2. Методы восстановления изображений

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КУРСА. ОПТИЧЕСКАЯ И НЕОПТИЧЕСКАЯ ГОЛОГРАФИЯ
1. Что такое изображение
В рамках курса под изображением мы будем условно понимать распределение
интенсивности электромагнитного поля видимого диапазона волн, формируемое в процессе
зрения на сетчатке глаза. Это так называемое оптическое изображение, поскольку в его
формировании участвуют радиоволны оптического диапазона.
Под микроволновым изображением объекта обычно понимают изображение объекта,
сформированное тем или иным способом при помощи радиоволн диапазона СВЧ.
Рентгеновским, в свою очередь, называют изображение, полученное при помощи
рентгеновоского излучения. Для формирования ультразвукового изображения используются
механические колебания частотой более 20 кГц.
Особняком
стоит
радиолокационное
изображение,
которое
формируется
последовательным зондированием пространства при помощи узкого направленного пучка
радиоволн.
2. Методы восстановления изображений
Восстановление (формирование) изображения предполагает построение оптического, т.е.
видимого глазом, изображения с использованием неоптических принципов и излучений. Во всех
случаях при формировании изображения происходит взаимодействие используемого излучения
(оптического, микроволнового, рентгеновского, ультразвукового) с объектом, в результате
которого излучение рассеивается. Рассеянное излучение тем или иным образом регистрируется и
в конечном итоге преобразуется в оптическое изображение.
В методах прямого видения распределение интенсивности рассеянного объектом поля
фокусируется в некоторой плоскости. Затем это распределение непосредственно преобразуется в
распределение яркости или прозрачности фотопластинки или другого устройства, позволяющего
получить оптическое изображение.
Локационные методы формируют изображение путем последовательного зондирования
различных участков исследуемого пространства. Чаще всего при этом используется короткий
импульс поля, направляемый антенной системой в виде узкого луча. По наличию отраженного
сигнала можно судить о наличии объекта в зондируемом участке, а по времени задержки
импульса – оценивать расстояние до объекта.
Голографические методы предполагают регистрацию полной информации о поле,
рассеянном объектом (в отличие от остальных методов, обычно регистрирующих только
интенсивность поля). В подавляющем большинстве случаев в голографических методах
используется монохроматическое поле, и при формировании изображения регистрируется как
амплитуда, так и фаза рассеянного поля.
В томографических методах используется восстановление изображения объекта по его
проекциям. Характерным применением томографических методов является медицинская
томография, в которой по одномерным проекциям, полученным при помощи рентгеновских
лучей или излучения ЯМР, формируется двухмерное изображение среза человеческого тела.
Трехмерное изображение при этом строиться последовательным перемещением плоскости среда
вдоль тела.
3. Методы реконструкции изображений
Под реконструкцией изображений обычно понимают преобразование одного оптического
изображения в другое для улучшения каких-либо его параметров.
Наиболее типичными примерами реконструкции являются
- Корректировка яркости, контрастности, цвета (баланса белого) и других макропараметров
изображения
- Устранение шума на изображении
- Устранение искажений, вызванных расфокусировкой объектива или перемещением
камеры или объекта во время экспозиции (коррекция смазов)
1
4. Другие методы цифровой обработки изображений
Изображение в цифровой форме обычно представляет собой набор чисел, характеризующих
яркость того или иного элементарного участка изображения (пиксела). В цветных изображениях
каждому пикселу соответсвтует несколько чисел – по количеству каналов цветности.
В таком виде качественное изображение требует большой даже по современным меркам
объем данных для хранения. По этой причине подавляющее большинство изображений в
цифровом виде храниться в сжатом виде.
Выделяют два принципиально разных класса алгоритмов сжатия изображений – сжатие
без потерь и сжатие с потерями.
При сжатии без потерь набор чисел, представляющий изображение, преобразуется в
меньший объем так, чтобы при декомпрессии сформировался в точности такой же набор чисел.
Сжатие с потерями допускает, что набор чисел после декомпрессии может отличаться от
исходного набора, однако алгоритмы строят так, чтобы это отличие было мало заметно
человеческому глазу.
Сжатие с потерями позволяет достичь намного более высокой степени компрессии, чем
сжатие без потерь.
Некоторые изображения удобнее хранить не в виде пикселов, а в векторном виде, когда
элементы изображения описываются в виде линий, фигур и текста на плоскости. В частности,
чертежи, диаграммы, географические карты удобнее представлять именно в таком формате.
Существуют алгоритмы, позволяющие по изображению, представленному в виде пикселей
(такое изображение еще называют растровым) построить его векторное представление. Такая
операция называется векторизацией. Поскольку между растровым и векторным представлением
не существует прямой связи, алгоритмы обычно имеют множество настроек для получения
приемлемого результата.
В последнее время благодаря развитию компьютерных наук и возросшим вычислительным
мощностям компьютеров набирает популярность автоматическая индексация изображений.
Индексация позволяет выделить в изображении отдельные признаки (изображенные объекты, их
цвет, сцену, и т.п.). Индексация необходима, например, при поиске среди большого количества
изображений (например, найти все фотографии, на которых изображены облака), при выделении
фрагментов видеоряда, на которых встречается определенный человек и т.п.
5. Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
Голография (от греческого, Όλος—holos — полный + γραφή—graphe — запись) — набор
технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей.
Данный метод был предложен в 1948 г. Дэннисом Габором, он же ввёл термин голограмма и
получил «за изобретение и развитие голографического принципа» Нобелевскую премию по физике в
1971 г.
Интерференция двух плоских волн.
Когда в некоторой области пространства складываются несколько электромагнитных волн,
частоты которых с очень высокой степенью точности совпадают, возникает стоячая
электромагнитная волна. Когда записывают голограмму, в определённой области пространства
складывают две волны: одна из них идёт непосредственно от источника (опорная волна), а другая
отражается от объекта записи (объектная волна). В области стоячей электромагнитной волны
размещают фотопластинку (или иной регистрирующий материал), в результате на этой пластинке
возникает сложная картина полос потемнения, которые соответствуют распределению
электромагнитной энергии (картине интерференции) в этой области пространства. Если теперь эту
пластинку осветить волной, близкой к опорной, то она преобразует эту волну в волну, близкую к
объектной. Таким образом, мы будем видеть (с той или иной степенью точности) такой же свет,
какой отражался бы от объекта записи.
При записи голограммы крайне важно, чтобы длины (частоты) объектной и опорной волн с
максимальной точностью совпадали друг с другом и не менялись в течение всего времени записи
(иначе на пластинке не запишется чёткой картины интерференции). Этого можно добиться только
при выполнении двух условий:
1. обе волны изначально испущены одним источником
2. этот источник испускает электромагнитное излучение с очень стабильной длиной волны
(когерентное излучение)
2
Крайне удобным источником света, хорошо удовлетворяющим второму условию, является
лазер. До изобретения лазеров голография практически не развивалась (вместо лазера использовали
очень узкие линии в спектре испускания газоразрядных ламп, что сильно затрудняет эксперимент).
На сегодняшний день голография предъявляет одни из самых жестких требований к когерентности
лазеров.
Чаще всего когерентность принято характеризовать длиной когерентности — той разности
оптических путей двух волн, при которой контраст интерференционной картины уменьшается в два
раза по сравнению с интерференционной картиной, которую дают волны, прошедшие от источника
одинаковое расстояние. Для различных лазеров длина когерентности может составлять от долей
миллиметра (мощные лазеры, предназначенные для сварки, резки и других применений, не
требовательных к этому параметру) до десятков метров (специальные, так называемые
одночастотные, лазеры для требовательных к когерентности применений).
Интерференционный член
p  p1  p2  A1 cos t  1   A2 cos t  2  
 A1 cos t  cos 1   A1 sin t  sin 1  
p  p1  p2  A1 exp  i1   A2 exp  i2   A1  cos 1  i sin 1   A2  cos 2  i sin 2  
  A1 cos 1  A2 cos 2   i  A1 sin 1  A2 sin 2   A exp  i 
A
 A1 cos 1  A2 cos 2    A1 sin 1  A2 sin 2 
2
2

A12 cos 2 1  A22 cos 2 2  2 A1 A2 cos 1 cos 2 
 A12 sin 2 1  A22 sin 2 2  2 A1 A2 sin 1 sin 2

 A12  A22  2 A1 A2  cos 1 cos 2  sin 1 sin 2   A12  A22  2 A1 A2 cos 1  2 
6. Оптическая схема получения голограммы.
Голограмма Габора
Осевая голограмма точечного источника, предложенная Д. Габором в 1948 году, исторически
явилась первым известным типом голограмм. Точечный источник света располагается на расстоянии
L от фотопластинки. Фотопластинка освещается также когерентной плоской волной. В результате
интерференции плоской волны и волны точечного источника на фотопластинке возникает
потемнение, повторяющее интерференционную картину. Такая пластинка с сохранённой на ней
картиной интерференции волн и называется голограммой. В отличии от фотографии голограмма
сохраняет не только информацию об интенсивности волн, пришедших от источника, но и о фазе этих
волн. Будучи просвеченной когерентным светом, изображение источника восстанавливается в том
же месте, где он находился при записи голограммы. Причём восстановленное изображение
трёхмерное. Помимо мнимого восстановленного изображения предмета P1 имеется его
действительное изображение P2, расположенное симметрично с противоположной стороны
фотопластинки, а также часть прошедшей плоской волны, освещающей голограмму.
Мнимое и действительное изображения.
Голограмма Лейта и Упатниенса.
В этой схеме записи луч лазера делится специальным устройством, делителем (в простейшем
случае в роли делителя может выступать любой кусок стекла), на два. После этого лучи с помощью
линз расширяются и с помощью зеркал направляются на объект и регистрирующую среду
3
(например, фотопластинку). Обе волны (объектная и опорная) падают на пластинку с одной стороны.
При такой схеме записи формируется пропускающая голограмма, требующая для своего
восстановления источника света с той же длиной волны, на которой производилась запись, в идеале
— лазера.
Схема Денисюка
В 1962 г. русский физик Юрий Николаевич Денисюк предложил перспективный метод
голографии с записью в трехмерной среде. В этой схеме луч лазера расширяется линзой и
направляется зеркалом на фотопластинку. Часть луча, прошедшая через неё, освещает объект.
Отраженный от объекта свет формирует объектную волну. Как видно, объектная и опорная волны
падают на пластинку с разных сторон (т.н. схема на встречных пучках). В этой схеме записывается
отражающая голограмма, которая самостоятельно вырезает из сплошного спектра узкий участок
(участки) и отражает только его (т.о. выполняя роль светофильтра). Благодаря этому изображение
голограммы видно в обычном белом свете солнца или лампы (см. иллюстрацию в начале статьи).
Изначально голограмма вырезает ту длину волны, на которой её записывали (однако в процессе
обработки и при хранении голограммы эмульсия может менять свою толщину, при этом меняется и
длина волны), что позволяет записать на одну пластинку три голограммы одного объекта красным,
зелёным и синим лазерами, получив в итоге одну цветную голограмму, которую практически
невозможно отличить от самого объекта.
Эта схема отличается предельной простотой и в случае применения полупроводникового
лазера (имеющего крайне малые размеры и дающего расходящийся пучок без применения линз)
сводится к одному лишь лазеру и некоторой основы, на которой закрепляется лазер, пластинка и
объект. Именно такие схемы применяются при записи любительских голограмм.
7. Неоптическая голография
Основной принцип неоптической голографии заключается в замене используемого излучения с
видимого света на другой – например, радиоволны или ультразвук. Самое большое развитие
неоптическая голография получила с использованием электромагнитных волн диапазона СВЧ.
4
Основной проблемой неоптической голографии является восстановление оптического
изображения. Для этой цели изначально использовали масштабирование снятых голограмм с тем,
чтобы их можно было восстанавливать в длинах волн оптического диапазона, как и обычные
голограммы. Конечно, при этом интерференционная картина используемого при формировании поля
должна быть представлена в виде распределения яркости или прозрачности.
Другой проблемой является собственно регистрация интерференционной картины. Энергия
отдельных фотонов в волнах СВЧ диапазона слишком мала, чтобы вызвать какие-либо химические
реакции, как это происходит на обычной фотопленке. Поэтому наиболее распространенный способ
регистрации микроволновых голограмм – по локальному разогреву, возникающему в местах
наибольшей интенсивности интерференционной картины. Регистрация при этом производится при
помощи специальной фотопленки, меняющей прозрачность при нагревании, при помощи жидких
кристаллов (цвет и поляризационные свойства их зависят от температуры), тонкие полимерные
пленки, приорбретающие рельеф при локальном разогреве и т.п.
По мере развития аппаратуры для излучения и регистрации радиоволн СВЧ диапазона начали
использовать нефизическую регистрацию. В этом случае регистрация выполняется не непрерывной
средой, а перемещающеся антенной. Антенна последовательно сканирует область пространства, в
которой требуется зарегрстрировать интерференционную картину, а приемник, подключенный к
антенне, регистрирует интенсивность поля при нахождении антенны в той или иной точке.
Данный метод не требует физической среды для регистрации и обеспечивает более высокую
точность, однако требует гораздо больше времени на регистрацию картины. Для уменьшения
времени регистрации используют несколько антенн и приемных каналов.
Следующим шагом явился отказ от формирования интерфенционной картины в пространстве.
Опорный сигнал подавался непосредственно в приемный тракт, подмешиваясь к сигналу приемной
антенны. Таким образом из системы исключалась одна облучающая антенна для опорной волны.
Развитием этого метода стал полный отказ от подмешивания опорной волны для регистрации
фазы. Фаза при этом измеряется при сравнении сигнала, подаваемого в облучающую антенну, с
сигналом, поданным в приемную.
5
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ И
РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
8. Дельта-функция
Вытекающее из классической математики представление о непрерывной среде или
непрерывном поле долгое время являлось тормозом при формулировке принципов математической
физики. Классическая математика не в состоянии описать такие объекты как точечная масса,
точечный заряд, точечный отражатель, точечный источник и другие подобные им, которые широко
используются при решении многих физических задач. Противоречие между потребностями физики и
уровнем развития математики привело, в свое время, к возникновению нового раздела математики –
теории распределений или теории обобщенных функций. Мы не будем заниматься теорией
обобщенных функций как таковой, а рассмотрим только одну функцию из этого класса, а именно
дельта-функцию. Это функция часто используется не только при решении физических задач, но и
задач связанных с радиоэлектроникой и обработкой сигналов.
По определению любая функция,  ( x ) для которой выполняется равенство

   x    x  dx    0 
(8.1)

называется дельта-функцией. Функция   x  , входящая в данное равенство, должна быть
непрерывной функцией.
Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дельта-функции:
e
m=1
x
x
x=0
x - e/2
x - e/2
Рисунок 0-1 – Задача с решением в виде дельта-функции
Пусть в точке x  0 числовой оси помещена масса, равная 1. Обозначим через mx,e  массу
отрезка длиной e с центром в точке x . Очевидно, что эта масса равна 1, если отрезок
[ x  e / 2, x  e / 2] содержит точку x  0, и н
улю в противном случае. Т.е.

1, åñëè x  e / 2
m  x, e   
.

0, åñëè x  e / 2
(8.2)
Обозначим как  e  x  среднюю плотность распределения массы на отрезке [ x  e / 2, x  e / 2] .
Очевидно, что
 e x  
m x, e 
e
.
(8.3)
Покажем, что при e  0 функция  e  x  стремится к дельта-функции. Для этого, исходя из
определения дельта-функции, достаточно показать, что выполняется следующее равенство

lim
e 0
  e  x    x  dx    0  .
(8.4)
-
Рассмотрим разность между правой и левой частями равенства (8.4). Для доказательства
необходимо показать, что эта разность тождественна равна нулю. Подставим выражения (8.2) и (8.3)
в соотношение (8.4). Учитывая, что функция  e  x  равна нулю при x  e / 2 и равна 1
в
e
противном случае, можно от бесконечных пределов интегрирования перейти к конечным:

 e  x    x  dx    0  

1
e
e /2
   x  dx    0  .
e / 2
6
(8.5)
На на интервале [ e / 2, e / 2] будет существовать как минимум одна точка x  e 0 , в которой
функция   x  принимает максимальное значение. В этом случае можно записать, что
e /2
e   x  dx  e   e  ,
(8.6)
0
 /2
и следовательно
1
e
e /2
   x  dx    0 
e

 /2
1
  e 0   e     0    e 0     0  .
e
(8.7)
При e  0 e 0 стремится к 0 так как e 0  [e / 2, e / 2] . А так как   x  - непрерывная функция, то
 e 0     0 . В результате получаем

lim
e 0
 e     0   0 .
 e  x    x  dx    0   lim
e
0
0

(8.8)
Таким образом lim e  x     x  . Что и требовалось доказать.
e 0
Мы рассмотрели один из примеров представления дельта-функции как предела. Существуют и
другие предельные переходы, приводящие к дельта-функции. Особый интерес для нас представляет
следующий предельный переход
  x   lim
e 
sin ex
.
x
(8.9)
Следствием этого выражения является тождество
1
2

e
jx
d    x .
(8.10)

Доказательство этого тождества приведено ниже.
1
2



e
jx
1
d  lim
e   2
e
1 jx
e
e   2jx
jx
 e d  lim
e
e
e
e jx  e  jx
sin ex
 lim
  x 
e 
e   x
.
 2 jx
 lim
(8.11)
Данное тождество будет необходимо нам при рассмотрении ряда вопросов в более поздних
лекциях этого курса.
9. Свойства дельта-функции
Фильтрующее свойство дельта-функции

   x    x  x  dx    x 
0
0
(9.1)

Доказательство этого свойства тривиально. Достаточно использовать подстановку y  x  x0

   y  x    y  dx    x  .
0
0
(9.2)

Дельта-функция со сложным аргументом
Определим значение следующего выражения
b
   x     x  dx .
a
7
(9.3)
Для этого воспользуемся подстановкой   x   y, dy     x  dx, x  f  y  , где f  y  функция
обратная  x  . В результате получим
b
   x     x  dx 
a
 b
  f  y 
dy



f
y

y


        f y      f y    y  dy
 a
     a    
 b
(9.4)
Пусть  x  монотонно возрастает на интервале a, b и имеет на этом интервале единственный
корень в точке x0 . Т.е.  x0   0 . При этом ax0   0 . В этом случае согласно фильтрующему
свойству
a b 
dy
  x0 
   f  y    y  a  x   a  x  .
a a 
(9.5)
0
Если a x  - монотонно убывающая функция, то, во-первых, ax0   0 и во-вторых  ( a )   (b)
т.е. нижний предел интегрирования в полученном интеграле больше верхнего. В то же самое время в
определении дельта-функции верхний предел интегрирования больше нижнего. С учётом этого
после элементарных преобразований получим
 a
  f  y    y 
  x0 
dy
.

[
f
y
]

y


dy 






 |   x |
 |   x |
   x0 
 a
 b
 b
(9.6)
Очевидно, что последнее выражение справедливо как для случая монотонно убывающей, так и
для случая монотонно возрастающёй функции  x  .
Сравнивая полученное выражение с выражением для фильтрующего свойства, можно
получить, что
  x  x0 
,
 x0 
  x  
(9.7)
где a x0  корень функции  x  на интервале a, b .
Если функция  x  имеет не один, а счетное число корней, то интервал интегрирования a, b
разобьем на ряд интервалов an , bn   a, b таких, что на каждом из них функция  x  имеет всего
один корень xi . Выполнив для каждого интервала an , bn  выкладки, приведенные выше, получим
  x   
i
 x  xi 
,
 xi 
где xi - корень уравнения  x   0.
Наглядно дельта-функция сложного аргумента показана на рисунке 0-2.
8
(9.8)
(x)
x1
x2
x3
x4
x5
x
x2
x3
x4
x5
x
(x)]
x1
Рисунок 0-2 – Дельта-функция сложного агрумента
Примеры
Рассмотрим несколько примеров. Первый – дельта-функция от линейной функции
 c x  
1
 x  ,
c
(9.9)
где c – константа.
Второй пример - дельта функция от sin x  . Корни функции sin x  равны n , производная
равна cos( x ) . С учётом этого получим

 sin  x  
 x  n  .
(9.10)
n  
И последний пример, дельта-функция от x 2  1 . Функции x 2  1 имеет два корня 1 и –1, а
производная равна 2x. В итоге имеем
 x 2  1    x  1    x  1.
1
2
1
2
(9.11)
10. Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
Преобразование Фурье – одно из наиболее часто используемых интегральных преобразований.
По определению интегральное преобразование вида

S ( ) 
 s ( x )e
 j x
dx
(10.1)

называется интегральным преобразованием Фурье функции s ( x ) .
Для существования интегрального преобразования Фурье функция s ( x ) должна удовлетворять
определённым условиям, которые называются условиями Дирихле. Условия Дирихле требуют, что
бы функция s ( x ) была квадратично интегрируемой, имела конечное число разрывов первого рода и
не имела разрывов второго рода. Это достаточно жёсткие условия. На практике они часто не
соблюдаются и класс функций, для которых вычисляется преобразование Фурье, значительно шире
класса функций, определяемого этими условиями.
Преобразование Фурье обратимо. Интегральное преобразование вида
1
s ( x) 
2

 S ( )e

9
j x
d
(10.2)
называется обратным преобразованием Фурье.
Коэффициент
1 2 , стоящий перед
интегралом в этом выражении, является нормирующим коэффициентом. Он обеспечивает
сохранение энергии при последовательном выполнении прямого и обратного преобразований Фурье.
Теорема о свёртке
Сверткой функций f ( x ) и s ( x ) называется функция

g ( x) 
 s(t ) f ( x  t )dt
(10.3)

Пусть для функций f ( x ) , s ( x ) и g ( x ) существуют преобразования Фурье соответственно
функции S ( ) , F ( ) и G ( ) . Тогда
G ( )  S ( )  F ( ) .
(10.4)
Т.е. спектр свёртки равен произведению спектров сворачиваемых функций.
Докажем эту теорему. По определению преобразования Фурье

G ( ) 
 g ( x )e
 j x
dx .
(10.5)

Подставим вместо g ( x ) выражение этой функции через свёртку функций s ( x ) и f ( x ) . В
результате получим
G ( ) 
 
  s(t ) f ( x  t )dte
 j x
dx .
(10.6)
 
Преобразуем это выражение.
G( ) 
 
  s(t ) f (t  x)dte
 
 j x
 
dx  
 s(t ) f ( x  t )dte
 j ( x t )  jt
e
dx
(10.7)
 
Так как пределы интегрирования бесконечны, можно разделить двойной интеграл в правой
части этого выражения на два независимых интеграла. В результате получим то, что и требовалось
доказать

G ( ) 



s(t )e  jt dt  f ( x  t )e  j ( x t ) d ( x  t ) S ( )  F ( ) .
(10.8)

11. Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
Несмотря на то, что большинство процессов и явлений в окружающем нас мире имеют
нелинейный характер, в физике, технике и математике широко используется понятия линейный
сигнал, линейная система, линейное преобразование.
Рассмотрим некоторую систему, к входу которой приложено воздействие s ( x ) . На выходе
системы формируется отклик f  x  (Рисунок 0-3).
s(x)
L[ ]
f(x)
Рисунок 0-3 – Схематичное обозначение системы
Преобразование, которое выполняет система над воздействием s ( x ) можно обозначить как
оператор L[ ] . В этом случае связь между функциями s  x  и f  x  задаётся в виде операторного
уравнения
10
f  x   L  s  x   .
(11.1)
При этом говорят, что функция f ( x ) формируется в результате воздействия оператора L[ ] на
функцию s ( x ) .
L[ ] выполняется принцип суперпозиции, то и сам оператор и
Если для оператора
соответствующая ему система называются линейными. Суть принципа суперпозиции можно
выразить при помощи следующего соотношения
L  k1s1  x   k2 s2  x    k1 L  s1  x    k2 L  s2  x   ,
(11.2)
Импульсный отклик линейной системы
Выразим сигнал на входе рассматриваемой нами линейной системы через  - функцию.

s ( x) 
 s( )   x  d
(11.3)

Используя полученное выражение для функции s ( x ) , запишем отклик системы


f ( x)  L   s     x  d 
 

(11.4)
Оператор L   и операция интегрирования линейны, поэтому мы имеем право поменять их
местами. В этом случае

f ( x) 
 s   L    x  d ,
(11.5)

или

f ( x) 
 s    h  x,   d  .
(11.6)

Функция
h  x,    L    x  
(11.7)
называется импульсным откликом линейной системы.
Если импульсный отклик линейной системы известен, то вычисление отклика системы на
заданное входное воздействие превращается в достаточно простую задачу – вычисление
определенного интеграла.
Для сравнения рассмотрим пример, в котором линейная система описывается при помощи
линейного интегрально-дифференциального уравнения. В качестве линейной системы возьмем
обычную RLC цепочку.
C
L
s(t)
R
f(t)
Рисунок 0-4 – RLC-цепочка как пример линейной системы
Соотношение между входным и выходным сигналами описывается при помощи следующих
уравнений.
L
di(t )
1
 R  i (t )   i (t )dt  s(t )
dt
C
f (t )  R  i(t )
11
(11.8)
Пусть входным воздействием является очень короткий импульс напряжения, поступивший в
момент времени : s0  t     t    . Решая уравнения (11.8), можно получить, что выходной сигнал в
этом случае будет описываться выражением
f t    h t   
R  t  
R
e
sin c t    , где  
, c 
0 L
2L
1
 2
LC
(11.9)
Таким образом, выходной сигнал системы при подаче произвольного входного сигнала s  t 
будет определяться как
t
t
0
0
f  t    s   h  t    d    s   .
R  t  
e
sin c t    d .
c L
(11.10)
Наглядное представление преобразования сигналов RLC-цепочкой показано на следующем
рисунке:
s(t)
t
1 2 3 4 5 6
f(t)
f(t)
x
h(t-1)
h(t-2)
12. Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
Выше нами получено соотношение, которое связывает между собой входное воздействие s ( x ) ,
отклик f ( x ) и функцию h( x) , которая описывает параметры системы. Одна из этих функций всегда
неизвестна. В противном случае задача теряет смысл.
Прямые и обратные задачи.
В соответствии с терминологией, принятой в электродинамике и математической физике,
определение отклика системы f ( x ) по входному воздействию s ( x ) при известной функции h( x)
называется прямой задачей. Определение входного воздействия s ( x ) по отклику системы f ( x )
называется обратной задачей. И наконец, определение импульсного отклика системы h( x) по
известным функциям s ( x ) и f ( x ) , называется задачей идентификации системы.
Очевидно, что решение прямой задачи сводится к вычислению определённого интеграла и
является относительно простой задачей. Эта задача всегда имеет решение. Другой разговор, как
быстро и с какой точностью его можно получить.
Решение обратных задач представляет собой значительно более сложную проблему. На
сегодняшний день имеются различные подходы к её решению. Некоторые из них мы рассмотрим в
рамках этого курса.
Начнём с чисто математических вопросов. В том случае, когда неизвестной функцией является
входное воздействие, соотношение (9.1) превращается в интегральное уравнение (неизвестная
функция находится под знаком интеграла)
f  x 

 s   h  x,  d
(12.1)

Приведенное выше уравнение хорошо известно математикам и называется уравнением
Фредгольма 1-го рода.
12
Определение входного воздействия по известному отклику системы носит название обратной
задачи. Для решения обратной задачи необходимо решить интегральное уравнение (9.1), т.е.
определить при известных функциях f  x  и h  x,  функцию s   .
Ядро интегрального уравнения.
Функция h  x,  , которую мы знаем как импульсный отклик линейной системы или как
аппаратную функцию, в теории интегральных уравнений носит название ядра интегрального
уравнения.
Уравнения Фредгольма классифицируются по типу ядра. Если h  x,   h  , x  , то ядро
называется симметричным, а уравнение Фредгольма соответственно уравнением Фредгольма с
симметричным ядром.
Если h  x,   h  x   , то ядро называется разностным. Линейные системы, которые
описываются интегральным уравнением Фредгольма с разностным ядром, являются инвариантными
к сдвигу.
В зависимости от типа ядра возможны те или иные методы решения уравнения Фредгольма.
Наиболее простое решение имеет уравнение Фредгольма с разностным ядром. Несколько позже мы
получим это решение.
Наиболее сложное решение имеют уравнения, ядра которых не относятся ни к симметричным,
ни к разностным ядрам. В каждом конкретном случае для таких уравнений необходимо находить
индивидуальное решение.
Собственные функциями интегрального уравнения.
Функции i  x  , удовлетворяющие равенству
b
     h  x,   d      x 
i
i
i
(12.2)
a
называются собственными функциями интегрального уравнения, а числа i его собственными
значениями. Обычно собственными значения i располагают в порядке убывания их абсолютной
величины и числу с максимальным значением присваивают индекс равный 0. Собственные функции
интегрального уравнения ортогональны если
b
   x    x  dx  0
i
j
i  j .
(12.3)
a
Собственные функции интегральных уравнений Фредгольма с разностным и симметричным
ядрами всегда можно привести к ортогональному виду.
13. Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
Запишем уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
f  x 

 s( x)h  x    d
(13.1)

Очевидно, что по форме записи это уравнение является свёрткой функций s (x ) и h(x ) .
Применим к этому уравнению теорему о свёртке и запишем
F ( )  S ( )  H ( )
(13.2)
где F ( ) , S ( ) и H ( ) спектры, соответственно, функций f ( x ) , s (x ) и h(x ) .
В уравнении (10.1) неизвестной функцией является функция s (x ) . Из уравнения (10.2) легко
определяется спектр этой функции
S ( )  F ( ) / H ( ) .
13
(13.3)
Выполнив обратное преобразование Фурье, найдём решение
s ( x) 
1
2


S ( )e j x d 

1
2

F ( )
 H ( ) e
j x
d .
(13.4)

Функция H ( ) в теории линейных систем называется частотной характеристикой. Частотная
характеристика и импульсный отклик связаны между собой преобразованием Фурье. Т.е.
H ( ) 

 h ( x )e
 j x
dx .
(13.5)

И в свою очередь
h( x ) 
1
2

 H ( )e
j x
d
(13.6)

Последнее выражение даёт способ экспериментального определения импульсного отклика той
или иной реально существующей линейной системы.
По определению импульсный отклик это реакция системы на входное воздействие в виде
дельта-функции. Следуя этому определению для оценки импульсного отклика системы необходимо
на её вход подать очень короткий импульс высокого напряжения или тока и измерить зависимость
выходного сигнала от времени. Причём, для сохранения энергии импульса с уменьшением его
длительности необходимо увеличивать величину напряжения или тока.
При этом возникают две проблемы. Первая, на практике можно сформировать импульс только
конечной длительности, в то время как теоретически необходимо устремить длительность импульса
к нулю. Вторая проблема заключается в том, что при высоком уровне входного сигнала, а он
необходим для сохранения энергии импульса, входные цепи исследуемой системы могут быть
просто разрушены.
Другой способ определения импульсного отклика основан на измерении частотной
характеристики линейной системы и последующем расчёте с использованием выражения (13.6). Для
измерения частотной характеристики необходимо на вход исследуемой системы подать
гармоническое колебание и определить зависимость амплитуды сигнала на выходе системы от
частоты входного сигнала.
Этот способ тоже не лишён недостатков, однако его реализация значительно проще, чем
первого. Кроме этого этот способ применим только к системам инвариантным к сдвигу – т.е. к
системам, которые описываются уравнением Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Обратная задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие условия.
14. Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Существует решение задачи.
- Решение является единственным.
- Решение является устойчивым.
В общем случае ни одно из этих условий для обратных задач не выполняется.
Начнем с первого условия, т.е. покажем, что в общем случае решение обратной задачи не
существует. При этом надо понимать, что под решением подразумевается точное решение.
В общем случае входное воздействие s  x  и отклик линейной системы f  x  связаны между
собой уравнением Фредгольма.
f  x 

 s   h  x,  d
(14.1)

Пусть импульсный отклик системы h  x,  представляет собой гладкую функцию по
переменной x , а функция
f  x   fT  x   n( x) ,
где fT  x  - точные исходные данные, а n( x) - шум.
14
(14.2)
В общем случае функция f  x  не является гладкой, так как шум n( x) является случайной
функцией. Таким образом, если вернуться к уравнению (14.2) мы имеем в левой части разрывную
функцию переменной x , а в правой части гладкую функцию этой же переменной. Так как функция
s   , входящая в подынтегральное выражение, от переменной x не зависит, то изменить это
соотношение путем выбора решения s   не возможно. Т.е. точного решения задачи в общем случае
не существует.
15. Единственность решения на примере уравнения типа свертки
Для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром h( x, )  h( x   )
справедливо следующее соотношение
F ( )  S ( ) H ( )
(15.1)
где F ( ) - спектр исходных данных, S ( ) - спектр решения, а H ( ) - частотная
характеристика линейной системы.
Пусть частотная характеристика линейной системы в интервале частот [1 , 2 ] тождественно
равна 0. Сконструируем функцию s1 ( x) таким образом, что бы её спектр S1 ( ) был отличен от 0
только на интервале [1 , 2 ]
Пусть на вход рассматриваемой нами линейной системы поступает сумма сигналов
s ( x ) и s1 ( x) . В этом случае спектр сигнала на выходе системы будет определяться следующим
соотношением
F1 ()   S ()  S1 () H ()  S () H ()  S1 () H ()
(15.2)
В силу условий наложенных нами на функции S1 ( ) и H ( ) второе слагаемое в этом
выражении тождественно равно 0. Откуда следует что
F1 ( )  F ( )
(15.3)
Поскольку сигнал s1 ( x) выбирался произвольным образом, за исключение ограничений
наложенных на его спектр, то можно утверждать следующее:
Существует бесконечное множество входных воздействий, которые будучи поданы на вход
линейной системы приведут к появлении на её выходе одного и того же отклика.
Таким образом, решение обратной задачи не является единственным, так как к полученному
решению мы можем прибавить произвольную функцию, спектр которой удовлетворяет
приведенным выше условиям. Выбрать одно решения из полученного бесконечного множества
решений можно только при наличии дополнительной априорной информации.
16. Устойчивость решения
Рассмотрим последнее условие, определяющее корректность обратной задачи. Это условие
устойчивости решения. Вопрос об устойчивости решения возникает в связи с тем, что правая часть
уравнения Фредгольма (функция f (x ) ), которая представляет собой исходные данные для
получения решения, никогда не известна точно. Ошибка в определении исходных данных вызвана
целым рядом причин. Основными из них являются шумы, возникающие при формировании функции
f (x ) и ограниченная точность измерения этой функции.
В наиболее простом случае правую часть уравнения Фредгольма можно представить в виде
суммы двух функций: функции f T (x) , представляющей точное значение отклика системы и
функции n( x) , описывающей шум, т.е. используя операторное представление можно записать
L[s( x)]  f T ( x)  n( x)
(16.1)
В случае, когда шум отсутствует, то есть n ( x )  0 , решение этого уравнения находится с
помощью обратного оператора L1[] такого, что
15
L1[ f T ( x )]  sT ( x )
(16.2)
Применение обратного оператора к зашумленным исходным данным естественно приведёт к
появлению шума в решении. Причем поскольку оператор L-1[] – линейный, а функция f (x ) является
аддитивной смесью точного отклика f T (x) и шума n( x) , то и решение будет суммой точного
решения sT ( x) и шума m( x ) , т.е.
L1[ f T ( x )  n( x )]  sT ( x )  m( x )
(16.3)
Естественно возникает вопрос об отношении сигнал/шум в полученном решении и зависимости
этого отношения от отношения сигнал/шум в исходных данных. Связь между соотношением
сигнал/шум в исходных данных и соотношением сигнал/шум в решении определяет устойчивость
решения обратной задачи. Если ограниченным значениям отношения сигнал/шум в исходных
данных соответствуют ограниченные значения отношения сигнал/шум в решении, то решение
является устойчивым. В противном случае решение неустойчиво.
Можно строго доказать, используя теорию интегральных уравнений, что в общем случае при
решении уравнений Фредгольма сколь угодно малые значения уровня шума в исходных данных, т.е.
значения функции n(x), могут привести к появлению неограниченно большого шума в решении, т.е.
могут привести к неограниченному росту функции m(x). Таким образом в общем случае решение
уравнения Фредгольма неустойчиво.
Неустойчивость решения обратных задач очень четко просматривается при решении
интегральных уравнений типа свертки. Пусть

 s( )h( x   )d  f
T
( x )  n( x ) .
(16.4)

Используя теорему о свертке, запишем
S ( ) H ( )  FT ( )  N ( ) .
(16.5)
Решение интегрального уравнения
1
s ( x) 
2

F ( ) j x
1
 HT ( ) e d  2

N ( ) j x
1
 H ( )e d  sT  2

N ( )
 H ( )e
j x
d .
(16.6)

Интеграл в правой части этого выражения представляет собой случайную ошибку решения.
Энергия этой ошибки (дисперсия шума в решении задачи)
 s2 




1
2
 

1
2

s ( x) s* ( x)dx  

N ( ) j x
1
 H ( ) e d 2

N ( ) N * (1 ) 1
1
j (  ) x
  H ( ) H * (1 ) 2  e 1 dxdd1  2
 s2 
1
2

N * (1 )  j1x
 H * (1 ) e d1dx 

 
N ( ) N * (1 )
  H ( ) H * (1 )  (  1 )d1d
 
(16.7)

| N ( ) |2
| H ( ) |2 d.
Для любых реальных приборов и систем передаточная функция при H ( )  0    .
Поведение функции FT ( ) согласовано с поведением функции H ( ) , т.е. в точках, где H ( )  0
функция FT ( ) также равна 0.
Функция N ( ) с функцией H ( ) не согласована и поэтому, в точках или областях, где
H ( )  0 подынтегральное выражение стремится к бесконечности, что приводит к расхождению
рассматриваемого нами интеграла, и как следствие – к неустойчивости решения.
16
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
17. Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
Регуляризация решения обратных задач выполняется для преодоления неустойчивости
решения. Общим подходом регуляризации является поиск заведомо неточного решения задачи; но
отличие этого решения от точного не превышает некоторой заданной величины, определяемой
погрешностью исходных данных.
Наиболее распространенным методом регуляризации решения обратных задач является метод
регуляризации, предложенный А. Н. Тихоновым. Пусть мы имеем линейную систему, описываемую
оператором L   , т.е. выходной сигнал системы f связан с входным s следующим выражением:
f  L  s .
(17.1)
Нам необходимо решить обратную задачу, исходными данными для которой является
выходной сигнал системы f  , отличающийся от точного выходного сигнала f на величину , т.е.
  f , f    . Согласно методу регуляризации Тихонова, с приближенными исходными данными
можно получить приближенное решение s при помощи обратного оператора R   , зависящего от
параметра . Величину  называют параметром, или коэффициентом, регуляризации.
При этом значения параметра  нужно выбирать согласованным с погрешностью исходных
данных; согласованность должна быть такой, чтобы при f  f s  s , где s – точное решение
обратной задачи при исходных данных f.
Оператор R   , используемый при решении обратной задачи, должен удовлетворять
следующим свойствам:
- должен быть определен для любого положительного числа  и для любого возможного
выходного сигнала f 
- должна существовать такая функция      , и для любого положительного числа e должно
существовать такое число    e  , что если   f , f     e  , то   s, s   e и s  R  f  , где s
– регуляризованное решение.
Нетрудно видеть, что величина e представляет собой погрешность решения.
18. Регуляризация решения уравнения типа свертки
Решение интегрального уравнения типа свертки можно записать в следующем виде:
s( x) 
1
2

F ( )
 H ( )e
j x
d ,
(18.1)

где 1/H() – частотная характеристика точного обратного оператора,
F() – спектр исходных данных.
В общем виде это решение является неустойчивым. Регуляризация решения заключается в
домножении подынтегрального выражения на некоторую функцию K ( ,  ) , достаточно быстро
убывающую с ростом . В результате получим оператор
R   
1
2


 H ( ) K ( ,  )e
jx
d ,
(18.2)

который называется регуляризирующим оператором если функция K( 
следующим условиям:
17
удовлетворяет
K( определена     и     
    и        1   1
      при   
        при 
при      не убывая  1
         L2 
(18.3)
Функция K ( ,  ) , удовлетворяющая этим условиям, называется стабилизирующей функцией
(стабилизирующим множителем).
Существуют различные семейства регуляризирующих операторов, соответствующие
различным типам стабилизирующих функций.
Семейству регуляризирующих операторов, предложенному Тихоновым, соответствует
стабилизирующий множитель следующего вида:
K ( ,  ) 
| H ( ) |2
,
| H ( ) |2 Q( )
(18.4)
где
N
Q ( )   qn n .
(18.5)
n 0
Число N называется порядком регуляризации, а числа n – неотрицательные константы.
Таким образом, регуляризация решения интегрального уравнения типа свертки по методу
Тихонова заключается в применении приведенного выше стабилизирующего множителя. При этом
регуляризирующий оператор имеет следующий вид:
R   
1
2


| H ( ) |2
1
jx
 H ( ) | H ( ) |2 Q( )e d  2

  H  ( )
 | H ( ) |
2

Q( )
e jx d
(18.6)
При использовании Тихоновской регуляризации необходимо, в первую очередь, определить
вид функции Q(). После задания Q() необходимо определить оптимальное значение
коэффициента регуляризации .
19. Фильтр Тихонова. Невязка
Для выбора способа и параметров регуляризации крайне важно наличие априорной
информации. В том случае, когда о поведении решения нам ничего не известно, в качестве такой
априорной информации можно использовать сведения о точности исходных данных. При этом под
точностью исходных данных необходимо понимать как точность измерения, так и уровень шумов
на выходе системы. Эти данные практически всегда имеются
Обратный оператор, построенный с использованием такой априорной информации, называется
фильтром Тихонова. Как строится такой обратный оператор или, по-другому, как выбирается
стабилизирующий коэффициент для этого обратного оператора?
Определение этого коэффициента основано на следующем. Воздействуем приближённым
оператором Ra   на исходные данные f ( x ) . В результате получим приближённое решение
S ( x )  R [ f ( x )] .
(19.1)
Если бы было известно точное решение S ( x ) , то сравнив его с приближённым решением мы
могли бы судить о качестве приближённого оператора. Однако точное решение S ( x ) неизвестно и
поэтому необходим некий косвенный метод оценки.
Воздействуем на полученное приближённое решение S ( x) точным прямым оператором L[ ].
Получим некоторую функцию
f ( x )  L[ S ( x )] .
18
(19.2)
Эта функция по смыслу аналогична исходным данным. В том случае, когда шум в исходных
данных отсутствует, приближённый оператор Ra   совпадает с точным обратным оператором, а
функция f ( x) совпадает с исходными данными f ( x ) . Таким образом различие между этими
функциями можно использовать для оценки качества приближённого оператора.
Введём функцию
( ) 

 | f ( x )  f ( x ) |
2
dx .
(19.3)

и назовём её невязкой. Очевидно, что невязка равна нулю, если приближённый оператор равен
точному оператору.
Пусть дисперсия шума в исходных данных равна 2. Тогда логично потребовать, что бы
дисперсия ошибки, вызванной применением приближённого оператора, также была равна 2 . То
есть
( )   2 .
(19.4)
Из этого уравнения можно определить величину .
Это условие выбрано из следующих соображений. Если потребовать, чтобы Ф()=0, то
оператор Ra   будет являться точным обратным оператором, а =0, и мы получим неустойчивое
решение. Если допустить, что Ф() много больше 2 то ошибка, связанная с неточностью решения
будет больше ошибки вызванной шумом. Поэтому применяют компромиссное решение, которое
предполагает равный вклад ошибок в получаемое решение.
Для того чтобы функцию Ф(), т.е. невязку, можно было использовать для определения
оптимального значения необходимо доказать, что уравнение Ф() = 2 имеет однозначное решение.
В противном случае для одного и того же значения 2 может быть несколько значений  и встанет
задача о выборе оптимального значения из них.
Для того, чтобы доказать единственность решения этого уравнения достаточно доказать, что
Ф() есть монотонно возрастающая функция  .
Используя тот факт, что энергия функции равна энергии ее спектральных составляющих
запишем:
( ) 

2
 | f ( x)  f ( x) | dx 


 | F ()  F () |
2
d .
(19.5)

Так как
| H ( ) |2
F ( )  F ( ) K (,  )  F ( )
| H ( ) |2  Q( )
(19.6)
то
 ( ) 



2
2

| H ( ) |2
| H ( ) |2
2
F ( )

F
(

)
d


 1 F ( ) d .
2
2

| H ( ) |  Q( )
| H ( ) |  Q( )

(19.7)
Первая производная

F ( ) | H ( ) |2 Q( )
d ( )
 2 
d
2
d
| H ( ) |2  Q( ) 

2
2
(19.8)
Так как и  и подынтегральное выражение всегда больше 0, то
d  ( )
0
d
19
(19.9)
Таким образом мы показали, что Ф() монотонно возрастающая функция и в силу этого
решения уравнения Ф() = 2 имеет единственное решение.
На практике часто значение  определяют следующим образом. Задают ряд значений k, для
каждого из них рассчитывают Ф(k) и в качестве рабочего значения  принимают то, для которого
разность Ф(k) - 2 – минимальна.
20. Оптимальный фильтр Винера
При построении фильтра Тихонова мы исходили из того, что нам известна дисперсия шума в
исходных данных, т.е. величина 2 . Зная эту величину по невязке мы определили оптимальное
значение регуляризирующего коэффициента  для заданной функции Q().
Рассмотрим случай, когда у нас имеется более обширная информация о шуме и поведении
решения.
В общем случае исходные данные мы представляли в виде суммы точного значения
исходных данных и шума, т.е. в виде
f ( x)  f T ( x)  n( x) .
(20.1)
Так как шум n(x) это случайный процесс, то и исходные данные являются f(x) также являются
случайным процессом. Кроме этого решение s(x) также будет случайной функцией. В противном
случае его не надо было бы искать.
Если параметры этих случайных процессов известны, то их (параметры) можно использовать в
качестве априорной информации при разработке алгоритма восстановления.
Пусть функции s(x) и n(x)являются реализациями стационарных, некоррелированных между
собой случайных процессов, и известны спектральные плотности мощности этих процессов RS () и
RN().
Тогда задачу определения оптимального регуляризирующего оператора сформулируем
следующим образом: найти оператор, который минимизирует величину среднеквадратичного
отклонения получаемого решения от точного, т.е. минимизирует величину E[S(x)–ST(x)]2 , при
известных функциях RS() и RN(), где E [ ] – знак математического ожидания.
Пусть такому оператору соответствует стабилизирующий множитель K( ). Составим
уравнение для его определения.
S ( x )  ST ( x ) 
1
2

 F ( )
  H ( ) K ( , )  S

T

( )e jx dx 

(20.2)

1
2

 Ft ( )  N ( )

1
K ( ,  )  ST ( )e jx dx 
H ( )
2


 


 [ K ( ,  )  1]S
T

N ( )
K ( ,  )e jx dx
H ( )

( ) 

Для определения математического ожидания квадрата разности функций используем
следующие соотношения:
E[ S ( x )  ST ( x )]2  E[( S  ST )( S  ST ) ] 
 1
 E[ 
 2
 1

 2




 j x
N ( )
[ K ( ,  )  1]ST ( )  H ( ) K ( ,  )e d  ] 

 
1
4

 jx 
N ( )
[
K
(

,

)

1
]
S
(

)

K
(

,

)
T
e d  

H ( )




2
  [ K (, )  1] [ K
*
( ,  )  1]  E[ ST ( )  ST ( )]  e j (  ) x d  d  
 
 
K ( ,  )  K * ( ,  )
 2  
 E[ N ( )  N  ( )]  e j (  ) x d  d  

4   H ( ) H ( )
1
 
K * ( ,  )
 2   [ K ( ,  )  1]
 E[ ST ( )  N  ( )]  e j (  ) x d  d  

4  
H ( )
1
20
(20.3)

 
1
4
2
  [K
*
( ,  )  1]
 
K ( ,  )
 E[ ST ( )  N ( )]  e j (  ) x d  d 
H ( )
Так как ST() и N() – некоррелированные случайные процессы по условию, то
E[ ST ( ) N  ( )]  E[ ST ( ) N ( )]  0
(20.4)
E[ ST ( ) ST ( )]  2RS ( ) (   )
(20.5)
E[ N ( ) N ( )]  2RN ( ) (   )
(20.6)
Кроме того

Подставив в подынтегральные выражения значения математических ожиданий, получим
1
E[ S ( x)  ST ( x)] 
2
2

1
 [ K (,  ) 1] RS ()d  2
2

K 2 ( ,  )
 | H ( ) |2 RN ()d .

(20.7)
Или
E[ S ( x)  ST ( x)]2 
1
2

2
 {[ K (,  )  1] RS ( ) 

K 2 ( ,  )
RN ( )}d
| H ( ) |2
(20.8)
Нам необходимо минимизировать значение полученного интеграла путем выбора
соответствующего стабилизирующего множителя K(,.). Для этого найдем первую производную от
подынтегрального выражения по K(, ) и приравняем ее к нулю.
[ K ( ,  )  1]RS ( ) 
K ( ,  )
RN ( )  0
| H ( ) |2
(20.9)
Так как вторая производная по K(,) равна RS() + RN()/|H()|2  0, то условие (20.9)
является условием минимумом. Отсюда следует
K ( ,  )[ RS ( ) 
RN ( )
]  RS ( )
| H ( ) |2
(20.10)
Или
K ( ,  ) 
| H ( ) |2
R ( )
| H ( ) |2  N
RS ( )
(20.11)
Обратный оператор, соответствующий данному стабилизирующему коэффициенту имеет
следующий вид:
R   


   H  ( )
RN ( )
  | H ( ) |2 
RS ( )
e jx d
(20.12)
Применение тихоновской или винеровской фильтрации к обработке изображений далеко не
всегда дает положительные результаты. Объясняется это тем, что математические критерии,
положенные в основу этих фильтров, не соответствуют критериям качества изображений.
Восприятие зрительных образов человеком сложный и неизученный, на сегодняшний день,
физиологический процесс. Отсутствие достаточно точных моделей обработки зрительной
информации головным мозгом человека, приводит к невозможности получения математических
критериев качества изображений воспринимаемых человеком. Это в значительной степени
усложняет процесс обработки и приводит к тому, что в процессе обработки изображений с целью
21
улучшения качества их субъективного восприятия должен принимать участие эксперт или группа
экспертов. При этом предполагается, что в процессе обработки есть возможность изменять те или
иные параметры обратного оператора с помощью которого восстанавливается изображение.
В случае тихоновской фильтрации таким параметром является параметр регуляризации . В
случае оптимального фильтра Винера такой параметр отсутствует. Для придания большей гибкости
винеровской фильтрации был предложен видоизмененный стабилизирующий коэффициент
K ( ,  ) 
| H ( ) |2
R ( )
| H ( ) |2  N
RS ( )
(20.13)
Этому стабилизирующему коэффициенту соответствует обратный оператор
R   
   H  ( )



R ( )
| H ( ) |  N
RS ( )
e jx d
(20.14)
2
Такой фильтр называется параметрическим фильтром Винера.
21. Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
В основу фильтра Тихонова и фильтра Винера положен принцип минимизации уровня шума в
получаемом изображении. При этом изображение оказывается сильно сглаженным, т.е. при
использовании этого типа фильтрации в изображении исчезают мелкие детали, контуры более
крупных деталей оказываются размытыми. В то же самое время субъективные оценки качества таких
изображений, т.е. оценки даваемые человеком-экспертом, склоняются в сторону более зашумленных,
но менее сглаженных изображений, т.е. человек воспринимает, как более качественное, четкое
изображение с большим уровнем шумов, чем нечеткое, но с малым уровнем шумов.
В этой связи с этим был разработан фильтр, в котором можно задавать соотношение между
степенью сглаживания и уровнем шума.
Пусть дисперсия шума в восстановленном изображении  m2 , а дисперсия ошибки
восстановления, т.е. ошибки, вызванной использованием приближенного оператора  s2 , Определим
некоторую величину:
M  m m2  s s2
(21.1)
и подберем оператор восстановления так, чтобы величина M была минимальной. В этом случае
постоянные m и s будут определять соотношение между уровнем случайного шума в изображении
и степенью сглаженности изображения. Запишем M в явном виде:
M  m E[m( x ) 2 ]  s E[ s( x )]2 
 1
 m E 
 2
2

 N ( )Y ( )e
j x


 1
d   s E 

 2
где
Y ( ) 
2

 [S
T
( )  FT ( )Y ( )]e

K ( )
.
H ( )
j x

d  ,

(21.2)
(21.3)
Будем считать, что шум n(x) и изображение стационарные, статистически независимые
процессы со спектральными плотностями RN() и RS().
Тогда воспользовавшись выкладками, приведенными в предыдущем параграфе, получим
M
1
2

  R
m
N

( ) | Y ( ) |2 s RS ( ) 1  K ( )) d
2

22
(21.4)
Включим коэффициенты 1/2 в постоянные m и s и подставим выражение для частотной
характеристики приближённого обратного оператора Y ( ) в выражение для M. В результате
получим

M

K 2 ( )
2

R
(

)
  m N | H ( ) |2  s RS ( ) 1  K ( )) d ,
(21.5)
где K() – стабилизирующий коэффициент.
Теперь нам осталось определить K() так, что бы величина M была минимальной. Так как
подынтегральное выражение не отрицательно, то минимум будет в точке, в которой первая
производная подынтегрального выражения по K() будет равна нулю, а вторая будет положительна:
d 
K 2 ( )
2

R
(

)
 s RS ( ) 1  K ( ))   0
 m N
2
dK 
| H ( ) |

(21.6)
d2 
K 2 ( )
2

R
(

)
 s RS ( ) 1  K ( ))   0 .

m N
2
2
dK 
| H ( ) |

(21.7)
Вычислив производную, получим
m RN ( )
K ( )
 s RS ( ) 1  K ( ))  0
| H ( ) |2
(21.8)
После несложных преобразований найдём
K ( ) 
| H ( ) |2
 R ( )
| H ( ) |2  m N
s RS ( )
(21.9)
Нетрудно убедится в том, что вторая производная от полученного значения всегда больше
нуля.
Так определяется стабилизирующий коэффициент, для которого М принимает минимальное
значение.
Этому стабилизирующему коэффициенту соответствует фильтр с передаточной функцией
Y ( ) 
H ( )
 R ( )
| H ( ) |  m N
s RS ( )
(21.10)
2
Фильтр с такой частотной характеристикой называется фильтром Бэйкуса-Гильберта.
22. Гомоморфная фильтрация
Фильтр Бейкуса-Гильберта, как и фильтр Тихонова и параметрический фильтр Винера, имеет
только один параметр для управления передаточной фильтрацией. Этот параметр

m
s
(22.1)
При практической обработке изображений варьирование этим параметром во многих случаях
не дает положительных результатов, так как его незначительные изменения могут привести к
сильной зашумленности изображения. Это привело к появлению других способов управления
частотной характеристикой восстанавливающего фильтра и одним из таких методов является метод
гомоморфной фильтрации.
23
Основная идея гомоморфной фильтрации заключается в определении такого
восстанавливающего фильтра, который позволили бы получить заданную спектральную плотность
восстановленного изображения.
Для каждого изображения объекта S(x) можно рассчитать спектральную плотность мощности
RS(). Так как S(x) – случайная функция, то RS() также является случайной функцией. Однако в
ряде случаев можно ограничить класс объектов таким образом, что функции RS() отдельных
объектов из этого класса будут близки друг к другу. В этом случае можно ввести усредненную для
этого класса объектов спектральную плотность мощности.
Под гомоморфным фильтром понимают фильтр с передаточной функцией, для которой
выполняется следующее соотношение:

E Y   F  
2
  R  
(22.2)
S
в предложении, что изображение и шум статистически независимые, стационарные случайные
процессы.
Для определения передаточной функции Y() раскроем это выражение:
  E Y   F    N    
 E  Y    S    H     Y    N      Y    E  S    H    N     
 Y   E  S   H    N      S   H    N   

E Y    F  
2
2
T
2
2
2
(22.3)

2
Так как S() и N() статистически независимые случайные процессы то

 

E S   N    E S   N    0 .


(22.4)
Кроме этого


E N   N     R
E S   S    RS   ,
(22.5)
  .
(22.6)


N
Используя эти соотношения, получим

E Y   F  
2
  Y  
2
 H    2 R    R    .
S
N


(22.7)
или
2
2
Y    H   RS    RN     RS   .


(22.8)
Решим это уравнение относительно Y(). В результате имеем
Y   
RS  
2
H   RS    RN  
2

1
H  
1
Y   
H  
2
R  
 N
RS  
2
R  
 N
RS  
.
(22.9)
(22.10)
Фильтр с такой характеристикой представляет собой среднегеометрическое между фильтром
Винера и инверсным фильтром в случае если H() – действительная функция
24


1
2 

 1 
H  


Y    

R

2


H





N


 H    R   
S


1
2
(22.11)
Как дальнейшее развитие гомоморфного среднегеометрического фильтра был предложен так
называемый управляемый эволюционный фильтр с передаточной функцией следующего вида

 1 
Y    

 H   
2


H  


2
 H      Q   

(22.12)
Этот фильтр охватывает все случаи фильтрации, рассмотренные нами. Так при  = 1,  = 0 мы
получаем инверсный фильтр, при  = 0,  = 1 – фильтр Винера или фильтр Тихонова (в зависимости
от вида функции Q   ), при  = ½,  = ½ - гомоморфный, среднеквадратичный фильтр.
23. Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с симметричным ядром
f  x 

 s   h  x,  d
(23.1)

где
h  x,   h  , x 
(23.2)
Симметричность ядра интегрального уравнения гарантирует существование его собственных
функций, их ортогональность и действительность собственных значений.
Будем считать, что множество собственных функций {i ( x)} не только ортогонально, но и
нормировано, т.е.
1, i  j

(
x
)

(
x
)
dx




,
где

i
j
ij
ij
a
0, i  j
b
(23.3)
Представим функции s ( x ) и f ( x ) в виде рядов по функциям i ( x) :

b
i 0
a
s  x    sii ( x) , где si   s( x)i ( x)dx
(23.4)
и

b
i 0
a
f  x    f ii ( x ) , fi   f ( x)i ( x)dx
(23.5)
Подставив выражения для s ( x ) и f ( x ) в интегральное уравнение, получим:



 f  ( x)    s  ( ) h  x,  d
i 0
i
i
i
 i  0
i
(23.6)
и


i 0


i 0

fii ( x)   si  i ( ) h  x,  d
Так как
25
(23.7)

  ( ) h  x,  d    ( x)
i
i
(23.8)
i

То


i 0

fii ( x)   si ii ( x)
(23.9)
i 0
Так как функции {i ( x)} ортогональные, то si i  fi . Отсюда следует, что si 
fi
i а

f
s( x)   i i ( x)
i 0
(23.10)
i
В силу теоремы Пикара, для сходимости этого ряда необходимо, чтобы
2
 fi 
  

i  0  i 

(23.11)
В общем случае функция f  x   fT  x   n( x) При этом

s ( x)  
i 0

fTi
n
i ( x)   i i ( x)
i
i  0 i
(23.12)
Первая сумма этого соотношения является точным решением интегрального уравнения.
Вторая сумма – представляет собой шум в решении, обусловленной ошибкой исходных данных.
Оценим уровень этого шума, для чего определим дисперсию решения
2
b
b




b


2
   ni

   n j ni

  E   s( x)  sT ( x) dx   E   i ( x)  dx   E  
 j ( x)i ( x)dx 

 a j 0 i 0  j i


a





 a  i 0 i

2
s
(23.13)
Так как множество функций {i ( x)} ортонормированно то


 s2  
j 0 i 0
E n j ni 

E ni2 
 j i
i 0
i2
 ij 
(23.14)
Оценим величину E [ni2]. Для этого подставим ni в явном виде:
2
b
  b
 
b

E n   E    n( x)i ( x)dx    E   n( x)i ( x)dx  n( )i ( )d 
a
 
a

  a
2
i
Или
b b
E ni2     i ( x)i ( ) E n( x)n( ) dxd
(23.15)
a a
Используя соотношение
E n( x)n( )   n2 ( x  )
(23.16)
получим
b
E ni2    n2  i2 ( x)dx   n2
a
26
(23.17)
Подставив (2.17) в (2.14) получим

 s2   n2 
i 0
1
(23.18)
i2
Известно, что собственные значения i убывают с увеличением i и при i     . В силу
этого сумма в выражении для S2 неограниченно вырастает, т.е. мы получаем неустойчивое решение.
Встает вопрос о его регуляризации.
При использовании данного метода восстановления изображения регуляризация оказывается
достаточно "простой" и сводится к ограничению числа членов ряда для s ( x ) некоторой величиной N.
В этом случае решение
N 1
s ( x)  
i 0
N 1
fTi
n
i ( x)   i i ( x)
i
i  0 i
(23.19)
При этом возникает ошибка, обусловленная неточность восстановления. Эта ошибка

s( x)  
i 0
fTi
i
N 1
i ( x)  
i 0
fTi
i

i ( x)  
iN
fTi
i
i ( x)
(23.20)
Однако при этом ограничивается ошибка, вызванная неточностью или шумом исходных
данных.
Недостатком этого алгоритма является то, что в большинстве случаев определение
собственных функций интегрального уравнения само по себе представляет достаточно сложную
задачу.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
При фотосъемке объектов, которые быстро движутся, будет получено смазанное изображение.
Объясняется это тем, что за время экспозиции, то есть за время в течении которого объектив
фотоаппарата открыт, объект смещается и на одном участке фотопленки фиксируется изображение
разных участков объекта.
Разработаем математическую модель этого процесса. Введем несколько определений
- изображение объекта, сфокусированное на фотопленку, описывается функцией s(x, y).
- cмазанное изображение описывается функцией f(x,y).
- объект движется равномерно вдоль ось ОХ со скоростью V.
- время экспозиции равно t .
Фотопленка является позитивной, линейной, не вносит шума и расположена на интервале
 xa , xb 
Поскольку движение происходит только вдоль одной оси координат, будем рассматривать
одномерную задачу. Рассмотрим некоторую точку x0 "смазанного" изображения и определим, каким
образом значение функции f ( x ) в этой точке связано с функцией s ( x ) .
24.
x
s( x)
Объект
xa
x0 f ( x)
Фотопленка
27
t 0
t  t
xb
За время экспозиции t объект сместится на расстояние x  V  t . В точке x0 суммируются
значения точек функции s ( x ) , которые принадлежат интервалу [ x0  x, x0 ] . Точки расположенные
вне этого интервала никакого вклада в формирование значения f ( x0 ) вносить не будут. В этом
случае можно записать следующее соотношение
 x  2  x0  x  
  s( x)dx
2x


f ( x0 ) 
 rect 

(24.1)
где
1

1,  x 
.
rect( x)  
2

0 в ином случае
(24.2)
Уравнение (26.1) представляет собой уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, т.е.
уравнение типа свертки. Ядром этого уравнения является функция rect ( x ) .
В спектральной области это уравнение принимает следующий вид
F ( )  H ( )  S ( ) ,
(24.3)
где
H ( ) 

 x  2 x   j x
e dx .
2x 
 rect 

(24.4)
Вычислим H ( ) :
H ( ) 

1  j x
 x  2 x   j x
 j x
 rect  2x e dx  x e dx   j e
0
0
x

1
1  e  jx  ,

j
(24.5)
или

jx
jx
jx


 2e 2
1  j2x  j2x
 x 
 x 
2
2
H ( ) 
e
e

e

sin


e
 x  sinc 




,
j

 2 
 2 


(24.6)
sin( x)
.
x
Подставив полученное соотношение в выражение (24.3), получим для спектра неискаженного
изображения следующее соотношение
где функция sinc( x) 
S ( )  e
jx
2
F ( )
.
 x 
x  sinc 

 2 
(24.7)
Вычислив обратное преобразование Фурье, получим:
jx
1
2
e

2 

s ( x) 
F ( )
e j x d .



x


x  sinc 

 2 
(24.8)
Функция sinc(x) имеет бесконечное множество точек, в которых она обращается в нуль.
Координаты xk этих точек определяются соотношением xk    k , k  1, 2,3,... При наличии
малейшего шума в исходных данных в области каждой из этих точек интеграл будет расходится –
решение будет неустойчивым.
Для регуляризации решения используем стабилизирующий коэффициент
28
K ( ,  ) 
| H ( ) |2
.
| H ( ) |2 Q( )
(24.9)
Подставим в соотношение (24.9) выражение для частотной характеристики (24.6) и выполним
необходимые преобразования. В результате получим:
 x 
sinc2 

 2 
.
K ( ,  ) 

2  x 
sinc 
  Q( )
 2  2
Используя полученный стабилизирующий коэффициент, приближенное решение задачи
запишется как
 x 
sinc2 
jx

1
F ( )
 2 
2
s ( x) 
e
e j x d  .
  x  2  x  
4 
sinc 
 sinc 
  Q( )
 2 
 2  2

Или
 x 
sinc 
jx

1
2 

s ( x) 
F ( )
e 2 e j x d  .

4 
 x  
sinc2 
  Q( )
 2  2

Для того, чтобы последнее выражение можно было использовать для восстановления
смазанных изображений, необходимо задать функцию Q ( ) . В наиболее простом случае можно
принять Q ( )  1 .
Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта.
Учет граничных условий
К сожалению, рассмотренная нами модель не совсем точно описывает процесс искажения
изображений, в случае если изображение объекта больше размеров регистрирующей среды, или в
процессе движения выходит за границы кадра.
Рассмотрим, каким образом искажается каждая отдельная точка исходного изображения s ( x ) .
Обозначим искаженное изображение каждой отдельной точки исходного как f 0 ( x0 , x) . Будем, как и
прежде, считать, что движение осуществляется в положительном направлении оси OX. При таком
движении каждая точка исходного изображения с координатой x превращается в линию длиной x с
интенсивностью s ( x ) . Т.е ее изображение можно описать соотношением
25.
 x  2  x0  x  
f 0 ( x0 , x)  s( x) rect 
.
2x


(25.1)
Однако для точек расположенных в областях [ xa  x0 , xa [ и ]xb  x0 , xb ] где xa и xb границы
искаженного изображения это выражение несправедливо. Точки, которые принадлежат области
[ xa  x0 , xa [ , вдвигаются в область искаженного изображения, а точки, принадлежащие области
]xb  x0 , xb ] выдвигаются из нее. В силу этого, длина отрезка, которым эти точки представлены в
искаженном изображении будет меньше, чем для точек из области [ xa , xb  x0 ] .
29
x0
s( x)
Объект
f ( x)
xa
xb
Фотопленка
Таким образом, величина x является не константой, а функцией координаты  точки
неискаженного изображения s ( ) . Очевидно, что функция x( ) имеет следующий вид, показанный
на рис.1.
x
x0
x0
x0

xa  x0
xb  x0
xa
xb
Или в аналитическом виде
0
x  ( x  x)
a
 0
x( x)  x0
x  x
b

0
при x  xa  x0
при x  [ xa  x0 , xa [
при x  [ xa , xb  x0 ] .
(25.2)
при x  ]xb  x0 , xb ]
при x  xb
Для получения искаженного изображения проинтегрируем функцию f 0 ( x0 , x) по x:

f ( x0 ) 


 x  2  x0  x  
 dx
2x


f 0 ( x0 , x)dx 
 s( x) rect 

(25.3)
Подставим в соотношение (25.3) выражение (25.2) и разделим область интегрирования на
интервалы в соответствии с определением 2x( ) . В результате получим
f ( x) 
 x0   xa  x   2  x0  x  
s
(
x
)
rect

 dx 



2

x

x

x




xa  2 x0
0
a



xa
xb  2 x0

xa
xb
 x  xb  2  x0  x  
 x0  2  x0  x  
s ( x) rect 
 dx
 dx   s ( x) rect 
2x0
2  x  xb 
xb  2 x0




(27.3)
Полученное выражение содержит три компоненты. Вторая из них представляет собой свертку
функций s ( x ) и функции rect( x) . Ядро двух других компонент не является разностным, более того,
оно не является и симметричным. В силу этого использование для восстановления изображения
30
алгоритма, основанного на представлении ядра как разностной функции некорректно и приводит к
высокому уровню шума в изображении, если s ( x)  0 при x  [ xa  x0 , xa [ и x  ]xb  x0 , xb ] .
31
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИСТЕМ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
26. Понятие о разрешающей способности
Одним из основных параметров, характеризующих качество изображений, является
разрешающая способность, Под разрешающей способностью понимают способность системы
формирования изображения воспроизводить мелкую структуру восстанавливаемого сигнала.
Например, в радиолокации разрешающая способность определяет минимальное расстояние, начиная
с которого две отдельные цели отображаются на экране радиолокатора в виде двух отметок. В
спектральном анализе разрешающая способность определяет минимальную разность частот двух
спектральных составляющих, начиная с которой анализатор спектра способен оценить в отдельности
амплитуду каждой из них. В радиоголографии и томографии разрешающая способность
характеризует минимальные размеры деталей объекта, которые отображаются в изображении.
Для большинства систем формирования изображений оценка разрешающей способности
представляет собой сложную и во многих случаях теоретически не решенную задачу. В связи с этим
широкое распространение получили экспериментальные методы определения разрешающей
способности, которые основаны на использовании тестовых объектов. Например, в телевидении для
определения качества телевизионного изображения используют так называемые испытательные
таблицы. В этих таблицах имеются участки, по которым определяют разрешающую способность.
Эти участки представляют собой набор черных и белых полос различной ширины или полос в виде
клина. Разрешающая способность при этом определяется как число отдельно различимых полос на
единице длины.
Другим методом экспериментального определения разрешающей способности является
получение изображения двух рядом расположенных точек и оценка их различимости по тем или
иным критериям.
При теоретическом определении разрешающей способности фундаментальное значение
имеет понятие функции рассеяние точки или просто функции рассеяния системы формирования
изображений.
Под функцией рассеяния понимают распределение амплитуды в изображении точечного
объекта, формируемого системой восстановления изображений. Рассмотрим суть этого
понятия более подробно.
Пусть имеется некоторый объект, описываемый функцией s(x), непосредственное измерение
которой невозможно по тем или иным причинам. Допустимо измерение некоторой другой функции
f(x), связанной с функцией s(x) операторным уравнением
f  x   L s(x) .
(26.1)
При использовании для решения этой обратной задачи
оператора R, получим решение
приближенного интегрального
s  x   R  f ( x)   R  L s(x)  .
Запишем полученное соотношение в интегральном виде

 

 
s  x    f ( )h ( , x)d    s( )h( , )h ( , x)d d ,
(26.2)
где функция h  ,  - ядро интегрального уравнения для прямого оператора L   , а функция
h  , x  ядро интегрального уравнения для приближенного обратного оператора Ra   .
Поменяем в уравнении (26.2) порядок интегрирования. В результате получим
s  x  







s( )  h( , )h ( , x)d d    s( )hs ( , x)d
где
32
(26.3)
hs ( , x) 

 h( , )h ( , x)d .
(26.4)

Проведенные выше преобразования можно проиллюстрировать следующим рисунком.
s  x
L
s  x

h( )
f  x
f  x
s  x
s  x 
R 
s  x 
h ( )
s  x 
hs ( )
Из приведенного рисунка и выражения (26.3) следует, что функция hs ( ) представляет собой
импульсный отклик некоторой линейной системы, связывающей между собой точное изображение
объекта (функция s ( x ) ) и восстановленное изображение объекта (функция s ( x) ). По сути функция
hs ( ) описывает каким образом искажается каждая отдельная точка исходного изображения в
процессе восстановления. Из выражения (26.3) следует, что если hs ( , x)   (   x) , то при
восстановлении будет получено точное изображение объекта. Таким образом, чем меньше
hs ( ) отличается от -функции, тем более точным является алгоритм восстановления.
Практически функция рассеяния характеризуется тремя основными параметрами:
- шириной основного лепестка
- уровнем боковых лепестков
- скоростью затухания боковых лепестков
27. Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
Использование функции рассеяния для оценки разрешающей способности рассмотрим на
примере анализатора спектра.
Известно, что функция и её спектр связаны интегральным преобразованием, которое
называется обратным преобразованием Фурье и имеет следующий вид
s ( x) 
1
2

 S ( )e
j x
d .
(27.1)

При этом функцию S   можно трактовать как воздействие на входе линейной системы с
импульсным откликом h , x   e j x ,a s ( x ) как отклик этой системы.
S ( )
h( , x)  e j x
s ( x)
Исходя из этого рисунка, определение спектра сигнала S ( ) по реализации сигнала s ( x )
можно рассматривать как решение некоторой обратной задачи. При этом решение этой задачи
S ( ) 
X

s( x)e j x dx ,
(27.2)
X
где 2X - интервал, котором задан сигнал s ( x ) . Очевидно, что этот интервал не может быть
бесконечным.
Подставим соотношение (27.1) в выражение (27.2). В результате получим
S ( ) 
X

X
1
2



S ( )e j x d e  j x dx 



S ( )
1
2
X
X
Вычислим внутренний интеграл в полученном выражении:
33

e j x e  j x dxd   .
(27.3)
1
2
X

e j x e j x dx 
X
1
2
X

X
X e j (  ) X  e j (  ) X

2 j (    )X

1 e j (  ) x X

2 j (    )  X
X sin  (    )X 
.


(    )X
e j (  ) x dx 
(27.4)
Таким образом
S ( ) 


S ( )

X sin  (    )X 
d  .

(    )X
(27.5)
Если в спектре содержится только одна спектральная составляющая на частоте 0 , то
S ( )  A0 (  0 ) .
(27.6)
В этом случае
S ( ) 

 A  (   )
0
0

X sin  (    )X 
X sin (  0 )X 
.
d   A0

(    )X

(  0 )X
(27.7)
Таким образом, функция рассеяния анализатора спектра
hs ( , 0 ) 
sin  (  0 )X 
(  0 )X
.
(27.8)
Т.е. при формировании изображения точечного объекта вместо  - функции мы получили
некоторое распределение, график которого представлен на рис. 1.
Допустим, что в спектре сигнала две составляющие с амплитудами A1 и A2 на частотах 1 и
2 соответственно. В этом случае изображение описывается следующим выражением
S ( )  A1
sin  (  1 )X 
(  1 )X
 A2
sin (  2 )X 
(  2 )X
.
(27.9)
График этого изображения при одинаковых амплитудах спектральных компонент представлен
на рис. 2.
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
20
40
-0.2
0
60
80
100
0
-0.4
20
40-0.2
60
80
100
-0.4
Рис. 1.
Рис. 2.
Если начать уменьшать расстояние между спектральными составляющими, то значение
  2
функции S ( ) в точке 1
начнет увеличиваться и начиная с некоторого расстояния 0 две
2
спектральные линии сольются в одну, т.е. исчезнет провал между их максимумами, как это показано
на рис.3
34
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
20
40-0.2
60
80
100
0
20
-0.4
0
40-0.2
60
80
100
-0.4
Рис. 3а.
Рис. 3б.
В 1903 году Рэлей предложил в качестве количественной оценки разрешающей способности
спектральных приборов использовать величину, равную расстоянию между спектральными линиями
когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой. Провал между максимумами
при этом равен 0,81.
Т.е. в соответствии с принципом предложенным Релеем за оценку разрешающей способности
берется величина равная полуширине функции рассеяния на нулевом уровне. Иногда функция
рассеяния имеет достаточно сложную форму и удобнее в качестве точки отсчета использовать
уровень равный 0,5. Мы рассмотрели случай, когда составляющие спектра имеют одинаковую
амплитуду. Когда их амплитуда значительно отличается, необходимо учитывать уровень боковых
лепестков функции рассеяния. Известно, что величина 1-го бокового лепестка функции sin x/x равна
0,21. Поэтому если амплитуды спектральных составляющих отличаются в 5 раз, для их разрешения
необходимо, чтобы расстояние между их максимумами было больше, чем расстояние между
максимумом и вторым нулем одной из них. В противном случае спектральная составляющая с малой
амплитудой будет подавлена боковым лепестком более мощной составляющей. Этот случай
иллюстрируется рис.4 и рис.5, на которых показаны две спектральные составляющие при
соотношении амплитуд 1/2 и 1/10. Очевидно, что слабый сигнал маскируется боковыми лепестками
более мощного сигнала.
0
20
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
40
-0.2
60
80
100
0
-0.4
28.
20
0
40
-0.2
60
80
100
-0.4
Рис. 4.
Рис. 5.
Применение окон для улучшения разрешающей способности, аподизация.
Сверхразрешение
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ РАДИОГОЛОГРАФИИ
29.
Понятие о радиоголограмме. Формирование радиоголограммы радиоприемными
устройствами
30.
Восстановление радиоголограмм - как обратная задача. Приближение Кирхгофа
31. Комплексная амплитуда плоской монохроматической волны
Понятие о плоской волне
Плоской называется монохроматическая электромагнитная волна, фазовая поверхность
которой представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны.
35
Иными словами, точки волны, в которых фаза гармонических колебаний поля одинакова,
представляют собой плоскость.
В действительности плоская волна представляет собой математическую модель, физическая
реализация которой невозможно. Во-первых, плоская волна должна занимать все пространство, а во
вторых, строго выполнить условие монохроматичности можно только при существовании волны в
бесконечно большой промежуток времени. Однако эта модель является очень важной при описании
волн, так как плоская волна является частным решением волнового уравнения. Ниже мы покажем,
как произвольную распространяющуюся волну можно представить в виде суммы плоских волн.
Вывод уравнения колебаний плоской волны
Так как рассматриваемая плоская волна является монохроматической, то колебания в каждой
ее точке описываются уравнением гармонических колебаний. Предположим, что колебания точки
волны,
расположенной
в
начале
координат
( r  0 ),
описываются
уравнением
s  0, t   2 A cos t  0  , т.е. амплитуда колебаний равна 2А, а их начальная фаза -  0 . Из
физических соображений (отсутствие поглощения волн в среде) примем, что амплитуда колебаний
поля во всех точках волны одинакова. От точки к точке изменяется лишь начальная фаза колебаний,
при этом все точки любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,
колеблются в одной фазе.
Известно, что длиной волны  называется расстояние, на котором фазы колеблющихся точек
поля отличаются ровно на 2. Таким образом, если расстояние между двумя колеблющимися
l
точками волны составляет l, то фаза колебаний этих двух точек отличается на величину 2 . Во

всех случаях расстояние отмеряется вдоль направления распространения волны, т.е.
перпендикулярно фазовой поверхности волны.
Рассмотрим фазовую поверхность волны, удаленную от начала координат на некоторое
расстояние l. Точки этой поверхности колеблются с начальной фазой, отличающейся от фазы  0 на
величину
    0  
l

2 .
(31.1)
Знак «минус» перед величиной  выбран из следующих соображений: чем дальше фазовая
поверхность находится от начала координат (в сторону направления распространения волны), тем
меньше значение фазы, так как к более далеким фазовым поверхностям колебания приходят позже.
Следовательно, при перемещении в направлении распространения волны начальная фаза колебаний
уменьшается.
Точки фазовой поверхности должны удовлетворять известному из геометрии уравнению
плоскости
r n  l
где
(31.2)
- радиус-вектор точки,
- вектор нормали к плоскости (в нашем случае он параллелен направлению
распространения волны),
l
- расстояние от плоскости до начала координат.
Подставляя в соотношение (31.2) выражение (31.1), получим выражение для разности фаз
между точкой волны, которая определяется радиус-вектором r , и точкой, расположенной в начале
координат:
r
n
  
r n

2  
2

nr .
(31.3)
Выражение (31.3) можно записать в виде
  k  r ,
36
(31.4)
где
k
2

n
- волновой вектор – вектор, направленный вдоль направления распространения
волны и по модулю равный
2
.

Таким образом, точка волны, положение которой определяется радиус-вектором r , колеблется
с начальной фазой
  0    0  k  r ,
(31.5)
то есть, ее колебания описываются уравнением гармонических колебаний с амплитудой
начальной фазой  :


s  r , t   2 A cos t     2 A cos t  0  k  r .
Пусть векторы r и k характеризуются трехмерными координатами
2А и
(31.6)
 x, y, z 
и
k , k , k  .
x
y
z
Тогда уравнение колебаний (31.6) можно записать в виде
s  x, y, z , t   2 A cos  t   0  k x x  k y y  k z z  .
(31.7)
Выражение для комплексной амплитуды плоской волны
Плоскую волну, как и любую другую монохроматическую волну, можно описать при помощи
понятия комплексной амплитуды. Комплексная амплитуда волны характеризует амплитуду и фазу
гармонических колебаний поля в каждой точке пространства в некоторый фиксированный момент
времени.
Покажем, как из уравнения гармонических колебаний выводится понятие комплексной
амплитуды. Выражение (31.6) для гармонических колебаний поля в некоторой точке можно
представить в виде двух комплексно сопряженных слагаемых:





s  r , t   2 A cos t  0  k  r  A exp it  i0  ik  r  A exp ik  r  i0  it

(31.8)
Для описания волны достаточно взять любое из двух этих слагаемых, пусть это будет второе из
них. Это слагаемое, в свою очередь, можно представить в виде произведения двух
экспоненциальных множителей, из которых один будет зависеть только от времени:




s  r , t   A exp ik  r  i0  it   A  exp ik  r exp  i0   exp  it  .


(31.9)
Комплексной амплитудой p называется множитель в выражении (31.9), не зависящий от
времени, т.е.




p  r   A exp  i  exp ik  r  A exp  i  exp i  k x x  k y y  k z z  .
(31.10)
Это выражение описывает плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в
направлении, которое определяется компонентами волнового вектора u1 и u2. Эти величины можно
выразить через углы, характеризующие направление распространения волны:
x
kx
k
k x  u1  k sin 

ky

k y  u2  k cos  sin 
kz
z
y
37
Рисунок 0.1 - Волновой вектор
Координаты вектора k , учитывая, что его модуль равен k  k 
2

, связаны соотношением
 2 
k k k k 
 ,
  
(31.11)
k z   k 2  k x2  k y2   k 2  u12  u22 , u1  k x , u2  k y .
(31.12)
2
2
x
2
y
2
z
2
откуда
Знак компоненты kz определяется направлением распространения волны; если в направлении
распространения волны координата z увеличивается, то величина kz положительна, в противном
случае она отрицательна.
Таким образом, выражение для комплексной амплитуды (31.10) можно представить в виде

p  r   A exp  i0  exp i u1 x  u2 y  z k 2  u12  u22


 
 p0 exp  i  u1 x  u2 y   exp iz k 2  u12  u22 ,
где
p0  A exp  i0 
-
(31.13)
комплексная амплитуда волны в начале координат.
Уравнение (31.13) описывает плоскую монохроматическую волну при условии k 2  u12  u22 . В
противном случае уравнение формально остается справедливым, однако описываемая им волна
будет неоднородной с экспоненциально затухающей амплитудой. Такие волны могут реально
существовать и называются запредельными.
32. Представление Релея для монохроматических волн
Выражение для произвольной монохроматической волны
Выше уже говорилось о том, что произвольную монохроматическую волну с неплоской
фазовой поверхностью можно представить в виде суммы плоских волн, распространяющихся в
различных направлениях. Такое представление справедливо в силу линейности волнового уравнения
– общее решение уравнения можно представить в виде суммы частных решений, т.е. суммы плоских
волн распространяющихся в различных направлениях. Вспомним, что направление распространения
волны определяется компонентами u1 и u2, тогда искомое общее решение можно записать в виде
p  x, y , z  
4
  g u , u  exp  iz
 
1
2
1
2

k 2  u12  u22 exp  i u1 x  u2 y   du1du2 .
 
(32.1)
В выражении (32.1) функция g  u1 , u2  описывает собой комплексную амплитуду волны,
распространяющейся в направлении, определяемом переменными u1 и u2. Это выражение включает в
себя не только плоские волны, но и неоднородные экспоненциально затухающие волны, для которых
k 2  u12  u22 .
Такой вид записи произвольной монохроматической волны носит названия представления
Релея и широко применяется при решении различных задач.
Использование представления Релея для решения задачи распространения волн в
свободном пространстве
Решим следующую задачу – пусть известно распределение комплексной амплитуды поля в
плоскости z = 0. Требуется определить распределение комплексной амплитуды в некоторой другой
плоскости z ≠ 0.
Согласно представлению Релея известное распределение поля в плоскости z = 0 запишется в
виде
p  x, y , 0  
1
4 2
 
  g u , u  exp i u x  u y   du du
1
2
1
 
38
2
1
2
.
(32.2)
Мы видим, что выражение (32.2) представляет интеграл Фурье, связывающий значения
комплексной амплитуды поля p  x, y,0 и функции g  u1 , u2  . При помощи преобразования Фурье
мы можем определить функцию g  u1 , u2  :
g  u1 , u2  
 
  p  x, y, 0 exp  i u x  u y   dxdy .
1
2
(32.3)
 
Воспользовавшись тем, что согласно представлению Релея, функция g  u1 , u2  не зависит от
координаты z, искомое распределение комплексной амплитуды
p  x, y, z  можно определить
непосредственной подстановкой найденной функции g  u1 , u2  в (32.1).
Последним шагом в решении поставленной задачи является выбор правильного знака перед z в
(32.1). Этот знак можно определить по поведению неоднородных волн с учетом граничных условий
на бесконечной сфере – неоднородные волны должны затухать с увеличением расстояния. С учетом
этих соображений при z > 0 необходимо выбирать знак «плюс», а при z < 0 – «минус».
Таким
образом,
зная
распределение
комплексной
амплитуды
произвольной
монохроматической волны в каком-либо одном сечении, можно построить распределение
комплексной амплитуды в любом другом сечении этого поля.
33. Представление Релея для немонохроматических волн
Общий подход к представлению немонохроматических волн
При помощи представления Релея можно описывать не только монохроматические волны. В
общем случае произвольное поле можно представить в виде суперпозиции монохроматических
полей разных частот, каждое из которых описывается (32.1). Данное допущение широко
используется в теории колебаний при представлении произвольного сигнала как суммы
бесконечного ряда гармонических сигналов.
Решим аналогичную предыдущей задачу для произвольного поля. Пусть в сечении z = 0 задано
произвольное поле s  x, y,0, t  . Нам необходимо определить временную зависимость поля в
произвольном сечении z.
Заданное в сечении z = 0 поле можно представить в виде суммы монохроматических полей
различных частот при помощи интеграла Фурье; каждое такое монохроматическое поле с частотой

p  x, y,0  

 s  x, y,0, t  exp  it  dt .
(33.1)

Для каждого такого монохроматического поля, являющегося одной из составляющих
произвольного поля, можно вычислить функцию g  u1 , u2  согласно (32.3):
g  u1 , u2  
 
  p  x, y,0  exp  i u x  u y   dxdy .
1
2
(33.2)
 
Далее, для каждого из полей можно отыскать распределение поля в произвольном сечении z:
p  x, y, z  
2

 

g
u
,
u
exp

iz
 u12  u22
2


2     1

4  
c

1
 

 exp  i  u1 x  u2 y   du1du 2 ,


(33.3)
 
 .
2 k
Далее мы можем получить искомое распределение поля при помощи обратного преобразования
Фурье:
где
с
- скорость распространения волны в пространстве, c 
39
s  x, y , z , t  
1
2

 p  x, y, z  exp  it  d  

2

 

g u , u2  exp iz    u12  u22
3      1

8   
c

1
  

 exp  i  u1 x  u2 y  t   du1du2 d .


(33.4)
Некоторые частные случаи представления немонохроматической волны
Если поле таково, что его распределение в сечении z = 0 можно представить как произведение
функций, зависящих только от координат и только от времени
s  x, y,0, t   s  x, y,0 f t  ,
(33.5)
то выражение (33.4) можно записать в виде
1
s  x, y , z , t  
2
где
F   -

 F   p  x, y, z  exp it  d ,
(33.6)

спектр функции f  t  ,
Комплексная амплитуда
p  x, y, z  вычисляется согласно (32.1) на основании функции
g  u1 , u2  , вычисленной по пространственному распределению поля s  x, y,0 в известном сечении
z = 0. Несмотря та то, что функция g  u1 , u2  в данном случае не зависит от частоты, комплексная
амплитуда p  x, y, z  будет зависеть от , т.к. в (32.1) k 2   2 c 2 .
Еще одним способом представления произвольного поля является разложение по отдельным
источникам излучения. В этом случае распределение поля в сечении z = 0 запишется в виде
s  x, y,0, t    s j  x, y ,0  f j  t  ,
(33.7)
j
где
s j  x, y,0
- распределение амплитуды в сечении z = 0 от j-го источника, колеблющегося по
закону f j  t  .
В этом случае для каждого из источников может быть применено выражение (33.6), а затем
полученные распределения поля просуммированы. Важным для нас является то, что любую
произвольную немонохроматическую волну можно представить в виде суммы монохроматических
волн. Это позволит нам в дальнейшем проводить рассуждения только для монохроматических волн,
помня о том, что они остаются справедливыми для компонент произвольных волн.
34. Двойной физический смысл пространственной частоты
Пространственные частоты как аргументы в преобразовании Фурье
Обратимся еще раз к выражениям (32.2) и (32.3). Они представляют собой двухмерные прямое
и обратное преобразования Фурье, связывающие между собой пространственное распределение
комплексной амплитуды поля в сечении z = 0 и функцию g  u1 , u2  .
Хорошо известная из теории колебаний пара преобразований Фурье связывает между собой
временное представление сигнала – зависимость сигнала от времени –, и спектр сигнала,
характеризующий распределение гармонических составляющих сигнала по частотам. При этом в
преобразованиях участвует пара переменных t и , по размерности обратных друг другу.
В нашем случае аналогичным образом связывается зависимость комплексной амплитуды от
пространственных координат (x, y) и зависимость некоторой функции от пары величин (u1, u2),
обратных по размерности единице длины. Таким образом, величины u1, u2 несут смысл
пространственных частот, а функция g  u1 , u2  называется пространственным спектром поля.
Физический смысл пространственного спектра аналогичен смыслу для частотного спектра
сигнала – пространственный спектр описывает распределение различных составляющих
пространственной функции (в нашем случае такой функцией является распределение комплексной
амплитуды). Однако в отличие от частотного спектра, где каждой составляющей соответствует
гармоническое колебание, в пространственном спектре составляющими являются функции вида
40
exp  i  u1 x  u2 y   , представляющие собой обобщение гармонических составляющих на двухмерный
случай.
Пространственные частоты как характеристики направления распространения волны
Однако, кроме пространственных частот, переменные u1 и u2 несут и другой смысл. Вспомним,
что эти переменные определяют углы распространения каждой плоской волны, из которых состоит
результирующее монохроматическое поле, а функция g  u1 , u2  определяет комплексную амплитуду
этой волны. В связи с этим функцию g  u1 , u2  называют также угловым спектром поля,
подчеркивая, что она описывает разложение произвольного монохроматического поля по плоским
волнам, распространяющихся под различными углами.
В этом и проявляется двойственность переменных u1 и u2 – с одной стороны, это
пространственные частоты, по которым раскладывается в спектр пространственное распределение
комплексной амплитуды поля в сечении z = 0, а с другой – u1 и u2 являются величинами,
определяющими направление распространения плоских волн, из которых состоит рассматриваемая
произвольная монохроматическая волна.
Связь между пространственными частотами и углами распространения волны
Всегда можно найти количественное соотношение между значениями пространственной
частоты и углами распространения плоской волны. Эти соотношения отображены на рис. 1:
u1  k sin  , u2  k cos  sin  .
(34.1)
Принципиально следует отметить, что пространственный спектр распределения комплексной
амплитуды не зависит от длины волны, поскольку определяется самим этим распределением. В то
же время угол распространения волны, соответствующий одной и той же пространственной частоте,
u
меняется в зависимости от длины волны. Для угла  из (34.1) можно получить, что sin   1 .
k
Выражение для угла  несколько сложнее, однако основные свойства углового спектра можно
показать на примере угла .
Понятно, что sin   1 ; это означает, что угловой спектр поля по углу  сосредоточен в
диапазоне u 1  k ; k  . То есть, пространственной частоте u1 = –k соответствует плоская волна,
распространяющаяся под углом     2 к плоскости z = 0, а пространственной частоте u1 = k –
волна, распространяющаяся под углом    2 . Все остальные значения u 1  k ; k  соответствуют
плоским волнам, распространяющимся под острыми углами к плоскости z = 0. В то же время в
пространственном спектре распределения комплексной амплитуды поля могут быть составляющие
на частотах u1, не принадлежащих интервалу  k ; k  . Эти частоты соответствуют затухающим
неоднородным волнам.
В случае, если распределение комплексной амплитуды поля таково, что пространственный
спектр сосредоточен в области частот u 1  k ; k  , то угловой спектр поля повторяет форму
пространственного спектра комплексной амплитуды, а результирующая волна состоит целиком из
плоских волн. В противном случае угловой спектр представляет лишь часть пространственного
спектра поля, а в представлении результирующей волны будут присутствовать неоднородные волны.
Эти случаи представлены на рисунке 2. Пусть для монохроматических полей различных частот,
которым соответствуют волновые числа k1 и k2, k1 > k2, имеются одинаковые распределения
комплексных амплитуды в некоторой плоскости (опустим, как физически можно получить такие
распределения). Пространственный спектр этих распределений по частоте u1 показан на рисунке 2а.
На этом рисунке на оси пространственных частот отмечены значения волновых чисел k1 и k2,
соответствующие двух частотам полей. Видно, что для поля большей частоты, которому
соответствует большее волновое число k1, пространственный спектр распределения комплексных
амплитуд сосредоточен в области  k1; k1  . Это означает, что угловой спектр поля по форме будет
повторять пространственный спектр (рисунок 2б), а в разложении поля по плоским волнам не будет
неоднородных волн.
41
В то же время для поля меньшей частоты (поле с волновым числом k2) точно такой же
пространственный спектр распределения комплексных амплитуд приведет к тому, что лишь
небольшая часть пространственного спектра, заключенная в интервале пространственных частот
k2 ; k2  , будет формировать угловой спектр поля (рисунок 2б). Амплитуды и фазы плоских волны,
участвующих в разложении такого поля, описываются этой небольшой частью пространственного
спектра. Остальная часть пространственного спектра описывает неоднородные волны,
присутствующие в разложении поля.
g()
g(u1 )
g()

u1
-k 1
-k 2
k2
- /2
k1

/2
- /2
/2
б)
а)
в)
Рисунок 0.2 – Связь пространственного и углового спектра
35. Частотная характеристика свободного пространства
Вывод частотной характеристики
Обратимся опять к выражениям (32.1), (32.2) и (32.3). Эти выражения были использованы нами
для решения задачи нахождения поля в одном сечении при известном распределении поля в другом.
Первым шагом в решении этой задачи было нахождение пространственного спектра поля в
известном сечении согласно выражению (32.3), представляющего собой двухмерное преобразование
Фурье. Далее при помощи выражения (32.1) мы отыскивали искомое распределение поля.
Проанализировав выражение (32.1), можно увидеть, что оно представляет собой обратное
двухмерное преобразование Фурье от величины


g z  u1 , u2   g  u1 , u2  exp iz k 2  u12  u22 ,
(35.1)
т.е.
p  x, y , z  
1
4 2
 
  g u , u  exp i u x  u y   du du
z
1
2
1
2
1
2
.
(35.2)
 
Мы видим, что величина g z  u1, u2  представляет собой не что иное, как пространственный
спектр искомого распределения поля p  x, y, z  . Из (35.1) видно, что пространственный спектр в
сечении z ≠ 0 отличается от спектра в сечении z = 0 множителем


H z  u1 , u2   exp iz k 2  u12  u22 .
(35.3)
Следовательно, распространение волны вдоль оси z от сечения z = 0 до сечения z ≠ 0 в
спектральной области представляется как умножение спектра распределения комплексной
амплитуды на некоторый множитель H z  u1 , u2  .
Аналогия частотной характеристики для системы с сосредоточенными параметрами
Аналогией этому процессу является преобразование сигнала линейной колебательной системой
с сосредоточенными параметрами. В этом случае на вход системы поступает некоторый сигнал
s0  t  , спектром которого является функция g0   , а на выходе системы действует сигнал s1  t  ,
спектр которого g1   можно вычислить как произведение спектра входного сигнала g0   на
некоторую функцию H   , называемую частотной характеристикой системы. Эта функция не
зависит от входного сигнала и определяется лишь свойствами системы.
Таким образом, для того, чтобы узнать сигнал на выходе такой системы по известному сигналу
на ее входе, необходимо выполнить следующие преобразования:
42
вычислить спектр входного сигнала при помощи преобразования Фурье;
вычислить спектр выходного сигнала, перемножив спектр входного сигнала на частотную
характеристику системы;
- вычислить сигнал на выходе системы по известному спектру при помощи обратного
преобразования Фурье.
Возвращаясь к решению задачи нахождения поля в произвольном сечении, мы видим аналогию
между преобразованием временного сигнала линейной системой с сосредоточенными параметрами и
преобразованием распределения комплексных амплитуд («пространственного сигнала») свободным
пространством, в котором распространяется поле. Таким образом, свободное пространство также
является линейной системой, преобразующей пространственный сигнал. Эта аналогия показана на
рисунке 3.
-
сигнал
спектр
s0 (t)
H()
g0 ()
s1 (t)
p(x,y,0)
g1 ()=g0 ()H()
p(x,y,z)
H(u1 ,u2 )
g(u1 ,u2 )
а)
gz(u1 ,u2 )=g(u1 ,u2 )H(u1 ,u2 )
б)
Рисунок 0.3 – Аналогия между колебательными и волновыми линейными системами
В соответствии с такой аналогией функцию (35.3) называют частотной характеристикой
свободного пространства. Эта характеристика показывает, как изменяется пространственный
спектр распределения комплексных амплитуд поля при прохождении поля через свободное
пространство.
Свойства частотной характеристики
Представляет интерес проанализировать некоторые свойства частотной характеристики
свободного пространства. Так, рассмотрим модуль частотной характеристики, описываемой
выражением (35.3). Можно записать, что
H z  u1 , u2 

1


2
2
2
exp  z u1  u2  k


u12  u22  k 2
u12  u22  k 2
.
(35.4)
Видно, что в частотной плоскости выделяются две зоны, в которых модуль частотной
характеристики ведет себя различным образом. Внутри круга радиусом k и центром в начале
координат частотной плоскости модуль частотной характеристики постоянен и равен единице. Вне
этого круга модуль частотной характеристики убывает с удалением от начала координат.
Схематически модуль частотной характеристики представлен на рисунке 4а (условно k=1). На
рисунке 4б представлен срез графика при u2 = 0.
H z  u1 ,0 
-k
u1
k
u
а)
б)
Рисунок 0.4 – Примерный график модуля частотной характеристики свободного пространства
43
Оценим, насколько быстро убывает модуль частотной характеристики при удалении от начала
координат за пределами круга на частотной плоскости радиусом k. Для этого рассмотрим
зависимость модуля частотной характеристики от величины u = u1 – k при u2 = 0:



H z  u1 , 0   exp  z u12  k 2  exp  z
 k  u 
2


 k 2  exp  z 2k u  u 2

(35.5)
Определим условие, при котором спад модуля частотной характеристики в e раз будет
происходить на интервале u, значительно меньшем k. Это условие запишется в виде
1  z 2k u  u 2 .
Учитывая, что u
(35.6)
k , из (35.6) получаем искомое условие:
1  z 2k u  1
z 2 k u  z 2
1
z
k u
1
, или z
k
.
Фильтрующая характеристика свободного пространства
Таким образом, при достаточной (по сравнению с длиной волны) длине участка свободного
пространства оно работает как фильтр, не пропускающий частотные составляющие
пространственного спектра, лежащие выше значения волнового числа k. Эти составляющие
соответствуют неоднородным волнам в разложении поля.
Кроме того, фильтрация такого рода объясняет применимость приближений Кирхгофа для
описания поля на объекте (рисунок 5а). Напомним, что это приближение утверждает, что поле на
поверхности объекта со «теневой» стороны (обратной направлению распространения волны),
отсутствует (рисунок 5б), а поле на участках, где объект отсутствует, точно такое же, как и в
отсутствие объекта вообще. Напротив, при отражении поля от объекта (рисунок 5в) отраженное поле
на его поверхности такое же, как и при отражении от бесконечной плоскости, а на участках, где
объект отсутствует, поле не отражается совсем.
A B
Отраженное
поле
Поля нет
Поле есть
Падающее
поле
а)
Поле есть
Поля нет
А-А
В-B
б)
в)
Рисунок 0.5 – Приближение Кирхгофа
Приближение Кирхгофа является грубым в том смысле, что распределение поля,
подчиняющееся этому приближению, испытывает разрыв в местах сопряжения объекта со
свободным пространством, и не может формально удовлетворять волновому уравнению. Однако
фильтрующее свойство частотной характеристики свободного пространства приводит к тому, что на
некотором удалении от объекта высокочастотные составляющие спектра поля, вносимые разрывами
поля в приближении Кирхгофа, сглаживаются, и распределение поля в этом сечении не
противоречит волновому уравнению.
44
36. Угловой спектр сферической волны
Выражение для комплексной амплитуды сферической волны
Рассмотрим, как разлагается по плоским волнам сферическая волна, комплексная амплитуда
которой описывается выражением
p  x, y , z  
exp  ikR 
R
,
(36.1)
R  x2  y 2  z 2 .
Такая волна является моделью, описывающей поле точечного источника излучения, и поэтому
ее разложение важно для проведения некоторых дальнейших выводов. Уравнение колебаний
плоской волны можно получить непосредственно из решения волнового уравнения для точечного
источника колебаний.
В плоскости z = 0 распределение комплексных амплитуд будет описываться соотношением
где
p  x, y , 0  
exp  ikr 
r
,
(36.2)
r  x2  y 2 .
Вычисление углового спектра сферической волны
Подставляя выражение (36.2) в соотношение (32.3), можно получить искомый угловой спектр.
При этом необходимо вычислить интеграл
где
 
exp  ikr 
 
r
g  u1 , u2  

exp  i  u1 x  u2 y   dxdy ,
что можно сделать при помощи замены переменных u 1  q cos , u 2  q sin , x  r sin  и
y  r sin  . После проведения вычислений можно получить, что
g  u1 , u2  
2 i
k 2  u12  u22

2 i
.
kz
(36.3)
Полученное выражение представляет собой угловой спектр сферической волны. Анализируя
(36.3), можно отметить, что при малых по сравнению с k значениях u1 и u2, что соответствует малым
углам распространения плоских волн, спектр сферической волны практически постоянен. При
увеличении углов распространения и приближении u1 и u2 к k спектр начинает возрастать и
переходит в область неоднородных волн.
Подставляя выражение для углового спектра (36.3) в представление Релея (32.1), получим
искомое разложение:
exp  ikR 
R

 
1
4
2

 

1
2
2 i
k  u1  u
2
 

 
2

2
2


exp iz k 2  u12  u22 exp  i  u1 x  u2 y   du1du2 
exp i u1 x  u2 y  z k 2  u12  u22
k 2  u12  u22
 du du .
1
(36.4)
2
37. Импульсный отклик свободного пространства
Выражение для импульсного отклика свободного пространства
Продолжая аналогию колебательных и волновых систем, выведем выражение для импульсного
отклика свободного пространства.
В колебательных системах импульсным откликом называется реакция системы на единичное
входное воздействие, или другими словами, импульсный отклик системы – это сигнал на выходе
системы при подаче на ее вход бесконечно короткого импульса. В теории линейных систем
показано, что импульсный отклик линейной системы и ее частотная характеристика связаны парой
45
преобразований Фурье. Применим это правило к нашей волновой линейной системе и получим
выражение для импульсного отклика как обратное преобразование Фурье от уже известной
частотной характеристики:
h  x, y  
1
4 2
 
  H u , u  exp i u x  u y   du du
1
2
x
y
1
2
.
(37.1)
 
Интеграл (37.1) можно вычислить при помощи соотношения (36.4). Дифференцируя (36.4) по z,
получим
 exp  ikR 
1

z
R
2
  exp  i  u x  u y  z
 
1
2
k 2  u12  u22
 
 du du .
1
2
(37.2)
Сравнивая выражения (37.2) и (37.1), можно получить, что
exp  ikR  R
1  exp  ikR 
1
1 exp  ikR  R

ik
 2

2 z
R
2
R
z 2
R2
z
.
1 exp  ikR  R  1
 1 1
 exp  ikR  z

  ik  
  ik 
2
R
z  R
R
R
 2  R

h  x, y   
(37.3)
Таким образом, мы получили точное выражение для импульсного отклика свободного
пространства.
Физический смысл импульсного отклика свободного пространства заключается в следующем.
Представим некоторую монохроматическую волну, распределение комплексной амплитуды поля
которой в плоскости z=0 представляет собой единичный импульс (дельта-функцию). Выражение
h  x, y  представляет собой распределение комплексной амплитуды этого поля некоторой волны в
плоскости z, которое образуется при прохождении этой волной свободного пространства длины z.
Следует отметить, что поле такой волны физически нереализуемо.
Аналогично выражению (35.2), выражающему распределение комплексной амплитуды поля в
некотором сечении через частотную характеристику, можно получить выражение для комплексной
амплитуды поля через импульсный отклик свободного пространства:
p  x, y , z  
 
  h  x  x, y  y p  x, y, 0  dxdy .
(37.4)
 
Приближение Френеля. Принцип Гюйгенса-Френеля
Анализируя выражение (37.3), можно получить, что для больших (по сравнению с длиной
волны) расстояний z импульсная характеристика записывается в виде
h  x, y  
1 1
ik exp  ikR  z
 exp  ikR  z
при 

  ik 
2  R
R
R
2
R
R

z.
(37.5)
Если предположить, что поперечные размеры плоскости, на которой анализируется
комплексная амплитуда, также малы по сравнению с расстоянием до этой плоскости, выражение для
импульсного отклика (37.5) еще более упрощается:
h  x, y   
ik exp  ikR 
при z
2
R
Rи z
x, z
y.
(37.6)
Условия z R и z x, z y являются условиями зоны Френеля, таким образом,
приближенное выражение для импульсного отклика свободного пространства (37.6) справедливо в
этой зоне.
Вместе с тем можно придти к выводу, что в данном приближении импульсный отклик
свободного пространства представляет собой не что иное, как сферическую волну (из сравнения с
выражением (36.1)). Таким образом, мы приходим к принципу Гюйгенса-Френеля – фронт
распространяющейся волны точно такой же, как если бы он был сформирован точечными
источниками с амплитудами и фазами колебаний, соответствующими колебаниям поля на некотором
другом волновом фронте.
46
ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАДИОГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
38. Алгоритм восстановления изображений в частотной области
Задача восстановления изображений как обратная задача
Теперь мы имеем все сведения, необходимые для того, чтобы восстанавливать микроволновые
изображения объектов по данным измерений рассеянного поля.
Изображением объекта мы будем называть некоторую скалярную функцию (функцию объекта)
пространственных координат, которая характеризует распределение свойств объекта (например,
коэффициента отражения) в пространстве. Далее мы будем рассматривать простые случаи плоских
объектов – когда функция объекта зависит только от двух пространственных координат.
Кроме того, для упрощения выкладок будем считать, что измерения рассеянного объектом поля
также выполняются на некоторой плоской поверхности, которая параллельна плоскости объекта. Эту
поверхность будем называть плоскостью апертуры (апертурой).
В решении задачи восстановления мы будем использовать ряд приближений, которых так или
иначе мы касались выше. Самым главным является приближение Кирхгофа, которое в нашем случае
можно сформулировать так: значение поля на поверхности объекта пропорционально функции
объекта. С учетом этого приближения задача восстановления изображения объекта сводится к задаче
восстановления картины распределения поля на поверхности объекта.
Следующим приближением является то, что между плоскостью объекта и плоскостью
апертуры находится свободное пространство. Это приближение вполне допустимо в большинстве
случаев – даже если объект расположен в некотором непоглощающем диэлектрике, его можно
рассматривать как свободное пространство с уменьшенной скоростью распространения волн.
Таким образом, задача восстановления изображения сводится к расчету распределения поля на
поверхности объекта по известным значениям поля в плоскости апертуры. При этом важным
является то, что волна распространяется от плоскости объекта к плоскости апертуры.
Задача нахождения распределения поля в одном сечении по известному распределению в
другом была рассмотрена выше, однако в этой задаче предполагалось, что волна распространяется от
сечения с известным значением поля к сечению с неизвестными значениями. Такая задача является
прямой в том смысле, что ее решение заключается в вычислении выходного сигнала (распределение
поля) после преобразования входного сигнала (известное распределение поля) линейной системой с
известными параметрами (свободное пространство).
Для восстановления изображения необходимо решить обратную задачу, т.е. определить
входной сигнал по известным выходному сигналу и характеристикам преобразующей сигнал
системы. Как и любая другая обратная задача, задача восстановления изображения в общем случае
является некорректно поставленной, т.е. для нее характерны свойства некорректно поставленных
задач – существование или множественной решений, неустойчивость решения и т.п.
Решение обратной задачи в частотной области
Рассмотрим следующий эксперимент: объект, расположенный в плоскости z = 0, облучается
некоторой монохроматической волной. Направление распространения облучающей волны обратно
направлению оси z.
Объект рассеивает облучающую волну, отражая часть энергии электромагнитного поля в
плоскость апертуры, параллельную плоскости объекта и отстоящую от нее на некотором расстоянии
z. В этой плоскости производится измерение амплитуды и фазы отраженного поля. Схематически
эксперимент изображен на рисунке 6.
x
Плоскость объекта
Отраженная
волна
Объект
y
Плоскость
апертуры
z
z
Облучающая
волна
47
Рисунок 0.1 – Схема эксперимента по восстановлению изображения объекта
Нашей задачей является расчет функции объекта по данным измерений параметров поля
(комплексной амплитуды) в плоскости апертуры.
Используя представление Релея, мы можем выразить значения комплексной амплитуды в
плоскости апертуры p  x, y, z  через угловой спектр поля g  u 1 , u2  в этой области:
p  x, y , z  
4
  g  u , u  exp  iz
 
1
2
1
2

k 2  u12  u22 exp  i  u1 x  u2 y   du1du2 .
 
(38.1)
Это выражение можно записать в виде обратного двухмерного преобразование Фурье:
p  x, y , z  
где
F  u1, u2 
 
1
4 2
  F u , u  exp i u x  u y   du du
1
2
1
2
1
2
,
(38.2)
 
- пространственный
спектр
поля


в
плоскости
апертуры,
F  u1 , u2   g  u1 , u2  exp iz k 2  u12  u22  g  u1 , u2  H z  u1 , u2  ,
H z  u1 , u2  - частотная характеристика свободного пространства протяженностью z (35.3).
В свою очередь, угловой спектр поля можно рассчитать, зная распределение комплексной
амплитуды p  x, y,0  поля в плоскости z = 0, т.е. в плоскости объекта (32.3):
g  u1 , u2  
 
  p  x, y, 0  exp i u x  u y   dxdy .
1
2
(38.3)
 
Выше уже упоминалось о том, что расчет углового спектра поля по распределению
комплексной амплитуды является вычислением преобразования Фурье.
Пространственный спектр поля в области апертуры представляет собой произведение углового
спектра (пространственного спектра в плоскости объекта) поля на частотную характеристику
свободного пространства, описываемую выражением (35.3). Таким образом, пространственный
спектр распределения комплексной амплитуды поля в плоскости апертуры связан соответствующим
спектром в плоскости объекта через частотную характеристику свободного пространства.
Исходя из этого, решение обратной задачи можно осуществлять при помощи следующей
последовательности шагов:
- по известному распределению комплексной амплитуды поля в плоскости апертуры вычислить
пространственный спектр поля при помощи прямого преобразования Фурье,
- по вычисленному спектру поля в плоскости апертуры определить пространственный спектр поля
в области объекта, обратив трансформацию, производимую со спектром свободным
пространством (разделив спектр поля в области объекта на частотную характеристику
свободного пространства).
- рассчитать распределение комплексной амплитуды поля в плоскости объекта, выполнив
обратное преобразование Фурье от рассчитанного спектра поля
- в качестве функции объекта использовать абсолютное значение полученного распределения.
Схематично алгоритм восстановления можно записать в виде блок-схемы, показанной на
рисунке 7:
48
Измерение распределения
поля в плоскости апертуры
p  x, y , z 
Вычисление пространственного
спектра поля в области апертуры
F  u1 , u2   F  p  x, y, z 
Вычисление пространственного
спектра поля в области объекта
(углового спектра поля)
g  u1 , u2  
F  u1 , u2 
H z  u1 , u2 
Вычисление распределения поля в
плоскости объекта
p  x, y, 0   F 1  g  u1 , u2 
Вычисление функции объекта
f  x, y   p  x, y , 0 
Рисунок 0.2 – Алгоритм восстановления изображения объекта в частотной области
На рисунке операция F 
F 1 

означает вычисление прямого преобразования Фурье, а операция
 – обратного преобразования Фурье.
Дискретизация задачи
При решении задачи восстановления напрямую использовать предложенный алгоритм нельзя
по нескольким причинам. Во-первых, из физических соображений измерения поля могут
проводиться только в определенных точках плоскости апертуры. Кроме того, реальные алгоритмы не
способны проводить вычисления над непрерывными функциями, которые описывают распределения
поля, их спектры и т.п.
Для преодоления этих ограничений используем дискретизацию задачи, при которой
непрерывные функции представляются рядом фиксированных значений в определенных точках.
Этот подход является одним из частных случаев метода моментов.
В приведенных выше соотношениях предполагается, что распределения поля заданы на
бесконечных плоскостях, что недостижимо в реальных условиях. Это ограничение также нужно
учитывать при дискретизации задачи.
Представим, что измерения поля в плоскости апертуры проводятся в узлах прямоугольной
решетки размером a на b в направлении осей x и y соответственно. Общее число элементов решетки
составляет N = AB (рисунок 8).
Элемент объекта
Точки измерения
параметров поля
z
a
y
b
Рисунок 0.3 – Дискретизация задачи
Объект в данном случае можно представить в виде набора прямоугольников одинакового
размера, заполняющих плоскость объекта. В каждом из таких элементов объекта значение функции
объекта будем считать постоянным. По соображениям, которых мы коснемся ниже, размеры
49
плоскости объекта должны совпадать с размерами плоскости апертуры; таким образом, размер
каждого элемента будет составлять a/A на b/B.
Дискретное преобразование Фурье и БПФ
Алгоритм решения обратной задачи с учетом проведенной дискретизации будет аналогичен
представленному на рисунке 7; однако, вместо аналитических операций преобразования Фурье
будут выполнены операции дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Для быстрого вычисления преобразований Фурье можно использовать алгоритм быстрого
преобразования Фурье (БПФ). Суть этого алгоритма заключается в том, что операция
преобразования массива из M (M четное) элементов сводится к комбинации двух преобразований
Фурье для четных и нечетных элементов массива. В свою очередь, если каждый из этих массивов
имеет четное число элементов, то его также можно разделить на два массива и так далее, до пар из
элементов исходного массива. Однако, для того, чтобы массив можно было разбивать до
образования пар элементов, его размер должен быть равен 2K, К=1,2,3…
Дискретное преобразование Фурье, и соответственно БПФ, имеют особенность, связанную с
характерным расположением отсчетов частот в выходном массиве. Вспомним, что при выполнении
преобразования Фурье некоторой аналитической функции, результирующий спектр представляет
собой функцию, определенную как в области положительных, так и отрицательных частот. В случае
дискретного преобразования Фурье результатом операции является некоторый массив, размер
которого совпадает с размером исходного массива. Часть значений этого массива являются
отсчетами, соответствующими положительным значениям частоты, а часть – отрицательным
значениям.
Можно строго показать, что спектр сигнала, формируемый операцией дискретного
преобразования Фурье, содержит частоты от  2
до 2
, где  – интервал дискретизации
2
2
сигнала. Это соответствует теореме Котельникова (Найквиста), согласно которой для представления
сигнала по его выборкам необходимо знать спектр сигнала в полосе частот, ограниченной сверху
половиной частоты дискретизации сигнала (частоты следования выборок).
В спектре сигнала, формируемом при помощи дискретного преобразования Фурье, первая
половина выборок массива представляет собой значения, соответствующие положительным
частотам спектра сигнала, а вторая половина – значениия, соответствующие отрицательным
частотам. Для приведения спектра сигнала к привычному виду, где сначала расположены
отрицательные, а затем положительные частоты, необходимо попарно переставить элементы
верхней и нижней половин выходного массива. Эта операция называется сдвигом ДПФ.
Расположение отсчетов в выходном массиве показано на рисунке 9.
S
Si
S
0

а)
7 0
7
1
2
5
3 4
б)
6
6
i
1
5
4
2
3

в)
Рисунок 0.4 – Расположение отсчетов в выходном массиве ДПФ
На рисунке 9а показан спектр некоторого непрерывного сигнала, 9б – спектр
дискретизированного сигнала с сохранением исходного порядка следования выборок, 9в результирующий массив после выполнения сдвига ДПФ.
При выполнении операций двухмерного ДПФ операция сдвига осуществляется несколько
сложнее – необходимо попарно переставить первую и четвертую, а также вторую и третью четверти
выходного двухмерного массива.
Интервал дискретизации частоты и размер изображения
Возвращаясь к задаче восстановления изображения, определим, с каким интервалом будут
расположены пространственные частоты в вычисленном при помощи ДПФ спектрах распределения
50
поля. Исходя из высказанных выше соображений, спектр сигнала по пространственной частоте u1,
соответствующей координате x, будет заключен в интервале от 2 A
до 2 A , а спектр по
2a
2a
B
частоте u2, соответствующей координате y – соответственно в интервале от 2
до 2 B .
2b
2b
Учитывая, что результирующий массив имеет те же размеры, что и исходный, интервалы
дискретизации пространственных частот будут составлять 2 и 2 соответственно.
a
b
Определим теперь размер изображения, получаемый при помощи рассматриваемого алгоритма
восстановления. Для этого проанализируем каждый из этапов алгоритма.
На первом этапе производится вычисление ДПФ от исходного массива измеренных значений
поля. Выше было показано, что результирующий массив будет содержать пространственные частоты
в диапазоне от 2 A
до 2 A
и от 2 B
до 2 B
соответственно по двум частотным
2a
2a
2b
2b
координатам.
Следующим этапом восстановления является поэлементное деление полученного спектра на
значения частотной характеристики свободного пространства. Эта характеристика в
дискретизированном виде будет также представлять собой массив, размеры которого должны
совпадать с размерами массива спектра распределения поля. Кроме того, частоты, соответствующие
каждому из элементов массива частотной характеристики, также должны соответствовать частотам
спектра.
Вычисленный спектр поля в плоскости объекта будет иметь те же частоты, что и исходный
спектр и частотная характеристика. Следовательно, массив распределения поля в плоскости объекта,
вычисляемый при помощи операции обратного ДПФ от полученного спектра, будет соответствовать
размерам a на b с числом элементов A на B.
Это означает, что получаемое при восстановлении в частотной области изображение объекта
будет иметь те же размеры и тот же шаг дискретизации, какие были в решетке, в узлах которой
измерялись значения рассеянного поля.
39. Восстановление изображений в приближении Френеля
Изображение – свертка поля и импульсного отклика
Обратимся опять к задаче нахождения поля в одном сечении волны по известным значениям
поля в другом сечении. Условия задачи остаются теми же: пусть распределение поля p  x, y,0 
задано в плоскости z = 0. Требуется найти распределение поля в некотором сечении z,
расположенном далее по направлению распространения волны.
Воспользуемся фильтрующим свойством дельта-функции и представим известное
распределение в виде интеграла:
p  x, y , 0  
 
  p  x, y, 0    x  x, y  y dxdy .
(39.1)
 
Подынтегральное выражение в (39.1) представляет собой «импульсное» распределение поля,
пик которого расположен в точке (x’, y’):
pИ  x, y,0  p  x, y,0   x  x, y  y .
(39.2)
Для любого из таких распределений в сечении z = 0 искомое поле в сечении z будет
определяться импульсным откликом свободного пространства. То, что единичное распределение
умножено на некий масштабный коэффициент, определяемый значением поля в точке (x’, y’), в
данном случае приведет к тому, что результирующее поле в сечении z также будет умножено на этот
коэффициент (по сравнению с распределением поля вида   x  x, y  y ). Это непосредственно
следует из линейности системы.
Таким образом, выражение для искомого поля в сечении z можно записать как
pИ  x, y, z   p  x, y,0 h  x  x, y  y .
51
(39.3)
В силу принципа суперпозиции искомое поле в сечении z можно представить как сумму полей,
сформированных «импульсными» распределениями вида (39.2)
p  x, y , z  
 
  p  x, y, z  dxdy ,
(39.4)
  p  x, y, 0  h  x  x, y  y dxdy .
(39.5)
И
 
или окончательно
p  x, y , z  
 
 
Выражение (39.5) представляет собой математическую конструкцию, называемую сверткой.
Таким образом, можно сделать вывод, что искомое распределение поля в сечении z представляет
собой свертку известного распределения поля в сечении z = 0 и импульсного отклика свободного
пространства длины z.
При восстановлении изображений необходимо решить обратную задачу – по известному
распределению поля в сечении z необходимо рассчитать распределение поля в сечении z = 0.
Обращение свертки вида (39.5) в общем случае затруднительно; однако задача обращения
упрощается с использованием приближения Френеля.
Решение задачи в приближении Френеля
Напомним, что в приближении Френеля импульсный отклик свободного пространства
пропорционален спектру сферической волны. В этом случае импульсный отклик свободно
пространства записывается в виде
hФ  x, y   
ik exp  ikR 
,
2
R
(39.6)
R  x2  y 2  z 2 .
Выше уже упоминалось о том, что такой вид импульсного отклика свободного пространства
соответствует принципу Гюйгенса-Френеля для распространения волн.
Используя приближенное равенство z  R , обусловленное приближением Френеля, выражение
для импульсного отклика (39.6) можно представить в виде
где
hФ  x, y   
ik exp  ikR 
.
2
z
(39.7)
Разложим выражение для R в ряд Тейлора и воспользуемся первыми двумя членами этого ряда
(это допустимо с учетом приближения Френеля):
 1  x2 y 2 
R  z 1   2  2   .
z 
 2 z
(39.8)
Запишем выражение (39.5) для поля в плоскости апертуры с учетом выражений (39.7) и (39.8),
полученных с использованием приближения Френеля:
p  x, y , z   
ik
2
 
  p  x, y, 0 
 
exp  ikR 
dxdy ,
z
(39.9)
 1  x2 y 2 
где
R   x  x    y  y   z  z 1   2  2   .
z 
 2 z
После преобразований можно получить, что
2
2
2
 
ik
 ik
p  x, y , z   
exp  ikz    p  x, y, 0  exp 
2 z
 2z
 
  x  x 
2

2 
  y  y   dxdy .

(39.10)
Выражение (39.10) связывает при помощи интеграла свертки значения поля в плоскости
апертуры и на поверхности объекта, и носит название интеграла Френеля. В этом выражении
52
ik
exp  ikz  , стоящий перед знаком интеграла, определяется только конфигурацией
2 z
эксперимента и не зависит от распределений поля. При нормировке восстанавливаемого
изображения он не сказывается.
Получить значение распределения поля можно, вычислив преобразование, обратное (39.10):
множитель 
p  x, y , 0  
 
 ik
  p  x, y , z  exp   2 z   x  x   y  y 
2
 
2
  dxdy ,
(39.11)
Таким образом, для восстановления изображения, основываясь на импульсном отклике
свободного пространства в приближении Френеля, необходимо выполнить следующее:
- измерить распределение поля p  x, y, z  в плоскости апертуры
-
вычислить значение поля на поверхности объекта p  x, y,0  согласно выражению (39.11)
определить функцию объекта как абсолютное значение вычисленного распределения поля на
поверхности объекта
Блок схема алгоритма представлена на рисунке 10.
Измерение распределения
поля в плоскости апертуры
p  x, y , z 
Вычисление обратного
преобразования
p  x, y, z   T  p  x, y, 0 
Вычисление функции объекта
f  x, y   p  x, y , 0 
Рисунок 0.5 – Алгоритм восстановления изображения, основанный на импульсном отклике
свободного пространства
На рисунке символом T   обозначено обратное преобразование, вычисляемое согласно
(39.11).
При реализации алгоритма задача дискретизируется так же, как и при восстановлении в
частотной области. При этом следует отметить, что жесткой связи между размерами и
дискретностью плоскостей апертуры и объекта, как это было при восстановлении в частотной
области, нет. Таким образом, восстанавливаемое изображение может иметь размеры и/или число
точек, отличное от соответствующих параметров плоскости апертуры.
Несмотря на визуальную простоту данного алгоритма по сравнению с алгоритмом
восстановления изображений в частотной области, вычислительная сложность при восстановлении с
использованием импульсного отклика значительно выше. Это связано с тем, что при расчете
обратного преобразования (39.11) для вычисления каждого значения p  x, y,0  необходимо
рассчитать значение двойного интеграла в пространственной области.
Если при дискретизации задачи плоскость апертуры и плоскость объекта состоят из N точек, то
результирующая вычислительная сложность алгоритма окажется порядка N2 операций; в то время
как восстановление в частотной области с использованием быстрого преобразования Фурье
обеспечивает сложность в N∙log N операций.
Зона Френеля, дальняя зона
Алгоритм восстановления изображений с использованием импульсного отклика свободного
пространства использует приближение Френеля. Эти приближения ограничивают плоскость
апертуры так называемой зоной Френеля. Выше было показано, что в этой зоне поле, формируемое
некоторым единичным распределением комплексной амплитуды, может быть описано сферической
волной.
Для того, чтобы плоскость апертуры находилась в зоне Френеля, необходимо выполнение двух
условий:
53
Расстояние от плоскости объекта (источника отраженного сигнала) до плоскости апертуры
должно быть много больше длины волны.
2.
Размеры плоскости апертуры должны быть малыми по сравнению с расстоянием до нее.
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий (с учетом точности приближения Френеля,
требуемой конкретной задачей), говорят, что плоскость апертуры находится в ближней зоне. В этом
случае приближение Френеля некорректно, и алгоритмы восстановления, основанные на этом
приближении, будут давать неверные результаты.
Дальней зоной называют область, в которой волну, создаваемую точечным источником (или
единичным распределением поля), можно считать плоской. Переход из зоны Френеля в дальнюю
зону может осуществляется как отдалением плоскости апертуры от источника отраженной волны,
так и уменьшением размеров самой апертуры. В дальней зоне информация о фазе отраженной волны
теряется, и восстановление изображения отраженного объекта усложняется.
40. Азимутальное разрешение радиоголографической системы
Общее понятие о разрешающей способности
Понятие разрешающей способности применительно к радиоголографической системе можно
определить как минимальное расстояние между двумя точечными объектами, при котором на
восстановленном изображении эти объекты различимы. С разрешающей способностью системы
связана функция рассеяния, которая характеризует, как будет восстановлено изображение точечного
объекта.
В идеальной системе функция рассеяния представляет собой дельта-функцию, т.е. точечный
объект восстанавливается без искажений в виде точки на плоскости. В реальных системах функция
рассеяния имеет вид импульса конечной протяженности. Этой протяженностью и определяется
разрешающая способность системы. Если система восстанавливает два точечных объекта, то при
некоторых условиях изображения этих объектов, представляющие собой функции рассеяния, могут
перекрыться, и различение объектов на изображении будет невозможно. Часто для определения
разрешающей способности используют критерий Релея, согласно которому изображения точечных
объектов различаются, если амплитуда восстановленного сигнала в промежутке между их
изображениями не превышает 80% от максимальной амплитуды сигнала.
Радиоголографическая система в общем случае формирует трехмерное изображение объекта,
несмотря на приближение плоского объекта, использованное в алгоритмах восстановления. Дело в
том, что эти алгоритмы можно выполнять несколько раз для различных значений расстояния z,
формируя тем самым срезы изображения объекта. Набор таких срезов и даст трехмерное
изображение объекта.
В связи с этим функция рассеяния радиоголографической системы представляет собой
трехмерную пространственную функцию, т.е. функцию, зависящую от трех координат. Для
упрощения анализа рассматривают срезы этой функции – один для постоянного значения
координаты z вдоль какой-либо из поперечных осей восстановленного изображения (обычно оси x), а
второй – вдоль оси z при постоянных значениях координат x и y.
Первый срез называют азимутальной функцией рассеяния, а второй – радиальной.
Соответственно определяют азимутальное и радиальное разрешения радиоголографической
системы. Такой выбор срезов обусловлен особенностями поведения трехмерной функции рассеяния
в различных направлениях.
Основным фактором, влияющим на разрешающую способность радиоголографической
системы, являются ограниченность размеров апертуры. Это приводит к тому, что функция рассеяния
системы имеет вид
1.
h  x  
где
sin  2 x 
2 x
и
,
(40.1)
- некоторые коэффициенты, зависящие от условий эксперимента (частоты,
размеров плоскости апертуры, расстояния до апертуры)
Такой вид функции рассеяния связан с ограничением протяженности сигнала; в частности,
такую же форму имеет функция рассеяния анализатора спектра, где сигнал ограничивается по
времени. Общий вид функции рассеяния показан на рисунке 11.
54
h
x
 2
2 
Рисунок 0.6 – Общий вид функции рассеяния радиоголографической системы
Следует отметить, что на разрешающую способность системы оказывает влияние коэффициент
, поскольку именно он определяет скорость изменения функции рассеяния.
Условимся характеризовать разрешающую способность шириной главного максимума
1
соответствующей функции рассеяния, т.е.   .

Разрешающая способность и алгоритм восстановления
Схематично радиоголографическую систему можно представить в виде двух систем, сигнал
через которые проходит последовательно. Это показано на рисунке 12.
Объект
Данные измерения
Физическая система
рассеянного поля
Алгоритм
восстановления
изображения
Изображение объекта
Рисунок 0.7 – Радиоголографичская система
С этой точки зрения входным «сигналом» для системы является объект. Физическая система
осуществляет преобразование сигнала-объекта в рассеянное поле и измерение этого поля. Далее
данные измерения рассеянного поля обрабатываются алгоритмом восстановления, выходом которого
является изображение объекта. Этот «сигнал» и является выходным сигналом для
радиоголографической системы в целом.
Функция рассеяния системы – это сигнал на выходе системы, если на ее вход подано
единичное воздействие. Для радиоголографической системы это означает получение изображение
точечного объекта.
Рисунок 12 наглядно показывает, что в формировании изображения участвуют два компонента
– физическая система и алгоритм восстановления. Соответственно изображение объекта, а
следовательно, и функция рассеяния, определяются обоими этими компонентами.
Вклад физической системы в функцию рассеяния определяется геометрией расположения
объекта, облучателей и приемников поля, частотой излучения, точностью измерения параметров
поля, помехами, так или иначе проникающими в тракт измерения поля и т.п. Эти параметры в
большинстве случаев либо фиксированы, либо подлежат регулировке в ограниченных пределах.
Алгоритм восстановления оказывает свое влияние на функцию рассеяния. Различные
алгоритмы для одних и тех же данных рассеянного поля дадут различные изображения объекта. Это
же справедливо и для функции рассеяния.
Выражение для определения азимутального разрешения
Определим функцию рассеяния радиоголографической системы. Для этого обратимся к
выражению (39.10), связывающему распределение поля в плоскости апертуры с распределением
поля на поверхности объекта в приближении Френеля. Определим, каким будет распределение поля
в плоскости апертуры, если распределение поля в плоскости объекта представляет собой дельтафункцию: p  x, y,0    x, y  ,
p  x, y, z   
 
ik
 ik
exp  ikz      x , y   exp 
2 z
 2z
 
С учетом фильтрующего свойства дельта-функции
55
 x  x
2

2 
  y  y    dx dy  .

(40.2)
p  x, y, z   
ik
 ik

exp  ikz  exp   x 2  y 2   .
2 z
 2z

(40.3)
Пусть теперь при помощи алгоритма, основанного на импульсном отклике свободного
пространства, производится восстановление изображения. Подставляя функцию распределения поля
в выражение (39.11), получим
 
ik
2
2
 ik

 ik
p  x, y , 0     
exp  ikz  exp   x 2  y 2   exp  
 x  x   y  y   dxdy  ,
2 z
 2z

 2z

 
или

a
a
 ik
 exp  2 z  x 
2
ik
p  x, y , 0   
exp  ikz  
2 z
a
2
a
2
2
2

 ik
 y 2   exp  

 2z
 x  x

2

2 
  y  y    dx dy  ,

(40.4)
В (40.4) учтено, что плоскость апертуры имеет ограниченный размер a.
Учитывая симметричность задачи, можно предположить, что распределение поля будет
симметрично относительно начала координат. Будем искать срез распределения по оси x, положив
y = 0 (опустим масштабный коэффициент, не влияющий на амплитуду распределения поля)
a
p  x 
 exp  2 z x
a
2
a

 ik
2
2 

 ik
 exp    x  x    dx  

 2z

 ik
 exp  2 z  x   x  x
2
2
a
a
2
2
2
  dx 
(40.5)
a
 ikx 2  2
 ik

 ikx   
  exp   x 2  2 x  x    dx   exp 
x  dx .
  exp 
2
z
2
z
z




a
a




2
2
2
Вычисляя интеграл, получаем
a
 ikx   2
exp
x

 ikx 2 
 ikx 2
z 

p  x   exp 


exp


ikx
 2z 
 2z
z
a

 ka 
sin  x 

 2z  .

k

x
2z
(40.6)
2
В качестве азимутальной функции рассеяния используем модуль полученного распределения
поля
a 
 ka 

sin  x 
sin  2
x
2z 
2 z 


h  x  p  x 
 2 z
.
k
2 x
x
2z
(40.7)
Из сравнения выражений (40.7) и (40.1) видно, что для азимутальной функции рассеяния
A 
a
2 z
.
(40.8)
Таким образом, азимутальное разрешение системы будет определяться величиной
x 
1
A

2 z
.
a
(40.9)
Видно, что азимутальное разрешение тем лучше, чем больше размер апертуры и меньше длина
волны. Кроме того, азимутальное разрешение ухудшается при увеличении расстояния между
плоскостью апертуры и объектом, изображение которого восстанавливается.
56
41. Синтез апертуры сканированием одной антенной
Выше мы сводили задачу восстановления изображения к задаче восстановления распределения
поля на поверхности объекта, не ставя вопрос о том, откуда это поле на поверхности объекта
появляется. В реальных условиях источник облучающего поля является частью системы для
получения изображения объектов, и способ облучения объекта может оказывать влияние на
алгоритм восстановления изображения.
Синтез апертуры сканированием приемной антенной
Рассмотрим простейший случай, когда облучение объекта производится неподвижной
антенной, расположенной в начале координат. Все остальные условия эксперимента аналогичны
описанным выше. Схема такого эксперимента показана на рисунке 12.
Облучающая
антенна
x
R0
(x0,y0,z)
(x,y,0)
(xa,ya,z)
Ra
y
z
Приемная
антенна
z
Рисунок 0.8 – Синтез апертуры сканированием одной антенной
Будем считать облучающую антенну точечным источником излучения, формирующим
сферическую волну. Предположим, что объект в плоскости z = 0 отсутствует. Тогда распределение
поля в этой плоскости определяется выражением для комплексной амплитуды сферической волны:
p0  x, y, 0   A0
где
A0
R0 
exp  ikR0 
R0
,
(41.1)
– амплитуда источника облучающего поля,
 x  x0 
2
  y  y0   z 2 .
2
В приближении Кирхгофа поле на поверхности объекта пропорциональна коэффициенту
отражения от поверхности объекта, т.е.
p  x, y, 0   p0  x, y, 0   K  x, y   A0
exp  ikR0 
R0
 K  x, y  ,
(41.2)
где
K(x, y)
– коэффициент отражения объекта в точке (x, y, 0).
Выражение (41.2) показывает, что распределение поля на поверхности объекта в этом случае не
пропорционально коэффициенту отражения объекта. Если мы воспользуемся для восстановления
изображения описанными выше алгоритмами, то получим распределение поля в плоскости объекта
p  x, y,0  , которое будет связано с коэффициентом отражения объекта соотношением
p  x, y , 0   K  x, y  
A0 exp  ikR0 
R0
.
(41.3)
Следовательно, для определения действительного значения коэффициента отражения объекта
необходимо использовать соотношение
K  x, y  
R0
1
 p  x, y , 0  
.
A0
exp  ikR0 
(41.4)
Примем за изображение объекта абсолютное значение коэффициента отражения. Кроме того,
при соблюдении условий зоны Френеля можно считать, что R0  z = const. В этом случае функция
объекта записывается как
57
f  x, y   K  x, y  
z
 p  x, y , 0 
A0
p  x, y , 0  .
(41.5)
Видно, что функция объекта пропорциональна абсолютному значению поля, действующего на
поверхности объекта. Следовательно, для восстановления изображения объектов при синтезе
апертуры сканированием приемной антенной можно непосредственно использовать описанные выше
алгоритмы. Функция рассеяния радиоголографической системы в этом случае будет определяться
выражением (40.7).
Синтез апертуры сканированием передающей антенной
Рассмотрим другой случай, когда приемная антенна неподвижна, а передающая перемещается
в плоскости апертуры. Будем считать, что амплитуда и фаза рассеянного объектом поля
фиксируются при прохождении передающей антенной узлов решетки в плоскости апертуры. Таким
образом мы получаем некоторую картину распределения поля, которую будем использовать в
качестве исходных данных при восстановлении изображения.
Ранее при восстановлении изображений предполагалось, что облучающее поле постоянно. В
данном случае облучающее поле изменяется; однако при некоторых приближениях для
восстановления изображения можно воспользоваться описанными выше методами.
Схема синтеза апертуры при сканировании передающей антенной показана на рисунке 13.
Облучающая
антенна
x
R0
(x0,y0,z)
(x,y,0)
z
(xa,ya,z)
Ra
y
Приемная
антенна
z
Рисунок 0.9 – Синтез апертуры сканированием передающей антенной
Считая передающую антенну точечным источником и воспользовавшись приближением
Кирхгофа, поле на поверхности объекта можно записать как
p  x, y, 0   A0
exp  ikR0 
R0
 K  x, y  .
(41.6)
Воспользуемся приближением Френеля для импульсного отклика свободного пространства.
Комплексную амплитуду поля в точке расположения приемной антенны при нахождении
передающей антенны в точке (x0, y0), обозначим как p  x0 , y0 , z  . Это значение комплексной
амплитуды можно рассчитать, суммируя поля, создаваемые каждой точкой объекта:
p  x0 , y0 , z   
ik
2
 
  p  x, y , 0 
exp  ikRa 
 
z
dxdy 
exp  ikR0 
exp  ikRa 
ik

A0  
 K  x, y  
dxdy.
2  
R0
z
 
(41.7)
В выражении (41.7) учтено, что формируемое распределение поля определяется координатами
не приемной, а передающей антенны.
Учитывая, что R0  z и z  Ra, запишем соотношение (41.7) в виде
ik
p  x0 , y0 , z   
2
где
p   x, y, 0   A0  K  x, y  
exp  ikRa 
Ra
 

p   x, y , 0  
 
.
58
exp  ikR0 
R0
dxdy ,
(41.8)
Видно, что выражение (41.8) аналогично свертке (39.9), которую мы использовали при
восстановлении изображения на основании импульсного отклика свободного пространства.
Используя подход этого алгоритма (обратное преобразование), можно определить значение функции
p  x, y,0  . Вычисление коэффициента отражения объекта при известном p  x, y,0  не представляет
сложностей:
K  x, y  
Ra
1
 p  x, y , 0  
.
A0
exp  ikRa 
(41.9)
С учетом использованного приближения Френеля, а также используя абсолютное значение
коэффициента отражения объекта как функцию объекта, можно записать, что
f  x, y   K  x, y  
z
 p  x, y , 0 
A0
p  x, y , 0  .
(41.10)
Таким образом, при синтезе апертуры сканированием передающей антенной также можно
непосредственно применять описанные выше алгоритмы. Соответственно функция рассеяния и
разрешающая способность в этом случае будут аналогичны значениям, полученным выше.
42. Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
Еще одним случаем синтеза апертуры является сканирование двумя антеннами. В этом случае
при синтезе приемная и передающая антенны перемещаются синхронно относительно объекта.
Схема синтеза апертуры сканированием двумя антеннами представлена на рисунке 15.
Облучающая
антенна
x
R0
(x,y,0)
y
(x0,y0,z)
(xa,ya,z)
Ra
z
Приемная
антенна
z
Рисунок 0.10 – Синтез апертуры сканированием двумя антеннами
Как и при сканировании передающей антенной, поле на поверхности объекта непостоянно, что
не дает возможности непосредственно использовать приближение Кирхгофа и алгоритмы
восстановления, описанные выше.
При синтезе апертуры сканированием двумя антеннами координаты перемещающихся антенн
связаны выражениями
 xa  x0  x
.

 ya  y0  y
(42.1)
В результате эксперимента формируется некоторое пространственное распределение
комплексной амплитуды поля. Следует отметить, что как и при синтезе апертуры сканированием
передающей антенной, эти данные не описывают реальное распределение амплитуды и фазы поля в
плоскости апертуры, поскольку в действительности поле на поверхности объекта переменно.
Будем считать передающую антенну точечным источником, излучающим сферическую волну.
При нахождении передающей антенны в точке (x0, y0) комплексная амплитуда отраженного поля на
поверхности объекта равна
p  x, y, 0   p0  x, y, 0   K  x, y   A0
exp  ikR0 
R0
 K  x, y  .
Поле, рассеянное объектом в плоскость апертуры, будет описываться выражением
59
(42.2)
p  xa , ya , z  
 
  p  x, y , 0  h  x
a
 x, ya  y  dxdy .
(42.3)
 
Выше было показано, что при использовании приближения Френеля свертка вида (42.3)
приобретает вид
p  xa , ya , z   
ik
2
 
  p  x, y , 0 
 
exp  ikRa 
dxdy .
Ra
(42.4)
Подставим соотношение (42.2) в выражение (42.4), в результате чего получим
p  x, y , z   
exp  ikR0  exp  ikRa 
ik
A0   K  x, y  

dxdy .
2  
R0
Ra
 
(42.5)
Предположим, что антенны расположены достаточно близко друг от друга, и расстоянием
между ними можно пренебречь; в этом случае R0 ≈ Ra. Кроме того, с учетом приближения Френеля
R0 ≈ z. Учитывая эти допущения можно записать, что
exp  ikR0  exp  ikRa 
ik
p  xa , ya , z   
A0   K  x, y  

dxdy 
2  
R0
z
 
 
 ik exp  2ikRa  
A
 0   K  x, y   
 dxdy.
2 z  

R
a


(42.6)
Видно, что с учетом некоторых приближений, формируемое при синтезе апертуры
сканированием двумя антеннами поле представляет собой свертку коэффициента отражения объекта
и величины
h2  x, y, xa , ya  
ik exp  2ikRa 
,

Ra
(42.7)
которую можно трактовать как импульсный отклик свободного пространства в приближении
Френеля для поля с частотой, в два раза большей истинной частоты облучения.
Такой вывод позволяет использовать для восстановления объекта известные алгоритмы,
считая, что снятое при эксперименте с синтезом апертуры сканированием двумя антеннами
распределение является распределением поля в плоскости апертуры, а частота поля в два раза
больше действительной частоты облучения.
Азимутальное разрешение такой голографической системы будет определяться выражением,
аналогичным (40.9) с учетом того, что функция рассеяния системы записывается для удвоенной
частоты поля:
x 
1
A

z
a
.
(42.8)
Таким образом, разрешающая способность системы в этом случае в два раза выше, чем при
синтезе апертуры сканированием одной антенной.
Дополнительной разновидностью способа синтеза апертуры сканированием двумя антеннами
является сканирование объектом. В этом случае приемная и передающая антенны неподвижны, а при
синтезе апертуры перемещается сам объект. Формируемое распределение поля в этом случае
определяется координатами объекта.
Очевидно, что синтез апертуры сканированием объектом аналогичен синтезу сканированием
двумя антеннами, за исключением того, что формируемое изображение объекта зеркально
развернуто относительно обеих координатных осей.
43. Синтез радиоголограмм динамических объектов
В рассмотренных выше методах синтеза предполагалось, что исследуемый объект остается
неподвижным на протяжении всего эксперимента. В реальных условиях объект может перемещаться
или даже деформироваться за время сканирования. Восстановленное изображение такого объекта
будет некорректным.
60
Для получения изображений таких динамических объектов используются специальные
способы синтеза апертуры, при использовании которых время, необходимое для синтеза,
уменьшается.
Матрица приемных элементов
Наиболее очевидным способом уменьшения времени синтеза апертуры является отказ от
физического перемещения приемной антенны и замене ее антенной решеткой. В этом случае одна
неподвижная антенна облучает объект полем, а измерение параметров рассеянного объектом поля
производится матрицей приемных антенн, расположенных в узлах прямоугольной решетки в
плоскости апертуры.
Съем сигнала может производиться со всех антенн одновременно либо с отдельно с каждой
антенны по очереди. В первом случае радиоголографическая система должна иметь требуемое число
(по числу антенн) приемных устройств, работающих одновременно, что в большинстве случаев
нецелесообразно. При съеме сигнала с одной антенны в конструкции системы должны быть
предусмотрены устройства, коммутирующие сигнал с антенн на вход приемного устройства. В этом
случае время синтеза апертуры несколько снижается.
Схема синтеза апертуры матрицей приемных элементов показана на рисунке 16.
Облучающая
антенна
x
(x0,y0,z)
z
y
Приемные
антенны
z
Рисунок 0.11 – Синтез апертуры матрицей приемных элементов
Восстановление изображения по данным, полученным при синтезе апертуры матрицей
приемных элементов, выполняется по описанным выше алгоритмам. Очевидно, что алгоритм
восстановления будет полностью идентичен алгоритму для синтеза апертуры сканированием одной
антенной.
Предложенный вариант синтеза апертуры обеспечивает наименьшее время синтеза, однако
сложен в реализации из-за наличия большого числа антенн (при размере апертуры NxN точек N2
приемных и одна передающая) и коммутирующих или приемных СВЧ-устройств.
Скрещенные приемная и облучающая антенные решетки
Рассмотрим вариант синтеза апертуры, при котором передающая и приемная антенны
перемещаются только в одном направлении – вдоль координатных осей. Пусть приемная антенна
перемещается вдоль оси x, а передающая – вдоль оси y.
Синтез апертуры будет производится следующим образом – для каждого положения
передающей антенны приемная антенна совершает движение вдоль координатной оси и фиксирует
значения рассеянного объектом поля на линии своего движения. После прохода приемной антенной
всего отрезка движения передающая антенна перемещается в следующее положение и операция
повторяется.
При синтезе апертуры возможна другая схема движения антенн, при которой для каждого
положения приемной антенны движение осуществляет передающая. Обе эти схемы синтеза
являются эквивалентными.
Обозначим координаты передающей антенны через (xa, y0, z), а приемной – через (x0, ya,).
Значения x0 и y0 фиксированы; при движении передающей антенны изменяется координата xa, при
движении приемной - ya. Таким образом, при синтезе формируется некоторое распределение
комплексной амплитуды поля, которое определяется координатами (xa, ya).
Схема синтеза апертуры в этом случае показана на рисунке 17.
61
x
Облучающая
антенна
R`0
(xa,y0,z)
(x,y,0)
R`a
y
z
(xa,y0,z)
Приемная
антенна
z
Рисунок 0.12 – Синтез апертуры скрещенными перемещающимися антеннами
Считая облучающую антенну точечным источником волн и используя приближение Кирхгофа,
запишем выражение для распределения поля на поверхности объекта:
p  x, y, 0   A0
где
R0 
 x  xa    y  y0 
2
2
exp  ikR0 
 K  x, y  ,
R0
(43.1)
 z2 .
Распределение поля, формируемое при сканировании двумя скрещенными антеннами, в
приближении Френеля запишется как
p  xa , ya , z   


где
Ra 
ikA0
2
2
 
  p  x, y , 0 
 
 
  K  x, y  
 
ikA0
2
 x  x0    y  ya 
ik
2
 

K  x, y  
 
2
exp  ikRa 
dxdy 
Ra
exp  ikR0  exp  ikRa 

dxdy 
R0
Ra
exp  ik  R0  Ra 
R0 Ra
(43.2)
dxdy,
 z2 .
Используя приближение Френеля, можно записать, что
 1   x  x 2  y  y 2  
 1   x  x 2  y  y 2  
a
0
a
0
R0  z 1  


  , Ra  z 1  
 .
2
2
2
2



z
z
2
z
z
 2 





(43.3)
Подставляя соотношения (43.3) вместо R0 и Ra в показатель экспоненты выражения (43.2),
можно получить, что
  1   x  x 2  y  y 2   
a
0
 1  

  
2
2

 
 
2
z
z


ikA0
K  x, y 



p  xa , ya , z   

exp
ikz

  dxdy ,


2
2
2   R0 Ra
 


1  x  xa   y  y0   


  1  

2 
z2
z2
 

 
или, переставляя слагаемые в показателе экспоненты
62
(43.4)
  1   x  x 2  y  y 2   
a
a
 1  

  
2
2

 
 
2
z
z


ikA0
K  x, y 


p  xa , ya , z   
 exp  ikz 
  dxdy 


2
2
2   R0 Ra
 



x

x
y

y

1 
0
0


  1  
2
2

2 
z
z
 

 


где
R0 
ikA0
2
ikA0
2
 x  x0    y  y0 
2
2
 

K  x, y  
 
 
  K  x, y  
 
 z 2 и Ra 
exp  ik  R0  Ra 
R0 Ra
dxdy 
(43.5)
exp  ikR0  exp  ikRa 

dxdy,
R0
Ra
 x  xa    y  ya 
2
2
 z2 .
При преобразованиях учтено, что с учетом приближений Френеля R0  R0 и R0  R0 .
Полученное выражение (43.5) можно трактовать как распределение поля в плоскости апертуры,
созданное неподвижным объектом при облучении его точечным источником, находящимся в точке
(xa, ya, z). Таким образом, для восстановления изображения в данном случае можно использовать
алгоритм, полностью аналогичный алгоритму восстановления при синтезе апертуры сканированием
приемной антенной.
В то же время вместо перемещения облучающей и приемной антенн можно использовать
линейную антенную решетки, расположенные по траекториям движения антенн. Синтез апертуры в
таком случае будет заключаться в последовательном подключении передающих антенн решетки к
источнику колебаний и измерении для амплитуды и фазы рассеянного поля во всех приемных
антеннах.
Такой способ синтеза позволяет использовать гораздо меньшее число антенн (при размере
апертуры NxN точек N приемных и N передающих) при сохранении малого времени синтеза
апертуры.
Непрямоугольная апертура
Другими разновидностями синтеза является использование формы апертуры, отличной от
прямоугольной. В этом случае время сканирования уменьшается за счет уменьшения числа точек, в
которых необходимо произвести измерение амплитуды и фазы поля, а также уменьшения времени на
перемещение антенны между точками. Алгоритм восстановления изображений при использовании
непрямоугольной апертуры соответственно модифицируется.
Одним из способов синтеза непрямоугольной апертуры является синтез апертуры по
окружности. В этом случае облучающая антенна неподвижна, а приемная перемещается по
некоторой окружности. Возможен обратный вариант – неподвижна приемная антенна, а
перемещается облучающая. Схема синтеза апертуры в этом случае показана на рисунке 18.
x
Приемная
антенна
R0
(x,y,0)

Ra
y
z
(xa,ya,z)
(x0,y0,z)
z
Облучающая
антенна
Рисунок 0.13 – Синтез апертуры сканированием по окружности
Данные синтеза апертуры в этом случае представляются в виде зависимости комплексной
амплитуды поля от угла поворота антенны . Алгоритм восстановления изображения в этом случае
несколько усложняется.
44. Разрешающая способность в радиальном направлении
Для анализа разрешающей способности радиоголографической системы в радиальном
направлении необходимо получить выражение для функции рассеяния системы в этом направлении.
63
Обратимся к полученному при выводе радиальной функции рассеяния выражению (40.3). Это
выражение описывает (с учетом приближения Френеля) распределение поля в плоскости апертуры,
создаваемое точечным рассеивателем, если плоскость апертуры расположена на расстоянии z от
плоскости объекта:
p  x, y, z   
ik
 ik

exp  ikz  exp   x 2  y 2   .
2 z
 2z

(44.1)
Пусть мы восстанавливаем изображение точечного объекта, считая, что он расположен на
расстоянии z1 от плоскости апертуры. В этом случае восстановленное в приближении Френеля поле
на поверхности объекта (изображение объекта) запишется как
a
p  x, y, z1  
a
ik
  p  x, y , z  exp   2 z   x  x   y  y 
2

2
2
a a
2
2
a

1
2
ik
exp  ikz  
2 z
a
2
a
2
  dxdy  
(44.2)
 ik
 exp  2 z  x
2
a
2
2
Для вычисления радиальной
распределения поля в точке (0, 0):
 ik

 y 2   exp  

 2 z1
функции
a
a
 x  x
рассеяния
нас
2

2 
  y  y    dx dy .

будет
интересовать
 ik 2
1 
2 1


exp
x

y





  dx dy .
 2
z z1  


a
2
2
2
ik
p  0, 0, z1   
exp  ikz  
2 z
a
значение
2
(44.3)
Введем величину z = z1 – z, характеризующую отклонение плоскости восстановления от
истинной плоскости объекта. Восстановленное распределение поля в точке (0, 0) можно записать как
функцию величины отклонения z, т.е. радиальную функцию рассеяния:
a
2
ik
p  0, 0, z   
exp  ikz  
2 z
a
2
a
a
a
 ik
 exp  2  x
2
a
2
2
1 
1
 y 2   
  dx dy  
 z z  z  
 ik

ik
z

exp  ikz    exp 
x 2  y 2   dx dy .

2 z
 2 z  z  z 

a a
2
2
2
(44.4)
2
Перейдем к полярным координатам r и  в (44.4):
2  r  
ik
p  0, 0, z   
exp  ikz  
2 z
0

0
 ik

z
exp 
r 2  rd  dr .
 2 z  z  z  
(44.5)
Для учета того, что интегрирование производится в пределах квадратной апертуры, введена
функция r   , характеризующая зависимость расстояния от центра до границы апертуры.
Однако приближенное выражение для функции рассеяния можно получить, рассматривая две
апертуры в виде окружности с центром, совпадающим с центром квадратной апертуры – одна
описанная вокруг квадратной апертуры, другая вписанная в нее. Диаметр описанной окружности
будет равен rÎ  a 2  a
, диаметр вписанной – r  a . Очевидно, что общая разрешающая
2
2
2
способность системы будет находится между разрешающими способностями, рассчитанными для
двух этих апертур.
Запишем выражение для импульсного отклика (44.5) для большей из апертур:
2
ik
pÎ  0, 0, z   
exp  ikz  
2 z
0
a

0
2
 ik

z
exp 
r 2  rd  dr 
 2 z  z  z  
64
a
a
ik
  exp  ikz 
2z

2
0
 ik

 ik

2 z  z  z 
z
ik
z
exp 
r 2  dr 2   exp  ikz  
exp 
r 2 
2z
ik z
 2 z  z  z  
 2 z  z  z   0
  exp  ikz  
2
 (44.6)

 
z  z 
z
a 2   1
exp  ik
z 
 4 z  z  z   
 ik

z
a 2  из скобок в выражении (44.6) и преобразуем
Вынесем множитель exp 
 8 z  z  z  
полученное соотношение:
p0  0, 0, z    exp  ikz  
 ik

z  z
z
exp 
a 2  
z
 8 z  z  z  

 ik

 ik

z
z
 exp 
a 2   exp 
a 2   

 8 z  z  z  
 8 z  z  z   
 ik

 ik

z  z
z
z
  exp  ikz  
exp 
a 2   2sin 
a 2  
z
 8 z  z  z  
 8 z  z  z  
 ik

z
2
sin
a


 ik
  8 z  z  z  
ika 2 exp  ikz 
z
2

exp 
a 

ik
z
4z
 8 z  z  z  
8 z  z  z 
(44.7)
 ik

 ik

ika 2 exp  ikz 
z
z

exp 
a 2  sinc 
a 2 
4z
 8 z  z  z  
 8 z  z  z  
Полагая z
z , выражение (44.7) можно записать в виде:
pÎ  0,0, z  
ika 2 exp  ikz 
z
 ika 2 
 ika 2 
exp  2 z  sinc  2 z  .
 8z

 8z

(44.8)
Таким образом, разрешающая способность в радиальном направлении для большей апертуры
будет определяться величиной
zÎ  2
8 z 2 8 z 2
 2 .
ka 2
a
(44.9)
Аналогичные выкладки для вписанной окружности дадут такой результат:
2
ik
p  0,0, z   
exp  ikz  
2 z
0
ika exp  ikz 
2

2z
a
 ik

z
2
exp
r

0  2 z  z  z   rd dr 


.
2
 ika

 ika

exp 
z  sinc 
z 
2
2
 16 z

 16 z

2
(44.10)
2
Соответствующее радиальное разрешение будет равно
16 z 2
z  
.
a2
(44.11)
Итоговое радиальное разрешение системы можно найти как среднее между двумя
полученными:
12 z 2
z 
.
a2
65
(44.12)
Сравним полученное выражение с выражением (40.9) для азимутальной разрешающей
способности:
z 12 z 2 a
6z
.

.

2
x
2 z a
a
(44.13)
Видно, что с учетом использованных приближений (расстояние до апертуры значительно
больше ее размеров, z a ), разрешающая способность радиоголографической системы в
радиальном направлении гораздо хуже, чем в азимутальном. Так, при длине волны 1 см (частота 30
ГГц), размере апертуры 1 м и расстоянии до нее 5 м минимальное расстояние в азимутальном
направлении между объектами, при котором эти объекты еще различимы, составляет 0,1 м, а в
радиальном направлении – 3 м.
45. Многочастотная голография
Одним из способов преодоления плохого радиального разрешения радиоголографической
системы является использование нескольких частот облучения при синтезе апертуры. В этом случае
синтез апертуры происходит несколько раз при различных частотах облучающего поля. Полученные
таким образом данные обрабатываются совместно для восстановления изображения объекта.
Радиальное разрешение системы в этом случае значительно улучшается.
Эффект улучшения радиального разрешения системы обуславливается специфическим видом
радиальной функции рассеяния. На рисунке 19 показаны несколько различных радиальных функций
рассеяния системы, рассчитанных для разных значений длин волн. Функции рассеяния имеют
максимум в точке z = 0 и при удалении от этой точки затухают с колебаниями, период которых
зависит от длины волны.
Рисунок также содержит график функции, полученной суммированием отдельных функций
рассеяния. В силу различных периодов осцилляций функций боковые суммарной функции
уменьшаются, в то время как центральный максимум функции увеличивается. Таким образом
уменьшается ширина центрального максимума и увеличивается разрешающая способность системы.
h
1
2
3
1
z
Рисунок 0.14 – Функции рассеяния радиоголографической системы
при разных частотах облучения
Алгоритм восстановления изображений с использованием многочастотной информации
достаточно прост. Его принцип заключается в формировании набора одночастотных распределений
поля в плоскости объекта любым из методов и последующем их сложении.
Выведем выражение для радиальной функции рассеяния в многочастотном случае. Выше мы
получили, что для одной частоты, которой соответствует волновое число ki, радиальную функцию
рассеяния можно приближенно определить при помощи перехода от прямоугольной апертуры к
круговой. При этом вписанная круговая апертура дает меньшее радиальное разрешение, чем
прямоугольная. Воспользовавшись этим, будем искать оценку сверху для радиального разрешения.
Функция рассеяния для вписанной круговой апертуры определяется выражением
pi  z  
ika 2 exp  ikz 
2z
 ik a 2 
 ik a 2 
exp  i 2 z  sinc  i 2 z  .
 4z

 4z

66
(45.1)
Это выражение получено, если восстановление изображения производится при помощи
преобразования вида (39.11):
 
p  x, y,0  
ik
  p  x, y, z  exp   2 z  x  x   y  y 

2
2
1
 
1
  dxdy .
(45.2)
Мы будем использовать несколько другую форму записи преобразования Френеля:
p  x, y, 0  
exp  ikz1 
 
ik
  p  x, y , z  exp   2 z  x  x   y  y 

2
1
k
 
1
2
  dxdy .
(45.3)
Физический смысл этой формы заключается в том, что к амплитуде и фазе восстановленного
изображения добавляются некоторые величины, зависящие от частоты. С учетом этого функция
рассеяния (45.1) запишется как:
pi  z  
ia 2 exp  ik z 
2z
 iki a 2 
 iki a 2 
exp  2 z  sinc  2 z  .
 4z

 4z

(45.4)
При суммировании данных, полученных на N различных частотах, итоговая функция рассеяния
будет определяться выражением
N
 iki a 2 
 iki a 2 
exp
ik

z
exp

z
sinc


 2

 2 z  

i
i 1
 4z

 4z

2

 iki a

 a2

2a 2 N

exp
ik

z


 2  1  sinc  2 z 
i
iz i 1
 4z

 4z


p  z    pi  z  
i 1
2a 2
iz
N
(45.5)
В пределе, при увеличении числа частот, сумму в выражении (45.5) можно заменить
интегралом:
2a 2
p  z  
iz

 a2

 ika 2 
 exp ik z  4 z 2  1 sinc  4 z 2 z  dk
k1
k2
(45.6)
Вычислить интеграл (45.6) непосредственно не представляется возможным из-за наличия в нем
функции sinc(). Однако видно, что с учетом использованных приближений ( a z и z z )
аргумент функции sinc() будет величиной, значительно меньшей единицы. В этом случае значение
функции sinc() будет примерно равно единице.
Кроме того, с учетом этих же приближений видно, что в аргументе экспоненциального
 a2

множителя выражение  2  1  1 .
 4z

Запишем выражение для функции рассеяния с учетом этих соображений:
2a 2
p  z  
iz

k2
 exp  ik z  dk 
k1
2a 2
 exp  ik2 z   exp  ik1z   
iz z
2a
 sin  k2 z   i cos  k2 z   sin  k1z   i cos  k1z  
iz z
(45.7)
2
Запишем граничные значения волновых чисел в следующем виде:
k1  k0  k k2  k0  k .
Выражение (45.7) в этом случае запишется в следующем виде:
67
(45.8)
2a 2
exp  i  k0  k  z   exp  i  k0  k  z  
iz z
2a 2

exp  ik0 z   exp  i k z   exp  i k z   
iz z
2a 2 exp  ik0 z 
2a 2 k exp  ik0 z 

exp  i k z   exp  i k z   
sinc  k z 

iz z
iz
p  z  


(45.9)
Видно, что модуль функция рассеяния определяется величиной sinc  k z  (множитель
2a 2 k exp  ik0 z 
на зависимость модуля функции рассеяния от величины z не влияет).
iz
Воспользовавшись полученными ранее выводами, радиальное разрешение системы в
многочастотном случае будет составлять величину
z 
2
c
.

k f
(45.10)
где  – полоса длин волн излучения, f – полоса частот облучения, c – скорость распространения
волн в среде.
В многочастотном случае радиальное разрешение может быть сопоставимо с азимутальным.
Допустим, пусть в предыдущем примере (размер апертуры 0,5 м, расстояние до нее 5 м)
используются волны c длинами от 1 до 1,1 см, что соответствует частотам от 27 ГГц до 30 ГГц)
радиальное разрешение составит 0,1 м.
Конечно, в реальных условиях нет возможности снять данные на бесконечно большом числе
частот, и реальное радиальное разрешение будет хуже по сравнению с выражением (45.10). Однако
общая тенденция роста радиального разрешения с увеличением полосы частот остается.
При практической реализации многочастотной радиоголографической системы возникает
проблема, связанная с тем, что фазовый сдвиг, вносимый в отраженный сигнал приемным трактом
установки, зависит от частоты облучения. Это приводит к тому, что центральные максимумы
комплексных функций рассеяния установки на различных частотах сдвигаются друг относительно
друга, и суммарная функция рассеяния системы «расплывается», снижая радиальное разрешение.
Для снижения влияния этого эффекта в алгоритме предусмотрена коррекция каждого из
восстановленных изображений на некоторый эмпирически определенный коэффициент,
компенсирующий частотную зависимость фазового сдвига системы.
Блок-схема алгоритма восстановления изображений с использованием многочастотной
информации представлена на рисунке 20.
Инициализация
p0  x, y   0
Для N частот
fi , i=1..N
Измерение
p zi  x, y 
Восстановление p0i  x, y 
Коррекция p0i  x, y 
p0  x, y   p0  x, y   p0i  x , y 
f  x, y   p0  x, y 
68
Рисунок 0.15 – Блок-схема алгоритма восстановления изображения с использованием
многочастотной информации
ОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ
46. Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
Рассмотрим
неоднородную
поглощающую
среду,
через
которую
проходит
плоскопараллельный пучок излучения. Определим, какой будет интенсивность излучения на выходе
из среды, зная интенсивность на входе и свойства среды.
Будем считать, что излучение проходит через среду вдоль прямых лучей, и соседние лучи не
взаимодействуют между собой. Выберем систему координат так, что бы ось x совпадала с одним из
проходящих лучей, как показано на рисунке:
y
x
I0
I´0
I
I´
x
(x,y)
l
Пусть интенсивность луча на входе в среду равна I0, а его путь в среде – l. Выделим малый
участок луча внутри среды длиной x. Ввиду малости участка, вносимое им затухание будет
пропорционально его длине. В этом случае интенсивность I´ луча после участка будет связана с
интенсивностью I´0 луча перед участком следующим соотношением:
I   I0 1    x, y  x  .
(46.1)
Величина   x, y  описывает поглощающие свойства среды в точке (x,y) расположения
рассматриваемого участка луча. Назовем функцию   x, y  коэффициентом затухания среды. Вдоль
пути луча коэффициент затухания будет зависеть только от одной координаты; поэтому вместо
  x, y  можно использовать величину   x     x,0 .
Преобразуем выражение (46.1):
I
I
 1    x  x ; ln  ln 1    x  x  ;
I 0
I 0
ln I   ln I 0  ln 1    x  x  .
(46.2)
Учитывая, что величина x мала, логарифм в правой части получившегося выражения можно
разложить в ряд Тейлора и использовать первый линейный член ряда:
ln 1    x  x     x  x .
(46.3)
Подставляя последнее выражение в (46.2), получим:
ln I   ln I 0    x  x .
Введем некоторую величину
L  ln I , L0  ln I 0 , L  ln I  , L0  ln I 0 .
L,
равную
логарифму
(46.4)
интенсивности
излучения:
В этом случае соотношение (46.4) запишется как L  L0    x  x .
Суммируя затухания вдоль таких малых участках луча на протяжении всего его пути в среде,
получим, что
69
l
L  L0      x  dx .
(46.5)
0
Переходя к интенсивности излучения, получим что
l
l
ln I  ln I 0      x  dx , ln
0
l
I
I
     x  dx ,
e
I0
I
0
0

   x  dx
0
или
l
I  I0 e

   x  dx
.
0
(46.6)
Искомое выражение (46.6) связывает интенсивность луча на выходе из среды с
интенсивностью на входе и свойствами среды.
В дальнейшем более удобно будет пользоваться не величинами интенсивности, а
вспомогательными величинами, равными логарифму интенсивности. В этом в качестве уравнения
прохождения луча через среду с поглощением используется соотношение (46.5).
47. Преобразование Радона
Пусть на плоскости задана система координат (x, y) и функция f(x, y). Проинтегрируем эту
функцию вдоль некоторой прямой L, заданной следующим соотношением
x cos   y sin   s  0 ,
(47.1)
где s - расстояние от начала координат до линии, вдоль которой осуществляется
интегрирование,  - угол между осью ОХ и перпендикуляром к направлению интегрирования (pис. 1)
Y
Y
X
s,
)

)
L(

f ( x, y )
L(
s,
f ( x, y )


X
X
0
S
S
0
0
0
Y
Рис. 1.
Рис. 2.
Результатом интегрирования является функция
R ( s,  ) 
 

f ( x, y ) ( x cos   y sin   s)dxdy .
(47.2)
 
Выражение (47.2) это интегральное преобразование, которое называется преобразованием
Радона.
Функцию R( s,  ) для фиксированного угла   0 называют проекцией.
Существует несколько форм записи преобразования Радона. Одна из них представлена
выражением (47.2). Преобразуем это выражение. Для этого введем систему координат, повернутую
относительно исходной на угол  (рис.2), и запишем интеграл для R( s,  ) в новой системе
координат.
При повороте системы координат координаты преобразуются следующим образом:
70
x  x cos( )  y sin( ) , y  x sin( )  y cos( )
x  x cos( )  y sin( ) , y   x sin( )  y cos( )
(47.3)
Коэффициенты Ламэ при таком преобразовании равны 1 и, следовательно, элемент площади
dxdy  dxdy
Подставив полученные выражения в соотношение (47.2), получим
R ( s,  ) 
 

f ( x cos( )  y sin( ), x sin( )  y cos( ))  x  s dxdy .
(47.4)
 
После интегрирования (используя фильтрующее свойство дельта-функции) получим другую
форму представления преобразования Радона:

 f  s cos( )  y sin( ), s sin( )  y cos( )dy .
R ( s,  ) 
(47.5)

Рассмотрим основные свойства преобразования Радона.
Преобразование Радона линейно.
Доказательство. Представим функцию f ( x, y ) в виде взвешенной суммы функций f k ( x, y ) :
f ( x, y)   ck f k ( x, y) .
(47.6)
k
Подставим последнее соотношение в выражение (47.2). В результате получим
R ( s,  ) 
 
  c
k
f k ( x, y )  x cos( )  y sin( )  s dxdy
(47.7)
  k
Поменяем местами операции интегрирования и суммирования в полученном выражении:
R( s,  )   ck
k
 

 
f k ( x, y )  x cos( )  y sin( )  s dxdy   Rk ( s,  ) ,
(47.8)
k
где
 

Rk ( s,  ) 
f k ( x, y ) ( x cos   y sin   s)dxdy
(47.9)
 
– преобразование Радона функции f k ( x, y ) .
Преобразование Радона периодично по  с периодом 2, то есть
R( s,  )  R( s,   2 ) .
(47.10)
Как и в предыдущем случае доказательство тривиально:
R( s,   2 ) 
 

f ( x, y )  x cos(  2 )  y sin(  2 )  s dxdy .
(47.11)
 
В силу периодичности функций cos( ) и sin( ) получим искомое соотношение.
Преобразование Радона симметрично относительно разворота, т.е. для преобразования
Радона выполняется следующее соотношение
R (  s,    )  R ( s,  ) .
Для доказательства воспользуемся соотношением (47.2)
R (  s,    ) 
 

f ( x, y )  x cos(   )  y sin(   )  ( s) dxdy 
 
71
(47.12)
 


f ( x, y )   x cos( )  y sin( )  s dxdy 

f ( x, y )   x cos( )  y sin( )  s dxdy
 
 

(47.13)
 
Так как  ( x)   ( x) то
 
f ( x, y )   x cos( )  y sin( )  s dxdy  R( s,  ) .

(47.14)
 
Из этого свойства следует, что преобразование Радона можно определить для одного из двух
интервалов:
0  s   и 0    2 , и   s   и 0     .
(47.15)
48. Преобразование Радона точечного объекта
В качестве примера вычислим преобразование Радона от функции
f ( x, y)    x  x0    y  y0  .
(48.1)
Эта функция описывает точечный объект, расположенный на плоскости XOY в точке (x0,y0):
f ( x, y )

  x  x0    y  y0 
x0
X
0
y0
Y
Подставим f(x,y) в выражение для преобразования Радона (47.5), сделав соответствующую
замену переменных. В результате получим

   s cos   y sin   x    s sin   y cos   y dy .
R ( s,  ) 
0
(48.2)
0

Воспользуемся свойством  - функции  ( x) 
1

  x  , и преобразуем выражение (48.2),
вынеся множитель sin 1  :
R ( s,  ) 



 s cos   x0

1
  s sin   y cos   y0   
 y  dy
sin 
 sin 

(48.3)
Воспользуемся фильтрующим свойством -функции
R ( s,  ) 

s cos   x0


1
  s sin  
cos   y0  
sin  
sin 

 s sin 2   s cos 2   x0 cos   y0 sin  
1


sin  
sin 

Внося множитель sin 1 
симметричности,
под
знак
дельта-функции,
72
а
также
(48.4)
используя
свойство
R(s,  )    x0 cos( )  y0 sin( )  s  .
(48.5)
Как следует из выражения (48.5), преобразование Радона точечного объекта представляет
собой дельта-функцию, аргумент которой

x0
s  x0 cos   y0 sin   x02  y02 
cos  
 x02  y02

sin   

x02  y02
y0
 x02  y02 (cos 0 cos   sin 0 sin  )  s0 cos(  0 ) ,
(48.6)
x0
y
, sin 0  0
s0
s0
На следующем рисунке показано преобразование Радона для некоторых конкретных значений
s0 и  0 .
где s0  x02  y02 , cos 0 

R ( s,  )

s  s0 cos(  0 )

s
49. Теорема о центральном сечении
Пусть задана функция двух переменных f(x, y) и для нее определены:
- двумерное преобразование Фурье F(x, y),
- преобразование Радона R(s,),
- преобразование Фурье R( от радоновского образа R(s,).
Покажем, что
R( ,  )  F ( cos  ,  sin  ) .
(49.1)
Представим функцию R( ,  ) в следующем виде:

R( ,  ) 
 R(s,  )e
 j s

  
ds 

f ( x, y ) ( x cos   y sin   s)dxdy e  j s ds .
(49.2)
  
Поменяем порядок интегрирования. В результате получим
R( ,  ) 
 

 

f ( x, y)   ( x cos   y sin   s) e  j s dsdxdy .
(49.3)

После интегрирования переменной s (используем фильтрующее свойство дельта-функции):
R( ,  ) 
 

 
f ( x, y )e
 j ( x cos   y sin  )
 
dxdy 

f ( x, y )e  j ( x cos  y sin  ) dxdy .
(49.4)
 
Обозначим
x   cos    y   sin  .
В этом случае
73
(49.5)
R( ,  ) 
 

f ( x, y )e

 j  x x  y y

dxdy .
(49.6)
 
Интеграл в правой части этого выражения ни что иное, как
двумерное преобразование Фурье функции f(x y). Таким образом
R( ,  )  F ( x ,  y )  F ( cos  ,  sin  ) .
F ( x ,  y )
R ( ,  )
(49.7)
Мы получили соотношение, которое связывает между собой
преобразование Фурье радоновского образа функции с ее
двумерным Фурье спектром. Это соотношение и называется
теоремой о центральном сечении. Функция F ( x ,  y ) представляет
y
0

собой поверхность в пространстве (x, y). Функция  x
R( ,  ) представляет собой сечение этой поверхности плоскостью
проходящей через начало системы координат, перпендикулярной
плоскости X0Y и направленной под углом  к оси x.
50. Обратное преобразование Радона
Рассмотрим алгоритм обратного преобразования Радона, основанный на теореме о
центральном сечении. Запишем функцию f(x, y) через обратное преобразование Фурье.
f ( x, y ) 
 
1
4
2
  F ( ,  )e
x

j  x x  y y
y

d x d  y .
(50.1)
 
Перейдем от координат x и y к полярным координатам  и , где
  x2   y2 , tg 
x
.
y
(50.2)
При таком преобразовании координат коэффициенты Ламе равны 1 и , т.е. d  x d  y   d  d .
Пределы интегрирования определим от 0 до 2 для  и от 0 до  для . В результате получим
f ( x, y ) 
2 
1
4
   F ( cos  ,  sin  )e
2
j  x cos   y sin  
d  d .
(50.3)
0 0
Так как по теореме о центральном сечении F ( cos  ,  sin  )  R( ,  ) , то
f ( x, y ) 
2 
1
4
2
   R( ,  )e
j  x cos   y sin  
d  d .
(50.4)
0 0
Обычно преобразование Радона определено для углов 0    . Это связано с техническими
особенностями получения экспериментальных данных. Преобразуем полученное нами соотношение
таким образом, чтобы угол  находился в указанных выше пределах. Для этого интервал
интегрирования по  разобьем на два интервала и заменим во втором из них величину  на +. В
результате получим
f ( x, y ) 

1
4 2
 
 
1
4
2
   R(,  )e
j  x cos   y sin  
d  d 
0 0
4
0 0
j  x cos   y sin  
d  d 
   R(,  )e
1
4 2
2 
1
2
   R(,  )e

j  x cos   y sin  
d  d 
0
 
   R( ,   )e
j  x cos(  )  y sin(  ) 
d  d
(50.5)
0 0
Сделаем во втором интеграле подстановку
интегрирования:
 
  
и поменяем местами пределы
 

( )
j (   ) x cos(  )  y sin(  ) 
j  x cos   y sin  
R
(

,

)
e
d

d


R ( ,    )e
d ( )d 
2
2


4

4

0 0
0 0
 
74
 
 0

( )
j (   ) x cos(  )  y sin(  ) 
j  x cos   y sin  
R
(

,

)
e
d

d


R( ,    )e
d d .
2
2


4
4
0 0
0 
 
(50.6)
Ранее было показано, что R( s,    )  R( s,  ) . Аналогичное соотношение можно получить и
для Фурье спектра преобразования Радона:
R( ,    )  R( ,  ) .
(50.7)
Воспользуемся соотношением (50.7) и сделаем соответствующую подстановку в (50.6). При
этом
 
 0

( )
j  x cos   y sin  
j  x cos   y sin  
f ( x, y )    2 R( ,  )e
d  d   
R( ,  )e 
d  d .
2
4
4
0 0
0 
(50.8)
Объединив интервалы интегрирования, получим
f ( x, y ) 
 
1
4
2
   R( ,  )e
j  x cos   y sin  
d  d .
(50.9)
0 
Полученное выражение является обратным преобразованием Радона, используя которое можно
восстановить функцию f  x, y  по ее радоновскому образу R ,   . Как видно из этого выражения,
математически связь неизвестной величины f  x, y  и известной R ,   описывается
преобразованием, похожим на преобразование Фурье. Таким образом, несмотря на качественные
физические различия рассмотренных ранее обратных задач и данной обратной задачи,
математический аппарат их решения оказывается похожим.
51. Алгоритм обратного проецирования
Рассмотрим еще одно соотношение, позволяющее вычислять обратное преобразование Радона.
Пусть на плоскости XOY задана функция f(x,y), преобразованием Радона которой является
функция R(s,). Функция R(s,) представляет собой интеграл от функции f(x,y) вдоль прямой,
заданной уравнением
x cos   y sin   s  0 .
(51.1)
Зададим на плоскости XOY точку (x,y). В общем случае прямых, проходящих через эту точку и
удовлетворяющих соотношению (51.1) бесконечно много. Для любого угла  всегда можно
определить значение s, при котором точка (x,y) будет принадлежать заданной прямой. Из всего
множества значений функции R(s,) выберем те которые получены при интегрировании вдоль
прямых проходящих через точку (x,y) и просуммируем эти значения. В результате получим
функцию

S ( x, y )   R(x cos   y sin  ,  )d  ,
(51.2)
0
которая называется суммарной обратной проекцией.
Выразим R(s,) через обратное преобразование Фурье:
R ( s,  ) 
1
2

 R(, )e
j s
d
(51.3)

Подставим последнее соотношение в выражение (51.2). В результате получим

S ( x, y )  
0
1
2

 R( ,  )e
j ( x cos   y sin  )
d d .
(51.4)

В соответствии с теоремой о центральном сечении R( ,  )  F ( cos  ,  sin  ) . После
подстановки этого соотношения в выражение (51.4) получим:
75
1
2
S ( x, y ) 
 
  F ( cos  ,  sin  )e
j ( x cos   y sin  )
d d  .
(51.5)
0 
Поменяем пределы интегрирования в последнем выражении:
1
S ( x, y ) 
2


1
2
1
2
 0
  F ( cos  ,  sin  )e
j ( x cos   y sin  )
0 
 
d d    F ( cos  ,  sin  )e j ( x cos   y sin  ) d d 
0 0
 0
  F   cos  ,   sin  e
 j ( x cos   y sin  )
0 
 
d ( )d    F ( cos  ,  sin  )e j ( x cos   y sin  ) d d  (51.6)
0 0
 
  F  cos(   ),  sin(   )e
j  x cos(  )  y sin(  ) 
 
d d    F ( cos  ,  sin  )e j ( x cos   y sin  ) d d .
0 0
0 0
Объединяем пределы интегрирования:
S ( x, y ) 
1
2
2 
  F ( cos  ,  sin  )e
j ( x cos   y sin  )
d d .
(51.7)
0 0
С другой стороны, по определению спектра обратной проекции S x ,  y 
S ( x, y ) 
 
1
4
2
  S ( ,  )e
x
j ( x x  y y )
y
dx d y .
(51.8)
 
Перейдем в последнем выражении к полярным координатам
x   cos  , x   sin  ,   x2   y2 , dx d y   d d .
2 
1
S ( x, y ) 
4 2
  S ( cos  ,  sin  )e
 d d  .
j ( x cos   y sin  )
(51.9)
(51.10)
0 0
Сравним подынтегральные выражения в (51.7) и (51.10). Видно, что
2 F ( cos  ,  sin  )   S ( cos  ,  sin  ) ,
(51.11)
или
F (x ,  y ) 
x2   y2
2
S (x ,  y ) .
(51.12)
Вычислив обратное преобразование Фурье, получим
f ( x, y) 
 
1
4
2

x2   y2
2
 
S (x ,  y )e
j ( xx  y y )
d x d  y .
(51.13)
Получено еще одно соотношение для вычисления преобразования Радона. Несмотря на то, что
при выводе выражения (50.9) и выражения (51.13) использовались различные предпосылки, эти
выражения полностью эквивалентны.
52. Вычисление обратного преобразования Радона
Мы получили два соотношения, позволяющие вычислять обратное преобразование Радона.
Первое соотношение
f ( x, y ) 
 
1
4
2
   R(,  )e
j  x cos   y sin  
d  d
(52.1)
0 
получено на основе теоремы о центральном сечении. Второе
f ( x, y ) 
1
1
2
4 2
 

x2   y2 S (x ,  y )e
 
76
j ( x x  y y )
d x d  y
(52.2)
получено на основе понятия "обратная суммарная проекция".
Рассмотрим некоторые аспекты численной реализации этих алгоритмов. В соответствии с
первым соотношением алгоритм вычисления обратного преобразования Радона заключается в
следующем:
а). Вычисляется преобразование Фурье по переменной s от исходных данных R(s,);
б). Полученный спектр умножается на ;
в). Задается точка, координаты x и y которой подставляются в исходное соотношение (52.1)
либо (52.2) и производится численное интегрирование.
Пункт в) повторяется для каждой точки, в которой определяются значения функции f(x,y).
Такой способ вычисления требует значительных затрат машинного времени. Представим выражение
(52.1) в несколько ином виде
 
f ( x, y )  
  R( ,  )e
j s
d  d ,
(52.3)
0 
s  x cos   y sin  .
где
Внутренний интеграл в этом выражении с точностью до коэффициента 1/2 представляет
собой обратное преобразование Фурье функции  R(,  ) . Обозначим его как
I ( s,  ) 

  R(,  )e
j s
d .
(52.4)

Так как для вычисления функции I(s можно использовать алгоритмы БПФ, то время
вычисления обратного преобразования Радона можно значительно сократить, так как в этом случае
функция


0
0
f ( x, y )   I ( s,  )d   I ( x cos   y sin  ,  )d
(52.5)
требует для вычисления только одномерное численное интегрирование.
Запишем выражение (52.5) в дискретном виде:
N
f ( xi , y j )   I ( xi cos k  y j sin k , k ) ,
(52.6)
k 1
где xi и yi - координаты точек в которых определяется значение функции f(x,y).
Для вычисления функции I(s используется некоторый численный алгоритм, например БПФ.
Значения функции I(s рассчитываются в ряде фиксированных точек si, которые чаще всего
расположены эквидистантно. Эквидистантным, обычно является и массив точек xi и y j . При
эквидистантном расположении точек их координаты определяются следующими выражениями:
xi  i x , y j  i x , sm  m s , n  n ,
(52.7)
где  x ,  x ,  s ,  - приращения соответствующих переменных.
При этом возникает следующая проблема. Для вычисления функции f(x,y) в соответствии с
выражением (52.6) необходимо иметь значения функции I ( s, k ) в точках
s  xi cos k  y j sin k  i x cos(k  )  j  y sin(k  ) ,
(52.8)
которые при изменении i, j, k не будут расположены эквидистантно.
Т.е. для вычисления функции f ( x, y ) нам необходимы значения функции I ( s, k ) в одних
точках, а в действительности мы имеем значения функции I ( s, k ) для других точек.
Для определения значений функции I ( s, k ) в требуемых точках sn используют те или иные методы
интерполяции.
В самом простом случае в качестве значения функции I ( sn , k ) можно
77
воспользоваться значение функции в ближайшей к sn точке или определить значение функции в
требуемой точке при помощи линейной интерполяции.
Необходимость в интерполяции приводит к увеличению объема вычислений с одной стороны,
и к увеличению ошибок восстановления с другой.
Большой объем вычислений требуется и при использовании для восстановления изображений
соотношения (52.2). Само соотношение (52.2) вычисляется достаточно быстро. Однако больших
вычислительных затрат требует расчет обратной проекции, спектр которой входит в это выражение.
ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
53. Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
Итерационными методами восстановления изображений называют такие методы решения
обратных задач, в которых по известному приближенному решению находится решение следующего
более точного приближения. Т.е. если Sk –некоторое приближенное решение, то Sk+1 = R [Sk]
следующее решение, более точное, чем предыдущее.
Итерационные методы решения обратных задач имеют ряд преимуществ по сравнению с
методами линейной фильтрации и методом неопределенных коэффициентов.
Во-первых, итерационные методы могут быть использованы для нахождения решений любых
интегральных уравнений независимо от вида ядра.
Во-вторых, при использовании итерационных алгоритмов достаточно легко учитывать
известные априорно свойства определяемых решений. Например, когда решается задача об
обработке изображения решение не может быть отрицательным. Однако при использовании методов
линейной фильтрации учесть это свойство решения невозможно. В то же самое время итерационные
алгоритмы позволяют учитывать подобную информацию.
В-третьих, в итерационном алгоритме достаточно просто осуществить регуляризацию
решения. С одной стороны регуляризация решения может быть осуществлена путем выбора
соответствующего итерационного оператора, в этом случае наблюдается аналогия с линейными
методами восстановления. С другой стороны – регуляризация осуществляется путем ограничения
числа итераций.
В-четвертых, при использовании итерационных алгоритмов нет необходимости определять
вид обратного оператора, что в ряде случаев имеет большое значение.
Существенным недостатком итерационных алгоритмов является их вычислительная сложность.
Определим свойства итерационного оператора. Очевидно, что каждое последующее
применение итерационного оператора должно давать более точное решение. В пределе, когда число
итераций стремится к бесконечности, приближенное решение должно стремиться к точному, т.е.
если S – точное решение, а {Sk} – множество приближенных решений, то Sk  S при k  , где
Sk = R [Sk-1], а R – итерационный оператор. Очевидно, что R [S] = S.
В функциональном анализе введено понятие оператора сжатия.
Оператором сжатия
называется оператор, для которого выполняется следующее соотношение:
  R[ si ], R[ s j ]  r   si , s j  , где r  1
(53.1)
Выражение   si , s j  определяет расстояние между функциями si , s j . В качестве расстояния
могут использоваться различные меры. Так в пространстве L2 (пространство квадратично
интегрируемых функций) расстояние между функциями определяется следующим образом:
b
  si , s j    si ( x)  s j ( x) dx
2
(53.2)
a
Покажем, что если итерационный оператор есть оператор сжатия, то Sk  S при k  .
Пусть для определённости i  j. Условимся, что обозначение Ri[s] = si будет соответствовать
применению i раз итерационного оператора R к сигналу s0. Тогда можно записать, что
  si , s j     R i [ s0 ], R j [ s0 ] .
78
(53.3)
Используя неравенство (53.1)
  Ri [ s0 ], R j [ s0 ]  r   Ri 1[ s0 ], R j 1[ s0 ] .
(53.4)
В свою очередь, согласно тому же неравенству
  Ri1[ s0 ], R j 1[ s0 ]  r   R i 2 [ s0 ], R j 2 [ s0 ]
(53.5)
или
r   R [ s0 ], R [ s0 ]  r 2   R i 2 [ s0 ], R j 2 [ s0 ]
(53.6)
i 1
j 1
Используя преобразование (53.4) i раз, можно получить, что
  R i [ s0 ], R j [ s0 ]  r i   s0 , R j i [ s0 ] .
(53.7)
Величина   s0 , R j i [ s0 ] в неравенстве (53.7) определяет расстояние между сигналами s0 и
Rj-i[s0] = sj-i. Это расстояние будет заведомо меньше суммы расстояний между промежуточными
сигналами, т.е.
  s0 , R j i [ s0 ]    s0 , s1     s1 , s2   ...  s j i1 , s j i  .
(53.8)
В свою очередь, согласно (53.1) для слагаемых левой части этого неравенства можно записать:
  s1 , s2   r   s0 , s1  ,
  s2 , s3   r   s1 , s2   r 2   s0 , s1  ,
(53.9)
  s j i1 , s j i   r   s j i2 , s j i1   r j i1   s0 , s1  .
Таким образом, неравенство (53.8) можно записать в виде
  s0 , R j i [ s0 ]    s0 , s1  1  r  r 2 
 r j i1  ,
(53.10)
или, воспользовавшись формулой суммы членов геометрической прогрессии,
  s0 , R j i [ s0 ]    s0 , s1 
1  r j i 1
.
1 r
(53.11)
Подставляя неравенство (53.11) в соотношение (53.7), получим
r i  r j 1
ri
  R [ s0 ], R [ s0 ]    s0 , s1 
   s0 , s1 
.
1 r
1 r
i
j
(53.12)
Так как r  1 , то   si , s j   0 при i   .
Таким образом, при i   приближенные решения Si стремятся к некоторому пределу S. При
этом применение итерационного оператора к этому пределу не изменяет его, т.е. RS = S. В
соответствии с первым свойством итерационного оператора S является точным решением обратной
задачи.
54. Итерационные алгоритмы с ограничениями
Предварительные сведения о поведении решения обратной задачи можно выразить
посредством некоторого оператора C   такого, что S  C  S  . В этом случае оператор C   может
использоваться в итерационном методе для уточнения решения на каждом шаге итерации.
Если решение S неотрицательно, то оператор C   можно задать с помощью оператора
положительности, для которого введено специальное обозначение P   :
79
 S при S  0
PS   
0 при S  0
(54.1)
Если известно, что спектр решения ограничен частотой 0, то соответствующим оператором
ограничения в частотной области будет оператор.
 
S    S   rect 

 0 
(54.2)
Переходя от спектра к самой функции и учитывая то, что обратное преобразование Фурье от
функции rect( ) есть функция вида sin x/x, а произведение спектров соответствует свертке функции,
получим выражение для оператора ограничения частоты B [ ]:
BS  

 S  

sin 0  x    
  x  
d .
(54.3)
55. Итерационное уравнение
Пусть прямая задача задается следующим операторным уравнением:
f  L[ s ]
(55.1)
s  C[ s ]    f  LC  s  ,
(55.2)
Запишем следующее тождество
где  - некоторая константа, LC[ ] – обозначает последовательное применение операторов C и
L.
Преобразуем это тождество:
s   f  ( I   L)C[ s ] .
(55.3)
Введем оператор
R
   f   I   L C   .
(55.4)
В результате можем записать некоторое итерационное уравнение
si 1  R[si ] ,
(55.5)
Для того, чтобы оператор R[ ] можно было использовать в качестве итерационного оператора,
необходимо чтобы он был оператором сжатия, т.е.
  R[ si ], R[ s j ]  r   si , s j  , где r  1
(55.6)
В классе L2 расстояние между функциями определяется как
b
  si , s j    si ( x)  s j ( x) dx .
2
(55.7)
a
Тогда
b
  R[ si ], R[ s j ]   R[ si ( x)]  R[ s j ( x)] dx 
2
a
b
b
   f  ( I   L)C[ si ]   f  ( I   L)C[ s j ] dx   ( I   L)C[ si ]  ( I   L)C[ s j ] dx
2
a
Обозначим
2
(55.8)
a
G[ ]  ( I   L)C[ ] ,
Тогда
80
(55.9)
b
  R[ si ], R[ s j ]   G[ si ( x)]  G[ s j ( x)] dx    G[si ], G[s j ]
2
(55.10)
a
Таким образом, оператор R[ ] будет оператором сжатия в том случае, если оператором сжатия
будет оператор G[ ] .
Оператор G[] будет являться линейным при условии линейности оператора C[]. В этом случае
b
 G[s ( x)]  G[s ( x)]
i
2
j
a
b
dx   G[si ( x )  s j ( x )] dx
2
(55.11)
a
Оператор G[ ] будет оператором сжатия в том случае, если выполняется неравенство (53.1):
b
b
 G[si ( x)  s j ( x)] dx  r   si , s j   r  si ( x)  s j ( x) dx
2
a
2
(55.12)
a
Условие выполнения этого неравенства для каждого конкретного случая определяется видом
операторов L[ ] и C[ ] , входящих в оператор G[ ] .
56. Ряд Неймана
Одним из достоинств итерационных алгоритмов является то, что при их использовании нет
необходимости определять оператор, обратный оператору прямой задачи. Это свойство
итерационных алгоритмов является весьма существенным, так как определение обратного оператора
для уравнений с неразностным ядром представляет достаточно сложную и не всегда разрешимую
задачу.
Однако, представив решение задачи в виде итерационного процесса, достаточно просто
представить обратный оператор в виде разложения в ряд оператора прямой задачи. Такой ряд
называется рядом Неймана.
Мы говорили, что при использовании итерационного оператора последовательность
приближенных решений можно представить в следующем виде:
s0 , R[s0 ], R[ s1 ], R[s2 ], ..., R[sk ],...
(56.1)
R[ ]   f  ( I   L)C[ ]
(56.2)
где оператор
Допустим, что при   1, C[ ]  I [ ] оператор R[ ] является оператором сжатия. Запишем
последовательность приближенных решений для случая, когда начальное приближение S0 = f.
Получим следующий ряд:
s0  f
s1  f  ( I  L)[ s0 ]  f  ( I  L)[ f ]
s2  f  ( I  L)[ s1 ]  f  ( I  L)[ f ]  ( I  L) 2 [ f ]
(56.3)
sk  f  ( I  L)[ f ]  ( I  L) 2 [ f ]  ...  ( I  L) k [ f ]
Или
k
sk   ( I  L)i [ f ] ,
(56.4)
i 0
где ( I  L)k [ f ] означает последовательное применение k раз оператора ( I  L)[ ] к функции f, а
( I  L) 0 [ ]  I [ ] .
Так как при k   sk  s , т.е. последовательность приближенных решений стремиться к
точному решению), то
81

s   ( I  L )i [ f ] ,
(56.5)
s  L1[ f ] ,
(56.6)
i 0
Так как
есть решение обратной задачи, то на основании выражений (56.5) и (56.6) запишем для
обратного оператора следующее соотношение

L1[ ]   ( I  L)i [ ] ,
(56.7)
i 0
Ряд в правой части данного равенства называется рядом Неймана.
Данное соотношение получено при одном единственном условии, которое заключается в том,
что оператор  I  D    должен быть оператором сжатия. Поэтому разложение обратного оператора
в ряд Неймана применимо к любому интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода независимо от
типа его ядра.
57. Итерационный оператор для уравнения типа свертки
Определим условия, при выполнении которых оператор G[ ] будет оператором сжатия для
уравнения типа свертки, т.е. для случая когда оператор

L[ ] 
 [ ]h  x    d
(57.1)

Для простоты будем считать, что оператор ограничения C[ ] является единичным оператором
и в данном случае его можно не рассматривать. При этом
G[ ]  ( I   L)[ ] .
По отношению к свертке единичным оператором I является оператор

 [ ] ( x   )d .
(57.2)
G[ s ]  (   h)  s ,
(57.3)
I[ ] 

Таким образом
где  - операция свертки.
Определим расстояние между двумя приближенными решениями. Так как с учетом равенства
(57.3)

G[ sk ] 
 [ ( x   )   h( x   )]s ( )d ,
(57.4)
k

то
2
b 
  G[si ], G[s j ]  
 [ ( x   )  h( x  )][s ( )  s ( )]d
i
j
dx .
(57.5)
a 
Воспользуемся теоремой о свертке и перейдем в спектральную область. Тогда

  G[ si ], G[s j ] 
 1   H ( ) S ()  S () 
i
j
2
d .
(57.6)

Преобразуем соотношение (57.6)
  G[ si ], G[s j ] 

 1   H ( )
2
2
Si ( )  S j ( ) d .

82
(57.7)
Пусть для некоторой частоты 0 выражение 1   H ( ) принимает максимальное значение
равное 1   H (0 ) max . Так как подынтегральное выражение не отрицательное, то
  G[ si ], G[ s j ] 



2
1   H (0 ) max  Si ( )  S j ( )  d  1   H (0 ) max
2
2


2
Si ( )  S j ( ) d

Или
  G[si ], G[s j ]  1   H () max   si , s j 
2
(57.8)
В данном случае, чтобы итерационный оператор являлся оператором сжатия необходимо,
чтобы
1   H (0 ) max  1 .
(57.9)
Так как на частоте 0 выражение 1   H ( )
принимает максимальное значение, то
2
неравенство (57.9) должно выполнятся на любой частоты  . Таким образом вместо неравенства
(57.9) получим следующее неравенство:
1   H ( )  1 .
2
(57.10)
Раскроем это неравенство:
1   H ( )  1   H ( ) 1   H ( )  1   Re( H )  j Im( H ) 1   Re( H )  j Im( H )  
2
*
 1   Re( H )    Im( H )   1   2  Re( H )    2  Im( H )   2 Re( H ) ,
(57.11)
1   H ( )  1   2 H    2 Re( H  )  1 .
(57.12)
2
2
2
2
или
2
2
Для решения этого неравенства нужно решить квадратное уравнение относительно . Корни
этого уравнения
1  0, 2 
2 Re( H  )
H  
2
.
(57.13)
Так в итерационное уравнение  входит как положительное число то для  должно
выполняться следующее неравенство:
0 
2 Re( H  )
H  
2
.
(57.14)
Неравенство (57.10) должно выполняться для всех частот . Однако для реальных систем H()
отлична от 0 только в некотором ограниченном диапазоне частот. В силу этого, начиная с некоторой
2
частоты 1 1   H ( )  1 и оператор G[ ] не будет являться оператором сжатия. Т.е. в такой
постановке задачи итерационного оператора для уравнения типа свертки не существует.
Однако если задан оператор ограничения C[ ] (который ранее мы приняли равным
единичному оператору), то оператор G[ ] и в случае, когда H()=0 может быть оператором сжатия.
Пусть оператор
G[ ]  ( I   L) B[ ]
где оператор B   – оператор ограничения по частоте, определенный следующим образом
1 если H ( )  0

B[ ]  

0 в противном случае 
83
Использование такого оператора ограничения гарантирует выполнение неравенства (57.10) при
соответствующем выборе коэффициента .
84
Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография ..................................................................................... 1
1.
Что такое изображение ..................................................................................................................................................................... 1
2.
Методы формирования изображений .............................................................................................................................................. 1
3.
Методы реконструкции изображений ............................................................................................................................................. 1
4.
Другие методы цифровой обработки изображений ....................................................................................................................... 2
5.
Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины. .......................................................................................... 2
6.
Оптическая схема получения голограммы...................................................................................................................................... 3
7.
Неоптическая голография................................................................................................................................................................. 4
Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений ............................................. 6
8.
Дельта-функция ................................................................................................................................................................................. 6
9.
Свойства дельта-функции................................................................................................................................................................. 7
10.
Преобразование Фурье. Теорема о свёртке..................................................................................................................................... 9
11.
Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы ..................................................................................................... 10
12.Equation Chapter (Next) Section 1 Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма ............................................................. 12
13.
Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика .................................................................................................... 13
14.
Корректность решения обратной задачи. Существования решения ........................................................................................... 14
15.
Единственность решения на примере уравнения типа свертки .................................................................................................. 15
16.
Устойчивость решения ................................................................................................................................................................... 15
Регуляризация решени обратных задач .................................................................................................................................... 17
17.
Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова .......................................................................................................... 17
18.
Регуляризация решения уравнения типа свертки ......................................................................................................................... 17
19.
Фильтр Тихонова. Невязка ............................................................................................................................................................. 18
20.
Оптимальный фильтр Винера ........................................................................................................................................................ 20
21.
Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта ............................................................................................... 22
22.
Гомоморфная фильтрация .............................................................................................................................................................. 23
23.
Метод неопределенных коэффициентов ....................................................................................................................................... 25
Пример решения обратной задачи .............................................................................................................................................. 27
24.
Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта ......................................................... 27
25.
Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий ............. 29
Разрешающая способность систем формирования изображений ......................................................................................... 32
26.
Понятие о разрешающей способности .......................................................................................................................................... 32
27.
Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра ............................................................... 33
28.
Применение окон для улучшения разрешающей способности, аподизация. Сверхразрешение ............................................. 35
Основные понятия и принципы радиоголографии ................................................................................................................. 35
29.
Понятие о радиоголограмме. Формирование радиоголограммы радиоприемными устройствами ......................................... 35
30.
Восстановление радиоголограмм - как обратная задача. Приближение Кирхгофа .................................................................. 35
31.
Комплексная амплитуда плоской монохроматической волны .................................................................................................... 35
32.
Представление Релея для монохроматических волн .................................................................................................................... 38
33.
Представление Релея для немонохроматических волн ................................................................................................................ 39
34.
Двойной физический смысл пространственной частоты............................................................................................................ 40
35.
Частотная характеристика свободного пространства ............................................................................................................... 42
36.
Угловой спектр сферической волны .............................................................................................................................................. 45
37.
Импульсный отклик свободного пространства ............................................................................................................................ 45
Восстановление радиоголографических изображений ........................................................................................................... 47
38.
Алгоритм восстановления изображений в частотной области .................................................................................................... 47
39.
Восстановление изображений в приближении Френеля ............................................................................................................. 51
40.
Азимутальное разрешение радиоголографической системы ..................................................................................................... 54
41.
Синтез апертуры сканированием одной антенной ....................................................................................................................... 57
42.
Синтез апертуры сканирования двумя антеннами ..................................................................................................................... 59
43.
Синтез радиоголограмм динамических объектов ........................................................................................................................ 60
44.
Разрешающая способность в радиальном направлении .............................................................................................................. 63
45.
Многочастотная голография .......................................................................................................................................................... 66
Основы томографии ...................................................................................................................................................................... 69
46.
Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением .................................................................................... 69
47.
Преобразование Радона .................................................................................................................................................................. 70
48.
Преобразование Радона точечного объекта .................................................................................................................................. 72
49.
Теорема о центральном сечении .................................................................................................................................................... 73
50.
Обратное преобразование Радона .................................................................................................................................................. 74
51.
Алгоритм обратного проецирования ............................................................................................................................................. 75
52.
Вычисление обратного преобразования Радона ........................................................................................................................... 76
Итерационные алгоритмы решения обратных задач ............................................................................................................. 78
53.
Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач .............................................................................................. 78
54.
Итерационные алгоритмы с ограничениями ................................................................................................................................ 79
55.
Итерационное уравнение ................................................................................................................................................................ 80
56.
Ряд Неймана ..................................................................................................................................................................................... 81
57.
Итерационный оператор для уравнения типа свертки ................................................................................................................ 82