оригинальный файл 307 Кб

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в
тригонометрических уравнениях»
Цели и задачи урока:
 повторение по теме «Решение тригонометрических уравнений»; закрепление
основных понятий базового уровня, умений и навыков по применению
арифметического способа отбора корней в тригонометрических уравнениях.
 развитие
познавательного
интереса,
логического
мышления,
интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
 воспитание самостоятельности мышления у учащихся.
Тип урока: урок повторения.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, коллективная
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация
«Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях».
Ход урока:
I. Организационный момент. (Сообщение темы, целей и задач урока)
II. Устная работа.
1. Расположите в порядке убывания числа:
 1 1 
5
;3 ; ; ; ;2,5; .
2 8
2 6
6
2. Расставьте в порядке возрастания числа:
3 2  5
 ;
; ; ;2.
2
3
2
6
5 
3. Сравните числа: arctg ; ;1
4 4
4. Вычислите:
(В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса,
арксинуса, арктангенса и арккотангенса)
3
а) arcsin1; б) arccos ( ) ; в) arcsin (- 2); г) arctg ( 3 ) ;
2

д) arccos (  ) ; е) arсctg ( 3 )
2
III. Повторение.
1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений
Вид уравнения
sin x  a
1  a  1
cos x  a
tgx  a
ctgx  a
1  a  1
   a  
   a  
Общая формула серии уравнений
n
x   1 arcsin a  n,
x   arccos a  2n,
x  arctga  n,
x  arcctga  n,
2.
Следует отметить внимание учащихся, что в случае отбора корней
применение общей формулы серии решений для синуса и косинуса не является
удобным. В этом случае удобнее не объединять серии решений, а представлять их
совокупностью.
3.
При повторении формул решения уравнений следует обратить
внимание учащихся на то, что эти формулы задают множества чисел, которые
образуют арифметические прогрессии с разностью 2 для синуса и косинуса и  для
тангенса и котангенса.
sin x  a,
4.
Решения уравнений
совокупностью двух серий решений:
arcsin a  2n,
n  Z,
x
  arcsin a  2n,
Уравнения имеют решения:
sin x  1
sin x  0
x  n,

x    2n,
2
5.
Решения уравнений
совокупностью двух серий решений:
arccos a  2n,
n  Z,
x

arccos
a

2

n
,

( 1  a  1)
можно
записать
можно
записать
можно
записать
можно
записать
sin x  1

x   2n,
2
cos x  a,
Уравнения имеют решения:
cos x  1
cos x  0
x    2n,

x   n,
2
6.
Решения уравнений tgx  a,
совокупностью двух серий решений:
arctga  2n,
n  Z,
x
  arctga  2n,
Уравнения имеют решения:
tgx  1
tgx  0
x  n,

x    n,
4
7.
Решения уравнений ctgx  a,
совокупностью двух серий решений:
arcctga  2n,
n  Z,
x
  arcctga  2n,
Уравнения имеют решения:
ctgx  1
ctgx  0
x    n,
3
x
 n,
4
( 1  a  1)
cos x  1
x  2n,
(    a   )
tgx  1
x

4
 n,
(    a   )
ctgx  1
x

4
 n,
IV. Арифметический способ отбора корней
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно
используют один из следующих способов: арифметический, алгебраический,
геометрический, функционально-графический. Рассмотрим арифметический способ
отбора корней. Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при
переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений
тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке
корней.
Рассмотрим примеры, в которых используется арифметический способ отбора
корней.
1. Непосредственная подстановка в уравнение и имеющиеся ограничения.
Пример 1. Решите уравнение: 5 cos x  cos 2 x  2 sin x  0 .
Решение:
5 cos x  cos 2 x  2 sin x .
5 cos x  cos 2 x  4 sin 2 ,

Решим
sin x  0;
2
5 cos x  2 cos x  1  41  cos 2 x 
Это
уравнение
равносильно
уравнение
системе
системы:
2 cos 2 x  5 cos x  3  0,
cos x  0,5
x1 

или
 2n,
3
cos x  3
корней нет

 2n, 
3
Проверим для полученных значений х выполнение условия cos x  0 . Для первой

3


серии получаем: sin   2n   sin 
 0.
3
2
3

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем:

3
 

sin    2n    sin  
 0.
3
2
 3

Следовательно, все числа второй серия решений уравнения системы являются
корнями исходного уравнения.

õ    2n, n  .
3
Ответ:
x2  
Пример 2. Решить уравнение sin x  3 cos x  0.
Решение: Рассмотрим два множества значений неизвестной х, для которых sin x  0 и
sin x  0 соответственно.
1. Пусть sin x  0 , тогда данное уравнение принимает вид:
sin x  3 cos x  0, sin x   3 cos x.
Разделив обе части уравнения на cos x (так как ясно, что cos x не равен нулю),
получим:

tgx   3 x    ê , ê  Z .
3
Из этой серии решений отберём значения х, для которых
sin x  0.

x    ê
3
Подставляя
значения
в
это
неравенство,
находим:
sin( 

3
 2n)  
3
2 при к=2n,
2
3
 2n) 
3
2 при к=2n,+1.
Следовательно,
корнями
исходного
уравнения
являются
числа
2
x
 2n, n  Z .
3
sin x  0
2.
Пусть
,
тогда
данное
уравнения
принимает
sin(
 sin x  3 cos x  0,  sin x   3 cos x, sin x  3 cos x, tgx  3 , x 
Отберём из полученных решений те значения х, для которых

3
вида
вид:
 k , k  Z .

 k
3
Подставляя значения
в это неравенство, находим:

3
sin(  2m) 
ïðèk  2m, m  Z .
3
2
4
3
sin(
 2m)  
ïðèk  2m  1, m  Z .
3
2
Следовательно, корнями исходного уравнения являются числами
4
x
 2m, m  Z .
3
2
4
 2n,
 2n, n  Z .
3
Ответ: 3
sin x  0
x
вида
2.
Учёт области определения или множества значений функций.
Иногда при обобщении уравнений некоторые «посторонние» решения, возникающие
в результате замены, могут быть удалены по причине несоответствия их области
определения или множеству значений тригонометрических и обратно
тригонометрических функций (таблица).
Функция
Область определения
Область значений функции
y  sin x
 ;
 1;1
y  cos x
 ;
 1;1
y  tgx

 ;
õ   ,   Z .
2
y  ctgx
õ  ,   Z .
 ;
y  arcsin x
 1;1
  
 2 ; 2 


y  arccos x
 1;1
0; 
y  arctgx
 ;
  
 2 ; 2 


y  arcctgx
 ;
0; 
cos x
 0.
Пример 1. Решите уравнение
1  sin x
cos x  0, cos x  0,


Решение: Данное уравнение равносильна системе: 1  sin x  0; sin x  1;
cos x  0
Если 0
, то (из основного тригонометрического тождества) sin x=1, или
sin x=-1. Так как sin x не равен нулю, то остаётся отобрать те значения х, при которых

x    2k , k  Z .
2
sin x=-1. Отсюда

  2k , k  Z .
Ответ: 2
2
6 sin x cos x  sin 2 x cos  0.
x
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получаем:
2
2
3 sin 2 x  sin 2 x cos  0, sin 2 x(3  cos )  0.
x
x
2
2
1
3  cos  0.
x0
x
x
Так как
при всех
, то
Следовательно, уравнение
sin 2 x  0,

x
, k  Z ,   0.

2
равносильно системе:  x  0;
отсюда
 1  cos
Ответ:
x

2
, k  Z ,   0.
V. Подведение итогов урока.
VI. Домашнее задание.
1. Найдите корни уравнения sin 3x  1, удовлетворяющих неравенству cos x  0.
Решите уравнения:
2. cos x  cos x  2 sin x.
3. 2 sin 2 x  5 cos x  4.
4. cos 2 0,5 x  0,6  5 cos x  1.
5. 10  2 cos 2 x  14 sin 0,5 x