umm_6497

Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Информационные технологии и защита информации»
С. В. Федулов
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
MS EXCEL
В ФИНАНСОВЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Учебно-методическое пособие
для студентов экономических
и управленческих специальностей
всех форм обучения
Екатеринбург
Издательство УрГУПС
2013
УДК 336 (075.8)
ББК 65.053 я73–1
Ф32
Федулов, С. В.
Ф32 Использование MS Excel в финансовых вычислениях: учеб.-метод.
пособие / С. В. Федулов. — Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. —
94, [2] с.
Учебно-методическое пособие охватывает широкий круг вопросов, связанных как с теоретическими, так и практическими аспектами проведения
финансовых операций с использованием ППП MS Excel.
Теоретическая часть пособия может быть рекомендована для использования в преподавании дисциплин «Деньги, кредит, банки», «Инвестиции»,
«Инвестиционный анализ», «Инвестиционный менеджмент». Практическая часть содержит полный перечень функций MS Excel, автоматизирующих расчеты по указанным темам.
Каждая глава заканчивается списком контрольных вопросов и задач для
самостоятельного решения. Пособие подробно освещает вопросы применения электронных таблиц в решении финансовых задач. Это делает его востребованным при изучении дисциплин, связанных с информационными
системами и информационными технологиями в экономике и управлении.
Для экономических и управленческих специальностей.
Печатается по решению
редакционно-издательского совета университета
Автор:
С. В. Федулов, доцент кафедры «Информационные
технологии и защита информации», канд. техн. наук,
УрГУПС
Рецензенты: В. Н. Сыромятников, зав. кафедрой «Прикладная
информатика» Уральского института экономики
управления и права, д‑р физ.-мат. наук
Д. Г. Неволин, профессор каф. «Информационные
технологии и защита информации», д‑р. техн. наук,
УрГУПС.
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2013
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................... 5
1. ПРОЦЕНТЫ.................................................................................. 10
1.1 Простые и сложные проценты.................................................... 10
1.2. Примеры начисления процентов............................................... 15
2. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА........... 22
2.1. Финансовые функции ППП MS Excel...................................... 23
2.2. Проведение расчетов финансовых функций в MS Excel.......... 26
2.3. Применение механизма «Подбор параметра» для финансовых расчетов в MS Excel............................................................. 30
3. ПЛАВАЮЩАЯ СТАВКА.............................................................. 34
3.1. Функции MS Excel для финансовых расчетов с переменной
ставкой........................................................................................ 34
4. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ............................................................. 39
4.1. Аннуитет, потоки пренумерандо и постнумерандо................... 39
4.2. Функции MS Excel для разработки плана погашения
кредита........................................................................................ 46
4.3. Пример расчета периодических платежей................................. 49
4.4. Использование механизма «Таблица подстановки»................. 51
5. ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ............................................... 55
5.1. Приведение платежей к сопоставимому по времени виду.
Метод чистого приведенного дохода (NPV).............................. 55
5.2. Метод расчета внутренней нормы доходности проекта (IRR)... 57
5.3. Метод расчета модифицированной внутренней нормы
доходности проекта (MIRR)...................................................... 57
5.4. Метод расчета индекса рентабельности проекта (PI)............... 58
5.5. Метод расчета периода окупаемости инвестиций
(DPB, DPB 1)............................................................................... 60
5.6. Метод расчета средней нормы рентабельности (ARR)............. 61
5.7. Финансовые функции MS Excel для анализа денежного
потока.......................................................................................... 62
3
5.8. Сравнение инвестиционных проектов...................................... 69
5.9. Сравнительный анализ проектов различной
продолжительности.................................................................... 73
5.9.1. Метод цепного повтора в рамках общего срока действия
проектов................................................................................... 74
5.9.2. Метод бесконечного цепного повтора сравниваемых
проектов.................................................................................. 74
5.9.3. Метод эквивалентного аннуитета........................................... 74
6. АМОРТИЗАЦИЯ.......................................................................... 79
6.1. Функции MS Excel для расчета амортизации............................ 79
6.2. Равномерная амортизация......................................................... 81
6.3. Правило суммы лет..................................................................... 82
6.4. Метод фиксированного процента.............................................. 84
6.5. Метод двойного процента.......................................................... 87
6.6. Сравнительный анализ............................................................... 89
Библиографический список............................................................. 93
4
Введение
Д
остижение высоких экономических и социальных результатов, завоевание роли полноправного партнера в мировой
экономической системе в значительной степени зависит
от масштабов использования информационных технологий во всех
сферах деятельности и от той роли, которую будут играть эти технологии в повышении эффективности общественного труда [1, 3, 5, 12].
На первом этапе интеграции информационных технологий и экономики предприятия главной была задача изучения новых инструментов: собственно компьютеров и их вычислительных возможностей, локальной сети, Интернета, приобретение навыков создания
документов.
Период создания простейшего программного и компьютерного
инструментария естественно сменяется периодом интеграции различных технологий, объединением разнородных форм электронной
информации в единое информационное пространство. На этом этапе собственно экономика и информационные технологии начинают
интегрироваться с системным подходом к деятельности предприятия,
к использованию элементов вычислительной математики и математическому моделированию экономических явлений. Все эти возможности уже воплощены в различные программные продукты, и возникает
потребность перехода от изучения инструкций по использованию этих
продуктов к сознательному их применению для реальных ситуаций.
Здесь проблема состоит в том, что, как правило, алгоритм решения
задачи, реализованный в соответствующей программе, неизвестен.
Математический уровень подготовки пользователей не позволяет грамотно интерпретировать заложенные в программные продукты математические модели и концепции [10].
Предлагаемое пособие направлено на расширение предметной
и функциональной полноты математического аппарата экономистов
и управленцев. Это позволит специалисту решать финансово‑экономические задачи с помощью универсального программного продукта.
5
Повышение инвестиционной активности в настоящее время является ключевой проблемой экономической политики государства. Без
инвестиций невозможны остро необходимая структурная перестройка
российской промышленности, преодоление спада производства [1].
Отметим, что управление инвестиционными проектами является
одним из важнейших разделов относительно новой и динамично развивающейся дисциплины «Финансовый (инвестиционный) менеджмент», которая входит в число обязательных курсов практически всех
университетов для студентов экономических специальностей. Именно
поэтому в настоящем учебном пособии изложен материал, который
является методическим руководством к проведению занятий по финансовым вычислениям, а также для проведения практических и лабораторных занятий по курсам: «Финансовая математика», «Информационные технологии», «Информационные технологии управления»,
«Информационные технологии в экономике», «Информационные
технологии в менеджменте», «Информационные системы в экономике». Эта часть учебного пособия предназначена для углубленного
понимания инвестиционного проектирования, где рассматриваются вопросы автоматизации анализа элементов финансового менеджмента, связанные с инвестиционным проектированием, в среде ППП
MS Excel. Здесь рассмотрены проблемы, связанные с начислением
процентов на капитал, анализом денежных потоков, представлены
решения задач по оценке и сравнению инвестиционных проектов,
приведены четыре способа расчета амортизационных отчислений,
сопровождающиеся соответствующими примерами.
Современному экономисту и управленцу необходимо умение формулировать финансово‑экономические задачи, что предполагает наличие навыков в создании математических моделей экономических
процессов и проведении исследований с применением информационных технологий. Любое исследование, проводимое с целью выработки и принятия экономического решения, как правило, включает
следующие этапы:
— постановка задачи,
— выбор наиболее удобного программного продукта для ее решения,
— «перевод» этой задачи на язык модели в рамках выбранного
продукта,
— решение задачи средствами программного продукта,
— анализ результатов и выработка мер на базе полученного решения [10].
6
Настоящее пособие является фундаментом для создания учебнометодического обеспечения курса по технологиям проведения такого анализа, которое может быть использовано в уже упомянутых
дисциплинах: «Информационные технологии управления», «Информационные технологии в менеджменте», «Информационные системы в экономике».
Логическим завершением разработки будет создание следующего
(третьего) пособия, посвященного задаче, с которой сегодня, в условиях рыночной экономики, сталкивается большинство специалистов: моделирование в условиях неопределенности. Часто в экономических задачах поведение объекта носит вероятностный характер,
его свойства определяются случайным образом. Для работы с такими объектами используется имитационное моделирование методом
Монте-Карло.
В этом пособии планируется описание применения метода имитационного моделирования для экономических исследований в условиях неопределенности, изложение подробного решения задачи оценки инвестиционных рисков в проекте по модернизации производства
на предприятии с применением сценарного подхода и двухвариантного ситуационного анализа проекта. На этом материале основывается применение имитационного моделирования для исследования
прибыли фирмы в постоянно меняющихся условиях, создание методики постановки задачи проведения имитационного эксперимента,
анализ и оценка полученных результатов.
В каждом из пособий качестве инструмента исследования выбрано популярное приложение Microsoft Excel. Пакет прикладных программ MS Excel располагает мощным инструментарием для финансовых вычислений, создания экономических моделей, проведения
имитационного эксперимента и позволяет продемонстрировать и реализовать предложенные методики.
Теоретический материал непосредственно связан с практическими примерами с пошаговым решением, показана технология применения описываемых методов в электронных таблицах. В приложении
приведен материал из теории случайных чисел, сделан обзор средств
анализа данных MS Excel. Проработка предложенных примеров дает
возможность освоить методику использования встроенных средств
расчета и анализа данных MS Excel: финансовых функций, подбора
параметра, поиска решения, функций для генерирования и анализа
случайных величин, вероятностного анализа, корреляционного анализа, описательной статистики.
7
Пособие имеет блочную структуру. Каждый блок посвящен отдельной теме и может использоваться независимо. Блок включает в себя
перечень контрольных вопросов, заданий для самостоятельного выполнения, список литературы.
Данный материал прошёл апробацию в учебном процессе Уральского гуманитарного института. Пособие рассчитано на уровень подготовки студентов института, заложенный в базовых дисциплинах:
«Информатика» и «Математика».
Цели и задачи работы
Настоящее пособие представляет собой первую часть из трёх разработок, ориентированных на специальности «Менеджмент», «Финансы и кредит», «Прикладная информатика».
Часть 1 посвящена автоматизации финансовых вычислений, и акцент здесь ставится на умение решать базовые задачи в области финансов и кредита при помощи компьютерных технологий.
Основу формирования учебно-методического материала составляет модульный подход. В рамках этого подхода формируется расширенный комплект учебно-методических разработок по наиболее важным
вопросам в данной области. В каждом конкретном случае, в зависимости от объема часов курса, от вида обучения, от индивидуальных
характеристик студентов преподаватель формирует из данного набора конкретный курс для аудиторного и самостоятельного изучения.
Цель учебно-методического пособия — формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков использования электронных таблиц в процессе анализа экономической ситуации в условиях автоматизированных систем обработки информации
и управления. В процессе изучения курса студенты должны научиться применять методические знания для постановки и решения экономических задач и принятия управленческих решений.
Задачи:
— ознакомить с основными принципами постановки экономической задачи и построения соответствующей модели для ее решения;
— дать представления о целях и методах ведения компьютерного
эксперимента;
— систематизировать знания о возможностях электронных таблиц
с точки зрения использования при экономическом анализе;
8
— ознакомить с технологией и методами финансовых вычислений;
— сформировать навыки в решении задач прогнозирования, планирования и стратегического управления;
— ознакомить с приемами решения экономических задач в условиях неопределенности основных показателей.
9
1. Проценты
1.1. Простые и сложные проценты
З
олотое правило бизнеса гласит: «Сумма, полученная сегодня,
больше той же суммы, полученной завтра». Поэтому деньги
не должны лежать просто так «под матрасом», они должны
работать и приносить доход владельцу. Подходящим использованием денег можно рассматривать возможность их инвестирования (положить в банк, купить ценные бумаги или драгоценности, вложить
в производственный проект и т. д.). Рассмотрим схему предоставления
некоторой суммы PV в кредит, например, банку на время t. [1,10,13].
За использование кредита банк заплатит сумму I, поэтому будущая
сумма составит FV = PV + I.
Термины и обозначения:
Процентные деньги I (англ. interest money), так называемые «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставления
денежных средств. Исчисляется в сотых долях от вложенной суммы,
т. е. в процентах (от лат. pro centum — за сто).
PV — текущая стоимость (англ. present value) — исходная сумма денежных средств или оценка современной величины суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
FV — будущая стоимость (англ. future value) — сумма денежных
средств с начисленными процентами в конце срока.
R — ставка процента (англ. rate of interest) — относительный показатель эффективности вложений (норма доходности), характеризует
темп прироста стоимости за период. Как правило, кредитные организации (банки) указывают величину процентной ставки, указывающей доходность вложенных средств за год.
10
N — срок погашения долга (англ. number of periods) — интервал
времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Поскольку значение процентной ставки (R) применяется к периоду в один год, то следует измерять N в годах, несмотря на то, что
фактически срок измеряется числом расчетных периодов, обычно
равных по длине сумме интервалов времени, в конце которых регулярно начисляются проценты.
m — число раз начисления процентов в году.
Фактор времени играет важную роль. Доходность денег зависит
от длительности их использования. Время в финансовых вычислениях измеряется в периодах. Границы периодов — моменты платежей.
Если срок использования денег измеряется годах N, а проценты начисляются m раз в году, тогда:
срок в периодах (кпер) n = m N(1.1)
процентная ставка (за весь срок) RΣ = (FV — PV)/PV(1.2)
процентная ставка (в год) R = (FV — PV)/PV/N(1.3)
процентная ставка (за период) r = R/m.(1.4)
(1.2) — измеряет уровень доходности отнесением абсолютного эффекта (полученного дохода в виде суммы процентных денег, начисленных за весь срок) к исходной сумме долгового обязательства PV.
Интересно, что до социалистической революции в России слово «интерес» употреблялось как финансовый термин для обозначения суммы процентного дохода;
(1.3) — показывает уровень доходности от вложения средств
за один год;
(1.4) — уровень доходности за период, равный временному интервалу между начислением процентов.
Если соотнести сумму дохода (FV — PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получится другая мера эффективности — темп снижения или
учетная ставка D = (FV — PV)/FV,(1.5)
(англ. discount rate), или ставка банковского дисконтирования, дисконтом в данном случае называется скидка в цене при продаже долгового обязательства (ценной бумаги) ниже номинала.
D
R
; D=
, R > D.
Нетрудно показать, что R =
1− D
1+ R
11
Пример 1.1. Вы заняли сегодня 3000 р., дав обязательство вернуть
через год 3200 р. Оценим доходность этой сделки для кредитора показателями ставки процента R.
Приняв весь период между двумя моментами времени за полный
срок договора, n = 1, PV = 3000 р., FV = 3200 р., R = (FV — PV)/PV =
= 200/3000, R = 0,066 = 6,7 %. Процентная ставка R = 6,7 %.
Если соотнести сумму процентов (FV — PV) с будущей стоимостью FV, то учетная ставка D = (FV — PV)/FV = 200/3200 = 0,062 =
= 6,2 %, D = 6,2 %.
Простой дисконт — процентный доход, вычитаемый из суммы
в момент ее выдачи.
Рассмотрим, как начисляются проценты на вложенную сумму PV.
Простые проценты начисляются по ставке r на одну и ту же постоянную базу — исходную сумму PV. За счет многократного прибавления постоянной величины PV∙r за полный срок n периодов сумма растет по закону арифметической прогрессии.
FV1 = PV (1 + r ) ;
FV 2 = PV (1 + r ) + PV ⋅ r = PV (1 + 2r ) ;
FV = FV + PV (1 + (n — 1)r + PVr = PV (1 + nr);
FV = PV (1 + nr ) .
(1.6)
Множитель наращения по правилу простых процентов, равный
(1 + nr ) , показывает будущую стоимость одной денежной единицы,
вложенной сроком на n периодов при начислении в конце каждого
из них процентного дохода по ставке r без капитализации начисленных ранее процентов.
Сложные проценты начисляются по ставке r на сумму, которая
растет в результате регулярного присоединения к ней процентных
денег, причитающихся кредитору за предыдущие расчетные периоды. Сумма растет по закону геометрической прогрессии с постоянным знаменателем (1 + r).
FV1 = PV (1 + r ) ;
FV 2 = FV1 (1 + r ) = PV (1 + r )(1 + r ) = PV (1 + r )2 ;
FVn = FVn −1 (1 + r ) ;
12
FVn = PV (1 + r )n .(1.7)
Множитель наращения сложных процентов FVIF (от англ.
Future Value Interest Factor — процентный множитель будущей стоимости) за полный срок в n периодов по процентной ставке r за каждый период является основным финансовым коэффициентом. Он
показывает будущую стоимость одной денежной единицы, вложенной на n периодов под сложные проценты, начисляемые по ставке r:
FVIF (r ,n) = FVn / PV = (1 + r )n .(1.8)
Если начисление идет за первый период, схемы простых и сложных процентов совпадают!
Используя формулу (1.8), можно найти исходную сумму PV:
PV = FVn / (1 + r )n .(1.9)
Множитель приведения по сложным процентам PVIF (от англ.
Present Value Interest Factor) — процентный множитель настоящей
(приведенной к настоящему моменту) стоимости за полный срок n
периодов по процентной ставке r за каждый
PVIF (R,n) = PV / FVn = 1 / (1 + r )n .(1.10)
При более частом, чем один раз в год, начислении сложных процентов внутри года, в соответствии с (1.3) и (1.4) размер номинальной годовой ставки R пропорционально уменьшают, а длину срока
N в годах увеличивают во столько же раз. Обозначим внутригодовую
частоту начисления сложных процентов (число капитализаций процентов) буквой m, тогда
FV N = PV (1 + R / m)Nm .
(1.11)
По формуле (1.11) рассчитывается будущая сумма вклада в случае
элементарного потока платежей, т. е. без дополнительных или периодических выплат. При элементарном потоке платежей (все периодические выплаты равны нулю) в схеме сложных процентов финансовые
величины могут быть выражены посредством друг друга по следующим формулам:
PV = FVn / (1 + R / m)Nm ;(1.12)
R = m[(FVn / PV )1/ Nm − 1] ;(1.13)
13
количество периодов
Nm = log(FVn / PV ) / log(1 + R / m) .(1.14)
Основание логарифма может быть любым, поэтому оно не указано в (1.14).
Вклад можно пополнять периодическими выплатами (например,
ежемесячной суммой). Схему с многократными выплатами рассмотрим позже.
Номинальные процентные ставки традиционно объявляются на период, равный одному календарному году N = 1, а срок более короткой финансовой операции измеряется обыкновенной дробью — долей года n = t / T , 0 < n < 1, которую получают как отношение срока
операции t к длине целого года Т. Необходимо отметить, что величины t и T зависят от m. Например, при m = 12 (ежемесячная капитализация процентов) — T = 12, а 0 ≤ t ≤ 12; при m = 365 (ежедневная
капитализация) — T = 365 (366 в високосный год), 0 ≤ t ≤ 365 (366).
Множитель наращения = (1 + n ∙ R) = (1 + R ∙ t/T).(1.15)
Эффективная ставка процента. Вкладывая одну денежную единицу PV = 1 по номинальной процентной ставке (N = 1) сложных процентов R при частоте начисления m раз в год получаем
(FV1 − 1) /1 = 1 ⋅ (1 + R / m)1⋅m − 1 = (1 + R / m)m − 1 = Reff ;
(1.16)
Reff = (1 + R / m)m — 1,
(1.17)
где Reff — эффективный годовой процент, получаемый инвестором
за один год.
Формулы (1.11) и (1.12) принимают вид
FVn = PV (1 + Reff )n ;(1.18)
PV = FVn / (1 + Reff )n .(1.19)
Проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При
бесконечно частом ( m → ∞) дроблении года на малые процентные периоды, т. е. при непрерывном наращении сложных процентов, получается показательный закон роста
FV = PVm 
lim ∞ (1 + R / m)m = PVe R ,
x
lim ∞ (1 + x / m)m , при −∞ < x < ∞ .
так как e = m 
14
(1.20)
Номинальную годовую процентную ставку R, являющуюся показателем степени в формуле множителя непрерывного наращения, называют интенсивностью, или силой роста. Она связана с годовой эффективной ставкой процента Reff соотношением
e R = Reff .(1.21)
Инфляция — (от лат. influtio — вздутие) — процесс падения покупательной способности бумажных денег вследствие дополнительной
эмиссии или по причине сокращении товарной массы при сохранении неизменного количества денег в обращении. По аналогии с темпом роста дохода (процентной ставкой) вводится темп роста инфляции — величина h. Реальная величина будущей стоимости FV N инфл ,
независимо от правила начисления процентов, применяемого для ее
N
наращения, находится делением на цепной темп роста (1 + h) :
FV N инфл = FV N (1 + h)N .(1.22)
С учетом (1.18) имеем:
FV N инфл = PV (1 + Reff )N / (1 + h)N = PV {(1 + Reff ) / (1 + h)}N ) .(1.23)
Вводится реальная эффективная доходность I для будущей суммы
FV N инфл при инфляции
FV N инфл = PV (1 + I )N .(1.24)
Тогда из (1.23) и (1.24) доходность I определяется по эффективной
годовой ставке Reff и уровню инфляции h
I = (1 + Reff ) / (1 + h) –1.(1.25)
С учетом формулы (1.17)
I = (1 + R/m)m/(1 + h) – 1.
(1.26)
1.2. Примеры начисления процентов
Рассмотрим методику начисления процентов на примерах [10].
Пример 1.2. Кузнецов сделал 3 августа 2010 г. депозитный вклад
в сумме 50 тыс. р. на срок 365 дней по ставке 34 % годовых, а Сидоров,
ожидая роста процентных ставок по вкладам физических лиц в ком15
мерческих банках, разместил такую же сумму на срок 120 дней, и затем
дважды оформлял через 120 дней новый вклад, реинвестируя полностью исходную денежную сумму вместе с начисленными за 4 месяца
процентами. В течение года ставки падали два раза и составили 32 %
через первые 4 месяца и 24 % еще через 4 месяца. Сравнить доходы
Кузнецова и Сидорова.
Используемые в задаче проценты роста (34 %, 32 % и 24 %) явно
не соответствуют реально действующим банковским процентам. Такие значения взяты для получения ощутимой разницы при использовании двух стратегий, которая не очень заметна на реальных процентах. Выбор процентной ставки и в последующих примерах обусловлен
арифметическими соображениями.
Решение. Кузнецов. За указанный срок условия размещения вкладов менялись. Но снижение банком процентных ставок не распространяется на ранее заключенные срочные договоры.
Какую сумму получит Кузнецов 3 августа 2011 г.? Провести расчет с использованием множителя наращения (формула 1.15). (Ставка номинальная, T=365 дн.).
Сидоров. Надо определить дату вложений второго и третьего вклада на (120 дней). Расчет произвести с иcпользованием функций даты
Excel. Для расчета сумм вклада с процентами использовать множитель наращения (формула 1.15).
Решение представлено на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Реинвестирование вклада под простые проценты
Ожидаемая вкладчиком выгода реинвестирования процентного
дохода не была получена как в результате изменения условий прие16
ма вкладов, так и за счет более низкой ставки привлечения средств
банком на короткий срок.
FV3 = PV∙ (1 + R1) · (1 + R2) · (1 + R3) =
= PV∙ (1 + 0,34 · 120/365) (1 + 0,32 · 120/365) ×
× (1 + 0,24 · 120/365) = 66,28 < 67,00.
Как происходит рост начислений по схеме простых и сложных процентов? Рассмотрим пример.
Пример 1.3. Пусть мы имеем вложение в 10 000 р. на 5 лет под ставку в 15 %. Какую сумму будем иметь в конце срока, если начисление
идет по схеме простых и сложных процентов при одинаковой процентной ставке R и одинаковой начальной сумме?
Решение. Построим графики зависимости начислений от срока.
Сравним рост начислений по схеме простых и сложных процентов.
Геометрический рост по правилу сложных процентов при N > 1 обгоняет арифметическую прогрессию простых процентов. По схеме
простых процентов вкладчик имеет в конце срока 10 000 + 5 ∙ 1 500 =
= 17 500 р., заработав за пять лет на вложенные 10 000 рублей проценты 5 ∙ (10 000 ∙ 0,15) р. Наращение сложными процентами приносит
ему будущую стоимость 10°000 ∙ (1 + 0,15) 5 = 20 113,57 р. Предлагаем
самостоятельно рассчитать будущие стоимости при простых и сложных процентах для сроков N = 1, 2, 3, 4, 6 лет.
26000
FV прост
22000
FV слож
18000
14000
10000
1
2
3
4
5
6
Рис. 1.2. Рост при начислении простых и сложных процентов
по одинаковой ставке R
17
При удлинении срока вклада тенденция опережения роста будущей стоимости при сложных процентах усиливается (рис. 1.2).
Пример 1.4. По какой ставке простых процентов можно за 4 года
нарастить сумму, равную будущей стоимости исходной суммы средств
за тот же срок при начислении дохода по ставке 15 % сложных годовых?
Решение. Обозначим ставку простых процентов R. Для того чтобы найти ответ, необходимо выразить искомую ставку простых процентов R из условия равенства множителей наращения по простым
и сложным процентам:
FV4 = PV (1 + 0,15) 4 = PV (1 + R*4).
(1.27)
Нетрудно выразить R из (1.27): R = [(1 + 0,15) –1]/4.
Пример 1.5. За два расчетных периода при начислении сложных
процентов вклад вырос с PV = 75 р. до FV2 = 112,5 р. Какой номинальной ставке это соответствует?
Решение. Применяя формулу сложных процентов (1.11), выразим
ставку R:
4
FV = PV (1 + R) 2; 1 + R = FV / PV ;
R = 112,5 / 75 − 1 ≈ 22,47% .
В качестве процентной ставки выбирается тот из двух возможных
ответов данной математической задачи, который больше нуля. Так
как результатом извлечения корня является иррациональное число
(бесконечная дробь), ответ округляется с приемлемой точностью, например, до сотых R.
Поставим вопрос: как зависит ставка R при начислении сложных
процентов от срока наращения при постоянном значении коэффициента наращения FVIF? То есть, вклад может вырасти в два раза за 1 период, за 3, 4 или n периодов, как будет при этом меняться ставка?
Пример 1.6. Пусть имеем два вложения по схеме сложных процентов, коэффициенты наращения которых FVIF (R, N) принимают значение 1,5 и 2. Проанализировать зависимость ставки R от срока N для
каждого вложения.
Решение. Проведем графический анализ. Построим график зависимости R(N) для каждого вложения. В общем виде коэффициент наращения FVIF имеет вид (см. 1.8):
FVIF (R, n) = FVn/PV = (1 + R)N.
18
Выразим ставку процентов R из данного соотношения:
R = (FVIF) 1/N — 1.
По данным примера множитель наращения FVIF (R, N) принимает значения 1,5 и 2. Необходимо построить таблицу значений R, рассчитанных по формуле (1.8) для двух вариантов. По данным таблицы
построим графики R(N) на одной диаграмме. Графики представлены далее на рис. 1.3. Верхняя кривая соответствует большему значению FVIF (R; N) = 2.
R от срока наращения
FVIF = 1,5
1,2
FVIF = 2
1
0,8
N–c
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 1.3. Зависимость процентной ставки от срока N
Как учесть инфляцию при начислении процентов? Рассмотрим
пример.
Пример 1.7. Какова будущая стоимость суммы 1000 р., размещенной на срок на 1 год на условиях ежемесячного начисления сложных
процентов по номинальной годовой ставке 17 %. Среднегодовой уровень инфляции составляет 18 %? Найти будущую стоимость с учетом
инфляции.
Решение. Будущую сумму FV находим по формуле (1.11) при условии, что PV = 1000, N = 1, начисление раз в месяц m = 12:
FV = PV (1 + R/m) Nm; FV = PV ∙ (1 + 0,17/12) 12 = 1183 р.
Чтобы учесть инфляцию за n лет, надо будущую стоимость FV разN
делить на цепной темп роста инфляции (1 + h) (см. формулу (1.26)).
FVинфл = FV/(1 + h)N = FV/(1 + 0,18) = 1003 р.
19
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что такое процентные деньги?
Какая величина определяет темп роста денег?
Что такое дисконтирование?
Как определяется время в финансовых расчетах?
Как происходит начисление по схеме простых процентов?
Что такое сложные проценты?
Чем отличается элементарный поток платежей?
Как найти будущую сумму долга, предоставленного на определенный срок?
9. Как найти исходную сумму долга, если известна конечная сумма платежа?
10.Как учесть инфляцию в финансовых расчетах?
Задания для самостоятельного выполнения
Создайте файл в Excel, решите задачи, используя формулы (1.11)–
(1.14).
Задача 1.1. Определить будущую величину вклада в 5000 р., помещенного в банк на 3 года под 7 % годовых, если начисление процентов
осуществляется: а) раз в году; б) раз в месяц. Расчет повести по схеме:
— простых процентов;
— сложных процентов.
Задача 1.2. Какую сумму надо вложить в банк под 7 % годовых, чтобы через 3 года получить сумму 6000 р. Начисление процентов осуществляется: а) раз в году; б) раз в месяц. Расчет повести по схеме:
— простых процентов;
— сложных процентов.
Задача 1.3. На сколько лет надо положить в банк под 7 % годовых
сумму 5000 р., чтобы получить сумму 6000 р. Начисление процентов
осуществляется: а) раз в году; б) раз в месяц. Расчет повести по схеме сложных процентов.
Задача 1.4. Под какой процент годовых надо положить в банк сумму 5000 р., чтобы получить через 3 года сумму 6000 р., Начисление
процентов осуществляется: а) раз в году; б) раз в месяц. Расчет повести по схеме сложных процентов.
Задача 1.5. Коммерческий банк принимает вклады от населения
на следующих условиях:
20
а) с выплатой 12 % годовых, начисляемых ежегодно;
б) с выплатой 11,5 % годовых, начисляемых раз в полугодие.
Какой вид вклада вы предпочтете? Почему?
Задача 1.6. Вы имеете 30 000 р. и хотели бы удвоить эту сумму через
5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?
Задача 1.7. На вашем счете в банке 150 000 р. Банк платит 15 % годовых сложных с ежеквартальным причислением процентов. Вам предлагают другой вариант, обещая удвоение капитала через 6 лет. Принимать ли это предложение?
21
2. Расчет элементарного
денежного потока
В
настоящее время банковские депозиты определяются широким спектром схем начисления процентов по вкладам, но все
они имеют дело в основном с формулами сложных процентов.
Доходность денежных операций определяется различными условиями их хранения. Пакет прикладных программ MS Excel содержит ряд
готовых функций, автоматизирующих проведение финансовых расчетов. Специальная группа этих функций получила название финансовых [6, 7, 8]. Полный набор всех функций содержится в Пакете анализа. Непосредственно перед финансовыми вычислениями пакет следует
установить, для чего пройти по меню: Сервис →Надстройки и в появившемся меню доступных надстроек отметить Пакет анализа.
Таблица 2.1
Финансовые функции для расчета элементарного потока платежей
Обозначение
Наименование
функции
FV
БС
n
КПЕР
r
СТАВКА
PV
ПС
22
Формат
функции
Комментарий
Будущая стоимость инвестиции
на основе периодических постоБС (ставка; кпер;
янных (равных по величине сумм)
выплата; пс; [тип])
платежей и постоянной процентной ставки
Общее количество периодов выплаКПЕР (ставка; вы- ты для инвестиции на основе периоплата; пс; бс; [тип]) дических постоянных выплат и постоянной процентной ставки
СТАВКА (кпер; выПроцентная ставка за один период
плата; пс; бс; [тип])
ПС (ставка; кпер;
выплата; бс; [тип])
—
общая
Сегодняшняя ценность сумма, равноценная на настоящий
момент ряду будущих выплат
Окончание табл. 2.1
Обозначение
Наименование
функции
R
НОМИНАЛ
Reff
ЭФФЕКТ
Формат
функции
Комментарий
Расчет годовой ставки по эффективНОМИНАЛ (эфной при начислении сложных профект_ставка; кпер)
центов
ЭФФЕКТ (номиРасчет эффективной процентной
нальная ставка;
ставка по номинальной при начискпер)
лении сложных процентов
Схема проведения финансовых вычислений при простом денежном
потоке заключается в следующем. Вложенная в финансовую организацию (банк) денежная сумма растет за счет периодического начисления процентов и их причисления к основной сумме вклада (капитализации), что образует денежный поток. Пусть вложена определенная
сумма денег. Для простоты картины будем предполагать, что никаких
промежуточных выплат (снятий процентов) не производится. В этом
случае имеем простейший или элементарный финансовый поток (PV,
R, N, m, FV), где PV — начальный взнос, R — годовая процентная ставка,
N — срок вложения (в годах), m — число причислений процентов в год
(капитализаций), FV — будущая сумма, растущая за счет процентов.
2.1. Финансовые функции ППП MS Excel
Рассмотрим финансовые функции ППП MS Excel, обеспечивающие автоматизацию вычислений параметров элементарного финансового потока: БС(), КПЕР(), СТАВКА(), ПС(), НОМИНАЛ(), ЭФФЕКТ()
(табл. 2.1), автоматизирующие некоторые финансовые вычисления.
Для простоты изложения, не ограничивая обзор функциональных
возможностей финансовых функций, периодические выплаты будем считать равными нулю. Параметр выплата опускаем, тип — параметр, определяющий тип потока, также опускаем.
При расчете финансовых функций в Excel используется формула
расчета по схеме сложных процентов (см. (1.11)):
FV = PV (1 + R / m)Nm .
Функция БС (ставка; кпер; плт; пс; тип) возвращает будущую
стоимость инвестиции на основе периодических постоянных (равных по величине сумм) платежей и постоянной процентной ставки:
23
ставка — процентная ставка за период (R/m);
кпер — общее число периодов использования инвестиций (Nm);
плт — выплата, производимая в каждый период; это значение
не может меняться в течение всего периода выплат. Обычно плт состоит из основного платежа и платежа по процентам, но не включает
других налогов и сборов. Если аргумент опущен, должно быть указано значение аргумента пс;
пс — приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей,
проще говоря, это сумма вложенных инвестиций. Если аргумент пс
опущен, то он полагается равным 0. В этом случае должно быть указано значение аргумента плт;
тип — число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата (плт). Если аргумент «тип» опущен, то он полагается равным 0.
Тип Когда нужно платить
0 В конце периода
1 В начале периода
Функция ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип) возвращает приведенную
к текущему моменту стоимость инвестиции. Приведенная (нынешняя)
стоимость представляет собой общую сумму, которая на настоящий
момент равноценна ряду будущих выплат. Например, когда вы занимаете деньги, сумма займа является приведенной (нынешней) стоимостью для заимодавца. Эта функция является обратной к БС, когда
известна конечная сумма, но неизвестна сумма инвестиций:
ставка — процентная ставка за период (R/m). Например, если получена ссуда на автомобиль под 10 % годовых и делаются ежемесячные выплаты, то процентная ставка за месяц составит 10 %/12 или
0,83 %. В качестве значения аргумента ставка нужно ввести в формулу 10 %/12 или 0,83 % или 0,0083;
кпер — общее число периодов использования кредита (Nm). Например, если получена ссуда на 4 года под автомобиль и делаются ежемесячные платежи, то ссуда имеет 4*12 (или 48) периодов. В качестве
значения аргумента кпер в формулу нужно ввести число 48;
плт — выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся
за все время использования инвестиций. Обычно выплаты включают
основные платежи и платежи по процентам, но не включают других
сборов или налогов. Например, ежемесячная выплата по четырехгодичному займу в 10°000 р. под 12 % в год составит 263,33 р. В качестве
значения аргумента выплата нужно ввести в формулу число –263,33;
24
бс — требуемое значение будущей стоимости или остатка средств
после последней выплаты. Если аргумент опущен, он полагается равным 0 (будущая стоимость займа, например, равна 0). Например, если
предполагается накопить 50 000 р. для оплаты специального проекта в течение 18 лет, то 50 000 р. это и есть будущая стоимость. Можно
сделать предположение о сохранении заданной процентной ставки
и определить, сколько нужно откладывать каждый месяц;
тип — число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата:
Тип
Когда нужно платить
0 или опущен В конце периода
1
В начале периода
Функция СТАВКА (кпер; плт; пс; бс; тип; прогноз) возвращает процентную ставку по инвестициям за один период, если известны сумма вложений PV (пс), срок кпер и сумма, которая будет получена (будущая сумма) FV (бс).
Полное описание аргументов кпер, плт, пс, бс и тип см. в справке по функции ПС.
СТАВКА вычисляется путем итерации и может давать нулевое значение или несколько значений. Если последовательные результаты функции СТАВКА не сходятся с точностью 0,0000001 после 20‑ти
итераций, то СТАВКА возвращает сообщение об ошибке #ЧИСЛО!
Прогноз — предполагаемая величина ставки.
— Если значение предположения опущено, то оно полагается равным 10 %.
— Если функция СТАВКА не сходится, попробуйте подставить
различные значения для предположения. СТАВКА обычно сходится, если величина предположения находится между числами 0 и 1
Функция ЭФФЕКТ (номинальная ставка; кпер) определяет значение эффективной годовой процентной ставки при начислении R
сложных процентов несколько раз в году (номинальная ставка). При
этом срок инвестиций равен кпер = Nm.
Функция НОМИНАЛ (эффективная ставка; кпер) определяет значение номинальной годовой процентной ставки по значению эффективной ставки при начислении несколько раз в году, обратная функции Эффект().
25
2.2. Проведение расчетов финансовых функций в MS Excel
Чтобы произвести расчет с помощью финансовых функций ППП
MS Excel, необходимо:
1) поставить курсор в ячейку результата;
2) активировать окно Мастера функций (меню Вставка\Функция
или значок fx слева от строки ввода), после чего открывается
первое окно Мастера функций, в котором будет полный алфавитный список функций (рис. 2.1.);
3) выбрать категорию Финансовые и выбрать нужную функцию;
если в списке нет нужных функций, их можно добавить, зайдя
в меню Сервис →Надстройки, и в появившемся окне поставить
галочку напротив Пакета анализа, ОК;
4) двойной щелчок по названию функции открывает второе окно
Мастера функций, содержащее поля для ввода аргументов выбранной функции;
Рис. 2.1. Окно меню Мастера функций
5) ввести аргументы функции в полях ввода, щелкая по ячейкам
с данными (удобно пользоваться окнами свертывания), если
параметр не вводить, окно аргумента остается пустым, ОК;
26
6) одновременно вид функции отображается в строке ввода формул, куда можно перейти и вводить данные непосредственно
в строке, при вводе в строке формул аргументы разделяются
символом «;».
При пользовании финансовыми функциями следует учитывать:
1. Если начисление процентов осуществляется m‑раз в году, то аргументы необходимо откорректировать соответствующим образом:
Rпериод = Rгод/m и (кпер)общ = кпергод*·m.
Периодическая процентная ставка равна годовой процентной ставке, деленной на количество начислений в году (r=R/m).
Общее число периодов равно количеству лет, умноженному на число начислений в году (n=N*m).
2. Аргументы «начальное значение — пc» и «будущее значение —
бс» имеют разные знаки и задаются в виде:
— отрицательной величины, если операция влечет за собой отток
денежных средств (сумма дается в кредит или выплачивается);
— положительной величины, если предполагается поступление
средств.
3. При работе функций КПЕР () и СТАВКА (), аргументы «пс»
и «бс» обязательно должны иметь противоположные знаки. Данное
требование вытекает из экономического смысла подобных операций.
Пример 2.1. Определить будущую величину вклада в 10 000, помещенного в банк на 5 лет под 8 % годовых, если начисление процентов осуществляется: а) раз в году; б) раз в квартал. Какова будет при
этом эффективная процентная ставка? Расчет провести с использованием финансовых функций.
Предварительно необходимо отметить, что задача может быть просто решена с использованием формул (1.11) и (1.17). Пример соответствующих вычислений приведен на рис. 2.2, где справа от ячеек
с результатами (E10 и E11) показаны формулы, по которым этот результат вычисляется.
Решение. При использовании ППП MS Excel схема решения такова:
1. Введите данные на лист Excel в виде, указанном на рис. 2.3. Если
в исходных данных неизвестно одно из значений: R, m, N, PV, FV, соответствующая ячейка в исходных данных будет пустой.
Само значение может быть вычислено с помощью перечисленных
выше функций и остальных параметров основного уравнения (1.11).
В примере 2.1 неизвестны: FV и Reff. (E10 и E11). Для определения FV
необходимо найти функцию БС (ставка; число_периодов;; пс;), которая позволяет определить будущее значение суммы.
27
Рис. 2.2. Определение FV и Reff с помощью формул (1.11) и (1.17)
Рис. 2.3. Исходные данные для расчетов
2. Щелкните ячейку результата и проделайте действия в соответствии с пунктами 1–6 (см. выше). Заполнение полей функции БС показано на рис. 2.4.
Обратите особое внимание на способы задания аргументов.
Не следует (!) пересчитывать ставку R и количество периодов кпер
на листе ЭТ (электронной таблицы). Пересчет производится непосредственно в окне Мастера функций. Если начисление идет m раз
в год (раз в месяц, раз в квартал и т. д.): непосредственно в окно вводится R/m или кпер*m.
Значение процентной ставки (аргумент «ставка») обычно задается в виде десятичной дроби: 5 % = 0,05; 10 % = 0,1; 100 % = 1 и т. д.
Аналогично вычисляется эффективная процентная ставка с помощью функции ЭФФЕКТ. Если в исходных данных известна конечная сумма (FV), но неизвестна величина первоначальных инвестиций
28
Рис. 2.4. Ввод данных в функцию БС
(PV), то она может быть найдена с помощью функции ПС. Если известны начальная и конечная суммы, схема причисления процентов
(m), то функция СТАВКА позволит определить периодическую процентную ставку (R/m), которая, будучи умноженной на m, даст годовую процентную ставку (R). Если в задаче известно все, кроме срока
проведения операции (N), то он может быть определен с помощью
функции КПЕР. При известной эффективной процентной ставке (Reff)
и схеме причисления процентов (m) функция НОМИНАЛ позволит
определить годовую процентную ставку (R). Пример, демонстрирующий работу всех перечисленных функций, показан на рис. 2.5. Диапазон F14: F20 содержит формулы, вид которых приведен справа от указанного диапазона.
29
Рис. 2.5. Образец шаблона для решения финансовых задач
2.3. Применение механизма «Подбор параметра»
для финансовых расчетов в MS Excel
Для полноты картины возможностей финансовых вычислений
в MS Excel следует подчеркнуть, что необязательно помнить все приведенные на рис. 2.5 функции. Достаточно знание функции БС и механизма подбора параметра. Поясним на следующем примере.
Пример 2.2. Предприниматель вложил в банк на 5 лет под 9,5 %
с ежемесячной капитализацией некоторую сумму и получил в конце
срока 16 850 р. Определить размер первоначальных инвестиций и эффективную процентную ставку.
Решение. Введем данные из условия задачи в таблицу, как это показано на рис. 2.6. Для вычисления эффективной процентной ставки необходимы номинальная ставка (R) и число капитализаций в год
(m), которые известны, что и определит результат (E11). Поскольку
первоначальная сумма неизвестна, оставим эту ячейку пустой. Конечная сумма, вычисленная при помощи функции БС, даст при этом
нулевой результат (E10). Основной вопрос в задаче можно сформулировать так: «Каким должно быть содержимое ячейки E9, чтобы результат (E10) был равен —16 850 р.?»
30
Рис. 2.6. Исходные данные для примера 2.2
Ответы на подобного рода вопросы реализуются в MS Excel с помощью механизма «Подбор параметра», который вызывается из основного Меню → Сервис → Подбор параметра. В случае MS Office 2007 путь
к этому механизму расчета лежит через вкладку Данные, где в группе Средства обработки данных надо выбрать команду Анализ условия
, а затем — пункт Подбор параметра. В результате будет показано окно с тремя полями для ввода, куда надо переадресовать
вопрос из задачи: установить в ячейке E10 — будущая стоимость (первое поле), значение –16 850 (второе поле), изменяя значение в ячейке E9 — начальная стоимость (третье поле) (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Ввод данных в окно «Подбор параметра»
После некоторого числа итераций MS Excel подберет такое значение начальной стоимости, при которой через 5 лет при 9,5 % годовых
31
с ежемесячным причислением значение будущей стоимости составит –16 850 рублей (рис. 2.8). Аналогично можно определить значение любого параметра из уравнения (1.11) (R, m, N), если известны
остальные.
Рис. 2.8. Результат выполнения операции «Подбор параметра»
Контрольные вопросы
1. Какие функции MS Excel используются для финансовых вычислений?
2. Как запустить финансовые функции?
3. Какая схема начисления процентов используется в программе
MS Excel?
4. Как взаимосвязаны аргументы «процентная ставка» и «количество периодов»?
5. Как взаимосвязаны аргументы функций «начальная» и «будущая» сумма?
6. Как взаимосвязаны функции Эффект () и Номинал ()?
7. Как в MS Excel работает механизм «Подбор параметра»?
Задания для самостоятельного выполнения
Создайте файл в Excel, решите задачи, используя финансовые
функции.
Задача 2.1. Ссуда в 20 000 дол. дана на полтора года под ставку 28 %
годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.
32
Задача 2.2. Рассчитать будущее значение вклада 1000 дол. через 1,
3,5,7 лет при годовых процентных ставках 10 %, 20 %, 30 %. Дополнительные выплаты отсутствуют.
Задача 2.3. Вы хотите вложить 5000 р., чтобы через 2 года получить
7000 р. Под какую процентную ставку надо вложить деньги?
Задача 2.4. Вы хотите вложить деньги в банк, выплачивающий
7 % годовых, чтобы через 4 года 6 месяцев получить 7000 р. Вычислите сумму вклада.
Задача 2.5. Банк выплачивает 10 % годовых. Какова эффективная
ставка вкладов при начислении процентов: а) ежемесячно, б) ежеквартально, в) по полугодиям.
Задача 2.6. У Вас есть свободная сумма PV = 1000 р., которую Вы
намерены пустить в рост на 12 месяцев под сложные проценты. Куда
вы положите свои деньги, если доступные альтернативы таковы: Сбербанк принимает вклады от населения под 10 % годовых, начисляемых
ежеквартально; Банк управления и развития предлагает 12 % годовых
при ежемесячном начислении процентов; отделение иностранного
банка дает 20 % годовых, выплачиваемых каждые полгода.
Задача 2.7. Какова реальная доходность размещения суммы 5000 р.
на срок 3 года на условиях ежемесячного начисления сложных процентов по номинальной годовой ставке 15 % и среднегодовом уровне
инфляции 20 %? Найдите будущую стоимость вложенной суммы без
учета инфляции и с учетом инфляции. (Указание: найти реальную доходность I и FV по формулам (1.23) — (1.26)).
33
3. Плавающая ставка
В
се рассмотренные выше финансовые расчеты были построены
в предположении, что процентная ставка неизменна. На практике эти предположения часто не выполняются. Процентные
ставки могут понижаться и повышаться. Начисление процентов тогда
осуществляется по переменной процентной ставке. Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковской практике. В частности, доходы по облигациям государственного
сберегательного займа (ОГСЗ) начисляются раз в квартал по плавающей купонной ставке. Расчет будущей стоимости при переменной процентной ставке может быть реализован многократным применением
функции БС для каждого временного интервала, где ставка остается
постоянной. Однако в MS Excel имеются функции, специально предназначенные для таких расчетов.
3.1. Функции MS Excel для финансовых расчетов
с переменной ставкой
В MS Excel существует функция БЗРАСПИС () для расчета денежного потока с переменной процентной ставкой (табл. 3.1).
Функция БЗРАСПИС (первичное; план) — Будущая стоимость начальной суммы (первичное) после применения ряда (плана) ставок
сложных процентов.
Пример 3.1. Облигация номиналом 200 000 р. выпущена на 7 лет.
Предусматривается следующий порядок начисления процентов:
в первый год — 11 %, последующие три года — по 16 %, в оставшиеся три года — по 20 %. Рассчитать будущую (наращенную) стоимость
по сложной процентной ставке.
Решение. Введем данные, как это показано на рис. 3.1. В ячейку
B14 поместим формулу =БЗРАСПИС (B4; B6: B12), у которой в первом окне задается первичное значение (номинал) стоимости цен34
ной бумаги, а во втором окне — диапазон со значениями процентной ставки по годам.
Таблица 3.1
Функции Excel для переменной ставки
Наименование функции
Англоязычная Русская
версия
Версия
FVSHEDULE
БЗРАСПИС
Формат
функции
Комментарий
БЗРАСПИС
(первичное;
план)
Будущая стоимость начальной
суммы (первичное) после применения ряда (плана) ставок
сложных процентов. Функция
БЗРАСПИС используется для
вычисления будущей стоимости
инвестиции с переменной процентной ставкой
Рис. 3.1. Расчет будущей стоимости ценной бумаги (облигации)
В результате вычисления получим наращенную стоимость:
598 784,68 р.
Пример 3.2. Ставка банка по срочным вкладам на начало года составляет 16 % годовых, начисляемых раз в квартал. Первоначальная
сумма вклада — 5000 р. В течение года ожидается повышение ставок
раз в квартал на 1, 2 и 3 процента соответственно. Определить величину вклада к концу года.
Решение. На рис. 3.2 показан расчет будущей стоимости, когда процентная ставка меняется каждый квартал. Ежеквартальное повышение
ставки приведено в диапазоне B5: B7. На графике показаны значения
квартальных ставок (B14: B17), которые рассчитываются, например,
35
для 2‑го квартала (B15) по формуле: = (B$2+B5)/B$3. Скопированная в ячейки B16 и B17 эта формула даст значения процентной ставки в 3‑м и 4‑м квартале.
Рис. 3.2. Расчет будущей стоимости при переменной процентной ставке
Будущую сумму можно найти двумя путями: на основе функции
БС () и с использованием БЗРАСПИС ().
С помощью функции БС() в ячейке C14 рассчитывается значение
вклада в конце первого квартала для начальной стоимости и ставки
первого квартала =БС (B14;1;; C13;), затем делается автоматическое заполнение для новых значений исходной суммы и квартальной ставки;
при этом кпер (количество периодов) постоянно и равно 1, ПС (начальная сумма) равна рассчитанному значению БС предыдущего квартала.
С помощью функции БЗРАСПИС () в ячейке D18 рассчитывается значение =БЗРАСПИС (C13; B14: B17) для начальной суммы
C13 и диапазона ставок В14: В17. При этом для этой функции соглашение о разных знаках вложенной и будущей суммы не действует.
Задача 3.3. Ожидается, что будущая стоимость инвестиций размером 1,5 млн р. к концу 4 года составит 3 млн р. При этом за первый
год доходность составит 15 %, за второй — 17 %, за четвертый — 23 %.
Рассчитать доходность инвестиций за третий год.
Решение. Введем данные, как это показано на рис. 3.3.
Поскольку значение ставки в третьем периоде неизвестно, оставим соответствующую ячейку пустой (B8). В ячейку B11 введем функ36
цию расчета конечной стоимости при переменной ставке: =БЗРАС‑
ПИС (B4; B6: B9). При этом итоговая стоимость составит 2 482 447,50 р.
Вопрос в задаче состоит в том, чтобы определить ставку в третьем
году, если известно, что итоговая сумма составит 3 млн р. Аналогично примеру 2.2 воспользуемся механизмом подбора параметра.
На рис. 3.4 показан фрагмент листа электронной таблицы, решающей эту задачу. В результате её выполнения MS Excel подберет нужное значение процентной ставки 20,85 %. Необходимо только проследить, чтобы формат ячейки B8 содержал 2 знака после запятой.
Рис. 3.3. Расчет процентной ставки при известной конечной стоимости
Рис. 3.4. Использование механизма подбора параметра
37
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Может ли быть процентная ставка непостоянной?
Что такое плавающая ставка?
Как рассчитать будущую сумму вклада, если ставка меняется?
Какие функции MS Excel используются для расчета платежей
с плавающей ставкой?
5. Можно ли определить значение процентной ставки в какомлибо периоде, если известны начальная и конечная стоимости
и процентные ставки в остальных периодах? Как это сделать?
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 3.1. Облигация номиналом 35 0000 р. выпущена на 5 лет.
Предусматривается следующий порядок начисления процентов: в первый год — 11 %, второй год — 11,5 %, третий год — 10 %, четвертый
год — 9,5 %, пятый год — 11,3 %. Рассчитать будущую (наращенную)
стоимость по сложной процентной ставке.
Задание 3.2. Срок ссуды 1000 дол.США — 5 лет, договорная процентная ставка 12 % годовых плюс маржа 0,5 % в первые два года
и 0,75 % — в оставшиеся. Вычислить будущую сумму и множитель наращивания. Построить график изменения ставки. (Указание. Выполните по образцу примера 2.1. Рассчитайте ставки, используйте БЗРАСПИС ()/Множитель = FV/PV. Тип диаграммы — график с маркером).
Задание 3.3. Выпущенная на 6 лет облигация предусматривает следующий порядок начисления процентов: в первый год — 11 %, второй
год — 11,5 %, третий год — 10 %, четвертый год — 9,5 %, пятый год —
11,3 %, шестой год — 10,8 %. Какова была номинальная стоимость облигации, если её наращенная стоимость по сложной процентной ставке составила 367 679 р. 63 к.
Задание 3.4. Предприниматель вложил в банк под 9,5 % годовых
с ежегодным причислением 500 000 р. Каждый год банк поднимал
ставку на постоянную величину при условии, что предприниматель
не будет снимать деньги со счета. Определить величину ежегодного
повышения процентной ставки, если известно, что к концу периода
сумма возросла до 808 892 р. 00 к.
38
4. Финансовые ренты
Э
лементарный денежный поток — простейшая финансовая
операция, состоящая из внесения первоначальной суммы
в кредитную организацию (PV) и возврата увеличенной суммы (FV). В финансовой деятельности как внесение суммы, так и её
возврат часто делаются несколькими платежами, следующими друг
за другом. При этом процентная ставка может быть как постоянной,
так и переменной, выплаты могут быть неизменными и различными, происходить через одинаковые промежутки времени и спонтанно. В зависимости от перечисленных условий определяется тип денежного потока.
4.1. Аннуитет, потоки пренумерандо и постнумерандо
Схема с многократными периодическими выплатами охватывает
такие операции, как периодические вклады в банк, выплаты по кредиту, пенсионные начисления и т. д. [1,3, 8, 11].
Для определенности рассмотрим ситуацию с выплатами по кредиту. Поток платежей одинакового размера, поступающих через равные промежутки времени, называется аннуитетом или постоянной
рентой. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В зависимости от момента поступления
платежа различают два типа потоков платежей: пренумерандо — платежи, начиная с первого, осуществляются в начале каждого периода, и постнумерандо — платежи, начиная с первого, осуществляются
в конце каждого периода. За счет более раннего поступления денежных средств в случае пренумерандо можно достигнуть больших финансовых результатов по сравнению с потоком платежей, вносимых
в конце периода.
Предположим, что взята в кредит сумма PV сроком на N лет, годовая процентная ставка (R) сохраняется постоянной, а число пла39
тежей в году совпадает с числом начислений процентов по кредиту
(m), что соблюдается в большинстве банков при предоставлении кредита с постоянными платежами. При этом срок кредита в периодах
будет равен n=N∙m (см. формулу (1.1)), а процентная ставка за период — r=R/m (1.4). Обозначим периодический платеж в i‑том периоде
через CFi. В случае аннуитета CF1= CF2=…= CFn=const=CF. Вспомним,
что по схеме сложных процентов (начисление идет на сумму, которая
растет в результате регулярного присоединения к ней процентных денег) будущая сумма FV (см. формулу 1.11) имеет вид
FV N = PV (1 + R / m)Nm или FVn = PV (1 + r )n .
(4.1)
Это та сумма, которую надо вернуть. И если бы мы возвращали
всю сумму кредита в конце срока, именно такую сумму с нас потребовал бы кредитор. Но поскольку мы последовательно выплачиваем
платежи размером CF, то они должны учитываться в будущей сумме.
Причем, чем раньше поступит платеж, тем с большим коэффициентом роста он должен быть учтен. Например, в схеме постнумерандо
первый платеж CF за оставшееся время до конца срока погашения
кредита вырастет до значения CF (1+r)n–1. Поэтому:
FVn = PV (1 + r )n = CF (1 + r )n −1 + CF (1 + r )n − 2 + ... + CF .
(4.2)
Правая часть (4.2) представляют собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+r). Она легко «сворачивается»
(1 + r ) − 1
в компактный вид, если её умножить на дробь:
, что не изr
менит значение суммы:
FVn = PV (1 + r )n = CF (1 + r )n − 1 r .(4.3)
В случае пренумерандо будущая стоимость будет иметь вид:
FVn = PV (1 + r )n = CF (1 + r )n + CF (1 + r )n −1 + ... + CF (1 + r ) . (4.4)
Откуда при помощи аналогичной процедуры получим:
FVn = PV (1 + r )n = CF (1 + r ) (1 + r )n − 1 r .(4.5)
(4.3) и (4.5) могут быть записаны одной формулой
40
FVn = PV (1 + r )n = CF (1 + t ⋅ r ) (1 + r )n − 1 r ,(4.6)
где при t = 0 получим схему постнумерандо, а при t = 1 — пренумерандо. Переходя к обозначениям в терминах годовой ставки и срока
аннуитета в годах, получим:
FVn,m = PV (1 + R m)Nm = CF (1 + t ⋅ R m) (1 + R m)Nm − 1 (R m) .(4.7)
Соотношения (4.6) и (4.7), являющиеся эквивалентными с вычислительной точки зрения, связывают между собой все компоненты аннуитета: PV — начальная сумма займа, R или r — процентная ставка,
N или n — срок займа, FVn — будущая стоимость займа, CF — величина платежа. Если в этом перечне неизвестно какое-либо значение,
оно может быть определено из (4.6) или (4.7) через остальные параметры. Приведем все формулы для соответствующих расчетов. За основу из соображений краткости возьмем соотношение (4.6). Величина платежа CF определяется соотношениями:
CF = r ⋅ FVn {(1 + t ⋅ r )[(1 + r )n − 1]} (4.8)
при известной конечной сумме (FVn), процентной ставке (r) и количестве периодов (n);
CF = r ⋅ PV {(1 + t ⋅ r )[1 − (1 + r )− n ]} (4.9)
при известной начальной сумме (PV), процентной ставке (r) и количестве периодов (n).
Значение n определяется по формулам:
n = ln{r ⋅ FVn / [CF (1 + t ⋅ r ] + 1} / ln(1 + r ) (4.10)
при известной конечной сумме (FVn), процентной ставке (r) и величине платежа (CF);
n = ln{(1 + t ⋅ r ) ⋅CF / [(1 + t ⋅ r )CF − r ⋅ PV ]} / ln(1 + r ) (4.11)
при известной начальной сумме (PV), процентной ставке (r) и величине платежа (CF).
Итак. Для расчета будущего значения FVn MS Excel использует
формулы (4.6), (4.7), для расчета периодического платежа CF — формулы (4.8), (4.9), а для расчетов срока погашения кредита n — зависимости (4.10), (4.11).
Определим теперь наращенную и современную стоимость p‑срочного постоянного аннуитета постнумерандо с начислением процентов
m раз в году (p≠m). Так как k‑й платеж отстоит от окончания срока
использования аннуитета на (N‑k/p) лет, то на него будет произведе41
но (N‑k/p)m начислений по ставке R/m, и его частичный вклад в наращенную сумму аннуитета составит CF (1+R/m) (N‑k/p)m. Сумма всех
таких частичных вкладов и составит наращенную сумму аннуитета:
Np
FVn,m = CF ∑ (1 + R / m)( N − k / p )m .
k =1
Обозначим l=Np-k, и, изменяя порядок суммирования, получим:
FVn,m = CF
Np −1
∑ (1 + R / m)
l ⋅ p /m
l =0
.
Сумма членов такой геометрической прогрессии составит:
FVn,m = CF
(1 + R / m)Nm − 1
.(4.12)
(1 + R / m)m / p − 1
Для аннуитета пренумерандо получим:
FVn,m = CF (1 + R / m)m / p ⋅
(1 + R / m)Nm − 1
.(4.13)
(1 + R / m)m / p − 1
Современную стоимость p‑срочного постоянного аннуитета постнумерандо с начислением процентов m раз в году (p≠m) можно получить, умножая (4.12) на (1+R/m)–Nm:
PV = CF
1 − (1 + R / m)− Nm
.(4.14)
(1 + R / m)m / p − 1
А для аннуитета пренумерандо получим:
PV = CF (1 + R / m)m / p ⋅
1 − (1 + R / m)− Nm
.(4.15)
(1 + R / m)m / p − 1
Отметим, что все формулы для FV и PV в случае p=1, m=1; p=1,
p≠m, а также в случае p=m можно получить соответственно из (4.12),
(4.13) и (4.14), (4.15).
Что касается расчетов характеристик аннуитета при помощи встроенных функций ППП MS Excel, то они работают только в тех случаях, когда p=m. Для расчета аннуитета при p≠m необходимо вводить
соответствующую функцию, используя указанные математические
формулы.
42
На примере продемонстрируем схемы пренумерандо и постнумерандо при начислении процентов.
Пример 4.1. Каждый год в банк помещается сумма в 300 000 р. Ставка 12 % годовых, начисляемых в конце каждого года. Какова будет величина вклада к концу четвертого года? По найденной величине определите, какой должна быть начальная сумма вклада, обеспечивающая
получение такого дохода? Решите эту задачу, если 300 000 р. будут
перечисляться в банк ежемесячно равными долями, т. е. по 25 000 р.
ежемесячно, а проценты (12 % годовых) начисляются в конце каждого месяца.
Решение. Введем данные, как это показано на рис. 4.1 (B3: C6). Обратите внимание, что использующийся в функциях БС и ПС параметр
«периодические выплаты» (см. п. 2.1) введен в таблицу со знаком «-»,
поскольку эта сумма не будет выплачиваться в конце каждого периода,
а, наоборот, добавляться к уже имеющейся сумме. Кроме того, значение ежегодно вносимой суммы делится на количество причислений
процентов в году (m). Это отражено как в функциях БС и ПС (третий
параметр), так и формулах для вычислений (=B6/B4…).
Рис. 4.1. Расчет будущей стоимости при регулярных выплатах
Формула для вычисления начальной (современной) стоимости
(PV) получается из соотношения (4.7) делением его правой части
на (1+R/m)Nm:
43
PV = CF (1 + t ⋅ R m) 1 − (1 + R m)− Nm  (R m) .
Именно она и введена в ячейку B11. Поскольку все платежи осуществляются в конце каждого периода, то все вычисления осуществляются по схеме постнумерандо, при t=0. Получаемые результаты
(B9: C9, B11: C11) имеют отрицательные значения, так как в исходных данных регулярные платежи CF меньше нуля. Сами же формулы приведены для ежегодной схемы (диапазон B8: B11), в соседние
ячейки (C8: C11) с ежемесячной схемой их можно просто скопировать. Обратим внимание на то, что схема с более частым внесением
денег дает более эффективный финансовый результат.
Пример 4.2. Фирма создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 1 000 000 р. с последующим ежегодным
пополнением суммы по 100 000 р. Ставка по депозиту равна 12 % годовых. Какова будет величина фонда к концу четвертого года: а) если
начисление процентов производится в конце каждого периода; б) если
начисление процентов производится в начале каждого периода? Решите обратную задачу для каждого варианта, т. е. по найденной величине фонда определите величину каждого платежа.
Рис. 4.2. Расчет будущей стоимости и регулярных выплат.
Постнумерандо, пренумерандо
Решение. Введем данные, как это показано на рис. 4.2 (B3: C7).
Аналогично предыдущей задаче постоянные платежи (CF) и началь44
ное значение (PV) взяты со знаком «–». В формуле для вычисления
будущей стоимости (4.6) не учтён первоначальный взнос в 1000 000 р.,
который за N периодов вырастет до значения PV (1+R)N. Поэтому он
добавлен со знаком «–» в качестве второго слагаемого в B10: …+B6*
(1+B3)^B4. Забегая вперед, покажем, как вычислять значение постоянных платежей при аннуитете с помощью встроенной в MS Excel
функции ПЛТ (B11). Формула для вычисления постоянного платежа приведена в соотношении (4.8). Правда, она также не учитывает первоначальный взнос, имеющийся в условиях задачи 4.2. Чтобы
учесть начальную стоимость для расчета величины постоянного платежа, она в ячейке B12 складывается со знаком «-» с конечной стоимостью: …B9+B6* (1+B3)^B4… Как и в задаче 4.1, формулы приведены только для схемы постнумерандо (B9: B12). Для пренумерандо
они получаются автоматически копированием из B9: B12 в C9: C12.
Стоит отметить, что схема платежей в случае пренумерандо дает более эффективный финансовый результат с точки зрения величины
будущей стоимости.
В заключение отметим, что если поступления (выплаты) осуществляются произвольными суммами, но через равные промежутки времени, то их будущая величина определяется соотношением
n
FVn = ∑CFi (1 + r )n −i .
i =1
Современная (начальная) стоимость потока с произвольными платежами определяется по формуле
CFi
i .
i =1 (1 + r )
n
PV = ∑
Любой поток с произвольными платежами может быть приведен
к виду простого аннуитета с помощью соотношения
CF =
PV ⋅ r
,
1 − (1 + r )− n
где CF — периодический платеж по аннуитету, эквивалентному произвольному денежному потоку по величине современной стоимости.
45
4.2. Функции MS Excel для разработки плана погашения кредита
Вспомним набор базовых аргументов для финансовых функций
Excel [1,10]: БС (), КПЕР (), СТАВКА (), ПС () (см. таблицу 2.1) и дополним его параметрами аннуитета:
ставка — процентная ставка (норма доходности или цена заемных средств — R);
кпер — срок (число периодов — п) проведения операции;
выплата — величина периодического платежа (CF);
пс — начальное значение (величина PV);
бс — будущее значение (FV);
[тип] — тип начисления процентов (1 — пренумерандо, 0 — постнумерандо).
В случае аннуитета необходимо вычислять периодический платеж
CF и его составные части, идущие на погашение основной части платежа и на погашение процентов. В MS Excel имеется ряд функций для
расчета периодических платежей и его частей.
Функция ПЛТ (ставка; кпер; пс; бс; тип) определяет размер периодического платежа по значениям начальной суммы PV (пс) или
будущей суммы FV (бс) при условии постоянства платежей в течение
n (кпер) периодов при процентной ставке r (ставка). Необходимо отметить, что значение процентной ставки соответствует проценту роста в течение одного периода платежа (r=R/m), а число периодов —
количество платежей, равных числу начислений процентов (n=Nm).
Функция ПРПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип) определяет процентную часть платежа за данный период по значениям начальной суммы PV (пс) или будущей суммы FV (бс) при условии постоянства платежей в течение n (кпер) периодов при процентной ставке r (ставка).
Функция ОСПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип) определяет основную часть платежа, идущую на погашение долга, за данный период по значениям начальной суммы PV (пс) или будущей суммы FV (бс)
при условии постоянства платежей в течение n (кпер) периодов при
процентной ставке r (ставка).
Функция ОБЩПЛАТ (ставка; период; пс; нач_период; кон_период;
[тип]) служит для вычисления накопленной суммы процентов за период между двумя любыми выплатами: нач_период; кон_период.
Функция ОБЩДОХОД (ставка; период; пс; нач_период; кон_пери‑
од; [тип]) служит для вычисления накопленной между двумя любыми периодами (нач_период; кон_период) суммы, поступившей в счет
погашения основного долга по займу.
46
Таблица 4.1
Функции MS Excel для расчета постоянных рент
Наименование функции
Русская
Англ. версия
версия
Формат
функции
Комментарий
Сумма периодического платежа
для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки
Величина платежа в погашение основной суммы по инвеОСПЛТ
стиции ПС за указанный период
(ставка; пе‑
риод; кпер; пс; на основе постоянства периодических платежей и постоянства
бс; тип)
процентной ставки
Сумма платежей процентов
ПРПЛТ
по инвестиции за указанный пе(ставка; пе‑
риод на основе постоянства сумм
риод;; кпер; пс;
периодических платежей и побс; тип)
стоянства процентной ставки
ОБЩПЛАТ
Накопленная сумма процентов
(ставка; пери‑
за период между двумя любыми
од; пс; нач_пе‑
выплатами: нач_период; кон_
риод; кон_пе‑
период
риод; [тип])
ОБЩДОХОД Накопленная между двумя лю(ставка; пери‑ быми периодами (нач_период;
од; пс; нач_пе‑ кон_период) сумма, поступивриод; кон_пе‑ шая в счет погашения основного
риод; [тип])
долга по займу
PMT
ПЛТ (ставка;
ПЛТ (ППЛАТ) кпер; пс; бс;
тип)
PPMT
ОСПЛТ
IPMT
ПРПЛТ
CUMIPMT
ОБЩПЛАТ
CUMPRINC
ОБЩДОХОД
Для функций ОБЩПЛАТ и ОБЩДОХОД необходимо указывать
все аргументы, причем в виде положительных величин. Обе функции
возвращают отрицательные величины. Для получения положительных значений просто задайте их со знаком минус.
Для расчета необходимой характеристики достаточно ввести в любую ячейку электронной таблицы имя соответствующей функции с заданными аргументами.
Учитывая важность рассматриваемого вопроса, сформируем шаблон для разработки планов погашения кредитов (рис. 4.3). Перед созданием формул для вычислений определим собственные имена для
ячеек, в которые будут вводиться исходные данные, что значительно
облегчает работу с таблицей:
A4 — Сумма, B4 — Срок, C4 — Выплаты, D4 — Ставка, E4 — Тип.
47
Рис. 4.3. Шаблон для расчета плана погашения кредита
Ввод имен осуществляется при помощи меню: Вставка → Имя →
Присвоить… Сначала надо установить курсор в ячейку, которой хотите присвоить имя, а затем с помощью окна ввода меню Присво‑
ить… ввести имя.
Формулы для шаблона приведены в табл. 4.2.
Используя созданный шаблон, решим следующую задачу.
Пример 4.3. Банком выдан кредит в 1 000 000 р. на 5 лет под 13 %
годовых, начисляемых один раз в конце каждого года. Кредит должен
быть погашен равными долями, выплачиваемыми в конце каждого
срока в течение 5 лет. Разработать план погашения кредита.
Решение. Введем в ячейки A4: E4 исходные данные. Заполним диапазон A8: A12 числами: 1, 2, 3, 4, 5. Скопируем формулы из диапазона B8: F8, указанные в табл. 4.2, в диапазоны B9: F9, B10: F10, B11:
F11, B12: F12. (рис. 4.4).
Для пользователя, который регулярно занимается вопросами расчетов аннуитета, такая таблица будет серьёзным помощником. Хотя
понятно, что создавать такую таблицу для расчета лишь некоторых
элементов аннуитета не совсем целесообразно. В следующей части
мы подробно остановимся на применении приведенных выше формул и примерах расчета периодических платежей без использования
всех встроенных функций.
48
Таблица 4.2
Формулы для расчета плана погашения кредита
Ячейка
C6
F6
B8
C8
D8
E8
F8
Формула
= ПЛТ (Ставка/Выплаты; Срок*Выплаты; Сумма;; Тип)
= Срок*Выплаты
= Сумма-E8
= -ОСПЛТ (Ставка/Выплаты; A8; Срок*Выплаты; Сумма;; Тип)
= -ПРПЛТ (Ставка/Выплаты; A8; Срок*Выплаты; Сумма;; Тип)
= -ОБЩДОХОД (Ставка/Выплаты; Срок*Выплаты; Сумма;1; A8;
Тип)
= -ОБЩПЛАТ (Ставка/Выплаты; Срок*Выплаты; Сумма;1; A8; Тип)
Рис. 4.4. Результаты вычислений плана погашения кредита
с помощью шаблона
4.3. Пример расчета периодических платежей
Пусть имеется финансовый поток для погашения долга. Сложной
частью анализа постоянной ренты является определение размера выплат. Каждую выплату можно разбить на две составляющие: одна идет
на погашение основной задолженности и составляет основную часть
долга, другая идет на погашение процентов, начисляемых на невыпла49
ченную сумму — процентная часть. Рассмотрим применение функций
MS Excel для расчета этих частей денежного потока [1,10].
Пример 4.4. Каким должен быть размер периодического платежа,
чтобы внесение пяти одинаковых платежей такого размера по схеме постнумерандо позволило погасить долг 300 тыс. р. по ставке 8 %
за квартал? Определить основную и процентную часть платежа.
Решение. Представим подробное решение задачи двумя способами. Обозначим процентную часть платежа IPMT, основную часть
PPMT. Рассчитаем процентную IPMT и основную PPMT часть платежа по формулам и с использованием финансовых функций ПЛТ (),
ПРПЛТ (), ОСПЛТ ().
1. Создадим файл в пакете MS Excel и введем данные (рис. 4.5).
2. При помощи функции ПЛТ () определим сумму платежа —
75 137 р. (ячейка B5).
3. Каждый платеж CF разбиваем на части следующим образом:
CF = PPMT + IPMT.
Здесь PPMT — основная часть долга, IPMT — процентная часть
долга. За первый квартал начисляются проценты на всю сумму
долга: 8 %*300 000=24 000 — это процентная часть — IPMT.
Из поступившего платежа 75 137 р. за вычетом этих процентов
на погашение долга идет 75 137–24 000=51 137 — это основная
часть платежа — PPMT; остаток долга 300 000–51 137=248 863,
на эту сумму начисляются проценты за 2‑й кв.: 8 %*248 863=
19 909 — IPMT и вычисляют погашение основной части долга:
75 137–19 909= 55 228 — PPMT и так далее.
Рис. 4.5. Расчет периодических выплат
50
При равенстве периодических платежей проценты начисляются на невыплаченную часть долга. Расчет погашения по приведенным выше соотношениям показан на рис. 4.5.
4. Вместо такого итерационного расчета можно использовать
функции, ПРПЛТ () и ОСПЛТ () и рассчитывать процентную
и основную часть долга за каждый период.
В ячейке С18 рассчитана основная часть долга за 2‑й период
(функция ОСПЛТ ()), в ячейке С19 — процентная часть долга
за 2‑й период (функция ПРПЛТ ()). В ячейках В18 и В19 показаны соответствующие формулы.
5. Результат расчетов продемонстрирован на диаграмме с накоплением, отражающей вклад каждой категории (процентной и основной части платежа), где видно, что процентная часть долга
(темная) падает, а основная часть долга (светлая) — растет. Последовательное применение функций ОСПЛТ и ПРПЛТ к каждому периоду дает план погашения долга.
4.4. Использование механизма «Таблица подстановки»
Таблица подстановки позволяет проводить анализ полученных результатов при произвольном диапазоне исходных данных. Покажем
порядок использования таблицы подстановки с одной изменяющейся переменной и несколькими формулами на примере расчета ежемесячных выплат по займу.
Пример 4.5. Найти размеры ежемесячных выплат для ссуды
в 350 тыс. р., взятой на 3 года, под различные ставки годовых процентов.
Решение. Введем исходные данные для задачи, как это показано
на рис. 4.6 (B3: B6). Поскольку платежи ежемесячные, то и начисление процентов по аннуитету также ежемесячное. Начальное значение годовой ставки возьмем равным 3 %. В ячейку В9 введем формулу:
=ПЛТ (B6/B5; B4*B5; B3), рассчитывающую величину платежа. Диапазон A10: A19 заполним значениями процентных ставок, для которых будут рассчитаны значения ежемесячных выплат. Для этого введём значение 3 % в ячейку A10, а затем, выделив диапазон A10: A19,
при помощи меню Правка → Заполнить → Прогрессия → Шаг 3 % получим диапазон процентов.
После подготовки исходных данных перейдем к тому месту рабочего листа, где будут располагаться зависимости рассчитываемых зна51
чений. Выделим ячейки, которые будут содержать таблицу. При этом
самым левым столбцом таблицы должен быть столбец исходных значений, а самой верхней строкой должна быть строка анализируемых
формул. В нашем случае это диапазон A9: B19, в пустые ячейки которого и будет помещен результат расчетов. Выбрать в меню Данные
команду Таблица подстановки и в одноименном диалоговом окне
указать, куда (по строкам) и какие (анализ изменения процентной
ставки B6) значения необходимо подставить (рис. 4.7). В случае MS
Office 2007 путь к этому механизму расчета лежит через вкладку Дан‑
ные, где в группе Средства обработки данных надо выбрать команду
, а затем — пункт Таблица.
Анализ условия
Рис. 4.6. Расчет периодических выплат с помощью таблицы подстановки
Рис. 4.7. Меню таблицы подстановки
52
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое постоянная рента?
Что такое аннуитет?
Чем различаются потоки пренумерандо и постнумерандо?
Какой тип ренты выгоднее и почему?
Какие функции MS Excel используются для расчета аннуитета?
Как определить размер периодического платежа, если известна ставка доходности, срок и конечная сумма?
7. Какие части платежа необходимо различать при погашении
долга?
8. Как найти основную часть погашения?
9. Опишите порядок использования таблицы подстановки.
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 4.1. Проведите расчет ипотеки. Квартира стоит 800 000 р.
Первый взнос составляет 20 % от суммы. Кредит выдается на 10 лет под
11 % годовых. Составьте план погашения кредита равными ежегодными платежами. Рассчитайте сумму выплат и сумму комиссионных.
Используйте при выполнении задания функции MS Excel. Постройте диаграмму платежей. (Указание. Расчет провести с использованием функций ПЛТ (), ПРПЛАТ (), ОСПЛАТ (). Тип диаграммы — гистограмма с накоплением).
Задание 4.2. Составьте план погашения долга 1750 дол. США
24 равными ежемесячными платежами по ставке 16 % годовых. Используйте при выполнении задания функции MS Excel. Постройте
диаграмму платежей.
Задание 4.3. Составьте план погашения кредита в 300 000 р. до суммы в 100 000 р. Кредит выдан на 10 лет. Погашение производится равными ежемесячными платежами по ставке 16 % годовых. Постройте
диаграмму платежей.
Задание 4.4. Рассматриваются два варианта покупки: заплатить сразу 20 тыс. р. или платить ежемесячно по 1 700 р. в течение года при ставке 12 % годовых. Что выгоднее? (Указание. Используйте ПС () и сравните полученные значения — суммы, приведенные к началу срока).
Задание 4.5. Каким должен быть размер периодического платежа,
чтобы внесение шести одинаковых платежей такого размера по схе53
ме постнумерандо позволило погасить долг 500 тыс. р. по ставке 18 %
за период?
Задание 4.6. Молодой человек с пятнадцатилетнего возраста в конце каждого месяца регулярно вносит по 15 дол. на сберегательный
счет в банк, начисляющий на всю растущую сумму сложные проценты по номинальной ставке 15 % годовых. В каком возрасте этот человек может стать миллионером?
Задание 4.7. Фирма планирует покупку земельного участка, стоимость которого равна 1 000 000 р. Какова должна быть величина ежегодного взноса для создания соответствующего фонда в течение 10 лет,
если ставка процентов равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 12 %; г) 15 %? Для расчетов различных вариантов используйте механизм «Таблица подстановки».
Задание 4.8. Разработайте план погашения кредита, полученного
на следующих условиях платежей и начислений процентов в периоде:
а) 50 000 сроком на 7 лет под 8 % годовых при выплате платежей
и начислении процентов 1 раз в год;
а) 10 000 сроком на 10 лет под 5 % годовых при выплате платежей
и начислении процентов 1 раз в квартал;
а) 75 000 сроком на 3 года под 12 % годовых при выплате платежей
и начислении процентов 1 раз в месяц.
54
5. Инвестиционный анализ
О
дной из важнейших сфер деятельности любой фирмы являются инвестиционные операции, связанные с вложением денежных средств в реализацию проектов, которые будут обеспечивать получение фирмой выгод в течение некоторого периода.
В основе процесса принятия управленческих решений инвестиционного характера лежит оценка и сравнение объёма предполагаемых
инвестиций и будущих денежных поступлений. Поскольку сравниваемые показатели относятся к различным моментам времени, основной
проблемой является их сопоставимость. Для преодоления этой проблемы расчеты следует вести в деньгах одинаковой ценности, приводя
все затраты и поступления к единой дате в будущем или настоящем.
5.1. Приведение платежей к сопоставимому по времени виду.
Метод чистого приведенного дохода (NPV)
Решение вопроса сопоставимости сводится к задаче оценки сегодняшней или, как говорят, современной ценности суммы денег, которая будет получена через некоторое время [1,7, 10, 13].
При рассмотрении элементарного денежного потока (отсутствие
периодических выплат) вложенная сумма или приведенная к настоящему моменту стоимость денег PV равна PV=FV/(1+R)N (см. формулу (1.9)), где FV — будущая наращенная за счет начисления процентов сумма. Как правило, понятие современная ценность применяется
не к единственной сумме денег, а к потоку денежных платежей. В случае потока постоянных выплат CF
PV = CF / (1 + R ) + CF / (1 + R )2 + ... + CF / (1 + R )N .(5.1)
Здесь стоимость PV равноценна ряду будущих постоянных выплат
CF за полный срок N периодов с начислением процентов по ставке
R за каждый период.
55
Рассмотрим поток платежей, совершаемых через одинаковые промежутки времени, R — процентная ставка и длина периода постоянны, N — число периодов, но выплаты CF1, CF2, … различаются по величине и знаку. Правило переоценки текущей стоимости будущего
платежа на более ранний момент времени называется математическим дисконтированием. Процентная ставка R, с учетом которой оценивается текущая стоимость будущего платежа (путем приведения
к меньшей сумме в данный момент времени), называется ставкой дисконтирования (см. (1.5)). Приведенная к настоящему моменту сумма
платежей — дисконтированная стоимость имеет вид:
CFi
.(5.2)
(1
+ R )i
i =1
N
ЧПС = CF1 / (1 + R ) + CF2 / (1 + R )2 + ... + CFn / (1 + R )N = ∑
Выплаты CFi могут быть положительными (поступления) и отрицательными (вложения). Пусть в начальный момент вложена сумма
денег — начальная инвестиция. Назовем её CF0, она должна быть отрицательной. Чистый дисконтированный доход показывает, превышает ли сумма текущих выплат и вложений (дисконтированный доход)
инвестиционные затраты в начальный момент времени CF0. Вводится
показатель NPV (Net Present Value — чистая современная ценность),
который имеет вид:
NPV = CF0 + CF1 / (1 + R ) + CF2 / (1 + R )2 + ... +
CFi
.
i
i =1 (1 + R )
N
+CFn / (1 + R )n = CF0 + ∑
(5.3)
Из уравнений (5.2) и (5.3) видно, что чистый дисконтированный
доход отличается от дисконтированного дохода на величину CF0.
Для определения NPV потока с платежами произвольной величины, осуществляемой за любые промежутки времени, используется формула
N
NPV = ∑
i =0
CFti
(1 + R )(ti −t0 ) 365
,(5.4)
где ti — даты платеже; CFti — платеж в соответствующую дату.
NPV обладает свойством аддитивности, т. е. для двух проектов A и B
которые могут быть осуществлены одновременно, верно равенство
NPV (A+B) = NPV (A) + NPV (B).
56
Если NPV>0, то проект стоит принять; если NPV<0, то проект рекомендуется отклонить, хотя окончательное решение может быть принято с учетом других обстоятельств, например, исходя из политических или социальных соображений. Если NPV=0, то проект является
ни прибыльным, ни убыточным.
5.2. Метод расчета внутренней нормы доходности проекта (IRR)
Представляет интерес определение такой ставки R, при которой
все положительные выплаты (поступления), начальная инвестиция
CF0 и отрицательные выплаты (долг) уравниваются. Такое значение R
называется внутренней доходностью и обозначается как IRR (Internal
Rate of Return). Таким образом, под внутренней нормой доходности
финансовой схемы понимают такую процентную ставку, при которой
чистая современная стоимость инвестиционного проекта равна нулю.
Значение IRR определяется как решение уравнения относительно IRR
CFi
= 0 .
(1
+
IRR )i
i =1
N
ЧПС (IRR ) + CF0 = 0; CF0 + ∑
(5.5)
Внутренняя доходность имеет смысл нормы дохода на инвестицию, если имеется только одно поступление денег. Действительно,
если при начальной инвестиции CF0, (причем CF0 имеет отрицательное значение) поступает один платеж CF1, то имеем:
CF0 + CF1/(1+IRR)=0; IRR=– (CF1+CF0)/CF0.
(5.6)
В соответствии с (5.6) величина IRR есть уровень доходности поступления за период, отнесенный к инвестиции CF0. Знак минус перед формулой обусловлен отрицательным значением CF0.
В случае, когда IRR превышает значение ставки дисконтирования,
проект следует рекомендовать к принятию. Если IRR меньше ставки
дисконтирования — проект убыточный.
5.3. Метод расчета модифицированной внутренней нормы
доходности проекта (MIRR)
Величина IRR характеризует доходность инвестиционного проекта в предположении, что полученные доходы будут реинвестированы
по ставке IRR. Для более точной оценки эффективности проекта пред57
положим, что вся приведенная стоимость проекта, полученная при
ставке дисконтирования R, будет вложена в схему с доходностью r.
Тогда сумму дохода можно оценить величиной
N
∑CF (1 + r )
N −i
i
i =1
.
Разделив эту сумму на приведенную стоимость вкладываемых
n2
CFi
, где j «пробегает» все номера периодов (в т. ч.
средств − ∑
i
j = 0 (1 + R )
и начальный), в которых происходили вложения в проект, получим множитель наращения (см. форм. (1.8)) за N периодов с искомой модифицированной внутренней нормой доходности — MIRR
(Modified Internal Rate of Return).
N
∑CF (1 + r )
i =1
n2
N −i
i
− ∑CF j (1 + R ) j
= (1 + MIRR )N
j =0
Из этого соотношения можно выразить MIRR
N
MIRR =  ∑CFi (1 + r )N −i
 i =1
1
N
(−∑
)
− 1 .(5.7)
j 
j = 0 (1 + R ) 
n2
CF j
Числитель и знаменатель первого слагаемого можно записать через приведенные стоимости «притока» и «оттока» денежных средств
проекта, поэтому (5.7) часто используют в следующем виде:
(
MIRR = −(1 + r )N ⋅ ×ÏÑ(r; ïðèòîê ) ((1 + R ) ⋅ ×ÏÑ(R;îòòîê ))
)
1
N
− 1 .(5.8)
5.4. Метод расчета индекса рентабельности проекта (PI)
Индекс рентабельности (Profitability Index — PI) показывает, сколько единиц современной величины денежного потока приходится
на единицу предполагаемых первоначальных затрат. Расчет этого показателя в разных источниках разный [1,10,13]. Во‑первых, исходя
из сформулированного определения, получим формулу
58
CFi
N
∑ (1 + R )
PI = − i =1
i
CF0
.(5.9)
Знак минус после равенства вызван тем, что, как мы договорились
ранее, первоначальные затраты всегда берутся со знаком минус. Если
NPV уже вычислено, то
PI = NPV/(–CF0) + 1.
(5.10)
Однако в части литературных источников [1, 8, 9, 12] предлагается
отдельно выделять суммы в финансовом проекте со знаком плюс (приток денежных средств) и со знаком минус (отток денежных средств),
а затем уже делить современную величину денежного потока с плюсом (доходы) на современную величину денежного потока с минусом
(расходы). В этом случае методика определения индекса рентабельности несколько усложняется и будет выражена формулой
N1
PI = −
∑CF
i
i =1
N2
(1 + R )i
CF0 + ∑CF j (1 + R )
,(5.11)
j
j =1
где индекс i пробегает номера всех периодов, в которых были соответствующие поступления, а индекс j — номера тех периодов, в которых был отток средств из проекта. Без ограничения общности, считаем, что начиналось все в первом периоде, поскольку если это не так,
то соответствующий приток или отток можно принять равным нулю.
В (5.11) через N1 мы обозначили номер последнего периода, когда
были поступления, а через N2 — номер последнего периода, когда
деньги уходили из проекта. Знак минус перед формулой обусловлен
отрицательностью знаменателя. Если PI > 1, проект прибыльный,
если PI < 1, проект убыточный.
Какой из формул пользоваться, решать конкретному специалисту с учетом требований предприятия, однако стоит отметить, что
методики дают схожие результаты. Более того, можно показать, что
для любого проекта значения индексов, рассчитанных по формулам
(5.9) и (5.11) одновременно либо больше 1 либо меньше 1. Для сокращения записи доказательства этого утверждения введем следующие обозначения:
59
N1
S + = ∑CFi (1 + R )i — приведенная стоимость всех поступлений;
i =1
N2
S − = ∑CF j (1 + R ) j — приведенная стоимость всех платежей.
j =1
Обозначим индекс рентабельности, рассчитанный по формуле
(5.9), через PI1, а индекс из формулы (5.11) — PI2. Рассмотрим функцию
F (PI1, PI2) = (PI1–1)∙ (PI2–1).
Она обладает тем свойством, что становится отрицательной только
тогда, когда PI1 и PI2 находятся по разные стороны от 1: одно значение
больше 1, другое — меньше. Подставим в неё выражения для индексов рентабельности из (5.9) и (5.10) с учетом введенных обозначений.
 S + S−
  S+

+ 1 × 
+ 1 .
F (PI 1 , PI 2 ) =  +
 CF0
  CF0 + S −

После очевидных преобразований приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок функцию можно привести к виду
F (PI 1 , PI 2 ) =
(S + + S − + CF0 )2
.
CF0 ⋅ (CF0 + S − )
Поскольку CF0 и S– меньше нуля, то знаменатель этой дроби получается положительным, а числитель будет всегда больше нуля как
квадрат некоторого числа. Поэтому F (PI1, PI2) > 0, это означает, что
PI1 и PI2 находятся по одну сторону от 1: либо одновременно больше
1, либо меньше 1. Доказанное утверждение позволяет сделать заключение, что для расчета индекса рентабельности вполне достаточно использовать формулу (5.9).
5.5. Метод расчета периода окупаемости инвестиций (DPB, DPB1)
Метод состоит в определении того срока, который понадобится для
возмещения суммы первоначальных инвестиций. Возмещение инвестиций оценивается приведенной (дисконтированной) стоимостью
получаемых сумм, поэтому срок окупаемости называется дисконти60
рованным сроком окупаемости инвестиций DPB (Discounted payback
period) и удовлетворяет условию
DPB
CFi
∑ (1 + R )
i =1
i
= CF0 .(5.12)
DPB определяется последовательным вычислением сумм слагаемых в уравнении (5.12). Тот момент, когда результат будет равен или
превысит CF0, и есть DPB. В случае, когда после момента DPB есть дополнительные оттоки средств (отрицательные CFi), процесс следует
продолжать. В общем случае таких моментов в проекте может быть
несколько, тогда за окончательное значение DPB принимается максимальное из них.
Как правило, возвраты в период DPB дают различные превышения суммы над CF0, что затрудняет сравнение проектов между собой
по этому параметру. Для получения более точной характеристики периода возврата вычисляют значение, равное части последнего платежа, при котором соблюдается строгое равенство в соотношении (5.12),
и прибавляют его к DPB‑1, что даёт нецелое значение этого параметра, точнее характеризующее проект по этому параметру:
DPB −1
DPB 1 = DPB − 1 −
∑
i =1
CFi
− CF0
(1 + R )i
.(5.13)
CFDPB
5.6. Метод расчета средней нормы рентабельности (ARR)
Средняя норма рентабельности ARR (Average rate of return) определяет доходность проекта как отношение между среднегодовыми поступлениями от реализации проекта и величиной начальных инвестиций:
N

 ∑CFi  ( N /12)
i =1
ARR = −
,(5.14)
CF0
где n — длительность проекта в месяцах, а CFi — ежемесячная доходность.
61
В случае нескольких платежей в течение проекта это соотношение
изменится аналогично случаю с определением PI:
ARR = −
 n1

 ∑CFi 
(N
i =1
n2
12)
CF0 + ∑CF j
,(5.15)
j =1
где индекс i пробегает номера всех месяцев, в которых были соответствующие поступления, а индекс j — номера месяцев, в которых был
отток средств из проекта; n1 — номер последнего месяца, когда были
поступления, а n2 — номер последнего месяца, когда деньги уходили из проекта.
При расчете ARR не стоит, как это было в случае PI, применять
более простую формулу (5.14) в качестве универсальной, поскольку значение из (5.15) будет всегда больше рассчитанного по формуле
(5.14). Это нетрудно показать, выписав выражение для разницы правых частей (5.14) и (5.15).
Этот показатель интерпретируется как средний годовой доход, который можно получить от реализации проекта и чаще всего сравнивается с коэффициентом рентабельности авансированного капитала,
рассчитываемого делением общей чистой прибыли на общую сумму
авансируемых средств.
Рассматриваемый проект можно оценивать как приемлемый, если
рассчитанный показатель ARR превышает величину рентабельности,
принятую инвестором как стандарт.
5.7. Финансовые функции MS Excel для анализа денежного потока
В категории Финансовые функции пакета MS Excel существует
несколько функций, вычисляющих значения параметров для анализа инвестиций (табл. 5.1).
Функция ЧПС (ставка; значение1; значение2; …) определяет размер
приведенной к настоящему моменту стоимости периодических выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения) с использованием ставки дисконтирования R — формула (5.2).
Надо учитывать, что значение ставки берется за один период поступления или выплат денег, т. е., если поступления ежемесячные, то годовую ставку надо делить на 12, если ежеквартальные, то на 4 и т. д.
62
Если поступления и выплаты находятся в связном (сплошном, без
разрывов) диапазоне таблицы, то их можно указать в виде диапазона
в качестве значение1. Величина первоначального взноса CF0 не должна участвовать в качестве параметра этой функции.
При расчете чистой приведенной стоимости (чистой современной
ценности) NPV выплата в начале периода CF0 добавляется к значению,
вычисленному функцией ЧПС: NPV=ЧПС ()+CF0 (см. форм. (5.3)).
Функция ЧИСТНЗ (ставка; платежи; даты) позволяет определить NPV для финансовых потоков с платежами произвольной величины, осуществляемых в произвольные моменты времени. Здесь
платежи — связный диапазон, содержащий значения финансового
потока, включая первый инвестиционный взнос (CF0); даты — диапазон значений, содержащий предполагаемые сроки выплат и поступлений (см. форм. (5.4)).
Функция ВСД (значения; [предположение]) определяет внутреннюю
ставку доходности для потоков денежных средств (IRR, см. п. 5.2),
представленных их численными значениями. Эти денежные потоки могут быть не равны, как в случае аннуитета, но осуществляются
в последовательные равные периоды; значения вводятся в виде связного диапазона ячеек, первая из которых содержит начальную инвестицию со знаком минус; предположение используется как нулевое
приближение при решении уравнения (5.5).
Функция ЧИСТВНДОХ (платежи; даты; предположение) позволяет определить IRR для потока платежей с произвольным распределением во времени, если известны их предполагаемые даты. И плате‑
жи, и даты вводятся в виде связных диапазонов.
Функция МВСД (значения; ставка_финанс; ставка_реинвест)
возвращает модифицированную внутреннюю ставку доходности для
ряда периодических денежных потоков. МВСД учитывает как затраты на привлечение инвестиции, так и процент, получаемый от реинвестирования денежных средств. Значения — массив или ссылка
на ячейки, содержащие числовые величины. Эти числа представляют
ряд денежных выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения), происходящих в регулярные периоды времени. Они должны содержать, по крайней мере, одну положительную
и одну отрицательную величину. В противном случае функция МВСД
возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!. Ставка_финанс — ставка процента, выплачиваемого за деньги, используемые в денежных потоках.
Ставка_реинвест — ставка процента, получаемого на денежные потоки при их реинвестировании.
63
Важно! Во всех функциях этой части, если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения
или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие
нулевые значения, учитываются.
Таблица 5.1
Финансовые функции для анализа денежного потока
Наименование
функции
ЧПС
ЧИСТНЗ
ВСД
ЧИСТ‑
ВНДОХ
МВСД
Формат
функции
Комментарий
Чистая приведенная стоимость инвестиции с исЧПС (став‑
пользованием ставки дисконтирования и стоика; значение1;
мости будущих выплат (отрицательные значения)
значение2; …)
и поступлений (положительные значения)
ЧИСТНЗ
NPV для финансовых потоков с платежами произ(ставка; пла‑ вольной величины, осуществляемых в произвольтежи; даты) ные моменты времени
Внутренняя норма доходности для ряда потоков
денежных средств, состоящих из платежей (отриВСД (значе‑
цательные величины) и доходов (положительные
ния; предпо‑
величины), которые осуществляются в последоваложение)
тельные и одинаковые по продолжительности периоды
ЧИСТВНДОХ Внутренняя норма доходности для потока пла(платежи;
тежей и доходов с произвольным распределенидаты; пред‑
ем во времени, если известны их предполагаемые
положение)
даты
МВСД (зна‑
Модифицированная внутренняя норма доходночения; став‑ сти для ряда периодических денежных потоков.
ка_финанс;
Учитывает как затраты на привлечение инвестиставка_реин‑ ции, так и процент, получаемый от реинвестировест)
вания денежных средств
Пример 5.1. В начале срока вложена сумма 10 млн р. В первый год
предполагается вложить еще 1 млн р. Предполагаемые дальнейшие
денежные поступления: 3 млн, 5 млн, 8 млн р. через равные периоды
(годы). Рассчитать приведенную к начальному моменту стоимость выплат с дисконтированием 10 % за период и определить внутреннюю
доходность операции. Построить график зависимости NPV от ставки дисконтирования R.
Решение. Все поступления и выплаты денежного потока полезно представлять в виде гистограммы, где по оси OX откладываются периоды, а по оси OY — поступления и выплаты денежного потока (рис. 5.1).
64
Рис. 5.1. Поступления и выплаты денежного потока
Функция NPV имеет вид
NPV = CF0 +
∑СF
i
/ (1 + R )i = –10–1/(1 + 0,1) +
+ 3/(1 + 0,1) 2 + 5/(1 + 0,1) 3 + 8/(1 + 0,1) 4.
Решение задачи представлено на рис. 5.2. Расчет проведен по формулам и с применением функций MS Excel.
Определим чистую дисконтированную стоимость NPV и доходность IRR.
i
1. Применяя формулу ∑CFi / (1 + R ) (каждое слагаемое находится в блоке F4: F9):
— рассчитываем последовательно дисконтированную стоимость
для каждого поступления CFi;
— суммируем полученные значения с учетом начальной инвестиции (E5) и в результате получаем чистую приведенную стоимость или NPV (ячейка F10).
2. Используя финансовую функцию ЧПС (), находим значение
приведенной стоимости выплат (ячейка F11), к полученному значению прибавляем начальную инвестицию и получаем NPV (ячейка F12).
3. Находим доходность проекта IRR, решая соответствующее уравнение, и определяем значение R, для которого функция
NPV=ЧПС()+CF0 = 0. Здесь удобно использовать «Подбор параметра» (см. п. 2.3), для чего записать в ячейку F21 формулу ЧПС (R)+CF0
65
и подобрать такое значение R (ячейка E21), для которого значение
ячейки F21 равно нулю.
Рис. 5.1. Определение современной ценности денежного потока
4. Определяем внутреннюю доходность IRR, используя финансовые функции. Применяем функцию ВСД () (ячейка F13). В качестве входного параметра функции используется весь блок поступлений (E5: E9).
5. Для графической демонстрации определения IRR строим график
зависимости чистой приведенной стоимости NPV от R. Значение R,
в котором график пересекается с осью Х, есть IRR.
Рассчитываем функцию {ЧПС (R, Z1, Z2)+ нач. инвест.} для различных R (см. табл. NPV (R) на рис. 5.1) и строим диаграмму (график
с маркером).
График зависимости приведенного значения стоимости от ставки
иллюстрирует поведение NPV и внутреннюю доходность.
Для демонстрации работы остальных функций рассмотрим следующий пример.
Пример 5.2. Фирма собирается приобрести новое оборудование, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит
1 000 000 р. Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение на протяжении шести лет чистых доходов в 250 000, 300 000, 400 000,
500 000, 600 000 и 700 000 рублей соответственно. Норма дисконта равна
12 %. Найти экономическую эффективность проекта, если:
66
а) платежи от внедрения проекта осуществляются один раз в конце года в один и тот же день;
б) дата покупки оборудования — 1 января 2007 года;
в) имеется возможность реинвестирования получаемых доходов
по ставке 10 % годовых.
Решение. Введем исходные данные, как это показано на рис. 5.2.
Поток платежей в диапазоне B3: B9, даты платежей — в диапазоне G3:
G9, ставки дисконтирования и реинвестирования — в C3 и D3 соответственно. Все формулы для расчетов характеристик потока приведены в табл. 5.2. Отметим, что значение IRR потока без использования
функции ВСД определяется как решение уравнения (5.5) и вычисляется через уже известный механизм «Подбор параметра». Выполним
команду Сервис → Подбор параметра. В появившемся окне: Установить значение ячейки C15 равным 0, изменяя значение ячейки B15.
Аналогичным образом определяем значение ячейки G15.
Рис. 5.2. Расчет всех характеристик денежного потока
Стоит обратить внимание на ячейки B12, C15, B19, B20, G12 и G16.
В формулы этих ячеек в качестве аргументов входят не просто адреса ячеN
CFi
ек, а целые диапазоны. Например, в B12 вычисляется CF0 + ∑
i.
i =1 (1 + R )
67
Это сумма нескольких слагаемых, каждое из которых вычисляется в зависимости от содержимого ячеек B3: B9 и A3: A9. Чтобы не вычислять
каждое слагаемое в отдельности, в арифметическом выражении вместо адреса соответствующей ячейки указан весь диапазон ячеек, участвующий в вычислениях. Завершать ввод формулы в таком случае необходимо одновременным нажатием клавиш: <Ctrl>&<Shift>&<Enter>.
При этом формула заключается в фигурные скобки: {,}.
Таблица 5.2
Финансовые функции и формулы для задачи 5.2
Ячейка
E3; F3
E4: E9
F4: F9
B11
B12
B13
B14
C15
B16
B17
B18
B19
B20
G11
G12
G13
G14
G16
Функции и формулы
=B3
=E3+B4/(1+$C$3)^A4
=F3+B4
=B3+ЧПС (C3; B4: B9)
{=СУММ (B3: B9/(1+C3)^A3: A9)}
=-B11/B3+1
=ВСД (B3: B9)
{=СУММ (B3: B9/(1+B15)^A3: A9)}
=E6+B7/(1+$C$3)^A7
=B16–1+E7/B7
=МВСД (B3: B9; C3; D3)
{= (СУММ (B4: B9* (1+D3)^ (A9‑A4: A9))/СУММ (-B3/(1+C3)^A3))^
(1/(A9))-1}
{= (-ЧПС (D3; B4: B9)* (1+D3)^A9/(ЧПС (C3; B3)* (1+C3)))^
(1/A9)-1}
=ЧИСТНЗ (C3; B3: B9; G3: G9)
{=СУММ (B3: B9/(1+C3)^ ((G3: G9‑G3)/365))}
=-G11/B3+1
=ЧИСТВНДОХ (B3: B9; G3: G9)
{=СУММ (B3: B9/(1+G15)^ ((G3: G9‑G3)/365))}
Как видно, проект приемлем по всем показателям. Полученная
модифицированная норма рентабельности MIRR = B18 = 22,26 %
ниже, чем IRR=31,29 %, однако выше заданной ставки дисконтирования R=12 %, поэтому и по этому показателю проект можно считать прибыльным.
Размер безопасности по критерию IRR равен IRR — R = B14 – C3 =
= 31,29 % — 12 % = 19,29 %, а по критерию PI равен PI — 1 = B13–1 =
= 1,76–1 = 0,76. Оба резерва безопасности приемлемы. Срок окупае68
мости проекта DPB = 4 года (DPB’ = 3,13), что при сроке действия
проекта в 6 лет говорит о его приемлемости и по этому показателю.
В заключение этой части пособия отметим, что инвестиционный
проект — система правовых и финансовых документов, необходимых
для осуществления действий, связанных с размещением капитала [13].
Основу оценки финансовой (коммерческой) эффективности инвестиционного проекта составляет определение и соотнесение затрат
и результатов от его осуществления. Для принятия инвестиционных
решений необходим экономический подход, учитывающий изменение ценности денег во времени. Недопустим бухгалтерский подход,
когда общие и средние финансовые показатели за ряд лет исчисляются арифметически без какого-либо дисконтирования. Рассмотренные
в главе методы анализа, основанные на приведении платежей к начальному моменту времени и оценка доходности этой операции, являются ключевыми для определения показателей оценки инвестиционного проекта.
5.8. Сравнение инвестиционных проектов
Ситуация, при которой инвестиция оказывается выгодной по всем
критериям, перечисленным выше, встречается крайне редко. Как принимать инвестиционные решения при противоречивости аналитической информации, особенно, когда речь идет о сравнении конкурирующих инвестиций? Основу механизма сравнения составляет оценка
современной стоимости денежных потоков проектов, т. е. определение NPV. Проекты с отрицательным NPV вообще не имеют смысла.
При принятии решения можно руководствоваться следующими
соображениями:
а) рекомендуется выбирать варианты с наибольшим NPV;
б) возможно также сделать расчет IRR для приростных показателей капитальных вложений и доходов (т. е., если рассматриваются проекты A и B, то расчеты делаются и для проекта A – B,
показатели которого равны разности соответствующих показателей проектов A и B); при этом, если для потока A – B верно IRR > HR (или IRR > R), то приростные затраты оправданы,
и целесообразно принять проект с большими капиталовложениями. Здесь HR — так называемая ставка отсечения — минимальная норма прибыли, которую предприятие выбирает самостоятельно.
69
В случае противоречия более предпочтительно использование критерия NPV. Тем не менее, на практике данная рекомендация не является доминирующей. Так, менеджеры американских компаний предпочитают критерий IRR критерию NPV в соотношении 3:1.
На самом деле IRR показывает лишь максимальный уровень затрат, который может быть ассоциирован с оцениваемым проектом.
Если цена инвестиций в проектах A и B меньше, чем значения IRR
для них, то выбор может быть сделан лишь с помощью дополнительных критериев. Более того, критерий IRR не позволяет различать ситуации, когда цена капитала меняется.
Рассматривая время окупаемости проектов, фирма определяет
максимально допустимые для себя сроки. Недостаток этого критерия в том, что он не учитывает денежные потоки после момента окупаемости проекта.
Пример 5.3. Даны два альтернативных проекта: проект A с затратами в 700 тыс. р. и ежегодными доходами в 250 тыс. руб. в течение четырех лет и проект B с затратами в 100 тыс. руб. и доходами в 40 тыс. р.
в течение четырех лет. Сравнить привлекательность проектов, если
ставка дисконтирования равна 13 %.
Решение. Введем исходные данные задачи, как это показано
на рис. 5.3 (B2: F3). Рассчитаем проект A – B (B4: F4).
Рис. 5.3. Сравнение альтернативных проектов
Рассчитаем показатели всех трех проектов с помощью формул,
указанных в табл. 5.3 (H2: J4).
Если проекты A и B рассматривать изолированно, то каждый из них
может быть одобрен, поскольку они удовлетворяют всем критериям.
Но если проекты являются альтернативными, то выбор не очевиден. По показателю NPV первый проект выглядит предпочтительнее:
NPV(A) = 43 617,83 > 18 978,85 = NPV (B). Однако, IRR (A) < IRR(B),
и PI (A) < PI (B).
В соответствии с приведенными выше рекомендациями оценим IRR (A‑B) = 14,96 % > 13 % = R и -CF0 (A) =700 000 > 100 000 =
70
= -CF0 (B). Этот показатель указывает на экономическую предпочтительность проекта A (приростные затраты оправданы), несмотря
на то, что показатели IRR и PI проекта B лучше соответствующих показателей проекта A.
Таблица 5.3
Финансовые функции и формулы для расчета характеристик
альтернативных проектов
Ячейка
B4: F4
H2
I2
J2
H3
I3
J3
H4
I4
J4
Формулы
{=B2: F2‑B3: F3}
=ЧПС ($G$2; C2: F2)+B2
=ВСД (B2: F2)
=ЧПС ($G$2; C2: F2)/(-B2)
=ЧПС ($G$2; C3: F3)+B3
=ВСД (B3: F3)
=ЧПС ($G$2; C3: F3)/(-B3)
=ЧПС ($G$2; C4: F4)+B4
=ВСД (B4: F4)
=ЧПС ($G$2; C4: F4)/(-B4)
Приведем пример определения выбора для инвестирования при
равенстве первоначальных инвестиций.
Пример 5.4. В табл. 5.4 приведены исходные данные по двум альтернативным проектам. Требуется выбрать один из них при условии,
что цена капитала, предназначенного для инвестирования проекта,
составляет: а) 16,5 %; б) 17 %.
Таблица 5.4
Альтернативные проекты для инвестирования
Решение. Для наглядности полученных решений построим графики NPV (r) для проектов A, B, и B‑A. С этой целью возьмем ряд
значений r в ячейках B8: F8 (рис. 5.4). Исходные данные для задачи
вводим в ячейки B2: E4, а формулы и функции для расчета — в соответствии с табл. 5.5.
71
Рис. 5.4. Сравнение альтернативных проектов с одинаковыми
первоначальными инвестициями
Таблица 5.5
Формулы и функции для расчета
Ячейки
B5: E5
F3: F5
G3, G4
H3: H4
I5, J5
I3: J4
B9: F11
Функции и формулы
{=B4: E4‑B3: E3}
=ВСД (B3: E3)↓
$F$5
=B3+ЧПС (G3; C3: E3)↓
16,5 %, 17 %
=$B3+ЧПС (I$5;$C3:$E3)→↓
=$B3+ЧПС (B$8;$C3:$E3)→↓
В табл. 5.5 символ ↓ означает копирование формулы вниз до нижней границы указанного слева диапазона, а символ → — копирование
формулы вправо до правой границы диапазона. Точка пересечения двух
графиков (r = 16,67 %), показывающая значение r, при котором оба проекта имеют одинаковое NPV, называется точкой Фишера. Она примечательна тем, что служит пограничной точкой, разделяющей ситуации,
которые «улавливаются» критерием NPV и «не улавливаются» критерием IRR. В нашем примере по критерию IRR оба проекта приемлемы
и практически равноправны. По критерию NPV проекты принципиально отличаются в зависимости от ставки дисконтирования.
При r = 16,5 % NPVA = 32,5 (ячейка I3) меньше, чем NPVB = 33,87
(ячейка I4). Более того, для всех r ≤ 16,67 % верно неравенство
72
NPVA ≤ NPVB, и лишь в единственной точке r = 16,67 % выполняется
равенство NPVA = NPVB, так как IRR проекта B‑A равно 16,67 %. Следовательно, в случае а) следует предпочесть проект B.
Рис. 5.5. Графики NPV (r). Точка Фишера
При r = 17 % (правее точки Фишера) NPVA > NPVB, поэтому в этом
случае следует предпочесть проект A.
Этот же вывод можно сделать, если посмотреть на графики NPV (r)
для проектов A, B, B‑A. Выделив диапазон A8: F11 и выбрав тип диаграммы «Точечная», построим соответствующие графики (рис. 5.5).
5.9. Сравнительный анализ проектов различной
продолжительности
Если сроки жизни двух инвестиционных проектов различны,
то простое ранжирование на основе величин NPV не дает объективной картины ценности проектов. Для сопоставимости расчетов
необходимо вести проекты для единого периода продолжительности, когда созданные активы достигнут конца своей эксплуатации
одновременно [1]. Рассмотрим специально разработанные для такого анализа методы.
73
5.9.1. Метод цепного повтора в рамках общего срока действия проектов
Пусть проекты A и B рассчитаны соответственно на n1 и n2 лет.
В этом случае рекомендуется:
1) найти наименьшее общее кратное сроков действия проектов
N = НОК (n1, n2);
2) рассматривая каждый из проектов как повторяющийся, рассчитать суммарный NPV для каждого проекта A и B, реализуемых необходимое число раз в течение всего периода N;
3) выбрать тот проект, для которого суммарный NPV повторяющегося проекта имеет наибольшее значение.
Суммарный NPV повторяющегося потока находится по формуле
NPV (n,i ) = NPV (n) ⋅ 1 + 1 (1 + r )n + 1 (1 + r )2n + ... + 1 (1 + r )(i 1)n  ,
где NPV (n) — чистый приведенный доход исходного проекта; n — длительность этого проекта; i — число повторений исходного проекта.
Используя механизм «сворачивания суммы», как в п. 4.1 (см. формулы (4.2) и (4.3)), получим окончательно
NPV (n,i ) = NPV (n) ⋅
1 (1 + r )ni − 1
.(5.16)
1 (1 + r )n − 1
5.9.2. Метод бесконечного цепного повтора сравниваемых проектов
Методику предыдущего раздела можно упростить. Предположим,
что число повторений каждого проекта неограниченно. Перейдем
в выражении (5.16) к пределу при i → ∞. Тогда
NPV (n, ∞) =i 
lim ∞ NPV (n,i ) =
NPV (n)
.
(1 − (1 + r )− n )
Проект, имеющий большее значение NPV (n,∞), является предпочтительным.
5.9.3. Метод эквивалентного аннуитета
В этом методе рассчитывают NPV при однократной реализации
каждого проекта. Для каждого проекта находят срочный эквивалент74
ный простой аннуитет (EAA), приведенная стоимость которого равна
NPV проекта. Иными словами, рассчитывают величину аннуитетного платежа EAA = CF, для которого NPV = PVn, т. е.
EAA = r ⋅
NPV
.
(1 − (1 + r )− n )
Предполагая, что найденный аннуитет может быть заменен бессрочным аннуитетом с той же величиной аннуитентного платежа,
рассчитывают приведенную стоимость бессрочного аннуитета, т. е.
при n→∞ получим: PVa (∞)=EAA/r. Проект, имеющий большее значение PVn (∞), является предпочтительным. Отметим, что по проектам различной продолжительности можно принимать решение, сравнивая лишь EAA.
Пример 5.5. В каждой из приведенных ниже ситуаций требуется
выбрать наиболее предпочтительный проект (млн р.), если цена капитала составляет 10 %:
а) проект A: –100, 50, 70; проект B: –100, 30, 40, 60;
б) проект C: –100, 50, 72; проект B: –100, 30, 40, 60.
Решение. В соответствии с табл. 5.6 введем формулы для расчетов, а исходные данные — в ячейки B4: F7 в соответствии с рис. 5.5.
Таблица 5.6
Формулы и функции для анализа проектов различной длительности
Ячейка
B11: B13
C11: C13
D11: D13
E11: E13
F11: F13
Функции и формулы
=ЧПС ($F$4; C5: E5)+B5↓
C11=B11* (1/(1+F4)^НОК (D4; E4)-1)/(1/(1+F4)^D4–1)
C12=B12* (1/(1+F4)^НОК (D4; E4)-1)/(1/(1+F4)^E4–1)
C13=B13* (1/(1+F4)^НОК (D4; E4)-1)/(1/(1+F4)^D4–1)
D11=B11/(1- (1+F4)^ (-D4))
D12=B12/(1- (1+F4)^ (-E4))
D13=B13/(1- (1+F4)^ (-D4))
E11=F4*B11/(1- (1+F4)^ (-D4))
E12=F4*B12/(1- (1+F4)^ (-E4))
E13=F4*B13/(1- (1+F4)^ (-D4))
E11/F$4↓
Расчет NPV проектов (диапазон B11: B13) не позволяет сравнить их
эффективность из-за их различной длительности, поэтому необходимо рассчитать NPV повторяющихся проектов. НОК (2;3) = 6, поэтому
проекты A и C могут быть повторены трижды, а проект B — дважды.
75
Поскольку для задачи а) суммарный NPV (n, i) в случае двукратной
реализации проекта B больше, чем при трёхкратной реализации проекта A (9,474>8,296), то проект B является предпочтительным. В задаче б) предпочтительным является проект C (12,444>9,474). Расчеты по другим методам дают те же самые результаты.
Рис. 5.5. Сравнение проектов различной длительности
Контрольные вопросы
1. Как определяется современная ценность денег?
2. Что такое ставка дисконтирования?
3. Чем отличается дисконтированный доход от чистого дисконтированного дохода?
4. Какие функции MS Excel используются для расчета современной стоимости денег?
5. Что представляет собой инвестиционный проект?
6. Как определить эффективность инвестиционных вложений?
7. Как определяется внутренняя доходность проекта?
8. Какие показатели определяют инвестиционный проект?
9. Как сравнить инвестиционные проекты? Перечислите все способы.
76
10.Что такое точка Фишера, как она определяется?
11.В чем состоит основной принцип сравнения проектов, имеющих различную длительность?
12.В чем заключается метод цепного повтора в рамках общего срока действия проектов?
13.Как сравнить проекты различной длительности методом бесконечного цепного повтора сравниваемых проектов?
14.Напишите формулу вычисления эквивалентного аннуитета для
сравнения проектов различной длительности.
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 5.1. Сравните два проекта, денежные потоки которых представлены в таблице, при значениях ставки сравнения 15 % и 22 %. Впишите ответы в свободные клетки таблицы. Найдите простой и дисконтированный срок окупаемости для проектов. Какой срок окупаемости
короче — простой или дисконтированный?
Указание. Рассчитать NPV, используя функцию ЧПС (). Рассчитать аккумулированные потоки по годам. Построить графики аккумулированных потоков по годам.
Таблица 5.7
Сравнение двух проектов, требующих одинаковых вложений капитала
Инвестиции 0 года
1‑й год
2‑й год
3‑й год
4‑й год
5‑й год
Дисконтированный доход по ставке 15 %
Дисконтированный доход по ставке 22 %
Чистый дисконтированный доход по ставке 15 %
Чистый дисконтированный доход по ставке 22 %
Индекс прибыльности при ставке 15 %
Индекс прибыльности при ставке 22 %
Проект В
-2000
200
300
600
500
100
Проект С
-2000
200
400
700
400
0
Задание 5.2. Реализация проекта, предусматривающего затраты
в размере 60 000 дол., должна дать чистый поток наличности, имеющий следующую структуру: 10 000, 15 000, 15 000, 20 000, 15 000, 10 000,
77
5 000. Определите экономическую эффективность данного проекта,
вычисляя NPV, PI, IRR:
а) при норме дисконтирования 10 % и 15 %;
б) при условии, что притоки денежной наличности одинаковы
и составляют 13 000 дол., а нормы дисконта прежние;
в) если последний приток наличности возрастает до 10 000 дол.
Задание 5.3. Фирма рассматривает возможность осуществления
инвестиционного проекта, срок действия которого составляет 5 лет.
Норма дисконта равна 15 %, а ставка реинвестирования — 17 %. Поток платежей по проекту представлен последовательностью: –10 000,
3 000, 4 000, 5 000, 3 500, 2 500. Определить значения критериев эффективности NPV, PI, IRR, MIRR, DPB, PB для проекта и проанализировать его приемлемость.
Задание 5.4. Фирма рассматривает возможность финансирования двух проектов X и Y, денежные потоки которых имеют следующие структуры:
проект X: –20 000, 15 000, 15 000, 15 000;
проект Y: –130 000, 80 000, 60 000, 80 000.
Определите NPV, PI, IRR для этих проектов при норме дисконтирования 15 %. Какой из проектов вы предпочтете? Почему?
Задание 5.5. Имеется 2 независимых проекта A и B со следующими характеристиками, млн р.:
A: –1000, 750, 500, 100;
B: –1000, 350, 350, 350, 350.
Требуется проранжировать их по степени приоритетности, если
цена капитала 10 %.
78
6. Амортизация
А
мортизация — процесс уменьшения балансовой стоимости
за счет износа. Машины, оборудование и другое имущество
(основной капитал) имеют определенный нормативами срок
службы. Законодательство оговаривает фиксированную остаточную
стоимость. Суммы, на которые уменьшается стоимость имущества,
называются амортизационными отчислениями [9, 10, 12, 13].
Расчет амортизационных отчислений на предприятии служит различным целям:
— вычислению подлежащей налогообложению прибыли — амортизационные отчисления относятся на себестоимость продукции и тем самым уменьшают сумму налога;
— вычислению прибыли акционерной компании, используемой
для выплаты дивидендов по обыкновенным акциям;
— накоплению собственных средств для инвестиций в расширение и модернизацию производств;
— определению балансовой стоимости имущества.
С помощью амортизации предприятие может распределять стоимость активов по всему периоду предполагаемого срока их эксплуатации. Есть два основных подхода распределения стоимости активов
по периоду, в течение которого они будут эксплуатироваться: метод
равномерного начисления износа и группа методов ускоренной аморти‑
зации. В первом случае амортизация начисляется в виде одинаковых
сумм за каждый год. При ускоренной амортизации в первый год начисляется большая сумма (разными способами), а в последующие —
оставшаяся часть стоимости активов.
6.1. Функции MS Excel для расчета амортизации
Для расчета амортизационных отчислений можно использовать
финансовые функции Excel. Существует ряд функций для различ79
ных схем. В данном пособии рассматривается четыре способа расчета амортизации и, соответственно, четыре финансовые функции MS
Excel (табл. 6.1).
В таблице и в последующих главах используются следующие обозначения:
Нач_стоимость актива S0 — затраты на приобретение актива.
Ост_стоимость SN — стоимость в конце периода амортизации
(иногда называется остаточной стоимостью актива).
Время_эксплуатации N — количество периодов, за которые собственность амортизируется (иногда называется периодом амортизации).
Период n — период, для которого требуется вычислить амортизацию. Период должен быть измерен в тех же единицах, что и время_
эксплуатации.
Таблица 6.1
Функции MS Excel для расчета амортизации
Наименование функции
Англоязыч- Русская
ная версия
Версия
SLN
АПЛ
SYD
АСЧ
DB
ФУО
DDB
ДДОБ
Формат функции
Комментарий
АПЛ (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации)
АСЧ (нач_стоимость;
ост_стомость; время_эксплуатации;
период)
ФУО (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации; период;
месяцы)
ДДОБ (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации;
период; коэффициент)
Величина амортизации актива за один период, рассчитанная линейным методом
Величина амортизации актива за данный период, рассчитанная методом «суммы (годовых) чисел»
Величина амортизации актива для заданного периода,
рассчитанная методом фиксированного уменьшения
остатка
Величин амортизации актива за данный период, рассчитанная с использованием метода двойного уменьшения
остатка или иного явно указанного метода
Часто остаточная стоимость в конце срока эксплуатации оборудования принимается равной нулю, но не всегда. В программах, в которые встроен расчет амортизации линейным способом, остаточная
стоимость в конце срока службы считается равной нулю.
80
6.2. Равномерная амортизация
Наиболее простой вид расчета — равномерное или линейное
уменьшение стоимости на один и тот же процент ее первоначальной величины. Если срок службы — N лет, тогда ежегодно стоимость
уменьшается на 100 %/N. Если первоначальная стоимость S0, остаточная стоимость равна SN,, амортизационные отчисления A за один
период составят
A = (S0 — SN)/N.(6.1)
В MS Excel линейная амортизация рассчитывается функцией
АПЛ() (табл. 6.1) по формуле (6.1).
Функция АПЛ (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации) — величина амортизации актива за один период (в тех же единицах, что и время эксплуатации), рассчитанная линейным методом.
Пример 6.1. Строительная фирма приобрела станок за 58 000 р.
Срок службы станка 8 лет, остаточная стоимость в конце срока службы
равна нулю. Составить таблицу амортизационных отчислений и остаточных стоимостей по годам линейным методом. Найти амортизацию за месяц эксплуатации. Построить диаграмму данных по годам.
Решение представлено на рис. 6.1. Показано, как рассчитываются амортизационные отчисления по формуле и с использованием финансовой функции АПЛ (). Здесь периоды — это годы.
Решение. Приведем стандартную схему, использующуюся при расчете амортизационных отчислений с помощью MS Excel.
1. Создадим файл в пакете Microsoft Excel. Лист 1 отведем для решения примера 6.1.
2. Введем данные — диапазон A3: B7; построим таблицу расчета.
Столбцы: Год службы, Амортизационные отчисления, Функция
АПЛ (), Стоимость на конец года.
3. Год службы — диапазон A11: A20. Введем годы как арифметическую прогрессию с шагом 1, предельное значение — срок
службы. Рассчитаем Амортизационные отчисления (тыс. р.) —
диапазон B11: B20, расчет по формуле (6.1). Формула расчета:
= (B$3‑B$4)/B$5.
4. Рассчитаем амортизационные отчисления с помощью функции
АПЛ () — диапазон C13: C20 — =АПЛ (B$3; B$4; B$5). Ячейка
C12 =0 (0 год).
5.Рассчитаем Стоимость на конец года (по годам) — диапазон
D11: D20; значения амортизационных отчислений вычитают81
ся из стоимости прошлого года, при этом получаем остаточные
стоимости Sn по годам. Содержимое диапазона D13: D20 определяется формулой: =D12‑B13↓. Знак ↓, как и ранее, означает
копирование формулы вниз до конца диапазона.
Рис. 6.1. Расчет равномерной амортизации
6. Чтобы рассчитать амортизацию за месяц, используем функцию
АПЛ (), выражая срок службы N в месяцах, и переводим тысячи в рубли. Решение имеет вид:
7. По данным A12: A20 — C11: D20 построим диаграмму (рис. 6.1).
Проанализируйте диаграмму.
6.3. Правило суммы лет
Реальный износ оборудования в начале срока идет быстрее, чем
в конце. Разработаны методы ускоренной амортизации. Чтобы учесть
большую амортизацию в начале срока, разность между начальной
82
и остаточной стоимостью делят на сумму номеров лет. Пусть периоды — это годы. Если срок амортизации N лет, сумма номеров лет является суммой арифметической прогрессии
K = 1 + 2 +…+ N = N· (N + 1)/2.(6.2)
По правилу суммы лет в конце первого года списывается N/K %
от первоначальной суммы, на конец второго года (N — 1)/K % и так
далее.
Величина амортизационных отчислений за период с номером n
составит:
An = (S0 – SN)· (N – (n – 1))/K.
(6.3)
Или с использованием (6.2)
An = (S0 – SN)· (N – (n – 1))·2/(N · (N + 1)). (6.4)
В MS Excel амортизация по сумме лет рассчитывается функцией
АСЧ ()) (см. табл. 6.1) по формуле (6.4).
Функция АСЧ (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуат.;
период) возвращает величину амортизации актива за данный период,
рассчитанную методом «суммы (годовых) чисел».
Пример 6.2. Строительная фирма (пример 6.1) решила ускорить
процесс амортизации (S0 = 58 000 р. N = 8 лет, SN = 0). Составить таблицу амортизационных отчислений и остаточных стоимостей по годам, применяя сумму лет. Найти амортизацию за первый квартал эксплуатации. Построить диаграмму данных по годам.
Решение представлено на рис. 6.2. В диапазоне B13: B20 рассчитаны амортизационные отчисления (в тыс. р.) по формуле (6.3), а в C13:
C20 — с использованием финансовой функции АСЧ (). Периоды — годы.
1. Введем на листе 2 исходные данные в диапазон A3: B7.
2. Скопируем таблицу с 1‑го листа и откорректируем данные.
3. Найдем сумму лет по формуле (6.2) в ячейке B10: =B5* (B5+1)/2.
4.Рассчитаем Амортизационные отчисления — диапазон B13:
B20 — по формуле (6.3): = (B$3‑B$4)* (B$5- (A13–1))/B$10↓.
Можно использовать и формулу (6.4). Ячейка B12 =0 (0 год).
5. Рассчитаем амортизационные отчисления с помощью функции АСЧ ().– диапазон C13: C20 — =АСЧ (B$3; B$4; B$5; B13)↓.
Ячейка C12 =0 (0 год).
6. Аналогично задаче 6.1 рассчитаем Стоимость на конец года
(по годам) — диапазон D13: D20. Ячейка D12 =B3 (начальная
стоимость).
83
Рис. 6.2. Расчет амортизационных отчислений по правилу «суммы лет»
Значения амортизационных отчислений вычитаются из стоимости прошлого года, получаем остаточные стоимости Sn по годам. (=D12‑B13↓).
7. Чтобы рассчитать амортизацию за первый квартал, используем
функцию АСЧ (), выражая срок службы N в кварталах, период
вводим равным 1 кварталу и переводим тысячи в рубли. Решение имеет вид:
8. По данным диапазона A12: A20 — C11: D20 построим диаграмму (см. рис. 6.1). Проанализируйте диаграмму.
6.4. Метод фиксированного процента
Этот способ также входит в группу ускоренного начисления амортизации. Его еще называют метод уменьшающегося баланса. Метод
состоит в том, что в конце каждого года стоимость, которую имуще84
ство имело в начале года, снижется на одно и то же фиксированное
число процентов от этой стоимости. Этот метод в экономике США
используется как основной для расчета амортизации. Пусть фиксированная ставка процента составляет r %. В конце первого периода отчисления составят A1 = S0 · r, начальная стоимость S0 снизится
на S0 · r и станет S0 — S0 · r = S0 · (1 — r), в конце второго периода —
A2 = S0 · (1 — r) · r, а стоимость S0 (1 — r) — S0 (1 — r)r = S0 (1 — r) 2 и так
далее. Тогда стоимость в конце n‑го периода (n = 1, 2, …, N) определяется формулой
Sn = S0· (1 — r)n.
(6.5)
Если обозначить остаточную стоимость через SN, то процент, на который надо снижать начальную стоимость S0 при сроке службы N периодов, можно найти из равенства: S0 (1 — r)N = SN, откуда определим процент снижения
R = 100 % [1 — (SN/S0) 1/N].
(6.6)
Остаток снижается на процент r. Тогда амортизационные отчисления в n‑м периоде составят
An = S n–1 r.
(6.7)
Применяя (6.5) и (6.7), отчисления в n‑м периоде можно записать
An = S0 (1 — r)n–1 r.
(6.8)
Поскольку при расчете амортизационных отчислений методом
фиксированного процента величина отчислений определяется как
процент от остаточной стоимости предыдущего периода, то стоимость не может быть снижена до нуля, так как все остаточные стоимости S0 (1 — r)n — положительны.
В MS Excel расчет амортизации методом фиксированного процента производится функцией ФУО () (табл. 6.1) по формуле (6.7), также
можно применять и формулу (6.8).
Функция ФУО (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации; период; месяцы) возвращает величину амортизации актива для заданного периода, рассчитанную методом фиксированного уменьшения остатка. Месяцы — это количество месяцев в первом году. Если
аргумент «месяцы» опущен, то предполагается, что он равен 12. Функция позволяет рассчитывать амортизацию не с начала года. Процент
уменьшения остатка равен 1 — (SN/S0) 1/N.
85
Пример 6.3. Составить таблицу амортизационных отчислений станка из примера 6.2 (S0 = 58000 р., n = 8 лет, SN = 0) методом фиксированного процента. Найти амортизацию за первый год, если отчисления начинаются с октября. Построить диаграмму данных по годам.
Решение представлено на рис. 6.3, где рассчитываются амортизационные отчисления по формуле (6.8) и с использованием финансовой функции ФУО ().
Рис. 6.3. Расчет амортизационных отчислений
методом фиксированного процента
1. Скопируем на лист 3 данные из предыдущего примера и повторим шаги 1–2.
2. Рассчитаем процент снижения по формуле (6.6) в ячейке B10.
3.Рассчитаем Амортизационные отчисления — диапазон B13: B20.
Здесь приведен расчет по формуле (6.8). Будем считать, что
амортизация считается с начала года.
4. Рассчитаем величину амортизационных отчислений с помощью
функции ФУО () — диапазон C13: C20. Поскольку амортизация
рассчитывается с начала года, параметр «Месяцы» в функции
ФУО () опускаем.
86
5.Рассчитаем Стоимость на конец года (по годам) — диапазон D11: D20. Значения амортизационных отчислений вычитаются из стоимости прошлого года, в результате чего получаем остаточные стоимости Sn по годам. Введем формулу
=D12‑B13 в ячейку D13 и скопируем её вниз до конца диапазона.
6. Если эксплуатация началась с октября, используем функцию
ФУО () и вводим параметр «месяцы», равный (12–9). Переводим тысячи в рубли. Получаем амортизацию с октября до конца года (т. е. за три месяца первого года). Решение имеет вид:
7. По данным A12: A20 — C12: D20 построим диаграмму.
6.5. Метод двойного процента
Этот метод состоит в том, что фиксированный процент r снижения стоимости имущества (см. п. 6.4) принимается равным удвоенному проценту снижения при равномерной амортизации. Такое снижение может продолжаться до конца срока амортизации, если стоимость
в последнем году будет больше остаточной SN.
Поясним. Процент снижения в методе фиксированного процента
вычисляется по формуле (6.6): r = 100 % (1 – (SN /S0) 1/N. Получаемое
значение выражается неудобным дробным числом, кроме того, при
применении этого метода стоимость не может быть снижена до нуля.
Поэтому эту схему модифицируют тем, что процент выбирается равным удвоенному проценту снижения стоимости при равномерной
амортизации.
При равномерной амортизации r = 1/N %, в методе двойного процента r2 = 2/N %. В первый год стоимость снижается на 2/N % от стоимости (S0 — SN), а в последующие берется 2/N % от остатка на каждый
период. Используются формулы (6.5), (6.7) и (6.8), в которых r = 2/N
Sn = S0 (1–2/N)n,
(6.9)
An = Sn–1 ∙2/N,
(6.10)
An = S0 (1–2/N)n–1 (2/N).
(6.11)
87
Вместо удвоенного процента равномерной амортизации 2/N %
можно выбрать любое другое значение, и тогда процент снижения
будет составлять Коэффициент/N.
В MS Excel расчет амортизации методом двойного процента (или
другого коэффициента) производится функцией ДДОБ () (табл. 6.1)
по формуле (6.10), также можно применять и формулу (6.11).
Функция ДДОБ (нач_стоимость; ост_стоимость; время_эксплуатации; период; коэффициент) возвращает величину амортизации
актива за данный период, рассчитанную с использованием метода
двойного уменьшения остатка или иного явно указанного значения. Коэффициент — процентная ставка снижающегося остатка,
если он не равен двум. Если коэффициент не указан, он полагается равным 2.
Пример 6.4. Составить таблицу амортизационных отчислений станка из примера 1 (S0 = 58000 р., n = 8 лет, SN = 0) методом двойного
процента по годам. Найти амортизацию за первый день эксплуатации. Построить диаграмму данных по годам.
Рис. 6.4. Расчет амортизационных отчислений методом двойного процента
Решение. Расчет производится по формуле (6.10) и с помощью
функции ДДОВ () — рис. 6.4, полученные значения амортизацион88
ных отчислений An вычитаются из стоимости прошлого года, получаем остаточные стоимости Sn по годам.
1. На лист 4 скопируем данные из предыдущего примера и повторим шаги 1–2.
2.Рассчитаем Амортизационные отчисления — диапазон B13: B20.
Здесь приведен расчет по формуле (6.10).
3. Рассчитаем амортизационные отчисления с помощью функции ДДОБ () — диапазон C13: C20.
4.Рассчитаем Стоимость на конец года (по годам) — диапазон
D11: D20. Значения амортизационных отчислений вычитаются
из стоимости прошлого года, в результате чего получаем остаточные стоимости Sn по годам. Введем формулу =D12‑B13 в ячейку
D13 и скопируем её вниз до конца диапазона.
5. Чтобы рассчитать амортизацию за первый день эксплуатации,
используем функцию ДДОБ (), выражая срок службы N в днях,
период вводим равным 1 (одному дню) и переводим тысячи
в рубли. Решение имеет вид:
6. По данным A12: A20 — C12: D20 построим диаграмму. Проанализируйте диаграмму.
6.6. Сравнительный анализ
Сравним, как изменяются амортизационные отчисления при использовании различных схем расчета. Построим графики зависимостей амортизационных отчислений и остаточных стоимостей от времени эксплуатации. Используем данные расчетов примеров 6.1–6.4.
Как видно из графиков (рис. 6.5), амортизационные отчисления
при равномерной амортизации (функция АПЛ ()) постоянны, а остаточная стоимость (рис. 6.6) меняется линейно. В случае метода суммы лет (функция АСЧ ()), амортизация уменьшается со временем
по линейному закону. Соответственно остаточная стоимость быстро
падает в первую половину срока эксплуатации, а затем падение замедляется. Амортизационные отчисления, рассчитанные методами
фиксированного процента (функция ФУО ()) и двойного процента
(функция ДДОБ ()), изменяются подобным образом.
89
Сравнительная амортизация
20,00
Функция АПЛ()
Функция АСЧ()
16,00
Функция ФУО()
Функция ДДОБ()
12,00
8,00
4,00
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 6.5. Сравнительный анализ амортизационных отчислений
При использовании метода фиксированного процента остаточные
стоимости минимальны на протяжении всего срока службы по сравнению с другими схемами расчета. Остаточные стоимости, рассчитанные линейным методом, больше, чем все остальные.
Сравнительная амортизация
Остаточная стоимость
Sn равномерная
80,00
Sn сумма лет
Sn фикс %
60,00
Sn дв %
40,00
20,00
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
Рис. 6.6. Сравнительный анализ остаточной стоимости
90
8
Важность выбора способа расчета амортизации определяется тем,
что при вычислении налогооблагаемой базы амортизационные отчисления вычитаются из валовой выручки, уменьшая величину налога
на доходы, которые, в свою очередь, зависят от выбранной схемы. Порядок начисления амортизации определяется в статьях Налогового кодекса Российской Федерации (НК РФ) в главе 25 «Налог на прибыль
организаций», в которой рассматриваются вопросы амортизации.
Контрольные вопросы
1. Что такое амортизационные отчисления?
2. Какие существуют схемы расчета амортизационных отчислений?
3. Какие функции Excel используются для расчета амортизации?
4. Как рассчитывается равномерная амортизация?
5. Какие существуют методы ускоренной амортизации?
6. Какая функция Excel рассчитывает амортизационные отчисления по правилу суммы лет?
7. В чем суть метода фиксированного процента?
8. Как рассчитываются амортизационные отчисления по методу
двойного процента?
9. Проведите сравнение амортизационных отчислений, рассчитанных различными способами.
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 6.1. Фирма приобрела линию по изготовлению колбас
за 600 000 р. Срок службы линии 10 лет. Остаточная стоимость линии
равна нулю. Составить таблицу амортизационных отчислений по месяцам второго года эксплуатации. Рассчитать остаточные стоимости.
Построить графики. Использовать функции MS Excel. Расчет провести различными методами:
— равномерная амортизация;
— метод суммы годовых чисел;
— метод фиксированного процента (остаточная стоимость Sn =1);
— метод двойного процента.
Задание 6.2. В табл. 6.2 представлены данные фирмы по эксплуатации нескольких видов оборудования: даты ввода, балансовые стои91
мости (начальная стоимость S0), стоимости износа на 01.10.04, сроки эксплуатации.
Рассчитать амортизационные отчисления за октябрь месяц при
условии, что конечная остаточная стоимость Sn равна нулю.
По данным балансовой стоимости, стоимости износа на 01.10.04
найти остаточную стоимость указанного оборудования на 01.11.04.
Рассчитать общий износ.
Посчитать итоговые суммы по видам оборудования.
Применить четыре способа: линейный, суммы годовых чисел, фиксированного процента (остаточная стоимость Sn равна 1000 р.), метод
двойного процента. Расчет каждым способом проделать на отдельном
листе. Использовать финансовые функции MS Excel.
Таблица 6.2
Данные по эксплуатации оборудования на фирме
92
Библиографический список
1. Алиев В. С. Практикум по бизнес-планированию с использованием программы Project Expert: учеб. пособие/В. С. Алиев. — 2‑е
изд., перераб. и доп. — М.: ФОРУМ; ИНФРА-М, 2010. — 288 с.:
ил. — (Высшее образование).
2. Бережная Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие/Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — 2‑е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,
2008. — 432 с.: ил.
3. Бухвалов А. В, Бухвалова В. В. Финансовые вычисления для менеджеров. — СПб: Изд-во СПбГУ «Высшая школа менеджмента», 2010. — 368 с.
4. Вейскопф Дж. Excel 2000. Базовый курс/пер. с англ. — М.: Век+;
М.: ЭНТРОП; СПб.: КОРОНА, 2000. — 400 с.
5. Емельянов А. А., Власова Е. А., Дума Р. В. Имитационное моделирование экономических процессов. — М.: Финансы и статистика, 2009. — 368 с.
6. Жданов В. П. Организация и финансирование инвестиций:
учеб. пособие. — Калининград: Янтарный сказ, 2000. — 187 с.
7.Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью MS Excel. — 2‑изд./пер.
с англ. — М.: Изд. дом «Вильямс», 2008. — 448 с.
8. Лавренев С. М. Excel. Сборник примеров и задач. — М.: Финансы и статистика, 2000. — 331 с.
9. Музычкин П. А. Excel в экономических расчетах: учеб. пособие/П. А. Музычкин, Ю. Д. Романова. — М.: Эксмо, 2009. —
304 с. — (Высшее экономическое образование).
10.Пожарская Г. И., Сыромятников В. Н. Электронные таблицы
в экономике: учеб.-метод. пособие. — Екатеринбург: Издательство АМБ, 2008. — 178 с.
11.Трусов А. Ф. Excel 2007 для менеджеров и экономистов: логистические, производственные и оптимизационные расчеты
(+CD). — СПб.: Питер, 2009. — 256 с.: ил.
93
12.Цисарь И. Ф., Нейман В. Г. Компьютерное моделирование экономики. — М.: «Диалог-МИФИ», 2008. — 304 с.
13.Четыркин  Е. М. Финансовая математика: учеб. пособие. —
4-е изд. — М.: Дело, 2004. — 400 с.
Дополнительные источники
14.Статистический портал компании StatSoft. Сайт http://www.
statsoft.ru
15.Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Сайт http://www.
cfin.ru
94
Учебное издание
Федулов Сергей Викторович
Использование MS Excel
в финансовых вычислениях
Учебно-методическое пособие
для студентов экономических и управленческих специальностей
всех форм обучения
Редактор Н. А.  Попова
Верстка О. П. Игнатьевой
Подписано в печать 20.05.2013. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 5,6. Тираж 55 экз. Заказ 34.
Издательство УрГУПС
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66.