ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП Содержание дисциплины

ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП
Содержание дисциплины
Тема 1. Группа, подгруппа. Примеры
Понятие группы. Абелева группа. Прямое произведение групп. Понятие подгруппы.
Гомоморфизм и изоморфизм групп. Образ и ядро отображения. Конечные и бесконечные
циклические группы и их реализации. Группы движений фигур на плоскости и в
пространстве. Симметрические группы. Матричные группы.
Тема 2. Однородные пространства.
Левые и правые классы смежности по подгруппе. Действие группы на множестве.
Транзитивность. Орбиты. Неподвижная точка. Стационарная подгруппа точки.
Однородные пространства.
Тема 3. Фактор-группы.
Отношение сопряженности. Классы сопряженных элементов.
Нормальный делитель. Фактор-группы. Теорема о гомоморфизме.
Централизатор.
Тема 4. Групповая алгебра конечной группы.
Пространства функций на конечном множестве. Размерность. Базис. Прямая сумма и
тензорное произведение пространств. Реализации групповой алгебры конечной группы.
Свёртка функций в разных реализациях. Центр групповой алгебры. Размерность. Базис в
центре.
Тема 5. Представления групп.
Понятие представления группы. Размерность представления. Эквивалентные
представления. Матричные элементы. Прямая сумма и тензорное произведение
представлений.
Подпространство,
инвариантное
относительно
представления.
Приводимые и неприводимые представления. Подпредставление. Фактор-представление.
Тема 6. Представления конечных групп.
Понятие унитарности представления. Условие унитарности. Теорема об
ортогональном дополнении. Разложение представления конечной группы в прямую
сумму. Сплетающий оператор. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для
матричных элементов представлений конечных групп.
Тема 7. Разложение представлений с помощью характеров.
Характер представления. Теоремы о характере. Соотношения ортогональности для
характеров неприводимых представлений конечных групп. Разложение представлений с
помощью характеров. Критерий неприводимости представления. Левое и правое
регулярные представления. Разложение регулярного представления. 1-я и 2-я теоремы
Бернсайда. Свертка матричных элементов и характеров. Квазирегулярное представление,
его характер и разложение. Индуцированное представление. Принцип двойственности
Фробениуса.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Теория
представлений групп»
а) основная литература:
1. Винберг Э.Б. Линейные представления групп, М., Наука,1985.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, М., Наука, 1977.
3. Кириллов А.А. Элементы теории представлений, М., Наука, 1978.
4. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, М., Мир, 1970.
5. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения, М., ИЛ, 1950.
6. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М., Наука, 1965.
7. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления, М., Наука, 1970.
8. Наймарк М.А., Теория представлений групп. М., Наука, 1976.
9. Кэртис И., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр,
М., Наука, 1969.
10. Смирнов В.И., Курс высшей математики, т.3, ч.1, М., Наука, 1967.
11. Желобенко Д.П., Штерн А.И., Представления групп Ли. М., Наука, 1983.
б) дополнительная литература:
1. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре.
2. Сборник задач по линейной алгебре / под ред. А.И.Кострикина, М., Наука, 1987.
3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: В 2 т., М., Мир, 1980.
4. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, М., Мир, 1969.
5. Фейт У. Теория представлений конечных групп, М., Наука, 1990.
6. Белоногов В.А. Задачник по теории групп, М., Наука, 2000.
7. Ляпин Е.Е., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп, М., Наука,
1967.
8. Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления классических групп, Тр.
Матем. Ин-та им. В.А. Стеклова, 1950.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы: http://tsutmb.ru/
Требования к уровню усвоения программы, формы текущего и промежуточного
контроля.
Примерный перечень тем докладов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Линейные представления групп движений.
Специальные функции.
Преобразование Фурье и его свойства.
Группы и алгебры Ли.
Ряды в группах.
Алгебраические системы.
Компактные группы.
Тест 1.
Вариант 1.
1. Определить какие из множеств с операциями являются группами:
а)
б)
;
;
в)
.
2. Доказать, что множество с операцией является группой:
а)
, где операция
б)
задана:
, где операция
задана:
.
3. Дана группа
группу
. Я вляются ли функции
;
гомоморфизмами в
? В случае положительного ответа найти ядро гомоморфизма.
4. Дана группа
группу
. Я вляются ли функции
,
гомоморфизмами в
? В случае положительного ответа найти ядро гомоморфизма.
5. Найти левые и правые классы смежности группы S3 по подгруппе
.
Вариант 2.
1. Определить какие из множеств с операциями являются группами:
а)
;
б)
в)
;
.
2. Доказать, что множество с операцией является группой:
а)
б)
, где операция
, где операция
задана:
задана:
;
.
3. Дана группа
группу
4. Дана группа
группу
;
. Я вляются ли функции
гомоморфизмами в
? В случае положительного ответа найти ядро гомоморфизма.
. Я вляются ли функции
,
гомоморфизмами в
? В случае положительного ответа найти ядро гомоморфизма.
5. Найти левые и правые классы смежности группы S3 по подгруппе
Тест 2.
.
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
1
.
1
0
.
1
1
.
1
2
.
1
3
.
1
4
.
5
.
Вопросы к зачету
1. Определение группы. Абелева группа. Прямое произведение групп. Подгруппа.
Гомоморфизм. Изоморфизм
2. Левые и правые классы смежности.
3. Действие группы на множестве. Транзитивность. Орбиты. Неподвижная точка.
Стационарная подгруппа точки. Однородные пространства.
4. Классы сопряженных
элементов. Централизатор. Нормальный делитель.
Фактор-группы.
5. Групповая алгебра конечной группы. Базис. Свертка.
6. Центр групповой алгебры. Базис в центре.
7. Представление группы. Эквивалентные представления.
8. Приводимые и неприводимые представления. Инвариантное подпространство.
Подпредставление. Фактор-представление.
9. Унитарное представление. Теорема об ортогональном дополнении (+следствие).
Теорема о представлении конечной группы (+следствие).
10. Сплетающий оператор. Лемма Шура. Следствие.
11. Соотношение ортогональности для матричных элементов конечных групп.
12. Характер представления. Три теоремы о характерах.
13. Соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений
конечных групп.
14. Теорема о разложении представлений с помощью характеров. Следствие.
15. Регулярное представление. Две теоремы о нем. 1-я теорема Бернсайда. Следствие.
16. Теорема о разложении центра групповой алгебры. 2-я теорема Бернсайда.