Формализация представления электронных образовательных

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
ПРОЦЕССА: ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ
С.А. Жданов, В.А. Горелик, Д.К. Бородин
Педагогическая академия пост-дипломного образования, Москва, Россия
Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр
им. А. А. Дородницына РАН, Москва, Россия
Университетский колледж г. Гент, Гент, Бельгия
В данной статье авторы рассматривают два подхода к оптимизации
планирования образовательного процесса: по финансово-экономическим
показателям и по содержательным. По каждому из подходов в статье
рассмотрены математические модели и методы оптимизации,
разработанные как российскими, так и зарубежными исследователями, в
том числе и непосредственно авторами настоящей статьи.
EDUCATIONAL PLANNING OPTIMIZATION: REVIEW OF
MATHEMATICAL MODELS AND METHODS
Sergey Zhdanov, Victor Gorelik, Dmitriy Borodin
Pedagogical Academy of Post-Graduate Training, Moscow Region, Russia
Dorodnycin Computing Center of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
University College Ghent, Ghent, Belgium
The paper analyzes different approaches for the statement of optimization
problems for educational planning. The approaches are divided into two groups:
1) models, aiming to maximize the profit; 2) models, aiming to maximize the
knowledge. The results on the study of international works and reports on the topic
were presented. The authors also suggested their own multicriteria models. The
proposals for future work are stated.
Подходы к оптимизации образовательного процесса
Исследования в области оптимизации планирования образовательного
процесса можно условно разделить на два направления: 1) по финансовым
показателям, 2) по содержательным и временным ресурсам.
Планирование образовательного процесса представляет собой
нетривиальный процесс на самых различных его этапах, будь то
стратегическое, тактическое или тематическое планирование. Традиционные
способы планирования, сложившиеся эмпирическим путем, обладают рядом
существенных
недостатков,
например,
большой
трудоемкостью,
практической
невозможностью
наследования,
отсутствием
масштабируемости, гибкости и др. По этой причине представляется
целесообразным автоматизация многих сторон и аспектов планирования
образовательного процесса, учитывая, что в качестве исходных данных
выступают численные значения, расчеты так или иначе подчиняются
определенным закономерностям, а большой объем информации не
позволяет обработать ее вручную оптимальным образом. С этой целью
целесообразным является построение системы теоретических основ
планирования образовательного процесса.
Оптимизируем
финансовую
составляющую:
минимизация
издержек, максимизация доходов
В 70-х годах прошлого столетия ряд американских и европейских
исследователей (Judy R.W., Schliefelbein F., Adelman T., Bowles S., Tinbergen
J., Bos H.C., McNamara J., Johnstone J., Stone R., Gani J., Zabronski E.K., Zinter
J.R., Thonstad T., Hammond A. и др.) посвятил свои труды проблеме
рационального использования финансовых ресурсов в образовательных
учреждениях. Таким образом, основной идеей создания математических
моделей планирования образовательного процесса были финансовые
соображения. Ведущее теоретическое положение данных исследований:
количество человек, занятых и перемещающихся в системе образования,
подчиняется
определенным
стохастическим
закономерностям,
и
последующее состояние этой системы может быть просчитано на основании
данных предыдущего ее состояния [26, 34, 35, 37, 47, 51].
Например, модель Тонстада Т. [50] представляет собой дискретную
цепь Маркова такую, что постоянная вероятность вовлеченности студента в
деятельность i в момент времени t влечет за собой вовлеченность студента в
деятельность j в момент времени t+l, таким образом определяя следующую
матрицу:
 с11

 .
C .

 .
с
 n1
.
.
.
.
. cij
.
.
.
.
. . с1n 

. . . 
. . . 

. . . 
. . с nn 
Цепи Маркова обладают тем свойством, что вектор состояния этой
матрицы (в данном случае общее количество студентов, вовлеченных в
каждую деятельность) носит характер неуравновешенного вектора, по этой
причине стохастическая модель не подходит для прогнозирования роста
численности участников системы образования. Однако, Тонстад решает эту
проблему путем принятия вероятностей вовлеченности студентов за вполне
определенные значения и дальнейшим решением соответствующей системы
уравнений.
Боулз С. использует в своей модели более простой подход –
оптимизационную задачу линейного программирования [31]. Целевая
функция, описывающая экономическую выгоду образования, базируется на
текущем значении ожидаемых доходов от образовательного процесса. И она
устремляется к максимуму.
Современные исследования зарубежных ученых по вопросам
планирования образовательного процесса, являются продолжением
описанных исследований и адаптируют их к современным экономическим и
социальным реалиям (Chan C., Robbins L., Liu Y., Wang Y., Peterson M. [33,
38, 41, 42]), оставляя подход без изменений.
2
Таким образом, основные результаты получены в области
оптимизации расходов и максимизации доходов образовательного
учреждения, на что и направлены оптимизационные задачи американских и
европейских исследователей.
Оптимизируем
содержательные
и
временные
ресурсы:
минимизация «забываемости», максимизация знаний
Российские исследователи также изучали проблему оптимизации
планирования, однако, в виду сложившейся в середине-конце прошлого века
в стране ситуации, финансовые показатели не учитывались, а в качестве
целей были выбраны оптимизация времени на изучение дисциплин, а также
повышение эффективности образовательного процесса. Были получены
результаты планирования отдельных дисциплин на основе единого
временного критерия, но общий подход так и не был сформулирован.
Так, Доржиевым Ц. Ц. [12] разработаны модель знаний, отражающая
цель обучения, модель изучаемого предмета, модель обучаемого, модель
управления по начертательной геометрии, а также рассчитана оптимальная
последовательность изучения тем по начертательной геометрии. В качестве
математического аппарата использована теория графов, а также алгоритмы
поиска кратчайшего пути на ориентированном графе.
Несмотря на ценность результатов этого исследования, отсутствует
главная составляющая – широкая применимость предлагаемых технологий,
используется частный подход. Кроме того, значения исходных данных по
большей части получены в результате длительного эксперимента (в
различных семестрах), что накладывает определенные ограничения на
область применимости модели.
По инструментальным средствам создания, разработанная на основе
вышеперечисленных моделей автоматизированная обучающая система не
обладает свойством масштабируемости, что делает возможным ее
применение лишь в ограниченных условиях.
Вопросы оптимизации логической структуры учебных планов и
предметов на основе аппарата теории графов, рассматривались в работах И.Б
Моргунова [19], А.В. Нетушила и А.В. Никитина [21] и др. Так, А.В.
Нетушилом и А.В. Никитиным был предложен математический метод
определения оптимальной последовательности учебных программ,
представленных в виде графа G(S, U), матрицы смежности B= (bij) и вектора
T=(t1,…,tn). При этом каждой вершине Si приписывается время ti,
необходимое для изучения темы Si, а каждой дуге Uij- весовой коэффициент
связи bij. Критерием оптимальности является минимальный суммарный
временной разрыв между логически связанными темами с учетом
дифференциации связей по степени их важности. Для определения
оптимальной последовательности минимизируется линейная функция
забываемости:
3
F ( x )   lij ( x )  bij , где lij ( x ) 
U ij
j 1
t
k  i 1
k
– длина упорядоченного графа (разрыв
во времени) между вершинами (темами) i и j.
Исходными данными этого метода являются экспериментальные
данные, поддержание актуальности которых не представляется возможным в
режиме реального времени, что при планировании и управлении
изменениями образовательного процесса является сдерживающим фактором
развития. Однако, данная модель представляет собой важный научный
результат, и может быть использована в дальнейших исследованиях по
проблеме.
В работах исследователей Д.А. Бояринова, Е.П. Емельченкова [6, 7, 8,
9] рассматриваются вопросы, связанные с созданием автоматизированных
систем поддержки работы учителя математики. В качестве математической
модели представления знаний выбрана семантическая сеть (графовая модель)
и множественное представление. Выделены инвариантные структуры модели
и дана их содержательная интерпретация, что позволило формализовать ряд
известных понятий моделируемой предметной области и получить новые. В
рамках предложенной модели удалось формализовать понятие системы
базисных задач и предложить алгоритм формирования такой системы. Также
предложен алгоритм выбора индивидуальной траектории обучения для
достижения требуемого уровня знаний по заданному материалу. Например,
так выглядит графовая модель теоретического материала по теме
«Квадратные уравнения» школьного курса математики (вершины – элементы
знаний):
В России разработкой образовательных концепций, в частности, в
3
2
1
4
5
12
6
16
8
11
13
14
7
17
9
15
20
10
19
21
18
сфере информатизации образования, занимаются такие ведущие ученые, как
В.Л. Матросов, С.А. Жданов, И.В. Роберт, О.А. Козлов, В.А. Поляков, С.Д.
Каракозов, Н.И. Рыжова и др. [13, 15, 16, 23, 24]. Новые образовательные
концепции разрабатываются с учетом внедрения в образовательный процесс
инновационных технологий, которые в свою очередь требуют активной
4
разработки инструментальных средств как для планирования и управления
учебным процессом, так и для повышения его качества и эффективности на
содержательном уровне.
В своих работах [23, 24] И.В. Роберт, О.А. Козлов и В.А. Поляков
рассматривают перспективы развития научных исследований в области
информатизации
профессионального
образования
в
аспекте
совершенствования теории, технологии, методов и организационных форм
профессионального образования на базе средств информационных и
коммуникационных технологий (ИКТ). Особое внимание они уделяют
вопросам создания и использования электронных образовательных ресурсов
и их реализации в условиях функционирования телекоммуникационных
сетей. Рассмотрены также вопросы подготовки, переподготовки и
повышения квалификации кадров в области применения средств ИКТ в
профессиональной
деятельности
и
информационно-методического
обеспечения
научно-педагогических
исследований
в
условиях
информатизации, глобальной, массовой коммуникации современного
общества.
В.Л. Матросов, С.А. Жданов, С.Д. Каракозов и Н.И. Рыжова в своих
исследованиях [13, 15, 16] помимо разработки концепций и программ
высшего
профессионального
образования
по
специальностям
«Информатика» и «Математика» в соответствии с международнопризнанными стандартами [40], отмечают влияние на составление
образовательных стандартов технологических и культурных изменений.
Такие изменения оказывают влияние на все научно-предметные области,
поэтому необходима разработка инструментальных средств, реализующих
потребности современного образовательного сообщества, а также
математических моделей и методов, на которых они основываются. Среди
технических достижений последних лет отмечаются следующие аспекты:
WWW и его приложения; сетевые технологии, в частности, базирующиеся на
TCP/IP; графика и мультимедиа; встроенные системы; способность к
взаимодействию
(interoperability);
параллельное
программирование;
человеко-машинное взаимодействие; надежность программного обеспечения;
безопасность и криптография; применение информатики в конкретных
предметных областях.
На природу образовательного процесса, связанную с применением
ИКТ, также влияют изменения в культурном и социальном контексте:
изменения в педагогике в результате появления новых технологий;
неожиданная скорость распространения компьютеров во всем мире;
растущее
экономическое
влияние
компьютерных
технологий;
увеличивающееся признание информатики как академической дисциплины;
расширение дисциплины.
Таким образом, понимание увеличения междисциплинарных
взаимосвязей, осознание степени расширения дисциплины и влияния этих
факторов на образование становятся существенным компонентом
5
проектирования учебных планов, и, следовательно, разработки новых
методов этой работы.
Авторами
предложены
следующие
математические
модели
оптимизации образовательного процесса, разработанные с учетом
потребностей ВУЗов и опыта предыдущих исследований: 1) модель
тематического планирования образовательного процесса [1]; 2) модель
стратегического планирования образовательного процесса в рамках
процессного подхода [2, 4]. Стоит отметить, что такое моделирование
отражает реальную ситуацию.
В качестве основы модели рассматривается задача оптимального
распределения временных ресурсов на изучение учебной дисциплины (курса)
специальности с учетом межпредметных связей, которая базируется на
следующих положениях:
1) В качестве базового понятия для распределения временных
ресурсов берется профессиональная компетенция;
2) Для достижения каждой конкретной компетенции
необходимо изучить ряд тем;
3) Вес данной темы в рамках всего курса строится на основе
подсчета суммарной компетенции для данной темы;
4) В качестве временных ограничений выступают: общее
количество часов на дисциплину, общее количество часов на каждый
вид работы;
5) Вычисление количества часов производится на основе
экспертных оценок важности каждой темы дисциплины для каждой
компетенции.
Решение задачи разбито на два этапа.
На первом этапе вычисляем суммарную компетенцию для каждой темы
k
W j   wlj и рассчитываем веса W j1 каждой темы в рамках курса в целом, а
l 1
также вычисляем долю i-го вида учебной работы для j-ой темы  ij , используя
иерархическую декомпозицию задачи.
Экспертные оценки первого этапа задачи обрабатываются и
формализуются с помощью метода анализа иерархий [25, 29, 44, 45].
Возникает проблема несогласованности матрицы попарных сравнений,
численно выражающей экспертные суждения, используемые для решения
данной задачи. В [3] авторами рассмотрено четыре подхода к решению этой
проблемы [43] и предложен метод минимальной коррекции элементов
матрицы, который, как показано в [3, 14], обладает следующими
преимуществами по отношению к рассмотренным подходам: 1) Лицо,
принимающее решения (ЛПР) предоставляет полную информацию; 2) не
требуется дополнительных итераций работы ЛПР; 3) производится
минимальное (элементы корректирующей матрицы минимальны по способам
конструирования соответствующих критериев) изменение некоторых
элементов матрицы с тем, чтобы она удовлетворяла условиях
6
согласованности. Согласно результатам вычислительных экспериментов,
подвергнутая коррекции матрица попарных сравнений не изменяет характера
суждений ЛПР, что в свою очередь говорит о том, что данный подход более
всего соответствует главной цели метода анализа иерархий – нахождению
приоритетов высшего уровня иерархии.
На втором этапе вычисляем количество часов hij, выделяемых на
изучение j-ой темы в рамках i-го вида учебной работы на основании матрицы
весов ij размерности mxn.
Этап задачи представляет собой задачу целевого линейного
программирования.
Таким образом, для учебной дисциплины получаем распределение
часов, выделенных на дисциплину образовательным стандартом, на
прохождение всех тем дисциплины, тем самым, фактически имеем
тематический план.
Также авторы предлагают применение процессного подхода для
организации автоматизации управления образовательным процессом. В
качестве стратегического этапа этого подхода ставится и решается
многокритериальная задача построения календарного графика учебного
процесса по единой специальности, проводится корреляция задачи на уровне
параметров с тактическим этапом процессного подхода – с задачей
составления и коррекции учебного расписания.
В [2] рассмотрен стратегический этап процессного подхода для
организации автоматизации управления учебным процессом.
Стратегический этап отвечает за построение календарного плана
занятий на семестры с учетом требований к этому плану, а также коррекции
системы требований в случае, если построить календарный план не удается.
Авторами предложено использование академического кредита как
единицы меры знаний студентов [5]. Кредиты назначаются всем
компонентам учебной программы (дисциплинарные модули, практика,
исследовательская работа, итоговая выпускная работа, магистерская
диссертация и т. д.). Они отражают объем работы, необходимый для
достижения результатов образования средним по способностям студентом в
отношении к общему объему работы, требуемой для успешного завершения
всего года обучения.
Дадим постановку задачи построения календарного графика учебного
процесса с учетом МПС. Исходные данные задачи берутся из нормативных
документов. Задача сформулирована в виде адаптивной (допускающей
добавление новых критериев) трехкритериальной задачи оптимизации, в
качестве ограничений выступают временные ресурсы, а также количество
академических кредитов.
Для учета МПС уровня стратегического планирования каждой
дисциплине предметного цикла необходимо поставить в соответствие
множество предшествующих учебных дисциплин данного цикла, т.е. таких
дисциплин, которые должны быть изучены до изучения данной дисциплины.
7
В графовой модели дисциплины выступают в роли ребер, результаты
изучения дисциплин – в качестве вершин графа.
В качестве критериев оптимальности задачи заданы:
1) Критерий максимизации студенческих знаний: объем знаний
студентов (в академических кредитах) за весь срок обучения должен быть
максимальным:
F1   c jk  max
k
j
2) Критерий устойчивости: суммарные резервы для всех дисциплин
специальности должны быть максимальными для устойчивости учебного
плана:
F2   (k2 j k1 j )  max
j
где k1j – наиболее ранний семестр начала прохождения дисциплины j,
k2j – наиболее поздний семестр завершения прохождения дисциплины j,
определяемые с учетом МПС.
3) Критерий остаточных знаний: суммарное расстояние между
изучением всех взаимосвязанных дисциплин (в семестрах) должно быть
минимальным:
F3    (k1 j  k2i )  min ,
j iI ( j )
где I(j) – множество дисциплин, изучение которых требуется для
изучения j-й дисциплины (i < j iI(j)),
k2i – семестр окончания изучения i-й дисциплины,
k1 j – семестр начала изучения j-й дисциплины.
Модель является адаптивной с возможностью добавления других
критериев, например:
4) Критерий равномерности: для каждого предметного цикла изучение
дисциплин должно происходить равномерно
F4  max J (k )  min ,
k
где |J(k)| – количество дисциплин данного предметного цикла,
изучающихся в k-м семестре.
Найти: 1) распределение учебных курсов по семестрам и их объемы в
академических кредитах и часах; 2) минимальное время завершения изучения
цикла дисциплин; 3) наиболее ранний момент начала и окончания изучения
каждой дисциплины; 4) множество критических дисциплин (задержка
изучения хотя бы одной из которых приведет к задержке изучения всего
цикла); 5) резервы времени для следующей итерации (если задача решается в
рамках процессного подхода).
Перспективы
Проведенный авторами обзор и анализ математических моделей
оптимизации образовательного процесса и двух различных подходов
показывает, что оба направления являются актуальными, исследования по
ним ведутся постоянно.
8
По мнению авторов, перспективными и целесообразными являются
исследования по разработке математической модели, сочетающей в себе оба
рассмотренных подхода.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Список литературы
Бородин Д.К., Горелик В.А. (2008) Разработка образовательной кейстехнологии на основе математической модели распределения временных
ресурсов // Качество. Инновации. Образование. – №7 – М., – С. 18-25.
Бородин Д.К., Токарев А.Б. (2008) Математическое обеспечение
планирования образовательного процесса // Качество. Инновации.
Образование. – №8 – М., – С. 5-15.
Горелик
В.А.,
Бородин
Д.К.
(2008)
Решение
проблемы
несогласованности матрицы попарных сравнений в методе анализа
иерархий:
приближенный
метод,
упрощенная
модификация,
минимальная коррекция матрицы // Сборник материалов IX
международной научно-практической конференции «Информационные и
коммуникационные технологии в образовании». – Борисоглебск: БГПИ.
– С. 177-184.
Бородин Д.К., Токарев А.Б. (2008) Корреляция задач составления
учебного расписания и календарного графика образовательного процесса
// Сборник материалов IX международной научно-практической
конференции «Информационные и коммуникационные технологии в
образовании». – Борисоглебск: БГПИ. – С. 225-228.
Бородин Д.К. (2008) Академический кредит как единица меры знаний
студентов // Сборник материалов VIII Всероссийской научнопрактической конференции «Информационные и коммуникационные
технологии в образовании». – Борисоглебск: БГПИ. – С.7-10.
Бояринов Д.А. (2004) Проектирование личностно ориентированной
обучающей системы: диссертация на соискание ученой степени
кандидата педагогических наук, 13.00.01, 13.00.02, Смоленск. – 204 с.
Бояринов Д.А., Емельченков Е.П. (2001) Модель для автоматизации
выбора минимального набора задач. Системы компьютерной математики
и их приложения. Материалы международной конференции. Смоленск.
СГПУ. – С. 15-16.
Бояринов Д.А., Емельченков Е.П. (2002) О формализации некоторых
теоретических
понятий
методики
преподавания
математики.
Информатизация общества и проблемы образования: Материалы научнопрактической конференции (25-27 марта 2002 г.). Москва-Смоленск. Изд.
ИПИРАН, СГПУ. – С. 100 – 123.
Бояринов Д.А., Емельченков Е.П. (2002) Семантические сети в
формализации некоторых проблем методики преподавания математики.
Проблемы теории и практики обучения математике. Сб. научных работ,
представленных на международную научную конференцию «55
9
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Герценовские чтения». – С.-Пб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена.
– С. 129-130.
Горелик
В.А.
(2008)
Формализация
и
решение
задач
многокритериальной оптимизации на основе методов минимальной
коррекции исходных данных // Моделирование, декомпозиция и
оптимизация сложных динамических процессов. – М.: ВЦ РАН, – С. 1727.
Горелик В.А., Токарев А.Б. (2007) Многокритериальная коррекция
параметров в задаче составления расписаний // Моделирование,
декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. – М.:
ВЦ РАН. С. 60-67.
Доржиев Ц.Ц. (2004) Разработка и методические рекомендации по
применению автоматизированной обучающей системы (АОС) по
начертательной геометрии в учебном процессе // Учебное пособие.
– Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, – 72 с.
Жданов С.А. (2003) Концепция, основное содержание и разделы
программы курса "Использование современных информационных и
компьютерных технологий в учебном процессе" для системы
педагогического образования с учетом требований федерального
компонента стандарта общего образования, – 11 с.
Золтоева И.А. (2006) Методы коррекции данных для формализации и
решения задач многокритериальной оптимизации: диссертация на
соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, 05.13.17, Москва, – 97 с.
Каракозов С.Д., Жданов С.А. (2003) Подготовка, переподготовка и
повышение квалификации работников образования в области
информатизации. / Состояние информатизации общего образования.
Аналитический обзор. (Коллективная монография). – М.: ООО “Алана”.
С.55-92.
Матросов В.Л. (2006) Модернизация высшей педагогической школы //
Педагогика. №10. – С. 56-58.
Матросов В.Л., Жданов С.А., Каракозов С.Д., Рыжова Н.И. (2006)
Перспективы развития предметной подготовки учителей информатики /
Материалы Всероссийской открытой конференции «Преподавание
информационных
технологий
в
России»,
http://www.iteducation.ru/2006/reports/Karakozov.htm
Монахов В.М. (1995) Технологические основы проектирования и
конструирования учебного процесса. – Волгоград, – 152 с.
Моргунов И.Б. (1994) Основы дискретной оптимизации некоторых задач
упорядочения (на примере учебного процесса) / Исследовательский
центр проблем качества подготовки специалистов. – М. – С. 64-160.
Ногин В.Д. (2004) Упрощенный вариант метода анализа иерархий на
основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной
математики и математической физики, Т. 44. № 7, – С. 1259-1268.
10
21. Нетушил А.В., Никитин А.В. (1969) О методе синтеза учебных программ
// Проблемы нейрокибернетики.- Ростов-на-Дону: изд-во Рост. унив-та, –
С. 236 – 243.
22. Роберт И. В., Лапчик М. П., Жданов С. А., Лучко О. Н., Кравцова А. Ю.
(2002) Специализация 030109 – Организация информатизации
образования// Информатика и образование, № 4. С. 5-11.
23. Роберт И.В., Козлов О.А. (2005) Концепция комплексной,
многоуровневой
и
многопрофильной
подготовки
кадров
информатизации образования. – М.: ИИО РАО. – 50 с.
24. Роберт И.В., Поляков В.А. (2004) Основные направления научных
исследований
в
области
информатизации
профессионального
образования. – М.: «Образование и Информатика». – 68 с.
25. Саати Т. (1993) Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и
связь, – 278 с.
26. Adelman T. (1966) A Linear Programming Model of Educational Planning: A
Case Study of Argentina // Theory and Design of Economic Development, I.
Adelman and E . Thorbecke (eds.), The Johns Hopkins University, – pp. 5970.
27. Alonso Gustavo (2002) Myths around Web Services // Department of
Computer Science, Swiss Federal Institute of Technology (ETHZ),
Switzerland. – http://www.cs.indiana.edu/classes/b534-plal/Papers/Alonso.ps
28. Anderson P. (2007) What is Web 2.0? Ideas, technologies and implication for
education // JISC Technology and Standards Watch, Feb, – 64 p.
29. Bavrin I., Borodin D., Gorelik V., Rodyukov A. (2008) Analytical hierarchy
process: original and simplified modifications. Mathcad functions of problem
solutions // 9th International Conference «Computing Calculation Software
and their application» (May 19-21), Smolensk State University, vol. 9, - p.
100-102.
30. Borodin D., Gorelik V., Zhdanov S. (2008) Studying the role of Web 2.0 in
education: experiences, problems and solutions // 9th International Conference
«Computing Calculation Software and their application» (May 19-21),
Smolensk State University, vol. 9, - p. 102-104.
31. Bowles S.S. (1967) The Efficient Allocation of Resources in Education: A
Planning Model with Applications to Northern Nigeria // Quarterly Journal of
Economics, Vol. 81, No. 322, May, – pp. 189-220.
32. Chamberlin D. (2002) XQuery: An XML Query Language // IBM Systems
Journal, VOL 41, NO 4, pp. 597-615
33. Chan C., Robbins L. (2006) E-Learning Systems: Promises and Pitfalls //
Academic Psychiatry, November-December, pp. 491-497.
34. Gani J. (1965) Formula for Projecting Enrollments // Royal Statistical Society
Journal, Series A, Vol. 126, – pp. 121-134.
35. Hammond A. (1970) Mathematical models in education and training.
Published by the RAND Corporation, – 42 p.
11
36. Johnstone J. (1974) Mathematical Models Developed for Use in Educational
Planning: A Review // Review of Educational Research, Vol. 44, No. 2
(Spring, 1974), pp. 177-201.
37. Judy R.W. (1967) Simulation and Rational Resource Allocation in
Universities // Paper presented at Organization for Economic Co-Operation
and Development Conference on Systems Analysis Techniques in Educational
Planning, Paris, January, – pp. 94-118.
38. Liu Y. , Wang Y. (2008) A Review of Technology and Products Supporting
E-Learning System // Research and Practical Issues of Enterprise Information
Systems II Volume 1, pp. 513-518.
39. McNamara J. (1971) Mathematical Programming Models in Educational
Planning
//
Review
of
educational
research.
Vol. 41: pp. 419-446.
40. Mulder F, van Weert T. (2000) Informatics Curriculum Framework 2000 for
Higher Education, UNESCO, Paris, – 94 p.
41. Peterson M. (1999a) Analyzing Alternative Approaches to Planning. // In
ASHE Reader on Planning and Institutional Research, ed. Marvin Peterson.
Needham Heights, MA: Pearson Custom Publishing, – pp. 37-65.
42. Peterson M. (1999b) Using Contextual Planning to Transform Institutions // In
ASHE Reader on Planning and Institutional Research, ed. Marvin Peterson.
Needham Heights, MA: Pearson Custom Publishin, – pp. 28-43.
43. Podinovski V. (2007) Interval articulation of superiority and precise elicitation
of priorities. // ScienceDirect, European Journal of Operational Research 180,
pp. 406-417.
44. Saaty, Thomas L. (1980) The Analytical Hierarchy Process, New York
McGrawn-Hill, – 208 p.
45. Saaty L. Thomas (2008) Relative Measurement and Its Generalization in
Decision Making. Why Paiwise Comparisons are Central in Mathematics for
the Measurement of Intangible Factors. The Analytic Hierarchy/Network
Process // Statistics and Operations Research. – RACSAM. – vol. 102 (2), –
pp. 251-318.
46. Sadis
long-term
plan
for
the
year
2009-2013.
–
http://www.icao.int/anb/sadisopsg/Long-term%20plan.pdf
47. Schliefelbein, Ernesto F. (1967) Design of a Multiperiod Linear Programming
Model for Forecasting the Quantitative Results of Alternative National
Educational Policies with Special Application to the Chilean Case // Doctoral
Qualifying Paper, Harvard University, – 192 p.
48. Stone R. (1965) A Model of the Educational System // Minerva, Vol. III, No.
2, Winter, – pp. 172-186.
49. Tellis W. (1997). Introduction to Case Study // The Qualitative Report, Vol. 3,
No 2, pp. 27-39.
50. Thonstad T. (1967) A Mathematical Model of the Norwegian Educational
System // Mathematical Models in Educational Planning, Organization for
Economic Co-Operation and Development, Paris, – pp. 125-158.
12
51. Tinbergen J., Bos H.C. (1965) A Planning Model for the Educational
Requirements of Economic Developement // Econometric Model of
Education, Organization for Economic Co-Operation and Development, Paris,
– pp. 173-185.
13