Document 245088

Задания
Задача №1.
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и всевозможные суммы (по 2, по 3 и
т.д.) выписываются на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3,
5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
a) На доске выписан набор -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
b) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число
0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть
задумано?
c) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому
набору можно однозначно определить задуманные числа?
Задача №2.
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если
какое-то число n , выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске
оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если
задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1,3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
a) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
b) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан
набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Задача №3.
На доске написано более 40, но не менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно -8.
a) Сколько чисел написано на доске?
b) Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Задача № 4
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое
число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили
различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее
арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг
кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и
наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся
оценок.
a) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам
1
оценивания, равняться 25?
b) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам
оценивания, равняться
1
?
35
в) найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по
старой и новой система оценивания.
Задача №5.
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
a) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
b) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и
суммы его цифр?
Задача №6
Даны 𝑛 различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
(𝑛 ≥ 3).
a) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
b) Каково наибольшее значение 𝑛, если сумма всех данных чисел меньше 800?
c) Найдите все возможные значения 𝑛, если сумма всех данных чисел равна 111.
Задача №7.
Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 , 10, - 11 по одному записывают на 10
карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново
пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на
каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Задача №8
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма
девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо. Причём и тех, и
других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какойто девушке несколько писем.
a) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
b) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что
все они получили писем поровну?
c) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то
девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное
количество девушек в такой группе?
Задача №9
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что ктото из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не
более
2
11
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков
было не более 0.4 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
a) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в
группе было 20 учащихся?
b) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если
дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
c) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся
в группе без дополнительного условия пунктов а и б?