Лекция 8 Текстовые задачи

Лекция 8
Текстовые задачи
8.1. Решение задач на прогрессии
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, первое из
которых (обозначается ах) берется произвольным образом, а каждое
последующее, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением
одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии
(обозначается d).
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, первое из
которых (обозначается b1) — произвольное, отличное от нуля число, а каждое
последующее, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на
одно и то же, отличное от нуля число, которое называется знаменателем прогрессии (обозначается q). Приведем несколько важных теорем.
Теорема 1. Пусть ап — n-й член, d— разность, а Sn — сумма п первых членов
арифметической прогрессии.
Тогда справедливы следующие формулы:
2𝑎1+𝑑(𝑛−1)
𝑎1+𝑎𝑛
an = a1 + d(n -1), Sn=
𝑛=
𝑛.
2
2
Теорема 2. Для геометрической прогрессии с п-м членом bn, знаменателем q и
суммой п первых членов Sn имеют место соотношения:
bn=b1qn-1
Sn=(1+q+q2+….+qn-1) =
𝑏1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑞−1
.
Теорема 3. Числа a, b и с в указанном порядке образуют арифметическую
прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = а + с.
Теорема 4. Отличные от нуля числа a, b и с в указанном порядке образуют
геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда b2 = ас.
Задача 1. Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и
не делящихся на 13.
Решение. Вычислим сначала сумму всех натуральных чисел, не превосходящих
1000. Это есть сумма конечной арифметической прогрессии, у которой а1 = 1, d
= 1 и п = 1000. Имеем:
2𝑎1+𝑑(𝑛−1)
1001
Sn =
𝑛=
1000 = 500500.
2
2
Затем вычислим сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и
делящихся на 13. Это также есть сумма конечной арифметической прогрессии,
у которой а1 = 13, d = 13 и п = 76, так как 13 ∙ 76 = 988, а 13∙77 =1001. Имеем:
2𝑎1+𝑑(𝑛−1)
1001
Sn =
𝑛=
76 = 38038.
2
2
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся на 13, есть разность полученных сумм и равна 500 500 - 38 038 =
= 462 462.
Ответ: 462 462.
Задача 2. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30.
Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном
порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической
прогрессии. Найти разность арифметической прогрессии.
Решение. Пусть а1 и d — первый член и разность арифметической прогрессии.
Тогда а1 + 3d, а1 + 6d и а1 + 4d — соответственно четвертый, седьмой и пятый
ее члены. Так как числа х, у и z представляют собой три последовательных
члена геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда хz = у2, имеем
2𝑎 +9𝑑
2𝑎1 + 9𝑑 = 6,
𝑆10 = 1
∙ 10 = 30,
2
систему:{
⇔{
⇒
5𝑎1 𝑑 + 24𝑑 2 = 0
(𝑎1 + 3𝑑)(𝑎1 + 4𝑑) = (𝑎1 + 6𝑑)2
𝑑=0
𝑑=0
[ 2𝑎1 + 9𝑑 = 6, <=>[
{
𝑑 = −10
5𝑎1 + 24𝑑 = 0
Ответ: -10 или 0.
.
Задача 3. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел,
равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов меньше 4. Найти
первый член этой прогрессии.
Решение. Пусть d— разность данной прогрессии. Тогда ее третий член
равен (2 + d), а четвертый — (2 + 2d). Согласно условию задачи имеем
2
неравенство: (2 + d)2 + (2 + 2d)2 < 4 ⇔5d2 + 12d + 4 < 0 <=> -2<d<−
5
Так как d — целое число, то d = -1 и а1 = 2 - d = 3.
Ответ: 3.
3
Задача 4. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на больше,
2
чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему
члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если известно, что
знаменатель прогрессии положителен.
Решение. Пусть 𝑏𝑛 и q — соответственно n-й член и знаменатель данной
прогрессии. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:
1
𝑏1 (𝑞 5 − 1) 𝑏1 (𝑞 3 − 1) 3
3
=
+ ,
𝑆5 = 𝑆3 + ,
𝑞−1
𝑞−1
2
2 ⇔
⇔
4
2
𝑏5 = 4𝑏3 ,
𝑏1 𝑞 = 4𝑏1 𝑞 ,
𝑞>0
𝑞>0
{
{
𝑏1 (𝑞 5 − 1) 𝑏1 (𝑞 3 − 1) 3
1
=
+ ,
1
𝑞−1
𝑞−1
2
𝑏1 =
,
⇔
⇒
𝑏
=
.
{
16
4
2
𝑞 2 = 4,
𝑞=2
𝑞
>
0
{
Ответ: .
2
Задача 5. Числа a1 ,а2, ..., а21 образуют арифметическую прогрессию. Известно,
что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы
членов с четными номерами. Найти а21, если а20 = 3а9.
Решение. Пусть d — разность данной прогрессии. Рассмотрим все члены этой
прогрессии с нечетными номерами: а1, а3, ..., а21. Они сами образуют арифме-
тическую прогрессию с первым членом а1 и разностью 2d. Количество членов
этой прогрессии равно 11 и ее сумма равна
2𝑎1 + 2𝑑(11 − 1)
∙ 11 = 11𝑎1 + 110𝑑
2
Аналогично все члены исходной прогрессии с четными номерами: аг, а4, ..., а20
— образуют арифметическую прогрессию с первым членом а2 = а1 + d, разностью 2d и количеством членов, равным 10. Сумма этой прогрессии равна
2(𝑎1 + 𝑑) + 2𝑑(10 − 1)
𝑆2 =
∙ 10 = 10𝑎1 + 100𝑑
2
𝑆1 =
Согласно условиям задачи имеем систему уравнений:
11𝑎1 + 110𝑑 = 15 + 10𝑎1 + 100𝑑, 𝑎1 + 10𝑑 = 15,
𝑎 = −5
⇔{
⇔{ 1
⇒
{
𝑎1 + 19𝑑 = 3(𝑎1 + 8𝑑)
2𝑎1 + 5𝑑 = 0
𝑑=2
𝑎12 = 𝑎1 + 11𝑑 = 17.
Ответ: 17.
Задача 6. Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены
которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а
сумма пятых равна 161. Найти сумму шестых членов прогрессий.
Решение. Данную задачу можно сформулировать следующим образом:
Известно, что р + q = 3, а р4 + q4 = 161. Найти р5 + q5.
Запишем следующую цепочку преобразований:
161 = р4 + q4 = (р + g)(p3 + q3)-pq(p2 + q2) =
(𝑝 + 𝑞)2 (p2 − pq + 𝑞 2 ) − pq(p2 + 𝑞 2 ) = (𝑝 + 𝑞)2 ((𝑝 + 𝑞)2 − 3𝑝𝑞) −
𝑝𝑞((𝑝 + 𝑞)2 − 2𝑝𝑞) = 9(9 − 3𝑝𝑞) − 𝑝𝑞(9 − 2𝑝𝑞) = 2(𝑝𝑞)2 − 36𝑝𝑞 + 81 ⇔
(𝑝𝑞)2 -18pq-40=0⇔pq=-2 или pq=20.
Система уравнений р + q = 3 и рq = 20 решений не имеет, а система р + д = 3 и
рq = -2 решение имеет, поэтому получаем, что рq = -2. Нахождение самих р и q
хотя и возможно, но нецелесообразно, так как значения этих переменных
иррациональны, и дать ответ на вопрос задачи будет довольно сложно.
Поступим следующим образом:
р5 + q5 = (р + q)(p4 + q4) -pq(p3 - q3) = 3 ∙161-pq(p + q)(p2-pq + q2) =
483-(-2)∙3∙((p + q)2-3pq) = 483 + 6(9 - 3 ∙ (-2)) = 573.
Ответ: 573.
Задача 7. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна ее
первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов равна
100. Найти сумму первого, шестого и одиннадцатого членов этой прогрессии.
Решение. Пусть b1 й q — соответственно первый член и знаменатель данной
геометрической прогрессии. Согласно условиям задачи имеем систему:
𝑞5 − 1
𝑏1 ∙
= 5𝑏1 ,
𝑞−1
𝑞15 − 1
𝑏1 ∙
= 100.
𝑞−1
{
Разделив второе уравнение системы на первое, получим:
𝑏1 (1 + 𝑞 5 + 𝑞10 ) = 20 ⇔ 𝑏1 + 𝑏6 + 𝑏11 = 20.
Ответ: 20.
Задача 8. В арифметической прогрессии первый член и разность
положительны, а сумма первых десяти, членов равна разности квадратов
шестого и пятого членов. Найти разность этой прогрессии.
Решение. Пусть а1 и d — соответственно первый член и разность данной
арифметической прогрессии. Согласно условиям задачи имеем систему:
𝑎1 > 0,
𝑎1 > 0,
𝑑 > 0,
𝑑 > 0,
⇔{
⇔
{
2𝑎1 + 9𝑑
2
2
10𝑎1 + 45𝑑 = 𝑑(2𝑎1 + 9𝑑)
∙ 10 = (𝑎1 + 5𝑑) − (𝑎1 + 4𝑑)
2
𝑎1 > 0,
𝑑 > 0,
так как 2𝑎1 + 9𝑑 > 0, то 𝑑 = 5.
{
5(2𝑎1 + 9𝑑) = 𝑑(2𝑎1 + 9𝑑)
Ответ: 5.
Задача 9. Какое наибольшее число членов может содержать конечная
арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого
члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?
Решение. При а1 и п — соответственно первый член и число членов данной
арифметической прогрессии. Согласно условию задачи имеем неравенство:
2𝑎1 + 4(𝑛 − 1)
𝑎12 + (𝑆𝑛 − 𝑎1 ) ≤ 100 ⇔ 𝑎12 +
∙ 𝑛 − 𝑎1 ≤ 100.
2
Перепишем полученное неравенство как квадратное относительно а1:
а2 + (n- 1)𝑎1 + 2п2 - 2п -100 ≤ 0.
Это неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда дискриминант
соответствующего квадратного трехчлена неотрицателен:
D = (n - 1)2 – 8n2 + 8n+ 400 ≥ 0 ⇔ 7n2 – 6n - 401 ≤ 0.
Наибольшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, это п = 8.
Ответ: 8 членов.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии,
если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и
восемнадцатого ее членов равна 10.
2. Последовательность чисел а1, а2, а3, ... является арифметической
прогрессией. Известно, что а1+ а5+ а15 = 3. Найдите а5 + а9.
3. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно
12. Частное от деления второго члена на четвертый равно 3. Найдите
второй член прогрессии.
4. Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши.
Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря — 6 карандашей и 1
блокнот, Вася - 3 карандаша и 1 блокнот. Известно, что суммы денег,
заплаченные Алешей, Борей и Васей, образуют соответственно первый,
второй и третий члены геометрической прогрессии. Сколько стоит
блокнот?
5. Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение каждого
очередного километра пути, на одну и ту же величину больше, чем
время, затраченное им на прохождение предыдущего километра.
Известно, что на прохождение второго и четвертого километров после
старта он затратил в сумме 3 мин 20 с. За какое время велосипедист
проехал первые 5 км после старта?
6. Числа a1, a2, а3 образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих
чисел составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если
а1+ а2 + а3 = 21.
7. Пятый член арифметической прогрессии равен 22, а сумма седьмого и
девятого равна 32. Найдите сумму первых двадцати трех членов этой
арифметической прогрессии.
8. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если
известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого
и тринадцатого членов равна 58.
9. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8.
Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
10.Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии (аn) в пять
раз меньше суммы первых двадцати пяти членов арифметической
прогрессии (bn). Найдите отношение разности прогрессии (an) к разности
прогрессии (bn), если известно, что эти разности отличны от нуля и 4а12 =
b19.
11.Первый член арифметической прогрессии в два раза больше первого
члена геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена
геометрической прогрессии. Четвертый член арифметической прогрессии
составляет 50% от второго ее члена. Найдите первый член
арифметической прогрессии, если известно, что второй ее член больше
третьего члена геометрической прогрессии на 36.
12.В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма
членов с четвертого по четырнадцатый включительно равна 77. Найдите
номер того члена прогрессии, который равен 7.
13.Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых
членов равна —3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов
равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.
14. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего
членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего равно 324.
Найдите последний член прогрессии.
15. Второй член арифметической прогрессии равен 2, а сумма пятого и
шестого членов равна 9. Найдите сумму первых двадцати членов
прогрессии.
16. Найдите знаменатель убывающей геометрической прогрессии, если
сумма ее первых трех членов равна -7, а пятый член прогрессии меньше
второго на 14.
17. Найдите все натуральные значения параметра п, при каждом из которых
задача «Найти арифметическую прогрессию, если известны ее
семнадцатый член и сумма п первых членов» не имеет решения или ее
решением является бесконечное множество арифметических прогрессий.
18.Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии равны
соответственно третьему, шестому и восьмому членам некоторой
арифметической прогрессии, а их произведение равно 125. Найдите
первый член геометрической прогрессии.
19.В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А
он проезжал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м
меньше, чем в предыдущую. Через 9 с после того, как автомобиль достиг
пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на
расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в
каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в
предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с
автомобилем?
20. Коля, Петя, Миша и Ваня ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб,
пойманных Колей, Петей и Мишей, образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию. Если бы Коля поймал на две рыбы меньше,
а Ваня — на 12 рыб меньше, то количество рыб, пойманных Колей,
Петей, Мишей и Ваней, образовывали бы в указанном порядке
арифметическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша, если известно,
что он поймал на 18 рыб меньше Вани?
21. Числа а, b, с и d являются последовательными членами геометрической
прогрессии. Известно, что а + d= 10, ad = 7. Найдите b3+ с3.
Ответы: 1. 50.
2. 2.
3. ±6.
4.18 .
5. 3а 8 мин 20 с.
6.{(7; 7; 7); (7-7√2; 7; 7+7√2); (7+7√2; 7; 7-7√2)}.
7.184.
8. а1 = 2, d = 3.
9. 28.
10. 1 : 1.
11. 50.
12. 7.
13. 2.
14. 162.
3
15. 161 .
7
16. 2.
17. 33.
18. 5
19. 20 м.
20.18 рыб.
21. 70.
8.2. Решение задач на движение
При решении задач на движение используется формула s = vt, где s—
пройденное расстояние, у — скорость, t — затраченное время. Сложность
состоит в том, чтобы наиболее удачным образом выбрать переменные,
составить и решить систему уравнений. В некоторых задачах на движение
картинку лучше рисовать на координатной плоскости, где на оси абсцисс
откладывается время, а на оси ординат — расстояние. Иногда более
простым оказывается геометрическое решение задачи, использующее
подобие треугольников.
Задача 1. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с
постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним
из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути
автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью.
Определить все значения v, при которых автомобиль возвращается в А
позже, чем автобус приходит в В.
Решение. Согласно условиям задачи (см. рис. 1) должны выполняться два
неравенства.
С одной стороны, автомобиль должен догнать в пути автобус, а это
означает, что время, за которое автомобиль доезжает из пункта А в пункт В,
должно быть хотя бы на полчаса меньше времени, проведенного в пути
автобусом, то есть
105 1 105
+ ≤
⇔ 𝑣 ≤ 33,6.
40 2
𝑣
Найдем теперь время t, затраченное автомобилем с момента выезда до
момента встречи с автобусом. Так как к этому моменту автомобиль и
автобус проехали одинаковое расстояние, имеем:
1
𝑣
v( + 𝑡) = 40𝑡 ⇔ 𝑡 =
.
2
2(40−𝑣)
Таким образом, с момента выезда автобуса из города А до возвращения
1
1
𝑣
автомобиля в этот город прошло + 2𝑡 = +
часов. Согласно условию
1
𝑣
105
2
2
40−𝑣
задачи имеем: +
>
⇔𝑣 > 30.
2
40−𝑣
𝑣
Ответ: 30 < v ≤ 33,6.
Задача 2. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км,
навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4
часа они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста,
едущего из А в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго, едущего из В в A,
возросла на 10 км/ч. Известно, что первый велосипедист прибыл в пункт В
на 1 час раньше, чем второй прибыл в пункт А. Определить
первоначальную скорость первого велосипедиста.
Решение. Пусть vl и v2 — скорости соответственно первого и второго
велосипедистов, a t — время, за которое первый велосипедист проделал
весь путь от А до В. Тогда (t + 1) — время, за которое второй велосипедист
доехал от В до А (рис. 2).
Так как к моменту встречи оба велосипедиста в сумме проехали расстояние
100 км, имеем уравнение: 4(𝑣1 , + v2) = 100.
Согласно графику движения первого велосипедиста получим
4𝑣1 + (𝑡 − 4)(𝑣1 + 50 = 100
аналогично для второго велосипедиста —
4v2 + ((t + 1) - 4)(𝑣2 + 10) = 100. Имеем систему:
𝑣1 + 𝑣2 = 25,
{ 4𝑣1 + (𝑡 − 4)(𝑣1 + 5) = 100, ⇔
4𝑣2 + (𝑡 − 3)(𝑣2 + 10) = 100
𝑣1 + 𝑣2 = 25,
100−4𝑣1
𝑣 + 𝑣2 = 25,
𝑣2 = 25 − 𝑣1 ,
𝑡−4=
, ⇒ {100−4𝑣1
100−4𝑣
4𝑣
100−4𝑣
{ 1
𝑣1 +5
2
1
1
−
=1
−
= 1 ⇒ 𝑣1 = 15.
100−4𝑣2
𝑣2 +10
𝑣1 +5
35−𝑣1
𝑣1 +5
{ 𝑡 − 3 = 𝑣2+10
Ответ: 15 км/ч.
Задача 3 Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну
сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и
велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6
км позади них, а когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход
отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал
пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
Решение. Пусть t0 — момент времени, когда пешеход и велосипедист
находились в одной точке, t1 — момент времени, когда пешехода догнал
мотоциклист, а
t2 — момент времени, когда мотоциклист догнал велосипедиста (рис. 3).
Пусть в момент времени t1 расстояние между пешеходом и велосипедистом
было равно
х км (длина отрезка ВС). Согласно условиям задачи в момент времени t0
расстояние между пешеходом и мотоциклистом было равно 6 км (длина
отрезка ОА),а в момент времени t2 — 3 км (длина отрезка DE). Из подобия
𝐴𝐵
𝐴𝑂
треугольников ОАВ и EDB имеем:
=
= 2 ⇔ 𝐴𝐵 = 2𝐵𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 =
2
3
𝐵𝐷
𝐴𝐷.
𝐷𝐸
Из подобия треугольников ABC и ADE имеем:
𝐵𝐶 𝐴𝐵 2
𝑥 2
=
= ⇔ = ⇔ 𝑥 = 2.
𝐷𝐸 𝐴𝐷 3
3 3
Ответ: на 2 км.
Задача 4. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из
городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и
одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них увеличил свою
скорость на 25 км/ч, а другой — на 20 км/ч, то они также прибыли бы
одновременно на станцию С, но на 2 ч раньше. Найти скорости поездов.
Решение. Пусть, для определенности, города А, В и С расположены
последовательно в указанном порядке. Пусть s — расстояние между
городами В и С. Тогда (s + 60) — расстояние между городами A и С.
Обозначим через 𝑣1 и v2 скорости соответственно первого и второго
поездов. При этом первым поездом мы будем считать тот, который выехал
из города A. Так как нам неизвестно, какой из поездов увеличил свою
скорость на 20 км/ч, а какой — на 25 км/ч, необходимо рассмотреть два
случая. Пусть сначала первый поезд увеличил свою скорость на 20 км/ч.
Согласно условиям задачи имеем следующую систему:
𝑆 + 60
𝑆
= ,
𝑣1
𝑣2
𝑆 + 60
𝑆
=
,
𝑣1 + 20 𝑣2 + 25
𝑆
𝑆
=
+ 2.
{ 𝑣2 𝑣2 + 25
Разделив почленно первое уравнение на второе, получим:
𝑣1 +20
𝑣1
=
𝑣2 +25
𝑣2
5𝑣1 = 4𝑣2 .
Этот случай невозможен, так как получилось, что первоначальная
скорость первого поезда меньше первоначальной скорости второго, что
противоречит первому уравнению системы. Значит, первый поезд увеличил свою скорость на 25 км/ч. Имеем систему:
⇔
𝑆 + 60
𝑆
4𝑣1 = 5𝑣2 ,
= ,
𝑣1
𝑣2
𝑆 + 60
𝑆
𝑆 + 60
𝑆
= ,
𝑣1
𝑣2
=
,⇔
𝑣1 + 25 𝑣2 + 25
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
=
+ 2.
𝑣2 𝑣2 + 20
=
+ 2.
{ 𝑣2 𝑣2 + 20
{
5
𝑣1 = 𝑣2 ,
5
4
𝑣1 = 𝑣2 ,
𝑆 + 60
𝑆
4
𝑣 = 50,
=
,
𝑆
=
240,
⇔
⇔
⇒{ 1
5
𝑣
2
𝑣2 = 40.
𝑣
240
240
4 2
=
+ 2.
𝑆
𝑆
{
𝑣
𝑣
+
20
2
2
=
+ 2.
{𝑣2 𝑣2 + 20
Ответ: 50 км/ч и 40 км/ч.
Задача 5. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два
товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 ч
после начала движения и продолжали свой путь, причем первый поезд
прибыл в пункт В на 20 ч позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько
времени был в пути первый поезд?
Решение. Пусть t — время, затраченное вторым поездом на весь путь из В в
А. Тогда (t + 20) — время, затраченное первым поездом на весь путь из А в
В (рис. 4).
Рис.4
Точка D на рисунке соответствует моменту встречи поездов и имеет, согласно
условию задачи, абсциссу, равную 24. Из подобия треугольников BDC и EDA
𝐵𝐶
𝐷𝐶
𝑡+20
𝐷𝐶
имеем: =
⇔
= .
𝐴𝐸
𝐴𝐷
𝑡
𝐴𝐷
Из подобия треугольников ACG и ADF имеем:
𝐴𝐺 𝐴𝐶
𝑡 + 20 𝐴𝐶
=
⇔
=
.
𝐴𝐹 𝐴𝐷
24
𝐴𝐷
𝐴𝐶
Так как верно соотношение
=
𝐴𝐷
получаем уравнение:
𝐴𝐷+𝐷𝐶
𝐴𝐷
=1+
𝐷𝐶
𝐴𝐷
,
𝑡 + 20
𝑡 + 20
=1+
⇔ 𝑡 2 − 28𝑡 − 480 = 0 ⇔ 𝑡 = 40.
24
𝑡
Значит, первый поезд затратил на весь путь t+20=60ч.
Ответ: 60 ч.
Задача 6. Из пунктов A в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из
пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин - мотоциклист. Пешеход,
велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через
некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту
все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут
раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в
пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?
Решение. Пусть t — время прибытия мотоциклиста в пункт В (рис. 5).
При этом будем считать, что пешеход из пункта А отправился в нулевой
момент времени. Тогда, согласно условию задачи, (t + 1) — время прибытия
пешехода в пункт В. Пусть (t + t1)— время прибытия велосипедиста в пункт В.
Из подобия треугольников ADE.и CDH имеем:
𝐴𝐸 𝐸𝐷
2
𝐸𝐷
=
⇔
=
.
𝐶𝐻 𝐷𝐻
1 − 𝑡1 𝐷𝐻
Из подобия треугольников EDF и HDG имеем:
𝐸𝐹 𝐸𝐷
0,5 𝐸𝐷
=
⇔
=
𝐺𝐻 𝐷𝐻
𝑡1
𝐷𝐻
Рис. 5
Из полученных соотношений следует уравнение:
2
0,5
1
= ⇔𝑡1 = .
1−𝑡1
𝑡1
5
4
Это значит, что пешеход прибыл в пункт В позже велосипедиста на 1 – t1 = ч,
5
то есть на 48 мин.
Ответ: на 48 мин.
Задача 7. Из города А в город В выехал автомобиль. Спустя некоторое время
из В в А выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всем пути
постоянные, и они движутся по одному шоссе. Автомобиль до встречи с
мотоциклом находился в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл до встречи ехал 3 ч.
Мотоцикл прибыл в А в 23 ч, а автомобиль прибыл в В в 16 ч 30 мин. Найди
время отправления мотоцикла из города В.
Решение. Пусть t — время отправления мотоцикла из города В. Тогда, согласно
условиям задачи, (t - 4,5) — время отправления автомобиля из города A, a (t +
3) — время встречи автомобиля и мотоцикла (рис. 6).
Из подобия треугольников EOD и FOC имеем:
𝐸𝐷 𝑂𝐷
16,5 − 𝑡
𝑂𝐷
33 − 2𝑡 𝑂𝐷
=
⇔
=
⇔
=
𝐶𝐹 𝐶𝑂
23 − (𝑡 − 4,5) 𝐶𝑂
55 − 2𝑡 𝐶𝑂
Из подобия треугольников CDH и COG имеем:
𝐶𝐻 𝐶𝐷
16,5 − (𝑡 − 4,5)
𝐶𝐷
42 − 2𝑡 𝐶𝐷
=
⇔
=
⇔
=
𝐶𝐺 𝐶𝑂
(𝑡 + 3) − (𝑡 − 4,5) 𝐶𝑂
15
𝐶𝑂
Так как верно равенство
𝐶𝐷 𝐶𝑂 + 𝑂𝐷
𝑂𝐷
=
=1+
,
𝐶𝑂
𝐶𝑂
𝐶𝑂
относительно t получаем уравнение:
𝑡 = 11
42 − 2𝑡
33 − 2𝑡
=1+
⇔ 2𝑡 2 − 67𝑡 + 495 = 0 [
45
15
55 − 2𝑡
𝑡=
.
2
По смыслу задачи подходит t = 11 ч.
Ответ: 11 ч 00 мин.
Задачи для самостоятельного решения
1. Теплоход затратил 5 ч на путь вниз по течению реки от пункта А до
пункта В. На обратный путь против течения он затратил 8 ч 20 мин.
Найдите скорость теплохода, если путь от A до В равен 100 км.
2. Поезд, едущий с постоянной скоростью из пункта A в пункт В, был
задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от семафора до пункта В
равно 80 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд
прибудет в пункт В не позже запланированного срока, если после
задержки он увеличил скорость на 10 км/ч?
3. Один турист преодолевает расстояние 20 км на 2,5 ч быстрее, чем другой.
Если бы первый турист уменьшил свою скорость на 2 км/ч, а второй
увеличил свою скорость в 1,5 раза, то они затратили бы на тот же путь
одинаковое время. Найдите скорость второго туриста.
4. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4ч быстрее
товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и
5
скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет от
8
скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
5. Подъем в гору турист прошел за 2 ч. На спуск с горы, который был на 18
км длиннее подъема, турист затратил вдвое больше времени; чем на
подъем в гору. Найдите общую длину пройденного туристом пути, если
6.
7.
8.
9.
каждый километр при спуске турист проходил на 10 мин быстрее, чем на
подъеме.
Два поезда вышли из города А в город В и весь путь каждый из поездов
прошел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 ч позже
первого и прибыл в В с первым поездом. За один час до прибытия в В
расстояние между поездами составило 30 км, а когда первый поезд
находился в середине пути, второй отставал от него на 225 км.
Определите скорости поездов и расстояние между городами.
Из пункта А в пункт В одновременно отправились пешеход и
велосипедист. Прибыв в пункт В, велосипедист отдохнул 2 ч и отправился
обратно с прежней скоростью. К тому моменту, когда пешеход пришел в
пункт В, велосипедист проехал половину пути из В в А. Найдите скорость
пешехода, если известно, что она на 12 км/ч меньше скорости
велосипедиста, а расстояние между А и В равно 24 км.
Из пункта А По реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему
отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению, чем
пункт А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по
течению. Найдите, какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту
возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде
вчетверо больше скорости течения реки.
Из пункта А. в пункт С, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал
грузовик. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между А и С
на расстоянии 15 км от А, в пункт С вышел пешеход, а из С навстречу им
выехал автобус. За какое время грузовик догнал пешехода, если известно,
что это произошло через полчаса после встречи грузовика с автобусом, а
пешеход до встречи с автобусом находился в пути втрое меньше времени,
чем грузовик до своей встречи с автобусом?
10.Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в B выехала машина,
а через 20 мин — мотоциклист, скорость которого равна 90 км/ч.
Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда
машина прибыла в В, мотоциклист проехал половину пути от С до А.
Найдите расстояние от С до А.:
11.Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через
некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. Остановившись
на 20 мин в пункте В, второй автомобиль поехал с той же скоростью
назад, через 48 км встретил шедший навстречу первый автомобиль и был
на расстоянии 120 км от В в момент прибытия в В первого автомобиля.
Найдите расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ
=480 км.
12.Катер и яхта, отправляющиеся из портов А и В навстречу друг другу в 9 ч,
встречаются в 13 ч. Катер и теплоход, отправляющиеся из тех же портов
навстречу друг другу в 10 ч, также встречаются в 13 ч. Определите, на
сколько километров отстанет к 19 ч яхта от теплохода, если они выйдут из
порта А в 10 ч в одном направлении. Расстояние между портами А и В
равняется 104 км.
13.Пункты А, В и С-расположены на реке в указанном порядке вниз по
течению. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С—14 км. В 12
ч из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А. Достигнув пункта
А она сразу же повернула назад и в 14 ч прибыла в пункт С. Скорость
течения реки равна 5 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
14.Из пункта А в пункт В вышел пешеход, и одновременно из пункта В в
пункт А выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист
развернулся, довез пешехода до пункта В, а затем снова поехал в пункт А.
В результате мотоцикл затратил на дорогу до пункта А в два с половиной
раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта В в пункт А, не
подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до
пункта В, если бы весь путь от А до В он прошел пешком?
15. Пункты А и В соединены двумя городами, одна из которых на 3 км
короче другой. Из В в А по более короткой дороге вышел пешеход
и одновременно из А по той же дороге выехал- велосипедист.
Пешеход и велосипедист одновременно прибыли в А через 2 ч после
начала движения. За это время пешеход прошел один раз путь от В
до А, а велосипедист проехал два раза в одном направлении по
кольцевому маршруту, образованному двумя названными дорогами.
Найдите скорость пешехода и велосипедиста, если известно, что их
вторая встреча произошла на расстоянии 3,5 км от пункта В.
(Скорости постоянны.)
16. Три гонщика (А, потом В и затем С) стартуют с интервалом в 1 мин
из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении
с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг
более двух минут. Сделав три круга, гонщик А в первый раз
догоняет В у точки старта, а еще через три минуты он вторично
обгоняет С. Гонщик В впервые догнал С также у точки старта,
закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А?
17. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин
вслед за ним вышел второй. В пункт В сначала пришел один из
пешеходов, а другой достиг В не ранее, чем через час после этого.
Если бы пешеходы вышли одновременно, то они прибыли бы в
пункт В с интервалом не более чем в 20 мин. Определите, сколько
времени требуется каждому пешеходу на путь от А до В, если
скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.
Ответы: 1.16 км/ч.
2. Не более 50 км/ч.
3. 4 км/ ч.
5. 50 км/ч и 100 км/ч.
5.30 км.
6. 60 км/ч и 90 км/ ч; 900 км.
7. 6 км/ч.
2
8. .
5
9. За 45 мин.
10.60 км.
11. 160 км.
12. На 78 км.
13. 10 км/ч.
14. В 2 раза.
15. 3 км/ч и 15 км/ч.
16. 3 мин.
17. 40 мин и 1 ч.