§3. Целые числа. Десятичная запись числа. Признаки делимости

(c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru §3. Целые числа. Десятичная запись числа. Признаки делимости. Четные и нечетные числа. Множество всех целых чисел Z является расширением множества всех натуральных чисел: N ⊂ Z. Оно включает в себя все натуральные числа, снабженные знаком «+» или «‐», а также число нуль: Z = {0; ±1; ±2; ±3 ;…} – множество всех целых чисел. Из 4‐х арифметических действий только сложение, вычитание и умножение определены для всех целых чисел, т.к. результатом этих действий с целыми числами является также целое число. Результатом же деления двух целых чисел не всегда будет целое число. Если целое число «m» делится на целое число «n», то будем писать: m︙ n, в противном случае будем писать: m ˥︙n. Например: 18︙3, 19 ˥︙5. Заметим, что n ︙ 1 для всех n∈ N, 0︙ n для всех ∈ N, n≠ 0. Деление на число 0 не определено. Числа: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 – называются цифрами. Любое целое число n можно записать с помощью этих десяти цифр: … n = ± = ± (ak ˙ 10k + ak‐1˙ 10k‐1 + … + a1 ˙ 101 + a0˙ 100) – десятичная запись числа, где k – натуральное число, ai (i =1,…,k) – цифры (однозначные числа): a0 – цифра единиц, a1 – цифра десяток, a2 – цифра сотен и т.д. Если k =1, то число «n» ‐ двузначное, если k =2, то число «n» ‐ трехзначное и т.д. Например: 512 = 5 ˙ 102 + 1˙ 101 + 2 ˙ 100 ‐ положительное трехзначное число (k =2), ‐ 3108 = ‐ (3˙ 103 + 1˙ 102 + 0 ˙ 101 + 8 ˙ 100) – отрицательное четырехзначное число (k =3). По десятичной записи числа можно определить делимость числа на любое однозначное число, а также на число 10. Признаки делимости. Пусть n = ± … ‐ десятичная запись числа. Тогда: n ︙ 2 ⇔ a0 ︙2; n ︙ 3 ⇔ a0 + a1 + … + ak ︙3; n ︙ 4 ⇔ ︙4; n ︙ 5 ⇔ a0 ︙5; n ︙ 6 ⇔ n ︙ 2 и n ︙ 3; n ︙8 ⇔ ︙8; n ︙ 9 ⇔ a0 + a1 + … + ak ︙9; n ︙ 10 ⇔ a0 = 0. (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru Пример. n =25164. n ︙ 2 , т.к. 4︙2; n ︙ 3, т.к. 2 + 5 + 1 + 6 +4 = 18︙3; n ︙ 4 , т.к. 64︙ 4; n ˥︙ 5, т.к. 4 ˥︙5; n ︙ 6 , т.к. n ︙ 2 и n ︙ 3; n ˥︙ 8 , т.к. 16 4 ˥︙8; n ︙ 9 , т.к. 2 + 5 + 1 + 6 +4 = 18︙9; n ˥︙ 10, т.к. a0 ≠ 0. Признак делимости на 7 можно сформулировать следующим образом. Пусть n = … . Составим новое число: n1 = ak ˙ 3k + ak‐1˙ 3k‐1 + … + a1 ˙ 31 + a0˙ 30. Тогда n ︙ 7 ⇔ n1 ︙7, при этом n1 < n. Пусть n1= … . Составим новое число: n2 = bm ˙ 3
m
+ bm‐1˙ 3m‐1 + … + b1 ˙ 31 + b0˙ 30. Тогда n1 ︙ 7 ⇔ n2︙7, при этом n2 < n1. Продолжая этот процесс, придем к некоторому числу ni , делимость которого на 7 легко определяется. Например: n = 22764; n1 = 2 ˙ 34 + 2 ˙ 33 + 7 ˙ 32 + 6 ˙ 31 + 4 ˙ 30 = 162 + 54 + 63 + 18 + 4 = 301; n2 = 3 ˙ 32 + 0 ˙ 31 + 1 ˙ 30 = 27 + 0 + 1 = 28; n2︙7 ⇒ n ︙ 7. Упр. 6. Выяснить делимость на 2;3;4;5;6;7;8;9;10 следующих чисел: а) 3108; б) 8240; в) 42567. Целые числа, которые делятся на 2, называются четными, а остальные целые числа называются нечетными. Отметим простейшие свойства четных и нечетных чисел. 1. Сумма, разность и произведение любого количества четных чисел есть четное число. 2. Сумма и разность двух нечетных чисел есть четное число, а произведение любого количества нечетных чисел есть нечетное число. 3. Сумма и разность четного и нечетного числа есть нечетное число. 4. Произведение любого количества чисел, среди которых есть хотя бы одно четное, является четным числом. 5. Среди двух подряд идущих целых чисел – одно из них четное, а другое – нечетное число. Упр. 7. Определить, какие из следующих чисел являются четными: a = 512 ‐ 3 ˙ 78; b = 815 + 5 ˙ 2710; c = 3 ˙ 217 ‐ 6 ˙ 320; d = (513 ˙ 320)50 + (231 + 318)15. (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru Любое четное число «n» можно записать в виде: n =2k, где k ∈ Z, а любое нечетное число – в виде: n =2k + 1 (или 2k – 1), где k ∈ Z. Пример. Доказать, что при любом n∈ Z число n2 – n является четным. Решение. n2 – n = n(n – 1) – произведение двух подряд идущих целых чисел; значит, одно из них – четное; следовательно, произведение этих чисел – четное число.