Учебно – методичекое пособие для студентов
реклама
Министерство науки и образования
Российский государственный социальный университет
Красноярский филиал
Левин Л.А.
(Учебно – методичекое пособие для студентов
экономических специальностей всех форм обучения)
Красноярск. 2006.
2
Левин Л.А. "Финансовая математика": Учебное - методическое пособие.
Рецензенты:
зав. кафедрой Информатики «Финансы и кредит» КФ РГСУ
доцент И.З. Погорелов
декан ФИФТ КГПУ, к.т.н., проф. Е.А Вейсов
Учебное пособие предназначено для освоения дисциплины "Финансовая
математика”, а также для тех дисциплин, где изучаются разделы, связанные с вопросами
оценки финансовых операций.
Предназначено для студентов экономических специальностей всех форм
обучения.
Пособие рассчитано на широкое использование электронной таблицы Excel и
содержит основные теоретические положения, рассматриваемых в ней вопросов,
примеры решения задач, вопросы по отдельным разделам. задания для самостоятельного
выполнения и библиографию.
.
Рассмотрено на заседании кафедры
Протокол № ___
“___”_ ______2006__г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................................................5
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА – ЧТО ЭТО? .............................................................................................5
ФАКТОР ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ ..........................................................6
MS EXCEL – ОСНОВНОЙ ИНСТУМЕНТ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ7
КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНЫМ ПОСОБИЕМ?...............................................................................................8
1.
ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ВЛОЖЕНИЙ ЗА СЧЕТ
ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ ...............................................................................................................10
1.1.
ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ....................................11
1.1.1. Тесты для проверки усвоения пройденного материала ..............................................14
1.2.
ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ ............................................................................................................15
1.2.1. Временная база финансовой операции .........................................................................16
1.2.2. Переменная ставка........................................................................................................18
1.2.3. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.........................................19
1.2.4. Тесты для проверки усвоения пройденного материала ..............................................20
1.2.5. Задачи для самостоятельного решения.......................................................................21
1.3.
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ...........................................................................................................23
1.3.1. Начисление процентов при дробных периодах ............................................................27
1.3.2. Эффективная ставка процентов.................................................................................28
1.3.3. Непрерывное начисление процентов ............................................................................30
1.3.4. Переменная ставка процентов.....................................................................................31
1.3.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.........................................32
1.3.6. Тесты для проверки качества усвоения пройденного материала..............................32
1.3.7. Задачи для самостоятельного решения.......................................................................34
1.4.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ .............................................................................................................36
1.4.1. Математическое дисконтирование.............................................................................36
1.4.2. Банковский учет.............................................................................................................38
1.4.3. Тест для проверки качества усвоения пройденного материала ...............................40
1.4.4. Задачи для самостоятельного решения.......................................................................41
2.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ФУНКЦИЙ MS EXCEL.........................................43
2.1.
ТЕХНОЛОГИЯ РАБОТЫ С ФИНАНСОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ EXCEL ............................................43
2.1.1. Операции наращения. Функция БС() ............................................................................49
2.1.2. Операции дисконтирования ..........................................................................................51
2.1.3. Определение срока финансовой операции....................................................................52
2.1.4. Определение процентной ставки .................................................................................53
2.1.5. Расчет эффективной и номинальной ставки процентов...........................................54
2.1.6. Начисление процентов по плавающей ставке .............................................................55
3.
ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ..........................................................57
3.1.
ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ В ВИДЕ СЕРИИ РАВНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ (АННУИТЕТЫ)...............................58
3.2.
КЛАССИФИКАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ ................................................................................58
3.3.
РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПЛАТЕЖЕЙ...................................................................................60
3.3.1. Определение будущей (наращенной) стоимости потока платежей. Функция БС()60
3.3.2. Современная (текущая) величина аннуитета. Функция ПС() ...................................62
3.3.3. Нерегулярные потоки платежей, Функция БЗРАСПИС()..........................................64
3.3.4. Определение величины периодического платежа. Функция ПЛТ()...........................66
3.3.5. Расчет платежей по процентам. Функция ПРПЛТ() ................................................67
3.3.6. Расчет суммы платежей по процентам по займу. Функция ОБЩПЛАТ() ..............69
3.3.7. Расчет величины основных платежей по займу. Функция ОСПЛТ() ........................70
3.3.8. Расчет суммы основных платежей по займу. Функция ОБЩДОХОД() ...................71
3.3.9. Использование операции «Подбор параметра» для определения
отдельных параметров аннуитета.........................................................................................................71
3.4.
РАЗРАБОТКА ШАБЛОНА ДЛЯ АНАЛИЗА АННУИТЕТОВ ...........................................................73
3.5.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.........................................................................75
4.
ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ................................................................79
4.1.
4.2.
4.3.
ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД ...........................................................................................79
СРОК ОКУПАЕМОСТИ ............................................................................................................83
ИНДЕКС РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ...................................................................................................85
4
4.3.1. Внутренняя норма доходности. Функция ЧИСТВНДОХ() .........................................87
4.3.2. Модифицированная внутренняя норма доходности. Функция МСВД() ....................88
4.4.
ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПЕРИОДАМИ
ПОСТУПЛЕНИЯ ПЛАТЕЖЕЙ ................................................................................................................................89
4.5.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ......................................................................91
5.
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................................99
6.
ПРИЛОЖЕНИЯ .......................................................................................................................100
6.1.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РАБОТЫ В MS EXCEL .............100
6.1.1. Перемещение по рабочему листу................................................................................101
6.1.2. Основные правила ввода данных в ячейку таблицы ..................................................102
6.1.3. Подбор параметра ......................................................................................................103
6.1.4. Диспетчер сценариев ...................................................................................................105
6.1.5. Таблица подстановки ..................................................................................................107
6.2.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПОРЯДКОВЫЕ НОМЕРА ДНЕЙ В НЕ ВИСОКОСНОМ ГОДУ ...........................109
6.3.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. МНОЖИТЕЛИ НАРАЩЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ ........................110
5
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время трудно переоценить роль специалиста по финансовому
анализу деятельности предприятия. Финансы являются “кровью” предприятия.
Именно в деньгах оцениваются проданные товары и оказанные клиентам услуги.
Именно деньги являются универсальным измерителем необходимых
предприятию ресурсов − сырья и материалов, станков, человеческих ресурсов,
информации и т.д. Поэтому планирование и прогнозирование, контроль и
оптимизация финансовых потоков являются жизненно важными задачами
финансовой службы.
Решению этих задач посвящен курс «Финансовая математика».
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА – ЧТО ЭТО?
Деньги
Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы финансовых
расчетов. Базовая финансовая операция – кредитование. Субъекты рынка
заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в
установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением
(процентами). Ситуация в простейшем случае, когда ссуда выдана на год,
показана на рис.1-1.
Финансовая операция. (PV – сумма (ссуда), выданная кредитором заемщику;
FV – сумма, получаемая кредитором по окончании финансовой операции; I –
доход, получаемый кредитором.)
Лучшее, на наш взгляд, определение сущности финансовой математики дано
Е.М. Четыркиным, который отмечал, что финансовая математика представляет
собой совокупность методов определения изменения стоимости денег,
происходящего вследствие их возвратного движения в процессе воспроизводства.
Таким образом, финансовая математика – раздел количественного анализа
финансовых операций, предметом которого является изучение функциональных
зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово-
6
банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых
задач определенного класса.
Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в
которой необходимость использования финансово-экономических вычислений
возникает всякий раз, когда в условиях сделки (финансовой операции) прямо или
косвенно присутствуют временные параметры: даты, сроки выплат,
периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и т.д. При
этом фактор времени зачастую играет более важную роль, чем стоимостные
характеристики финансовой операции, поскольку именно он определяет
конечный финансовый результат
ФАКТОР ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
Известный всем лозунг "время – деньги" имеет под собой реальную основу,
позволяющую определить истинную ценность денег с позиции текущего момента.
Время не возвращается, но вложенный в дело капитал, может со временем
прирасти и вернуться к инвестору с процентом. Кредитор взимает плату за
использование денежных средств с заемщика, который намерен потратить их
именно сейчас, так как предпочитает удовлетворять свои потребности раньше,
чем накопит достаточно собственных средств.
Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности
денег, относящихся к различным моментам времени:
Равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра"
оцениваются по разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих.
Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием
фактора времени:
во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как
приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы и
тем самым принести доход. Рубль в руке сегодня стоит больше, чем рубль,
который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы
можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую
инвестиционную операцию;
во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени.
Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к.
цены на товар повысятся;
в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает
ценность имеющихся денег. Сегодня рубль в руке уже есть и его можно
израсходовать на потребление, а будет ли он завтра в руке, – еще вопрос.
Для корректности арифметического сопоставления величин разновременных
затрат/доходов их необходимо корректировать, т.е., используя некоторые
финансовые коэффициенты, основанные на формулах начисления процентов,
привести к одному и тому же моменту времени. Эти коэффициенты учитывают
возможный уровень отдачи инвестиций при выбранном уровне риска за период,
разделяющий показатели во времени.
Приведение более ранней суммы к эквивалентной ей величине в другой момент
времени в будущем производится ее умножением на коэффициент наращения.
7
Рост по правилу простых процентов является линейным и подчиняется закону
арифметической прогрессии, а правило сложных процентов порождает
геометрическую прогрессию.
Эффективная доходность вложений зависит от правила и частоты начисления
процентов.
Реальная доходность ниже уровня процентной ставки в связи с дополнительным
взиманием налогов и комиссионных за операцию, а также в связи с инфляцией.
Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за
фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название "период
начисления", – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом
процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando)
проценты начисляются в конце периода. Как правило, в качестве единицы
периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает
использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.
Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется
сроком финансовой операции
Начало
операции
Первое
начисления
процентов
период
Второе
начисление
процентов
N -e
начисление
процентов
t – (время)
Период начисления процентов
MS EXCEL – ОСНОВНОЙ ИНСТУМЕНТ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
Сегодня нельзя всерьез претендовать на работу экономиста, менеджера,
бухгалтера, финансиста, специалиста по ценным бумагам и т.п., если не уметь
обращаться с компьютером. Умение работы с компьютером предполагает прежде
всего знание текстовых процессоров, электронных таблиц, системы управления
базами данных и систем для работы с графикой.
EXCEL является одной из самых популярных программ работающих в
операционной среде Windows, сочетающей возможности графического и
текстового редакторов с мощной математической поддержкой, позволяющей
решать задачи практически любой степени сложности. К числу несомненных
достоинств MS Excel следует отнести и то, что даже неопытный пользователь,
владеющий только основными приемами работы, без особых затруднений может
создать свои собственные программы–шаблоны, позволяющие автоматизировать
выполнение необходимых расчетов и полностью отказаться от использования
калькулятора.
Не вызывает сомнения то, что Вы хорошо достаточно хорошо знакомы с
техникой работы в MS Excel и при решении приводимых в тексте примеров и
задач, Вы будете выполнять их именно в среде MS Excel. В случае затруднений
Вы можете воспользоваться описанием основных технологических приемов
8
работы в MS Excel, приведенных в Приложении 1, либо любым руководством по
этому программному продукту.
КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНЫМ ПОСОБИЕМ?
Учебно-методическое пособие содержит изложение основных понятий и методов
финансовых вычислений и количественного анализа финансовых операций,
охватывает базовые разделы финансовой математики, и направлено на
построение планов погашения кредитов и финансового анализа инвестиций1.
В основе излагаемого материала лежит учет роли фактора времени в финансовых
операциях и возникающим в процессе их проведения потоков платежей. При этом
особое внимание уделяется основным количественным показателям,
характеризующим финансовые сделки, на конкретных примерах показаны методы
их исчисления, а также технология автоматизации базовых расчетов в среде ППП
EXCEL.
Базовые разделы финансовой математики и опирающиеся на них прикладные
финансовые расчеты сопровождаются использованием технологий встроенных
функций табличного процессора Excel.
Помимо удобного средства автоматизации многочисленных и трудоемких
расчетов, он сыграет здесь роль своеобразного компьютерного полигона, где в
процессе решения конкретных задач Вы сможете убедиться на практике в
справедливости и полезности рассмотренных теоретических концепций.
Следует отметить, что несмотря на то, что реализация большинства моделей и
методов вычислений в среде ППП EXCEL рассматривается достаточно подробно
(практически на уровне пошаговых инструкций) и не требует специальной
подготовки в области информатики и программирования ЭВМ, мы все же
предполагаем наличие у читателя элементарного практического опыта работы c
Windows и ППП EXCEL , а также знания клавиатуры ПЭВМ и умения обращаться
с устройством "мышь". Рекомендации по установке ППП EXCEL и настройке
панелей инструментов приведены в приложении 1.
Все рассмотренные в книге примеры и разработанные в виде специальных
шаблонов модели для решения типовых задач прошли тестирование в
локализованных версиях ППП EXCEL и при необходимости могут быть
использованы в повседневной практической деятельности читателя.
Каждая глава снабжена материалами для практической работы на персональном
компьютере, вопросами для повторения и контроля степени усвоения
1
Данное пособие, безусловно, не может полностью охватить предмета
«Финансовая математика» и задумано как настольная книга пользователя ПК,
помогающая ему, во-первых, самостоятельно изучить основные формулы процентных
расчетов и, во-вторых, научиться работать с ними в электронных таблицах.
Принятые в настоящем учебном пособии состав и последовательность
рассмотрения учебного материала, позволяют получить целостное представление о
финансово-экономических расчетах и о практическом применении этих методов при
разработке и реализации финансовых решений.
9
пройденного материала. Это позволяет использовать ее как для самостоятельного
обучения, так и в качестве учебного пособия по соответствующим разделам
курсов: “Финансовый менеджмент”, "Ценные бумаги", “Информационные
технологии финансово-кредитной и банковской деятельности и др..
Мы надеемся, что предлагаемая работа окажется полезной для студентов и
аспирантов экономических вузов, а также всем, кто интересуется данной
тематикой.
1. ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ВЛОЖЕНИЙ ЗА СЧЕТ
ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в
будущем, исходя из заданной суммы сейчас.
Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той
суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь
идет движение денежного потока от настоящего к будущему.
Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины инвестиции
PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов r
PV
FV
t– время
Рис. 1-1 Логическая схема операции наращения
Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды
процентных ставок
Процентная ставка
Переменная
Сложная
Постоянная
Простая
Плавающая
Фиксированная
Рис. 1-2 Типы процентных ставок
Простая процентная ставка
Сложная процентная ставка
применяется к одной и той же первоначальной
сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е.
исходная база (денежная сумма) всегда одна и та
же.
применяется к наращенной сумме долга, т.е. к
сумме, увеличенной на величину начисленных за
предыдущий период процентов, – таким образом,
исходная база постоянно увеличивается.
11
Фиксированная процентная
ставка
Плавающая процентная
ставка
Постоянная процентная
ставка
Переменная процентная
ставка
ставка, зафиксированная в виде определенного
числа (сумы) в финансовых контрактах.
привязанная к определенной величине,
изменяющейся во времени, включая надбавку к
ней (маржу), которая определяется целым рядом
условий (сроком операции и т.п.). Основу
процентной ставки составляет базовая ставка,
которая является начальной величиной.
неизменная на протяжении всего периода ссуды.
дискретно изменяющаяся во времени, но
имеющая конкретную числовую характеристику.
1.1. ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ
В финансовой математике широко представлены все виды статистических
показателей: абсолютные, относительные и средние величины.
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины:
время (n)
современная величина (PV),
наращенная или будущая величина (FV),
процентная ставка (r)
При изложении материала далее используются следующие термины и обозначения:
n – Срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по
истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом
расчетных периодов – обычно равных по длине подитервалов времени, в конце (или
начале) которых начисляются проценты.
Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка
берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на
которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о
предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую
дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в
разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок погашения
долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции
составит
N=n•m
(1-1)
PV – текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма или оценка
современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в
пересчете на более ранний момент времени;
12
FV – будущая стоимость (англ. future value) – наращенная сумма или будущая
стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу
срока ссуды;
I – Процентные деньги (англ. interest2 money), называемые часто коротко
"проценты", представляют собой абсолютный доход от предоставления долга.
I= FV-PV
( 1-2)
Оценка эффективности финансовых операций по величине процентных денег на
практике используется достаточно редко, так сама их величина, не учитывающая фактор
времени, мало что может сказать о реальной доходности операции. Необходимо иметь
возможность сопоставить ее с темпом обесценивания денег (инфляции) или результатами
другой финансовой операции. Поэтому в финансово-экономических расчетах наиболее
широко пользуются относительные показатели:
r – процентная ставка3 (rate of interest ), характеризующая интенсивность
начисления процентов за единицу времени,– отношение суммы процентных денег,
выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель
выражается либо в долях единицы, либо в процентах.
r =I/PV = (FV – PV) / PV ( 1-3)
Этот коэффициент (r) показывает, во сколько раз наращенная сумма больше
первоначальной вложенной суммы, т.е. по существу является базисным темпом роста.
Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV,
наращенной по мере присоединения процентов, то получим другую меру эффективности –
темп снижения
d = (FV – PV) / FV,
( 1-4)
называемый учетной ставкой (англ. discount rate), или дисконтный множитель
(норма банковского дисконтирования)4.
Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему
моменту времени, а дисконтный множитель ( d) показывает, какую долю составляет
первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.
2
В дореволюционной литературе очень часто можно встретить слово «Интерес», которое
предприниматели использовали для характеристики выгодности какой – либо сделки.
3
В литературе достаточно часто этот показатель называется коэффициентом или множителем
наращения, показывающим во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга и . по
существу может приниматься как базисный темп роста.
4
Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной
величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.
Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает
сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому
моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.
13
Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для
начислений процентов5:
в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
r = (FV - PV) / PV
( 1-5)
в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
d = (FV - PV) / FV
( 1-6)
При равной величине процентных денег (I=FV-PV) величина процентной ставки
выше величины учетной ставки. А в случае, когда процентная и учетная ставка равны по
своей величине, – приведенная величина (FV) по процентной ставке меньше ее значения
по учетной ставке.
Процентная ставка может быть легко найдена по известной величине учетной
ставки
(FV - PV) = d*FV = r*PV
( 1-7)
r = d*(Fv/PV)
(1-8)
d = r*(PV/FV)
( 1-9)
Пример 1-1
Вы заняли сегодня 100 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 120 руб.
Оценим доходность этой сделки для кредитора величинами процентной (r) и
учетной (d) ставок, приняв весь период между двумя моментами времени за полный срок
договора, приняв его за единицу времени n=1.
Решение
PV = 100 руб., FV = 120 руб., I=(FV – PV) = (120 – 100) = 20 руб., r = 20/100 = 20%,
d= 20/120 = 16.67%.
Пример 1-2
Несколько изменим задание предыдущего примера.
Вы обратились к кредитору с просьбой о займе 100 руб. (PV) на срок 1 год (n=1).
Какую сумму сможет получить кредитор по окончании срока займа, при
процентной и учетной ставке =20%?
Решение.
Из формул 2-5 и 2-6 определим величины FV для процентной и учетной ставок:
( 1-10)
FVпроц = PV* (1+r)
( 1-11)
FVучетн = PV/(1-d)
Отсюда при r =d =0.2:
FVпроц =100 руб.*(1+0.2) =120руб.
FVучетн=100 руб./(1-0.2) = 125 руб.
5
Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке
– декурсивными.
14
1.1.1.
Тесты для проверки усвоения пройденного материала
В заданиях, представленных в форме теста, необходимо выбрать правильный
вариант ответа. Иногда правильных ответов может быть два и более.
Принцип неравноценности денег заключается в том, что:
A – деньги обесцениваются со временем;
B – деньги приносят доход;
C – равные по абсолютной величине денежные суммы, относящиеся к различным
моментам времени, оцениваются по-разному;
D – "сегодняшние деньги ценнее завтрашних денег".
Финансово-экономические расчеты используются для:
A – определения выручки от реализации продукции.
B – расчета кредитных операций.
C – расчета рентабельности производства.
D – расчета доходности ценных бумаг.
Подход, при котором фактор времени играет решающую роль, называется:
A – временной;
B – статический;
C – динамический;
D – статистический.
Проценты в финансовых расчетах:
A – это доходность, выраженная в виде десятичной дроби;
B – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его
форме;
C – показывают, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за
пользование в течение определенного периода времени 100 единиц первоначальной суммы
долга;
D – это %.
Процентные деньги –это:
А – Отношение суммы, полученной в результате финансовой операции, к сумме
затраченной на ее проведение;
В – Разность между суммой полученной в результате выполнения финансовой
операции и суммой, затраченной на ее проведение;
С – Разность между суммой затраченной на проведение финансовой операции и
суммой, полученной в результате ее проведения;
D – относительный показатель, характеризующий доходность финансовой
операции.
Процентная ставка – это:
A – относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления
процентов;
B – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме;
C – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах;
D – отношение суммы процентных денег к величине ссуды.
В качестве единицы времени в финансовых расчетах принят:
A – год;
B – квартал;
C – месяц;
D – день.
Наращение – это:
A – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;
B – базисный темп роста;
15
C – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга;
D – движение денежного потока от настоящего к будущему.
Коэффициент наращения – это:
A – отношение суммы процентных денег к величине первоначальной суммы;
B – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме;
C – отношение первоначальной суммы к будущей величине денежной суммы;
D – отношение процентов к процентной ставке.
Дисконтирование – это:
А – приведение будущих денег к текущему моменту времени;
В – характеризует долю первоначальной суммы долга в величине наращенной
суммы;
С – отношение суммы, наращенной в результате финансовой операции, к сумме,
затраченной на ее проведение;
D – отношение суммы, затраченной на проведение финансовой операции, к сумме,
полученной в результате ее выполнения.
дисконтный множитель ( d) –
А – показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине
наращенной суммы;
В – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме;
С – отношение наращенной суммы к сумме, полученной в результате выполнения
финансовой операции;
D – характеризует зависимость величины процентных денег от длительности
(периода) финансовой операции.
1.2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Представим себе что кредитор и заемщик договариваются о величине кредита PV
(первоначальная денежная сумма), размере годовой процентной ставке (r), сроке кредита
(T) и длительности периода начисления процентов (n)
Математически такая операция может быть представлена в виде модели простых
процентов. По этой модели происходит накопление наращенной суммы FV (общей суммы
долга) за счет периодического (например, ежегодного) начисления процентных денег (I)6. В
соответствии с этим наращенная сумма равна:
к концу первого года –
FV1 = PV+I
к концу второго года –
FV2 = PV+2*I
к концу n-го года –
FVn= PV+n*I
Таким образом, накопление суммы происходит по схеме простых процентов и
образует возрастающую числовую последовательность:
FV1, FV2,…, FVn,
6
Напомним, что «процентные деньги» – это разность между первоначальной денежной суммой (PV) и
наращенной денежной сумой (FV) – I =FV – PV.
16
которая представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом PV и
разностью прогрессии I = FV-PV
Рис. 1-3 Наращивание первоначальной суммы по схеме простых процентов
При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги)
определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов
предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.
Таким образом, размер ожидаемой наращенной суммы долга (дохода) зависит от
трех факторов:
величины инвестированной суммы,
уровня процентной ставки,
срока финансовой операции.
В общем случае, модель накопления капитала по схеме простых процентов
принимает вид:
FV = PV + I = PV + n*PV*I = PV*(1 + n*I)
( 1-12)
Учитывая выражение 3-3 (I = PV*r) модель простых процентов можно записать:
FV = PV + I = PV + r* PV * n = PV* (1 + r *n ) = PV * kн,
1.2.1.
(1-13)
Временная база финансовой операции
В банковской практике разных стран расчетное число дней в году при начислении
процентов определяется по-разному: Срок ссуды n может быть как целым, так и дробным
положительным числом.
В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:
а) если срок ссуды выражен в месяцах ( М ), то величина n выражается в виде
дроби:
n = М / 12,
( 1-14)
17
б) если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде дроби:
n = t / T,
( 1-15)
где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;
T – расчетное число дней в году (временная база).
Возможны следующие варианты расчета
Временную базу ( T ) можно представить по-разному:
условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinary
interest), или коммерческом проценте;
взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают
точный процент (exact interest).
Число дней ссуды ( t ) также можно по-разному определять:
условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет
30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так
называемое приближенное число дней ссуды;
используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года,
рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное
число дней ссуды.
Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет
простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов:
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто
называют, "германская практика расчета", когда продолжительность года условно
принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней7.
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или "французская
практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а
продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю8..
Точные проценты с точным числом дней ссуды, или "английская практика
расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по
календарю9.
Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики
начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине.
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой операции
пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года (Приложение 1), в
которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней
получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера
последнего дня финансовой операции.
7
Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции
Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии
9
Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.
8
18
1.2.2.
Переменная ставка
Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в
финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно
изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает
собственника денег периодически варьировать процентной ставкой.
В том случае, если на последовательных интервалах начисления процентов n1, n2,
n3,…, nm устанавливаются разные процентные ставки r1, r2, r3,…, rm , то наращенная
сумма может быть определена как
m
∑
FV=PV*(1 + k =1 nk*rk) = PV*kn
где коэффициент наращения (kn)
( 1-16)
m
∑
kn =(1 + k =1 nk*rk)
( 1-17)
Пример 1-3
Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 1 год по схеме простого процента под
10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма:
FV = PV (1 + n *r ) = 2000 (1 + 1 * 0.1) = 2200 руб.
или
FV = PV * kн = 2000 * 1,1 = 2200 руб.
Сумма начисленных процентов:
I = PV * n * r = 2000 * 1 * 0,1 = 200 руб.
или
I = FV - PV = 2200 - 2000 = 200 руб.
Таким образом, через год необходимо вернуть общую сумму в размере 2200 рублей,
из которой 2000 рублей составляет долг, а 200 рублей – "цена долга (процентные деньги).
Пример 1-4
Ссуда выдана под 10% годовых сроком:
а) на 5 месяцев;
б) на 3 месяца.
Определить процентную ставку за срок ссуды.
Решение.
а) n = 5/12 =0.42 r5 мес = 0,1 * 5/12 = 0. 0417;
б) n = 3/12 =0,25; m = 4; r =0,1/4 = 0,025
Пример 1-5
Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 14% годовых.
Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
Решение
Наращенная сумма
FV = PV (1 + n *r ) =50000*(1+0,5*0,14) = 53500 руб.
Сумма начисленных процентов
I = FV – PV= 53500-50000=3500 руб.
19
Пример 1-6
Определить сумму вклада, который надо положить в банк сроком на 2 месяца под
10% годовых, чтобы к концу срока получить 110 000 руб.
Решение
FV=110000/(1 + 0,1 * 2/12) = 108196.7 руб.
Пример 1-7
Клиент внес вклад в банк в сумме 1 тыс. руб. сроком на 1 год. Процентная ставка до
середины второго квартала составляла 30 % годовых, далее до конца третьего квартала - 25
%, а с начала четвертого квартала - снова 30%. Какую сумму клиент получил в конце года?
Решение.
Периоды;
с начала года до середины второго квартала (n1) равен 4,5 месяца, или 0,375 года;
от середины второго квартала до конца третьего (n2) равен 4,5 месяца, или 0,375
года;
с конца третьего квартала до конца четвертого (n3) равен 3 месяца, или 0,25 года
Коэффициент наращения:
за период до середины второго квартала –
k1 = 0, 3 * 0, 375 = 0,113,
от середины второго квартала до начала четвертого квартала –
k2 = 0,25*0,375 =0,094.;
за четвертый квартал – k 3=0, 3 * 0, 25 = 0,.075
за год k год = k1 + k2 + k3 =0,281
В результате в конце года клиент получит сумму:
FV = PV *(1+ k год ) = 1281,25 руб.
1.2.3.
Определение срока ссуды и величины процентной ставки
Мы уже отмечали, что для любой финансовой операции всегда характерны четыре
величины:
современная величина (PV),
наращенная или будущая величина (FV),
процентная ставка (r)
время (n).
Как правило, при проведении финансовых операций обязательно фиксируются
сроки, даты, периоды начисления процентов, так как фактор времени ( как мы уже
отмечали) в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако, достаточно
часто возникают ситуации, когда срок финансовой операции в условиях конкретной
финансовой сделки не может быть оговорен заранее, а когда определяется при достижении
какой-то цели финансовой операции (конечной или промежуточной).
Подобным же образом может обстоять дело и с определением величины процентной
ставки. Так, например, на начальном этапе заключения коммерческой сделки нас могут
интересовать только величины вложенных (PV) и полученных сумм (FV). В тоже время
при анализе эффективности этой сделки возникает вопрос степени ее доходности.
Эти величины могут быть легко определены из приведенных выше формул
определения наращения вложенной суммы по схеме простых процентов.
Срок финансовой операции может быть определен как:
при определении срока в годах
n = (FV - PV) / (PV *r)
( 1-18)
при определении срока в днях
t = [(FV - PV) / (PV * r)] * T.
20
Процентная ставка может быть определена как
r = (FV - PV) / (PV * n) = [(FV - PV) / (PV * t)] * T. ( 1-19)
Пример 1-8
За какое время может быть накоплена сумма в 2000 долларов, если сегодня мы
можем оформить депозитный вклад 1000 долларов под 10% годовых
Решение
n = (FV - PV) / (PV *r)= (2000-1000)/(1000*.08) = 12.5 года
Пример 1-9
На сколько дней можно дать в долг 1'000 долларов, исходя из 8% годовых, если
возвращенная сумма должна составлять 1100 долларов
Решение
t = [(FV - PV) / (PV *r)] * T.= (1100-1000)/(1000*0.08)*360 =450 дней
Пример 1-10
В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме
1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность
операции для кредитора в виде процентной ставки.
Решение:
Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного
процента", поскольку в условиях сделки нет ссылки на "точный процент":
r = [(FV - PV) / (PV * t)] *T =
= [(1200 - 1150) / (1'150 * 120)] * 360 = 0,13
Пример 1-11
Банк выдал ссуду в размере 100000 рублей сроком:
а) на 5 месяцев;
б) на 3 месяца.
Какими должны быть процентные ставки с тем, чтобы доход банка (не зависимо от
срока ссуды) составил 120000 рублей?
Решение.
Используя формулу 4-8, находим:
а) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =
= [(120000 - 100000) / (100000 * 5)] * 12 =0.48
б) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =
=[(120000 - 100000) / (100000 * 3)] * 12 =0.8
1.2.4.
Тесты для проверки усвоения пройденного материала
1. Наращение – это:
A – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;
B – базисный темп роста;
C – отношение наращенной суммы к первоначальной .52сумме долга;
D – движение денежного потока от настоящего к будущему.
2. Формула простых процентов:
A – FV = PV * r* n
B – FV = PV*( 1+ r)n
C – FV = PV*(1+ n*r)
D – FV = PV*( 1+ r)
21
3. Простые проценты используются в случаях:
A – реинвестирования процентов;
B – выплаты процентов по мере их начисления;
C – краткосрочных ссуд, с однократным начислением процентов;
D – ссуд, с длительностью менее одного года.
4. Точный процент – это:
A – капитализация процента;
B – коммерческий процент;
C – расчет процентов, исходя из продолжительности года в 365 или 366 дней;
D – расчет процентов с точным числом дней финансовой операции.
5. Точное число дней финансовой операции можно определить:
A – по специальным таблицам порядковых номеров дней года;
B – используя прямой счет фактических дней между датами;
C – исходя из продолжительности каждого целого месяца в 30 дней;
D – считая дату выдачи и дату погашения ссуды за один день.
6. Французская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
7. Германская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
8. Английская практика начисления процентов:
A – обыкновенный процент с приближенным числом дней финансовой операции;
B – обыкновенный процент с точным числом дней финансовой операции;
C – точный процент с точным числом дней финансовой операции;
D – точный процент с приближенным числом дней финансовой операции.
9. Расчет наращенной суммы в случае дискретно изменяющейся во
времени процентной ставки по схеме простых процентов имеет
следующий вид:
A – FV = PV (1 + Σn*кrк)
B – FV = PV Σ (1 + nк*rк)
C – FV = PV (1 + n1*r1)(1 + n2*r2) : (1 + nк*rк)
D – FV = PV (1 + n* rк)
10. Срок финансовой операции по схеме простых процентов
определяется по формуле:
A – n = I / (PV * r)
B – n = [(FV - PV) / (FV * t)]* r
C – t = [(FV - PV) / (PV * r)] T
D – n = [(FV - PV) / (FV *r)] T
11. Если в условиях финансовой операции отсутствует простая
процентная ставка, то:
A – этого не может быть;
B – ее можно определить по формуле i = [(FV - PV) / (PV • t)]•T
C – ее невозможно определить
D – ее можно определить по формуле i = Σ процентных чисел / дивизор
1.2.5.
Задачи для самостоятельного решения
22
Для выполнения заданий создавайте таблицы, подобные приведенной на рисунке.
В ячейках А3:А11
размещаются наименования
показателей финансовой операции
(наименования показателей могут
изменяться в зависимости от
постановки задачи);
в ячейках В3:В9
размещаются исходные данные;
в ячейке В7 рассчитывается
срок кредита =B6-B5, (если он не
задан конкретно);
в ячейках В10:В11
записываются формулы
вычисления наращенной суммы и процентных денег (=B9*(1+B4*B7/B8) и =B10-B9,
соответственно)
Примечание:
В ячейках столбцов C и D размещаются исходные данные и результаты решения
задачи при различных значениях (вариантах) исходных данных.
Задание 1-1
1. Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 28% годовых.
Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
Ответ: FV= 57000; I= 7000 (руб.)
Задание 1-2
2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01.06 до 05.10.06 под 18% годовых.
Определить сумму начисленных процентов.
Ответ:
Английская схема – 127232,88 (руб.);
Германская схема – 127500 (руб.);
Французская схема – 129000 (руб.)
Задание 1-3
3. Кредит в размере 200000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый
год – 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить
множитель наращения и наращенную сумму.
Ответ: kn = 1.83; FV = 165000
Задание 1-4
4. Ссуда выдана под 10% годовых сроком: а) на 5 месяцев; б) на 3 месяца.
Определить процентную ставку за срок ссуды
Ответ: а) r =0, 0417; б) r = 0,025
Задание 1-5
5. Определить проценты, множитель наращения и сумму накопленного долга, если
ссуда равна 100 тыс. руб., срок долга - 2 месяца, номинальная процентная ставка - 10%.
Ответ: PV = 101667 руб.
Задание 1-6
6. Вклад в 500 тыс. руб. был размещен в банке 11,06,2006 г. По ставке 80% годовых.
При востребовании вклада 20.09.2006 г. вкладчику были начислены проценты в размере
110 тыс. руб. определите, какую практику начисления процентов использовал банк.
Ответ: Использовалась германская практика начисления процентов
23
Задание 1-7
7. Банк принимает вклады до востребования по ставке 10% годовых. Определите
накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их
начисления для вклада 500 тыс. руб., размещенного на срок с 5.01.2006 г. по 25.10.2006 г.
Ответ: FV=540136.99 руб.; I = 40136.99руб.
Задание 1-8
8. Определить процентную ставку, которую использует банк для вкладов до
востребования, если при первоначальной сумме вклада 1000 руб. через 6 месяцев начислено
1084 руб.
Ответ: r = 16,8%
Задание 1-9
9. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов:
за I квартал – 230% годовых,
за 2-ой и третий – 240% годовых,
за четвертый – 200% годовых.
Определить множитель наращения за год.
Ответ: kn =4.55
Задание 1-10
10. Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб., чтобы накопить 700 тыс.руб.
Ставка процентов банка составляет 60% годовых. Определите срок в днях, за который
вкладчик сможет накопить требуемую сумму (число дней в году равно 360).
Ответ: t = 240 дней
Задание 1-11
11. Вкладчик, решивший положить на депозит 250 тыс. руб., хочет накопить через
год не менее 400 тыс. руб. Определить ставку процентов, на основании которой он может
выбрать подходящий для этой цели банк.
Ответ: r =60%
1.3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
В финансовой практике основная часть расчетов ведется с использованием схемы
сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к
первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме
долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией
процентов;
срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а
присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на
невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на
увеличенную сумму долга.
За первый период начисления
FV1 = PV +I = PV *r = PV*(1+ r);
За два периода начисления при условии капитализации ранее наращенной суммы
FV2 = FV1 *(1+r)=PV*(1+ r)2
24
…….
за n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV • (1 + r)n = PV • kн , ( 1-20)
где:
FV – наращенная сумма долга;
PV – первоначальная сумма долга;
r – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов10.
Эта формула (1-20) называется формулой сложных процентов.
Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов образует
возрастающую числовую последовательность PV, FV 1 , FV2 ,… FVn которая представляет
собой геометрическую прогрессию с первым членом –PV .
Геометрический рост по правилу сложных процентов при n > 1 обгоняет
арифметическую прогрессию простых процентов. Так, например, трижды заработав на
вложенные 10 тыс. руб. проценты (процентные деньги) по 1,5 тыс. руб. в год, вкладчик
имеет в конце срока = 10 000 + 3*1 500 = 14,5 тыс. руб., тогда как наращение сложными
процентами приносит ему будущую стоимость 15,209 тыс. руб. При удлинении срока
вклада эта тенденция
усиливается.
20000
Рис. 1-4 Рост вложенной
суммы при начислении простых
и сложных процентов по
одинаковой ставке r.
Сложные
проценты
17500
15000
Простые
12500
проценты
Время (год)
10000
0
10
1
2
3
4
5
6
Как и в случае простых процентов, множитель наращения показывает будущую стоимость 1
денежной единицы, вложенной на n периодов. Для обозначения этого финансового коэффициента часто
используется стандартная аббревиатура FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель
будущей стоимости). Будущая стоимость определяется умножением размера первоначально инвестированной
суммы на этот коэффициент: FV =PV*FVIF (n,r)
r
25
Простые
роцен
Рис. 1-5 Фрагмент
рисунка 1-4
Сложные
Как видно из рисунка 1-54, при краткосрочных ссудах (менее одного года)
начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при
сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах
наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по
простым.
При любом r,
если 0 < n < 1, то (1 + n*r) > (1 +r)n;
если n = 1, то (1 +n*r) = (1 + r)n .
если n > 1, то (1 + n*r) < (1 + r)n;
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты
начисляются однократно в конце года);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает
один год;
обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год
и однократном начислении процентов.
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n.
Например, будущая величина суммы всего в 1,рубль при годовой ставке 15% через 100 лет
составит 1174313,45 рублей!!!
На рис. 1-6 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках
сложных процентов.
7.0р.
FV
6.0р.
10%
5.0р.
15%
20%
4.0р.
3.0р.
2.0р.
1.0р.
1
3
5
7
9
11
Периоды времени
Рис. 1-6 Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов
26
Примечание
Как мы уже отмечали, различие начисления простых и сложных процентов состоит в
базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же
первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то
сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления
базу.
Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными
приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня
развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные
проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами
роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу
сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных
темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста
необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период
является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + r).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста,
имеет вид:
(1 + r) n .
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от
процентной ставки и числа периодов наращения, могут быть легко табулированы (
Приложение 2)и использованы при проведении финансовых расчетов. Экономический
смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна
денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной
процентной ставке r.
Пример 1-12
Сумма в размере 15 000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10%
годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма
FV = PV * (1 + r)*n =15000 *(1 + 0'1)2 =
или
FV = PV * kн = 15000 * 1,21 = 18150 рублей,
где kн11 = 1,21
Сумма начисленных процентов
I = FV - PV = 18150 - 15000 = 3150 рублей
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 18150
рублей, из которой 15000 рублей составляет долг, а 3150 рублей– "цена долга".
Пример 1-13
11
Напомним, что величина kн = (1 + r)*n – множитель наращения, экономический смысл которого
состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.)
через n периодов при заданной процентной ставке i.
27
Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту –
10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина
депозита в конце срока?
Решение
По условиям данной операции известными величинами являются:
Первоначальная сумма вклада PV = 10000,
процентная ставка r = 10%,
срок n = 4 года.
Определим будущую величину вклада:
на конец первого периода:
FV1 = PV + PV* r = PV*(1 + r) = 10000*(1 + 0,1) = 11000.
для второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1* r = PV*(1 + r) + PV*(1 + r)*r = PV*(1 + r)2 =
= 10000*(1 + 0,1)2 = 12100.
Для последнего периода (n = 4):
FV4 = FV3 + FV3⋅⋅* r = PV*(1 + r)4 = 10000*(1 + 0,1)4 = 14641.
1.3.1.
Начисление процентов при дробных периодах
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от
целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет,
начисление процентов возможно с использованием двух методов:
общий метод nзаключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
FV = PV * (1 + r) ,
n = a + b,
где n – период сделки;
a – целое число лет;
b – дробная часть года.
смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода
начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части
года – формулу простых процентов:
FV = PV * (1 + r)a * (1 + b*r).
Так как b < 1, то (1 + b*r) > (1 + r)*a, то, следовательно, при использовании
смешанной схемы наращенная сумма будет больше.
Пример 1-14
В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком
погашения через два года и 9 месяцев.
Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя
способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение:
Общий метод:
FV = PV *(1 + r)n = 250 * (1 + 0,095)2,9 = 325,26 тыс. долларов.
Смешанный метод:
FV = PV * (1 + r) a * (1 + b*r) =
= 250 *(1 + 0,095)2 * (1 + 270/360 * 0,095) = 321,11 тыс. долларов.
28
Таким образом, процентные деньги (проценты) по кредиту составят:
общий метод
I = FV - PV = 325,26 - 250,00 = 75,26 тыс. долларов,
смешанный метод
I = FV - PV = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.
Таким образом, смешанная схема начисления процентов для кредитора
оказывается менее выгодной.
1.3.2.
Эффективная ставка процентов
При более частом, чем один раз в год, начислении сложных процентов внутри года,
размер номинальной годовой ставки r пропорционально уменьшают (традиция
приближенных вычислений восходит к правилу простых процентов), а длину срока в
процентных периодах увеличивают во столько же раз.
Обозначим внутригодовую частоту начисления сложных процентов буквой m.
При ежемесячной капитализации (m = 12) календарный срок (например, n = 2 года)
выражается числом расчетных периодов, т.е n*m (например, при n = 2 года m = 12 число
расчетных периодов составит n*m =24 месяца), а ежемесячная процентная ставка
получается из номинальной годовой делением на число периодов капитализации – n/m.
Ясно, что при одинаковой номинальной годовой ставке r увеличение частоты начисления
сложных процентов m приводит в конце каждого года к большему финансовому результату
в виде будущей стоимости FV.
Таким образом, через N полных лет величина FV может быть определена
как:
FVN = PV*(1+r/m)m*n
( 1-21)
Пример 1-15
Изменим условия предыдущего примера 4-11 и будем считать, что начисление
процентов производится ежеквартально.
В этом случае:
FV4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении
процентов раз в год.
В банковской практике часто используется понятие эффективной ставки
Эффективная ставка (effective percentage rate – EPR) – характеризует процентный
доход, получаемый инвестором за один год в результате вложения одной денежной
единицы по номинальной годовой ставке сложных процентов r при частоте начисления m
раз в год.
reff (EPR)= (1 + r/ m)m – 1
( 1-22)
Абсолютная величина эффективного процента, отнесенная к одной целой денежной
единице, дает годовую эффективную норму процента.
Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых
начислений.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа,
поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие
29
различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих
равных условиях) она выгоднее для кредитора
Пример 1-16
Сумма в размере 2 000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной
10% годовых. Капитализация накопленных сумм производится
ежеквартально;
ежемесячно
Определить величины эффективной ставки
Решение
а)Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 10%
годовых, составит:
reff (EPR) = (1 + r/ m)m - 1 = (1 + 0,1 / 4)4 - 1 = 0,1038.
Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна:
reff (EPR) = (1 + r / m)m - 1 = (1 + 0,1 / 12)12 - 1 = 0,1047.
Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в
размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47% против
10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем
быстрее идет процесс наращения.
Пример 1-17
У Вас есть свободная сумма PV = 1000 руб., которую Вы намерены пустить в рост на
12 месяцев под сложные проценты. Куда вы положите свои деньги, если доступные
альтернативы таковы:
Отделение иностранного банка "Carabas" дает 10% годовых, выплачиваемых каждые
полгода
Банк "Алиса" принимает вклады от населения под 10% годовых, начисляемых
ежеквартально.
Банк "Базилио" предлагает 10% годовых при ежемесячном начислении.
Банк "Мальвина" предлагает 10% годовых при ежедневном начислении
Решение
Carabas
Наименование банка
r – номинальная годовая ставка
10%
сложных %
Алиса
Базилио
Мальвина
10%
10%
10%
2
4
12
365
5.00%
2.50%
0.83%
0.03%
FV=PV*(1+r/m)^m – будущая
стоимость вклада через 1 год (N
= 1)
1.1025
1.1038
1.1047
1.1052
m – частота внутригодового
начисления %;
соответствующая длине
внутригодового периода
начисления
Таким образом, наиболее целесообразно поместить деньги в банк «Мальвина»
30
1.3.3.
Непрерывное начисление процентов
В современных условиях в связи с развитием систем электронных платежей
проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом
(
) дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном
наращении сложных процентов получается показательный закон роста).
Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель)
наращения выглядел так:
kн = (1 + r / m)m = (1 + r / 365)365
Но так как проценты начисляются непрерывно, то m стремится к
r
бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e :
r
e =
lim 1 +
m → ∞
r
m
m*n
( 1-23)
В этом случае наращенная сумма FV может быть записана как:
FV = PV
r
* lim 1 +
m → ∞ m
m*n
=
PV * e r * n = PV * k s
( 1-24)
Где ks –коэффициент наращения при непрерывном начислении процентов по
номинальной годовой ставке r.
В банковской практике ставку непрерывных процентов называют часто силой роста
(force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( r ).
FV = PV * er * n = PV * e δ * n
( 1-25)
Пример 1-18
Кредит в размере 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых.
Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты
будут начисляться:
а) один раз в год;
б) ежедневно;
в) непрерывно.
Решение:
Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:
начисление один раз в год
FV = 100000 • (1 + 0,08)3 = 125'971,2 долларов;
ежедневное начисление процентов
FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)365 • 3 = 127'121,6 долларов
непрерывное начисление процентов
FV = 100'000 • e0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.
Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления
имеет следующий вид:
31
Рис. 1-7 Различные варианты начисления процентов
Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение
первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально
возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.
Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых
задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу
финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно
предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять
непрерывное начисление процентов.
1.3.4.
Переменная ставка процентов
Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает
постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов.
Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени,
но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае
использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:
n*k
∏ (1 + r k )
FV = PV*(1+ r1)n * 1+ r2)n *…(1+ rk)n =PV* k =1
( 1-26)
где rk – последовательные во времени значения процентных ставок;
nk – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие
ставки.
K
Пример 1-19
Фирма получила кредит в банке на сумму 250000долларов сроком на 5 лет.
Процентная ставка по кредиту определена:
для первого года – в 10% для 1-го года,
для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%,
для последующих лет предусмотрена надбавка к процентной ставке первого года в
размере 1%.
Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа
Решение
FV = PV *(1 + r1)n1 * (1 + r2)n2 * … * (1 + rk)nk =
=250000 * (1 + 0,1) * (1 + 0,115) * (1 + 0,125)3 = 436581.3 доллара
32
Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит
436581.3 доллара, из которых 250000 долларов являются непосредственно суммой долга, а
186581.3 доллара – проценты по долгу.
1.3.5.
Определение срока ссуды и величины процентной ставки
Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь
формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции
срок ссуды:
n = [ln (FV / PV)] / [ln (1 + r)] =
= [ln (FV / PV) ] / [ln(1 + r / m)*m]
( 1-27)
ставка сложных процентов:
r = n FV / PV − 1 =
(
m*n
)
FV / PV − 1 * m
( 1-28)
Пример 1-20
Рассчитать, через сколько лет вклад размером 1 млн. руб. достигнет 1 млрд., если
годовая ставка процента по вкладу 16,79% и начисление процентов производится
ежеквартально.
Решение
n = ln (FV / PV) ] / [ln(1 + r / m)*m]
= (ln(1000000/1000)/(ln(1+r/4)*4) = 42.2 года
Пример 1-21
Сумма 10000 руб. была положена на депозит на 2 года с полугодовым начислением
процентов. По окончании была получена сумма 12000.
Определите величину банковского процента.
Решение.
r=
(
m*n
)
FV / PV − 1 * m
(
=
2* 2
)
12000 / 10000 − 1 * 2
= 9.32%
Пример 1-22
В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме
1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность
операции для кредитора в виде процентной ставки.
Решение
Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного
процента", поскольку в условиях сделки нет ссылки на "точный процент":
ri = [(FV - PV) /(PV * t)] * T =
= [(1200 - 1150) /(1150 * 120)] * 360 = 0,13
Таким образом, доходность финансовой операции составит 13% годовых, что
соответствует весьма высокодоходной финансовой операции, т.к. обычно доходность
подобных операций колеблется от 2% до 8%.
1.3.6.
Тесты для проверки качества усвоения пройденного материала
1. Формула сложных процентов:
A – FV = PV(1 + n*r)
B – FV = PV(1 + t / T * r)
33
C – FV = PV(1 + r) n
D – FV = PV(1 + n*r)*(1 + r)n
2. Начисление по схеме сложных процентов предпочтительнее:
A – при краткосрочных финансовых операциях;
B – при сроке финансовой операции в один год;
C – при долгосрочных финансовых операциях;
D – во всех вышеперечисленных случаях.
3. Чем больше периодов начисления процентов:
A – тем медленнее идет процесс наращения;
B – тем быстрее идет процесс наращения;
C – процесс наращения не изменяется;
D – процесс наращения предсказать нельзя.
4. Номинальная ставка – это:
A – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки
процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько
раз в год;
B – отношение суммы процентов, выплачиваемых за фиксированный отрезок
времени, к величине ссуды;
C – процентная ставка, применяется для декурсивных процентов;
D – годовая ставка, с указанием периода начисления процентов.
5. Формула сложных процентов с неоднократным начислением
процентов в течение года:
A – FV = PV(1 + r) m * n
B – FV = PV(1 + r / m) m*n
C – FV = PV / m * (1 + r) n / m
D – FV = PV(1 + r * m) m* n
6. Эффективная ставка процентов:
A – не отражает эффективности финансовой операции;
B – измеряет реальный относительный доход;
C – отражает эффект финансовой операции;
D – зависит от количества начислений и величины первоначальной суммы.
7. Формула сложных процентов с использованием переменных
процентных ставок:
A – FV = PV(1 + r1) n1 * (1 + r2) n2 *… *(1 + rk) nk
B – FV = PV(1 + nkrk)
С – FV = PV(1 + n1r1 * n2r2 *… *nkrk) nk
D – FV = PV(1 + r*n)*(1 + r)
8. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом
лет, начисление процентов возможно с использованием:
A – общего метода;
B – эффективной процентной ставки;
C – смешанного метода;
D – переменных процентных ставок.
9. Смешанный метод расчета:
A – FV = PV(1 + r)а + в
B – FV = PV(1 + r)а *(1 + вr)
C – FV = PV(1 + а*в*r)n
D – FV = PV(1 + r)а *(1 + r)в
10. Непрерывное начисление процентов – это:
A – начисление процентов ежедневно;
B – начисление процентов ежечасно;
34
C – начисление процентов ежеминутно;
D – начисление процентов за нефиксированный промежуток времени.
11. Если в условиях финансовой операции отсутствует ставка сложных
процентов, то:
A – ее определить нельзя;
B – r = FV / PV − 1
C – r= ln(FV / PV) / ln(1 + n)
D – r= lim(1 + r / m)m
E – r=(1+r\m)m-1
n
1.3.7.
Задачи для самостоятельного решения
Для выполнения заданий создавайте таблицы, подобные приведенной на рисунке
(правая таблица дана в режиме отображения формул)
В ячейках А3:А15 размещаются наименования показателей финансовой операции
(наименования показателей могут изменяться в зависимости от постановки задачи);
в ячейках В4:В7 и В9:В10 размещаются исходные данные;
в ячейке В8 рассчитывается срок кредита =B6-B5, (если он не задан конкретно);
в ячейках В11:В15 записываются формулы вычисления наращенной суммы ( в
зависимости от метода расчета ); процентных денег и эффективной процентной ставки
(=B10*(1+B4/B7)^(B7*B8), =B11-B10, =B10*EXP(B4*B8), =B13-B10 и =(1+B4/B7)^B7-1,
соответственно)
Примечание:
В ячейках столбцов C и D размещаются исходные данные и результаты решения
задачи при различных значениях (вариантах) исходных данных.
Задание 1-12
35
1. Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по сложной ставке 18% годовых.
Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
Ответ: FV= 57000; I= 7000 (руб.)
Задание 1-13
Рассчитать какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. руб. положены на 33 года
под 13.5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.
Ответ: 2 012 074.64р
Задание 1-15
Сумма в 10000 помещена в банк на
депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту –
10% годовых. Проценты по депозиту
начисляются раз в год. а)Какова будет
величина депозита в конце срока?
б) На какой срок должны быть
положены деньги на депозит, с тем, чтобы к
концу срока накопленная сумма составила
20000 руб.
в) Постройте диаграмму,
иллюстрирующую зависимость величины
наращенной суммы от периода времени
наращения
Ответ:
а) 14 641.00р.
б) 7.27 года
срок (кол. лет)
Задание 1-14
По вкладу в 10000,00, помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно,
была выплачена сумма 12762,82.
а) Определить срок проведения операции (количество периодов начисления).
б) используя построение сценария (или
таблицу подстановки), выясните, как влияет
влияние величины банковского
банковский процент (в диапазоне от 1% до 10
процента на срок получения
заданной суммы
%) на срок получения указанной суммы.
Постройте диаграмму, отражающую эту
от
30.00
зависимость.
20.00
Ответ: а) 5 лет
y = 0.2656x-0.9811
10.00
0.00
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00% 12.00%
банковский процент
70000
Наращенная
сумма
60000
Отве
50000
10%
40000
15%
20%
30000
20000
10000
0
0
2
4
6
8
10
Периоды времени
Задание 1-16
Был сделан заем в 1000 тыс. руб. с номинальной процентной ставкой 12% и сроком
уплаты 3 года. Какая сумма будет выплачена кредитору в конце срока, если начисление
процентов: полугодовое, квартальное, ежемесячное, ежедневное.
Ответ:
а) 1418.53; b) 1425.76; c) 1430.77; d) 1433.24
Задание 1-17
Вкладчик, решивший положить на депозит 250 тыс. руб., хочет накопить через год
не менее 400 тыс. руб. Определить ставку процентов, на основании которой он может
выбрать подходящий для этой цели банк. Начисление процентов банков производится
непрерывно.
Ответ: r =47%
36
Задание 1-18
Определить процентную ставку, которую использует банк для вкладов до
востребования, если при первоначальной сумме вклада 1000 руб. через 6 месяцев начислено
1084 руб.
Ответ: r = 16,24%
Задание 1-19
Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб., чтобы накопить 700 тыс.руб.
Ставка процентов банка составляет 15% годовых. Проценты начисляются ежемесячно.
Определите срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму
(число дней в году равно 360).
Ответ: t = 2,26 года = 812,56дн.
1.4. ДИСКОНТИРОВАНИЕ
В практике финансовых расчетов часто приходится решать задачи, обратные
определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует
определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).
Наиболее часто такие ситуации возникают при разработке условий финансовой
сделки, когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче
ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока
погашения долга, называют учетом12, а сами проценты в виде разности наращенной и
первоначальной сумм долга дисконтом (discount).
Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор
времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем.
Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу
финансовой операции.
Различают математическое дисконтирование и коммерческий (банковский) учет.
1.4.1.
Математическое дисконтирование
Математическое дисконтирование связано с определением так называемого
современного, или приведенного, значения PV на некоторый момент времени, которое
соответствует заданному значению FV в другой момент времени. Простейшая задача определение суммы вклада PV на основе за данной конечной величины в будущем FV
через временной период начислений n под заданную. например, простую ставку
процентов:
Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой ставке процентов
равно
PV =
12
FV
= FV * kd
1 + n* r
(1-29)
В литературе, посвященной финансовому анализу, такой расчет часто называют приведением
стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной
или текущей) величиной FV
37
где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.
Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в
величине наращенной суммы. kd = 1/(1 + n*r).
Пример 1-23
Через 250 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 500 тыс. руб.,
исходя из 10% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму
долга.
Решение:
Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:
PV = FV * 1 / (1 + t / T * r ) =
= 500000 * 1 / (1 + 250 / 360 * 0,1) = 467532.5 руб.
PV = FV * kд = 500000 * 1.0694 = 467532.5 руб..
Таким образом, первоначальная сумма долга составила 467532.5 руб руб., а
проценты за 250 дней – 23116.88 руб.
равно:
Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной ставке процентов
PV =
FV
= FV * kd
(1 + rd )
(1-30)
Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:
PV =
FV
(1 + r / m )
m*n
= FV * kd
(1-31)
где kd – коэффициент дисконтирования (приведения)
1
1+ r / m )
kd = (
m*n
(1-32)
Пример 1-24
Вы решили через 2 года приобрести автомобиль стоимостью 200000 руб.С этой
целью Вы намерены сегодня воспользоваться услугами банка, предоставляющего ссуду под
10% годовых с капитализацией процентов:
а) ежегодно;
б) ежемесячно.
Какая сумма должна быть положена в банк?
Решение
FV
PV =
m*n
(1 + r / m ) = 200000/(1+0.1/1)2 = 165289.3 руб.
а)
FV
PV =
m*n
(1 + r / m ) =200000/(1+0.1/12)24 =163881.9 руб.
б)
38
1.4.2.
Банковский учет
Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, (например,
векселя13) банком по цене, которая меньше номинальной указанной в ней суммы14. В этом
случае говорят, что вексель учитывается и клиент получает сумму:
PV = FV -D,
( 1-33)
где FV - номинальная сумма данного обязательства; PV - цена покупки векселя
банком; D - дисконт, сумма процентных денег (доход банка
Схема расчетов по дисконтированию показана на рис.4-8 для случая, когда до срока
оплаты векселя
векселедателем (т.е. тем, кто
его выдал) остался год
Рис. 1-8 Схема
дисконтирования
Для расчета дисконта
могут быть использованы
как простая, так и сложная учетные ставки.
Простая учетная ставка15:
D = FV - PV = FV * n * d = FV * t / T * d ,
( 1-34)
где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты
известной суммы в будущем.
Отсюда:
PV = FV - FV * n * d = FV * (1 - n * d)16 = FV*кd
( 1-35)
где kd = (1 - n * d) – дисконтный множитель.
Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт.
13
Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в
указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на
деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму Р,
меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала –
дисконтом
14
Дисконтирование может быть также связано и с проведением кредитной операции при начислении
процентов в начале интервала начисления и заемщик получает сумму PV за вычетом процентных денег D из
наращиваемой суммы кредита FV, подлежащей к возврату
15
Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике
начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется
точным.
Обратите внимание, что величины n и d могут оказаться такими, что nd > 1 и, соответственно,
величина PV будет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще
16
уплатить за это сумму равную FV*(n*d-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1
n*d > 0.
>
39
1.4
D=FV-PV
1.2
Рис. 1-9 Зависимость
величины дисконта от величины
простой учетной ставки
5%
1
10%
0.8
15%
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
Время (год)
7
8
Пример 1-25
Вексель выдан на 5000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19
августа по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем векселя и
доход банка при реализации дисконта.
Решение:
Для определения суммы при учете векселя рассчитываем число дней, оставшихся до
погашения обязательств:
t = 13 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 17 (ноябрь) - 1 = 90 дней.
Отсюда, определяемая сумма:
PV = FV * (1 - t / T *d) = 5000 (1 - 90 / 360 * 0,08) = 4900 руб.
Тогда дисконт составит:
D = FV - PV = 5000 - 4900 = 100 руб.
или
D = FV *( t / T * d )= 5000 * 90 / 360 * 0,08 = 100 руб.
Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 4900 руб., а банк при
наступлении срока векселя получит дисконт в размере 100 руб.
Сложная учетная ставка:
PV = FV *(1 - d)n
n=
ln( PV / FV )
ln( 1 − d )
d = 1 − n PV / FV
( 1-36)
(1-37)
( 1-38)
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с
прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к величине,
уменьшаемой на величину дисконта.
1.4
D=FV-PV
1.35
5%
1.3
Рис. 1-10 Зависимость величины
дисконта от величины сложной учетной
ставки.
1.25
10%
1.2
15%
1.15
1.1
1.05
1
1
2
3
4
5
Время (год)
6
7
8
40
Пример 1-26
Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3 года продан с дисконтом
по сложной учетной ставке 30% годовых.
Какова сумма дисконта и современная величина платежа?
Решение
PV = FV*(1-d)n = 100000*(1-0.3)3 = 34300 руб.
D =FV-PV = 100000 – 34300 = 65700 руб.
Пример 1-27
Заемщик должен возвратить кредитору долг в сумме 1 млн. 200 тыс. руб.
Первоначальная сумма была выдана заемщику ссудой в размере 1 млн. руб. под 50%
годовых, начисляемых по сложной учетной ставке. На какой срок заемщику выдавалась
ссуда, если T=360 дней?
Решение.
ln( PV / FV )
n=
ln( 1 − d ) = ln(1/1.2)/ln(1-0.5) = 0.263 года ≅ 94 дня.
1.4.3.
Тест для проверки качества усвоения пройденного материала
1. Дисконтирование – это:
A – процесс начисления и удержания процентов вперед;
B – определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при
условии, что в будущем она составит заданную величину;
C – разность между наращенной и первоначальной суммами.
2. Банковский учет – это учет по:
A – учетной ставке;
B – процентной ставке;
C – ставке рефинансирования;
D – ставке дисконтирования.
3. Антисипативные проценты – это проценты, начисленные:
A – с учетом инфляции;
B – по учетной ставке;
C – по процентной ставке.
4. Дисконтирование по сложным процентам осуществляется по
формуле:
A – PV = FV(1 + r) -n
B – PV = FV(1 + r) -1
C – PV = FV(1 - d) n
D – PV = FV(1 + r) n
5. Дисконтирование по простой учетной ставке осуществляется по
формуле:
A – PV = FV(1 - d) n
B – PV = FV(1 - d) -n
C – PV = FV(1 – n*d)
D – PV = FV(1 + n*d) -1
6. Какой вид дисконтирования выгоднее для векселедержателя:
41
A – математическое дисконтирование;
B – банковский учет;
C – разница отсутствует
1.4.4.
Задачи для самостоятельного решения
7. Основные формулы
Простая процентная
Математическое
ставка
дисконтирование
(Обычно используется
при
n <= 1 год)
Банковский учет
Сложная процентная
Математическое
ставка
дисконтирование
(Обычно используется
при
n > 1 год)
Банковский учет
Дисконт
PV = FV/(1+n/*d)
PV=FV*(1-n *d)
PV=FV/(1+d)^n
PV = FV *(1 - d)^n
D =FV - PV
Задание 1-20
Через 250 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 500 тыс. руб.,
исходя из 10% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму
долга.
Ответ PV =467532.47
Задание 1-21
Вексель выдан на 5000 руб. с уплатой 17 ноября, а владелец учел его в банке 19
августа того же года по учетной ставке 8%. Определить сумму, полученную предъявителем
векселя и доход банка при реализации дисконта.
Ответ: PV = 4900
D = 100
Задание 1-22
Вексель на сумму 100 тыс. руб. и сроком платежа через 3 года продан с дисконтом
по сложной учетной ставке 30% годовых.
Какова сумма дисконта и современная величина платежа?
PV = 34300.00
Ответ: D = 65700.00
Задание 1-23
Определить величину суммы, выдаваемую заемщику, если он обязуется вернуть ее
через два года в размере 55 тыс. руб. Банк определяет свой доход с использованием годовой
учетной ставки 30%.
Ответ: PV = 26950.00
Задание 1-24
Вексель на сумму 10 тыс.руб. со сроком погашения 15.11.07г. предъявлен в банк для
оплаты 15.08.06г. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 30% годовых. Определите
сумму, выплаченную владельцу векселя, и сумму дисконта банка при германской практике
расчетов.
Ответ: PV = 6402.84
42
Задание 1-25
При закупке партии товара торговец подписал вексель, обязуясь заплатить 240 тыс.
руб. через 150 дней.. Поставщик сразу же продал вексель банку при норме дисконта 10%.
Какую сумму получил поставщик?.
Ответ: PV = 230000.00
Задание 1-26
Разработайте собственный шаблон расчета параметров дисконтирования (PV и D)
при различных методах дисконтирования (математическое дисконтирование и банковский
учет).
Шаблон должен автоматически учитывать тип используемой процентной ставки
(простая или сложная) в зависимости от срока дисконтирования
43
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ФУНКЦИЙ MS EXCEL
Финансовые функции ПП Excel, являющегося составной частью MS Office,
предназначены для вычисления базовых величин, необходимых при проведении
практически всех финансовых расчетов, встречающихся в практике работы финансиста –
экономиста.
Функции EXCEL используют базовые модели финансовых операций, базирующиеся
на математическом аппарате методов финансово-экономических расчетов. Использование
возможностей компьютера и табличного процессора EXCEL позволяет облегчить
выполнение расчетов и представить их в удобной для пользователя форме.
К сожалению, существуют некоторые трудности при использовании финансовых
функций в среде EXCEL, и, прежде всего потому, что синтаксис функций использует иные
обозначения основных понятий финансовых операций, нежели в рассмотренных выше
классических расчетах.
Методика изучения и использования финансовых функций требует соблюдения
определенной технологии.
2.1. ТЕХНОЛОГИЯ РАБОТЫ С ФИНАНСОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ EXCEL
На рабочем листе в отдельных ячейках осуществляется подготовка значений
основных аргументов функции.
Для расчета результата финансовой функции Excel курсор устанавливается в
новую ячейку для ввода формулы, использующей встроенную финансовую функцию17.
Осуществляется вызов «Мастера функций18»
На основной панели инструментов имеются кнопки "Мастер функций", с помощью
которой открывается диалоговое окно Диспетчера функций19.
Диалоговое окно «Диспетчер функций» организовано по тематическому принципу.
После выбора в левом списке «Категории» тематической группы «Финансовые», на экран
будет выведено диалоговое окно с полным перечнем списка имен функций, содержащихся
в данной группе20.
Поиск необходимой финансовой функции осуществляется путем последовательного
просмотра списка.
17
Если финансовая функция вызывается для продолжения ввода другой функции (вложенная
функция) пр
18
Возможен также вариант непосредственного ввода формулы, содержащей имена и параметры
встроенных финансовых функций.
Формула должна начинаться со знака «=». Далее следует имя функции. В круглых скобках
указываются ее аргументы, в последовательности соответствующей синтаксису функции. В качестве
разделителя аргументов обычно используется точка с запятой. Так например, формула определения будущей
стоимости инвестиции при непосредственном ее вводе в ячейку таблицы может иметь вид:
БС(ставка;кпер;Плт;ПС;тип) = БС(5%;5;;-10000)
19
Диалоговое окно «Диспетчер функций» может быть также вызвано командой ВСТАВКАФУНКЦИЯ…
20
В некоторых случаях при неполной инсталляции MS Office в этом списке могут содержаться только
основные команды. Для того, чтобы в дальнейшем выводился полный список имен функций, выполните
команду СЕРВИС
НАДСТРОЙКИ… и в открывшемся окне установите «флажок» «Пакет Анализа»
44
Для выбора функции курсор устанавливается на имя функции.
Обратите внимание, что когда курсор устанавливается на имени функции, то в
нижней части окна выбранной функции приводится краткий синтаксис и назначение
выбираемой функции.
Кнопки вызова
диалогового окна
«Диспетчер функций»
Рис. 2-1 Последовательность действий при выборе необходимой финансовой
функции
Рис. 2-2 Фрагмент листа Excel с диалоговым окном финансовой функции БС
(расчет будущей стоимости инвестиции) и справочной информацией
Перенос формулы необходимой функции в ячейку осуществляется двойным
щелчком на ее имени,21 либо щелчком на кнопке «ОК»
21
В младших версиях MS Excel это диалоговое окно может содержать кнопку «Далее», при щелчке на
которой вызывается диалоговое окно самой функции.
45
В результате выполненных действий на экране откроется диалоговое окно
выбранной функции.
В поля диалогового окна функции:
можно вводить как сами значения аргументов, так и ссылки на адреса ячеек,
содержащие необходимые значения;
все расходы денежных средств (платежи) представляются отрицательными
числами, а все поступления денежных средств – положительными числами;
процентная ставка вводится в виде десятичной дроби, либо с использованием знака
%;
все даты как аргументы функций имеют числовой формат представления, например
дата 1 сентября 2006 года представляется числом 3896122
Примечание
Если значение аргумента типа «Дата» берется из ячейки, то дата может быть
записана в обычном виде, например 1.09.2006.
При вводе аргумента типа «Дата» непосредственно в поле ввода диалогового окна
финансовой функции, можно воспользоваться встроенной функцией «Дата», которая
осуществляет преобразование строки символов в дату23.
Для исчисления характеристик финансовых операций с наращением и
дисконтированием вложенных сумм удобно использовать функции БС(), ПС(), КПЕР(),
НОРМА(), БЗРАСПИС( , )НОМИНАЛ(), ЭФФЕКТ(). ПЛПРОЦ(), ОББШПЛАТ(),
ОСНПЛАТ(), ОБЩДОХОД().
Таблица 2-1
Функции рабочего листа Excel для оценки разовых и периодических (потоков)
платежей
Наименование
функции
Формат функции
Назначение функции
БС
В младших
версиях Excel эта
функция
обозначена как
БЗ
БС (ставка; кпер; платеж;
нc; [тип])
рассчитывает будущую стоимость
периодических постоянных
платежей и будущее значение
вклада (или займа) на основе
постоянной процентной ставки
ПС
В младших
версиях Excel эта
ПС(ставка; кпер; платеж;
бс; [тип])
предназначена для расчета
текущей стоимости, как единой
суммы вклада (займа), так и
22
Microsoft Excel хранит даты как целые числа и может выполнять над ними вычисления. По
умолчанию 1 января 1900 года имеет порядковый номер – 1, и, соответственно, 1 сентября 2006г будет иметь
порядковый номер – 38961, так как интервал в днях между этими датами равен 38961,
23
Использование функции «Дата» как вложенной функции будет рассмотрена более подробно в
разделе «ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ»
46
будущих фиксированных
периодических платежей.
Текущий объем — это общая
сумма, которую составят будущие
платежи. Например, когда деньги
берутся взаймы, заимствованная
сумма и есть текущий объем для
заимодавца.
Этот расчет является обратным
к определению будущей
стоимости при помощи функции
ПС
функция
обозначена как
ПЗ
КПЕР
КПЕР(ставка; платеж; нз;
бс; [тип])
вычисляет количество периодов
начисления процентов, исходя из
известных величин r, FV и PV.
СТАВКА
В младших
версиях Excel эта
функция
обозначена как
НОРМА
СТАВКА (кпер; платеж;
нз; бс; [тип])
вычисляет процентную ставку,
которая в зависимости от условий
операции может выступать либо в
качестве цены, либо в качестве
нормы ее рентабельности.
ПЛТ
ПЛТ(ставка; кпер; нз; [бс];
[тип])
позволяет рассчитать сумму
постоянных периодических
платежей (CF). необходимых для
равномерного погашения займа
при известных сумме займа,
ставки процентов и срока на
который выдан заем.
47
БЗРАСПИС
НОМИНАЛ
БЗРАСПИС (сумма;
массив ставок)
НОМИНАЛ
(эф_ставка;кол_пер)
удобно использовать для расчета
будущей величины разовой
инвестиции в случае, если
начисление процентов
осуществляется по плавающей
ставке. (Например, доходы по
облигациям государственного
сберегательного займа ,
начисляются раз в квартал по
плавающей купонной ставке).
Возвращает номинальную годовую
процентную ставку, если известны
фактическая ставка и число
периодов, составляющих год.
ЭФФЕКТ
ЭФФЕКТ(ном_ставка;
кол_пер)
Возвращает фактическую
годовую процентную ставку, если
заданы номинальная годовая
процентная ставка и количество
периодов, составляющих год.
ПЛПРОЦ
ПЛПРОЦ(ставка;
период;кпер;пс))
Вычисляет проценты,
выплачиваемые за определенный
инвестиционный период
ПРПЛТ(ставка
;период;кпер;пс;
бс;тип)
ОСПЛТ(ставка ; период;
кпер;пс;
бс; тип)
Возвращает сумму платежей
процентов по инвестиции за
данный период на основе
постоянства сумм периодических
платежей и постоянства
процентной ставки.
Возвращает величину платежа в
погашение основной суммы по
инвестиции за данный период на
основе постоянства
периодических платежей и
постоянства процентной ставки
48
ОБДОХОД( ставка; кпер;
нз; нач_период;
кон_период, тип)
Вычисляет сумму основных
платежей по займу, который
погашается равными платежами
в конце или начале каждого
расчетного периода, между двумя
расчетными периодами
Как видно из приведенной таблицы, большинство финансовых функций имеет
одинаковый набор базовых аргументов:
ставка - процентная ставка за период (норма доходности или цена заемных средств
– r). Например, если получена ссуда на автомобиль под 10 процентов годовых и делаются
ежемесячные выплаты, то процентная ставка за месяц составит 10%/12 или 0,83%. В
качестве значения аргумента ставка нужно ввести в формулу 10%/12 или 0,83% или 0,0083
кпер - срок (число периодов n) проведения операции. Например, если получена
ссуда на 4 года под приобретение автомобиля и делаются ежемесячные платежи, то ссуда
имеет 4*12 (или 48) периодов. В качестве значения аргумента кпер в формулу нужно ввести
число 48.
Плт - выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся за все время
выплаты ренты. Обычно выплаты включают основные платежи и платежи по процентам, но
не включают других сборов или налогов. Например, ежемесячная выплата по
четырехгодичному займу в 10 000 руб. под 12 процентов годовых составит 263,33 руб. В
качестве значения аргумента выплата нужно ввести в формулу число -263,33.
Пс - это приведенная к текущему моменту стоимость (величина PV) или общая
сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей. Если аргумент ПС
опущен, то он полагается равным 0. В этом случае должно быть указано значение
аргумента Плт.;
Бс - требуемое значение будущей стоимости (FV) или остатка средств после
последней выплаты. Если аргумент опущен, он полагается равным 0 (будущая стоимость
займа, например, равна 0). Например, если предполагается накопить 50000 руб. для оплаты
специального проекта в течение 18 лет, то 50 000 руб. это и есть будущая стоимость
[тип] - число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата [1 начало периода (обычная рента или пренумерандо), 0 - конец периода (постнумерандо)],
необязательный аргумент.
Завершение ввода аргументов и запуск расчета значения функции выполняется
нажатием кнопки «ОК».
При необходимости корректировки значений аргументов функции (изменении
адресов ссылок, постоянных значений и др.) необходимо установить курсор в ячейку,
содержащую формулу:
Выполнить редактирование аргументов функции в строке формул
либо
повторно вызвать, используя «Мастер функций», диалоговое окно функции и в
нем выполнить необходимую коррекцию24.
24
В младших версиях MS Excel диалоговое окно функции вызывается двойным щелчком на ячейке,
содержащей редактируемую формулу.
49
2.1.1.
Операции наращения. Функция БС()
Функции, обслуживающие расчеты по операциям наращения позволяют рассчитать
будущую стоимость разовой суммы по простым и сложным процентам, а также будущее
значение потока платежей, как на основе постоянной процентной ставки, так и на основе
переменной процентной ставки.
Функция БС() – будущее значение – рассчитывает наращенную величину разовой
денежной суммы или периодических постоянных платежей на основе постоянной
процентной ставки.
Простые проценты. Для решения задач наращения по схеме простых процентов
функция БС() в качестве аргументов использует только аргументы: норма; число периодов;
ПС.
Остальные аргументы не используются.
Пример 2-1
Определить наращенную сумму для вклада в размере 10000 руб., размещенного под
15% годовых на один год
Рис. 2-3 Решение
примера 3-1
Таким образом, через год
наращенная сумма составит
11500руб.
В приведенном примере, в качестве аргумента функции Кпер было указано целое
число (1 год).
Если продолжительность финансовой операции представлена в днях, то необходимо
ввести корректировку в процентную ставку, т.е. аргумент норма должен быть представлен
как t / T *r%.
Пример 2-2
Вклад размером в 2000 руб. положен с 06.06 по 17.09 невисокосного года под 30%
годовых. Найти величину капитала на 17.09 по различной практике начисления процентов.
Решение
Германская практика расчета25
В соответствии с германской практикой расчета период накопления составляет 101
день.
25
Напомним, что в германской практике расчета продолжительность года условно принимается за
360 дней, а целого месяца – за 30 дней
50
БС(((B8-B7)-2)/360*B2;B3;;B5) = 2168.3 руб.
Рис. 2-4 Решение примера
3-2 (германская практика
расчета)
Обратите внимание, что в строке «Норма» диалогового окна функции
записано выражение, характеризующее величину процентной ставки за период
накопления t / T *r% =(B8-B7)-2)/360*B2. При этом из точного значения периода
накопления в соответствии с германской практикой расчета вычтено 2 дня
(продолжительность июня и августа составляли 31 день).
Французская система расчета26
В соответствии с французской практикой расчета период накопления составляет 103
дня.
БС(((B8-B7))/360*B2;B3;;B5) = 2171.7 руб.
Таким образом, начисление процентов по германской практике приведет к
получению суммы в размере 2168,33 руб., по английской практике – 2169,3 руб., по
французской практике – 2171,7 руб.
Примечание
Для точного расчета продолжительности интервала накопления во многих случаях
целесообразно использовать функцию «Дата» (категория функций «Дата и время») как
вложенную функцию.
Рис. 2-5 Диалоговое
окно функции «Дата»
В этом случае, запись в строке «Ставка» диалогового окна функции БС будет иметь
вид:
26
Напомним, что в соответствии с французской системой расчета, продолжительность года условно
принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю.
51
БС(((ДАТА(2006;9;17) -ДАТА(2006;6;6)))/360*B2;B3;;B5)
Рис. 2-6 Диалоговое
окно функции БС с
использованием вложенной
функции «Дата» для расчета
продолжительности
интервала накопления.
Сложные проценты
При использовании сложных процентов используются те же аргументы, что и в
простых процентах, с использованием годовой процентной ставки и целого числа лет.
Пример 2-3
Определить будущую величину вклада в 10000,00, помещенного в банк на 5 лет под
5% годовых, если начисление процентов осуществляется:
а) раз в году;
б) раз в месяц.
Решение
Рис. 2-7 Решение
примера 2-3 при начислении
процентов один раз в год
Обратите внимание, что если же период начисления процентов будет меньше года,
то необходимо модифицировать аргументы ставка и число периодов:
ставка – берется ставка процентов за период начисления, т.е. используется
номинальная годовая ставка процентов, скорректированная на число раз (m) начисления
процентов в течение года r% / m;
число периодов – указывается общее число раз начисления процентов за весь срок
финансовой операции n • m.
2.1.2.
Операции дисконтирования
Для расчета приведенной к конкретному моменту времени наращенной суммы Excel
предлагает использование встроенной финансовой функции ПС().
52
Аргументы функции:
норма;
кпер;
выплата;
БС;
Тип
Расчет с использованием функции ПС() является обратным к определению
наращенной суммы при помощи функции БС(), поэтому сущность используемых
аргументов в этих функциях аналогична. Вместе с тем, аргумент ПС заменяется на
аргумент БС – будущая стоимость или будущее значение денежной суммы (FV).
Функция ПС() быть использована для расчета по простым и сложным процентам.
Пример 2-4
Фирме потребуется 5000 тыс. руб. через 10 лет. В настоящее время располагает
деньгами и готова положить их на депозит единым вкладом с тем, чтобы через 10 лет
получить необходимую сумму.
Определить необходимую сумму текущего вклада еслм ставка процента по нему
составляет 12% в год.
Решение.
ПС(B2;B3;;B5) =
-1609866.19 руб.
Рис. 2-8 Решение
примера 2-4
Обратите внимание, что результат получился отрицательным, так как
это сумма, которую фирма должна положить на депозит, с тем, чтобы через 10
лет получить необходимую сумму.
2.1.3.
Определение срока финансовой операции
Для определения срока финансовой операции используется функция КПЕР(),
которая вычисляет общее число периодов начисления процентов на основе постоянной
процентной ставки. Данная функция используется как для единого платежа, так и для
платежей, распределенных во времени.
53
Аргументы функции:
норма;
выплата;
НЗ;
БС;
тип.
Все эти аргументы уже встречались в других функциях и имеют ту же самую
сущность
Пример 2-5
По вкладу в 10000,00, помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно,
была выплачена сумма 12762,82. Определить срок проведения операции (количество
периодов начисления).
Решение.
КПЕР(B2;;B5;B6) =5 лет
Рис. 2-9 Решение
примера 2-5
Следует обратить особое внимание на то, что результатом применения
функции является число периодов (а не число лет), необходимое для
проведения операции.
Если платежи производятся несколько раз в год, то значение функции
означает общее число периодов начисления процентов.
Если необходимо срок платежа выразить в годах, то полученное
значение необходимо разделить на число начислений процентов в году
Пример 2-6
Через сколько лет вклад размером 500 руб. достигнет величины 1000 руб. при ставке
процентов 10% с ежемесячным начислением процентов?
Решение.
КПЕР(10%/12;;-500;1000) =83.5 мес. =83.5/12 ≈ 7 лет.
2.1.4.
Определение процентной ставки
Для определения величины процентной ставки при известных величинах вложенных
и наращенных сумм и количестве периодов начисления процентов Excel предлагает
использование финансовой функции «Ставка».
Аргументы функции:
Пс – вложенная сумм
Бс – наращенная сумма;
54
Кпер– количество периодов начисления процентов.
Пример 2-7
Фирме через 2 года потребуется 100000 руб. Для достижения этой цели фирма
готова положить на депозит 25000 руб. Каким должен быть процент на инвестированные
средства с тем, чтобы к концу второго года была получена необходимая сумма?
Решение
Рис. 2-10 Решение
примера 2-7
2.1.5.
Расчет эффективной и номинальной ставки процентов
Для расчета эффективной и номинальной ставки процентов Excel предлагает
использование функций ЭФФЕКТ() и НОМИНАЛ()27.
Функция ЭФФЕКТ()
Функция вычисляет действующие (эффективные) ежегодные процентные ставки,
если задана номинальная годовая процентная ставка и количество периодов начисления в
году.
Аргументы функции:
Номинальная_ставка;
Кол_пер – количество периодов, составляющих годэ
Пример 2-8
Номинальная ставка составляет 11%. Рассчитайте эффективную процентную ставку
при следующих вариантах начисления процентов:
полугодовом;
квартальном;
ежемесячном.
Решение
11.3%; b)11.46; c)11.57
27
Напомним, что при выпуске ценных бумаг, заключении финансовых контрактов, займов в долговом
соглашении обычно указывается годовая номинальная процентная ставка и период начисления (год,
полугодие, квартал и т.д.)
Эффективная процентная ставка – это годовая сложных процентов, обеспечивающая тот же доход,
что и m- разовое начисление процентов по ставке r/m.
55
Рис. 2-11 Решение примера 2-8
для варианта а)
Функция НОМИНАЛ()
а
Функция вычисляет
номинальную годовую процентную
ставку, если известны эффективная
ставка и число периодов начисления
в год.
Аргументы функции:
Эффект_ставка;
Кол_пер – число периодов, составлящих год
Пример 2-9
Эффективная ставка составляет 28%, а начисление процентов производится
ежемесячно. Необходимо рассчитать номинальную ставку.
Рис. 2-12 Решение
примера 2-9
2.1.6.
Начисление процентов по плавающей ставке
Для расчета будущей величины разовой инвестиции в случае, если начисление
процентов осуществляется по плавающей ставке используется функция БЗРАСПИС().
Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковской
практике. В частности, доходы по облигациям государственного сберегательного займа
(ОГСЗ), начисляются раз в квартал по плавающей купонной ставке
Пример 2-10
Ставка банка по срочным валютным депозитам на начало года составляет 20%
годовых, начисляемых раз в квартал. Первоначальная сумма вклада - $1000. В течении года
ожидается снижение ставок раз в квартал на 2, 3 и 5 процентов соответственно. Определить
величину депозита к концу года
Решение
Введем ожидаемые значения процентных ставок в блок ячеек электронной таблицы,
например: 20%/4 в ячейку B2, 18%/4 в ячейку B3,
17%/4 в ячейку B4 и 15%/4 в ячейку B5. Тогда
функция будет иметь следующий вид:
=БЗРАСПИС(1000; B1.B4)
(Результат: 1186,78).
56
Заметьте, что величина годовой ставки скорректирована на количество
периодов начисления.
57
3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ
Проведение практически любой финансовой операции порождает движение
денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных
платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени. В
финансовой практике широко распространены контракты, предусматривающие не разовое,
а систематическое движение средств – выплаты/поступления по заданному графику
происходят регулярно.
В процессе количественного анализа финансовых операций, удобно
абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать
порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из
последовательности распределенных во времени платежей28 CF0, CF1, ..., Cfn. Для
обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин “поток
платежей” или “денежный поток29” (cash flow – CF).
Каждый отдельный элемент такого численного ряда CFt представляет собой
разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием
(оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким
образом, величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Рис. 3-1 Пример денежный
потока инвестиционного проекта.
Финансовые потоки (cash flow)являются составной и неотъемлемой частью
практически любой сферы человеческой деятельности. Примерами таких потоков являются:
оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж,
так и ряд выплат, распределенных во времени; погашение банковской задолженности или
коммерческого кредита частями и т.п.
Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период
времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо
активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик:
FVn – будущей стоимости потока за n периодов;
PVn – современной стоимости потока за n периодов.
28
Заметим, что платежи могут быть неодинаковы не только по знаку и величине самого платежа, но и
по времени их поступления.
29
Заметим, что рассмотренное в предыдущей главе наращение и дисконтирование вложенной суммы
может также рассматриваться как денежный поток с однократным поступлением денег и единичным
периодом накопления.
58
Часто возникает необходимость определения и ряда других параметров финансовых
операций, важнейшими из которых являются:
CFt – величина потока платежей в периоде t;
r – процентная ставка;
n – срок (количество периодов) проведения операции.
Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их
свойства, а также технология автоматизации исчисления этих характеристик и параметров с
применением ППП EXCEL.
3.1. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ В ВИДЕ СЕРИИ РАВНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
(АННУИТЕТЫ)
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление
(знак), а временные интервалы между последовательными платежами
постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом30 (англ.
annuity).
При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории:
член ренты (Cft) – величина каждого отдельного платежа;
период ренты (t) – временной интервал между членами ренты;
срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее
периода;
процентная ставка (r) – ставка, используемая при наращении платежей, из
которых состоит рента.
3.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ
. В основе классификации финансовых рент положены различные качественные
признаки:
В зависимости от периода продолжительности ренты различают:
годовую ренту, представляющую собой ежегодные платежи, (т.е. период ренты
равен 1 году);
срочную ренту, при которой период ренты может иметь любую
продолжительность (как более, так и менее года).
По числу начислений процентов различают:
ренты с начислением 1 раз в год;
ренты с начислением m раз в год;
непрерывное начисление.
По величине членов ренты могут быть
30
Это частный случай потока платежей, все члены которого - положительные величины. Примерами
аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный или другие фонды, выплаты процентов по ценным
бумагам, например, по акциям и т.д.
59
постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, (т.е.
рента с равными членами);
переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными
членами.
По числу членов ренты различают:
с конечным числом членов (ограниченные ренты), когда число членов ренты
конечно и заранее известно;
с бесконечным числом (вечные ренты), когда число ее членов заранее не
известно.
По вероятности выплаты ренты могут быть разделены на:
верные ренты, которые подлежат безусловной выплате, т.е. не зависят не от
каких условий, например, погашение кредита;
условные ренты, которые зависят от наступления некоторого случайного
события.
По методу выплаты платежей выделяют:
обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой
платежа в конце периода ренты (постнумерандо);
ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).
За счет более раннего поступления денежных средств и удлиненного на один период
срока начисления процентов в случае пренумерандо можно достигнуть больших
финансовых результатов по сравнению с потоком платежей, вносимых в конце периода.
Рис. 3-2 Тип аннуитета задает
распределение n платежей одинакового
размера по границам процентных периодов
внутри срока аннуитета
В финансовой практике наиболее часто встречаются так называемые простые или
обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают
получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока
операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и.т.д.)31.
В соответствии с определением, простой аннуитет обладает двумя важными
свойствами:
все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;
отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn - tn-1 = ...=
t2 - t1.
31
Выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной
аренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеко неполный перечень
финансовых операций, денежные потоки которых, представляют собой обыкновенные аннуитеты.
60
В отличие от разовых платежей, рассмотренных нами в предыдущем разделе, для
количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные ранее
характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.( и соответственно, все аргументы
рассмотренных ранее финансовых функций Excel. (функции: БС(); ПС(); КПЕР();
СТАВКА(); ППЛАТ(); БЗРАСПИС(); НОМИНАЛ(); ЭФФЕКТ()) и др.)
3.3. РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПЛАТЕЖЕЙ
Функции Excel помимо расчета наращенной и приведенной стоимости позволяют
выполнить основные расчеты, связанные с оценкой периодических платежей:
Периодические постоянные по величине платежи, осуществляемые на основе
постоянной процентной ставки (функция ПЛТ());
Платежи по процентам за конкретный период (функция ПРПЛТ());
Сумму платежей по процентам за несколько периодов, идущих подряд друг за
другом (функция ОБЩПЛАТ());
Основные платежи по займу (за вычетом процентов) за конкретный период (функция
ОСНПЛАТ());
Сумму основных платежей за несколько периодов, идущих подряд (функция
ОБЩДОХОД()).
Наиболее часто все эти величины используются при составлении плана (схемы)
равномерного погашения займа. Если заем погашается равными платежами в конце
(начале) каждого периода , то будущая стоимость этих платежей ( при его полном
погашении) будет равна сумме займа с начисленными процентами к концу последнего
расчетного периода. В тоже время текущая стоимость выплат по займу должна быть равна
настоящей сумме займа.
Если известна величина займа, срок на который он был выдан и процентная ставка,
то можно легко, используя функцию ПЛТ(), определить величину периодических
платежей, необходимых для равномерного погашения займа.
Вычисленные платежи включают в себя сумму процентов по непогашенной части
займа и основную выплату по нему. Эти величины зависят от номера периода и могут быть
рассчитаны с помощью функций ПРПЛТ(), ОСНПЛАТ(). Накопленные суммы могут быть
определены с помощью функций ОБЩПЛАТ(), и ОБЩДОХОД().
3.3.1.
Определение будущей (наращенной) стоимости потока платежей. Функция
БС()
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к
концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем
инвестиций и т.п.
r
r
Рис. 3-3 Логика
финансовой операции
наращения финансовой
ренты
CF
CF
r
FV
CF
n
t(время)
61
Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем
примере.
Пример 3-1
На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в
размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить
сумму, которую банк выплатит владельцу счета.
Решение
FVn=CF*(1+r)n-1+ CF*(1+r)n-2+…+ CF =
( 1 + 30%)5 − 1
500 *
30%
FV5 =
=4521,55
CF *
( 1 + r )n − 1
r
( 3-1)
Таким образом, сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна
4521.545 руб.
При использовании финансовых функций Excel
=БС(30%;5;-500;;0)=4521.55
Рис. 3-4 Решение примера с
использованием функции БС()
Как мы уже отмечали
ранее, платежи могут
осуществляться j-раз в году
(ежемесячно, ежеквартально и
т.д.). Наиболее распространен случай, когда число платежей в году совпадает с числом
начислений процентов, В этом случае общее число платежей за n-лет будет равно m*n,
процентная ставка – r/m, а величина платежа – CF/m. Тогда, выполнив преобразования над
(5-1), получим:
r
CF (1 + m )
FV =
*
m
r
m* n
m
−1
1+ r )
(
m
= CF *
r
m* n
−1
( 3-2)
62
Пример 3-2
Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000. Ставка
равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к
концу 4-го года ?
Общее количество платежей за 4 года равно: 4* 12 = 48. Ежемесячная процентная
ставка составит: 12% / 12 = 1%.
Решение:
FV4 ,12
1 + 12% )
(
12
= 1000 *
=61222,61
4*12
−1
12%
При использовании финансовых функций Excel
=БС(12%/12;4*12;-1000)= 61222,61
Рис. 3-5 Решение
примера 3-2
3.3.2.
Современная (текущая)
величина аннуитета. Функция ПС()
Современная (текущая) величина потока платежей32 (капитализированная или
приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты
по ставке начисляемых сложных процентов.
Рис. 3-6 Логика
финансовой операции
определения современной
величины потока платежей
r
r
PV
r
CF
n
32
CF
CF
t(время)
Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения
эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная
характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные
взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить
необходимую наращенную сумму.
63
Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет
следующий вид:
(1 + r ) n − 1
1 − (1 + r ) − n
= CF *
PVn = CF *
r * (1 + r ) n
r
( 3-3) 33
Для случая, когда выплаты сумм аннуитета (j) и начисления процентов (m)
совпадают во времени, т.е. j = m, удобно использовать соотношение вида:
PVn , j
1 + (1 + r )
= CF *
j
m* n
( 3-4)
В Excel
для вычисления текущей стоимости серии платежей используется уже
знакомая нам финансовая функция ПС(),
Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой
простой аннуитет, рассмотрим на следующих примерах.
Пример 3-3
Предположим, что мы хотим получать доход, равный $1000 в год, на протяжении 4-х
лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам
равна 10% годовых?
Решение.
PV = 1000*[((1-(1+10%)-4)/10%=
3169,87.
При использовании финансовой
функции Excel
=ПС(10%;4;-1000)=3169.87
Рис. 3-7 Решение примера 3-3
Таким образом, для получения в
течение четырех лет ежегодного дохода в $1000 необходимо сегодня положить в банк
$3169.87.
Пример 3-4
Рассматриваются два варианта приобретения дома стоимостью 100 мл. руб.:
единовременный платеж.
ежемесячно в течение 15 лет вносить в банк по 1 мл.. руб.
33
Легко видеть, что выражения в квадратных скобках в (4-3) представляет собой множитель, равный
современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного
потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF
эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе
для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета
64
Определить какой из вариантов приобретения дома предпочтительнее, если ставка
процента – 8% годовых, а проценты начисляются ежемесячно?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос нам необходимо сравнить, что выгоднее:
заплатить сегодня всю суммы полностью или растянуть платежи на 15 лет.
Для сравнения необходимо привести эти денежные потоки к одному периоду
времени, т.е. рассчитать текущую стоимость будущих фиксированных периодических
выплат.
Таким образом, текущая стоимость будущих периодических платежей больше
запрашиваемой стоимости дома (104,64 мл. руб. > 100 мл. руб.), следовательно выгоднее
покупать дом сразу.
Рис. 3-8
Решение примера 3-4
3.3.3.
Нерегулярные потоки платежей, Функция БЗРАСПИС()
Денежные потоки в виде платежей произвольной величины, осуществляемые через
равные промежутки времени, представляют собой наиболее общий вид аннуитетов
Для получения обобщающих характеристик, таких как FV и PV, потребуется
прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и
последующему их суммированию:
n
FV = ∑ CF * (1 + r )
k =1
n− k
( 3-5)
Пример 3-5
Ежегодно в конце года в течение 5 лет вкладчиком вносились в банк суммы: 100,
200, 200,300, 300 руб. Ставка банка – 12%. Проценты на вклад начисляются в конце года.
Необходимо определить сумму, которая может быть получена вкладчиком по окончании
срока.
Решение.
В соответствии с формулой (4-5) наращенная сумма составит
FV = 100*(1+12%)4 + 200**(1+12%)3 +200**(1+12%)2 +300**(1+12%)1
+300*(1+12%)0 = 1325.22.
Для решения задачи в Excel:
1-й вариант:
построим таблицу исходных данных, подобную приведенной в левой части рис. 5-12
(ячейки А1:С7);
в ячейке С2 разместим формулу расчета наращенной суммы;
Обратите внимание, что в строке «Кпер» диалогового окна функции БС() записывается «5
– А2». Где число «5» – общий период наращения (5 лет), а «А2» номер периода внесения
65
суммы платежа. Таким образом, разность «5-А2» характеризует период наращения
вложенной суммы34;
скопируем формулу в ячейки С3:С6;
В ячейке С7 разместим формулу =Сумм(С2:С6) – расчета наращенной суммы за
весь период накопления.
Таким образом, по окончании 5 –летнего срока вкладчик получит 1325. 22 руб.
Рис. 3-9 Фрагмент
листа Excel с решением
задачи
,
2-й вариант:
Построим таблицу исходных данных, подобную таблице, приведенной на рис.3-10
Рис. 3-10 Таблица исходных
данных примера 3-5
Установите курсор в
ячейку «В7»;
вызовите функцию
СУММ() (категория функций
«Математические»)
либо
щелкните на пиктограмме
вызовите функцию БС() –
(категория функций «Финансовые»).
Рис. 3-11 Диалоговое окно функции
БС()
34
Напомним, что по условиям задачи платежи и начисления процентов производятся в конце года.
Таким образом, наращение первой вложенной суммы будет проходить в течение 5-1 =4 лет; наращение второй
вложенной суммы – 5-2= 3 года и т.д
66
В диалоговом окне функции:
в строке «Ставка» запишите величину годовой процентной ставки;
в строке «Кпер» сделайте ссылку на массив ячеек, содержащих значения
периодов начисления на платежи («А2:А6»);
в строке «ПС» сделайте ссылку на массив ячеек, содержащих данные о платежах
(В2:В6);
Нажмите клавиши Ctrl+Shift+Enter35
В результате выполненных действий в ячейке «В7» будет записана формула
={СУММ(БС(12%;5-A2:A6;;B2:B6))}36 =1325.22 руб.
3.3.4.
Определение величины периодического платежа. Функция ПЛТ()
Пример 3-6
Решим предыдущую задачу, используя функцию ПЛТ()
Разместим исходные данные задачи в таблице подобной приведенной на рисунке.
Рис. 3-12 Таблица Excel с исходными
данными задачи
Для решения задачи:
Установить курсор в ячейку В4 (Плт).
Из категории функций
«Финансовые» вызвать
функцию ПЛТ().
В диалоговом окне функции
сделать необходимые ссылки
на ячейки таблицы исходных
данных
Щелкнуть на кнопке «ОК»
Рис. 3-13 Диалоговое окно
функции ПЛТ()
35
Напомним, одновременное нажатие клавиш Ctrl+Shift+Enter позволяет ввести формулу как
формулу для массива данных.
36
Обратите внимание, что формула заключена в фигурные скобки, что характеризует ее как формулу
массива.
67
В результате выполненных действий в ячейке «В4» будет размещена найденная
сумма ежемесячного платежа.
Рис. 3-14 Таблица исходных данных с
найденной величиной ежемесячного платежа
(ячейка В4)
Пример 3-7
Как только Вам исполнилось 20 лет Вы решили ежемесячно вносить в банк по 25
долларов США.
В каком возрасте Вы сможете стать миллионером, если ставка банка – 15%,
начисляемых ежемесячно по схеме сложных процентов.
Решение.
Для решения задачи может быть использована финансовая функция КПЕР().
Рис. 3-15 Диалоговое окно
функции КПЕР()
В строку «Ставка»
диалогового окна функции КПЕР()
заносится величина годовой
процентной ставки, деленной на количество платежей в течении года ( в нашей задаче –12
платежей).
В строку «Плт» заносится величина ежемесячных платежей
В строку «Бс» заносится величина будущей наращенной суммы ( в нашей задача
1000000 руб.
После щелчка на кнопке «ОК» в ячейку, где была размещена формула, будет
занесено количество платежей, необходимых для накопления желаемой суммы = 500.43.
Т.е. через 500.43месяцев или 500.43/12 = 41,7 года Вам потребуется для накопления
суммы 1000000 долларов США. Таким образом, Когда Вам исполнится 62 года Вы станете
миллионером!
3.3.5.
Расчет платежей по процентам. Функция ПРПЛТ()
Функция позволят определить сумму платежей процентов по инвестиции за данный
период на основе постоянства сумм периодических платежей и постоянства процентной
ставки.
68
Пример 3-8
Необходимо определить величину платежей по процентам за первый месяц
трехгодичного займа в 800тыс.руб. Ставка банка 10%.
Решение.
=ПРПЛТ(10%/12;1;3*
12;-800)
Рис. 3-16 Диалоговое
окно функции ПРПЛТ() с
решением примера 3-8
В поле «Ставка»
диалогового окна заносится
величина месячной процентной ставки;
в поле «Период» заносится номер периода для которого мы хотим определить
величину платежей по процентам;
в поле «Кпер»заносится количество периодов начисления процентов ( в нашем
примере 3*12);
в поле «Пс» заносится величина займа.
После нажатия кнопки «ОК» мы получим, что платежи по процентам за первый
месяц составили -6.66 тыс. руб
Пример 3-9
За счет ежегодных отчислений в течении 6 лет был создан фонд в 5 млн. руб.
Необходимо определить какой доход принесли вложения за последний год, если
ставка банка составляла 12%
Решение
=ПРПЛТ(12%;6;6;;5) =0,469млн. руб
Рис. 3-17 Решение
примера 3-9
69
3.3.6.
Расчет суммы платежей по процентам по займу. Функция ОБЩПЛАТ()
Функция позволяет вычислить накопленный доход (сумму платежей по процентам)
по займу, который погашается равными платежами в конце или начале каждого расчетного
периода, между двумя периодами выплат.
Синтаксис функции: ОБЩПЛАТ (ставка; Кол_пер; Нз37; нач_период;
кон_период;тип)
Пример 3-10
Для приобретения недвижимости была взята ссуда 12 000тыс. руб, Условия ссуды:
Процентная ставка -9%;
Срок - 25 лет
Проценты начисляются ежемесячно
Необходимо найти сумму выплат за 2-й год и за 1 -й месяц займа
Решение
В диалоговом окне функции ОБЩПЛАТ() :
В строке «Ставка» заносится величина процентной ставки, начислямой за период
(9%/12);
в строке «Кол_пер» записывается количество периодов начисления платежей
(25*12);
в строке «Нз» записывается величина займа;
в строках «Нач_период» и «Кон_период» записываются начальный и конечный
периоды, для которых вычисляется сумма выплат по процентам (13 и 24), соответственно;
После щелчка на кнопке «ОК» будет рассчитана сумма платежей по процентам за
второй год:
=ОБЩПЛАТ(9%/12;25*12;12000;13;24;0) =-1062тыс. руб.
Рис. 3-18 Диалоговое окно функции
ОБЩПЛАТ() с введенными условиями
расчета суммы выплат по процентам за
второй год.
Аналогичным образом может быть вычислена сумма выплат по процентам за
первый месяц займа:
=ОБЩПЛАТ(9%/12;25*1;12000;1;1;0)=-90тыс. руб.
37
функциях.
Аргумент Нз функции эквивалентен, аргументу Пс, использовавшемуся в других финансовых
70
Рис. 3-19 Диалоговое окно
функции ОБЩПЛАТ() с
введенными условиями расчета
суммы выплат по процентам за
первый месяц
3.3.7.
Расчет величины основных платежей по займу. Функция ОСПЛТ()
Функция позволяет вычислить величину основного платежа (выплаты) по займу,
который погашается равными платежами в конце или начале расчетного периода, на
расчетный период.
Пример 3-11
Была взята ссуда в размере 70000тыс. руб. сроком на 3 года под 17% годовых.
Необходимо рассчитать величины основных платежей для каждого года займа.
Решение
Напомним, что сумма основного платежа по займу получается как разность между
фиксированной периодической выплатой и процентами по непогашенной части долга.
Размер основных выплат по займу, определяемый с помощью функции ОСПЛТ()
может быть определен как:
Основной
Период Формула
платеж
1-й год
=ОСПЛТ(17%;1;3;70000) -19 780.16р.
2-й год
=ОСПЛТ(17%;2;3;70000) -23 142.78р.
=
3-й год ОСПЛТ(17%;3;3;70000) -27 077.06р.
ИТОГО
-70 000.00р.
Рис. 3-20 Диалоговое окно
функции ОСПЛТ() с данными
расчета основного платежа за 1-й
период займа
71
3.3.8.
Расчет суммы основных платежей по займу. Функция ОБЩДОХОД()
Функция позволяет вычислить сумму основных платежей по займу, который
погашается равными платежами в конце или начале каждого расчетного периода, между
двумя периодами.
Пример 3-12
Выдана ссуда в размере 1000 тыс. руб. сроком на 6 лет под 15% годовых,
начисляемых ежеквартально. Определить величину основных выплат за 5-й год.
Решение
Периоды платежей за 5-й год будут иметь номера 17 и 20, соответственно. Так как
ссуда погашается равными платежами в конце каждого периода (квартала), то размер
выплаты за пятый год составит:
=ОБЩДОХОД(15%/4;6*4;1000;17;20;0)=201,43 тыс. руб.
3.3.9.
Использование операции «Подбор параметра» для определения отдельных
параметров аннуитета
Достаточно часто при разработке условий финансовой операции могут возникать
ситуации, когда известной величиной является либо наращенная либо приведенная сумма и
неполный набор параметров ренты, таких как срок ренты, ставка процента, размер
отдельного платежа и др. В таких случаях необходимо найти недостающий параметр.,
преобразуя соответствующим образом формулы.
При работе в электронной таблице Excel эти величины могут быть легко найдены с
ПОДБОР ПАРАМЕТРА).
помощью операции «Подбор параметра» (команда СЕРВИС
Пример 3-13
Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 250 тыс. руб. Определите размер
взносов, вносимых в конце каждого месяца в банк, который начисляет проценты по ставке
12%.
Решение.
Разместим исходные данные задачи в таблице подобной приведенной на рисунке.
Рис. 3-21 Таблица Excel с исходными
данными примера
Постановка задачи требует определить
величину ежемесячных платежей, которая
позволит за пять лет получить наращенную
сумму 250000 руб.
Для решения задачи используем
финансовую функцию БС(), разместив ее в ячейке В5.
72
Рис. 3-22 Диалоговое окно функции
БС()
В строке «Ставка» делается ссылка на ячейку (В2), содержащую значение годовой
процентной ставки и делится на 12 (число периодов начисления).
В строке «Кпер» делается ссылка на ячейку (В3), содержащую значение количества
лет наращения и умножается на 12 (для расчета общего количества начислений за
период наращения необходимой суммы).
В строке «Плт» делается ссылка на ячейку (В4), которая будет содержать значение
необходимой суммы ежемесячного платежа, которое будет получено после
выполнения операции «Подбор параметра».
В строку «Пс» заносится сумма, которая первоначально может быть внесена в банк (
в нашей задаче эта величина равна нулю).
В строке «Тип» записываем «0», так как начисление процентов производится в
конце каждого периода.
После щелчка на кнопке «Ок» исходная таблица приобретет вид, подобный,
показанному на рисунке.
Рис. 3-23 Таблица исходных данных с
записанной в ячейку В5 финансовой функцией БС()
Для расчета необходимой величины
ежемесячного платежа:
курсор устанавливается в ячейку В5;
выполняется команда СЕВИС
ПОДБОР ПАРАМЕТРА.
Рис. 3-24 Диалоговое окно «Подбор
параметра»
В открывшемся диалоговом окне
команды:
В строке «Установить в ячейке» делается ссылка на ячейку «В5» (величина
наращенной суммы, необходимой для приобретения автомобиля);
В строке «Значение» записывается необходимое значение, которая эта ячейка
должна получить после выполнения операции «Подбор параметра» ( нашей задаче
– 250000);
73
В строке «Изменяя значение ячейки» делается ссылка на ячейку «В4», значение
которой должно быть подобрано для получения необходимой наращенной суммы.
После щелчка на кнопке «ОК» в ячейке В4 будет найдена необходимая величина
ежемесячного платежа, который за 5 лет позволит накопить сумму, необходимую для
приобретения автомобиля.
Рис. 3-25 Таблица исходных данных с
найденной величиной ежемесячного платежа
(ячейка В4)
В состав финансовых функций Excel входят
функции, необходимые для расчета отсутствующих
параметров38 – функции: ПЛТ()39; «СТАВКА()»; КПЕР() и др.
3.4. РАЗРАБОТКА ШАБЛОНА ДЛЯ АНАЛИЗА АННУИТЕТОВ
Одним из достоинств электронных таблиц является то, что они позволяют создать
собственные шаблоны, позволяющие подставляя в них исходные данные немедленно
получать необходимые результаты анализа.
На рис. 3-26 приведен простейший пример шаблона, позволяющий решать типовые
задачи по исчислению параметров финансовых операций с элементарными потоками
платежей. На рис. 3-27 этот шаблон приведен в режиме отображения формул. Дадим
необходимые пояснения.
Рис. 3-26
Шаблон для
анализа аннуиетов
38
Часть этих функций была нами рассмотрена в главе «ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ВЛОЖЕНИЙ
ЗА СЧЕТ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ»
39
В младших версиях Excel эта функция обозначена как ППЛАТ()
74
Рис. 3-27 Шаблон
для анализа аннуиетов в
режиме отображения
формул
Таблица 3-1
Формулы шаблона
Ячейка
Формула
В15
=БС(B5/B6;B7*B6;B10;B8;B11)
В16
=СТАВКА(B7*B6;B10;B8;B9;B11)
В17
=B16*B6
B18
=КПЕР(B5/B6;B10;B8;B9;B11)
В19
=ПС(B5/B6;B7*B6;B10;B9;B11)
В20
=ПЛТ(B5/B6;B7*B6;B8;B9;B11)
Шаблон состоит из двух частей.
Первая часть занимает блок ячеек А5:В11 и предназначена для ввода исходных
данных (известных параметров финансовой операции). Текстовая информация в ячейках
А5:А11 содержит наименование исходных параметров финансовой операции, ввод которых
осуществляется в ячейки B5:B11.
Вторая часть таблицы занимает блок ячеек А15:В20 и предназначена для вывода
результатов вычислений, т.е. искомых величин. Блок ячеек В15.В20 содержит формулы,
необходимые для вычисления соответствующих параметров финансовой операции и при
отсутствии исходных данных содержит сообщения об ошибках:
#Дел/0! – ошибка возникает при делении числа на 0 (нуль);
#Число! – ошибка возникает при неправильных числовых значениях в формуле или
функции;
Разработанная таблица-шаблон позволяет быстро и эффективно проводить анализ
финансовых операций с элементарными потоками платежей. Так при изменении любой
характеристики рассмотренной выше операции, достаточно ввести новое значение в
соответствующую ячейку электронной таблицы. Кроме того, шаблон может быть легко
преобразован для одновременного анализа сразу нескольких однотипных ситуаций. С этой
целью блоки ячеек В5:В11 и В15:В20 скопированы в блоки ячеек С5:D11 и C15:D120,
соответственно.
Сохраните разработанный Вами шаблон на магнитном диске под уникальным
именем, например ANNUIT.XLT.
75
Проверим работоспособность шаблона на решении задачи «Как стать миллионером?
(пример 4-7).
Пример 3-14
Проанализируем через, сколько лет Вы сможете стать миллионером, если будете
ежемесячно вносить в банк 15, 20 или 25 долларов США.
В ячейки шаблона введем исходные данные. Полученная в итоге таблица будет
иметь вид, показанный на рис.3-28
Рис. 3-28 Решение
примера 3-14
Таким образом, если
Вы будете ежемесячно
вносить в банк $15, $20 или $25, то Вы станете миллионером через 45, 43 или 41 год,
соответственно.
3.5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Функция БЗ() [ПС]
Задание 3-1
Рассчитать какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. руб. положены на 33 года
под 13.5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода
Ответ: 2 012 074.64р
Задание 3-2
3. У Вас есть возможность ежегодно в течение 4 лет инвестировать 300 тыс. руб. в два
проекта: под 26% в начале каждого года или 38% в конце года.
Определите, какой из вариантов вложения средств предпочтительнее.
Ответ:
а) 2 210,53р.
б) 2 073,74р.
76
Задание 3-3
.На сберегательный счет вносятся платежи по 200 тыс. руб. в начале месяца
а)Рассчитайте, какая сумма окажется на счете через 4 года при ставке процента 5%,
7.5%, 10%, 12.5%, 15.5%, 20%.
б) Повторите этот расчет для случая, если платежи вносятся в конце месяца
в) Постройте диаграмму, иллюстрирующую выполненные расчеты
Примечание Для решения задачи используйте «Таблицу подстановок
Ответ
Накопление сумм при различных ставках
Накопленная сумма
Начало месяца
конец месяца
Процент
9600,00
Процент
9600,00
0,05
10647,16
0,05
10602,98
0,08
11224,89
0,08
11155,17
0,10
11842,37
0,10
11744,50
0,13
12502,58
0,13
12373,69
0,15
13208,75
0,15
13045,68
0,20
14773,16
0,20
14530,98
15000
14000
13000
в начале
месяца
В конце
месяца
12000
11000
10000
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
ставка процента
Задание 3-4
Вы хотите зарезервировать деньги для специального проекта, который будет
осуществлен через год. Предположим, Вы собираетесь вложить 1000 рублей под 6%
годовых (что составит в месяц 6%/12 или 0,5%). Вы собираетесь вкладывать по 100 рублей
в начале каждого следующего месяца в течение следующих 12 месяцев.
Сколько денег будет на счету в конце 12 месяцев?
Ответ: 2301,40 р
Задание 3-5
Фирма создает фонд для погашения долгосрочных обязательств, срок которых
истекает через пять лет, путем ежегодного пополнения депозита, с начальной суммой 10000
тыс. руб. Размер ежегодного взноса 1000 тыс. руб. Ставка по депозиту – 5% годовых,
начисляемых в конце каждого периода. Определите величину фонда к концу пятого года.
Ответ: 18288,45 тыс. руб
Функция ПЗ() [ПС[
Задание 3-6
Вы решили приобрести автомобиль стоимостью 200000 руб. Какую сумму Вы
должны вложить в банк под 12% годовых для того, чтобы иметь возможность его
приобретения.
а) Начисление процентов производится один раз в начале года
б) Начисления производятся 2 раза в год в начале периода.
Ответ: а) -178 571.43р.
б)
-177 697.41р
Задание 3-7
Предположим, что выкупается страховка, по которой выплачивается по 500 руб. в
конце каждого месяца в течение 20 последующих лет. Стоимость ренты составляет 60 000
руб. и выплачиваемые деньги принесут 8 процентов годовых. Необходимо определить,
будет ли это хорошим способом инвестировать капитал.
77
Ответ: -59 777,15 руб, Настоящий объем вклада (59 777,15 руб.) меньше, чем
запрашиваемая цена (60 000 руб.). Следовательно, можно сделать вывод, что это не самый
лучший способ инвестирования денег.
Функция КПЕР()
Задание 3-8
4.Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде
постоянной годовой ренты. Размер разового платежа составляет 16 млн. руб. На
поступившие взносы начисляется 11.18% годовых.
Определить, когда величина фонда будет равна 100 мл. руб.
Ответ: 4,99 года
срок (кол. лет)
Задание 3-9
По вкладу в 10000,00, помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно,
была выплачена сумма 12762,82.
а) Определить срок проведения операции (количество периодов начисления).
б) используя построение сценария, выясните как влияет банковский процент ( в
диапазоне от 1% до 10 %) на срок получения
влияние величины банковского
указанной суммы банковский процент. Постройте
процента на срок получения
диаграмму, отражающую эту зависимость.
заданной суммы
Ответ: а) 5 лет
30.00
20.00
-0.9811
y = 0.2656x
Задание 3-10
Ожидается, что ежегодные доходы от
банковский процент
реализации проекта составят 33млн. руб.
а) Рассчитайте срок окупаемости проекта,
если инвестиции к началу поступления доходов составят 100мл.руб., а норма
дисконтирования – 12.11%.
б) Используя таблицу подстановки, рассчитайте:
Как будет изменяться срок окупаемости проекта в зависимости от нормы
дисконтирования (от 1% до 20%). Постройте диаграмму, иллюстрирующую эту
зависимость;
Как будет изменяться срок окупаемости проекта в зависимости от нормы
дисконтирования (от 1% до 20%) и величины инвестиции к началу поступления доходов
(50 до 150млн. руб.). Постройте диаграмму, иллюстрирующую эту зависимость.
Ответ: а) 4 года
10.00
0.00
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
срок окупаемости проекта в зависмости от
срок окупаем ости проекта в зависим ости от ставки дисконтирования и
ставки дисконтирования
величины инвестиции
10.00%
10-12
срок окупаемости
5
8-10
4.5
12
6-8
10
4
4-6
8
3.5
срок окупаемости
6
2-4
4
3
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
2
0-2
0
-125
процент дисконта
0%
1. 0
0
7. 0
инвестиции
%
.0
13
проценты
-50
0%
%
.0 0
19
12.00%
78
Функции БЗРАСПИС();ЭФФЕКТ(); СТАВКА();
Задание 3-11
1. Ставка банка по срочным валютным депозитам на начало года составляет 20% годовых,
начисляемых раз в квартал. Первоначальная сумма вклада - $1000. В течении года
ожидается снижение ставок раз в квартал на 2, 3 и 5 процентов соответственно.
Определить величину депозита к концу года.
Ответ: 1186.78
Задание 3-12
Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет 18% годовых. Какова
реальная доходность вклада (т.е. эффективная ставка) если проценты выплачиваются:
а) ежемесячно
б) раз в год
Ответ: a) 0.20
б) 0.18
Задание 3-13
Компании Х потребуется 100000 тыс. руб. через 2 года.
а) Компания готова вложить 5000 тыс. руб. сразу и по 2500 тыс. руб. каждый
последующий месяц. Каким должен быть процент на инвестированные средства, чтобы
получить необходимую сумму в конце второго года.
б) Компания отказалась от ежемесячных платежей и готова единовременно вложить
40000 тыс. руб.. Определите, как изменится в этом случае процентная ставка.
Месячн. Ставка
Годовая ставка
Ответ: а) 3.28%
39.36%
б)
3.89%
46.70%
Задание 3-14
Рассчитайте процентную ставку для четырехлетнего займа в 7000 тыс. руб. с
ежемесячным погашением по 250 тыс. руб. при условии, что заем полностью погашается
Ответ: 2,46% в месяц или 29,5% годовых
79
4. ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
Инвестиции – это долгосрочные финансовые вложения экономических ресурсов с
целью создания и получения выгоды в будущем, которая должна быть выше начальной
величины вложений.
Инвестиционный процесс – это последовательность связанных инвестиций,
растянутых во времени, отдача от которых также распределена во времени. Этот процесс
характеризуется двусторонним потоком платежей, где отрицательные члены потока
являются вложениями денежных средств в инвестиционный проект, а положительные
члены потока – доходы от инвестированных средств.
Методы измерения доходности инвестиционных проектов основаны на анализе
равномерного денежного потока. Ожидаемые значения элементов денежного потока,
соответствующие будущим периодам, являются результатом сальдирования всех статей
доходов и расходов, связанных с осуществлением проекта.
Для приведения значений элементов денежного потока к сопоставимому во времени
виду по выбранной норме дисконтирования оценивается суммарная текущая стоимость на
момент принятия решения о вложении капитала, предшествующий началу движения
средств. Уровень процентной ставки, применяемой в качестве нормы дисконтирования,
должен соответствовать длине периода, разделяющего элементы денежного потока.
В качестве показателей эффективности инвестиционных проектов обычно
используются:
чистый приведенный доход – текущая стоимость всех доходов и расходов по
проекту;
срок окупаемости – характеризует срок окупаемости средств, вложенных
(инвестированных) в проект;
внутренняя норма доходности – это ставка дисконтирования, приравнивающая
сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине инвестиций, т.е.
вложения окупаются, но не приносят прибыль.
4.1. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД
При оценке инвестиционных проектов используется метод расчета чистого
приведенного дохода, который предусматривает дисконтирование денежных потоков: все
доходы и затраты приводятся к одному моменту времени.
Центральным показателем в рассматриваемом методе является показатель NPV (net
present value) – текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости
денежных оттоков. Это обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в
абсолютном измерении.
При разовой инвестиции расчет чистого приведенного дохода можно представить
следующим выражением:
n
k
NPV = ∑ CFk / (1 + r ) − Z 0
k =1
( 4-1)
где CFk – годовые денежные поступления в течение n лет, k = 1, 2, …, n;
Z – стартовые инвестиции;
80
r – ставка дисконтирования.
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное
инвестирование финансовых ресурсов в течение нескольких лет (m), то формула для
расчета модифицируется:
n
m
j
k
NPV = ∑ CFk / (1 + r ) − ∑ Z j / (1 + r )
j =1
k =1
( 4-2)
Показатель NPV характеризует абсолютный прирост40, поскольку оценивает, на
сколько приведенный доход перекрывает приведенные затраты:
при NPV > 0 проект может быть принят;
при NPV < 0 проект не принимается,
при NPV = 0 проект не имеет ни прибыли, ни убытков
Пример 4-1
Найти чистый дисконтированный доход проекта, требующего стартовых инвестиций
в объеме 150 тыс. руб., денежный поток которого задан рис.6-1, по ставке дисконтирования
10% годовых.
170.00
Рис. 4-1 Денежный поток
инвестиционного проекта
125
CF
100
120.00
100
100
8
9
55
70.00
25
20.00
-30.00
-50
-80.00
-70
-130.00
-150
-180.00
1
2
3
4
5
6
7
Время (год)
Решение
На листе Excel создадим таблицу, подобную приведенной на Рис.4-2.
40
Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку
изменения экономического потенциала фирмы в случае принятия данного проекта.
81
Рис. 4-2 Фрагмент рабочего листа MS Excel c вычислением величины чистого
дисконтированного потока в соответствии с формулой (4-1)
Рис. 4-3 Фрагмент рабочего листа MS Excel в режиме отображения формул c
вычислением величины чистого дисконтированного потока в соответствии с формулой
(6-1)
В ячейках столбца :
"А" размещены периоды поступления (оттока) денежных средств;
"В" размещаются величины денежных потоков в соответствующие периоды;
"С" размещены аккумулированные значения денежных потоков в данном
периоде. Например, в ячейке "С4" может быть записано: =C3+B4;
"D" размещаются формулы расчета величины коэффициента дисконтирования
денежных потоков. Например, в ячейке "D3" записывается: =(B3/(1+0)^A3)/B3; в
ячейке "D4" записывается: =((B4/(1+0.1)^A4))/B4 и т.д.;
"E" значения дисконтированных денежных потоков. Например, в ячейке "E4"
записывается: =B4*D4
"F" записываются формулы расчеты аккумулированных дисконтированных
денежных потоков в соответствующий период времени. Например, в ячейке "F3"
записывается величина денежного потока в начальный период (начальные
инвестиции): =D3; в ячейке "F4" записывается: =F3+E4 и т.д.
“G” записывается логическая функция анализа окупаемости проекта. Например,
в ячейке “G3” записывается формула: =ЕСЛИ(C3>0;"Проект
82
окупается";"Проект не окупается"), которая копируется в ячейки G4:G11
таблицы.
Таким образом, в результате выполненных вычислений получаем:
Чистый дисконтированный доход = 32,01
Дисконтированный доход = -(-150)+32,01 = 182,01
Готовый результат 182,01 в одной клетке дает табличная формула
=NPV(10%;C4:C11), вызывающая специальную финансовую функцию со ссылкой на
норму дисконтирования _("Ставка") и табличные координаты блока значений
("Значения1".,..)элементов денежного потока, расположенных в хронологическом
порядке.
В русских версиях MS Excel функция NPV имеет название ЧПС или в НПЗ в
младших версиях.
Рис. 4-4 Диалоговое окно
функции ЧПС()
Необходимо
заметить, что, несмотря на название, функция NPV (ЧПС, НПЗ) вычисляет не
весь чистый, а только дисконтированный доход, то есть Present Value (PV)
денежного потока (на один период назад от первого поступления/выплаты).
Пояснения.
Функция ЧПС() (НПЗ) возвращает величину чистой приведенной стоимости
инвестиции, используя ставку дисконтирования, а также стоимости будущих выплат
(отрицательные значения) и поступлений (положительные значения).
Синтаксис функции: ЧПС(ставка;значение1;значение2; ...)
Ставка — ставка дисконтирования за один период.
Значение1, значение2, ... — от 1 до 29 аргументов, представляющих расходы и
доходы.
Значение1, значение2, ... должны быть равномерно распределены во времени,
выплаты должны осуществляться в конце каждого периода.
Значение1, значение2, ... могут вводится либо в отдельные окна либо списком ( при
этом, порядок ввода значений (либо значений в списке) определяется порядком
поступлений и платежей)
Для вычисления чистого дисконтированного дохода к выражению
=NPV(10%;C4:C11) необходимо добавить отрицательную величину инвестиционных
затрат нулевого периода, записанное в таблице в ячейке В3
=ЧПС(10%;B4:B11)+B3
83
Метод определения чистой текущей стоимости часто используется при оценке
эффективности инвестиций. Он позволяет определить нижнюю границу прибыльности и
использовать ее в качестве критерия при выборе наиболее эффективного проекта.
Положительное значение NPV является показателем того, что проект приносит
чистую прибыль, после покрытия всех связанных с ним расходов
Пример 4-2
Сравним два проекта, денежные потоки которых представлены на рис.6-4 , при
значениях ставки дисконтирования
15%
Рис. 4-5 Исходные данные и
решение примера 4-2
В ячейке “B8” Разместим
формулу ЧПС(), которую
скопируем в ячейку “С8”
Рис. 4-6 Диалоговое окно
функции ЧПС() для Проекта 1
В ячейках “В9” и “С9”
вычисляется значения чистого
дисконтированного дохода для
Проектов 1 и 2.
Выполненные расчеты
показывают целесообразность принятия Проекта 2, не смотря на то, что величины
денежных потоков обоих проектов различаются несущественно.
4.2. СРОК ОКУПАЕМОСТИ
Для анализа эффективности инвестиций часто используется такой показатель, как
срок окупаемости (payback period method) – продолжительность времени, в течение
которого дисконтированные на момент завершения инвестиций прогнозируемые денежные
84
поступления равны сумме инвестиций. Иными словами – это количество лет, необходимых
для компенсации стартовых инвестиций41:
n
m
k
∑ CFk / (1 + r ) = ∑ Z0
k =1
j =1
( 4-3)
Наиболее просто период окупаемости может быть определен как:
nок = Число лет до года окупаемости + (Не
возмещенная стоимость на начало года
окупаемости / Приток наличности в течение
года окупаемости)
( 4-4)
Пример 4-3
Рассчитать срок окупаемости проекта, для которого размер инвестиций составляет 1
млн. руб., а денежные поступления в течение 5 лет будут составлять: 250; 400; 800; 900; 900
тыс. руб. соответственно. Ставка дисконтирования 15%.
Решение.
На листе Excel создадим таблицу, подобную приведенной на рис.4-7
Рис. 4-7 Фрагмент
рабочего листа Excel с
исходными данными и
решением примера 4-3
Рис. 4-8 Фрагмент рабочего листа Excel в режиме отображения формул с
исходными данными и решением примера 6-3
41
По сути дела этот показатель определяет срок, в течение которого инвестиции будут "заморожены",
так как реальный доход от инвестиционного проекта начнет поступать только по истечении периода
окупаемости
85
В ячейках:
C1:G1 размещены номера периодов поступления денежных средств;
C2:G2 размещены величины поступления денежных средств (величины CFk);
C3:G3 размещены формулы дисконтирования поступающих денежных
средств. Например, в ячейке С3 записана формула =C2/((1+15%)^C1),
соответствующая левой части формулы 6-3;
C4:G4 записаны формулы вычисления накопленного в данный период
дисконтированного денежного потока. Например, в ячейке С4 записана
формула =B4+C3 (сумма величины инвестиции и поступивших в этот период
(1) денежных средств), а в ячейке D4 записывается формула =C4+D3 (сумма
величины накопленного дисконтированного потока и поступивших в этот
период (2) денежных средств) и т.д.
Анализируя построенную таблицу легко видеть, что инвестиции полностью
окупаются в интервале между 2 и 3 периодами. Тогда в соответствии с 7-4 период
окупаемости может быть найден как:
=D1+(-D4/E3) =2+480,15/526,01 =2,91 года
Таким образом, период, реально необходимый для возмещения инвестированной
сумы, составит 2,91 года или 2 года и 332 дня.
Период окупаемости может быть также определен, если в ячейку С5 записать
формулу: =ЕСЛИ(C4>0;C1-(B4+C3)/C3;0)42 и скопировать ее в остальные ячейки строки.
4.3. ИНДЕКС РЕНТАБЕЛЬНОСТИ
Индекс рентабельности (benefit-cost ratio, profitability index - PI) показывает,
сколько единиц современной величины денежного потока приходится на единицу
предполагаемых первоначальных затрат. Для расчета показателя используется следующая
формула:
( 4-5)
Если величина критерия PI > 1, то современная стоимость денежного потока проекта
превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной
величины NPV. При этом норма рентабельности превышает заданную и проект следует
принять.
При PI = 1 величина NPV= 0 и инвестиции не приносят дохода.
В случае, если PI < 1, проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности и
его следует отклонить
42
Формула реализует условие: если величина накопленного дисконтированного дохода больше нуля,
то вычисляется период окупаемости как разность величины накопленного дисконтированного дохода в этот
период и разности суммы накопленного дисконтированного дохода в предыдущий период и
дисконтированного денежного потока, отнесенной к величине дисконтированного денежного потока.
86
Применение показателя PI часто бывает полезным в случае, когда существует возможность финансирования нескольких проектов, но при этом
инвестиционный бюджет фирмы ограничен.
Пример 4-4
Фирма рассматривает возможность участия в финансировании шести проектов,
предполагаемые условия реализации которых приведены в таблице рис.1.
Инвестиционный бюджет фирмы равен 250000,00.
Рис. 4-9 Выбор проектов
для инвестирования
Как следует из таблицы ( столбец "Е"), чистая приведенная стоимость всех проектов
(NPV) больше нуля, а индекс рентабельность (PI) больше 1. И, если бы инвестиционный
бюджет фирмы не был ограничен суммой в 250000,00, то все проекты следовало бы
принять. Однако из-за ограниченности бюджета может быть реализован только тот набор
(портфель) проектов, при котором суммарные инвестиции не превышают 250000,00.
Для выбора наиболее привлекательных проектов воспользуемся операцией "Поиск
решения".
В ячейке "Е8"запишем целевую функцию: =СУММПРОИЗВ(B2:B7;E2:E7);
Примечание: в ячейках столбца "В" размещаются результаты выбора проекта: "1" –
проект выбран; "0" – проект отклонен.
в ячейке "В9" запишем формулу ограничений:
=СУММПРОИЗВ(B2:B7;C2:C7);
в диалоговом окне "Поиск решения" выполним необходимые установки:
Рис. 4-10 Диалоговое окно
"Поиск решения"
В результате выполнения
процедуры "Поиск решения"
оказывается оптимальным
инвестирование четырех
проектов:"А", "И", "D" и "Е", при этом суммарная величина NPV составит 121000.
87
Замечание: При оценке привлекательности проекта для инвестиций следует в
большей степени руководствоваться величиной NPV, а не PI.
Внутренняя норма доходности. Функция ЧИСТВНДОХ()43
4.3.1.
Внутренняя норма доходности44 (internal rate of return - IRR) является наиболее
широко используемым критерием эффективности инвестиций.
Под внутренней нормой доходности понимают процентную ставку, при которой
чистая современная стоимость инвестиционного проекта равна нулю.
Внутренняя норма доходности определяется путем решения следующего уравнения:
n
NPV = ∑ потокi i =ЧПС()− I 0 =ЧИСТНЗ() = 0 ( 4-6)
i =0 (1+ ставка )
Нетрудно заметить, что при NPV = 0, современная стоимость проекта (PV) равна по
абсолютной величине первоначальным инвестициям I0, следовательно они окупаются. В
общем случае, чем выше величина IRR, тем больше эффективность инвестиций. На
практике величина IRR сравнивается с заданной нормой дисконта r. При этом если IRR >
r, проект обеспечивает положительную NPV, и доходность, равную IRR – r. Если IRR < r,
то затраты превышают доходы и проект будет убыточным.
Величина IRR может быть найдена:
из формулы ЧИСТНЗ() с использование процедуры "Подбор параметра…"
(подбирается величина ставки, при которой NPV=0;
использованием функции ЧИСТВНДОХ()45
Рис. 4-11 Диалоговое окно
функции ЧИСТВНДОХ()
Пример 4-5
Фирма намерена 1 января 2005г. инвестировать 200 млн. руб. в проект, ожидаемые
доходы по которому в последующие 5 лет составят 40, 60, 80, 90 и 100 млн. руб.
Определите внутреннюю норму дохода по проекту, если поступление доходов
будет производится 1 января каждого года
Оцените экономическую эффективность проекта, если рыночная норма дохода
составляет 10%
43
В том случае, если платежи имеют регулярный характер и даты их поступления не определены, для
вычисления величины IRR может быть использована функция ВНДОХ() (либо функция ВСД в версии Excel
2002,2003, XP
44
В литературе эта величина иногда носит название – средневзвешенная доходность
45
В том случае, если платежи имеют регулярный характер и даты их поступления не определены, для
вычисления величины IRR может быть использована функция ВНДОХ() (либо функция ВСД в версии Excel
2002,2003, XP
88
Решение
Вариант 1. Использование операции "Подбор параметра…" для определения
величины IRR
В ячейках "В3" и "С3" размещается формула вычисления чистого
дисконтированного потока =ЧИСТНЗ(10%;B2:G2;B1:G1)т и
=ЧИСТНЗ(C4;B2:G2;B1:G1), соответственно
установите курсор в ячейку "С3" и выполните команду СЕРВИС
Подбор
параметра...;
Рис. 4-12 Диалоговое окно «Подбор
параметра»
в открывшемся диалоговом окне сделайте
необходимые установки:
"Установить в ячейке" - $C$3;
"Значение" - 0;
"Изменяя значение ячейки" $C$5.
После щелчка на кнопке "ОК" в ячейку С5 будет возвращено найденное значение
IRR =20.94%
Вариант 2. Использование функции ЧИСТВНДОХ()
В ячейку "С6" введите формулу =ЧИСТВНДОХ(B2:G2;B1:G1), возвращающую
значение IRR=20,94%
Таким образом, при рыночной ставке дисконта менее 24% инвестирование
проекта – целесообразно.
4.3.2.
Модифицированная внутренняя норма доходности. Функция МСВД()
В отличие от NPV, критерий внутренней нормы доходности (IRR) неявно
предполагает реинвестирование получаемых доходов по ставке IRR. Если
финансирование проекта в рассмотренной выше задаче осуществляется за счет банковской
ссуды под 10% годовых, то получаемые в процессе его реализации доходы должны быть
реинвестированы по ставке 24,94% годовых, т.е. в 2,5 раза превышающей ставку по
долгосрочным кредитам! Очевидно, что это вряд ли осуществимо в реальной практике.
89
Для корректного учета предположения о реинвестировании в ППП EXCEL
реализована функция МВСД().
Функция МВСД() вычисляет вычислить модифицированную внутреннюю норму
доходности (modified internal rate of return - MIRR) при заданной ставке реинвестирования .
Пример 4-6
Предположим, что в задаче 4.5 имеется возможность реинвестирования получаемых
доходов по ставке 8% годовых. Определить модифицированную норму доходности.
Решение
Модифицированная внутренняя норма доходности составит:
=МВСД(B2:G2;10%;8%) =16,02%
Рис. 4-13 Диалоговое окно
функции МСВД (MIRR)
Нетрудно заметить, что
полученная модифицированная
норма рентабельности ниже предыдущей, однако выше заданной, поэтому даже при
пессимистичной оценке реальных условий проект можно считать прибыльным.
4.4. ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА С
ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПЕРИОДАМИ ПОСТУПЛЕНИЯ ПЛАТЕЖЕЙ
В том случае, если поступления (оттоки) денежных средств происходят в
произвольные периоды времени), то для расчета величины чистого дисконтированного
дохода может быть использована функция Excel ЧИСТНЗ().
Рис. 4-14 Диалоговое окно
функции ЧИСТНЗ()
90
Ставка
Значения
Даты
это ставка дисконтирования, применяемая к
денежным потокам.
это ряд денежных потоков, соответствующий
графику платежей приведенной в аргументе даты.
Первый платеж является необязательным и
соответствует выплате в начале инвестиции.
Если первое значение является выплатой, оно
должно быть отрицательным.
Все последующие выплаты дисконтируются на
основе 365-дневного года.
Ряд значений должен содержать по крайней
мере одно положительное и одно отрицательное
значения.
это расписание дат платежей, которое
соответствует ряду денежных потоков.
Первая дата означает начальную величину в
графике платежей. Все другие даты должны быть
позже этой даты, но могут идти в произвольном
порядке..
Пример 4-7
1 июля 2003 года была сделана инвестиция в проект в размере 10000 тыс. рублей
В результате реализации проекта ожидается получение прибыли:15 сентября 2003 г.
– 2750 тыс. руб.; 1 ноября 2003г. -4250 тыс. руб. и 1 января 2004г. – 5250 тыс. руб.
Норма дисконтирования 9%
Необходимо определить чистую текущую стоимость инвестиции на 1 июля 2003г..и
на 1 июля 2002г
Решение.
На листе Excel создайте таблицу, подобную приведенной на рисунке.
Рис. 4-15 Исходные данные примера
Вызовите функцию ЧИСТНЗ(), расположенную в категории функций
«Финансовые» и введите в диалоговое окно этой функции необходимые аргументы:
Рис. 4-16 Диалоговое
окно функции ЧИСТНЗ()
91
в поле "Ставка" вводится величина нормы дисконтирования (9%);
в поле "Значения" вводятся адреса диапазона ячеек, содержащих значения расходов
и доходов;
в поле "Даты" вводятся адреса диапазона ячеек, содержащих значения дат
поступления расходов и доходов;
После щелчка на кнопке "ОК" будет получено значение чистой текущей стоимости
инвестиции, приведенное к 1 июля 2003г. = 1781,452. руб. Формула вычисления
чистой приведенной стоимости будет иметь вид:
=ЧИСТНЗ(9%;B2:E2;B1:E1)
Чистая текущая стоимость инвестиции на 1 июля 2002 составит = 1634,359 тыс.
руб., при этом формула будет иметь вид:
=ЧИСТНЗ(9%;A2:E2;A1:E1).
4.5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Функция ЧПС()
Задание 4-1
Затраты по проекту в начальный момент его реализации составляют 50000 руб., а
ожидаемые доходы за первые пять лет : 3000; 5000; 8000; 12000; 13500. На шестой год
реализации проекта ожидаются убытки в 5000 руб. Цена капитала – 10% годовых.
Рассчитайте текущую стоимость проекта.
Ответ: -23 311.66р.
Пояснение: Обратите внимание на то, что в задании сказано, что «затраты по проекту
были произведены в начальный момент его реализации». Т.е., в этом случае, произведенные
затраты не дисконтируются и должны быть добавлены к полученной величине текущей
стоимости проекта =ЧПС(10%;B25:B30+(-50000), г де в ячейки таблицы записаны исходные
данные.
Задание 4-2
Рассмотрим инвестиции, которые начинаются в начале первого периода.
Вы намерены приобрести обувной магазин.
Стоимость предприятия - 40 000 руб.
a) Вы ожидаете получить следующие доходы за первые пять лет: 8 000 руб.,
руб., 10 000 руб., 12 000 руб. и 14 500 руб.
9 200
Годовая учетная ставка равна 8%..
Рассчитайте текущую стоимость проекта
б) На шестой год работы магазина случилось непредвиденное и магазин потерпел
убытки в размере 9000 руб.
Рассчитайте текущую стоимость проекта
Ответ:
а) 1922,06р
б) -3 749.47р.
Задание 4-3
Определите эффективность предполагаемой инвестиции размером 250 млн. руб., если
ожидаемые ежемесячные доходы за первые пять месяцев составят соответственно: 25 35, 50, 90
и 120млн. руб. Издержки привлечения капитала составят 10.5%.
92
инвестиции
Эффективность
Выполните анализ: как зависит эффективность предполагаемой инвестиции от:
а) величины издержек капитала ( от 5% до 20 %)
б) размера инвестиции при издержках привлечения капитала 10.5%
в) величины издержек капитала ( от 5% до 20 %) и размеров инвестиций (от 50 до 300 млн.
руб.)
Зависимость эффективности инвестици от
величины издерж ек капиталла
Перенесите созданные таблицы и
диаграммы в документ Word и сделайте
65
выводы об эффективности инвестиций
60
в различных случаях
55
50
Ответ:
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
а) 59.69 млн. руб..
Издерж ки капиталла (%)
инвестиций
Эффективность
Зависимость эффе ктивности инве стиции от
величины влож енного капиталла
-400
-300
-200
-100
300
250
200
150
100
50
0
-50 0
-100
влож е нный капиталл
Зависимость эффективности
инвестиций от величины
вложенного капиталлаи ставки
дисконтирования
300
Эффективность
инвестиций
250
200
150
250-300
100
200-250
50
150-200
20.00%
0
12.50%
-350
питалл
-250
нный
ка
-300
-150
В ложе
-200
-50
-100
-50
5.00%
Ставка
дисконтирован
ия
100-150
50-100
0-50
-50-0
Функция ЧИСТНЗ()
Задание 4-4
Определите чистую текущую стоимость проекта на 1.01.2005г., затраты по
которому на 20.12.2005 составят 100 млн. руб. Ставка банка 12%.
Ожидается, что за первые полгода 2006 года проект принесет следующие доходы:
Поступления
Дата
(млн. руб)
01.03.2006
18
15.04.2006
40
30.06.2006
51
Ответ: 3.8 млн. руб.
Задание 4-5
Определите чистую текущую стоимость инвестиции, если 27 декабря 2003г
предполагается выплата 5млн. руб., ставка банка 10% и поступления составят
соответственно:
Поступления
Дата
(млн. руб)
20.06.2006
1
93
12.12.2006
3.8
17.07.2006
4.6
Ответ 2.26 млн. руб.
Задание 4-6
В таблице приведены данные о поступлении денежных средств от реализации
проекта, в который в конце декабря 2004 г было вложено 10 млн. руб. Ставка
дисконтирования 10%
Определите, какие поступления должны были быть 01.09.2005 с тем, чтобы доход
от реализации проекта составил 1 млн. руб.
Поступлениия
Дата
(млн. руб)
30.12.2004
-10
01.03.2005
2
01.06.2005
-3
01.09.2005
0
01.12.2005
2
Ответ: 10.75 млн. руб.
Функция ВСД() [ВНДОХ()]
Задание 4-7
Определите внутреннюю норму дохода по проекту, затраты по которому составили
200 тыс. руб., а ожидаемые доходы в последующие пять лет составят соответственно 40, 60,
80, 90 и 100 тыс. рублей.
Оцените экономическую эффективность проекта, если рыночная норма дохода
составляет 10%
Ответ:
20,9%. Проект рентабелен
Задание 4-8
а),Определите, какими должны быть инвестиции в проект, чтобы обеспечить
следующие доходы 20, 50,60,80 и 10 млн. руб., при норме дохода по проекту 9%
б) Постройте диаграмму, иллюстрирующую зависимость внутренней нормы
доходности в зависимости от величины первоначальных инвестиций в проект.
г) Используя построенную диаграмму определите величину инвестиций,
обеспечивающих рентабельность проекта, при норме дохода по проекту 12.5%
Ответ: а) -169.97млн. руб.
б)
Внутренняя
норма
доходности
инвестиций
г) 155млн. руб.
Зависимость внутренней нормы доходности
инвестиций в зависимрости от величины
первоначальной инвестиции
75.00%
50.00%
25.00%
-250
-200
-150
Инвестиции
-100
0.00%
-50
-25.00%
94
Функция ЧИСТВНДОХ()
Задание 4-9
Фирма, предполагая внедрение новой технологии, намерена инвестировать ее
внедрение 01.01.2002 г в сумме 10000 тыс. руб. При этом, предполагается , что ее
внедрение даст доходы:
3 марта 2002 г - 2750 тыс. руб.
30 октября 2002г – 4250 тыс. руб.
15 февраля 2003г. – 3250 тыс. руб.
1 апреля 2003г - 2750 тыс. руб.
Определите внутреннюю скорость оборота и оцените целесообразность
выполнения проекта.
Оцените, как оптимально запланировать величины денежных поступлений в
указанные сроки с тем, чтобы внутренняя скорость оборота была на 5% выше рыночной
нормы дохода, равной 15%.
дата
планируемый
Ответ:
поступлений доход
а) Проект рентабелен, если рыночная норма дохода
03.03.2002
2340.03
ниже 37%
30.10.2002
3913.03
б) Возможный вариант оптимальных инвестиций:
15.02.2003
2949.98
Примечание: При решении задания б) используйте
01.04.2003
2461.92
опрацию «Поиск решения»
Задание 4-10
Рассчитайте внутреннюю скорость оборота инвестиции, если выплата 400тыс. руб.
произведенная 23/04/2003 . принесет доходы 28/11/2003 – 149 тыс. руб.; 20/05/2004 -180 тыс.
руб.; 01/01/2005 -150 тыс. руб.
Ответ: 17.68%
16.50%
оборота
модифицированная
внутренняя скорость
Функция МСВД()
Задание 4-11
а) Используя данные предыдущего примера исследуйте как зависит
модифицированная внутренняя скорость оборота от величины ставки рефинансирования.
б) При какой величине ставки рефинансирования проект становиться экономически
целесообразным, еслим рыночная норма дохода составляет 13%?
Ответ:
Заисимость модифицированной внутренней
а)
скорости оборота от ставки рефинансирования
б) 14%
14.00%
11.50%
9.00%
5%
10%
15%
20%
ставка рефинансирования
Задание 4-12
Для приобретения предприятия была взята ссуда в размере 300 млн. руб. под 12%
годовых на три года. За эти три года предприятие принесло следующие доходы: 70, 100, 120
млн. руб. Эти деньги были реинвестированы под 17% годовых.
95
Рассчитайте модифицированную внутреннюю норму дохода
Ответ 3,52%
Задание 4-13
Доходы по проекту в течение последующих 4 лет составят: 50000, 100000, 300000,
200000, которые рефинансируются под 12.5%
Определите, какая сумма должна быть взята в банке под 10% годовых, чтобы
модифицированная скорость оборота вложенных средств составила 10%.
Ответ: 498832
Задание 4-14
Сравните два проекта, денежные потоки которых представлены в таблице 7-1, при
значениях ставки сравнения 19% , 21% и 24%.
Какой из проектов рентабелен при норме дисконтирования 21%?
Подберите такое значение нормы дисконтирования, при которой чистый
дисконтированный доход второго проекта равен нулю.
Определите величину начальной инвестиции с тем, чтобы чистый
дисконтированный доход второго проекта был равен нулю, при ставке дисконтирования
19%;
Определите оптимальные значения величин денежных потоков, в каждый период
времени при ставке дисконтирования 19%, обеспечивающих индекс рентабельности
100%.(для решения задачи используйте операцию "Поиск решения").
Таблица 4-1
Проект 1
Проект 2
Инвестиции 0 года
-1000
-1000
Доход 1 года
200
200
Доход 2 года
300
400
Доход 3 года
600
700
Доход 4 года
500
400
Доход 5 года
100
0
Задание 4-15
Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость
которого вместе с доставкой и установкой составит 100000. Ожидается, что внедрение
оборудования обеспечит получение на протяжении 6 лет чистых доходов в 25000, 30000,
35000, 40000, 45000 и 50000 соответственно. Принятая норма дисконта равна 10%.
Определить экономическую эффективность проекта.
Ответ: NPV =36847.83
PI= 1.37
Задание 4-16
При планировании капитальных вложений менеджер сталкивается с проблемой
выборы инвестиционных проектов, учитывая то, что каждый из них требует определенных
материальных затрат и приносит определенный доход.
96
Имеется четыре независимых проекта, рассчитанных на 3 года. Данные по
требуемым финансовым ресурсам, их наличию и чистой текущей стоимости доходов (NVP)
приведены в таблице.
Определить, инвестиции
каких проектов позволят
получить наибольшее значение
NVP.
Примечание:
1.Будем полагать, что:
если Хi = 1, то проект целесообразно инвестировать;
если Хi = 0, то проект инвестировать не целесообразно
2. Для решения задачи используйте операцию "Поиск решения".
Ответ: целесообразно выбрать 1 и 4 проекты
Задание 4-17
Определите чистую текущую стоимость проекта на 1.01.2003г., затраты по
которому на 20.12.2003 составят 100 млн. руб.
Ожидается, что за первые полгода 2004 года проект принесет следующие доходы:
На 01.03.2004
18млн. руб.
На 15.04.2004
40млн. руб
На 30.06.2004
51млн. руб.
Норма дисконтирования 10%
Ответ: 4,95млн. руб.
Задание 4-18
Рассмотрим инвестиции, которые начинаются в начале первого периода.
Вы намерены приобрести обувной магазин.
Стоимость предприятия - 40 000 руб.
a) Вы ожидаете получить следующие доходы за первые пять лет: 8 000 руб., 9 200
руб., 10 000 руб., 12 000 руб. и 14 500 руб.
Годовая учетная ставка равна 8%..
Рассчитайте чистую текущую стоимость проекта;
Определите величину ставки внутренней доходности;
Определите, при какой ставке рефинансирования проект будет безубыточным
б) На шестой год работы магазина случилось непредвиденное и магазин потерпел
убытки в размере 9000 руб.
Рассчитайте чистую текущую стоимость проекта
Определите величину ставки внутренней доходности
Определите при какой ставке рефинансирования проект будет безубыточным
Ответ:
а) NPV =1922,06р; IRR =9.635%; ставка рефинансирования =9,636%
б) NPV = -3749,47р.; IRR=4.14%, ставка рефинансирования =14.7%.
Задание 4-19
Пять лет назад была взята ссуда в размере 1 млн.
руб. под 10% годовых для финансирования проекта,
прибыль по которому за эти годы составила 100, 270,
450, 340, и 300 тыс. руб. Эти деньги были
реинвестированы под 12% годовых.
97
а) Найти модифицированную внутреннюю скорость оборота инвестиций
б) исследуйте как зависит модифицированная внутренняя скорость оборота от
величины ставки рефинансирования.
в) При какой величине ставки рефинансирования реализация проекта становится
безубыточной, если рыночная норма дохода составляет 13%?
Ответ: а) 12,25%
в) 14,02%
Задание 4-20
Доходы по проекту в течение последующих 4 лет составят: 50000, 100000, 300000,
200000, которые рефинансируются под 12.5%
Определите, какая сумма должна быть взята в банке под 10% годовых, чтобы
модифицированная скорость оборота вложенных средств составила 10%.
Ответ: 498832
Задание 4-21
Определите чистую текущую стоимость инвестиции, если 27 декабря 2003г
предполагается выплата 5млн. руб., и поступления составят соответственно:
На 20.06.2004
1млн. руб.
На 12.12.2004
3,8млн. руб.
На 17.07.2005
4,6млн. руб.
Норма дисконтирования 10%
Ответ: 3,388
Задание 4-22
Определите чистую текущую стоимость проекта на 1.01.2003г., затраты по
которому на 20.12.2003 составят 100 млн. руб.
Ожидается, что за первые полгода 2004 года проект принесет следующие доходы:
На 01.03.2004
18млн. руб.
На 15.04.2004
40млн. руб
На 30.06.2004
51млн. руб.
Норма дисконтирования 10%
Ответ: 4,95млн. руб.
Задание 4-23
Вложение на дату 12/03/2003 суммы в 100,00 обеспечивает получение 02/07/2004
суммы в 50,00 и 23/08/2004 суммы в 70,00.
Определите эффективность операции при норме дисконта в 10%. Ответ; 5,085
Постройте диаграммы, иллюстрирующие эффективность операции в зависимости:
а) от нормы дисконта ( в диапазоне от 5 до 25%);
б) величины первоначальных инвестиций ( в диапазоне от 50 до 250 млн. руб.) при
ставке дисконта 15%
20
10
0
-100,05
-20
100
NPV
MIRR
Ответ:
0,1
0,15
0,2
0,25
-250
-150
0
-50-100
-200
ставка дисконт.
Инвестиции
50
98
Задание 4-24
Фирма, предполагая внедрение новой технологии, намерена инвестировать ее
внедрение 01.01.2002 г в сумме 10000 тыс. руб. При этом, предполагается , что ее
внедрение даст доходы:
3 марта 2002 г - 2750 тыс. руб.
30 октября 2002г – 4250 тыс. руб.
15 февраля 2003г. – 3250 тыс. руб.
1 апреля 2003г - 2750 тыс. руб.
Определите внутреннюю скорость оборота и оцените целесообразность
выполнения проекта.
Оцените, как оптимально запланировать величины денежных поступлений в
указанные сроки с тем, чтобы внутренняя скорость оборота была на 5% выше рыночной
нормы дохода, равной 15%.
Ответ:
а) Проект рентабелен, если рыночная норма дохода ниже 37%
б) Возможный вариант оптимальных
дата
планируемый
инвестиций:
поступлений доход
Примечание: При решении задания б)
03.03.2002
2340.03
используйте операцию «Поиск решения»
30.10.2002
3913.03
15.02.2003
2949.98
01.04.2003
2461.92
99
5. ЛИТЕРАТУРА
1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1998.
2. Додж М., Кината К., Стинсон К. Эффективная работа с Microsoft Excel 97. СПб, 2000.
3. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: Приор, 2000.
4. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Excel 2000. Киев., 2000.
5. Кирлица В.П. Практикум по финансово-экономическим расчетам. Учебное пособие.Белгосуниверситет. 1998.
6. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика,
2001. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: Финансы и
статистика, 2001.
7. Коптева Н.В., Семенов С.П. Финансовая математика. Алтайский Госуниверситет. 2003
8. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных,
инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М.: Дело, 1998.
9. Лавру шина Е.Г., Молчанова Л. А. Модели финансовой математики. Владивосток. Издво Дальневост. ун-та, 2006
10. Лукасевич И.Я. Анализ операций с ценными бумагами с Microsoft Excel. http://www.cfin.ru/finanalysis/inexcel
11. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: Юнити-Дана, 1999.
12. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики. Учебное пособие.2003.
http://anubis.bsu.by/publications/elresources/AppliedMathematics/medvedev1.pdf
13. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям.
М.: Инфра-М, 1996.
14. Овчаренко Е.К., Ильина О.П., Балыбердин Е.В. Финансово-экономические расчеты в
Excel. М., 1999;
15. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов. М.: Финансы
и статистика, 1998.
16. Смирнова Е.Ю. Техника финансовых вычислений на Excel.
17. Сюдсэтер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов. СПб.,
2000.
18. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. -М.:
Финансы и статистика, 2005.
19. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2001.
100
6. ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ
РАБОТЫ В MS EXCEL
При запуске программы Excel пользователю обычно предлагается для заполнения
данными новый пустой документ, размешенный в оперативной памяти компьютера, со
стандартным именем Книга1(Book1), состоящий из 16 рабочих листов, разграфленных в
виде таблицы на 16384 строки и 256 столбцов, стандартная ширина каждой клетки равна 9
символам. Экран компьютера в начале стандартного сеанса работы программы выглядит
как на рис. 4-1.
Осн
овное меню
Пиктогра
фическое меню
Строка
мена
Активная
ячейка (адрес
Номе
Ли
нейки
Ярлычки
листов Рабочей
Рис. 6-1 Вид окна (программы (обработки)) электронных таблиц Excel при запуске.
Исходное положение указателя текущей клетки внутри видимой на экране части
таблицы – пересечение первой строки и первого столбца, это клетка с адресом A146 в
одноименном стиле ссылок.
46
В ряде случаев используется альтернативный стиль ссылок на ячейки рабочего листа, когда
столбцы также нумеруются, а номер строки указывается в первую очередь, Перейти к альтернативному
стилю адресации ячеек можно выполнив команду СЕРВИС
ПАРАМЕТРЫ, выбрав в ее диалоговом окне
на вкладке «Общие» в группе «Стиль ссылок» позицию переключателя R1C1. Тогда первая клетка (ячейка)
рабочего листа так и будет именоваться R1C1, от английского Row1Column1 (ряд первый, колонка первая).
101
6.1.1.
Перемещение по рабочему листу
Движение указателя по табличному полю рабочего листа необходимо для выбора
заполняемых, редактируемых, форматируемых или просматриваемых пользователем ячеек.
Выбранная указателем ячейка называется выделенным диапазоном. Выделение диапазона
ячеек, с которыми необходимо произвести те или иные действия, предшествует
выполнению большинства команд и задач.
Для выделения прямоугольного диапазона ячеек:
сделайте текущей (активной)клеткой один из его будущих углов,
поместите указатель мыши внутрь рамки выделения клетки (он должен иметь при
этом форму толстого белого плюса),
удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещайте ее, при этом выделяемый
блок клеток будет закрашиваться цветом, контрастным к основному фону таблицы. При
освобождении нажатой кнопки мыши выделение блока заканчивается.
Для отмены текущего выделения достаточно изменить положение указателя в
таблице.
Непрерывное перемещение указателя в любом направлении инициируется мышью
(выбор позиции фиксируется щелчком), а дискретное – стандартными управляющими
клавишами, назначение большинства из которых дано в табл. 4-1.
Таблица 6-1
Основные клавиши управления положением табличного указателя текущей клетки
Шаг движения
Направление
на одну
клетку
на один экран
до конца блока данных
или границы рабочего
листа
вниз
PageDown
End,затем ↓
вверх
↑
PageUp
End, затем ↑
направо
удерживая Ctrl,
нажать →
End, затем →
налево
удерживая Ctrl,
нажать ←
End, затем ←
Для быстрого перехода («прыжка») в клетку с явно заданным адресом используется
клавиша F5, при нажатии которой открывается диалоговое окно «Переход»
Переход на другие листы табличной книги достигается щелчком мыши по
ярлычкам, либо парными комбинациями служебных клавиш: Ctrl+PageUp и/или
Ctrl+PageDown.
Переименование рабочего листа инициируется двойным щелчком левой кнопки
мыши по ярлычку, после чего можно вводить новое имя.
Для записи нового документа в виде файла электронной таблицы на диск
СОХРАНИТЬ КАК..., в диалоговом окне необходимо
используется команда ФАЙЛ
выбрать нужную папку на диске, а также имя и тип создаваемого файла. Для таблиц
Microsoft Excel по умолчанию предусмотрено расширение *.XLS
102
6.1.2.
Основные правила ввода данных в ячейку таблицы
Данные вводятся на рабочий лист электронной таблицы порциями, обычно
последовательно вводят информацию в несколько соседних ячеек, поочередно заполняя
каждую из них. При нажатии пользователем алфавитно-цифровой клавиши текущая клетка
таблицы автоматически переходит в режим ввода, готовясь принять данные, распознать их
тип, хранить полученное значение и выводить его в заданном формате.
Для ввода данных необходимо:
сделать заполняемую клетку текущей (перевести туда рамку указателя);
набрать последовательность символов на клавиатуре, при этом вводимая строка в
Excel отображается и в заполняемой клетке, и над полем таблицы в строке формул;
закончить ввод нажатием клавиши ввода Enter (↵), либо щелчком мыши по
заменяющей ее экранной кнопке с изображением зеленой галочки (символ a ),
расположенной в режиме ввода над полем рабочего листа в левой части строки ввода.
Для исправления допущенных при наборе опечаток после выхода из режима
ввода можно
повторить ввод данных в ту же клетку;
отредактировать содержимое ячейки в строке формул
отредактировать содержимое текущей клетки, дважды щелкнув по ней мышью,
или нажав клавишу F2.
Отменить незаконченный ввод можно клавишей Esc, или экранной кнопкой с
красным крестиком (символr ) в строке ввода (строке формул).
Если данные набраны правильно, но введены ошибочно не в ту клетку, их можно
перенести:
методом перетаскивания: подведя снизу указатель мыши к рамке выделенной
ячейки с данными (он должен принять форму толстой белой стрелки), нажать левую кнопку
и, удерживая ее, перемещать манипулятор, ориентируясь на пунктирную рамку положения
клетки, принимающей перенос.
Выполнив команды ВЫРЕЗАТЬ и ВСТАВИТЬ
Для полной очистки текущей клетки от ранее введенной информации
нажимайте клавишу Delete.
В зависимости от состава вводимой информации, и особенно от её первого символа
(префикса) данных электронные таблицы автоматически относят их после ввода к одному
из двух типов: константа или формула. Табличные формулы начинаются с префикса и
могут состоять из:
числовых констант,
знаков действий и скобок,
адресов и/или имен табличных диапазонов и отдельных клеток,
имен встроенных функций.
Префиксом формулы, с которого х обязательно начинается ее ввод служит символ
«=»
103
При вводе последовательности символов, не начинающейся с префикса формулы,
данные интерпретируется программой как константа – число, дата или текст.
Числовое выражение может состоять только из цифр, знаков "плюс", "минус"
круглых и фигурных скобок и некоторых других знаков, предусмотренных дробным,
процентным, экспоненциальным, денежным и финансовым форматами.
Даты хранятся как целые числа, хотя формат их записи больше похож на текст.
Текстом являются любые данные, которые программе не удается распознать как
число или формулу, в том числе и данные, подразумеваемые как числа и формулы, при
вводе которых были допущены ошибки.
Текст при вводе выравнивается по левому краю ячейки, а даты, числа и формулы по правому. Если формат вывода значения числового выражения (константы или
результата формулы) не помещается на экране в ширину клетки, то вместо него для
привлечения внимания пользователя выводится "заборчик" знаков нумерации «########».
Если же в ширину столбца не укладывается текст, а ячейка справа по строке уже занята, то
окончание длинного текста усекается.
6.1.3.
Подбор параметра
Зачастую Вы знаете тот результат, который нужно получить с помощью вычисления
по формуле , однако, входное значение , необходимое для получения этого результата , Вам
не известно. Перебор возможных значений этого параметра (подгонка результата)
достаточно утомительное и трудоемкое занятие.
Чтобы решить эту задачу, целесообразно воспользоваться заложенным в Excel
средством подбора параметра. Excel варьирует значение в заданной ячейке до тех пор,
пока вычисление по формуле, зависящей от этой ячейки, не даст желаемый результат.
Когда следует применять подбор параметра
Для того, чтобы найти определенное значение для какой – либо ячейки путем
подбора значения другой отдельной ячейки необходимо воспользоваться командой
СЕРВИС⇒ПОДБОР ПАРАМЕТРА
Как применять команду ПОДБОР ПАРАМЕТРА
Для того чтобы найти определенное значение, удовлетворяющее формуле:
Выделите ячейку, которая содержит эту формулу
Выполните команду СЕРВИС⇒ПОДБОР ПАРАМЕРА
Рассмотрим работу этой команды на примере.
Пример 6-1
В таблице приведена калькуляция, в которой отражены расходы и доходы от
реализации некоторой
продукции.
Зададимся целью
получить прибыль 50
млн. рублей.
Каким образом
это можно сделать?
104
Рис. 6-2 Рабочий лист Excel с исходными данными примера
Очевидно, можно попытаться увеличить количество реализованной продукции,
снизить уровень накладных расходов, величину валовых издержек и др.
Проще всего - поднять цену на единицу продукции (чаще всего незадачливые
предприниматели именно так и поступают).
Выполним команду СЕРВИС⇒ПОДБОР ПАРАМЕТРА...
Рис. 6-3. Диалоговое окно
«Подбор параметра...»
В открывшемся диалоговом окне
«Подбор параметра»
в качестве целевой ячейки укажем адрес ячейки, содержащей значение прибыли от
продажи,
в поле «Значение» - укажем желаемую сумму прибыли,
в поле «Изменяя значение ячейки» - укажем адрес ячейки, содержащей цену
изделия.
Щелкнем на кнопке «ОК», начав тем самым процесс подбора параметра
Рис. 6-4. Результат выполнения подбора параметра
Если же Ваши конкуренты выпустили подобную продукцию по более низкой цене,
то, очевидно, придется менять тактику и снижать, например, себестоимость и повторять
105
процедуру подбора параметра, для определения величины необходимого снижения
себестоимости.
Правила подбора параметра
В окна «Установить в ячейке» и «Изменяя ячейку» можно вводить как ссылки на
ячейки, так и их имена
Изменяемая ячейка должна содержать значение, от которого прямо или косвенно
зависит формула, указанная в окне «Установить в ячейке»
Изменяемая ячейка не должна содержать формулу
Когда подбор параметра завершен, Excel выводит результаты на рабочий лист и в
окно «Состояние параметра».
Для сохранения полученных результатов нажмите кнопку «ОК»
Для восстановления исходных значений нажмите кнопку «Отмена»
Если Вы решили сохранить найденное решение на рабочем листе, а затем
передумали, выберите в меню ПРАВКА команду ОТМЕНИТЬ ПОДБОР ПАРАМЕТРА
сразу же после завершения операции подбора параметра
6.1.4.
Диспетчер сценариев
Очень часто оказывается интересным сохранить различные варианты решения
задачи с тем, чтобы потом выбрать наиболее приемлемый вариант. Либо представить их в
виде структурной или сводной таблицы для последующего анализа.
MS Excel позволяет создавать и сохранять в виде сценариев наборы входных
значений, приводящих к различным результатам .
Сценарий – это множество входных значений, называемых изменяемыми
ячейками, которое сохраняется под указанным Вами именем. Каждому набору изменяемых
ячеек соответствует набор предположений «Что –если…47», который Вы применяете к
модели рабочего листа, чтобы проследить, как значения изменяемых ячеек влияют на
другие значения модели.
Для каждого сценария может быть задано до 32 изменяемых ячеек.
Диспетчер сценариев позволяет выполнять следующее:
Создавать составные сценарии с множеством наборов изменяемых ячеек.
Просматривать результаты примения каждого сценария на рабочем листе
Создавать итоговый отчет по всем входным значениям и результатам.
Объединять сценарии из одной руппы в единую модель сценариев
Защищать сценарии от их изменения и скрывать их
Ослеживать модификации с помощью автоматического ведения истории сценария.
Сценарии удобно применять в тех случаях, когда необходимо исследовать модель
«Что-если…» с неопределенными переменными.
Предположим, Вы намерены составить бюджет на следующий год, не имея точной
информации о размере годового дохода. С помощью диспетчера сценариев Вы
сформируете разные сценарии, выполните для них анализ «Что-если…» и сохраните эти
сценарии вместе с моделью..
Рассмотрим построение сценариев на примере.
47 Ниже будет подробно рассмотрен ситуационный анализ «Что – если…»
106
Пример 6-2
В таблице приведены данные о
деятельности предприятия
Рис. 6-5 Таблица расчета
прибыли предприятия (учтены только переменные издержки) в зависимости от цены на
изделие и количества выпускаемых изделий.
Используя данные таблицы и команду СЕРВИС⇒СЦЕНАРИИ, проанализируем,
как повлияет изменение стоимости единицы изделия на величину прибыли и величину
расходов на изготовление изделия. Расчеты произведем для стоимостей изделия 5, 7.5,10,
12.5 и 15 рублей.
Решение
Выполните команду СЕРВИС⇒СЦЕНАРИИ
В открывшемся диалоговом окне щелкните на кнопке «Добавить»
Во вновь открывшемся диалоговом окне «Добавление сценария» введите:
в окно "Название сценария" введите его название, например «Вариант 1»
в окно «Изменяемые ячейки» введите адрес ячейки, значение которой Вы будете
изменять при работе по сценарию (в нашем случае это адрес ячейки, содержащей цену
изделия)
в окно «Примечание» введите поясняющий текст, например «Влияние цены на
прибыль и расходы на изготовление изделия»
Щелкните на кнопке ОК
В открывшемся окне «Значение ячеек сценария» введите значение изменяемой
ячейки (5)
Щелкните на кнопке «Добавить»
Во вновь открывшемся диалоговом окне «Добавление сценария» повторите
вышеописанные действия, последовательно вводя в окно новые значения изменяемой
ячейки.
После ввода последнего значения изменяемой ячейки, щелкните на кнопке ОК
В открывшемся окне «Диспетчер сценариев» щелкните на кнопке «Отчет» ( при
необходимости изменения расчетов по какому-либо сценарию, выделите его и щелкните на
кнопке «Изменить»)
107
Рис. 6-6. Диалоговые окна диспетчера сценариев
В открывшемся окне «Отчет по сценарию»
выберите:
Тип отчета (например, структура)
В окне «Ячейки результата» введите адреса
ячеек, результаты расчетов которых будут включены в
отчет (например, В5 (Расходы) и В10 (прибыль))
Щелкните на кнопке ОК
Отредактируйте отчет:
Удалите столбец D
Измените ширину столбцов
Постройте на отдельном листе диаграмму
(график) иллюстрирующую зависимость величины
прибыли и расходов от цены изделия
Отредактируйте построенную диаграмму таким
образом, чтобы она имела вид подобный, показанному
на рисунке
Зависимость величины прибыли и расходов от цены на изделие
120 000.0р.
13.8р.
100 000.0р.
14.0р.
90 000.0р.
прибыль
12.0р.
11.0р.
80 000.0р.
прибыль
16.0р.
112 500.0р.
10.0р.
67 500.0р.
8.3р.
60 000.0р.
Расходы
8.0р.
45 000.0р.
6.0р.
5.5р.
40 000.0р.
4.0р.
22 500.0р.
20 000.0р.
2.8р.
2.0р.
0.0р.
0.0р.
0.0р.
5.0р.
10.0р.
15.0р.
20.0р.
25.0р.
30.0р.
цена
6.1.5.
Таблица подстановки
Для введенных на рабочий лист формул можно выполнить анализ «Что – если»,
позволяющий проследить, как изменение определенных значений в формулах влияет на
результаты вычислений по этим формулам.
расходы
Рис. 6-7 Отчет и диаграмма, построенные по
сценариям
108
Анализ «Что – если» выполняется при помощи таблицы данных – интервала ячеек
,в котором выводятся результаты подстановки различных значений в одну или несколько
формул.
Таблица данных позволяет:
Быстро вычислить несколько итераций для одной операции
Просмотреть и сравнить на рабочем листе результаты всех возможных подстановок.
Существует два типа таблиц данных:
Таблица данных с одним входом. Вы вводите разные значения для одной
переменной и наблюдаете их влияние на результат вычисления одной или нескольких
формул
Таблица данных с двумя входами. Вы вводите разные значения для двух
переменных и наблюдаете их влияние на результат вычисления одной формулы.
Наиболее часто в практике финансового анализа используется табица подстановок с
одним входом.
Как использовать таблицу данных с одним входом
С помощью таблицы данных с одним входом Вы проследите, как изменения одной
переменной влияют на одну или несколько формул.
Пример 6-3
Рассмотрим использование таблицы данных с одним входом на примере расчета
ежемесячных выплат, необходимых для погашения ссуды в размере 200 тыс. руб. взятой на
3 года в при различных процентных ставках.
Для расчета используется функции ППЛАТ48 из категории функции “Финасовые”
Синтаксис функции: ППЛАТ (норма, кпер,нз,бс,тип)
где
норма- годовая процентная ставка (норма дисконтирования0
кпер – общее число периодов выплат
нз – начальная величина займа (или вклада)
бс, тип - не обязательные параметры
РЕШЕНИЕ
На листе Excel постройте таблицу, подобную показанной на рисунке.
ячейках А2:В4 разместите условия задачи
В ячейке В7 разместите формулу: «=ППЛАТ($B$4/12;$B$3*12;$B$2)»
Рис. 6-8 Фрагмент
таблицы Excel для расчета
платежей по займу
48
Напомним, что, начиная с версии Excel 2000, эта формула обозначена как ПЛТ()
109
Обратите внимание на аргументы функции
$B$4/12 – величина месячной процентной ставки (норма)
$B$3*12 – количество периодов выплат для погашения ссуды (кпер)
- величина займа (нз)
$B$2
Выделите диапазон ячеек, содержащий исходные значения процентных ставок и
формулу для расчета – А7:В17
Выполните команду ДАННЫЕ⇒ТАБЛИЦА ПОДСТАНОВОК… На экране
появится диалоговое окно «Таблица подстановок»
Рис. 6-9. Диалоговое окно «Таблица подстановок»
Открывшееся диалоговое окно используется для задания рабочей ячейки на которую
ссылается формула расчета. В нашем примере, это ячейка В4, которую и необходимо
указать в поле «Подставлять значения по строкам в:» диалогового окна в абсолютных
координатах (абсолютная ссылка).
Если исходные данные расположены в строке, то ссылку на рабочую ячейку
необходимо ввести в поле «Подставлять значения по столбцам в»
При нажатии на кнопку «ОК» Excel заполнит столбец, как показано на рисунке.
Если в таблицу необходимо включить большее количество формул,
использующих исходные значения (в нашем примере «Процентные
ставки»), то дополнительные формулы вставляются справа от
существующей в той же строке. Затем необходимо вновь выделить всю
таблицу, включая полученные ранее значения, и заполнить диалоговое окно
команды ДАННЫЕ⇒ТАБЛИЦА ПОДСТАНОВОК.
6.2. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
ПОРЯДКОВЫЕ НОМЕРА
ДНЕЙ В НЕ ВИСОКОСНОМ
ГОДУ
Месяц
День
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
1
1
32
60
91
121 152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122 153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123 154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124 155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125 156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126 157
187
217
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127 158
188
219
250
280
311
341
110
8
8
39
67
98
128 159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129 160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130 161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131 162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132 163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133 164
194
213
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134 165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135 166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136 167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137 168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138 169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139 170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140 171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141 172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142 173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143 174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144 175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145 176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146 177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147 178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148 179
209
240
271
301
332
362
29
29
88
119
149 180
210
241
272
302
333
363
30
30
89
120
150 181
211
242
273
303
334
364
31
31
90
151
212
243
304
365
6.3. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. МНОЖИТЕЛИ НАРАЩЕНИЯ ПО СЛОЖНЫМ
ПРОЦЕНТАМ
Число периодов Ставка процентов за период
5,00%
10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 40,00%
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,4
2
1,1025
1,21
1,3225
1,44
1,5625
1,69
1,96
3
1,157625 1,331
1,520875 1,728
1,953125 2,197
2,744
4
1,215506 1,4641
1,749006 2,0736
2,441406 2,8561
3,8416
5
1,276282 1,61051 2,011357 2,48832 3,051758 3,71293 5,37824
6
1,340096 1,771561 2,313061 2,985984 3,814697 4,826809 7,529536
7
1,4071
1,948717 2,66002 3,583181 4,768372 6,274852 10,54135
111
8
1,477455 2,143589 3,059023 4,299817 5,960464 8,157307 14,75789
9
1,551328 2,357948 3,517876 5,15978 7,450581 10,6045 20,66105
10
1,628895 2,593742 4,045558 6,191736 9,313226 13,78585 28,92547
11
1,710339 2,853117 4,652391 7,430084 11,64153 17,9216 40,49565
12
1,795856 3,138428 5,35025 8,9161
13
1,885649 3,452271 6,152788 10,69932 18,18989 30,28751 79,37148
14
1,979932 3,797498 7,075706 12,83918 22,73737 39,37376 111,1201
15
2,078928 4,177248 8,137062 15,40702 28,42171 51,18589 155,5681
16
2,182875 4,594973 9,357621 18,48843 35,52714 66,54166 217,7953
17
2,292018 5,05447 10,76126 22,18611 44,40892 86,50416 304,9135
18
2,406619 5,559917 12,37545 26,62333 55,51115 112,4554 426,8789
19
2,52695 6,115909 14,23177 31,948
20
2,653298 6,7275
14,55192 23,29809 56,69391
69,38894 146,192 597,6304
16,36654 38,3376 86,73617 190,0496 836,6826
