Область определения функций нескольких переменных

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Область определения
функций нескольких переменных
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.55(07)
О-167
Рецензент
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры прикладной информатики
О.А. Кондратова
О-167 Область определения функций нескольких переменных: метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. Е. В. Таскаева. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 11 с.
Изложены основные понятия, касающиеся функций нескольких переменных, рассмотрены примеры нахождения области определения функций нескольких переменных, приведены задания для самостоятельного решения.
Понятия из раздела “Функции нескольких переменных” необходимы для изучения кратных интегралов, систем дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и других разделов
математики.
Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
СОДЕРЖАНИЕ
ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЛАСТЬ EЁ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ГРАФИК………………………………………………………………..4
Теоретические сведения…………………………………………………4
Примеры…………………………………………………………………..7
ЛИНИИ УРОВНЯ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ……………………...8
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ……………….9
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………….10
3
ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ОБЛАСТЬ EЁ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК
Теоретические сведения
Многие вопросы естествознания приводят к рассмотрению такой зависимости между несколькими переменными величинами, при
которой значение одной из этих переменных величин полностью
определяется значениями остальных переменных.
Так, например, при рассмотрении каких-либо физических характеристик тела (плотности, температуры и др.) приходится учитывать
изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к
другой. Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами x,y,z, то рассматриваемые характеристики определяются значениями трех переменных.
При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями
четырех переменных: трех координат точки x,y,z и времени t.
На случай функции нескольких переменных распространяются
многие понятия и утверждения, справедливые для функции одной переменной.
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных величин x и y из некоторой области их изменения D
соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z
есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в
области D и обозначают z  f ( x, y ) .
Определение. Совокупность пар ( x, y ) значений x и y, при которых можно найти значение функции z  f ( x, y ) называется областью
определения или областью существования функции. Обозначается
D(z).
Определение. Множество значений, которые принимает функция z  f ( x, y ) , при ( x, y )  D( z ) называется областью значений или
областью изменения функции. Обозначается E(z).
4
Если функция задана аналитически z  f ( x, y ) , то областью ее
определения считают множество всех таких точек плоскости Oxy, для
которых выражение f ( x, y ) имеет смысл и принимает действительные значения. Например:
a
, то D(z):  ( x, y )  0 ;
 ( x, y )
 если z  2n  ( x, y ) , где n  N , то D(z):  ( x, y )  0 ;
 если z 
 если z  loga  ( x, y ) , то D(z):  ( x, y )  0 ;
 если z  arcsin  ( x, y ) или z  arccos ( x, y ) , то D(z): 1   ( x, y )  1 ;

 если z  tg ( x, y ) , то D(z):  ( x, y )    k , где k  Z ;
2
 если z  сtg ( x, y ) , то D(z):  ( x, y )   k , где k  Z .
Например,
 функция z=2x+3y–1 определена на всей плоскости Oxy;
 функция z  1  x 2  y 2 определена при 1  x 2  y 2  0 , то есть при
x 2  y 2  1 – внутри круга с центром в точке O(0;0) и радиусом 1
и на его границе – окружности x 2  y 2  1 .
 функция z  ln( x 2  y 2  4) определена при условии x 2  y 2  4  0
или x 2  y 2  4 , т.е. вне круга с центром в начале координат и
радиусом 2.
Точкa (x,y) области D называется внутренней точкой области
D, если (x,y) входит в область D вместе с некоторой своей окрестностью. Точки, содержащие в некоторой своей окрестности как точки
из области D, так и точки не входящие в область D образуют границу
области.
Область, состоящая только из внутренних точек, называется
открытой или незамкнутой. Если к области относятся и все точки
границы, то область называется замкнутой. Область называется
ограниченной, если существует такая константа С, что расстояние
любой точки области от начала координат О меньше С, то есть
OM  C .
Так как каждой паре чисел ( x, y ) соответствует единственная
точка M ( x, y ) плоскости Оху и обратно, то функцию двух перемен5
ных можно рассматривать как функцию точки и писать f  M  вместо
f ( x, y ) .
Если значение z  M  принять за аппликату соответствующей
точки  x, y,z  пространства, то множество таких точек образуют, вообще говоря, некоторую поверхность в пространстве Oxyz , которую
называют графиком (геометрическим изображением) функции
z  f  x, y  (см. рисунок 1).
Рисунок 1 – Геометрическое изображение функции двух
переменных
Так, графиком функции z  x 2  y 2 является параболоид вращения; графиком функции z=2x+3y–1 является плоскость; графиком
функции z  1  x 2  y 2 – полусфера с центром в начале координат,
радиусом R=1.
Для построения поверхностей используют метод сечений.
Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех и более переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел
 x, y, z  соответствует единственное действительное число u.
Обозначают: u  f  x, y, z  , u  u  x, y, z  .
Областью определения функции трех переменных является некоторое множество точек в пространстве. Геометрическое изображение функции трех и большего числа переменных не имеет простого
геометрического смысла.
6
Примеры
Пример 1. Найти и построить область определения функции:
y
z  arcsin( )
x
Решение. Функция определена при 1 
y
 1и x  0 .
x
При x  0 получаем  x  y  x .Такому двойному неравенству удовлетворяют координаты точек плоскости, лежащие ниже прямой
y  x и выше прямой y   x при x  0 .
При x  0 получаем неравенство  x  y  x , справедливое для точек плоскости, лежащих выше прямой y  x и ниже прямой y   x .
Точки на прямых тоже входят в область определения (см. рисунок 2).
y
x
Рисунок 2 – Область определения функции z  arcsin( )
Пример 2. Найти и построить область определения функции:
2
z  3x 
x2  y2
Рисунок 3 – Область определения функции z  3x 
7
2
x2  y2
Функция
определена
при
=>
x2  y 2  0
( x  y )( x  y )  0 . Границей области определения служат прямые y  x
и y   x , не входящие в область определения. Легко убедиться, что в
область определения входят точки области, изображенной на рисунке
3.
Решение.
ЛИНИИ УРОВНЯ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее
линии уровня (или поверхности уровня).
Определение. Линией уровня функции z  f ( x, y ) называется множество всех точек плоскости Oxy, в которых данная функция принимает
одно и то же значение: f ( x, y )  C, C  const .
Пример. Для функции
z  x2  y 2
линиями
уровня является семейство концентрических
окружностей
x 2  y 2  С с центром в
точке
O(0;0)
рисунок 4).
Рисунок 4 – Линии уровня
(см.
функции z  x 2  y 2
Определение. Поверхностью уровня функции u  f ( x, y, z ) называется множество всех точек пространства Oxyz в которых данная функция имеет одно и то же значение.
Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки, имеющие одинаковую высоту над уровнем моря, можно судить о
рельефе.
8
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти и построить область определения функции:
3xy 2
2x  5y
1) z  ln(9  x 2  y 2 )
2) z 
3) z  arcsin(2 x  y )
4) z  ln( x 2  y )
5) z 
2x
9  x2  y2
6) z  x 3  arccos
x2 y2
8) z  1  
36 9
7) z  ln(2 xy )
x2 y2
10) z 

2
3
2
5
12) z  ln y 
3  x2  y2
9) z  x ln y
11) z  lg( x  2 y  2)
13) z  2 x  4 
6
3 y
14) z 
2
x  y2  4
2
16) z  x  y
15) z  ln( y 2  4 x  8)
17) z  arccos
y
2
y 1
x
18) z  ctg ( x  y )
2. Построить линии уровня функции. Найти область значений
функций.
1) z  ln(9  x 2  y 2 )
2) z  2 x  y
3) z  yx 2  y
4) z  x 2  4 y 2  4
y
5) z 
x 1
7) z  yx  2 y
x2 y2
6) z  1  
4 16
8) z  x 2  y
9
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс / Д. Т. Письменный. – Москва : Айрис Пресс, 2006. –
608 с.
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Т.1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая школа, 2003. – 304 с.
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для вузов. В 2-х т. Т.1. / Н. С. Пискунов. – Москва : Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.
5. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для втузов. / В. П. Минорский. – 15-е изд. – Москва : Издательство Физико-математической литературы, 2008. –336 с.
10
Учебное издание
Составитель
Таскаева Елена Валерьевна
Область определения
функций нескольких переменных
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 31.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 0,64 л. Уч.-изд. 0,71 л. Тираж 30 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
11