает данные о ценах, предлагаемых
потенциальными покупателями, и ценах, предлагаемых потенциальными продавцами. Потом
сопоставляет максимальную цену покупки и минимальную цену продажи (участники стремятся
купить дешевле, а продать дороже). Покупатель платит минимальную цену продажи, продавец
получает максимальную цену покупки, а разница остается у посредника. Поэтому предположим
теперь, что i-й колл имеет цену покупки Cbi и продажи C ai , причем Cai Cbi . Составьте аналогичную
задачу с этими дополнительными переменными.
2. Рассмотрите все колл-опционы на индекс S&P 500 с исполнением в одну дату через 3 месяца
от текущего момента. Сформулируйте и решите LP-задачу на базе №1 для определения арбитражных
возможностей. Проделайте то же самое, используя только цены коллов, объем торговли которыми
составляет, по крайней мере, 100 в день и сравните результаты.
3. Вы располагаете суммой в 100 000$ для размещения в несколько различных облигаций
(например 5): корпоративные и казначейские с разным рейтингом. Выберите облигации, рассчитайте
их доходность. Разместите свои средства так, чтобы средний рейтинг портфеля был, например, не
хуже Аа (коэффициент 1.5), и срок не менее 5.6 лет. Остаток денежных средств, не вложенных в
облигации, будет храниться на расчетном счету без начисления дохода и не будет учитываться в
рейтинге (иными словами – рейтинг 0 и срок 0 лет). Какова оптимальная структура портфеля для
максимизации доходности?
4. Предположим, что для покупки квартиры вы можете комбинировать несколько ипотечных
кредитов. Основываясь на текущих ценах выберите необходимую сумму займа В и временной
горизонт Т месяцев для погашения всех кредитов. Ваша задача – минимизировать общую стоимость
займа (помесячные выплаты р в течение следующих Т месяцев). Каждый источник финансирования
имеет ограничение по максимальной сумме bi, свою фиксированную ставку ri и срок Ti ≤ T.
Помесячные выплаты по отдельным кредитам не фиксированы, но есть минимальная сумма mi,
которая должна выплачиваться обязательно каждый месяц, при этом общая месячная выплата p
постоянна. (Указание: в дополнение к переменным выплат по i-му кредиту в t-й месяц можно
добавить переменную для измерения оставшейся непогашенной суммы i-го кредита в t-й месяц)
5. Поток обязательств взаимного фонда (в млн долл.):
6/1
6
12/1
6
6/2
9
12/2
9
6/3
10
12/3
10
6/4
10
12/4
10
6/5
8
12/5
8
6/6
8
12/6
8
6/7
6
12/7
6
6/8
5
12/8
5
Выберите 30 подходящих активов для составления балансового портфеля (облигации без права
1
досрочного погашения, казначейские векселя и записки). Сформулируйте и решите LP-задачу
нахождения минимальной стоимости балансового портфеля (с запретом на короткие продажи).
Сформулируйте и решите задачу минимизации стоимости иммунизованного. Сравните полученные
портфели.
(Указание: иммунизованный портфель строится на условиях балансирования сегодняшней
стоимости, дюрации и выпуклости активов и обязательств. Эти показатели приравниваются к
показателям портфеля, состоящего только из безрисковых облигаций.
Приведенная [текущая, дисконтированная] стоимость – сумма ожидаемого в будущем дохода
или платежа, дисконтированная на основе той или иной процентной ставки; для долга определяется
как сумма всех будущих платежей по обслуживанию долга, дисконтированная по той или иной
T
Lt
процентной ставке, PV
.
t
t 1 (1 rt )
Дюрация (Маколея) – средневзвешенный срок до погашения, показатель неустойчивости цены
1 T tLt
облигации (чем выше дюрация, тем больше неустойчивость), D
.
PV t 1 (1 rt )t
Выпуклость – характеристика чувствительности рыночных цен купонных облигаций к
1 T t (t 1) Lt
изменениям уровня процентных ставок, C
.)
PV t 1 (1 rt )t 2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
1. Ваше предприятие собирается открыть по одному абонентскому ящику во всех областях нашей
республики. Сформулируйте и решите задачу смешанного целочисленного программирования для
минимизации расходов с двумя видами ограничений.
2. Постройте индексный фонд из 20 акций, входящих в S&P 50, на период от 3 месяцев до 3 лет и
проверьте его качество (у идеального индексного фонда отношение нормализованной стоимости
всего рынка к рыночной стоимости индексного фонда всегда равно 1).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
1. Сформулируйте и решите классическую задачу Марковица в различных постановках:
Выберите 30 акций и получите информацию об их исторических доходностях на
протяжении оптимального периода времени.
Используя историческую информацию, рассчитайте их ожидаемые доходности и их
ковариационную матрицу.
Сформулируйте задачу и решите для различных уровней требуемой доходности R, если
разрешена короткая продажа нет ограничений на диверсификацию.
Пересчитайте эти портфели с запретом на короткую продажу и с различными
ограничениями на диверсификацию.
Сравните ожидаемую доходность построенных вами портфелей с реальной, основанной
на фактических ценах.
Исследуйте чувствительность полученных вами оптимальных портфелей к небольшим
изменениям данных (например, ожидаемых доходностей активов).
2. Постройте портфель из пяти классов активов на базе задач а) Марковица, б) Блека-Литтермана и
в) Конно-Ямасаки для портфеля из 5 активов. Сравните полученные портфели между собой и
проверьте на реальных данных.
2
3. Решите задачу максимизации коэффициента Шарпа для портфеля из 5 активов.
4. Используйте RBSA для определения эффективного набора инвестиций для некоторого взаимного
фонда, работающего со следующими классами активов: быстро растущие акции, дорогие акции,
медленно растущие акции, дешевые акции, международные акции, облигации. Вам следует найти
временные ряды доходностей, представляющих эти классы, а также доходностей какого-либо
взаимного фонда, выбранного вами. Решите задачу, используя 30 периодов данных (Т = 30).
3