МАИ

МАИ
Кафедра 308
Ф-т № 3
2009/10 уч.г.
Дисциплина: «Теория и методы оптимизации»
Основные экзаменационные вопросы и задачи
1. Постановка задач оптимизации (формулировка задачи «О консервной банке», многоальтернативность-основная черта задач оптимизации, общая форма записи задачи оптимизации, целевая функция и ее относительность, конструктивные параметры, область допустимых решений,
еще примеры задач оптимизации).
2. Понятие о задачах оптимизации (общая форма записи задачи оптимизации, классификация задач оптимизации с помощью этой формулы, одномерные и многомерные задачи без ограничений, методы решения: трудности применения классического анализа для решения задач оптимизации: задачи с ограничениями, задача коммивояжера)
3. Постановка одномерной задачи минимизации (виды одномерной функции, графические примеры, ряд Тейлора, необходимые условия экстремума (доказательство), понятие глобального минимума и простейший алгоритм его поиска).
4. Классификация методов одномерной минимизации (понятие унимодальности, алгоритм определения интервала унимодальности, метод равномерного поиска, метод деления пополам, метод золотого сечения, метод полиномиальной аппроксимации, методы с использованием
производных)
5. Алгоритм одномерной минимизации-метод деления пополам (две части алгоритма
минимизации: локализация интервала унимодальности и поиск минимума, как уменьшение начального интервала, найденное решение – это интервальная оценка минимума)
6. Алгоритм одномерной минимизации-метод деления золотого сечения (две части алгоритма минимизации: локализация интервала унимодальности и поиск минимума, как
уменьшение начального интервала, найденное решение – это интервальная оценка минимума)
7. Алгоритм полиномиальной аппроксимации (две части алгоритма минимизации: «локализация интервала унимодальности» и «вычисление минимума»; сравнение точечной оценки минимума с интервальной, как задавать пробные точки, возможные ошибки минимизации, пути их преодоления)
8. Одномерная минимизация-методы с использованием производных (метод Ньютона-Рафсона и его сходимость, точность оценки минимума и правило останова; граыическая иллюстрация; методы средней точки и секущих; что такое разностная аппроксимация производных?
как использовать разностные производные в составлении матрицы Гессе?).
9. Задача многомерной безусловной минимизации (общая формальная запись задачи,
определение линий уровня целевой функции, рисунки линий уровня квадратичной формы, определение вектора и его норма, ряд Тейлора в матричной записе, необходимые условия экстремума)
10. Классификация многомерных методов минимизации (методы нулевого, первого и
второго порядков: правильный многогранник, Хука-Дживса, Коши, Ньютона и Марквардта – графическая иллюстрация на примере минимизации тестовых функций).
11. Понятие целевой функции в многомерной задаче минимизации (целевая или критериальная функция, определение линий (поверхностей) равного уровня функции, тестовые двумерные функции, как определить норму вектора, расстояние между функциями?; понятие и свойства квадратичной функции, ряд Тейлора, необходимые условия экстремума в многомерном случае).
12. Метод многогранника, S-квадрат и метод Хука-Дживса (идея методов, к какому классу относятся указанные методы, блок-схема алгоритма (любого из указанных), как задается точность метода?; правило останова, примеры траекторий поиска минимума на фоне линий уровня
функции Розенброка).
13. Метод Коши и его сравнение с релаксационным методом (идея этих двух методов,
математическое обоснование метода Коши, блок-схема алгоритма, правила останова, примеры
траекторий поиска минимума на примере квадратичной формы, аналитика одномерного поиска,
сравнение с методами нулевого порядка).
14. Метод Ньютона, его модификация, метод Марквардта (идея методов и его математическое обоснование, блок-схема алгоритма, правила останова, примеры траекторий поиска минимума, в чем заключается модификация метода, сравнение с методом Коши для квадратичной
формы, что является регулятором в методе Марквардта?).
15. Одномерная минимизация в методе Хука-Дживса (идея метода Хука-Дживса, блоксхема алгоритма, как выбрать направления исследующего поиска, формулы одномерного поиска в
ускоряющем шаге на примере квадратичной формы, траектория поиска).
16. Одномерная минимизация в методе Коши (идея метода Коши, блок-схема алгоритма,
почему выбирается антиградиентное направление (доказать), место одномерного поиска в методе,
формулы одномерного поиска на текущем k-м шаге на примере квадратичной формы, траектория
поиска Коши, как доказать правильность итераций Коши?).
17. Оптимальный градиентный метод (метод Коши) (Алгоритм Коши, почему он называется «оптимальный», примеры траекторий поиска для малого, большого и оптимального параметра
шага поиска минимума двумерной квадратичной формы q(x)=xTQx с диагональной матрицей Q).
18. Метод случайного поиска минимума (идея метода случайного поиска, блок-схема алгоритма случайного поиска, сколько направлений поиска можно использовать, как случайным образом
генерировать направление, как регулировать длину шага поиска, правило останова поиска).
Задачи (при ответе необходимо придерживаться схемы: что такое конструктиные параметры, что такое
целевая функция, почему решение единственное, что такое анализ решения на чувствительность).
1. В вашем распоряжении находится 36 м сетки-ограды для ограждения прямоугольной площади на Вашем садовом участке, причем одна сторона этого прямоугольника примыкает к стене, и поэтому не требует использования сетки. Определите такие размеры забора, чтобы обеспечить максимум огороженной площади.
2. Для функции q(x) = xTQx + bTx + a вычислите и постройте вектор антиградиента и вектор ньютоновского направления в точке (2, 3)T пространства переменных, если Q=diag(3, 1), bT=(4, 1),
a=2. Вычислите нормы этих векторов. Поясните понятия возможного и приемлемого, глобального и локального направлений в задачах минимизации без ограничений.
3. Паром, который должен курсировать через канал шириной D км, конструируется с таким расчетом, чтобы с его помощью можно было перевозить заданное количество груза F тонн в течение T час. Пусть
стоимость парома без двигателей прямо пропорциональна (с коэффициентом k1) грузоподъемности
парома f тонн, а стоимость двигателей прямо пропорциональна (k2) произведению грузоподъемности
на скорость движения парома V км/час в кубе. Покажите, что полная стоимость парома минимальна в
том случае, когда стоимость парома без двигателей в два раза превышает стоимость двигателей.
(Временем погрузки-разгрузки пренебречь, считая, что паром курсирует без остановок).
4. Паром, который должен курсировать через канал шириной D=6 км, конструируется с таким расчетом,
чтобы с его помощью можно было перевозить F=1000т груза за T=24 час. Стоимость парома без двигателей прямо пропорциональна (с коэффициентом k1=100) грузоподъемности парома f=100 т, а стоимость двигателей прямо пропорциональна (k2=50) произведению грузоподъемности на скорость движения парома V км/час в кубе. Найдите скорость проектируемого парома, чтобы стоимость перевозки была минимимальна. (Временем погрузки-разгрузки пренебречь, считая, что паром курсирует без остановок).
5. Лесной пожар распространяется в узкой долине шириной 2 мили со скоростью 32 фут/мин. Сдержать
наступление огня можно путем построения заградительной противопожарной перегородки, пересекающей лес по всей ширине долины. Один рабочий может построить 2 фута перегородки в минуту. Затраты
на транспортировку каждого рабочего к месту событий и обратно составляют 20 долл.; оплата труда
каждого рабочего составляет 6 долл. В час. Стоимость квадратной мили леса равна 2000 долл. Сколько
рабочих следует послать на борьбу с огнем, чтобы полные издержки были минимальны?
6. Требуется переправить 400 ярд3 сыпучего материала через большую реку. Для перевозки груза необходимо построить контейнер. Известно: стоимость каждого рейса на противоположный берег и обратно
равна 4.2 долл.; стоимость материалов для изготовления дна контейнера составляет 20 долл/ярд 2; боковых стенок контейнера – 5 долл/ярд2, крышки контейнера – 20 долл/ярд2. Сконструируйте контейнер
таким образом, чтобы минимизировать полные затраты на перевозку груза.
7. В процессе производства определенного количества некоторого товара его цена устанавливается равной К руб. Товар хранится на складе до тех пор, пока не буден использован, и стоимость хранения одной единицы товара составляет S руб в день. Норма потребления товара составляет R единиц в день.
Покажите, что если товар производится регулярно в количестве x в течение времени x/R, то стоимость
функционирования такой системы в день равна C=(KR)/x + (Sx)/2. Найдите такое значение x*, что
C(x*)=min.
Доцент
В.Г.Герасименко