выражений, содержащих квадратные корни

План-конспект открытого урока по алгебре в 8-м
классе. Тема: "Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни"
Цели урока:
1. Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства
арифметического квадратного корня.
2. Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
3. Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования
выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
4. Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои
возможности.
5. Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.
Тип урока: урок-практикум.
Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене
Декарта, плакаты с формулами.
Ход урока
I. Организационный момент.
Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические
квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования
выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из
произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за
знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и
освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
II. Устный опрос по теории.




Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим
квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат
которого равен а).
Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический
квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен
произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из
дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен
корню из числителя, делённому на корень из знаменателя).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2? (|х|).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2, если х≥0? х<0? (х. –
х).
III. Устная работа. (Записано на доске).
1.
Найдите значение корня:
Ответ
(11);
(
);
(1,6);
(6).
2.
Найдите значение выражения: Ответ
(30)
(20)
(11)
=?
3.
Вынесите множитель за знак корня:
Ответ:
= 0,8|а | = 0,8а, если а≥0
0,8|а | = -0,8а, если а<0
(пишу на доске под диктовку ученика)
(3х
) – Какое по знаку х3 ?
4.
Внесите множитель под знак корня: Ответ:
(-
-2
(
)
)
5.
Сравните:
и2
Ответ:
(22<28)
IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями).
1. Выполните действия.



Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые).
Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов).
Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём
подобные слагаемые).
Задание
а)
3
б)
(2 - 5
г)
д)
е)
-3
)(3
)
(5
-
)(
2
+ 0,3
3
+ 0,5
Е
15 - 3
- 1)
+5
-4
-2
)
17
К
64
А
+ 0,01
-8
+ 0,01
Буква
Д
-120
)-2
-(
в) (1 + 3
Ответ
4
-2
Р
Т
(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру
решают у задней доски).
– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В
результате получаются слово: Декарт.
V. Историческая справка.
Ученик выступает с небольшим сообщением.
В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному
обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень
квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако
долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене
Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии»
современный знак корня
. Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале
XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок).
VI. Отработка знаний по теме.
2. Разложите на множители.
– Как будем выполнять это задание? (а и б – разложим по формуле разности квадратов, в
и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13
квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель).
а) а – 9, а≥0
(
- 3)(
+ 3)
б) 16 – в , в≥0
(4 -
)(4 +
в) 13 + 3
г) 7 - 2
(
(
)
+ 3)
- 2)
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого
варианта) решают у доски.
– Проверка.
3. Сократите дробь.
– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или
знаменатель, а потом сократим).
аа)
б)
в)
г)
д)
е)
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 4 человека решают у доски. Примеры д и е
решают дополнительно, кто успеет.
– Проверка.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
– Что будем делать в этом задании? (Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не
содержал квадратного корня: а и б будем домножать и числитель, и знаменатель на
квадратный корень, записанный в знаменателе; в и г будем домножать на сумму или
разность выражения, записанного в знаменателе для того, чтобы получилась разность
квадратов).
а)
б)
в)
2(
- 1)
г)
Ученики решают по вариантам, 2 человека решают по 2 примера у доски.
– Проверка.
VII. Написание теста.
У каждого на парте листок с заданиями теста. Подписали листок и выполнили задания в
этом же листке. После написания работы сдали, проверили ответы и разобрали, почему
так, через графопроектор.
VIII. Домашнее задание. с. 109 № 503 (а–г), 504.
IX. Итоги урока.
План-конспект урока по алгебре в 8 классе
на тему «Квадратный корень из произведения и дроби».
Цели урока:
Образовательные:
· изучить основные свойства квадратных корней,
· сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих
квадратные корни,
· научить вычислять значения квадратных корней.
Воспитательная:
· воспитывать внимательность, аккуратность, настойчивость.
· воспитывать интерес к математике.
Развивающие:
· развитие памяти,
· развитие умений преодолевать трудности,
· развитие навыков работы с учебником, справочными материалами.
Оборудование:
таблица квадратов натуральных чисел, материалы для самостоятельных работ, листы
чистой бумаги с копиркой, переносная доска.
Тип урока:
комбинированный.
ХОД УРОКА.
1. ОРГМОМЕНТ. МОТИВАЦИЯ.
Сообщение темы урока. Обратить внимание учащихся как важно оперировать
выражениями, содержащими квадратные корни. Указать, что изучаемая тема будет
использоваться и в других областях знаний. Например, расчет скорости искусственного
спутника земли, расчет первой космической скорости, расчет периода полураспада ядер
радиоактивных веществ делается при помощи корня квадратного.
2.АКТУАЛИЗАЦИЯ И КОРРЕКЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
Фронтальный опрос учащихся. Запись ответов ведется на доске.
Свойство степени с натуральным показателем. Определение квадратного корня.
Определение арифметического квадратного корня. Следствие из определения
арифметического квадратного корня. Формула разности квадратов. Словарная работа:
как называют знак корня квадратного?
РАДИКАЛ. Обратите внимание на написание этого слова.
Радикал ( от латинского radix – корень), математический знак
, которым обозначают
действие извлечения корня, а также результат этого извлечения.
3.ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
Рассказ учителя с элементами беседы.
1. Сравните значение выражений а)
и
; б)
·
и
.
Ответ : они равны.
Этими свойствами обладают корень из произведения любых чисел и корень из частного
любых чисел. Докажем это.
2. Теорема 1. Если а³ 0 и в³ 0, то
=
.
Для доказательства достаточно доказать, что 1)
³ 0 и 2)(
)2=ав.
Доказательство учащиеся проводят с помощью учителя на доске и в тетрадях.
Это равенство является тождеством при все допустимых значениях переменных а и в.
Теорема 1 верна и тогда, когда число множителей под знаком корня больше двух.
. Доказательство учащиеся проводят самостоятельно.
=
ВЫВОД. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению из
этих множителей.
3. Теорема 2. Если а³ 0 и в> 0, то
=
.
Для доказательства достаточно установить, что 1)
³ 0 и 2) (
)2=
.
Доказательство учащиеся проводят самостоятельно в тетрадях и на доске.
ВЫВОД. Корень из дроби, числитель которой неотрицательное число, а знаменатель
положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
4. Работа с учебником. Учащиеся рассматривают примеры 1-5 учебника на странице 81.
4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Выполнение упражнений №357, №358, №366, №367 с проверкой.
№357
а) 70 ; б) 180 ; в) 88 ; г) 6 ; д) 1,3 ; е) 0,3 .
№358
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
; ж)
; з)
.
5. КОРРЕКЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Проводится самостоятельная работа на три варианта с разным уровнем сложности на
листах с копиркой, после самопроверки разбираются вопросы, возникшие у учащихся во
время выполнения работы.
6. РАБОТА В ГРУППАХ ПОСТОЯННОГО СОСТАВА.
Выполнение упражнений №362, №364, №370, №373.
7. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Учащиеся выполняют закодированное задание, затем сверяют полученное слово с
правильным ответом, записанным на доске.
8. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Выучить п. 15, повторить свойства степени с целым показателем, определение модуля.
Практическая часть домашнего задания дифференцирована по трем уровням:
1..№359,№361; 2.№363,№365; 3.№469,№470.
9. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ ЗАНЯТИЯ.
Подведение итогов занятия. Сообщение о полученных оценках.
Обращение учителя к классу: «Я прошу продолжить мою фразу «Знания, полученные на
этом уроке, мне необходимы для того, чтобы …»».
Выставление оценок.

Открытие ученого: смерти не существует. Что же происходит с людьми?

Раковые клетки боятся этого фрукта больше химиотерапии
План-конспект урока по алгебре в 8 классе
на тему «Квадратный корень из произведения и дроби».
Цели урока: доказать теоремы о корне квадратном из произведения и дроби;
выработать умение применять эти теоремы для преобразования и вычисления
значений
выражений, содержащих квадратные корни;
продолжать развивать умения учащихся работать с учебником, пользоваться
таблицами квадратов натуральных чисел, развивать вычислительную
культуру учащихся, внимательность;
воспитывать интерес к математике, аккуратность.
Оборудование:
таблица квадратов натуральных чисел, материалы для самостоятельных работ,
переносная доска.
Тип урока:
комбинированный.
ХОД УРОКА.
1. ОРГМОМЕНТ. МОТИВАЦИЯ.
Сообщение темы урока. Обратить внимание учащихся как важно оперировать
выражениями, содержащими квадратные корни. Указать, что изучаемая тема будет
использоваться и в других областях знаний. Например, расчет скорости искусственного
спутника земли, расчет первой космической скорости, расчет периода полураспада ядер
радиоактивных веществ делается при помощи корня квадратного.
2.АКТУАЛИЗАЦИЯ И КОРРЕКЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
Фронтальный опрос учащихся. Запись ответов ведется на доске.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Свойство степени с натуральным показателем.
Определение квадратного корня.
Определение арифметического квадратного корня.
Следствие из определения арифметического квадратного корня.
Формула разности квадратов.
Словарная работа: как называют знак корня квадратного?
РАДИКАЛ. Обратите внимание на написание этого слова.
Радикал ( от латинского radix – корень), математический знак
действие извлечения корня, а также результат этого извлечения.
, которым обозначают
3.ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
Рассказ учителя с элементами беседы.
1. Сравните значение выражений а) 9  16 и
9  16 ; б)
16
и
9
16
.
9
Ответ : они равны.
Этими свойствами обладают корень из произведения любых чисел и корень из частного
любых чисел. Докажем это.
2. Теорема 1. Если а и в 0, то ав  = а в .
Для доказательства достаточно доказать , что 1) а в  0 и 2)( а в )2=ав. Доказательство
учащиеся проводят с помощью учителя на доске и в тетрадях.
Это равенство является тождеством при все допустимых значениях переменных а и в.
Теорема 1 верна и тогда , когда число множителей под знаком корня больше двух.
авс = а в с . Доказательство учащиеся проводят самостоятельно.
ВЫВОД. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению из
этих множителей.
а
а
3. Теорема 2. Если а 0 и в 0, то
=
.
в
в
а
а 2 а
 0 и 2) (
)= .
в
в
в
Доказательство учащиеся проводят самостоятельно в тетрадях и на доске.
Для доказательства достаточно установить, что 1)
ВЫВОД. Корень из дроби ,числитель которой неотрицательное число, а знаменатель
положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
9. Работа с учебником. Учащиеся рассматривают примеры 1-5 учебника на странице
81.
4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Выполнение упражнений №357, №358, №366, №367 с проверкой.
№357
а) 70 ; б) 180 ; в) 88 ; г) 6 ; д) 1,3 ; е) 0,3 .
№358
3
6
11
12
5
13
9
5
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
; ж)
; з) .
8
5
5
13
4
9
4
3
9. КОРРЕКЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Проводится самостоятельная работа на три варианта с разным уровнем сложности , после
самопроверки разбираются вопросы ,возникшие у учащихся во время выполнения работы.
9. РАБОТА В ГРУППАХ ПОСТОЯННОГО СОСТАВА.
Выполнение упражнений №362, №364, №370, №373.
7.КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ.
Учащиеся выполняют закодированное задание, затем сверяют полученное слово с
правильным ответом, записанным на доске.
9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ .
Выучить п. 15, повторить свойства степени с целым показателем, определение модуля.
Практическая часть домашнего задания дифференцирована по трем уровням: 1..№359,№361;
2.№363,№365; 3.№469,№470.
9. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ ЗАНЯТИЯ.
Подведение итогов занятия. Сообщение о полученных оценках.