применение информации шеннона, информации тсаллиса и

2890
УДК 621.391
ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ШЕННОНА, ИНФОРМАЦИИ ТСАЛЛИСА
И ФУНКЦИИ ЧИСЛА СОСТОЯНИЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ И ОБЪЕКТОВ
А.Л. Тукмаков
Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН
Россия, 420111, Казань, Лобачевского ул., 2/31
E-mail: tukmakov@mail.knc.ru
Ключевые слова: динамический процесс, фазовое пространство, состояние системы,
базовое множество, обучение, идентификация
Аннотация: На примере решения системы уравнений Лоренца сопоставляются особенности диагностики типов динамического поведения при помощи функций информации
Шеннона и Тсаллиса. Предлагается метод идентификации динамических процессов на
основе анализа состояний динамической системы в фазовом пространстве. Приведены
примеры применения метода в задачах диагностики ламинарных и турбулентных фаз
решения системы уравнений Лоренца, а также для идентификации объектов по эхосигналу.
1. Введение
При анализе состава сигнала традиционно применяются методы фурье- или вейвлет-разложения. Система зависящих от времени коэффициентов ряда позволяет идентифицировать сигналы и связанные с ними объекты. В данной работе эти задачи решаются при помощи анализа состояний системы, соответствующих динамическому процессу. Метод следует из применения для этих целей информации Тсаллиса, построенной для последовательности состояний динамического процесса в дискретном фазовом
пространстве, содержащем фазовую траекторию.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2891
2. Диагностика динамических процессов и идентификация
объектов по эхо-сигналу
2.1. Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и
функции числа состояний системы при диагностике регулярных и
хаотических режимов движения
Информация Шеннона (1) используется для классификации типа динамического
поведения нелинейной системы [1]и позволяет различать ламинарные и турбулентные
фазы движения:
N
(1)
I S   pi log pi .
i 1
Здесь N – число состояний системы, pi – вероятность реализации i-состояния. Для того,
чтобы применить (1) к анализу временной реализации сигнала, необходимо тем или
иным способом определить пространство состояний динамической системы и найти
вероятности этих состояний. Для получения зависящей от времени функции информации, обычно используется принцип оконного выделения [2]: на временной оси выбирается интервал T и информация (1), найденная для данного интервала отождествляется
с моментом времени, соответствующим середине или правой границе временного окна.
Далее окно смещается вдоль временной оси, что позволяет построить зависимость информации от времени. Пространство состояний можно ввести, например, с помощью
покрытия аттрактора в фазовом пространстве сеткой с заданным разбиением (рис 1).
Попадание точки аттрактора в ячейку (j, k) в этом случае отождествляется с состоянием
системы, имеющим номер (k–1)J+j.
Рис.1. Введение пространства состояний динамической системы с помощью покрытия
сеткой области фазового пространства, занятой аттрактором. J, K – число ячеек сетки в
x- и y-направлениях.
В пределах текущего временного окна определяется общее число различных
состояний системы N, составляющих полную систему событий, находятся вероятности
их реализации pi, где i=(1, N), вычисляется значение информации в момент времени
t=T/2. Затем временное окно сдвигается на  и определяется значение информации в
момент времени t=T/2+, и т.д. Обобщением информации Шеннона является информация Тсаллиса [2]:
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2892
1 N
( ( pi ) q  1) ,
1  q i 1
обладающая, по сравнению с информацией Шеннона рядом дополнительных свойств.
Как показано в [2], в пределе при стремлении числового параметра q к единице, ITIS.
Сопоставление свойств информации Шеннона и Тсаллиса при диагностировании ламинарных и турбулентных фаз проведем на примере анализа решения системы уравнений
Лоренца (3) при следующих значениях управляющих параметров: b=8/3, r=170.5.
В этом случае параметр надкритичности r–r =170.5–166.07=4.43.
x   ( y  x), y  rx  xz  y, z  xy  bz.
(3)
Система (3) решалась численно. Значения функций x, y, z в момент времени tn+1 записывались в виде отрезка ряда Тейлора в окрестности значений в момент времени tn:
1 2x
1 3 x
x
2
(
)
(t )3  O(t ) 4 ,
x n 1  x n  t 

t

2 t 2
6 t 3
t
y
1 2 y
1 3 y
2
(4)
y n 1  y n  t 
(

t
)

(t )3  O(t ) 4 ,
2
3
t
2 t
6 t
2
z
1 z
1 3 z
n 1
n
2
z  z  t 
(t ) 
(t )3  O(t ) 4 .
2
3
t
2 t
6 t
Производные второго и третьего порядков выражались через производные первого порядка, что позволяло осуществить переход на (n+1) временной слой. Как следует из построения, метод имел 4 порядок точности, временной шаг при расчетах составлял
t=0.0001.
(2)
IT 
a
с
b
d
Рис. 2. a – временная реализация x(t), построенная по 104 точкам, б – информация Шеннона, в, г – информация Тсаллиса при q=0,999, q=1,001. Пространство состояний вводилось на плоскости x(t)–y(t) путем наложения на область, занятую аттрактором, сетки с
J=30, K=30. Временное окно содержало 100 точек.
На рис. 2, а приводится временная реализация x-составляющей решения, полученного при x(0)=0, y(0)=0.01, z(0)=0 , и содержащая перемежающиеся ламинарные и турбулентные фазы движения. На рис. 2, б, в, г показаны информация Шеннона и информация Тсаллиса при значениях параметра q, близких к единице. Как следует из привеXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2893
денных графиков, ламинарным фазам временного процесса соответствуют осцилляции
функции информации относительно мало меняющегося среднего значения. Турбулентные фазы сопровождаются колебаниями функции информации с амплитудами, значительно превосходящими шумовую составляющую. Изменение характера функции информации при смене типа динамического поведения вызвано изменением числа состояний системы, реализующихся в пределах смещающегося временного окна. При q1
информации Шеннона и Тсаллиса близки (рис.2, б, в, г). Рост значения q приводит к
изменению отношения сигнал-шум для информации Тсаллиса (рис. 3).
a
в
б
г
Рис. 3.
При q>1 отношение сигнала к шуму с ростом параметра q растет по экспоненциальному закону (рис. 4). Эффект подавления шумовой составляющей связан с тем, что шум в
текущем временном окне имеет вид ряда состояний со сравнительно малыми относительными частотами появления. При возведении в степень q>1, вес состояний с малой
относительной частотой появления уменьшается по сравнению с состояниями, имеющими большую относительную частоту появления и соответствующими сигналу. При
q=0 информация Тсаллиса IT(t)=N(t)–1, где N(t) – число состояний системы в момент
времени t. Таким образом, число состояний системы при возникновении турбулентных
фаз движения резко изменяется по сравнению с числом состояний, реализующихся при
ламинарном движении (рис. 5). Дальнейшее уменьшение параметра q в области отрицательных значений не приводит к качественному изменению поведения IT(t) при смене
ламинарных и турбулентных фаз. Уменьшению q соответствует рост уровня сигнала,
сопровождающийся ростом уровня шума (рис. 6). Повышение интенсивности шума при
q<1 связано с увеличением веса состояний, имеющих малые относительные частоты.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2894
Рис. 4. Отношение сигнал-шум для информации Тсаллиса при q>1.
Рис. 5. Изменение числа состояний системы во времени.
a
б
в
г
Рис. 6. Зависимость информации Тсаллиса от времени при уменьшении параметра q.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2895
Турбулентные и ламинарные фазы движения различаются числом состояний, в которых может находиться система. По этой причине, для анализа типа динамического
поведения можно использовать текущее число состояний динамической системы.
Можно предположить, что в пределах ламинарных и турбулентных фаз скорости нарастания числа состояний различны. Введем размеры ячейки x, y, определяющие состояние системы в фазовом пространстве. Будем подсчитывать число состояний системы по следующему правилу: в текущий момент времени число состояний системы S
увеличивается на единицу, если оно встречается впервые. В зависимости от глубины
анализа, под состоянием может пониматься состояние в текущий момент времени S(tn),
либо совокупность состояний (S(tn), S(tn–1 ),…, S(tn–k)).
Начальный этап роста функции S(t) (рис. 7) связан с накоплением числа неповторяющихся состояний системы. С течением времени наблюдается насыщение функции S(tn):
пространство ее состояний исчерпывается достаточно быстро. При усложнении понятия «состояния» процесс насыщения происходит более медленно (кривые 2, 3 на рис.
7). Ламинарным окнам функции y(t) соответствуют горизонтальные участки функции S.
В областях турбулентности функция S нарастает, что связано с появлением новых состояний динамического процесса. Нужно отметить, что в рамках данного подхода, состояние турбулентного всплеска, отмеченное в предыдущие моменты времени, в последующие моменты времени будет восприниматься как ламинарное, что и приводит к
«насыщению» функции S(T) и к необходимости анализа следующего по глубине вложения понятия «состояния» системы.
Рис.7. Зависимость y-составляющей системы Лоренца от времени и число состояний динамической системы при различной глубине анализа: 1 – S=S(tn); 2 – S=S(tn, tn–1); 3 –
S=S(tn, tn–1, tn–2).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2896
Рис.8. Зависимость y-составляющей системы Лоренца от времени и число состояний
динамической системы: 1 – анализируются состояния, возникавшие в течение всего временного процесса 0<t<tn; 2 – анализируются состояния, возникавшие в пределах временного окна.
Избежать процесса «насыщения» функции S(t) можно с помощью ограничения
множества анализируемых состояний. Введем временное окно шириной T. Для построения функции числа состояний S(tn), будем анализировать состояния, которые были реализованы в пределах временного окна в интервале tn–T <t<tn. Информация о состояниях при t<tn–T отсутствует, функция S(tn) увеличивается на единицу, если состояние, соответствующее моменту времени tn в пределах текущего временного окна
(при tn–T <t<tn) не встречалась. На рис. 8 представлены результаты анализа ламинарных и турбулентных фаз y-составляющей системы Лоренца на основе подсчета числа
состояний системы, реализующихся в смещающемся вдоль временной оси окне шириной T=3. Сопоставление кривых 1 и 2 на рис. 8 указывает на отсутствие «насыщения»
оконной функции S(tn), что позволяет более точно диагностировать турбулентные фазы
движения. Можно предположить, что выбор ширины окна T определяется временем
установления ламинарного режима: окно должно включать в себя хотя бы один период
ламинарного движения.
Таким образом, изменение параметра q позволяет задавать отношение сигнал-шум
зависящей от времени функции информации Тсаллиса. Анализ числа состояний системы при помощи информации Тсаллиса при q=0 показал, что ламинарные и турбулентные фазы движения отличаются числом состояний. Полученный результат позволил
сформулировать метод диагностики ламинарных и турбулентных режимов, отличающийся предельной простотой реализации и основанный на подсчете числа состояний
системы, реализованных в пределах временного окна.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2897
2.2. Идентификация объектов на основе анализа эхо-сигнала
с помощью функции числа состояний системы в дискретном
фазовом пространстве
Рассмотрим применение метода для выработки критерия идентичности или различия объектов − источников акустического эхо-сигнала. Пусть необходимо найти качественное различие между двумя лопатками промежуточной ступени компрессора высокого давления (рис. 9, а). Детали относятся к одному типоразмеру, но имеют геометрические отличия. Акустический сигнал формируется при соударении лопатки с ударником. Ударник представляет собой наклонный лоток, по которому скатывается стальной
шарик (рис. 9, б). Лопатка закрепляется в подвеске, обеспечивающей повторяемость
расположения ее поверхности относительно ударника и обладает малым демпфированием.
В результате соударения шарика с неподвижной лопаткой возникают акустические
колебания, которые принимаются емкостным микрофоном, подключенным к звуковой
плате компьютера. Спектры мощности акустических сигналов от первой и второй лопаток имели одинаковую структуру, но были взаимно смещены вдоль оси частот (рис.
10).
Функция числа состояний динамической системы. Для исследования акустического сигнала, содержащего информацию об объекте, применена функция числа состояний динамической системы [1, 2]. Рассмотрим образ динамического процесса u(t) в
фазовом пространстве, ограничившись для простоты изложения двумя измерениями.
Вдоль продольной оси будем откладывать значения функции u(ti) в дискретные моменты времени ti, вдоль поперечной оси – разность u(ti)–u(ti–1) [1, 2]. В общем случае размерность фазового пространства вложения определяется хаусдорфовой размерностью
аттрактора.
а
б
Рис. 9. а − лопатки компрессора; б − схема эксперимента: 1 − лопатка, 2 − подвес, 3 −
наклонный лоток, 4− стальной шарик, 5− микрофон.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2898
Рис. 10. Спектры мощности колебаний лопаток №1 и №2. Спектральные линии лопатки
№ 2 (сплошная линия) смещены влево относительно спектральных линий лопатки № 1
(штриховая линия).
Рис. 11. Пространство состояний динамического процесса.
Введем множество состояний рассматриваемого динамического процесса, покрыв
проекцию аттрактора на фазовую плоскость сеткой с заданными размерами ячейки X,
Y [1, 2], имеющую J и K ячеек в X и Y направлениях (рис. 11). Попадание точки аттрактора в ячейку (j, k) будем отождествлять с состоянием системы, имеющим номер
(k–1)J+j. Таким образом, состояние динамической системы характеризуется некоторым
диапазоном значений функции X и, с точностью до постоянного множителя, диапазоном скорости ее изменения Y. Под состоянием системы в многомерном фазовом пространстве понимается принадлежность точки аттрактора к определенной ячейке гиперкуба. Для того, чтобы дальнейший анализ был информативным, размеры ячеек должны
находиться вне областей насыщения и бедной статистики [3].
Построим функцию числа состояний динамической системы следующим образом:
в текущий момент времени функция увеличивается на единицу, если анализируемое
состояние не содержится в некотором базовом множестве. В зависимости от глубины
анализа, под состоянием понимается состояние N(ti) в текущий момент времени ti, либо
совокупность состояний (N(ti), N(ti–1), N(ti–2), …., N(ti−n)), учитывающая ряд предшествующих моментов времени. Определенная таким способом функция числа состояний
реагирует на изменение амплитуды и частоты анализируемой временной реализации
относительно значений, содержащихся в базовом множестве. Чувствительность функции числа состояний можно варьировать в широких пределах как за счет выбора размерности анализируемой фазовой кривой (фазовая кривая в пространстве вложения,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2899
или ее проекции) и выбором размеров ячеек сетки, покрывающей область, занятую фазовой кривой, так и определением глубины анализа состояния во времени.
Формирование базового множества. Базовое множество, по отношению к которому определяется новизна текущего состояния формируется в процессе анализа временной реализации сигнала и является полным, если все (или почти все) возможные его
состояния исчерпываются в течение конечного интервала времени. При исследовании
акустической реакции на внешнее возбуждение базовое множество будем формировать
из состояний, реализующихся в серии соударений лопатки с ударником. Рассмотрим,
как зависит скорость роста числа его новых состояний от числа соударений. Пусть
функция числа состояний N в момент времени ti увеличивается на единицу, если это
состояние в предыдущие моменты времени не встречалось. В противном случае функция N не меняется. Одновременно с функцией строится базовое множество, куда добавляется текущее состояние, если оно привело к росту N.
Анализ результатов. На рис. 12, а показана функция числа состояний и сигнал с
выхода микрофона в серии ударов по лопатке № 1, по которой произведены первые
одиннадцать импульсов серии. С каждым ударом уменьшается скорость нарастания
числа новых состояний N − новые состояния добавляются в базовое множество, происходит обучение системы. Зависимость между числом новых состояний и порядковым
номером импульса в серии была получена методом наименьших квадратов для степенной функции. Оказалось, что скорость обучения системы описывается законом Ципфа
[4] NA/n(1+), А=573, =0,38, где n − порядковый номер импульса в серии (рис. 12, б).
При этом «алфавит» Ципфа образуется множеством состояний системы в дискретном
фазовом пространстве. Каждое из состояний обладает некоторой собственной частотой
повторения, определяющей ранг состояния в базовом множестве [11].
а
б
Рис. 12. а − функция числа состояний и последовательность импульсов, воздействующих на лопатку № 1; б− зависимость числа новых состояний системы от номера импульса в серии.
Авторегрессионная модель приращения числа состояний N=A/n(1+)+(n), где (n)
− шумовое слагаемое, позволяет оценить скорость обучения системы [5]. В случае, если
приращение числа новых состояний системы по отношению к базовому множеству существенно отличается от предсказанного авторегрессионной моделью, можно сделать
вывод об изменении свойств объекта или о несоответствии признаков объекта базовому
множеству. Так, на рис. 12, а последний импульс воздействовал на лопатку № 2 (при
прежних параметрах возбуждения и закрепления), в результате чего приращение числа
новых состояний значительно превысило предсказанное авторегрессионной моделью
для лопатки № 1 (рис. 12., б).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2900
а
б
Рис. 13. а − функция числа состояний и последовательность импульсов, воздействующих на лопатку № 2; б − зависимость числа новых состояний системы от номера импульса в серии.
На рис. 13, а приводятся результаты обучения системы распознаванию признаков
лопатки № 2. Скорость обучения описывается соотношением NA/n(1+), А=610,
=0,37 (рис. 13, б). После того, как завершилось обучение системы, выражающееся в
уменьшении числа новых состояний, возникающих под воздействием удара, была проведена замена лопатки № 2 на лопатку № 1, что привело к резкому росту числа новых
состояний N, противоречащему авторегрессионной модели (рис. 13, а).
3. Заключение
Таким образом, для построения системы распознавания объектов, обладающих
геометрическими или структурными различиями может быть применена функция, определенная на дискретном множестве состояний в фазовом пространстве динамической
системы. Критерием идентичности или различия объектов в этом случае является приращение числа новых состояний акустического отклика по отношению к базовому
множеству. Разрешающая способность функции числа состояний определяется размерностью пространства, в котором анализируется процесс, глубиной анализа «состояния»
во времени и размерами ячейки сетки, покрывающей область, занятую фазовой кривой.
Данная функция при соответствующей настройке параметров, определяющих «состояние», выявляет моменты времени нарастания и число новых по отношению к базовому
множеству состояний, что позволяет выявлять качественные различия в свойствах объектов, реагирующих на внешнее воздействие.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир. 1988. 240 с.
Capurro A., Diambra L., Lorenzo D., Macadar O., Martin M.T., Mostaccio C., Plastino A., Perez J., Rofman E., Torres
M.E., Velluti J. Human brain dynamics: the analysis of EEG signals with Tsallis information measure// Physica A.
1999. Vol. 265, No. 1-2. P. 235-254.
Abe S. Axioms and uniqueness theorem for Tsallis entropy// Phys. Lett. A. 2000. Vol. 271, No. 1-2. P. 74-79.
Тукмаков А.Л. О диагностике регулярных и хаотических режимов движения динамической системы при помощи функции числа состояний // Письма в Журнал технической физики. 2002. Т. 28. № 6. С. 18-22.
Тукмаков А.Л. Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний системы при диагностике регулярных и хаотических режимов движения // Журнал технической физики. 2002. Т.
72. Вып. 7. С. 137-140.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2001.
Анализ авторегрессий. Сборник статей под ред. Ю.П.Лукашина. М.: Статистика, 1978. 231 c.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.