§9. Линейные представления конечных групп G обозначается конечная группа, а через k | алгебраически замкнутое поле, причём char(k) - |G|. Если специально не оговаривается противное, всюду в этой лекции через 9.1. Разложение представлений на неприводимые. Мы будем обозначать множество всех G через Irr(G), а сами неприводимые предстаGL(U ), и писать в этом случае, что ∈ Irr(G) или U ∈ Irr(G) . вления | через : G Согласно теор. 8.1 любой конечномерный G-модуль V является прямой суммой конечного различных неприводимых представлений группы - числа неприводимых: V = ⊕ Vi ; (9-1) i Vi изоморфен ровно одному из неприводимых U ∈ Irr(G). Сумма всех слагаемых U ∈ Irr(G) , называется -изотипным подмодулем и обозначается V ⊂ V . Целое неотрицательное число где каждый из этого разложения, изоморфных данному m (V ) = dim V = dim U ; U равное количеству изоморфных стью прямых слагаемых разложения (9-1), называется неприводимого представления Покажем, что кратности m (V ) в представлении V . V и изотипные подмодули ⊂ V кратно- V и , G-модуля какое- зависят только от но не от выбора разложения (9-1). Для этого вначале зафиксируем у каждого нибудь разложение в сумму неприводимых подмодулей и дадим инвариантную характеризацию кратностям и изотипным подмодулям. Лемма 9.1 Для любых G-модулей V и W G (V; W ) dim Hom В частности, X = ∈Irr(G) m (V ) m (W ) : (9-2) m (V ) = dim HomG (U ; V ) не зависит от выбора разложения (9-1). V = ⊕ Vi и W = ⊕ Wj два i j HomG (V; W ) = HomG (⊕ Vi ; ⊕ Wj ) = Доказательство. модулей. Тогда Пусть i неприводим. По лемме Шура для Hom j U ; U0 ∈ Irr(G) G (U ; U0 ) ( = k · IdU 0 разложения в сумму неприводимых под- L ij Hom G (Vi ; Wj ) , где каждый из 0 = 0 при 6= : Vi , Wj при (9-3) Отсюда получается формула (9-2). Второе утверждение является её частным случаем. Следствие 9.1 G (V; W ) dim Hom = dim Hom Следствие 9.2 Представления V Доказательство. m (V ) 6= m (W ) и W G (W; V ) для любых G-модулей V и W. изоморфны тогда и только тогда, когда m (V ) = m (W ) для всех . Модули с одинаковыми разложениями (9-1), ясное дело, изоморфны. Если же при каком-то могут быть изоморфны. , G (U ; V ) 6= то dim Hom dim Hom G ( U ; W ) и такие модули не §9. Линейные 74 9.1.1. Каноническая свёртка. Для любых ется тривиальным G-модулем G-модулей V , W представления конечных групп пространство Hom (подмодулем неподвижных векторов действия G G (V; W ) на Hom( явля- V; W ) сопряжениями). Отображение Hom '⊗v7→'(v) - G (V; W ) ⊗ V W (9-4) G-модулей и называется канонической свёрткой . является гомоморфизмом Упражнение 9.1. Убедитесь, что отображение (9-4) получается ограничением на подпространство HomG ( V; W ) ⊗ V ⊂ Hom( V; W ) ⊗ V V; W ) ⊗ V линейного оператора Hom( V; W ) реходит в тождественный эндоморфизм пространства Hom( Hom(Hom( V; W ) ⊗ V ; W ) ' Hom(V; W )∗ ⊗ Hom(V; W ) ' End Hom( - W, который пе- при каноническом изоморфизме V; W ) . G (V; W ) какой-нибудь базис '1 ; '2 ; : : : ; 'm , то G-модуль G-подмодулей (k · 'i ) ⊗ V , каждый из которых Если зафиксировать в пространстве Hom Hom G (V; W ) ⊗ изоморфен V разложится в прямую сумму G-модулю V : Hom G ( V; W ) ⊗ V m ⊕ k · 'i ⊗ V ' i=1 запомнить в обозначении, какому именно вается формулой ( ; перед V ). В этих обозначениях каноническая свёртка (9-4) описы- G (U ; V ) ⊗ U X i 'i (vi ) (9-5) V является изоморфизмом на -изотипный подV ⊂ V . В частности, этот подмодуль не завит от способа разложения V в прямую сумму Каноническая свёртка Hom модуль k '1 ⊗ v1 ; '2 ⊗ v2 ; : : : ; 'm ⊗ vm ) 7−→ Лемма 9.2 · · · ⊕ ('m ⊗ V ) 'i , однако сам 'i будем оставлять, чтобы - W отвечает базисному гомоморфизму 'i : V (для сокращения записи мы будем опускать соответствующее прямое слагаемое '1 ⊗ V ) ⊕ ('2 ⊗ V ) ⊕ = ( - неприводимых подмодулей. Доказательство. V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn на неприводимые m были изоморфны U , а остальные нет. СоHomG (U ; Vi ) . Выберем в каждом одномерном Возьмём произвольное разложение подмодули и перенумеруем их так, чтобы первые G (U ; V ) гласно (9-3) , Hom G (U ; ⊕ Vi ) i = Hom = m ⊕ i=1 U ; Vi ) (где i 6 m) какой-нибудь базисный изоморфизм 'i : U - Vi . Тогда m операторов æi : u 7−→ (0; : : : ; 0; 'i (u) ; 0; : : : ; 0) ∈ V = ⊕ Vj составят базис в HomG (U ; V ) , а j G-модуль HomG (U ; V ) ⊗ U разложится в прямую сумму ∼ пространстве Hom( Hom G ( U ; V ) ⊗ U ' ( æ1 ⊗ U ) ⊕ (æ2 ⊗ U ) ⊕ · · · ⊕ (æm ⊗ U ) ; и каноническая свёртка, согласно формуле (9-5), будет действовать по правилу æ1 ⊗ u1 ; æ2 ⊗ u2 ; : : : ; æm ⊗ um Её образ содержится в V = из единственного вектора ⊕ i6m Vi ⊂ V 7−→ '1 (u1 ); '2 (u2 ); : : : ; 'm (um ); 0; : : : ; 0 : v ; v2 ; : : : ; vm ; 0; : : : ; 0) ∈ V получается и любой вектор ( 1 '−1 1 (v1 ); '−2 1 (v2 ); : : : ; '−m1 (vm ) m ∈ ⊕ i=1 'i ⊗ U . Следствие 9.3 Образ каждой изотипной компоненты при любом гомоморфизме G-модулей содержится в изо- типной компоненте того же типа. v= i ui с i P ' i v ∈ W для любого ' ∈ HomG (V; W ), поскольку ' Доказательство. Запишем v ∈ V как P G (U ; V ) и ui ∈ i ∈ HomG (U ; W ) . ∈ Hom U . Тогда 'v = 9.2. Строение групповой алгебры. 75 Следствие 9.4 W = W ∩ V для любого G-подмодуля W Доказательство. ⊂V. Применим предыдущее следствие к вложению 9.2. Строение групповой алгебры. Групповая алгебра ет собою |G|-мерное X g cf = P gh=f ag bh = P t Действие группы представлением ag g X P as bs−1 f . aft−1 bt = G на s k[G] . k[G] конечной группы G представля- h bh h = X gh c= g ∈ G cg g P ag bh gh = X f и перемножаются как cf f ; умножениями с левой стороны называется левым регулярным и обозначается L:G Для каждого ⊂W векторное пространство с каноническим базисом, состоящим из элементов группы. Элементы групповой алгебры имеют вид где V g7→Lg - k G]) ; End( [ (где Lg : h 7→ gh.) ∈ Irr(G) обозначим через I ⊂ k[G] -изотипную компоненту левого регулярного k[G] = ⊕I (сумма по всем для которых I 6= 0). представления. Таким образом, Лемма 9.3 I ⊂ k[G] является двусторонним идеалом. Каждое подпространство Доказательство. G-подмодули левого регулярного представления тавтологически являются I тоже левый идеал. Отображения k[G] - k[G], задаваемые Все левыми идеалами. В частности, умножением на произвольно заданный элемент справа и умножением на произвольно заданный элемент слева, перестановочны. Поэтому умножение справа на любой элемент является морфизмом левого регулярного представления. По сл. 9.3 оно переводит I G-эндоI в себя. Значит, является правым идеалом. Следствие 9.5 Если f ∈ I , а g ∈ I0 Доказательство. и 6= 0 , то fg = 0. fg ∈ I ∩ I0 = 0 . Упражнение 9.2. Докажите, что I являются минимальными (по включению) двусторонними идеалами алгебры k[G], суммами идеалов I . Лемма 9.4 Любое представление го представления , % : k[G] переводит эпиморфно отображает Доказательство. и что все двусторонние идеалы групповой алгебры исчерпываются прямыми - I V ), End( не содержащее в своём разложении неприводимо- в нуль. Неприводимое представление I на всю алгебру эндоморфизмов End(U ). Поскольку I является левым идеалом, для любого v ∈ V W = I v = {fv | f : k[G] - U ) End( подпространство ∈ I } G-подмодулем в V , а отображение I - W , переводящее f в fv, является сюрьективным гомоморфизмом G-модулей. По сл. 9.3 весь модуль W является в этом случае -изотипным, т. е. W = W . С другой стороны, если -изотипная компонента V = 0, то по сл. 9.4 W = W ∩ V = 0. Это доказывает первое утверждение. Из него следует, что каждое неприводи- End(U ) отображает в нуль все прямые слагаемые разложения мое представление : k[G] k[G] = ⊕ I0 кроме слагаемого I . По сл. 8.4 неприводимое представление эпиморфно. Поэтому 0 (I ) = End(U ). является §9. Линейные 76 Теорема 9.1 (теорема Машке) Гомоморфизм алгебр Rep : k[G] Q - U ) , End( ∈Irr(G) представления конечных групп переводящий элемент f ∈ k[G] в набор операторов, которыми этот элемент действует во всех неприводимых представлениях группы G, является изоморфизмом алгебр. Его ограничение на изотипный идеал изоморфизмом I на матричную алгебру End(U ). Доказательство. По лем. 9.4 гомоморфизм Rep эпиморфно отображает ( : : : ; 0; : : : ; 0 ; End(U ) ; 0; : : : ; 0; : : : ) ∈ Y I ⊂ k[G] является I на компоненту U ) : End( ∈Irr(G) В частности, гомоморфизм Rep эпиморфен. Остаётся доказать его инъективность. Если элемент f ∈ k[G] действует нулевым оператором во всех неприводимых представлениях, то он действует нулевым оператором вообще в любом представлении. В частности, в левом регулярном представлении f · 1 = 0, откуда f = 0. Следствие 9.6 Множество Irr( G) конечно и 2 P ∈Irr(G) Упражнение 9.3. Докажите, что dim U = |G|. m (k[G]) = dim U . 9.2.1. Центр групповой алгебры. Напомним, что центром кольца или группы K называ- K. z ∈ k[G] коммутирует со всей алгеброй тогда и только тогда, когда он коммутирует с ется множество всех элементов, мультипликативно коммутирующих со всеми элементами Элемент её базисом. Поэтому центр групповой алгебры Zk[G] = {z ∈ k[G] | zx = xz ∀ x ∈ k[G] } = {z ∈ k[G] | gzg−1 = z ∀ g ∈ G } : gzg−1 = z на элемент z = zh h означает, что все элементы h, лежащие в одном классе h сопряжённости, входят в z с одним и тем же коэффициентом. Таким образом, сопоставляя каждому классу сопряженности C ⊂ G элемент P Условие zC = X h∈C h (9-6) Zk[G] . В частности, dim Zk[G] равна числу классов сопряжённых элементов G. Мы будем обозначать это число через cl(G) и называть числом классов . Ещё одно описание центра получается из теоремы Машке. Алгебра ⊕ End(U ) предста- мы получаем базис в в группе ∈Irr(G) вляет собой прямую сумму матричных алгебр и её центр равен прямой сумме их центров. Центр каждой матричной алгебры End( U ) состоит из скалярных матриц c · IdU . Отсюда вытекает Следствие 9.7 Число неприводимых представлений группы |Irr(G)| = cl(G). G равно числу классов сопряжённых элементов: 9.2.2. Базисные идемпотенты. Обозначим прообраз мента прямой суммы ⊕ U ) End( ∈Irr(G) -того базисного центрального эле- при отображении Rep из теоремы Машке через e = Rep−1 ( : : : ; 0; IdU ; 0; : : : ) ∈ I ⊂ k[G]: Элементы e называются неприводимыми (или минимальными ) идемпотентами . (9-7) По построе- нию, они образуют базис центра групповой алгебры и перемножаются по правилам e e0 = ( e 0 0 = 0 при 6= : при (9-8) 9.2. Строение групповой алгебры. В любом представлении 77 k[G] V) End( - -изотипной ственно действует на компоненте V ⊂ G-инвариантным типные компоненты, т. е. является однозначно определяет элементы каждый из неприводимых идемнотентов e . V e тожде- и переводит в нуль все остальные изо- проектором V e - V . Это свойство Упражнение 9.4. Проверьте, что главный левый идеал k[G]·e является минимальным (по включению) левым идеалом и как G-модуль (относительно действия G умножениями слева) изоморфен непривоU . Покажите также, что двусторонний идеал, порождённый e , есть I . димому представлению 9.2.3. Пример: простенькие представления симметрических групп. Напомню, что классы Sn состоят из всех перестановок фиксированного циклового типа и, тем самым, взаимно однозначно соответствуют n-клеточным диаграмсопряжённых элементов симметрической группы 1 мам Юнга . Таким образом, число неприводимых представлений симметрической группы равно числу разбиений 2 p(n). У любой симметрической группы и знаковое представление sgn : ). ем на знак sgn( Sn Sn имеются два одномерных представления | тривиальное - {±1}, в котором перестановка действует умножени- Базисными идемпотентами, отвечающими этим представлениям являются операторы симметризации и альтернирования e(n) = 1 X n! g∈Sn g и e(1n ) = 1 X n! g∈Sn g g sgn( ) Упражнение 9.5. Покажите, что каждый из них лежит в центре и является идемпотентным (тем самым, в любом представлении эти операторы являются Sn -инвариантными проекторами). Легко видеть, что образ оператора симметризации лежит в тривиальной изотипной компоненте, и он тождественно на ней действует. Аналогично, образ оператора альтернирования лежит в знаковой изотипной компоненте, и он тоже действует на ней тождественно. Каждая симметрическая группа Sn имеет (n − 1)-мерное симплициальное n − 1)-мерного симплекса3 . представление несобственной группой правильного ( Sn ). Покажите, что неn-вершинного симплекса с центром в начале координат простран- Упражнение 9.6 (симплициальное и тавтологическое представления собственная группа правильного kn−1 изоморфна Sn и неприводимо действует в kn−1 . Покажите также, что тавтологическое представление Sn перестановками стандартных базисных векторов пространства kn является пряства мой суммой тривиального одномерного представления в линейной оболочке суммы базисных векторов и симплициального представления в гиперплоскости векторов с нулевой суммой координат. Неприводимые представления группы S3 , имеющей ровно три класса сопряжённости, исчер- пываются тривиальным, знаковым и симплициальным представлением группой треугольника. Если обозначить цикл |1; 2; 3i через , а транспозицию |1; 2i | через , то элементы неприводи- мые идемпотенты, отвечающие этим представлениям, будут иметь вид e(3) = e(13 ) = 1 X 6 g ∈S 3 1 X 6 g ∈S 3 g = (1 + + 2 + + + 2 )=6 g g = (1 + + 2 − − − 2 )=6 sgn( ) e(2;1) = 1 − e(3) − e(13 ) = (2 − − 2 )=3 (про симметризацию e(3) и альтернирование e(13 ) мы это уже установили выше; e(2;1) аннулиру- ет тривиальный и знаковый модули и действует тождественным оператором в представлении группой треугольника). n 1 длины строк диаграммы суть длины независимых циклов, на которые раскладывается перестановка 2 напомню, что количество всех n-клеточных диаграмм обозначается p(n) и называется числом разбиений числа (в сумму неупорядоченных целых неотрицательных слагаемых) 3 при n = 2 оно совпадает со знаковым §9. Линейные 78 представления конечных групп Упражнение 9.7. Проверьте прямым вычислением в групповой алгебре, что идемпотентен. У группы e(2;1) лежит в центре и S4 , имеющей 5 классов сопряжённости, кроме тривиального, знакового и 3-мерного представления несобственной группой тетраэдра имеется ещё одно трёхмерное представление собственной группой куба и двумерное представление группой треугольника, индуцированное факторизацией S4 - S3 по подгруппе Клейна D2 ⊂ S4 . Упражнение 9.8. Покажите, что все эти представления неприводимы, причём два трёхмерных не изоморфны и получаются одно из другого тензорным умножением на знаковое представление. Разложите в сумму неприводимых функций на множестве S4 -модулей а) вершин представления группы вращений куба в пространстве б) рёбер 9.2.4. Скалярное произведение на k[G] этого куба. G k[ ]. Левое регулярное представление L : k[G] вкладывает групповую алгебру в) граней k G]) End( [ - в алгебру End( k[G]), на которой имеется стандартная сим- метричная билинейная форма | след композиции. Ограничение этой формы на на k[G] L(k[G]) задаёт симметричное скалярное произведение ( f; g) = tr (Lf Lg ) = tr (Lfg ) : Поскольку след левого умножения на единицу группы равен |G|, а умножение на любой другой элемент группы бесследно, скалярные произведения элементов группы задаются формулой ( ( g; h) = |G| h = g −1 −1 при h 6= g . при 0 (9-9) 1 {g } ∈ k[G] Таким образом, скалярное произведение невырождено , и двойственным базисом к базису {|G ·g |−1 из групповых элементов является базис − 1 }. В частности, каждый элемент c разлагается по базису из групповых элементов в виде Ó= 1 |G| X ( g ∈G g−1 ; c) · g (9-10) Упражнение 9.9. Покажите, что левое и правое умножение на заданный элемент сопряжены другу fg; h) = (f; gh) и выведите отсюда, что ортогональ- другу относительно скалярного произведения: ( ное дополнение к любому левому идеалу в k[G] является правым идеалом, а ортогональное дополнение к правому | левым (тем самым, ортогональное дополнение к любому двустороннему идеалу тоже двусторонний идеал). Изоморфизм Rep : k[G] ∼ Q - U ) End( ∈Irr(G) из теоремы Машке позволяет вычислять скаляр- ные произведения в терминах следов действия элементов в неприводимых представлениях. Предложение 9.1 (формула Планшереля) ( f; g) = P U ) · tr ((fg)) dim ( ∈Irr(G) Доказательство. для любых f; g ∈ k[G]. Lfg ) в алгебре Вычислим tr ( ⊕ ∈Irr(G) U ). Он равен сумме по всем неприво- End( следов левого умножения на (fg) в End(U ). След левого умножения n k) равен n · tr (M ), поскольку каждая матричная единица Eij входит в MEij с коэффициентом mii . димым представлениям на матрицу 1 M в матричной алгебре Mat ( отметим, что если характеристика поля делит порядок группы, то это не так 9.3. Характеры. 79 Следствие 9.8 Базисные идемпотенты составляют ортогональный базис центра групповой алгебры и имеют e ; e ) = скалярные квадраты ( dim U ) 2 . Следствие 9.9 Разложение левого регулярного представления в прямую сумму изотипных подмодулей k[G] = является ортогональным ми проекциями ∈ k[G] на идеалы I . ортогональны- e выражается через элементы группы по формуле Базисный идемпотент e = U |G| dim X (g−1 ) g tr g ∈G (9-11) End(V ) правая часть этого равенства перейдёт G-инвариантный проектор на -изотипный подмодуль V ⊂ V . В частности, при любом представлении в I разложением, и неприводимые идемпотенты являются единицы 1 Следствие 9.10 ⊕ ∈Irr(G) Доказательство. ( k[G] e = |G|−1 Согласно формуле (9-10) g−1 ; e ) = X P ( g−1 ; e ) · g. По формуле Планшереля 0 ∈Irr(G) U0 ) · tr 0 (g−1 e ) dim ( 0 ∈Irr(G) поскольку умножение слева на - = dim ( U ) · tr (g−1 ) ; e аннулирует все неприводимые U0 c 0 6= , а на U действует тождественным оператором. 9.3. Характеры. Для произвольного линейного представления % : k[G] действия на V форма называется - k % : [ G] - характером представления % (f ) = tr %(f ) %. В силу того, V ) линейная ∈ G след его GL( на групповой алгебре, сопоставляющая каждому элементу f что след оператора не меняется при сопряжении, характер любого представления постоянен на классах сопряжённых элементов. Поскольку любая линейная форма однозначно задаётся своими значениями на базисных векторах, пространство линейных форм функций G - k. ет отождествить k[x]∗ естественно отождествляется с пространством kG С другой стороны, скалярное произведение на групповой алгебре позволя- k[G]∗ c k[G] при помощи изоморфизма, сопоставляющего вектору функционал скалярного умножения на этот вектор: f 7−→(f; ∗ ) - k[G] Согласно (9-9) базисный вектор g ∈ G k[G]∗ : (9-12) перейдёт при этом изоморфизме в умноженную на форму, вычисляющую координату вдоль базисного вектора g−1 , а функция G |G| 'k | в элемент групповой алгебры 'b = (его иногда называют 1 |G| X g ∈G преобразованием Фурье ' g −1 · g от функции '). Отметим, что по сл. 9.10 преобра- зования Фурье от характеров неприводимых представлений пропорциональны неприводимым идемпотентам: b = 1 dim U · e (9-13) §9. Линейные 80 представления конечных групп Перенесём при помощи изоморфизма (9-12) скалярное произведение из групповой алгебры в пространство функций на группе, полагая по-определению ( '; '; b b) = ) = ( 1 |G|2 X g;h∈G ' g −1 h−1 (g; h) = 1 |G| X g ∈G ' g −1 g ( ) (9-14) Из (9-13) и сл. 9.8 вытекает Следствие 9.11 Неприводимые характеры образуют ортонормальный базис в пространстве функций, постоян- ных на классах сопряжённых элементов. G действует на векторном пространстве переg ∈G равно числу неподвижных элементов перестановки g . В частности, сказанное перед формулой 9.3.1. Вычисление характеров. Если группа становками базисных векторов, то значение характера такого представления на элементе (9-9) означало, что характер регулярного представления имеет вид L ( g ) = ( |G| если 0 если g=e g 6= e Упражнение 9.10. Вычислите характеры тавтологического и симплициального представлений Sn . Характеры геометрических представлений обычно без проблем вычисляются прямым сложением собственных значений соответствующих поворотов и отражений. Например, легко видеть, что значения характеров пяти представлений симметрической группы S4 , перечисленных перед упр. 9.8, задаются таблицей: классы число элементов 1 6 3 8 6 значения характеров: тривиального 1 1 1 1 1 знакового 1 1 1 тетраэдрального 3 −1 −1 0 кубического 3 1 −1 −1 −1 −1 0 1 треугольного 2 0 2 −1 0 из которой непосредственно видно, что они ортонормальны. Лемма 9.5 Для любых двух представлений V, W группы G с характерами U и V V ⊕ W ( g ) = V ( g ) + W ( g ) V ⊗ W ( g ) = V ( g ) W ( g ) V ∗ ( g ) = V ( g − 1 ) Hom(V;W ) (g) = V (g−1 )W (g) (9-15) (9-16) (9-17) (9-18) Доказательство. Поскольку любой оператор g из конечной группы полупрост, в пространствах V и W имеются базисы {vi } и {wj } из собственных векторов g. Пусть i и j | соответствующие наборы собственных чисел. Набор собственных чисел g в представлении V ⊕ W получается объединением этих наборов, откуда следует (9-15). Собственными числами g в представлении V ⊗ W являются всевозможные попарные произведения i j , что даёт (9-16). Формула (9-17) −1 следует из того, что матрица g в двойственном представлении транспонирована к матрице g в исходном (см. n ◦ 8.2). Последняя формула следует из двух предыдущих. 9.3. Характеры. 81 Упражнение 9.11. Докажите, что производящие функции для характеров симметрических и внешних степеней представления X >0 V имеют вид: ˜ V (g) t = det(1 + t g) Следствие 9.12 Характер любого представления V >0 S V (g) t = X = Следствие 9.13 G (V; W ) dim Hom ∈Irr(G) Применяем (9-15) к разложению V V ; W ) для любых G-модулей V = ( Доказательство. det(1 − t g) P Обе части равны как m (V ) · (9-19) m (V ) обозначает кратность вхождения U в разложение V Доказательство. 1 выражается через неприводимые характеры V где X в прямую сумму неприводимых. и левая | по лем. 9.1, правая | в силу сл. 9.12 и ортонормальности характеров. Следствие 9.14 U в произвольное представление V m (V ) = ( ; V ). Кратность вхождения неприводимого представления скалярному произведению их характеров Доказательство. Скалярно умножаем обе части (9-19) на равна и пользуемся ортонормальностью характеров. Следствие 9.15 Представление V Доказательство. V ; V ) = 1. неприводимо тогда и только тогда, когда ( Из ортонормальности характеров и сл. 9.12 вытекает, что ( где все W. m (V )m (W ) : ∈Irr(G) ◦ 9.1). на неприводимые (см. n V ; V ) = X ∈Irr(G) m2 (V ) ; m (V ) целые неотрицательные. Такая сумма равна единице только если она состоит из одного слагаемого, равного единице. Упражнение 9.12. Опишите все неприводимые представления и вычислите их характеры для групп: а) Dn б) A4 в) A5 г) S5 .