Представление сигналов. Пространства сигналов
advertisement
Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Представление сигналов. Пространства сигналов к.ф.-м.н., доцент Красоткина О.В. Московский государственный университет факультет ВМК кафедра Математических методов прогнозирования Цифровые методы обработки сигналов Лекция 1 Тула, 2014 Красоткина О.В. План Красоткина О.В. 1 Классификация задач обработки сигналов Классификация задач обработки сигналов 2 Основные характеристики сигналов Основные характеристики сигналов 3 Пространства сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов по Норберту Винеру Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов фильтрация интерполяция экстраполяция (прогноз) Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов по Норберту Винеру Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Фильтрация Пусть доступная для наблюдаемая компонента наблюдается последовательно во времени yt , t = ...t − 2, t − 1, t, ..., . Пусть – текущий момент времени, к которому уже зарегистрирована часть реализации наблюдаемого процесса Y t = (ys , s ≤ t), и требуется дать оценку (x̂t ) текущего значения скрытой компоненты xt . Такая оценка имеет вид функционала x̂t (Y t ) = x̂t (. . . , yt−2 , yt−1 , yt ). Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов по Норберту Винеру Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Интерполяция Пусть доступная для наблюдаемая компонента наблюдается последовательно во времени yt , t = ...t − 2, t − 1, t, ..., . Пусть – текущий момент времени, к которому уже зарегистрирована часть реализации наблюдаемого процесса Y t = (ys , s ≤ t), но требуется дать оценку x̂t 0 скрытой компоненты xt в некоторый предыдущий момент времени t 0 ≤ t. Задачу формирования такой оценки будем называть задачей интерполяции x̂t 0 (Y t ) = x̂t 0 (. . . , yt−2 , yt−1 , yt ). Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов по Норберту Винеру Красоткина О.В. Экстраполяция Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Пусть доступная для наблюдаемая компонента наблюдается последовательно во времени yt , t = ...t − 2, t − 1, t, ..., . Пусть – текущий момент времени, к которому уже зарегистрирована часть реализации наблюдаемого процесса Y t = (ys , s ≤ t), и требуется дать оценку x̂t 0 значения скрытой компоненты xt в некоторый следующий момент времени t 0 ≥ t. Задачу формирования такой оценки будем называть задачей экстраполяции x̂t (Y t ) = x̂t (. . . , yt−2 , yt−1 , yt ). Красоткина О.В. Основные характеристики сигналов Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов область определения энергия мощность Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Множество сигналов Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Введем понятие множества Y, из которого принимают значение подлежащие анализу сигналы Y = (yt , t = 1, ..., N) ∈ Y = Y × Y × ... × Y = YN , обладающие в рамках нашей задачи некоторым отличительным свойством P. Здесь Y - область значений сигнала, множество, из которого принимает значение конкретный элемент сигнала yt . Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством, в одно множество, мы, естественно, начинаем интересоваться отличительными свойствами отдельных элементов этого множества, т.е. сравнивать элементы множества между собой. Красоткина О.В. Пространство сигналов Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Общий подход, который и интуитивно кажется подходящим, для обозначения различия между двумя элементами множества y 0 и y 00 состоит в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число d(y 0 , y 00 ) → R, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с подходящим образом определенным расстоянием представляет собой пространство сигналов Красоткина О.В. Метрическое пространство Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Если введенное расстояние d удовлетворяет аксиомам метрики Основные характеристики сигналов d(y 0 , y 00 ) ≥ 0, Пространства сигналов d(y 0 , y 00 ) = d(y 00 , y 0 ), Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением d(y 0 , y 00 ) = 0, ⇒ y 0 = y 00 , d(y 0 , y 000 ) ≤ d(y 0 , y 00 ) + d(y 00 , y 000 ), то пространство сигналов будет метрическим пространством. Красоткина О.В. Пример: Поиск периодической компоненты характеристик локомоторного аппарата человека при ходьбе Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Линейное пространство Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Пусть для пространства сигналов Y определены операции сложения и умножения на число таким образом, что любым двум элементам y 0 , y 00 ∈ Y соответствует элемент пространства Y: y 0 + y 00 ∈ Y любому элементу пространства y ∈ Y и любому числу α ∈ R соответствует элемент пространства αy ∈ Y Красоткина О.В. Линейное пространство сигналов Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Для множества сигналов Y определены операции сложения и умножения на число таким образом, что любым двум элементам y 0 , y 00 ∈ Y соответствует элемент пространства Y: y 0 + y 00 ∈ Y любому элементу пространства y ∈ Y и любому числу α ∈ R соответствует элемент пространства αy ∈ Y Красоткина О.В. Линейное пространство сигналов Красоткина О.В. Множество Y называется линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы Классификация задач обработки сигналов y 0 + y 00 = y 0 + y 00 , y 0 , y 00 ∈ Y Основные характеристики сигналов существует нулевой элемент Ø ∈ Y : y + Ø = y , y + (−y ) = Ø , y ∈ Y Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением (y 0 + y 00 ) + y 000 = y 0 + (y 00 + y 000 ), y 0 , y 00 , y 000 ∈ Y 1 · y = y, y ∈ Y α(βy ) = (αβ)y , α, β ∈ R, y ∈ Y (α + β)y = αy + βy , α, β ∈ R, y ∈ Y α(y 0 + y 00 ) = αy 0 + αy 00 , α ∈ R, y ∈ Y Элементы линейного пространства называют векторами. Красоткина О.В. Линейная комбинация векторов Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Линейной комбинацией векторов линейного пространства называется вектор y = α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn . Система векторов называется линейно независимой, если α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn = 0, только если α1 = α2 = ... = αn = 0. Линейное пространство Y называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем: 1) существует n линейно независимых векторов; 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима. Красоткина О.В. Нормированные пространства Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Теперь объединим свойства, характерные для метрических пространств, и алгебраические свойства, выявленные в линейных пространствах. Это достигается путем определения действительного числа, характеризующего «размер» элемента в линейном пространстве. Такое число называется нормой вектора и может быть определено с помощью любого отображения линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющего следующим требованиям: ky k ≥ 0, ky k = 0, если y = Ø ky 0 + y 00 k ≤ ky 0 k + ky 00 k kαy k = αky k Норма и линейные операции естественным образом порождают метрику d(y 0 , y 00 ) = ky 0 − y 00 k Красоткина О.В. Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической характеристики - скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение hy 0 , y 00 i- это отображение декартова произведения элементов линейного пространства на действительную ось или комплексную плоскость, удовлетворяющее следующим свойствам: hy 0 , y 00 i = hy 00 , y 0 i hαy 0 + βy 00 , y 000 i = αhy 0 , y 000 i + βhy 00 , y 000 i hy , y i ≥ 0, hy , y i = 0 только если y = Ø Красоткина О.В. Основные характеристики сигналов. Область определения y(t) Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов t1 t2 t Рис. : Полубесконечная область определения (0, ∞) Рис. : Конечная область определения (t1 , t2 ) Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением ! y(t) 0 t ! Рис. : Бесконечная область определения (−∞, ∞) Красоткина О.В. Основные характеристики сигналов. Энергия Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Энергия сигнала имеет смысл только для конечной области определения Zt2 E = y 2 (t)dt Пространства сигналов t1 Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Красоткина О.В. Основные характеристики сигналов. Мощность Красоткина О.В. Классификация задач обработки сигналов Основные характеристики сигналов Пространства сигналов Множество сигналов Пространство сигналов Метрическое пространство Линейное пространство Пространства со скалярным произведением Мощность сигнала это удельная энергия, приходящаяся на единицу области определения, имеет смысл для любой области определения 1 P= t2 − t1 Zt2 y 2 (t)dt t1 1 P = lim t1 →∞ t1 Zt1 y 2 (t)dt 0 1 P = lim t1 →∞ 2t1 Красоткина О.В. Zt1 −t1 y 2 (t)dt
