Преобразование Карлемана-Фурье как метод

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Направление: 01.0100.68 – математика
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ)
"Преобразование Карлемана-Фурье как метод аналитического представления
обобщённых функций"
Работа завершена:
«__» _____________ 2014 г.______________________________________ (Д. Р. Мустафин)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
кандидат физ.-мат. наук, доцент
«___»_________ 2014 г._____________________________________________(Л. Г. Салехов)
Рецензент:
«___»_________ 2014 г._____________________________________________ (Ю. Р. Агачев)
Дата защиты:
« ____ » _____________2014 г.
Оценка ________________
Заведующий кафедрой
Доктор физ.-мат. наук, профессор
«____» ________ 20___ г._________________________________________(Ю. В. Обносов)
Казань – 2014 год
СОДЕРЖАНИЕ
Цель работы……………………………………………………………….…….…3
Преобразование Карлемана-Фурье как метод аналитического представления
обобщённых функций……………………………………………………………..4
Отыскание обратных элементов в свёрточной
алгебре
методом
преобразования Карлемана – Фурье……………………………………………16
Преобразование Карлемана – Фурье как генератор элементов из одной
мультипликативной алгебры
- обобщенных
функций, являющихся
граничными значениями (в смысле обобщённых функций) функций,
аналитических в
……………………………………….………………18
Список использованной литературы…….……………………………………..21
2
Цель работы:
Напомнить понятие аналитического представления обобщённой функции.
Привести примеры. Дать определение
и .
Преобразование Карлемана - Фурье как генератор мультипликативной
алгебры обобщённых функций, являющихся граничными значениями функций,
аналитических в
. Привести примеры.
Отыскание обратных элементов в свёрточной алгебре
преобразования Карлемана – Фурье.
3
методом
Преобразование Карлемана-Фурье как метод аналитического
представления обобщённых функций
Определение. Пространство Шварца
- это пространство бесконечно
дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности, т. е. сама
функция и производные стремятся к нулю быстрее чем любая степень
. Обобщённой функцией медленного роста называется всякий
линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций .
Если
- функция медленного роста в , т. е. при некотором
:
то она определяет регулярный функционал
из
по формуле
Поскольку основные функции
суммируемы на
определена операция (классического) преобразования Фурье
, то на них
При этом функция
— е
в е Ф ье
—
ограничена и непрерывна в
. Преобразование Фурье можно
дифференцировать под знаком интеграла любое число раз:
(1.1)
откуда следует, что
. Далее, такими же свойствами обладает и каждая
производная
, а потому
(1.2)
Из (1.2) следует, в частности, что
- суммируемая функция на
.
Преобразование Фурье обобщенных функций из . Пусть сперва
суммируемая функция на . Тогда её преобразование Фурье
–
является ограниченной в
функцией и, следовательно, определяет
регулярную обобщённую функцию медленного роста по формуле:
4
е
Это равенство мы и примем за определение преобразования Фурье
обобщённой функции медленного роста.
любой
Рассмотрим, прежде всего, функцию
медленного роста на оси R, т.е.
непрерывную функцию, определённую на всём пространстве R, растущую на
бесконечности не быстрее полинома. Тогда существует преобразование
Карлемана-Фурье от этой функции:
(1)
где - функция медленного роста.
Очевидно, преобразование Карлемана-Фурье от
представление для образа Фурье функции , т.е.
есть аналитическое
(2)
где
где
(3)
– ядро интеграла типа Коши, а
основана на формуле
.
Обратное преобразование Карлемана – Фурье определяется по формуле:
(4)
5
Тогда,
Пусть теперь
виде:
, где
где
копреобразование Фурье от
.
тогда известно, что представима в следующем
– оператор дифференцирования в смысле
обобщенной функции, а - функция медленного роста. Тогда преобразование
Карлемана – Фурье от обобщенной функции медленного роста определяется
по формуле:
,
где
(5)
.
Рассмотрим примеры.
Очевидно,
- функция медленного роста, то преобразование Карлемана –
Фурье существует. Запишем это преобразование:
Вычислим интеграл:
Аналогично:
Итак, имеем:
6
Или:
.
Или:
Откуда, в частности, имеем:
(6)
где -
преобразование Фурье.
: Определение меры Дирака:
,
пространство бесконечно дифференцируемых функций.
Очевидно, аналитическим представлением для меры Дирака
Пусть
где
, где
будет:
.
Для применения формулы (5) представим обобщенную функцию
в следующем виде (т. к.
где
рассматриваем на оси ):
- функция Хевисайда.
: Определение функции Хевисайда:
Тогда (6) даёт:
7
–
Откуда, в частности:
Заметим, что формула (7) вытекает из формулы (6) в силу известной формулы:
Вопрос введения мультипликативного произведения обобщённой
функции всегда вызывает большой интерес. Лоран Шварц показал, что
мультипликативное произведение обобщённой функции не всегда обладает
свойством ассоциативности. Например, рассмотрим мультипликативное
произведение:
.
( ) есть обобщённая функция
:
на , которая называется главным значением по Коши и обозначается
,а
пространство
( ) – это пространство бесконечно дифференцируемых
функций (на графике нигде нет условных точек) и финитных.
Будем рассматривать пространство обобщённой функции медленного
роста. Покажем, что
существует аналитическое представление
т. е. обобщённая функция представима в следующем виде:
(I)
где формула (I) понимается в смысле обобщённой функции из
8
, т. е.:
а
аналитическая функция соответственно в
и
. Если
- есть обобщённая функция финитная (т. е. с компактным носителем), т. е.
, то
(II)
где
называют представлением Коши для . Функция
стремится к
нулю при
. Пусть
где
пространство, дуальное к
пространству
, бесконечно дифференцируемой функции на
с
асимптотикой на бесконечности
(символика Ландау) как для самих
функций, так и для производных любого порядка, а топология в
индуцируется из пространства
. Тогда также существует представление
Коши, определяемое по формуле (II).
Наконец, пусть
любая обобщённая функция медленного роста.
Рассмотрим формулу (II). Придадим смысл правой части формулы (II).
Очевидно, в силу автоморфизма преобразования Фурье в пространстве
и
плотности в
, имеем:
или
А так как
- есть обобщённая функция медленного роста, то последнее
представление есть преобразование Карлемана-Фурье для
. Итак, имеет место формула
:
(III)
В отличие от символа
, означающего представление Коши для
,
будем обозначать символом
аналитическое представление для , то есть:
е
9
(IV)
Очевидно, при
Пример:
Имеем
или
формула (IV) совпадает с формулой (II).
. Найдём
.
. Теперь найдём:
Итак, имеем результат, который был очевиден apriori:
(V)
Если бы рассмотрели
Еcли
, то получим результат:
, то:
Сделаем важное замечание для дальнейшего изложения. Поскольку
преобразование Карлемана-Фурье обобщённой функции есть аналитическое
представление для
, а аналитическое представление определяется для
10
обобщённой функции из
с точностью до аддитивного произвольного
полинома, то в дальнейшем под аналитическим представлением от функции
будем всегда понимать преобразование Карлемана-Фурье, её прообраза Фурье,
т. е. формулу (IV).
В дальнейшем аналитическое представление для
обозначать символом:
будем
Применение преобразования Карлемана-Фурье к функциям медленного
роста даёт аналитическое представление образа при преобразовании Фурье, а
сам образ Фурье получается из формулы:
– медленного роста, где
–
преобразование Карлемана-Фурье, - преобразование Фурье, при этом
– определяется по формуле
а преобразование Фурье определяется по формуле:
Примеры.
Пусть
, тогда:
.
Тогда
Итак, если, как обычно, обозначим
через “∧" представление Коши, то имеем
11
Тогда
, т. е.
.
Тогда
, т. е.
т. е.
1)
2)
, тогда
. Тогда:
Но:
12
Итак:
. Тогда:
3)
Но:
Итак:
Пример на тему: ”Применение преобразования Карлемана-Фурье для
аналитического представления обобщённой функции из
”.
13
Найдём аналитическое представление
формулу:
, применяя преобразование
т. е.
Тогда:
Итак:
Примеры на преобразование Карлемана-Фурье
1) Пусть
Очевидно
, ибо
Так как - функция
является сингулярной, то преобразование Карлемана – Фурье от неё не
существует. Поэтому выразим – функцию через регулярную функцию
14
(т. е. обобщенную функцию, порожденную с помощью обычной)
то преобразование Карлемана-Фурье от
,
вычисляется по формуле:
то есть
Далее:
Пусть
то
Тогда
Рассмотрим теперь обобщённые функции
и . Это функции Сохоцкого,
Племеля, Гейзенберга – Н. Н. Боголюбова. Возьмём хорошо известную
функцию Хевисайда
. Напомним ещё раз её определение.
.
Найдём преобразование Карлемана – Фурье от этой функции:
.
А теперь рассмотрим предел найденной функции при
классическом смысле, к сожалению, отсутствует. Поэтому
( ).
15
, но предел в
.
Отыскание обратных элементов в свёрточной алгебре
преобразования Карлемана – Фурье.
Пространство
носителями в
методом
- пространство обобщённых функций медленного роста с
. Пусть
, то
, где
- функция медленного
роста. Следовательно, преобразование Карлемана – Фурье от обобщённой
функции определяется формулой:
где
Отыскание обратных элементов в
Карлемана-Фурье по их образам.
методом преобразования
Мультипликативная алгебра является топологическим изоморфизмом
сверточной алгебры, т. е. преобразование Карлемана-Фурье переводит
взаимно-однозначно и непрерывно сверточную алгебру в мультипликативную
алгебру аналитических функций в
. Рассмотрим пример.
Пусть
Найти образ функции
с помощью преобразования Карлемана-Фурье.
Решение:
16
Далее, рассмотрим уравнение
. По определению
элементарного решения имеем:
Так как преобразование Карлемана-Фурье переводит сверточную алгебру в
мультипликативную алгебру, то мы применяем к обеим частям уравнения
преобразование Карлемана-Фурье. Получаем следующую формулу:
Тогда
Применяя фундаментальное свойство преобразования Фурье, получим:
или
Так как у нас носитель у
решение уравнения
.
- функции
, поэтому
при любой правой части
17
. То
.
Преобразование Карлемана – Фурье как генератор элементов из одной
мультипликативной алгебры
- обобщенных функций, являющихся граничными значениями (в смысле
обобщённых функций) функций, аналитических в
.
Рассмотрим семейство обобщённых функций:
.
I . Пусть
. Тогда:
Вычислим:
{контур-сектор в верхней полуплоскости, не
пересекающий разрез [0, ]} =
Итак, имеем:
.
Это аналитическая функция в
, то граничное значение (в смысле
обобщённых функций) будет иметь следующий вид:
то есть: 1)
2) Если
.
, то:
18
.
3) Если
, то
.
4) Если
то
,
II. Пусть
.
. Тогда:
где
Пусть
, то
1) Поэтому, если
.
, то
,
откуда:
.
2)Пусть
, где
то:
Откуда:
.
Но так как
Тогда:
3) При
не целых имеем:
,где
аналитических функций с разрезом на [0
19
однозначная ветвь
], где
Тогда:
20
Список использованной литературы.
1. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров
Ю.В., Шабунин М.И. "Сборник задач по уравнениям математической физики",
М.Наука, 1982г., 256 стр.
2. В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. - Наука. 1981г.
3. Ж. Адамар. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными
гиперболического типа. – М. Найка. 1978г.
4. А. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский. Теория обобщенных функций.
Секвенциальный подход. –Мир. 1978г.
5. Агранович М. С. Обобщенные функции. М.: МЦНМО, 2009г.
6. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщённых
функций. – Наука. 1977г.
7. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. Теоретическая
и математическая физика, 1979г.
8. Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова. Теоретическая и
математическая физика, 1979г.
9. Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.-Л., 1932г.
10. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ.
М.: РХД, 2009г.
11. Салехов Л.Г. "Лекции по уравнениям в частных производных.", 2011г.
21