Лекции по группам и алгебрам Ли – 8,9,10 Группы Ли Определение 1. Группой Ли называется группа G со структурой гладкого многообразия, совместной с групповыми операциями. Это означает, что (1) отображение умножения m : G × G − → G, m(g, h) := gh гладко; (2) отображение обращения s : G → − G, s(g) := g −1 гладко. В частности, всякий элемент g ∈ G задает следующие диффеоморфизмы: Lg : G − → G, h 7→ gh и Rg : G → − G, h 7→ hg . Примеры. (1) Любая дискретная (в частности, конечная) группа; (2) Группа R по сложению; (3) группа R+ положительных вещественных чисел по умножению; (4) группа S 1 комплексных чисел, по модулю равных 1, по умножению; (5) группа GLn (R) или GLn (C) обратимых вещественных или комплексных матриц по умножению; (6) группа SLn (R) или SLn (C) вещественных или комплексных матриц с единичным определителем; Определение 2. Гомоморфизмом групп Ли называется гладкий гомоморфизм групп. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Примеры. (1) Отображение R − → R+ , t 7→ et есть изоморфизм групп Ли. (2) Отображение R − → S 1 , t 7→ e2πit есть гомоморфизм групп Ли с ядром Z ⊂ R. (3) Отображение det : GLn (R) − → R\{0} есть гомоморфизм групп Ли с ядром SLn (R). Определение 3. Подгруппой Ли в группе Ли называется замкнутое гладкое подмногообразие, замкнутое относительно операции умножения. Примеры. (1) Подгруппа SLn (R) ⊂ GLn (R) или SLn (C) ⊂ GLn (C); (2) Подгруппа N+ (n) ⊂ GLn , состоящая из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали; (3) Подгруппа B+ (n) ⊂ GLn , состоящая из обратимых верхнетреугольных матриц; (4) Подгруппа On (R) ⊂ GLn (R), состоящая из операторов, сохраняющих евклидово скалярное произведение (т.е. таких A, что A−1 = AT ), а также SOn (R) := On (R) ∩ SLn (R); (5) Более общо, Ok,m (R) ⊂ GLk+m (R) – подгруппа, сохраняющая квадратичную форму сигнатуры (n, k); Предложение 1. Пусть H – подгруппа Ли в группе Ли G. Тогда на множестве смежных классов G/H имеется естественная структура гладкого многообразия, такая, что отображение факторизации G − → G/H есть локально тривиальное расслоение со слоем H . Если подгруппа H нормальна, то многообразие G/H есть группа Ли. Доказательство. Выберем трансверсальную площадку W к подгруппе H ⊂ G в единице. Тогда отображение W × H − → G, w × h 7→ wh – открытое вложение. Следовательно, отображение факторизации G − → G/H является тривиальным расслоением в окрестности единицы группы G, а значит, и в окрестности любой другой точки g ∈ G, так как диффеоморфизм Lg переводит единицу в точку g ∈ G, а слои отображения факторизации снова в слои отображения факторизации. Отображение действия группы Ли G слева на G/H , G × G/H − → G/H , гладко. Поэтому, если подгруппа Ли H нормальна, то многообразие G/H есть группа Ли. ¤ 1 Для групп Ли также имеет место стандартная Теорема о гомоморфизме: Предложение 2. Пусть ϕ : G1 − → G2 – сюръективный гомоморфизм групп Ли. Тогда G2 ' G1 / Ker ϕ. Определение 4. Представлением группы Ли G в векторном пространстве V называется гомоморфизм групп Ли ρ : G → − GL(V ). Примеры. (1) Тавтологическое представление GLn (R) в пространстве Rn . (2) Присоединенное представление GLn (R) в пространстве n × n-матриц сопряжениями. (3) Ограничение этих представлений на какую-либо подгруппу Ли в GLn (R). Классификация одномерных групп Ли Предложение 3. Всякая одномерная группа Ли изоморфна R по сложению или S 1 по умножению. Доказательство. Всякое одномерное связное многообразие есть R или S 1 . Пусть G = R как многообразие. Введем на G = R координату так, что e = 0. Тогда операция умножения есть гладкая функция двух переменных x ∗ y = m(x, y). Рассмотрим векторное поле на G = R, значение которого в точке x ∈ R равно ξ(x) = ∂m ∂y (x, 0). Выпрямим это векторное поле (т.е. введем новые координаты, в которых ξ(x) = 1). Тогда в этих координатах m(x, 0) = x и ∂m x ∗ (y + t) − x ∗ y x ∗ y ∗ t − x ∗ y x ∗ (y + t) − x ∗ y (x, y) = lim = lim = 1. t− →0 t− →0 ∂y t t x∗y∗t−x∗y Следовательно, m(x, y) = x + y . Аналогичное рассуждение можно провести для группы, диффеоморфной S 1 . Другой способ доказательства в этом случае – сведение к случаю G = R при помощи теоремы 1. ¤ Функтор Lie Определение 5. Векторное поле ξ на группе Ли G называется левоинвариантным, если Lg∗ ξ = ξ для всякого g ∈ G. Аналогично определяются правоинвариантные векторные поля. Предложение 4. Всякое левоинвариантное (правоинвариантное) векторное поле однозначно определено своим значением в точке e ∈ G. Доказательство. Пусть ξ – левоинвариантное векторное поле. Тогда ξ(g) = Lg∗ ξ(e), следовательно, оно задано однозначно вектором ξ(e) ∈ Te G. Обратно, пусть ξ0 ∈ Te G, тогда ξ(g) := Lg∗ ξ0 есть левоинвариантное векторное поле: имеем (Lh∗ ξ)(g) = Lh∗ Lh−1 g∗ ξ0 = Lg∗ ξ0 = ξ(g). ¤ На касательном пространстве Lie G := Te G группы Ли G в единице (это пространство часто обозначается готической буквой g) имеется естественная структура алгебры Ли. Мы дадим несколько эквивалентных определений. Определение 6. Введем координаты в окрестности единицы группы, так, что точка e ∈ G имеет координату 0. Тогда в этих координатах ряд Тейлора для операции умножения в группе G имеет вид m(x, y) = x + y + B(x, y) + o(x, y), где B(x, y) – некоторая билинейная операция Te G × Te G − → Te G (в самом деле, m(x, 0) = x, m(0, y) = y ). Положим [x, y] := B(x, y) − B(y, x). Корректность этого определения следует из следующего более инвариантного определения: Определение 7. Пусть x, y ∈ g и пусть gx (t), gy (s) – какие-нибудь гладкие пути в группе, d d −1 −1 . такие, что gx (0) = gy (0) = e и gx0 (0) = x, gy0 (0) = y . Тогда [x, y] = dt ds gx (t)gy (s)gx (t) gy (s) Тождество Якоби для операции [, ] следует из тождества Якоби для коммутатора векторных полей посредством следующего эквивалентного определения: Определение 8. Пусть x, y ∈ g и пусть ξx , ξy – соответствующие правоинвариантные векторные поля. Тогда [ξx , ξy ] – тоже правоинвариантное векторное поле, и [x, y] = [ξx , ξy ](e). Можно также определить касательную алгебру Ли при помощи присоединенного представления: Определение 9. Определим присоединенное представление группы Ли G в пространстве Te G следующим образом: Ad(g)y = de (Lg Rg− 1 )y . Тогда [x, y] = ad x(y) := de (Ad)x(y). Примеры. (1) Lie R = Lie S 1 = R (2) Lie GLn = gln , Lie SLn = sln ; (3) Lie SOn = son . Предложение 5. Пусть ϕ : G1 − → G2 – гомоморфизм групп Ли. Тогда отображение de ϕ : Te G1 − → Te G2 является гомоморфизмом алгебр Ли. Доказательство. Это очевидно из второго определения. ¤ Таким образом, сопоставление группе Ли G алгебры Ли Lie G функториально, т.е. Lie есть функтор из категории групп Ли в категорию алгебр Ли. Это также определяет следующий функтор из категории представлений фиксированной группы Ли G в категорию представлений ее алгебры Ли g = Lie G: представлению (V, ρ) группы Ли ставится в соответствие представление (V, de ρ) алгебры Ли. Представления одномерных групп Ли Предложение 6. Всякое конечномерное представление группы Ли R имеет вид ρ(t) = exp(tA), где A : V − → V – произвольный линейный оператор. Представления ρ1 (t) = exp(tA1 ) и ρ2 (t) = exp(tA2 ) изоморфны тогда и только тогда, когда операторы A1 и A2 отличаются сопряжением. Доказательство. Пусть ρ : R − → GL(V ) – представление группы Ли R. Положим A = ρ0 (0). Тогда матричнозначная функция ρ(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению ρ(t + s) − ρ(t) (ρ(s) − ρ(0))ρ(t) ρ0 (t) = lim = lim = ρ0 (0)ρ(t) = Aρ(t), s− →0 s− →0 s s с начальным условием ρ(0) = E . Отсюда ρ(t) = exp(tA). Представления ρ1 (t) = exp(tA1 ) и ρ2 (t) = exp(tA2 ) изоморфны тогда и только тогда, когда операторы ρ1 (t) = exp(tA1 ) и ρ2 (t) = exp(tA2 ) отличаются сопряжением при помощи постоянной матрицы, что равносильно тому, что операторы A1 и A2 отличаются сопряжением. ¤ Предложение 7. Всякое конечномерное представление группы Ли S 1 есть прямая сумма одномерных представлений вида ρ(z) = z k , k ∈ Z. Доказательство. Всякое представление S 1 есть представление группы R, ядро которого содержит Z. Т.е. всякое такое представление есть ρ(ϕ) = exp(2πiϕA), такое, что exp(2πiA) = 1. Но это выполнено если и только если A – диагонализумая матрица с целочисленными собственными значениями. ¤ Группы Ли SU2 и SO3 (R) Определение 10. Пусть h, i – положительно определенное эрмитово скалярное произведение на пространстве C2 . Группа Ли SU2 состоит из всех линейных преобразований пространT ства C2 , сохраняющих h, i (т.е. таких A ∈ GL2 (C), что A = A−1 ) и имеющих определитель 1. Предложение 8. SU2 как гладкое многообразие является 3-мерной сферой. µ ¶ µ ¶ a b d −b −1 Доказательство. В самом деле, если A = и det A = 1, то A = . c d µ −c a¶ a b ¯ b = −c̄. Т.е. A ∈ SU2 тогда и только тогда, когда A = Отсюда a = d, и −b̄ ā det A = |a|2 + |b|2 = 1. ¤ Предложение 9. Присоединенное представление группы Ли SU2 есть двулистное накрытие SU2 − → SO3 . T Доказательство. Lie SU2 = su2 = {A ∈ M at2 (C)| A = −A}. Это 3-мерное вещественное пространство с положительно определенным скалярным произведением (A, B) = − tr AB . Группа SU2 действует на этом пространстве сопряжениями, и, следовательно, сохраняет скалярное произведение. Таким образом, Ad(SU2 ) ⊂ SO3 (R). Ядро гомоморфизма Ad состоит из скалярных матриц, т.е. из ±E . Осталось показать, что гомоморфизм Ad сюръективен. Но образ гомоморфизма Ad содержит окрестность единицы (из дискретности ядра), а следовательно, открыт. Следовательно, группа SO3 есть объединение открытых смежных классов по подгруппе Ad(SU2 ). Так как группа SO3 связна, такой смежный класс ровно один. ¤ Связность и односвязность Предложение 10. Связная компонента единицы G0 группы Ли G является подгруппой Ли в G, Lie G0 = Lie G (очевидно). Доказательство. Пусть g, h ∈ G0 . Тогда существуют такие непрерывные пути g(t), h(t) ∈ G0 , что g(t) = h(t) = e и g(1) = g, h(1) = h. Тогда g(t)h(t) есть непрерывный путь в группе G, соединяющий e с gh. Следовательно gh ∈ G0 . Аналогично доказывается, что g −1 ∈ G0 . ¤ Теорема 1. Всякая связная группа Ли G имеет единственную (с точностью до изоморфизма) универсальную накрывающую, т.е. такую связную односвязную группу Ли G̃ и сюръективный гомоморфизм G̃ → − G с дискретным ядром. Доказательство. Рассмотрим многообразие G̃, состоящее из классов эквивалентности путей g(t) в группе G с началом в единице (g(0) = e) по гомотопиям сохрняющим конец g(1). Это универсальное накрытие многообразия G. Введем на этом многообразии структуру группы Ли следующим образом: 1 1 g(t)h(t) = h(2t) при t ≤ , g(t)h(t) = g(2t − 1)h(1) при t ≥ . 2 2 Тогда g(t) 7→ g(1) есть гомоморфизм групп Ли G̃ − → G с ядром π1 (G). Единственность универсальной накрывающей следует из теоремы о накрывающей гомотопии. ¤ Примеры. (1) R − → S1 . → SO3 (R). (2) SU2 − Приведем несколько примеров вычисления фундаментальных групп групп Ли. Предложение 11. Группа SOn (R) связна. π1 (SOn (R)) = Z/2Z при n ≥ 3. Доказательство. Группа SOn (R) действует вращениями на сфере S n−1 . Стабилизатор точки на сфере при таком действии есть SOn−1 (R). Получается расслоение SOn (R) − → S n−1 со слоем SOn−1 (R). Имеем точную гомотопическую последовательность: π2 (S n−1 ) − → π1 (SOn−1 (R)) − → π1 (SOn (R)) − → π1 (S n−1 ) − → π0 (SOn−1 (R)) − → π0 (SOn (R)) − → π0 (S n−1 ). Так как n > 3, то π2 (S n−1 ) = π1 (S n−1 ) = π0 (S n−1 ), и следовательно π1 (SOn−1 (R)) ' π1 (SOn (R)) и π0 (SOn−1 (R)) ' π0 (SOn (R)). Таким образом, по индукции получаем, что группа SOn (R) связна и π1 (SOn (R)) = π1 (SO3 (R)) = Z/2Z. ¤ Предложение 12. Группа SL2 (R) связна. π1 (SL2 (R)) = Z. Доказательство. Группа SL2 (R) действует на многообразии R2 \{0} со стабилизатором N+ (2). Получается расслоение SL2 (R) → − R2 \{0} со слоем N+ (2). Имеем точную гомотопическую последовательность: π2 (R2 \{0}) − → π1 (N+ (2)) → − π1 (SL2 (R)) − → π1 (R2 \{0}) − → π0 (N+ (2)) − → π0 (SL2 (R)) → − π0 (R2 \{0}). Так как N+ (2) стягиваема, а R2 \{0} гомотопически эквивалентно окружности, получаем, что группа SL2 (R) связна и π1 (SL2 (R)) = π1 (R2 \{0}) = Z. ¤ Мера Хаара и полная приводимость представлений компактных групп Ли Предложение 13. На всякой группе Ли существует левоинвариантная (соотв., правоинвариантная) мера (дифференциальная форма старшей степени). Эта мера едиственна с точностью до пропорциональности. Доказательство. Зафиксируем ω0 ∈ Λtop Te∗ G. Положим ω(g) := L∗g−1 ω0 ∈ Tg G. Тогда форма ω левонвариантна: имеем (L∗h ω)(g) = L∗h L∗(hg)−1 ω0 = L∗(hg)−1 h ω0 = L∗g−1 ω0 = ω(g). С другой стороны, для всякой левоинвариантной формы ω выполнено ω(g) := L∗g−1 ω(e) (т.е. такая форма однозначно задается своим значением в единице группы). Поэтому такая форма единственна с точностью до пропорциональности. Аналогично строится правоинвариантная мера. ¤ Примеры. (1) На аддитивной группе R 1-форма dt лево- и правоинвариантна. (2) На группе S 1 1-форма dϕ лево- и правоинвариантна. Теорема 2. Всякое конечномерное представление компактной группы Ли вполне приводимо. Доказательство. Пусть ρ : G − → GL(V ) – представление группы Ли G, и пусть W ⊂ V – подпредставление. Рассмотрим какой-нибудь проектор на это подпредставление (т.е. такой оператор p : V − → V , что RIm p = W и p|W = id). Пусть dg – левоинвариантная мера на группе Ли G, такая, что dg = 1 (такая существует, поскольку группа G компактна). G R Тогда оператор P := ρ(g)pρ(g −1 )dg – инвариантный проектор на подпредставление W . В G самом деле, Im ρ(g)pρ(g −1 ) = W , поскольку W – подпредставление,R а значит, и Im P = W . Далее, ρ(g)pρ(g −1 )|W = id, следовательно, и P |W = id, так как dg = 1. Наконец, для G любого h ∈ G из левой инвариантности меры имеем Z Z ρ(h)P ρ(h)−1 = ρ(h)ρ(g)pρ(g −1 )ρ(h)−1 dg = ρ(hg)pρ((hg)−1 )dg = G Z G Z −1 = ρ(hg)pρ((hg) ρ(g)pρ(g −1 )dg = P. )d(hg) = G Следовательно, Ker P ⊂ V – подпредставление, и V = W ⊕ Ker P . G ¤