Колечко на ветке КОЛЛЕКЦИЯ ГОЛОВОЛОМОК

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
îòïóñòÿò, îíà íàïîëîâèíó ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå
êîëåíî? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
g = 10 ì ñ2 ; ÷èñëî π = 3,14.
Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t äëèíà âåðåâêè, îñòàâøåéñÿ â
âåðòèêàëüíîì êîëåíå, ðàâíà x (ðèñ.9), òî ýíåðãèÿ ñèñòåìû
èìååò âèä
E=
mx ¢2 mx x mx ¢2 mg x2
+
+
g =
,
2
2
2
l
l 2
ãäå mx l – ìàññà êóñêà âåðåâêè â âåðòèêàëüíîì êîëåíå, x 2
– âûñîòà öåíòðà òÿæåñòè ýòîãî êóñêà. Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå èäåíòè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé ω = g l , à íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà
íóëþ, òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó
x = l cos ωt
(â íà÷àëüíûé ìîìåíò x0 = l ). Ýòà ôîðìóëà äåéñòâóåò òîëüêî
â òå÷åíèå ÷åòâåðòè ïåðèîäà, ïîêà x íå îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å.
ïîêà âñÿ âåðåâêà íå ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå êîëåíî.
×òîáû íàéòè èñêîìîå âðåìÿ, íàäî ïîäñòàâèòü x = l 2 . Ðåøèâ
óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
π
π l
t=
=
= 314 ìñ.
3ω 3 g
Óïðàæíåíèÿ
1. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 20 ñì èçîãíóëè â ôîðìå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/6 äëèíû îêðóæíîñòè, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö
ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
( g = 9,8 ì ñ2 .)
2. Òîíêîå êîëåñî ìàññîé M = 400 ã ñ íåâåñîìûìè ñïèöàìè ìîæåò
ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Íà êîëåñå çàêðåïèëè ìàëåíüêèé ãðóç ìàññîé m = 100 ã. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ðàäèóñ êîëåñà R = 50 ñì. ( g = 10 ì ñ2 .)
3. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 2,5 ì ñîãíóëè ïîñåðåäèíå ïîä
óãëîì 120o , ïðèêðåïèëè ê åãî êîíöàì îäèíàêîâûå ãðóçû è ïîâåñèëè
ìåñòîì ñãèáà íà òîíêèé ãâîçäü, âáèòûé â ñòåíó. Ïðåíåáðåãàÿ
òðåíèåì, íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .)
4. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 40 ñì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî
êîíöîâ. Ê ñåðåäèíå ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 0,5 êã, à
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
!
íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ñ ïîìîùüþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíû
æåñòêîñòüþ k = 30 Í ì ñîåäèíèëè ñ âåðòèêàëüíîé îïîðîé.
Ïðè âåðòèêàëüíîì ðàñïîëîæåíèè ñòåðæíÿ ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ.
( g = 9,8 ì ñ2 .)
5. Ñòåðæåíü ìàññîé m = Ðèñ. 10
= 0,5 êã è äëèíîé l = 40 ñì
èçîãíóëè ïî äóãå îêðóæíîñòè â âèäå ïîëóêîëüöà è ñ ïîìîùüþ
íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè (ðèñ.10). Ê îäíîìó èç êîíöîâ ñòåðæíÿ
ïðèêðåïèëè âåðòèêàëüíóþ íåäåôîðìèðîâàííóþ ïðóæèíó æåñòêîñòüþ k = 16 Í ì , âåðõíèé êîíåö êîòîðîé çàêðåïëåí. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, åñëè îñü âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïîëóêîëüöà. ( g = 9,8 ì ñ2 .)
6. Òîíêîå êîëüöî ðàäèóñîì R = 0,1 ì ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã
ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäíó èç òî÷åê êîëüöà
ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
ìàëûõ êîëåáàíèé îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 9,8 ì ñ2 .)
Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå òîò ôàêò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
êîëüöà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ðàâíà mvö2 , ãäå vö – ñêîðîñòü
öåíòðà êîëüöà.
7. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü èçîãíóëè â âèäå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé
1/3 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Ê êîíöàì ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà ìàññîé m = 40 ã êàæäûé.
Ñòåðæåíü ðàâíîìåðíî çàðÿæåí ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ λ = 1ìêÊë ì
è íàõîäèòñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà Q = 5 ìêÊë,
ðàñïîëîæåííîãî ïîä îñüþ âðàùåíèÿ íà îäíîì óðîâíå ñ êîíöàìè
ñòåðæíÿ. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .)
8. Òîíêóþ öåïî÷êó äëèíîé l = 45 ñì óäåðæèâàþò çà âåðõíèé
êîíåö íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α = 30o
ñ ãîðèçîíòîì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìñ) ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ öåïî÷êè
îíà ïîëíîñòüþ ïîêèíåò íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, åñëè âíà÷àëå åå
íèæíèé êîíåö íàõîäèëñÿ ó êðàÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? ( g = 10 ì ñ2 ;
π = 3,14.)
!
ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ
Êîëå÷êî íà âåòêå
(Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñ. îáëîæêè)
Íà êàæäîé âñòðå÷å èçîáðåòàòåëåé ãîëîâîëîìîê îáÿçàòåëüíî çâó÷èò ôðàçà: «Ñëîæíóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàòü ëåãêî,
âû ïîïðîáóéòå èçîáðåñòè ïðîñòóþ…» Ïàðàäîêñ ýòèõ ñëîâ
ëèøü êàæóùèéñÿ – èçîáðåòàòåëè ãîâîðÿò íå î òðóäíîñòè
ðåøåíèÿ çàäà÷è, îíà ïîäðàçóìåâàåòñÿ îáÿçàòåëüíîé, à ïðî
ñëîæíîñòü êîíñòðóêöèè.
Èìåííî òàêóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàë ìîñêâè÷ Êèðèëë
Ãðåáíåâ, íåäàâíèé âûïóñêíèê Ðîññèéñêîãî õèìèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ä.È.Ìåíäåëååâà. Åãî èçîáðåòåíèå ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ âåòî÷åê.
Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ãîëîâîëîìêè ïîäîéäóò ñó÷êè ëþáîãî
äåðåâà èëè êóñòàðíèêà, íî ëó÷øå âçÿòü èõ îò äóáà – åãî âåòêè
ñèëüíî êóñòÿòñÿ è ïðè÷óäëèâî èçîãíóòû. Ãîëîâîëîìêè ïîëó-
÷àþòñÿ íåïîõîæèìè äðóã íà äðóãà, áîëåå çàïóòàííûìè è
òðóäíûìè â ðåøåíèè.
Íà ñúåçäå ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê â Õåëüñèíêè, ãäå Êèðèëë âïåðâûå ïîêàçàë ñâîå èçîáðåòåíèå, îíî áûëî ïðèçíàíî
ñàìûì îðèãèíàëüíûì è èíòåðåñíûì. Äàæå çíàòîêè êðóòèëè
âåòî÷êè â ðóêàõ ïî íåñêîëüêó ìèíóò, íå ïîíèìàÿ, êàê ìîæíî
îòöåïèòü êîëå÷êî. Ëþáîïûòíî, ÷òî ýòó æå ãîëîâîëîìêó, íî
ñäåëàííóþ èç ïðîâîëîêè, îíè ðåøàëè ìãíîâåííî. Íà îáëîæêå ïðèâåäåíà òàêæå ñõåìà ïðîâîëî÷íîé ìîäåëè, íî íå äëÿ
òîãî, ÷òîáû âû åå èçãîòîâèëè, à ñ öåëüþ ïîìî÷ü âûáðàòü
âåòêè ïðàâèëüíîé êîíôèãóðàöèè.
Æåëàåì óñïåõà è ñîîáùàåì, ÷òî äðóãèå ãîëîâîëîìêè
Êèðèëëà Ãðåáíåâà (íå ìåíåå èíòåðåñíûå) îïóáëèêîâàíû â
«Êâàíòå» ¹1 çà 2007 ãîä è ¹3 çà 2005 ãîä.
À.Êàëèíèí