Функции - Педагогическая планета

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Спасская средняя общеобразовательная школа»
с. Батурино, Томского района, Томской области
Реферат
по алгебре на тему:
«Функции»
Выполнила: ученица 11 класса
Киселёва Кристина Валерьевна
Проверил: учитель математики
Огребо Любовь Юрьевна
2011 г.
Содержание
Название
Страница
Введение
3
Понятие «функция»
3
I. Элементарные функции
7
1. Многочлен
8
2. Рациональная функция
10
3. Степенная функция
11
4. Логарифмическая функция
12
5. Тригонометрические и обратные им функции
13
6. Линейная функция
16
7. Показательная функция
18
8. Дробно-линейная функция
19
9. Квадратичная функция
19
II. Неэлементарные функции
22
1. Функции интегралы
22
1.1.0. Бета-функция
22
1.2.0. Гамма-функция
23
1.3.0. Интегральный логарифм
24
1.4.0. Интеграл вероятности
25
1.5.0. Эллиптические функции
26
2. Функции-ряды
27
2.1.0. Гипергеометрические функции
27
2.2.0. Дзета-функция Римана
28
3. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений
29
1
3.1.0. Сферические функции
29
3.2.0. Цилиндрические функции
29
3.3.0. Функция Эйри
32
4. Необычные функции
34
4.1.0. Функция Дирихле
34
4.2.0. Функция Хевисайда
35
5. Функции, выражающие свойства чисел
35
5.1.0. Арифметическая функция
35
5.2.0. Модуль
36
5.3.0. Сигнум
37
5.4.0. Факториал
38
Заключение
39-40
Список литературы
41
2
Введение.
В наши дни каждый школьник получает первичные знания по
математике. Еще до школы ребята учатся считать, а затем на уроках
получают представление о неограниченности числового ряда, об элементах
геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучают начала алгебры и
математического анализа. Эти знания абсолютно необходимы каждому
человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим,
инженером, механизатором, врачом, офицером или ученым.
Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду
истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек
научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать.
«Когда математика стала изучать переменные величины и функции,
лишь только она научилась описывать процессы, движение, так она стала
необходима всем» (Фридрих Энгельс).
На сегодняшний день без функций невозможно не только рассчитать
космические траектории, работу ядерных реакторов, и бег океанской волны
или закономерности развития циклона, но и экономично управлять
производством, распределением ресурсов, организацией технологичных
процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение
численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и
растений, потому что все это – динамические процессы, которые описывает
функция. Они отражают взаимосвязи, существующие между различными
жизненными категориями (объектами) т.е. фактически являются
отражениями функциональных зависимостей и доказывают, что функция это сама жизнь!
Кое-что в реферате может все-таки остаться непонятным читателю. Но
ничего страшного, однако, в этом нет. Именно неполное понимание каких-то
вопросов, возможно, породит у читателя желание разобраться в них до конца
и явится побудительным мотивом для более деятельного знакомства с
функциями в математике, имеющих большое познавательное и практическое
значение.
Понятие «функция»
Функция – это одно из основных математических и общенаучных
понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология,
лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и,
что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают
количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в
отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на
математическом языке называются функциональными зависимостями, или
функциями.
3
Например, в соотношении у = х² геометр или геодезист увидит
зависимость площади у квадрата от величины х его стороны, а физик,
авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость
силы у от сопротивления воздуха или воды от скорости х движения.
Математика же изучает зависимость у = х² и ее свойства в отвлеченном виде.
Она устанавливает, например, что при зависимости у = х² увеличение х в 2
раза приводит к четырехкратному увеличению у. И где бы конкретно не
появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое
заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным
объектам.
Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с
изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие
числа при изучении количественных соотношений реального мира.
Математическое описание понятия функциональной зависимости или
функции состоит в следующем.
Пусть Х→Y – какие-то множества. Говорят, что имеется функция,
определенная на множестве Х со значениями во множестве Y, если в силу
некоторого закона f каждому элементу х Є Х (Є – означает «принадлежит»)
соответствует определенный элемент у Є Y.
В этом случае множество Х называется областью определения функции;
символ х его общего элемента – аргументом функции или независимой
переменной; соответствующий конкретному значению х 0 ЄХ аргумента х
элемент у 0 ЄY называют значением функции на элементе х 0 значением
функции при значении аргумента х= х 0 и обозначают через f (х 0 ). При
изменении значений аргумента значения у= f(х) Є Y, вообще говоря,
меняются (в зависимости от значения х). По этой причине величину у= f(х)
часто называют зависимой переменной.
Совокупность всех значений, которые принимает функция на элементах
множества Х, называют множеством значений функции и иногда обозначают
через f(Х). В частности, если это множество состоит только из одного
элемента у Є Y, то функция называется постоянной на множестве Х.
Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского
авиалайнера. Пусть Х – множество пассажиров, а Y – множество кресел
салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру х Є
Х сопоставляется то кресло у= f (х), в котором он сидит. Мы имеем здесь,
таким образом, простой пример функции, областью определения которой
является множество Х пассажиров, а областью значений – множество f(Х)
занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество
значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем
множеством Y.
Если в кресле у 0 находятся два пассажира х΄ и х˝ 0 (например, мать и
ребенок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и
х΄ 0 , и х˝ 0 однозначно ставит в соответствие кресло у 0 . Правда, такая
функция принимает одно и то же значение у 0 , при разных значениях х΄ 0 и
4
х˝ 0 аргумента, подобно тому, как числовая функция у= f (х)= х² принимает
одно и то же значение 9 при х=-3 и х=+3.
Если однако, какой-то пассажир х 0 ухитрится сесть сразу в два кресла
у΄ и у˝ 0 , то нарушится принцип однозначной определенности значений
функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле
данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому
значению х аргумента соответствовало одно определенное значение у= f (х)
функции.
В зависимости от природы множеств Х, Y термин «функция» в
различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов:
соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д.
Отображение – наиболее распространенный из них.
Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f: Х→Y и
f
Х  Y. Если из контекста ясно, каковы область определения и область
значений функции, то используют также обозначения х→ f (х) или у= f (х), а
иногда обозначают функцию вообще одним лишь символом f. Вместо
стандартной тройки (Х, f ,Y) для обозначения функции можно, разумеется,
использовать иные любые буквы, например рассматривать отображения:
φ:А→В, ψ:U→Y и т.д.
Когда функцию f: Х→Y называют отображением, значение f (х) Є Y,
которое она принимает на элементе х Є Х, обычно называют образом
элемента х.
Рассмотрим ещё несколько примеров, поясняющих понятие функции. В
них употребляются названные синонимы и введенная терминология.
Формулы S= х² и V= х³ устанавливают функциональную зависимость
площади S квадрата и V объема куба от длины х стороны квадрата и ребра
куба соответственно. При такой интерпретации каждая из этих формул
задают f: R → R , определенную на множестве R положительных чисел со
значениями, лежащими в том же множестве R .
Здесь и область определения, и область значений функции являются
числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми.
Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом
функций.
Пусть А – множество всевозможных квадратов. Каждый квадрат а Є А
имеет одну сторону вполне определенной длины l(а). Соответствие а→ l(а)
порождает, таким образом, действительнозначную функцию f: А→ R ,
определенную на множестве А квадратов и принимающую значения в
множестве R положительных чисел.
Пусть В – множество кубов в пространстве. Положительному числу x
Є R поставим в соответствие один выбранный из множества В куб b(x) с
ребром, длина которого равна x. Тогда возникает функция f: R → В,
определенная на множестве чисел R , значения которой лежат в множестве В
кубов.
5
Мы часто говорим «рассмотрим последовательность z1 , z2 , z3 ,....., zn ...
элементов множества Z», имея ввиду, что каждому числу n Є N ставится в
соответствие некоторый элемент zn множества Z. Таким образом,
последовательность – это функция f: N→ Z, заданная на множестве
натуральных чисел.
Если на прямой ввести две системы координат х , х , имеющие
одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х΄ одной и той же
точки прямой в этих системах будут связаны соотношением х΄= х – с, где с–
координата в системе х начала отсчета системы х . Функция х΄= х – с в
этом случае обычно называется преобразованием координат. Термин
«преобразование» часто встречается в геометрии, а также в физике в связи с
разнообразными преобразованиями координат.
Числовые функции изучаются в разделах математического анализа,
объединяемых названием «теория функций».
В теории вероятностей и математической статистике появляются и
изучаются ещё так называемые случайные функции.
Например, если бросать игральную кость (кубик) и номеру бросания
сопоставлять выпавшее при этом бросании число очков, то получится
числовая последовательность с целыми значениями в пределах от 1 до 6.
Если эту процедуру повторить заново, то получится, вообще говоря, другая
последовательность. До проведения опыта мы не знаем точно значения f(n)
нашей функции в n-м бросании, хотя всё-таки знаем, что с вероятностью 1/6
это может быть, например 1. Распределение значений и другие свойства так
возникающих функций изучают науки вероятностного цикла.
В обращении с функциями наиболее развитым является математический
аппарат анализа числовых функций, поэтому большинство реально
возникающих функций стремятся задать в числовом виде.
Задание функции, как правило, предполагает указание алгоритма или,
по крайней мере, точное описание того, как по фиксированному значению
аргумента находить значение функции. Алгоритмическое задание функции
является основным для расчетов, выполняемых на электронных
вычислительных машинах. В случае числовых функций весьма
распространено аналитическое задание функций в виде некоторых
математических формул типа V=x·y·z, заменяющих словесные описания. В
экспериментальных исследованиях, когда какая-то величина измеряется при
некотором фиксированном наборе значений параметров, от которых она
зависит, возникают таблицы значений функции, которые по найденным
значениям функции в отдельных точках позволяют с должной точностью
находить её значения в промежуточных точках. Табличным заданием
функций часто пользуются в математике: таблицы квадратов и кубов чисел,
таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д. С другой
стороны, функции появляются также в графическом задании: например,
приборы, регистрирующие температуру или атмосферное давление, часто
6
снабжены самописцем, который выдает показания прибора, в виде графика
зависимости измеряемого параметра от времени, изображаемого в
определенной системе координат.
Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную
эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. В. Лейбница,
правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к
современному, этот термин употребил в письме к Г. В. Лейбницу от 1668 г.
швейцарский ученый И. Бернулли. В формировании современного
понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные
математики. Описание функции, почти совпадающее с современным,
встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным
сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский. [5]
Мы обсудили понятие функции. Остановимся в заключение на одном
общем и важном принципе синтеза и анализа функций.
Хорошо известно, что сколько-нибудь сложная система, например
современная технологическая линия, состоит из целого ряда
технологических участков, на каждом из которых выполняется какая-то одна
сравнительно простая операция. Исходным объектом обработки для
следующего участка является продукция предшествующего участка. Такой
принцип создания сложных систем из элементов, выполняющих
сравнительно простые функции, вы можете увидеть и в радиоприемнике, и в
административно-хозяйственном аппарате учреждения.
Отражением такого принципа в математике является операция
композиции функций.
Композиция функций является, с одной стороны, богатым источником
новых функций (синтез), а с другой стороны, способом расчленения сложных
функций на более простые (анализ).
С композицией отображений можно столкнуться как в геометрии,
рассматривая последовательно выполняемые движения плоскости или
пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций,
полученных композицией простейших элементарных функций. Так,
функцию h (х)=sin (х²) можно рассматривать как композицию функций
y=f(х)=х² и g(y)=sin y.
О наиболее встречающихся функциях вы прочитаете в изложенных ниже
статьях.
I. Элементарные функции
Основными элементарными функциями считаются:
- многочлен,
- рациональная функция (представляет собой
многочленов),
- степенная функция,
- логарифмическая функция,
- тригонометрические функции
отношение
двух
7
- обратные тригонометрические функции
- линейная функция
- показательная функция.
К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются
из элементарных путем применения (конечного числа раз) основных четырех
арифметических действий и образования сложной функции.
Элементарные функции наиболее изучены и часто используются в
приложениях математики.
Хотя понятие функции сформировалось лишь в XVII в., однако
зависимости между двумя величинами рассматривались и ранее. К XVII в.
почти все основные элементарные функции были достаточно хорошо
изучены: к этому времени уже были составлены высокой точности таблицы
тригонометрических функций и появились первые таблицы логарифмов.
Дифференциальное исчисление (правила вычисления производных и
применения их к исследованию функций) дало законченное исследование
основных элементарных функций, в частности было установлено, что
производная от элементарной функции есть та же элементарная функция.
[14]
Развитие математического анализа, решение различных прикладных
задач привели к рассмотрению функций, которые не являются
элементарными.
При изучении неэлементарных функций их, как правило, выражают
через элементарные с помощью пределов, интегралов, бесконечных рядов и
исследуют методами математического анализа.
1. Многочлен
Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная
сумма вида
 cI x2i1 x2i 2 ...xnin ,
I
где I  i1 , i2 ,..., in  есть набор из целых неотрицательных чисел
(называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент
многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная
сумма вида:
c0  c1 x1  ...  cn x n .
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого
коммутативного кольца R (кольцо — это множество R, на котором заданы
две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение)) (чаще
всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом
случае, относительно операций сложения и умножения многочлены
образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над
кольцом R без делителей нуля) которое обозначается R  x1 , x2 ,..., xn  .
1.1. Связанные определения
8
Многочлен называется унитарным или приведённым, если его старший
коэффициент равен единице.
Многочлен вида cx1i1 x2i 2 ...xnin называется одночленом или мономом.
Одночлен, соответствующий мультииндексу I   0,...,0 называется
свободным членом.
В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его
называют двучленом или биномом.
В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его
называют трёхчленом.
Полной степенью ненулевого одночлена cx1i1 x2i 2 ...xnin называется целое число
I  i1  i2  ...  in .
Степенью многочлена называется максимальная из степеней его
одночленов, тождественный нуль не имеет степени.
Множество мультииндексов I для которых коэффициенты cI ненулевые
называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником
Ньютона. [14]
1.2. Делимость
Многочлен, который можно представить в виде произведения
многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля,
называется приводимым (над данным полем), в противном случае —
неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов
роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. [11]
Например, верна теорема: если произведение pq делится на
неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен,
степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение
неприводимых множителей единственным образом (с точностью до
множителей нулевой степени).
Например, многочлен x 4  2 , неприводимый в поле рациональных чисел,
разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре
множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле
вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле
комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема
алгебры - всякий отличный от константы многочлен с комплексными
коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень в поле комплексных
чисел.).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать.
Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных,
неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены
называются абсолютно неприводимыми.
1.3. Полиномиальные функции
Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен
p  x   R  x1 , x2 ,..., xn  определяет полиномиальную функцию pR : A  A .
9
Чаще всего рассматривают случай A = R.
В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а
также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция
f p : Rn  R полностью определяет многочлен p. Однако, в общем случае это
неверно, например: многочлены p1  x   x и p2  x   x2 из Z 2  x  определяют
тождественно равные функции Z 2  Z 2 .
1.4. Свойства
1) Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само
является областью целостности.
2) Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над
любым факториальным кольцом (область целостности R, в которой каждый
ненулевой элемент a является единицей кольца, либо представляется в виде
произведения) само является факториальным.
3) Кольцо многочленов от одного переменного над полем является
кольцом главных идеалов (кольцо, каждый идеал которого является
главным), т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем
является евклидовым кольцом.
2. Рациональная функция
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем
которой являются многочлены. Она имеет вид
Pn  x1 ,..., xn 
Qm  x1 ,..., xm 
, где Pn  x1 ,..., xn  , Qm  x1 ,..., xm  — многочлены от любого числа
переменных.
Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:
R  x 
P  x
Q  x
, где P  x  и Q  x  — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций
— дробно-линейная функция.
2.1. Свойства
1) Любое выражение, которое можно получить из переменных x1 ,..., xn с
помощью четырёх арифметических действий, является рациональной
функцией.
2) Множество рациональных функций замкнуто относительно
арифметических действий и операции композиции.
3) Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы
простейших дробей (метод неопределённых коэффициентов - метод,
используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной
или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного
набора базовых функций.), это применяется при аналитическом
интегрировании. [5]
2.2. Правильные дроби
10
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по
аналогии с обычными числовыми дробями.
Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя
больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в
сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Pn  x 
Qm  x 
 Pnm  x  
Pm1  x 
Qm  x 
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными
коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей,
знаменателями которых являются выражения (x − a)k (a — вещественный
корень Q  x  ) либо  x 2  px  q  k (где x2  px  q не имеет действительных
корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в
многочлене Q  x  .
На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости
рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть
интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных
дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от
рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В.
Остроградским.
3. Cтепенная функция
Cтепенная функция — функция y  xa , где a (показатель степени) —
некоторое вещественное число. К степенным, часто, относят и функцию вида
y  kx a , где k — некоторый масштабный множитель. Существует также
комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель
степени почти всегда является целым или рациональным числом.
3.1. Область определения
Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать
степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В
общем случае степенная функция определена при x > 0. Если a > 0, то
функция определена также и при x = 0, иначе, нуль является её особой
точкой.
3.2. Рациональный показатель степени
Графики степенной функции при натуральном показателе n называются
параболами порядка n. При a = 1 получается функция y = kx, называемая
прямой пропорциональной зависимостью.
Графики функций вида y = x − n, где n — натуральное число,
k
x
называются гиперболами порядка n. При a = − 1 получается функция y  ,
называемая обратной пропорциональной зависимостью.
1
n
Если a  , то функция есть арифметический корень степени n.
11
Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения
планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты
3
соотношением: T  kA 2 (полукубическая парабола).
3.3. Свойства
1) Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду, где
она определена.
2) В интервале  0;   , функция монотонно возрастает при a > 0 и
монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале
положительны.
3) Производная функции:  x a   ax a 1
Неопределённый интеграл:
Если a  1 , то  x a dx 
x a 1
C
a 1
1
 x dx  ln x  C .
4. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция – функция, обратная к показательной
функции. Логарифмическая функция обозначается y  ln x .
Её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется
натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение
равносильно
х = еу, где е — неперово число.
Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то логарифмическая функция
определена только при х > 0. В более общем смысле логарифмической
функцией называют функцию y  log a x , где а > 0 — произвольное основание
логарифмов.
Однако в математическом анализе особое значение имеет функция ln x ;
функция log a x приводится к ней по формуле:
log a x = M ln x , где М =
1
.
ln a
Логарифмическая функция — одна из основных элементарных функций;
её график носит название логарифмики.
Основные свойства логарифмической функции вытекают из
соответствующих свойств показательной функции и логарифмов;
например, логарифмическая функция удовлетворяет функциональному
уравнению: [11]
ln x  ln y  ln xy .
Для - 1 < х справедливо разложение логарифмической функции в
степенной ряд:
ln(1 + x) = x

x 2 x3 x 4
   ...
2
3
4
12
Многие интегралы выражаются через логарифмическую функцию;
Например:
dx
 ln x  C ,
x
dx
2
 x2  a  ln( x  x  a )  C .

Логарифмическая функция постоянно встречается в математическом
анализе и его приложениях.
Логарифмическая функция была хорошо известна математикам 17 в.
Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая
логарифмической функцией, рассматривалась Дж. Непером (1614). Он
представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух
точек, движущихся по параллельным прямым. [5]
Логарифмическая функция на комплексной плоскости является
многозначной функцией, определённой при всех значениях аргумента z
обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
1
1
Inz = In 2 z 2 + i arg z ,
где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного
значения логарифмической функции.
Имеем:
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
Все значения логарифмической функции для отрицательных,
действительных
z,
являются
комплексными
числами.
Первая
удовлетворительная теория логарифмической функции в комплексной
плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
 1

Lnz = lim n  z n  1
n 


Производная
логарифмической
функции
равна:
d
1
Lnx 
dx
x
d
1
Log a x 
dx
xLna
5. Тригонометрические и обратные им функции
Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых
в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x),
тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя
пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В
западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x,
csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но
можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения
некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область
определения этих функций на комплексные числа. [7]
5.1. Определение тригонометрических функций
13
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически.
Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена
окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как
повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB.
Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой
стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB , ординату
обозначим yB .
Синусом называется отношение sin  
yB
R
Косинусом называется отношение cos  
xB
R
sin  yB

cos  xB
cos  xB
Котангенс определяется как ctg 

sin  yB
1
R

Секанс определяется как sec  
cos  xB
1
R

Косеканс определяется как cos ec 
.
sin  yB
Тангенс определяется как tg 
5.2. Численные значения тригонометрических функций угла α в
тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от
величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот
радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен
просто ординате yB , а косинус — абсциссе xB .
Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе
называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для
прочих тригонометрических функций.
5.3. Тригонометрические функции острого угла
Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени
тригонометрические функции острого угла определяются как отношения
сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α,
АВ и АО – катеты, ОВ - гипотенуза.
Тогда:
Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего
катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего
катета к гипотенузе)
Тангенсом
α
называется
отношение
AB/OA
(отношение
противолежащего катета к прилежащему)
Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего
катета к противолежащему)
Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к
прилежащему катету)
14
Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к
противолежащему катету)
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси
абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию
(перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти
системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным
гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому
же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так
как не требует введения понятия системы координат, но также и такой
крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические
функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении
элементарных задач про тупоугольные треугольники.
5.4. Непрерывность, чётность и периодичность
Синус и косинус — непрерывные функции.
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то
есть:
sin      sin 
cos     cos 
tg     tg
ctg     ctg
sec     sec
cosec      cosec 
Функции y  sin  , y  cos  , y  sec  , y  co sec  — периодические с
периодом 2π. Функции: y  tg , y  ctg — c периодом π.
5.5. История названий
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась
«арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха»
было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские
переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар»,
обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и
стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие
гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же,
как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса
«джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе
арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово
«джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом
и закреплены в трудах Эйлера. [9]
Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат.
secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке
(1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.
15
6. Линейная функция
Функция y  kx  b называется линейной функцией. Ее график получается
путем параллельного переноса графика функции y  kx на b вверх, если b > 0,
b
и на | b | вниз, если b < 0. Кроме того, если k ≠ 0, то y  k  x  

k
b
график функции y  kx  b получится из графика y  kx сдвигом на
k
Значит,
Графики всех линейных функций, имеющих один и тот же угловой
коэффициент, параллельны друг другу. Графики функций, коэффициенты k1
и k2 которых связаны соотношением k1 k2 = –1, перпендикулярны друг другу.
График линейной функции является прямой.
6.1 Способы построения графика
1) По двум точкам. Выберем произвольные (удобные для построения)
значения абсцисс x1 и x2 , найдем соответствующие им ординаты y1  kx1  b ,
y2  kx2  b . Построим на координатной плоскости точки ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) и
проведем через них прямую. Это и будет искомый график.
2) По пересечениям с осями. Решим уравнение y  kx  b , подставив в
него сначала x1  0 , а затем y2  0 . Получим две точки (0; y1 ), ( x2 ; 0).
Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую.
3) По угловому коэффициенту. Построим на координатной плоскости
произвольную точку прямой. Проведем через эту точку прямую,
образующую с осью OX угол, тангенс которого равен k .
Прямую можно задать различными способами.
Уравнение y  kx  b называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом k . Любая прямая, не перпендикулярная оси OX, может быть
определена этим уравнением. Прямая же, перпендикулярная оси абсцисс,
задается уравнением x  x0 . Отметим, что вертикальная прямая не является
графиком функции.
Итак, уравнением y  kx  b можно описать не любую прямую. Этого
недостатка нет у так называемого общего уравнения прямой ax  bx  c
( a2  b2  0 ).
Если b = 0, то – получаем уравнение вертикальной прямой. Если же
b  0 , то таким образом, угловой коэффициент прямой в этой системе
a
b
обозначений задается как   b  0 
Вернемся теперь снова к общему уравнению прямой ax  bx  c , где
abc  0 . Его можно преобразовать к виду
p
c
c
, q  . Это уравнение
a
b
пересекает координатные оси в точках (p; 0) и (0; q). в чем легко убедиться,
подставив координаты этих точек в уравнение прямой. Полученное
уравнение называется уравнением прямой в отрезках:
x y
 1
p q
16
6.2. Кусочно-линейная функция
2  x, приX  1,
На рисунке показан график этой
 x, приX  1.
Рассмотрим функцию y  
функции. Чтобы его получить, построим график функции y  2  x при x  1 и
y  x при x  1. График представляет собой угол с вершиной A (1;1) или
объединение двух лучей с общей вершиной A. Заметим, что эта функция
может быть задана с помощью формулы y  x  1  1 .
График функции также состоит из двух «кусков» (или представляет
собой угол с вершиной (–1; 3)).
Если функция содержит несколько модулей, то раскрывают значение
каждого из них на соответствующем промежутке. Таким образом, функция
y  a1 x  x1  a2 x  x2  ...  an x  xn  bx  c представима следующим образом:
в виде
 y1 , приX  X 1
 y , приX  X  X
1
2
 2
 y3 , приX 2  X  X 3
, где
y
....

 yn , приX n 1  X  X n

 yn 1 , приX n  X
y1 ,
y2 , …,
yn ,
yn 1 – линейные
функции. Графиком такой функции является ломаная, имеющая n вершин с
абсциссами в точках x1 , x2 , …, xn (эти точки называются угловыми). Ломаная
имеет n + 1 звено (луч либо отрезок). Описанная выше функция называется
непрерывной кусочно-линейной функцией. [11]
 y1 , приX  X 1
 y , приX  X  X
1
2
 2
 y3 , приX 2  X  X 3
Функция, задаваемая формулой y  
....
 yn , приX n 1  X  X n

 yn 1 , приX n  X
где y1 , y2 , …, yn , yn1 – произвольные линейные функции, называется
кусочно-линейной.
График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на
координатной плоскости вершины ломаной. Кроме построения n вершин
следует построить также две точки: одну левее вершины A1  x1 ; y  x1  , другую
– правее вершины An  xn ; y  xn   .
Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя
представить в виде линейной комбинации модулей двучленов.
7. Показательная функция
17
Показательная функция — математическая функция f ( x)  a x .
В вещественном случае основание степени а — некоторое
неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом
функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай,
когда аргументом и показателем степени может быть произвольное
комплексное число.
В самом общем виде введена Лейбницем в 1695 г.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает
число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или
комплексной). [10]
7.1. Определение показательной функции
Пусть a — неотрицательное вещественное число, x — рациональное
число: x 
m
. Тогда a x определяется по следующим правилам.
n
Если x > 0, то a x  n am .
Если x = 0, то a x  1 .
Если x < 0, то a x 
1
a
x
(для a > 0).
7.2. Свойства
a0  1
a x y  a x a y
a 
x
 ab 
y
 a xy
x
 a xbx
Используя функцию натурального логарифма ln x , можно выразить
показательную функцию с произвольным положительным основанием через
экспоненту:
a x  e x ln a
Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.
7.3. Аналитические свойства:
d x
a   ln a  a x
dx
В частности:
d x
e  ex
dx
8. Дробно-линейная функция
1
x
Рассмотрим функцию y  . Она определена при x   ;0   0;  
значения функции также принадлежат промежутку E  f    ;0   0;  .
Функция нечетна. Она не пересекает координатные оси. При x  0 , f  x   0 ,
при x  0 , f  x   0 . Функция убывает на промежутках  ;0  и  0;   . Прямые
y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x   и x  0 соответственно).
18
1
x
k
x
График функции y  , а также графики функций вида y  , называются
гиперболами.
Функция вида y 
ax  b
(a, b, c, d – некоторые постоянные) называется
cx  d
дробно-линейной.
Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости
y
a
b
x  графиком которой является прямая линия.
d
d
Если c ≠ 0, но ad = bc, то выполняется пропорция:
a b
 , откуда следует,
c d
d
. Графиком является
c
прямая, параллельная оси абсцисс, с выколотой точкой x0 .
a
c
что y  на всей числовой оси за исключением x0  
В дальнейшем мы будем рассматривать невырожденный случай дробнолинейной функции (c ≠ 0, ad ≠ bc). В этом случае график функции можно
bc  ad
2
1 ax  b a
построить, преобразовав функцию y  :
.
  c
d
x cx  d c
x
c
1
Для этого нужно график функции y  растянуть от оси абсцисс в
x
bc  ad
раз, после чего выполнить параллельный перенос, при котором начало
c2
d a
координат (0; 0) переходит в точку   ;  .
 c c
9. Квадратичная функция
Квадратичной называется функция вида y  ax 2  bx  c , где a ≠ 0, b, c –
любые действительные числа. Примерами квадратичных функций являются
y  x 2  3x  2 ,
y   x2  4x ,
y  2 x2  5 .
Выражение ax 2  bx  c , a ≠ 0 называют квадратным трехчленом.
Пусть имеется квадратный трехчлен y  ax 2  bx  c . При решении многих
задач полезным приемом является выделение полного квадрата, то есть
выделение квадрата линейной функции:
2
2

 b 2  4ac 
b  b  
b 
D

y  a  x2  2x
     a

a
x


.



2


2
a
2
a
2
a
4
a
4
a








Так, x 2  2 x  2   x  1  3 ,
2
3x 2  12 x  3  x  2   12 .
2
Число D  b 2  4ac , называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Дискриминант трехчлена x 2  3x  2 равен 32 – 4 · 1(–2) = 17,
трехчлена  x 2  4 x равен 16,
19
трехчлена 2 x 2  5 равен –40.
9.1. Квадратное уравнение
Уравнение ax 2  bx  c  0 , где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.
2
Выделив
уравнение
x
полный
b
D
квадрат ax 2  bx  c  a  x 2     0 ,
2a  4a

Если D  0 то отсюда следует, что x 
получим
b
D
D
или


2
2a
2a
4a
b  D
2a
Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).
При D > 0 существуют два корня x1 и x2 . При D = 0 корни квадратного
уравнения совпадают: x1  x2 .
2
b
D
Наконец, при D < 0 равенство  x    2 невозможно, и корней у
2a 
4a

квадратного уравнения не существует.
Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на
2

b 
D
b
D 
b
D

x

множители y  a  x     a  x  

.

2a  4a
2a 2a 
2a 2a 


Таким образом y  a  x  x1  x  x2  , где x2  
y  a  x  x0 
2
b
D

2a 2a
Если D = 0, то
Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на
множители.
9.2. Теорема Виета
Для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения ax 2  bx  c  0 (a ≠
0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:
b

 x1  x2   a ,

x x  c .
 1 2 a
9.3. Необходимость и достаточность.
Пусть числа x1 и x2 являются корнями уравнения ax 2  bx  c  0 (a ≠ 0).
b
D
b
b
b2  D c


, x1  x2   . Имеем x1  x2   , x1 x2 
2a 2a
a
a
a
4a 2
b

 x1  x2   a ,
Пусть имеется система 
x x  c .
 1 2 a
b
Из первого равенства x2    x1 . Подставляя это значение во второе
a
b
c
равенство, получим x1    x1   , откуда ax12  bx1  c  0 . Значит, число x1
 a
 a
Тогда x1  
20
является корнем квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 .
Аналогично
доказывается, что x2 – также корень этого уравнения.
9.4. График квадратичной функции
График функции f  x   ax2  bx  c при a ≠ 0 называется параболой.
Рассмотрим сначала функцию y  ax 2 . Областью определения этой функции
являются все X  R . Решив уравнение ax 2  0 , получим x = 0. Итак,
единственный нуль этой функции x = 0. Функция f  ax 2 является четной
(для любых X  R ax 2  a   x 2  ), ось OY является ее осью симметрии
lim f  x    .
x 
При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по
определению является минимумом функции. Областью значений функции в
этом случае является промежуток [0; +∞).
При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0
является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае
является промежуток (–∞; 0].
График функции f  x   ax2  bx  c легко построить из графика функции
геометрическими
преобразованиями,
используя
формулу
f  x2
2
b 
D

y  a x 
.
 
2a  4a

Для этого нужно растянуть график f  x 2 в a раз от оси OX, при
необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить
получившийся график на
b
D
влево и на
вниз (если какое-либо из этих
2a
4a
чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в
противоположную сторону).
Точка
x
b
является точкой экстремума и называется вершиной
2a
параболы.
Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и
D
 b 
min f  x   f     
. Если a < 0, то в этой точке достигается максимум
xR
4a
 2a 
D
 b 
f  x  f     
функции, и max
.
xR
4a
 2a 
Функция f  x   ax2  bx  c при b = 0 является четной, а в общем случае
уже не является ни четной, ни нечетной.
II. Неэлементарные функции
1. Функции-интегралы
2. Функции-ряды
3. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений
4. Необычные функции
5. Функции, выражающие свойства чисел
21
1. Функции-интегралы
К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гаммафункция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный
синус, интегральный косинус, эллиптические функции.
1.1.0. Бета-функция
В математике бета-функцией (Β-функцией, бета-функцией Эйлера или
интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от
двух переменных:
1
B  x, y    t x 1 1  t 
y 1
dt , определённая при R  x   0 и R  y   0 .
0
Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал
Жак Бине.
1.1.1. Свойства
1) Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных,
то есть
B  x, y   B  y, x  .
2) Бета-функцию можно выразить через другие функции:
B  x, y  
Г  x Г  y
Г  x  y
, где Г  x  — Гамма-функция;

2
B  x, y   2  sin 2 x 1  cos 2 y 1  d , R  x   0 , R  y   0
0
B  x, y  
 y n1
1 
n
 1

y n 0
n ! x  n 

B  x, y   
t x 1
0 1  t 
x y
dt , R  x   0 , R  y   0
где (x)n — нисходящий факториал, равный x  x  1 x  2 ... x  n  1
3) Подобно тому, как гамма-функция для целых чисел является
обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных
коэффициентов с немного изменёнными параметрами:
Cnk 
1
 n  1 B  n  k  1, k  1
1.1.2. Производные
Частные производные у бета-функции следующие:
 Г  x Г  x  y 

B  x, y   B  x, y  

  B  x, y    x     x  y   ,
x
Г
x
Г
x

y






где   x  —
дигамма-функция.
1.1.3. Применение
22
С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных
частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена
Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Ёитиро Намбу, Холгер Бен
Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл,
скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн
(направление
математической
физики,
изучающее
динамику
и
взаимодействия не точечных частиц). [10]
1.2.0. Гамма-функция
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие
факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Г  z  .[6]
Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гаммафункция обязана Лежандру.
1.2.1. Определение
Если вещественная часть комплексного числа z положительна, то Гамма
функция определяется через интеграл Г  z    t z 1e t dt .
0
На всю комплексную плоскость функция распространяется через
тождество Г  z  1  zГ  z 
1.2.2. Альтернативное определение
Следующее бесконечное произведение служит альтернативным
определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных z, за
исключением 0 и отрицательных целых
 1
1
z

n !n
1  n 
Г  z   lim
 П
n  z  z  1 ...  z  n 
z
z n 1
1
n
z
1.2.3. Связанные определения
Иногда используется альтернативная запись, так называемая пифункция, зависящая от гамма-функции следующим образом:
П  z   Г  z  1  zГ  z  .
В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы
интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается,
чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным.
Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух
аргументов:

Г  a, z    e  t t a 1 dt
z
1.2.4. Свойства
1)формула дополнения: Г 1  z  Г  z  

.
sin  z
23
2) Вероятно, наиболее известное значение гамма-функции от нецелого
1
аргумента это: Г     .
2
3) Гамма-функция имеет полюс в z  n для любого натурального n и
нуля; вычет в этой точке задается так:
Re sz  n Г  z  
 1
n!
n
.
4) Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как
показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных z, не являющихся
неположительными целыми:
Г  z 
1

e    
z
П 1   e k ,
z k 1  k 
где γ — это константа Эйлера.
5) формула, полученная Гауссом:
n 1
 nz
1
n 1


2
2 Г  nz  .
Г  z  Г  z   ...Г  z 

n
2




n
n




1
6) Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из
предельного определения:
Г z  Гz .
7) Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и
Г   x     x  Г  x  , где ψ(x) часто называют «пси-функцией», или дигаммафункцией.
8)Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
B  x, y  
Г  x Г  y
Г  x  y
9) Гамма-функция является частным случаем преобразования Меллина.
1.3.0. Интегральный логарифм
Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая
интегралом
x
dt
.
ln t
0
li  x   
Для устранения сингулярности при x = 1 иногда применяется сдвинутый
интегральный логарифм:
x
dt
.
ln t
2
Li  x   
Это две функции связаны соотношением:
Li  x   li  x   li  2  1,045163780117492...
Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны
соотношением:
li  x   Ei  ln x  .
24
1.3.1. Интегральный логарифм и распределение простых чисел
Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании
распределения простых чисел. Он представляет собой гораздо лучшее
приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа,
чем x / lnx:
  x  ~ Li  x  .
Для не слишком больших x:   x   Li  x  , однако доказано, что при
некотором достаточно большом x неравенство меняет знак. Это число
называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена
27
оценка сверху e
e4
. [8]
1.4.0. Интеграл вероятности
В математике интеграл вероятности (функция ошибок)
— это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей,
статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных.
[2]
Она определяется как erfx 
2

x
e
t 2
dt .
0
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая erfcx (иногда
применяется обозначение Erfcx ) определяется через функцию ошибок:
erfcx  1  erfx 
2


t
 e dt
2
x
Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется
через функцию ошибок:
w  x   e  x erfc  ix  .
1.4.1. Свойства
1) Функция ошибок нечётна:
erf   x   erfx .
2) Для любого комплексного x выполняется
erf x  erfx , где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.
Функция ошибок не может быть представлена через элементарные
функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя
почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
2
erfx 
 1 x 2 n1

 n 0 n ! 2n  1
2

n


2 
x3 x5 x 7
x9
x




 ...  .

3 10 42 216


Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого
вещественного x, так и на всей комплексной плоскости.
3) Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить
его в альтернативном виде:
 n   2i  1 x 2
erfx 
 x П
 n 0  i 1 i  2i  1
2

 2
 


x n  x2
П

i 1 i
n  0 2n  1

25
4) Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это
справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси,
так как:
При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка
z   будет для неё существенно особой.
5) Производная функции ошибок выводится непосредственно из
определения функции:
d
2  x2
erfx 
e .
dx

1.4.2. Применение
Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению
со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от
среднего не более чем на a, равна
erf
a
 2
.
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в
решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения
теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией
Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки
на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
1.5.0. Эллиптические функции
В комплексном анализе эллиптическая функция — периодическая в двух
направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические
функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих
только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты
как функции, обратные эллиптическим интегралам. [2]
1.5.1. Определение
Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию f,
определённую на области С, для которой существуют два ненулевых
комплексных числа a и b, таких что:
a/ b не является
f  z  a   f  z  b   f  z  , z  C , а также частное
действительным числом.
Из этого следует, что для любых целых m и n:
f  z  ma  nb   f ( z ), z  C .
Любое комплексное число ω, такое что f  z     f ( z), z  C ,
называют периодом функции f. Если периоды a и b таковы, что любое ω
может быть записано как:
ω = ma + nb, то a и b называют фундаментальными периодами. Каждая
эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.
Параллелограмм Π с вершинами в 0, a, b, a + b называется
Фундаментальным параллелограммом.
1.5.2. Свойства
26
1) Не существует отличных от констант целых эллиптических функций.
(Первая теорема Лиувилля).
2) Если эллиптическая функция f(z) не имеет полюсов на границе
параллелограмма α + Π, то сумма вычетов f(z) во всех полюсах, лежащих
внутри α + Π равна нулю. (Вторая теорема Лиувилля)
3) Любая эллиптическая функция с периодами a и b может быть
представлена в виде:
f  z   h  z    g  z    z  ,
где h, g рациональные функции  z  , функция Вейерштрасса с теми же
периодами что и у f(z). Если при этом f(z) является четной функцией, то ее
можно представить в виде f  z   h  z   , где h рациональна.
4) Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в
1830-х годах.
2. Функции-ряды
К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзетафункция.
2.1.0. Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция (Гаусса) определяется внутри круга | z | <
1 как сумма гипергеометрического ряда:
  k 1   l

   l   k
 z    1     1 z 2
F  ,  ,  , z   1    П
z  1

 ...,

l  0 1  l    l 
 1!
    1
2!
k 1 

а при | z | > 1 — как её аналитическое продолжение.
2.1.1. Свойства
1) Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов
дифференциального уравнения
d 2u
du
z 1  z  2        1 z 
  u  0,   0, 1, 2,...
dz
dz
Данное уравнение иногда называется гипергеометрическим.
2) Второе линейно независимое решение этого уравнения имеет вид:
z1 F      1,    1, 2   , z  .
Оно имеет особую точку при z = 0.
3) Интегральное представление гипергеометрической функции при γ − α
− β > 0 может быть записано следующим образом:
F  ,  ,  , z  
Г  
1
t
Г   Г     
 1
(1  t )   1 1  tz 

dt ,
0
где Γ(x) — гамма-функция Эйлера.
3) Запись других функций через гипергеометрическую
Важным свойством гипергеометрической функции является то, что
многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё
при определённых значениях параметров и преобразовании независимого
аргумента.
27
2.2.0. Дзета-функция Римана
Дзета-функция Римана  ( s ) определяется с помощью ряда Дирихле:
1 1
1
 s  s  ... , где s  C .
s
1 2
3
В области s Re s  1  этот ряд сходится, является аналитической
 (s) 
функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную
плоскость без единицы. В исходной области также верно представление в
виде бесконечного произведения (тождество Эйлера):
 (s)  П
p
1
, где произведение берётся по всем простым числам p.
1  ps
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзетафункции.
2.2.1. Свойства:
1) Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных
целых точках:
2 (2m)   1
2)
Для
 2 
 2m  !
2m
m 1
функции
B2 m , где B2m – число Бернулли.

s
2
s
  s    Г    s  ,
2
введенной
Риманом
для
исследования   s  и называемой кси-функцией Римана, это уравнение
принимает вид   s    1  s  .
2.2.2. История [2]
Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в
1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем
эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при
изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие
свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана
(1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной
переменной.
3. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений
К таким специальным функциям относятся: сферические функции,
цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического
цилиндра.
3.1.0. Сферические функции
Сферические функции представляют собой угловую часть семейства
ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических
координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в
пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и
при решении физических задач, обладающих сферической симметрией.
28
Сферические функции имеют большое значение в теории
дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической
физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме,
гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности
реликтового излучения. [12]
Сферические функции являются собственными функциями оператора
Лапласа в сферической системе координат (обозначение Ylm  ,   ). Они
образуют ортонормированную систему в пространстве функций на
2
двумерной сфере: Ylm ; Ylm    Ylm sin  d d  1
Сферические функции имеют вид:
Ylm 
1
eim lm   , где функции lm   являются решениями уравнения
2
d lm 
1 d 
m2
sin


lm  l (l  1)lm  0
sin  d 
d  sin 2 
и имеют вид
lm   1
m
2l  1 l  m !
2  l  m !
Pl m  cos  
Здесь Pl m  cos  — присоединённые многочлены Лежандра, а m! —
факториал.
3.2.0. Цилиндрические функции
Цилиндрические функции— общее название для специальных функций
одного
переменного,
являющихся
решениями
обыкновенных
дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода
разделения переменных для уравнений математической физики, таких как
уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в
цилиндрической системе координат. Обычно переменной является
расстояние до оси с.к. Произведение цилиндрических функций с
гармоническими функциями по другим направлениям даёт цилиндрические
гармоники. [1]
Наиболее часто встречающиеся цилиндрические функции:
1) Функции Бесселя
- первого рода, ограниченные
- второго рода (называемые также «функции Неймана»),
неограниченные в нуле
2) Функции Ганкеля первого и второго рода — комплексные линейные
комбинации функций Бесселя и Неймана
3) Модифицированные функции Бесселя — функции Бесселя от
комплексного аргумента, неограниченные монотонные.
- первого рода (т. н. «функции Инфельда»[1])
- второго рода (т. н. «функции Макдональда»[1])
4) Функции Вебера
29
1) Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся
каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
x2
d2 y
dy
 x   x 2   2  y  0 , где α — произвольное вещественное число,
2
dx
dx
называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых
порядков.
Хотя α и ( − α) порождают одинаковые уравнения, обычно
договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это
делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком
Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя. [15]
1.1) Применение
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения
Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических
координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих
задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
- электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
- теплопроводность в цилиндрических объектах;
- формы колебания тонкой круглой мембраны;
- распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом
отверстии;
- скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся
вокруг своей оси;
- волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при
обработке сигналов.
1.2) Определения
Поскольку приведённое уравнение является уравнением второго
порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в
зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих
решений. Ниже приведены некоторые из них.
1.3) Функции Бесселя первого рода
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J  x  , являются
решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Выбор
конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно
определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля
(или в более общий степенной ряд при нецелых α):
2 m 
 1
x
J  x   
.
 
m  0 m ! Г  m    1  2 

m
Здесь Γ(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на
нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания
30
которой затухают пропорционально
1
x
, хотя на самом деле нули функции
расположены не периодично.
J   x    1 J   x 

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда
вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода.
2) Функции Ганкеля
Функции Ганкеля (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) - это
линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а,
следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого
математика Германа Ганкеля. [15]
H(1)  z   J  z   iN  z  - функция Ганкеля первого рода;
H(2)  z   J  z   iN  z  - функция Ганкеля второго рода.
Функции Ганкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями
уравнения Гельмгольца.
3) Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто
мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравненни Бесселя
d 2
d
z
  z 2   2    0 заменить z на iz, оно примет вид:
2
dz
dz
d 2
d
z2 2  z
  z 2   2    0(1)
dz
dz
z2
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя.
Если  не является целым числом, то функции Бесселя J  iz  и J  iz 
являются двумя линейно независимыми решениями уравнения, однако чаще
используют функции:
2 k 
z
i
i
 




2
I  z   e 2 J  ze 2     

 k 0 k ! Г (k  1   )
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или
функциями Инфельда. Если  — вещественное число, а z — положительно
эти функции принимают вещественные значения.
 называется порядком функции.
Функция K  z  

 I  z   I   z  
2sin 
также
является
решением
уравнения (1). Её называют модифицированной функцией Бесселя второго
рода или функцией Макдональда. Очевидно, что K  z   K  z  и принимает
вещественные значения, если  — вещественное число, а z— положительно.
4) Функции Вебера
31
Функции параболического цилиндра — общее название для
специальных функций, являющихся решениями дифференциальных
уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных
для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,
уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат
параболического цилиндра. [4]
В общем случае функции параболического цилиндра — решения
следующего уравнения:
d2 f
  az 2  bz  c  f  0.(1)
2
dz
При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении,
d2 f 
1 z2 
получается уравнение:
     f  0 , решения которого называются
2 4
dz 2 
функциями Вебера и обозначаются D  z 
Функции D  z  , D   z  , D 1 iz  , D 1  iz  являются решениями уравнения
Вебера, причём при нецелом  функции D  z  , D   z  линейно независимы.
Для всех  функции D  z  , D 1 iz  , D 1  iz  также линейно независимы.
Однако на практике чаще пользуются другими функциями
параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями
уравнения Эрмита, которое получается из (1) заменой f ( z   )  e z y( z)
2
d2 y
dy
 2 z  2 y  0
2
dz
dz
3.3.0. Функция Эйри
Функция Эйри Ai ( x) — специальная функция, названная в честь
британского астронома Джорджа Бидделя Эйри. Функции Ai ( x ) и связанная
с ней Bi ( x ) , называемая также функцией Эйри, являются линейно
независимыми решениями дифференциального уравнения y'' − xy = 0,
называемого уравнением Эйри. Это простейшее дифференциальное
уравнение, имеющее точку, в которой вид решения меняется с
колеблющегося на экспоненциальный. [1]
Функция Эйри описывает вид звезды (точечного источника света) в
телескопе. Идеальная точка превращается в набор концентрических
окружностей, в силу ограниченной апертуры и волновой природы света. Она
также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной
потенциальной яме.
3.3.1. Определение
Для вещественных x, функция Эйри определяется интегралом:
Ai( x) 

 t3

cos
  xt  dt ,

0
3

1
взятом
в
несобственном
смысле.
Легко
проверить, что он действительно сходится.
32
Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что
полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри.
y'' − xy = 0.
У этого уравнения есть два линейно независимых решения. Вторым
решением обычно берут функцию Эйри второго рода, обозначаемую Bi ( x) .
Она определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai ( x) ,
при стремлении x   , и отличающееся по фазе на π / 2.
Для комплексных чисел функция Эйри определяется следующим
образом:
Ai ( z ) 

p3 
exp
pz

 dp
 k 
3 
где контур γk может быть одним из представленных на рисунке.
Несмотря на то, что существует три контура интегрирования, решений
уравнения Эйри остается по прежнему два, так как сумма интегралов по этим
трем контурам равна нулю.
3.3.2. Свойства
В точке x = 0 функции Ai ( x) и Bi ( x) их производные имеют значения:
Ai (0) 
1
,
2
3 Г 
3
1
Ai (0)   1
.
1


33 Г  
3
1
Bi (0)  1
,
2


33 Г  
3
2
3
1
36
Bi (0) 
.
1
Г 
3
где Γ — гамма-функция. Отсюда следует, что вронскиан функций Ai ( x) и
Bi ( x ) равен 1 / π.
При положительных x Ai ( x) — положительная, выпуклая функция,
убывающая экспоненциально к 0, а Bi ( x) — положительная, выпуклая
функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных x Ai ( x) и
Bi ( x ) колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей
амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для
функций Эйри.
4. Необычные функции
Существует много функций с необычным поведением, придуманных для
различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.
33
4.1.0. Функция Дирихле
Функция Дирихле — функция D : R  0,1 , принимающая значение 1,
если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть
иррациональное число,
1, x  Q
.
D  x  
0, x  Q
Поскольку функция разрывна в каждой точке: между любыми двумя
рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное, то её график
нарисовать невозможно, но мысленно можно представить.
Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой
содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как
нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D(x) нет предела, а значит,
она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва — второго
рода.
Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической
статистике.
Названа в честь немецкого математика Дирихле. [13]
4.1.1. Свойства
1)Область определения: (; ) .
2) Область значения:{0,1}.
3) Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле
Римана. Однако интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом
промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из
того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
4) Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть, её
нельзя представить как предел последовательности непрерывных функций,
но можно задать как предел предела последовательности непрерывных
функций: D( x)  lim lim cos2n m! x .
m n
4.2.0. Функция Хевисайда
Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция
единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция,
равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для
положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако
её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область
определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего
неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут
использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем
или иным соображениям, например
0, x  0;
1

H ( x)   , x  0;
2
1, x  0.
34
Другое распространённое определение:
0, x  0;
H ( x)  
1, x  0.
Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате
теории управления и теории обработки сигналов для представления
сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния
в другое. В математической статистике эта функция применяется, например,
для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера
Хевисайда.
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельтафункции Дирака, H    , это также можно записать как:
x
H ( x) 
  (t )dt

5. Функции, выражающие свойства чисел
Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда,
прежде всего, можно отнести специальные арифметические функции,
модуль, знак числа, факториал.
5.1.0. Арифметическая функция
Арифметическая функция — функция, определенная на множестве
натуральных чисел N, и принимающая значения во множестве комплексных
чисел C.
5.1.1. Определение
Как следует из определения, арифметической функцией называется
любая функция
f :N C
Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел
известно много функций f(n) натурального аргумента n, которые выражают
те или иные арифметические свойства. Поэтому, неформально говоря, под
арифметической функцией понимают функцию f(n), которая «выражает
некоторое арифметическое свойство» натурального числа n.
Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в
действительности являются целозначными.
5.2.0. Модуль
Абсолютная величина (или модуль), обозначается |x|. В случае
вещественного аргумента – непрерывная кусочно-линейная функция,
 x, x  0
  x, x  0
определённая следующим образом: x  
Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа
z  x  iy , также иногда называемый абсолютной величиной. Он определяется
по формуле: z  x2  y 2 .
5.2.1. Основные свойства
35
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или
комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В
математике широко используется тот факт, что геометрически величина
x1  x2 означает расстояние между точками x1 и x2 и, таким образом, может
быть использована как мера близости одной (вещественной или
комплексной) величины к другой.
5.2.2. Вещественные числа
1)Область определения:  ;   .
2)Область значений: 0;   .
3)Функция чётная.
4) Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x = 0 функция
претерпевает излом.
5.2.3. Комплексные числа
1) Область определения: вся комплексная плоскость.
2) Область значений: 0;   .
3) Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной
точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
5.2.4. Алгебраические свойства
Для любых a, b  R имеют место следующие соотношения:
1) x  x2  x sgn x  max x,  x
2) a  a
3)  a  a
Как для вещественных, так и для комплексных a,b имеют место
соотношения:
1) a  0 , причём | a | = 0 тогда и, только тогда, когда a=0
2) a  a
3) ab  a b
4)
a
a

b
b
5) a  b  a  b
6) a  b  a  b
7) a  b  a  b
8) a  b  a  b
a k  a , если a k существует.
k
5.2.5. История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона.
Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и
обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено
в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши
и Арган в начале XIX века.
36
5.2.6. Обобщение
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента
многомерного векторного пространства, обозначаемую ||x||. Норма вектора в
евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с
модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой
близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может
определяться различными способами, однако в случае одномерного
пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его
единственной координаты.
5.3.0. Сигнум
Функция sgn x (другое обозначение: s i gn x ), читается «сигнум» (от лат.
signum — знак) — кусочно-постоянная функция, определённая следующим
1, x  0
образом: sgn x  0, x  0 .
1, x  0

Функция не является элементарной.
Часто используется представление sgn x 
d
x.
dx
При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не
определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих
производных слева и справа.
Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической
статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись
для индикации знака числа.
5.3.1. История
Функцию sgn x ввёл Леопольд Кронекер в 1878 г., сначала он обозначал
её иначе: [x]. В 1884 г. Кронекеру понадобилось в одной статье использовать,
наряду с sgn x , функцию «целая часть», которая также обозначалась
квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение
sgn·x, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.
[6]
5.3.2. Свойства функции
1) Область определения:  ;   .
2) Область значений: {-1;0;+1} .
3) Гладка во всех точках, кроме нуля.
4) Функция нечётна.
5) Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, так как пределы
справа и слева от нуля равны + 1 и –1 соответственно.
x  sgn x x для x  R
d
sgn x  2 ( x) , где δ(x) — дельта-функция Дирака (позволяет записать
dx
пространственную
плотность
физической
величины
(масса,
заряд,
37
интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или
приложенной в одной точке).
5.4.0. Факториал
Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) —
произведение всех натуральных чисел до n включительно:
n
n !  1  2  ...  n   i .
i 1
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для
целых неотрицательных чисел. [6]
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел
начинается так:
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800,
479001600, 6227020800, …
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и
функциональном анализе.
5.4.1. Свойства
Рекуррентная формула
1, n  0
n!  
n   n  1 !, n  0
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как
количество перестановок множества из n элементов. Например, для
множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4!=24 перестановки:
ABCD
BACD
CABD
DABC
ABDC
BADC
CADB
DACB
ACBD
BCAD
CBAD
DBAC
ACDB
BCDA
CBDA
DBCA
ADBC
BDAC
CDAB
DCAB
ADCB
BDCA
CDBA
DCBA
5.4.2. Связь с гамма-функцией
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента
соотношением:
n !  Г (n  1)
Таким образом, гамма-функцию рассматривают
факториала для положительных вещественных чисел.
как
обобщение
38
Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю
комплексную плоскость, исключая особые точки при n  1, 2, 3,...
5.4.3. Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления
факториала:
n
n !  2n  
e
n
1
1
139




 O  n 4   .
1 
2
3
51840n
 12n 288n

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно
рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
n
n !  2n  
e
n
5.4.4. Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени:
n  n   n 
 p    p 2    p3   ...
     
Для натурального числа n:
n !2  n n  n !  n
5.4.5. Убывающий факториал
Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется
выражение  n k  nk  nk   n  n  1 ....  n  k  1 
n!
(n  k )!
Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.
5.4.6. Возрастающий факториал
Возрастающим факториалом называется выражение
n k   n k  n  n  1 ....  n  k  1 
 n  k  1!
(n  1)!
Заключение.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий.
Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Этот реферат позволил читателям заглянуть в удивительный и
многообразный мир функций; познакомиться с некоторыми их видами.
Реферат имеет иное значение, нежели простое описание. Он дает
возможность возбудить деятельность научного воображения, приучить
читателя мыслить о духе математики и создать в его памяти многочисленные
ассоциации знаний о функциях.
Информация, изложенная в реферате, предназначена для повторения,
обобщения и систематизации имеющихся знаний по теме «Функция» при
подготовке к экзаменам (и не только); расширения и углубления знаний по
теме «Функция»; формирования общенаучных представлений об изучаемых
математических объектах, а также формирования информационной и
коммуникативной компетентности.
39
Материал, изложенный в реферате, позволит читателю не только
сориентироваться в вопросах, касающихся функций, но и приобрести о них
научное знание.
40
Список литературы:
1. «Введение в асимптотические методы и специальные функции»,
Олвер Ф., — М.: Наука, 1978.
2. «Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция.
Функции Лежандра», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука, 1965. Пер. изд.
3. «Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции
параболического цилиндра, ортогональные многочлены», Бейтмен Г., Эрдейи
А.— М.: Бейтмен Г., Наука, 1966. Пер. изд.
4. «Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные
функции», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука, 1967. Пер. изд.
5. «Математический энциклопедический словарь» — Гл. ред. Ю. В.
Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
6. «Некоторые общематематические понятия и обозначения», В. А.
Зорич— М.: Наука, 1981.
7. «Прямолинейная тригонометрия. Справочник по математике»,
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.— Изд. 7-е, стереотипное. — М.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967.
8. «Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя.
Интегралы от специальных функций», Бейтмен Г., Эрдейи А.— М.: Наука,
1970. Пер. изд.
9. «Тригонометрические функции. Таблицы интегралов и другие
математические формулы», Г. Б. Двайт, 4-е изд. — М.: Наука, 1973.
10. «Часть I. Теория множеств», И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. — 3-е
изд.— М.: Физматлит, 1995.
11. «Элементарная математика с точки зрения высшей», Клейн Ф., Т.1.
М.-Л., 1933
12. «Элементы теории множеств. Элементы теории функций и
функционального анализа», А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.— 3-е изд.— М.:
Наука, 1972.
13. «Элементы теории множеств», Г. Е. Шилов— М.: Наука, 1969.
Сайты:
14. http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun6.htm
15. ru.wikipedia.org
41