Функции нескольких переменных

Функции нескольких
переменных
Функции нескольких переменных
 Поверхности второго порядка.
 Определение функции 2х переменных.





Геометрическая интерпретация.
Частные приращения функции. Частные
производные.
Производные высших порядков.
Скалярное и векторное поле. Градиент.
Уравнение касательной плоскости и нормали.
Экстремум функции нескольких переменных.
Поверхности второго порядка
Определение. Поверхностью в пространстве называется
геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению F(x, y, z) = 0.
Самый простой вид поверхности,
изученный в курсе аналитической
геометрии – плоскость.
Ее уравнение: Ax + By + Cz + D = 0.
Пример:
x+y+z+1=0
z
Сфера
x  a 2  y  b 2  z  c 2  R 2
Уравнение
определяет сферу
радиуса R с центром в точке S(a, b, c).
Если a = b = c = 0, то получаем уравнение сферы радиуса R с
центром в начале координат.
Пример:
x 2  y 2  z2  1
Цилиндрическая поверхность
Цилиндрической поверхностью называется поверхность,
описываемая прямой (образующей) параллельной данному
направлению и пересекающей данную линию (направляющую).
Уравнение цилиндрических поверхностей, образующие которых
параллельны оси Oz имеют вид F(x, y) = 0.
То есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими
параллельными Oz не содержат координаты z и совпадают с
уравнением направляющей линии.2
x
y2
Примеры: Направляющая эллипс: 2  2  1
a
b
- эллиптический цилиндр. 2
x
y2
Направляющая гипербола: 2  2  1
a
b
- гиперболический цилиндр.
2
Направляющая парабола: x  2 py
- параболический цилиндр.
Цилиндрическая поверхность
Эллиптический
цилиндр
Параболический
цилиндр
Гиперболический
цилиндр
Коническая поверхность
Конической поверхностью называется поверхность,
описываемая прямой, проходящей через данную точку
(вершину конуса) и пересекающей данную линию
(направляющую) конуса.
Пример: x 2  y 2  z 2 - уравнение конуса.
Эллипсоид
x 2 y 2 z2
Каноническое уравнение эллипсоида: 2  2  2  1
a
b
c
а, b, c – полуоси.
.
В сечении эллипсоида любой плоскостью параллельной Oxy, Oyz
или Oxz – эллипсы.
2
2
x
y
Например в сечении плоскостью z = 0 получаем эллипс
 2 1
2
a
b
В сечении плоскостью x = 0
y 2 z2
 2 1
2
b
c
В сечении плоскостью y = 0
x 2 z2
 2 1
2
a
c
Однополостный гиперболоид
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида:
x 2 y 2 z2
 2  2 1
2
a
b
c
В сечении однополостного гиперболоида плоскостями
параллельными Oxy получаем эллипсы,
Oyz или Oxz -гиперболы.
Например в сечении плоскостью z = 0
2
y2
получаем эллипс x
 2 1
2
a
b
В сечении плоскостью x = 0 гипербола
y 2 z2
 2 1
2
b
c
В сечении плоскостью y = 0 гипербола
x 2 z2
 2 1
2
a
c
Двуполостный гиперболоид
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида:
x 2 y 2 z2
 2  2  1
2
a
b
c
В сечении двуполостного гиперболоида плоскостями
параллельными Oxy получаем
эллипсы, Oyz или Oxz - гиперболы.
При сечении плоскостями z = h
получим эллипсы:
x 2 y 2 h2
 2  2 1
2
a
b
c
h c
В сечении плоскостями x = 0 и y = 0
- гиперболы.
2
2
z
y

1
2
2
c
b
z2 x 2
 2 1
2
c
a
Эллиптический параболоид
Каноническое уравнение эллиптического параболоида:
x2 y 2
z

2 p 2q
В сечении эллиптического параболоида плоскостями
параллельными Oxy –эллипсы, Oyz или Oxz – параболы.
z  x2  y 2
Гиперболический параболоид
Каноническое уравнение гиперболического параболоида:
x2 y 2
z

2 p 2q
z  x2  y 2
Примеры функций нескольких
переменных из разных дисциплин
1
a  h , где a – основание, h 2
высота.(Это функция 2 – х переменных.)
1. Площадь треугольника S 
2. Объем прямоугольного параллелепипеда V  x  y  z ,
где x, y, z - длина, ширина и высота соответственно. (Функция
от 3 – х переменных.)
3. Сила притяжения двух материальных точек m1 и m2,
занимающих положения M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2):
F 
m1  m2
x2  x1 2  y 2  y1 2  z2  z1 2
где γ – гравитационная постоянная.
(Функция от 6 - ти переменных.)
,
Функция двух переменных
Определение. Рассматриваем множество Е пар чисел (x, y).
(Имеются в виду упорядоченные пары. То есть 2 пары (x1, y1) и
(x2, y2) считаются равными тогда и только тогда, когда x1 = x2,
y1 = y2.) Если в силу некоторого закона каждой паре приведено
в соответствие число z, то говорят что этим определена на
множестве Е функция z = f(x, y) от двух переменных x и y.
Так как каждой паре чисел (x, y) соответствует точка координатной
плоскости, то можно говорить, что функция f(x, y) задана на
множестве Е точек плоскости.
Геометрическое изображение
функции 2-х переменных
Геометрическим изображением (графиком) функции двух
переменных z = f(x, y) является, вообще говоря, поверхность в
пространстве Оxyz.
То есть каждой паре
значений x , y   Q
M
будет соответствовать
точка M x , y , z x , y   P
и функция опишет в
P
пространстве некоторую
поверхность P,
«нависающую» над
областью Q.
Q
Большее число переменных
Для функции 3 – х переменных: Если каждой тройке чисел из Е
( x , y , z   E ) в силу некоторого закона поставлено в
соответствие число u, то говорят, что этим на Е определена
функция u = f(x, y, z).
Пример: переменная масса (плотность) тела, температура
неравномерно нагретого тела.
Для случая n переменных:
Рассмотрим множество Е упорядоченных систем из n чисел
( x1 , x 2 ,  , x n ). Если каждой точке в такой системе
соответствует число u, то говорят, что u есть функция от n
переменных.
u  f x1 , x 2 ,  , x n 
Приращение функции
Определение. Пусть z = f(x, y) есть функция двух переменных.
Дадим переменной x приращение x , оставляя y неизменной.
Тогда разность  x z  f x  x , y   f x , y  называется
частным приращением функции f(x, y) по переменной x.
Аналогично частное приращение по переменной y –
 y z  f x , y  y   f x , y  .
Если обе переменные получили приращения x , y то
f x , y   f x  x , y  y   f x , y  называется полным
приращением функции f(x, y) или просто приращением
функции.
Сразу отметим, что полное приращение функции, вообще говоря,
не равно сумме частных приращений этой же функции.
z   x z   y z
Частные производные первого
порядка.
Определение. Пусть дана функция z = f(x, y). Будем предполагать,
что функция определена для каждой рассматриваемой точки (x,
y) в некоторой окрестности. Рассмотрим отношение частного по
x приращения функции  x z  f x  x , y   f x , y  к
приращению x этой переменной.
 z
f x  x , y   f x , y 
Если существует предел lim x  lim
,
x 0
y 0
x
x
x 0
y 0
то он называется частной производной функции f(x, y) по
z
x
f
x
переменной x и обозначается
или
, z x , f x .
Аналогично определяется частная производная по y:
y z
Z
f x, y  y  f x, y 
 lim
 lim
y x0 y x0
y
y 0
y0
Частные производные первого
порядка.
Определение. Частной производной функции от нескольких
переменных по одной из этих переменных называется предел
отношения соответствующего частного приращения функции к
приращению рассматриваемой независимой переменной при
условии, что последнее стремится к нулю.
Правило дифференцирования функций двух и более переменных:
Частная производная функции от нескольких переменных равна
производной той функции одной переменной, которая
получится, если все независимые переменные данной функции,
кроме соответствующей одной, считать постоянными, то есть
f
d
f x , y  , где y = const.

x dx
Все правила дифференцирования функций многих переменных
совпадают с правилами дифференцирования функции одной
переменной
Примеры
1.
z  x 3 sin y  y 4
z
 3 x 2 sin y
x
6
2. u  x  y
3.
3
z
 x 3 cos y  4 y 3
y
 3z5
u
u
5
 3y 2
 6x
y
x
z  ln x 3  2 y

u
 15 z 4
z

z
1
 3
 3x2
x x  2 y
z
1
 3
2
y x  2 y
Примеры
x
4. z  arctg  
y 
z
1
1


2
x
x y
1 
y
5.
u
u

x 2
u

y 2
u

z 2
z

y
x  y 2  z3
1
x  y 2  z3
1
1 
 x
 2
2 
x  y
1 
y
1
1
2 x  y 2  z3
y
 2y 
2
3
xy z
x  y 2  z3
1
x  y 2  z3
 3z2 
3z2
2 x  y 2  z3



Частные производные высших
порядков
3 2
2
Рассмотрим функцию z  8 x y  16 xy  9 x , можно найти ее
частные производные по x и по y.
z
 24 x 2 y 2  16 y 2  9
x
z
 16 x 3 y  32 xy
y
Они также являются функциями от двух переменных x и y,
которые в свою очередь можно дифференцировать по этим
переменным.
Обозначение:
  z   2 z

   2  z xx
x  x  x
2
  z   z

   2  z yy
y  y  y
  z   2 z

 zyx
 
x  y  yx
  z   2 z

 zxy
 
y  x  xy
Частные производные высших
порядков
2
 z
2



z

48
xy
xx
x 2
2 z
  48 x 2 y  32 y
 z xy
xy
2 z
  48 x 2 y  32 y
 z yx
yx
2 z
3



z

16
x
 32 x
yy
2
y
Это смешанные производные.
2 z
2 z

xy yx
Смешанные производные не зависят от того, в каком порядке
производится дифференцирование.
Частные производные высших
порядков
Замечание верно для производных любого порядка.
5 z
5 z
Например:
2
x yxy
3 z
 96 xy
2
x y
3
 z
2

48
y
x 3

x 3 y 2
4 z
 96 y
2
x yx
4z
 96 y
3
x y
5 z
 96
2
x yxy
5 z
 96
3
2
x y
Скалярное и векторное поле
Определение 1. Говорят, что в данной области D
определено скалярное поле, если каждой точке M  D
ставится в соответствие некоторое скалярное число
(скаляр) u = f(M).
Если для положения точки М в пространстве ввести
декартову систему координат, то получим u = f(x, y, z) (или
u = f(x, y)) то есть функцию трех или двух переменных.
Пример: Распределение температуры в неравномерно
нагретом теле, распределение плотностей, концентраций
вещества.
Можно сказать, что понятия скалярного поля есть
физическая трактовка функции нескольких переменных.
Градиент
Определение 2. Говорят, что в данной области D определено
векторное поле, если каждой точке
 M  D ставится в
соответствие некоторый вектор u  f M  , или перейдя к
координатам u x  Fx M  , u y  Fy M  , u z  Fz M  .
Пример векторного поля: распределение скоростей в потоке газа
или жидкости, распределение сил в деформированном теле.
Определение 3. Пусть u = f(x, y) – плоское скалярное
поле,
тогда


 u u 
u
u
grad
u


i

j
вектор grad u   ;
или

x
y
 x y 
называется градиентом поля.
Аналогично для пространственного поля u = f(x, y, z) :
 u u u 
grad u   ;
;


x

y

z


То есть скалярное поле порождает векторное поле – поле
градиентов.
Примеры
3
1. Найдем градиент функции u  x  4 x  y

grad u  3 x 2  4 ; 2 y

2
В точке с координатами (0, 0) вектор grad u   4 ; 0 .
x
2. Найти градиент поля u 
 z2
y
в точке М(2, 1, 0).
1

x
grad u   ;  2 ; 2 z 
y
y

В точке М:
grad u
M
 1; 2 ; 0
Уравнение касательной плоскости
и нормали
Определение. Касательной плоскостью к поверхности в
данной ее точке М (точке касания) называется плоскость, в
которой лежат касательные в этой точке к всевозможным
кривым, проведенным в этой точке на данной поверхности
через указанную точку.
Нормалью к поверхности
называется перпендикуляр
к касательной плоскости
M
в точке касания.
Уравнение касательной плоскости
и нормали
Теорема. (Без доказательства). Во всякой точке, где grad u  0
M
градиент поля направлен по нормали к линии уровня,
проходящей через эту точку в сторону возрастания поля.
u  x3  4x  y 2
Уравнение касательной плоскости
и нормали
Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0
Из приведенной теоремы следует, что grad u
M0
перпендикулярен касательной к любой дифференцируемой
кривой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и лежащей на
поверхности уровня.
Эти касательные образуют касательную плоскость к поверхности
уровня и следовательно в качестве вектора нормали к
касательной плоскости можно взять вектор grad u
.
M0
В точке М0 вектор градиента имеет координаты:
 F
F
F 
;
;



x

y

z
 M0
M0 
M0

для поверхности F(x, y, z) = 0 уравнение касательной плоскости
можно записать:
F
x
 x  x 0  
M0
F
y
 y  y 0  
M0
F
z
 z  z0   0
M0
Уравнение касательной плоскости
и нормали
Для уравнения нормали к поверхности вектор градиента будет уже
направляющим вектором, поэтому :
x  x0  y  y 0  z  z0 
F
x

M0
F
y

M0
F
z
M0
Если поверхность задана явным уравнением z = f(x, y), можно его
переписать как F(x, y, z) = f(x, y) - z и тогда вектор нормали

(градиента) запишем в виде 
f
 f
;
; 1 

 x M0 y M0

соответственно уравнение касательной плоскости
z  z0   f
x M0
и нормальной прямой
 x  x 0  
f
y
 y  y 0 
M0
x  x0   y  y 0   z  z0 
f
x M0
f
y
1
M0
Пример
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности z  x 2  y 2  3 xy  4 x  2 y  4 в точке М0(-1, 0, 1).
Поверхность задана явным уравнением z = f(x, y), поэтому вектор
нормали
 f

f
;
; 1

 x M0 y M0

f
 2 x  3 y  4 f  2 y  3 x  2
x
y

N   6 ; 1; 1
6x  y  z  5  0
x 1 y z 1
 
6
1
1
f
 6
x M 0
z  1  6  x  1  1  y  0 
f
y
 1
M0
Экстремум функции нескольких
переменных
Определение. Точка (x0, y0) называется точкой максимума
функции z = f(x, y) если существует такая ε – окрестность
точки (x0, y0), что для каждой точки (x, y) отличной от (x0, y0), из
этой окрестности выполняется неравенство f(x, y) < f(x0, y0).
Аналогично определяется точка минимума функции: для всех
точек (x, y) отличных от (x0, y0),
из ε – окрестность точки (x0, y0)
Max
выполняется неравенство
f(x, y) > f(x0, y0).
Значение функции в точке максимума
Min
(минимума) функции называется
максимумом (минимумом)
функции. Максимум и минимум
функции – экстремум функции.
Экстремум функции нескольких
переменных
Теорема (Необходимое условие экстремума). Если в точке
М(x0, y0) дифференцируемая функция z = f(x, y) имеет
экстремум, то ее частные производные в этой точке равны
нулю: f x x 0 , y 0   0 , f y x 0 , y 0  0 .
Определение. Точка в которой частные производные первого
порядка функции z = f(x, y) равны нулю, то есть f   0 ,f   0 ,
x
y
называется стационарной точкой функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная
производная не существует, называются критическими
точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и
не иметь. Равенство нулю частных производных является
необходимым, но не достаточным условием существования
экстремума.


Экстремум функции нескольких
переменных
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в
стационарной точке (x0, y0) и некоторой ее окрестности функция
f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго
порядка включительно.
Вычислим в точке (x0,
 x0 , y 0  .
C  fyy
Обозначим
Тогда:

y0) значения A  f xx x0 , y 0 , B  f xy x0 , y 0  ,
A B
B C
 AC  B 2
.
1. Если Δ > 0, то функция f(x, y) в точке (x0, y0) имеет экстремум.
Максимум, если A < 0; минимум, если A > 0.
2. Если Δ < 0, то функция f(x,
имеет.
y) в точке (x0, y0) экстремума не
3. В случае Δ = 0 экстремум в точке (x0, y0) может быть или может не
быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примеры
.
z  x 3  y 3  9 xy
zy  3 y 2  9 x
1. Найти экстремумы функции
z x  3 x 2  9 y
Найдем стационарные точки из системы уравнений:
3 x 2  9 y  0
 2
3 y  9 x  0
x  0

y  0
x  3

y  3
Проведем исследование стационарных точек.
  6x
z xx
  9
zxy
  6y
zyy
В точке (0, 0): A = 0, B = -9, C = 0, Δ = -81 < 0. То есть в точке нет
экстремума.
В точке (3, 3): A = 18, B = -9, C = 18, Δ = 324 - 81 = 243 > 0. То есть в
точке экстремум. Так как A > 0, то в точке минимум.
3
2. Исследовать на экстремум функцию z  x  4 x  y
z x  3 x 2  4
2
.
zy  2 y
Найдем стационарные точки из системы уравнений:
2
3 x  4  0

 2 y  0
2

x 
3

y  0

2

x



3

y  0

Проведем исследование стационарных точек.
  6x
z xx
 0
zxy
 2

12
,0

В точке  3  : A 
3
нет экстремума.
  2
zyy
, B = 0, C =-2, Δ < 0. То есть в точке
 2

12

,0  A  

В точке 
3 :
3
, B = 0, C = -2, Δ > 0. То есть в
точке экстремум. Так как A < 0, то в точке максимум.
Примеры
Max
Нет
экстремума
Примеры
3. Исследовать на экстремум функцию
z x  4 x 3
z  x4  y 4
.
zy  4 y 3
Найдем стационарные точки из системы уравнений:
4 x 3  0
 3
4 y  0
x  0

y  0
Проведем исследование стационарной точки.
  12 x 2
zxx
 0
zxy
  12 y 2
z yy
В стационарной точке: A = 0, B = 0, C = 0, Δ = 0. Нельзя ничего
сказать про экстремум в этой точке, необходимы
дополнительные исследования.