Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика

Реклама
Санкт-Петербургский государственный университет
В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Часть I. Кинематика
Учебное пособие
Санкт -Петербург 2013
УДК 51-72
Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета
Факультета Прикладной Математики — Процессов Управления
Санкт–Петербургского государственного университета
Ермолин В. С., Королев В. С., Потоцкая Е. Ю.
Н74 Теоретическая механика. Часть I. Кинематика. Учебное пособие. — СПб: СПбГУ, ВВМ, 2013. — 225 с.
ISBN 978-5-9651-0695-0
Предлагаемый учебник составлен на основе прочитанных курсов лекций
для студентов различных специальностей факультета ПМ-ПУ СПбГУ с использованием многих классических учебников по теоретической механике.
Предназначается для подготовки студентов по направлениям «прикладная математика и информатика», «прикладная математика и физика».
Рассматриваются различные способы описания движения материальной
точки, твердого тела для простейших случаев и сложное движение механической системы. Содержатся традиционные разделы и задачи классической
механики, а также новые методические подходы к изложению материала.
Пособие может быть полезным бакалаврам, специалистам и магистрам
физико-математических специальностей и направлений университетов.
ISBN 978-5-9651-0695-0 © В. С. Ермолин, В. С. Королев,
И. Ю. Потоцкая 2013
Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1. Предмет курса теоретической механики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Основные задачи физической механики.
2º. Основа и средства теоретической механики.
3º. Основные задачи теоретической механики.
3.1. Основные задачи кинематики и статики.
3.2. Основные задачи динамики.
§2. Основные понятия теоретической механики. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Пространство и время.
1.1. Абсолютное пространство.
1.2. Абсолютное время.
1.3.Связь «абсолютного пространства» и «абсолютного времени».
1.4. Единицы измерения пространства и времени.
2º. Точка отсчета и система отсчета.
2.1. Понятие радиус-вектора геометрической точки P и ее положения.
2.2. Понятие «точки отсчета» и «системы отсчета».
§3. Математические модели материальных объектов. . . . . . . . . . . . . . .
1º. Материальная точка.
2º. Понятие механической системы.
3º. Понятие неизменяемой системы.
4º. Понятие «абсолютно твердого тела».
§4. Понятия положения и движения материальных объектов. . . . . . . . . .
1º. Понятие положения материальной точки.
2º. Понятие положения механической системы и твердого тела.
3º. Понятие движения материальной точки.
4º. Понятие движения механической системы и твердого тела.
5º. Понятие «покоя» материальной точки, механической
системы и твердого тела.
§5. Понятие кинематических характеристик материальных объектов. . . . . .
1º. Скорость и ускорение материальной точки.
2º. Скорость и ускорение механической системы и твердого тела.
3º. Кинематические характеристики материальных объектов.
4º. Вопросы для тестирования к разделу «Введение»
Глава 1. Кинематика точки.
§1. Векторный и координатный способы задания движения точки. . . . . . .
1º. Векторный способ задания движения точки.
1.1. Описание векторного способа задания движения.
1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании движения.
1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения.
2º. Координатный способ задания движения точки.
2.1. Описание координатного способа задания движения.
2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе.
2.3. Связь векторного и координатного способов.
§2. Естественный способ задания движения точки. . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Понятие траектории движения.
2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.
2.1. Способы задания кривой.
2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.
-3-
Стр.
7
8
8
8
9
9
9
10
10
11
11
11
11
11
12
12
13
14
15
15
15
15
16
16
16
16
17
17
18
18
18
19
19
20
20
20
20
20
21
23
23
24
26
27
27
29
29
30
Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика.
3º. Описание естественного способа задания движения.
4º. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе
5º. Кинематический способ вычисления кривизны кривой.
§3. Круговое движение точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Координатный способ задания кругового движения.
2º. Векторный способ задания кругового движения.
3º. Естественный способ задания кругового движения точки P .
4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
§4. Задание движения точки в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . .
1º. Понятие полярной системы координат.
2º. Задание движения в полярных координатах.
3º. Скорость точки в полярных координатах.
4º. Ускорение точки в полярных координатах.
§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах. .
1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
Пример 1. Цилиндрическая система координат.
Пример 2. Сферическая система координат.
2º. Задание движения в криволинейных координатах.
3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия ортогональности.
6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями
в криволинейных координатах.
7º. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные
координаты.
8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах. . . .
§8. Примеры решения задач и вопросы/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Кинематика системы материальных точек.
§1. Связи и их классификация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Понятие связи. Способы описания связей.
2º. Кинематический способ описания связей и их классификация.
§2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями
на скорости и ускорения материальных точек. . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Ограничения, накладываемые геометрическими связями на скорости.
2º. Ограничения, накладываемые геометрическими связями на ускорения.
3º. Понятие интегрируемых связей.
§3. Линейные дифференциальные связи первого порядка и условия их
интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Линейные дифференциальные связи первого порядка и их приведение
к дифференциальным уравнениям в полных дифференциалах.
2º. Понятие уравнений в полных дифференциалах
3º. Условия интегрируемости уравнения в полных дифференциалах
в случае s  1 (одна дифференциальная связь).
4º. Условия интегрируемости линейных дифференциальных связей
в случае s >1.
5º. Понятие голономных и неголономных механических систем.
§4. Обобщенные координаты голономной системы. . . . . . . . . . . . . . . . .
-4-
34
36
37
39
40
41
41
42
44
44
45
46
46
47
47
48
49
50
51
52
56
57
60
64
70
73
75
77
83
83
86
87
87
88
90
90
90
91
92
103
106
109
Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика.
1º. Требования, накладываемые на уравнения голономных связей.
2º. Число степеней свободы положения в голономных механических
системах.
3º. Обобщенные координаты голономных механических систем.
§5. Обобщенные координаты и число степеней свободы движения
в неголономных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Условия, накладываемые на математические модели связей
в неголономных системах
2º. Обобщенные координаты в неголономной механической системе.
3º. Число степеней свободы движения механической системы.
§6. Обобщенные скорости и ускорения. Основные кинематические
соотношения Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Обобщенные скорости и ускорения и их связь со скоростями и
ускорениями точек механической системы.
2º. Кинематическая лемма Лагранжа.
3º. Ограничения, накладываемые голономными связями на обобщенные
координаты и обобщенные скорости.
4º. Ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости,
накладываемые связями в неголономных системах.
Глава 3. Кинематика твердого тела.
§1. Связанная система координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Анализ взаимного расположения точек жесткой системы при движении.
2º. Понятие связанной системы координат
§2. Способы задания движения твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Векторный способ задания движения твердого тела.
2º. Координатный способ задания движения твердого тела.
3º. Матричная и векторно-матричная формы записи задания движения тела.
§3. Матрица ориентации, ее геометрический смысл и основные свойства.
§4. Теорема Эйлера. Построение матрицы ориентации твердого тела
через углы Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Углы Эйлера. Теорема Эйлера.
2º. Схема ввода углов ориентации.
3º. Физический смысл углов Эйлера.
4º. Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации.
§5. Выражение матриц ориентации твердого тела через самолетные
и корабельные углы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Самолетные углы.
2º. Корабельные углы.
§6. Алгебраический метод построения матрицы ориентации. . . . . . . . . . .
§7. Число степеней свободы свободного твердого тела. . . . . . . . . . . . . . .
§8. Мгновенная угловая скорость твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона.
2º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы
координат.
3º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости твердого тела.
§9. Распределение скоростей в твердом теле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Формула Эйлера для скоростей точек твердого тела.
2º. Классификация движений твердого тела.
3º. Следствия из формулы Эйлера.
§10. Распределение ускорений в твердом теле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-5-
109
112
113
118
118
120
121
121
121
124
125
126
130
130
135
136
136
138
138
139
141
141
144
146
147
147
147
148
149
151
152
152
154
157
160
160
161
161
165
Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика.
§11. Поступательное движение твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§12. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. . . . . . . . . . . . . . .
1º. Структура матрицы ориентации твердого тела при его вращении
вокруг неподвижной оси.
2º. Скорости точек твердого тела.
3º. Ускорение точек твердого тела.
§13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. . . . . . . . . . . . .
1º. Мгновенная ось вращения.
2º. Подвижный и неподвижный аксоиды твердого тела.
3º. Скорости точек твердого тела при сферическом движении.
4º. Ускорения точек твердого тела при сферическом движении.
5º. Теорема Эйлера-Даламбера.
§14. Плоское движение твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Свойства плоского движения.
2º. Связь движения плоской фигуры с плоским движением твердого тела.
3º. Задание движения плоской фигуры. Кинематические характеристики.
4º. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды.
5º. Геометрические способы построения МЦС.
6º. Мгновенный центр ускорений.
§15. Примеры решения задач и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Сложное движение.
§1. Сложное движение материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Постановка задачи о сложном движении точки.
2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении
материальной точки.
§2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки. . . . .
1º. Понятие кинематических характеристик составляющих движений
материальной точки.
2º. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях на подвижные оси.
3º. Теорема о сложении скоростей.
4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении точки.
§3. Сложное движение твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Постановка задачи о сложном движении твердого тела.
2º. Связь абсолютного движения твердого тела с его составляющими
движениями.
3º. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела в переносном
и относительном движениях.
4º. Скорости точек твердого тела в сложном движении.
4.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении.
4.2. Теорема о сложении угловых скоростей.
§4. Кинематические уравнения Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1º. Связь углов Эйлера и их производных.
2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.
§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона. . . . . . . . . . . . . .
1º. Задача Дарбу.
2º. Кинематические уравнения Пуассона.
3º. Решение задачи Дарбу.
§6. Примеры решения задач и вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы.
-6-
167
169
169
172
173
173
173
174
176
177
178
178
178
181
182
184
187
189
190
198
198
201
202
202
204
204
205
206
206
208
209
212
212
213
213
213
215
216
216
217
219
221
225
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие основано на курсе лекций по теоретической механике, прочитанных студентам факультета прикладной математики – процессов
управления Санкт-Петербургского государственного университета в течение многих
лет. Особенностью этого курса является изложение теоретической механики как типично прикладной науки, на примере которой демонстрируются все основные «инструменты» таких фундаментальных дисциплин как математический анализ, геометрия,
высшая алгебра, дифференциальное исчисление. В связи с этим, наряду с понятиями и
задачами механики, курс охватывает широкий спектр вопросов из перечисленных дисциплин, позволяющих эти вопросы решать. Подобное изложение облегчает восприятие
излагаемого материала, так как его изучение требует минимума дополнительной литературы.
Годовой курс лекций по теоретической механике разбит на два основных раздела, которые представлены отдельными книгами: «Часть 1. Кинематика» и «Часть 2.
Динамика».
Информация разделена по тематике (главы, параграфы, разделы), которая определяет тройную нумерацию формул и рисунков (номер главы и параграфа, а затем номер формулы или рисунка).
Раздел «Кинематика» охватывает основные понятия кинематики точки, системы
материальных точек и твердого тела. Рассматриваются различные способы описания
движения материальной точки, твердого тела для простейших случаев и сложное движение механической системы. Содержатся традиционные разделы и задачи классической механики, а также новые методические подходы к изложению материала.
Раздел «Динамика» состоит из шести глав. В первой из них излагаются основные понятия и аксиомы динамики. Во второй главе рассматриваются уравнения аналитической динамики в декартовых и обобщенных координатах. Третья глава описывает
геометрию масс. Следующие главы посвящены основным динамическим характеристикам движения. Здесь излагаются их свойства и основные теоремы об изменении. Глава
шестая, которая подготовлена В.С. Королевым, содержит основы космической динамики и механической системы переменной массы.
Основное содержание пособия написано по своим лекциям В.С. Ермолиным.
Учебное пособие содержит много примеров, а также дополнено вариантами задач с подробным описанием возможных способов их решения, что позволяет закрепить полученные теоретические знания и делает их более полными. Для лучшего усвоения в конце каждой главы приведены тестовые вопросы для самоконтроля, акцентирующие внимание на основных моментах изучаемого материала. Примеры решения задач и вопросы подготовлены И.Ю. Потоцкой.
Авторы выражают искреннюю признательность и глубокую благодарность за
большую работу при подготовке электронной версии курса лекций, которую выполнили преподаватели и сотрудники факультета ПМ-ПУ СПбГУ Э.В. Демьянова, В.В. Еремеев, Г.А. Ермолина, Е.Б. Погребняк, А.А. Федорова под редакцией В.С.Королева.
Пособие рекомендуется студентам и аспирантам математических и механикоматематических специальностей университетов.
-7-
ВВЕДЕНИЕ
§1. Предмет курса теоретической механики
Механика – это наука о движении материальных объектов и их взаимодействии
между собой и окружающим миром при таком движении. Как наука она зародилась в
IV веке до новой эры в трудах Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.) и развивалась вплоть до
первого века в трудах Доне, Евклида, Архимеда, Герона, Гипарха, Птолемея.
Дальнейшее развитие она получила в эпоху возрождения (в 15 -16 веках) в трудах Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.), Николая Коперника (1473-1543г.г.), в 16-17 веках в трудах Симона Стевина (1548-1620г.г.), Галилео Галилея (1564-1642г.г.),
Иоганна Кеплера (1571-1630г.г.); в 17-ом, 18-ом и в начале 19-го веков в трудах Христиана Гюйгенса (1629-1695г.г.), Исаака Ньютона (1643-1727г.г.), Готфрида Лейбница
(1646-1716г.г.), Иоганна Бернулли (1667-1748г.г.), Леонарда Эйлера (1707-1783г.г.),
Жана Даламбера (1717-1783г.г.), Жозефа Лагранжа (1736-1813г.г.).
Трудами этих ученых было завершено построение основ современной классической механики, положено начало анализу бесконечно малых. Разработан курс механики, который излагался строго аналитическим методом на основе общего математического начала и анализа бесконечно малых (без чертежей). Этот курс получил название
«аналитическая механика».
Дальнейшее развитие аналитической механики связано с трудами Пьера Лапласа
(1749-1827г.г.), Жана Батиста Фурье (1768-1830г.г.), Карла Гаусса (1777-1855г.г.), Симеона Пуассона (1781-1840г.г.), М.В.Остроградского (1801-1861г.г.), Карла Якоби
(1804-1851г.г.), Уильяма Гамильтона (1805-1887г.г.), Германа Гельмгольца (18211894г.г.), П.Л.Чебышева (1821-1894г.г.), Н.В.Маевского (1823-1892г.г.), Густава Кирхгофа (1824-1887г.г.), Н.П.Петрова (1836-1920г.г.), С.В.Ковалевской (18501891г.г.),
Генриха Герца
(1857-1894г.г.),
Н.Е.Жуковского
(1857-1918г.г.),
А.М.Ляпунова (1857-1918г.г.), К.Э.Циолковского (1857-1935г.г.), И.В.Мещерского
(1859-1935г.г.), А.Н.Крылова (1863-1945г.г.), С.А.Чаплыгина (1869-1942г.г.), Альберта Эйнштейна (1879-1955г.г.).
В 20-м веке и в настоящее время решением проблем механики и прежде всего
проблем механики управляемого движения занимались коллективы ученых из многих
стран мира благодаря развитию промышленности и использованию робототехники, появлению космических исследований и вычислительных машин.
Как наука о движении она подразделяется:
– на физическую (наблюдательную, экспериментальную) механику;
– на теоретическую (классическую) механику.
1º. Основные задачи физической механики
Такими задачами являются следующие:
– вывести и описать закономерности механических явлений;
– установить природу механических движений и причины (силы), по которым
возникают механические движения;
– установить природу сил и законы их изменения;
– установить связь свойств материальных объектов (их характеристик) с механическими движениями и силами, которые вызывают эти движения;
– установить общие законы, по которым совершаются движения.
-8-
Примечания.
1. Закон движения – это индуктивное заключение о природе движения, основанное на достаточно большом числе согласующихся между собой опытных фактов. Закон
движения (его формулировка) содержит описание одного или нескольких свойств механических движений, которые справедливы с той или иной точностью.
2. Законом изменения силы называется зависимость силы от свойств материальной среды, в которой происходит движение материального объекта, от характеристик
движения и параметров объекта, совершающего движение.
2º. Основа и средства теоретической механики
Теоретическая механика - это наука о математических моделях механических
движений материальных объектов. Она является математической дисциплиной.
Основой (базой) для создания и развития математической теории механических
движений, которая в ней излагается, как и во всякой другой математической дисциплине, являются:
– аксиомы, постулаты, определения; аксиомами служат законы механических
движений и законы изменения сил, установленные в физической механике;
– математические модели материальных (физических) объектов, теория механических движений которых разрабатывается.
В теоретической механике строятся теории механических движений не реальных
(физически существующих или создаваемых человеком) материальных объектов, а
движений некоторых «идеальных» («идеализированных», обладающих ограниченным
количеством характеристик, существенных для практики) материальных объектов.
Причем учитываются такие характеристики, по которым можно судить о характере
движения реальных механических объектов в определенных условиях с той или иной
точностью. Иначе говоря, теоретическая механика – это математическая наука о механических движениях математических моделей материальных объектов.
Средствами для построения и развития теоретической механики служат:
– математический аппарат, развитый в смежных математических дисциплинах;
– специальный математический аппарат, разрабатываемый самой теоретической
механикой и отсутствующий в смежных математических дисциплинах.
3º. Основные задачи теоретической механики
Теоретическая механика методически традиционно делится на три основные части: кинематику, статику и динамику.
3.1. Основные задачи кинематики и статики
Основными задачами кинематики являются:
– разработка способов задания и описания механических движений материальных
объектов;
– разработка способов вычисления кинематических характеристик движения (положения, скорости, ускорения материальных объектов).
Основными задачами статики являются:
– определение условий, при которых механические системы остаются в покое;
– построение математических моделей, описывающих равновесие механических
систем, и разработка методов анализа таких моделей;
-9-
– построение способов эквивалентных преобразований систем сил, обеспечивающих равновесие материальных объектов.
3.2. Основные задачи динамики
Эти задачи были сформулированы еще Исааком Ньютоном в трактате «Математические начала натуральной философии», первое издание которого вышло в 1687 году. В этом трактате даны основные исходные положения теории, которую теперь называют классической механикой. Поскольку у истоков этой теории стоял Галилео Галилей, то классическую механику принято называть механикой Ньютона-Галилея.
В указанном трактате определены две основные задачи.
Первая задачи динамики – по заданному движению определить силы, которые
создают это движение, т.е. являются причинами его существования.
Вторая задача динамики – по заданным силам определить движение материального объекта.
Для решения этих задач в разделе динамика разрабатываются:
– методы построения математических моделей движения механических объектов в
тесной связи с причинами (силами), которые эти движения создают;
– математические методы исследования и изучения свойств механических движений построенных математических моделей.
В 20-м веке в связи с потребностями практики широкое развитие получили
направления исследований, нацеленные на построение управляемых механических систем. Решения проблем, связанных с построением управлений такими системами, послужили основой для создания новой научной дисциплины под названием «Механика
управляемого движения», а затем дисциплины «Математическая теория управления».
Основной проблемой механики управляемого движения является построение
сил (управлений), обеспечивающих существование механических движений материальных объектов (а точнее, математических моделей таких объектов) с наперед заданными свойствами, и управлений, которые позволяют реализовывать такие движения.
Для достижения поставленной цели в механике управляемого движения строится аналитическая теория, и разрабатываются математические методы для решения следующих задач:
– построение программных движений и управлений;
– разработка аналитических и качественных методов исследования устойчивости
механических движений;
– разработка методов для решения задач наблюдения и определения элементов
движения;
– решение проблем идентификации;
– построение законов управления для решения задач стабилизации программных
движений и положений равновесия;
– построение оптимальных движений и оптимальных управлений (программных и
синтезирующих).
§2. Основные понятия теоретической механики
Как и всякая наука, классическая механика в своих началах опирается на первичные категории, которые вводятся и объясняются через описание их свойств. Такими
категориями в механике являются понятия «абсолютное пространство», «абсолютное
время», «точка отсчета», «система отсчета».
- 10 -
1º. Пространство и время
Исходно в механике постулируется: «Все изменения материальных объектов реального мира происходят в пространстве и во времени».
В классической механике постулируется также существование «абсолютного
пространства» и «абсолютного времени».
1.1. Абсолютное пространство.
Абсолютное пространство — это трехмерное, однородное, изотропное евклидово пространство.
Данное утверждение означает, что абсолютное пространство обладает следующими свойствами:
1) оно имеет три независимых линейных измерения, это независимые измерения в
трех линейно независимых направлениях;
2) пространство не зависит от движения и изменения материи в нем («однородность»); оно имеет одинаковые свойства для всех материальных объектов (независимо от их природы);
3) изменение свойств движений материальных объектов во всех направлениях
одинаковое («изотропность»);
4) в пространстве действует геометрия Евклида.
1.2. Абсолютное время
Абсолютное время – это:
- непрерывно изменяющаяся величина;
- изменение ее происходит от «прошлого» к «будущему»;
- однородная величина (в том смысле, что она не зависит от движения и изменения материи и одинакова во всех точках пространства).
1.3. Связь «абсолютного пространства» и «абсолютного времени»
В классической механике постулируется, что абсолютное пространство и абсолютное время никак не связаны друг с другом (в отличие от модели пространства и
времени в общей теории относительности, где эти понятия взаимозависимы).
1.4. Единицы измерения пространства и времени
Единица длины в пространстве – это 1 метр (м) (эталон находится в Париже в
«Палате мер и весов»).
Единица времени – 1 секунда (с.). Она является составной частью суток.
1с.=1/86400 [суток],
где [сутки] – это средние солнечные сутки, определяемые астрономическими наблюдениями и являющиеся составной частью тропического года.
Средние солнечные сутки вычисляются через тропический год по формуле:
1[сутки]=1/365,2422 [тропический год].
Тропический год определяется по астрономическим наблюдениям как период
времени между двумя последовательными прохождениями точки «Весны» центром
солнечного диска на Гринвичском меридиане.
Однако из-за неравномерности вращения Земли вокруг своей оси и нутационных
колебаний этой оси изменяется длительность тропического года. Это влечет за собой
изменение эталона времени (секунды).
- 11 -
В 1967 году решением XIII Генеральной конференции мер и весов за единицу
времени в порядке эксперимента была принята атомная секунда, которая применялась
при расчетах некоторых астрономических параметров.
При введении этой единицы измерения времени использовался периодический
процесс колебаний излучения атома цезия и период этих колебаний как составная часть
длительности одной секунды.
Шкала атомного времени строилась с применением высокостабильных молекулярных и атомных эталонов частоты для регулировки кварцевых часов. Она отличалась
почти совершенной равномерностью и не зависела от вращения Земли. Эта шкала
атомного времени формировалась на основе применения нескольких атомных часов.
Эксперимент показал, что она может считаться равномерной с точностью до 10 11 секунды, тогда как единица времени, определяемая по гелиоцентрическому движению
Земли, точна до  2  10  9 секунды.
Одна атомная секунда по этой шкале соответствует продолжительности
9 млрд 192 млн 631 тыс 770 периодов колебаний излучения атома цезия-133. Поэтому с
2002 года атомная секунда была принята как единица времени в Международной системе единиц СИ.
Время обозначается буквой t. Область его значений определяется следующим
образом.
Фиксируется некоторое событие как начало отсчета времени t, т.е. момент времени t0, когда это событие произошло, считается равным нулю t0=0. Всем событиям,
произошедшим до фиксированного, присваивается отрицательное значение времени t
(они произошли «в прошлом»), а всем событиям, которые будут происходить после
фиксированного, присваивается положительное значение времени t. При этом по величине время t будет равно длине промежутка времени от фиксированного события до
того события, которое произошло или будет происходить. Поэтому принято считать,
что время t может принимать любое значение из промежутка (   ,   ).
2º. Точка отсчета и система отсчета
2.1. Понятие радиус-вектора геометрической точки P и ее положения
Прежде, чем дать понятие точки отсчета и системы отсчета, напомним некоторые определения из геометрии евклидова пространства. Фиксируем в пространстве две
геометрические точки — точку A и точку B (см. рис.0.2.1).
Определение 1.
Вектором называется направленный отрезок, соединяющий две заданные точки
(точку A и точку B ), в котором одна точка (например, точка A ) определяется как
начальная, а другая точка (точка B ) называется конечной. Направление отрезка
определяется от начала (от точки A ) к концу (к точке B ) отрезка. Это направление
геометрически обозначается стрелкой, острием направленной к концу (к точке B ).
Длиной вектора называется длина отрезка AB .
B
AB
A

a
O
Рис. 0.2.1

r
Рис. 0.2.2
- 12 -
P
Вектор обозначается символами AB или одной буквой со стрелкой (напри
мер, a ), при этом подразумевается, что

a  AB .
Пусть в пространстве заданы точка O и точка P (см. рис.0.2.2).
Определение 2.
Радиус-вектором точки P относительно точки O называется вектор

r  OP ,
т.е. вектор, в котором точка P является концом, а точка O - началом.
Определение 3.
Положением точки P относительно точки O называется радиус-вектор точки P относительно точки O .
2.2. Понятие «точки отсчета» и «системы отсчета»
Определение 4.
Точкой отсчета называется геометрическая точка, фиксированная в пространстве, относительно которой рассматриваются положения всех других точек
пространства или какого-либо множества точек из этого пространства.
Определение 5.
Системой отсчета называется фиксированная декартовая прямоугольная система координат (ДПСК) с началом в точке отсчета O .
Систему отсчета будем обозначать

Oi j k
или Oxyz , где O — точка отсчета,
  
или иначе, полюс декартовой прямоугольной системы координат; i , j , k — базис
ДПСК (единичные взаимно-ортогональные векторы); x, y, z — координатные оси системы отсчета.
z
P1
P2

r1


k
r2

j
O
y

i
x
Рис. 0.2.3

На рис.0.2.3 в качестве примера изображена система отсчета O i j k , и в ней —
 
положения r1 и r2 точек P1 и P2 .
Иногда вместо ДПСК в качестве системы отсчета бывает удобнее использовать
аффинную систему координат (см. рис.0.2.4). В таких случаях этот выбор оговаривается особо. Однако при любом выборе аффинной системы ее начало совпадает с задан  
ной точкой отсчета O . При этом указывается базис e1 , e2 , e3 вместе с матрицей метрических коэффициентов G размерности [3  3] . Матрица G — симметричная. Ее эле-
- 13 -
менты g ij , i, j  1,2,3 , называются метрическими коэффициентами. Они связаны с ба  
зисными векторами e1 , e2 , e3 соотношениями
 
(0.2.1)
gij  (ei , e j ) ,
i, j  1,2,3 .
Геометрический смысл метрических коэффициентов легко устанавливается, исходя из понятия скалярного произведения векторов. Можем (0.2.1) переписать в виде
 
gij  | ei || e j | cos ij ,




где  ij — угол между векторами ei и e j , а | ei | и | e j | — их длины. Следовательно,

g ii  | ei | 2 ,
cos  ij 
gij
g ii g jj
.
Отсюда заключаем, что диагональные элементы метрической матрицы задают
квадраты длин базисных векторов, а по остальным элементам определяются углы между базисными векторами.
В частности, если все базисные векторы — единичные (по диагонали матрицы
G стоят единицы), то такая аффинная система координат называется косоугольной.
P1

r1

e3
O

e1
q ( 3)

e2

r2
P2
q ( 2)
q (1)
Рис. 0.2.4
  
На рис.0.2.4 изображена система отсчета O e1 e2 e3 , в которой указаны положения


r1 и r2 точек P1 и P2 ; O — точка отсчета (полюс аффинной системы координат
  
O q (1) q ( 2) q (3) ); e1 , e2 , e3 — базис аффинной системы координат; q (1) , q ( 2) , q (3) — ее координатные оси.
§3. Математические модели материальных объектов
В основе теории механических движений в классической механике лежат следующие математические модели реальных материальных объектов:
– материальная точка;
– система материальных точек (механическая система);
– абсолютно твердое тело (неизменяемая механическая система);
– система материальных точек и твердых тел (произвольная механическая система);
– деформируемые тела, жидкие и газообразные среды.
Замечание.
В предлагаемом здесь курсе теоретической механики деформируемые тела,
жидкие и газообразные среды не рассматриваются.
Дадим определения каждой из рассматриваемых моделей.
- 14 -
1º. Материальная точка
Определение 1.
Материальная точка – это часть материи, достаточно малая для того, чтобы в любой момент времени t можно было определить ее положение в абсолютном
пространстве как положение объекта, не имеющего геометрических размеров, т.е.
объекта, являющегося геометрической точкой.
По-другому материальную точку можно трактовать как геометрическую точку,
наделенную совокупностью параметров.
Эти параметры связывают материальный объект, сосредоточенный в момент
времени t в данной геометрической точке, с причинами (сила ми), создающими его механическое движение. Такими параметрами могут служить масса, величина заряда,
жесткость пружины, коэффициент вязкого трения и т.п.
2º. Понятие механической системы
Определение 2.
Любая совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных
между собой по каким-либо правилам, называется механической системой или, иначе,
системой материальных точек.
При этом учитываются только такие взаимные связи и правила, которые оказывают влияние на движение точек.
3º. Понятие неизменяемой системы
Определение 3.
Неизменяемой (жесткой) механической системой называется такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками ее остаются постоянными на любых движениях этой системы.
4º. Понятие «абсолютно твердого тела»
Определение 4.
Неизменяемая механическая система, состоящая из континуума материальных
точек, называется абсолютно твердым телом (или просто — твердым телом).
Из определения следует, что твердое тело представляет собой жесткую механическую систему, состоящую из несчетного множества материальных точек.
Примечание.
В евклидовом пространстве континуумом называется связное, замкнутое, ограниченное множество, всюду плотное в себе.
Исходя из этих понятий, под континуумом материальных точек в определении 4
понимается совокупность материальных точек, состоящая из несчетного их множества,
причем геометрическим образом этой совокупности в евклидовом пространстве в любой момент времени t является ограниченное, замкнутое, связное множество, всюду
плотное в себе.
Под всюду плотным в себе множеством G точек евклидова пространства понимается множество, которое обладает следующим свойством. Любая фиксированная
точка из G в любой сколь угодно малой окрестности содержит точки множества G ,
отличные от фиксированной.
- 15 -
§4. Понятия положения и движения материальных объектов
1º. Понятие положения материальной точки
Определение 1.
Положением материальной точки в момент времени t относительно точки
отсчета O называется радиус-вектор той геометрической точки пространства, с
которой в данный момент времени t совпадает материальная точка.
2º. Понятие положения механической системы и твердого тела
Определение 2.
Положением механической системы в момент времени t относительно точки
отсчета O называется совокупность положений относительно точки O в этот момент времени t всех материальных точек, входящих в состав данной системы.
Таким образом, если механическая система состоит из N материальных точек

P , и r – это положение в момент времени t точки P ,   1, N , входящей в ее состав,


то положение механической системы в момент t - это совокупность векторов r1 ,..., rN .
 


Положение механической системы будем обозначать r  (r1 , ..., rN )  {r } 1. N .
Определение 3.
Положением твердого тела в момент времени t относительно точки отсчета O называется совокупность положений в этот момент времени t всех его точек
относительно точки O .
Из определения 3 следует, что в любой момент времени положение твердого тела представляется множеством векторов, состоящим из положений всех его точек относительно точки отсчета O , которые они занимают в этот момент. Таким образом, каждый элемент множества является радиус-вектором одной из точек твердого тела. Поскольку твердое тело содержит бесчисленное множество точек, то способы задания его
положения отличаются от способов, которыми определяется положение механической
системы, состоящей из конечного числа материальных точек.
В кинематике твердого тела показывается (см. главу 3 раздела «Кинематика»),
что положение тела относительно точки отсчета O определяется по положению одной
из его точек, фиксированной в теле, по положениям остальных точек тела относительно
этой фиксированной точки и по угловым параметрам ориентации или по матрице ориентации тела относительно абсолютного пространства.
3º. Понятие движения материальной точки

Под движением материальной точки понимается вектор-функция r (t ) , по кото 
рой каждому моменту времени t ставится в соответствие положение r = r (t ) материальной точки относительно точки отсчета O .
При этом в механике, как правило, рассматриваются только такие вектор
функции r (t ) (законы), которые имеют непрерывные вторые производные по t . А потому дадим следующее определение движения материальной точки.
Определение 4.
Движением материальной точки называется дважды непрерывно дифференци
руемая на промежутке времени J  R1 вектор-функция r (t ) , которая в каждый мо-
- 16 -
 
мент времени t  J задает положение r = r (t ) материальной точки относительно
выбранной точки отсчета O .
Примечание.
Как отмечалось в §2 п.1º, время t может принимать любые вещественные значения из промежутка (,  ) . Множество вещественных чисел в дальнейшем будем
обозначать R1 . Промежуток времени из R1 (отрезок; открытый или полуоткрытый интервал; конечный, бесконечный или полубесконечный интервал) обозначаем J в тех
случаях, когда нет необходимости в указании граничных точек этого промежутка. В
противном случае, если представляет интерес начальная и конечная точки задаваемого
промежутка, то вместо J обозначаем его  t0 ,t1  , где t 0 — начальная точка, t1 — конечная точка. При этом сам промежуток обозначается  t0 ,t1  , если безразлично, будет
ли он отрезком, интервалом или полуинтервалом. Для отрезка, интервала и полуинтервала будем применять стандартные обозначения [ t0 , t1 ] , (t0 , t1 ) , [ t0 , t1 ) и (t0 , t1 ] , соответственно.
4º. Понятие движения механической системы и твердого тела
Определение 5.
Движением механической системы, состоящей из N материальных точек,
называется совокупность дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций

r (t ) ,   1, N , задающих движения на промежутке времени J  R1 всех материальных
точек, входящих в состав этой системы.
Аналогично, понятие движения твердого тела дается следующим определением.
Определение 6.
Движением твердого тела на промежутке времени J  R1 называется совокупность дважды непрерывно дифференцируемых при всех t  J вектор-функций, задающих движение всех его точек.
5º. Понятие «покоя» материальной точки, механической
системы и твердого тела
Покой — это одно из движений материальной точки. Дадим его определение.
Определение 7.

Движение r (t ) материальной точки называется покоем на заданном промежутке времени J  R1 , если на этом движении точка сохраняет свое положение
неизменным на всем промежутке времени J . Иначе говоря, выполняется равенство


r (t )  r0  const при  t  J ,


где r (t ) – движение материальной точки, r0 – постоянный вектор.
По аналогии с определениями 5, 6 и 7 даются понятия покоя механической системы и твердого тела.
Определение 8.
Механическая система находится в покое на заданном промежутке времени,
если все точки, входящие в ее состав, находятся в покое на этом промежутке.
Определение 9.
Твердое тело находится в покое на заданном промежутке времени, если все его
точки находятся в покое на этом промежутке.
- 17 -
§5. Понятие кинематических характеристик материальных объектов
1º. Скорость и ускорение материальной точки
Определение 1.
Мгновенной скоростью (скоростью) материальной точки в момент времени t
называется производная по времени от ее движения, вычисленная для этого момента
времени.


Скорость, как правило, обозначается V . Таким образом, если r (t ) – движение
материальной точки, то


dr
.
(0.5.1)
V (t ) 
dt

где V (t ) — скорость материальной точки в момент времени t .
Замечание.
В механике дифференцирование по времени t принято обозначать точкой над
функцией, от которой вычисляется производная. Согласно этому замечанию, равенство (0.5.1) принимает вид


V (t )  r (t ) .
Определение 2.
Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t
называется производная от вектора скорости.

Ускорение точки, как правило, обозначается W (t ) . Так что с учетом (0.5.1) и замечания к определению 1 можем записать



W (t ) = V (t )  r(t ) .
2º. Скорость и ускорение механической системы и твердого тела
Определение 3.
Мгновенной скоростью (мгновенным ускорением) механической системы в момент времени t называется совокупность векторов, являющихся скоростями (ускорениями) в этот момент всех материальных точек, входящих в систему.


Из определения 3 следует, что скорость V (t ) и ускорение W (t ) механической


системы — это совокупности, соответственно, векторов V (t ) и W (t ) :








W (t )  (W1 (t ), ...,WN (t ))  {W (t )} 1,N .
V (t )  (V1 (t ), ...,VN (t ))  {V (t )} 1,N

Здесь V (t ) — скорость механической системы в момент времени t ,

W (t ) — ускорение механической системы в момент времени t ,
N — количество точек в системе,


V (t ) и W (t ) — скорость и ускорение в момент времени t точки P , входящей
в состав механической системы;   1, N .
По аналогии с понятиями скорости и ускорения механической системы определяются скорость и ускорение твердого тела.
Определение 4.
Мгновенной скоростью (мгновенным ускорением) твердого тела в момент времени t называется совокупность мгновенных скоростей (мгновенных ускорений) всех
его точек в этот момент.
- 18 -
Как показывается в кинематике твердого тела (см. главу 3 раздела «Кинематика»), скорость тела может быть вычислена по мгновенной скорости фиксированной в
нем точки, по положениям всех остальных его точек относительно фиксированной, по
матрице ориентации или угловым параметрам ориентации и по вектору, названному
мгновенной угловой скоростью твердого тела.
Аналогично, ускорение твердого тела может быть определено по ускорению
фиксированной точки тела, по положениям всех остальных его точек относительно
фиксированной, по его матрице ориентации или угловым параметрам ориентации, по
мгновенной угловой скорости твердого тела и по вектору, названному мгновенным угловым ускорением твердого тела.
3º. Кинематические характеристики материальных объектов
Определение 5.
Кинематическими характеристиками материальной точки называются ее положение, скорость и ускорение в момент времени t .
Определение 6.
Кинематическими характеристиками механической системы называются положение, скорость и ускорение в момент времени t всех ее материальных точек.
Определение 7.
Кинематическими характеристиками твердого тела называются положение в
абсолютном пространстве одной из точек, фиксированной в твердом теле, положения всех остальных его точек относительно фиксированной, скорость и ускорение
фиксированной точки, угловые параметры ориентации или матрица ориентации тела,
мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение твердого тела.
4º. Вопросы для тестирования к разделу «Введение»
Основные задачи механики.
Понятия материальной точки.
Понятие твердого тела.
Понятие механической системы.
Что такое система отсчета.
Что такое аффинные системы координат.
Что называют декартовой прямоугольной системы координат.
Определения положения, движения, покоя материальной точки и механической
системы.
9. Что называют скоростью и ускорением механической системы.
10. Что такое кинематические характеристики материальных объектов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
- 19 -
ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§1. Векторный и координатный способы задания движения точки
Как отмечалось во введении, кинематика решает задачу построения способов задания и описания движений и способов вычисления их кинематических характеристик.
Решение данной задачи не связывается с причинами, по которым возникают движения.
А потому в кинематике не делается различий между материальной и геометрической
точкой. При этом, как было отмечено в п.1º §4 Введения, под положением материальной точки относительно заданной точки отсчета в фиксированный момент времени t
понимается положение той геометрической точки в евклидовом пространстве, с которой материальная точка совпадает в указанный момент времени.
Движением материальной точки, согласно определению 3 из п.3º (§4 Введения),

называется дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция r (t ) , значения которой в каждый момент времени t соответствует положению материальной точки в
этот момент..
1º. Векторный способ задания движения точки
1.1. Описание векторного способа задания движения
Из определения 3 (п.3º §4 Введения) вытекает, что для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:
1) выбрать точку отсчета (обозначим ее O ),

2) задать вектор-функцию r (t ) на том промежутке времени J , где хотим знать о
движении, причем вектор-функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по t при всех t  J ,
3) задать положение точки в момент времени t относительно точки отсчета равенством
 
r  r (t ) ,
(1.1.1)

где r  OP — радиус-вектор той геометрической точки абсолютного пространства, с
которой в момент времени t по своему положению совпадает материальная точка P .
Таким образом, на равенство (1.1.1) можем смотреть, как на способ задания
движения материальной точки. Такой способ называется векторным заданием движения точки.
1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании движения
Из (1.1.1) согласно определениям скорости и ускорения вытекает, что скорость

и ускорение точки при известном ее движении r (t ) вычисляются по формулам


dr
V (t ) 
,
dt 




d 2 r (t ) dV (t )
W (t ) 

.
dt
dt 2
(1.1.2)
Заметим, что векторы V (t ) и W (t ) , задаваемые формулами (1.1.2), имеют своим

началом геометрическую точку P , которая служит концом радиус-вектора r , устанавливающего положение материальной точки в момент времени t .
- 20 -
1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения
Соотношение (1.1.1) — это векторный способ задания движения, позволяющий
определить положение точки P в любой момент времени t .
Соотношение (1.1.2) — это способ вычисления недостающих кинематических
характеристик в этот момент (скорости и ускорения материальной точки) по заданному
движению.
Однако движение может быть определено и в том случае, когда задана скорость
или ускорение материальной точки.

Действительно, если в любой момент времени t задана скорость V (t ) , то имеем

dr 
(1.1.3)
 V (t ) .
dt


Справа стоит известная вектор-функция V (t ) . Слева — вектор-функция r (t ) ,
определяющая движение точки, является неизвестной.
На формулу (1.1.3) можем смотреть, как на уравнение для определения движе

ния. Из него следует, что r (t ) является первообразной для функции V (t ) , а потому
 


(1.1.4)
r (t )   V ( ) d  C  F (t )  C .


Здесь C — некоторый постоянный вектор, а F (t ) =  V ( ) d — первообразная

функция вектор-функции V (t ) .
Соотношение (1.1.4) задает семейство движений, каждое из которых имеет в

любой момент времени t заданную скорость V (t ) .
Чтобы из формулы (1.1.4) выделить конкретное движение, проходящее через за
данную геометрическую точку с радиус-вектором r0 при t  t0  J , надо положить


в (1.1.4) слева t  t 0 и r (t 0 ) = r0 . Тогда получим

 
r0  F (t0 )  C ,


где F (t 0 ) — значение первообразной F (t ) =  V ( ) d в момент t  t 0 .

Выразив отсюда C , получим

  
r  r0  F (t )  F (t0 )
t 


Поскольку F (t ) - F (t 0 ) =  V ( ) d — это определенный интеграл от векторной функции
t
0

V (t ) , то можем записать
t 
 

r  r (t )  r0   V ( ) d .
(1.1.5)
t0
Формула (1.1.5) — это векторная форма определения движения точки при зада
нии ее скорости V (t ) как функции времени. Чтобы однозначно определить по скоро

сти V (t ) движение точки P , необходимо, кроме скорости V (t ) , дополнительно указать
положение, которое точка может занимать в фиксированный момент времени t0 .

Пусть теперь известно ускорение W (t ) в любой момент времени t . Тогда движение будет связано с ним следующим соотношением:
- 21 -


d 2r
 W (t ) .
(1.1.6)
2
dt


Если учесть, что скорость V (t ) связана с ускорением W (t ) (по определению) соотношением

dV
(1.1.7)
 W (t ) ,
dt


то из (1.1.7) мы можем определить скорость V (t ) по известному вектору W (t ) . Для
 
 
этого воспользуемся формулой (1.1.5), в которой r , r (t ) , r0 , V ( ) заменим соответ 

 
ственно на V , V (t ) , V0 , W ( ) ; где V0 обозначает вектор скорости, которую имеет ма-
териальная точка в момент времени t  t 0 . Получим
 
 t 
V  V (t )  V0   W ( ) d .
(1.1.8)
t0


Учитывая связь (1.1.3) скорости V (t ) с движением r (t ) , подставим найденную


функцию V (t ) в (1.1.5). Тогда найдем вектор-функцию r (t ) , задающую такое движение
материальной точки, которое имеет ускорение, совпадающее в каждый момент времени

t с заданным ускорением W (t ) :
t 1 
 
 
r  r (t )  r0  V0 (t  t0 )    W ( ) d d 1 .
(1.1.9)
t0 t0
На этом движении материальная точка в момент времени t 0 проходит через по

ложение r0 и имеет в нем скорость V0 . Из (1.1.9) следует, что для однозначного постро
ения движения материальной точки по заданному ускорению W (t ) требуется знать не


только положение r0 в момент t  t 0 , но и скорость V0 .
Примечание.

Если известна скорость V (t ) , то, как следует из сказанного, движение определяется из уравнения (1.1.3) посредством вычисления интеграла от вектора скорости. В
уравнение (1.1.3) движение входит через свою производную по времени.
Равенство, в которое входят производные от неизвестной функции, зависящей от
одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядком уравнения называют наивысший порядок производной от неизвестной
функции, с которым эта функция входит в данное уравнение. Сама функция может
входить или не входить в него.
Как видим, уравнение (1.1.3) является дифференциальным уравнением первого

порядка относительно вектор-функции r (t ) , а уравнение (1.1.6) — дифференциальным
уравнением второго порядка.
Функция, дифференцируемая в количестве раз, совпадающем с порядком дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество относительно
независимой переменной, называется решением данного дифференциального уравнения.

Согласно данному определению, вектор-функция r (t ) , задаваемая формулами
(1.1.5) и (1.1.9), является решением уравнения (1.1.3) и (1.1.6), соответственно.
Таким образом, если движение точки задается скоростью или ускорением, то
оно строится как решение векторного обыкновенного дифференциального уравнения.
- 22 -
В таких случаях дифференциальное уравнение, решением которого является закон движения материальной точки, называется математической моделью ее движения.
2º. Координатный способ задания движения точки
2.1. Описание координатного способа задания движения
Зафиксируем в пространстве точку отсчета O и систему отсчета. Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то, как
  
 
отмечено во Введении, она будет обозначаться Oi j k или Oxyz , где i , j , k — базис, а
x , y , z — координаты точек в ней.
Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то
 
  
будем обозначать ее Oe1e2e3 или Oq(1) q ( 2) q (3) , где e1 , e2 , e3 — базис, а q (1) , q ( 2) , q (3) —
координаты точек. При выборе аффинной системы считается известной (задается) так 
же матрица метрических коэффициентов G  gij i , j 1, 2,3 , где g ij = (ei , e j ) , i, j  1,2,3 .
Напомним определения из векторной алгебры.
Определение 1.

Координатами вектора a в заданной системе отсчета называются коэффици
енты в разложении вектора a по базисным векторам.
Из определения следует, что если обозначить a x , a y , a z — координаты вектора


a в декартовой системе Oxyz , а a (1) , a ( 2) , a (3) — координаты этого же вектора a в аффинной системе Oq(1) q ( 2) q (3) , то можем записать








a = ax i  a y j  az k ,
a = a (1) e1  a ( 2) e2  a (3) e3 .
Определение 2.

Координаты радиус-вектора r  OP точки P относительно точки отсчета
O в заданной системе отсчета называются координатами этой точки P в указанной
системе отсчета.
Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в си 
 
стемах отсчета Oi j k и Oe1e2e3 можем записать




r = xi  y j  z k ,
(1.1.10)




r  q (1) e1  q ( 2) e2  q (3)e3 .
(1.1.11)
Если задать в каждый момент времени t  J координаты x , y , z точки P в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t ) , y (t ) , z (t ) , то будем иметь
x  x(t ) ,
z  z (t ) .
y  y(t ) ,
(1.1.12)
Тогда, подставляя (1.1.12) в (1.1.10), получим
 



r = x(t ) i  y(t ) j  z (t ) k = r (t ) .
(1.1.13)
Соотношение (1.1.13) позволяет определить положение точки P в любой момент t из промежутка времени, где заданы правые части равенств (1.1.12). Причем, поскольку функции x(t ) , y (t ) , z (t ) дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор
функция r (t ) , связанная с ними равенством (1.1.13), будет также дважды непрерывно
дифференцируема. А это значит, что (1.1.12) задают движение материальной точки.
Аналогично, задавая в каждый момент времени t аффинные координаты
q (1) , q ( 2) , q (3) точки P в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций
q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ) , при t  J будем иметь
- 23 -
(1.1.14)
q (1)  q (1) (t ) , q ( 2)  q ( 2) (t ) , q (3)  q (3) (t ) .

Подставляя (1.1.14) в (1.1.11), получим, что положение r точки P в любой момент времени t может быть вычислено по формуле




(1.1.15)
r  q (1) (t ) e1  q ( 2) (t ) e2  q (3) (t ) e3 ,
которая так же, как и (1.1.13), определяет движение точки P при всех t  J .
В отличие от (1.1.13), по формуле (1.1.15) движение определяется координатными функциями (1.1.14), задающими положение точки в аффинной системе отсчета.
Определение 3.
Способ задания движения материальной точки по формуле (1.1.12) или (1.1.14)
называется координатным.
Для координатного способа, в отличие от векторного, существенным является
выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.
2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе
По определению скорости точки P имеем


dr (t )
V (t ) 
,
dt
(1.1.16)

где r (t ) — вектор-функция, задающая движение этой точки.

При координатном способе задания движения вектор-функция r (t ) вычисляется
через координатные функции x(t ) , y (t ) , z (t ) по формуле (1.1.13), либо через координатные функции q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ) по формуле (1.1.15).
Поэтому из (1.1.13) и (1.1.15) будем иметь, соответственно,




dr (t )
= x (t ) i  y (t ) j  z(t ) k ,
dt

3

dr (t )
  q ( i ) (t ) ei .
dt
i 1

dr (t )
Таким образом, подставляя
в (1.1.16), получим следующие выражения для
dt

скорости V (t ) :
– при задании движения в декартовых координатах x , y , z это выражение примет
вид




V (t ) = x (t ) i  y (t ) j  z(t ) k ;
(1.1.17)
– при задании движения в аффинных координатах q (1) , q ( 2) , q (3) , соответственно,
будем иметь
3


V (t )   q (i ) (t ) ei .
(1.1.18)
i 1

Обозначим V x , V y , V z — координаты вектора V в системе отсчета Oxyz , а

V (1) ,V ( 2) ,V (3) — координаты вектора V в аффинной системе Oq(1) q ( 2) q (3) . По определению координат вектора можем записать








V = Vx i  Vy j  Vz k ,
V  V (1) e1  V ( 2) e2  V (3) e3 .
- 24 -
Сопоставляя эти соотношения с (1.1.17) и (1.1.18), видим, что в момент времени


t координаты скорости V совпадают с производными от координат вектора r (t ) в системе Oxyz , если движение задается декартовыми координатами и с производными от

координат вектора r (t ) в системе Oq(1) q ( 2) q (3) , если движение задается аффинными координатами:
V x = x (t ) , V y = y (t ) , V z = z(t ) ;
V (1)  q (1) (t ) , V ( 2)  q ( 2) (t ) , V (3)  q (3) (t ) .

Геометрически координаты вектора скорости V (t ) можем получить путем сов
мещения начала вектор-функции r (t ) с точкой отсчета O и проектирования конца век
тора r (t ) на соответствующие координатные оси.
Для вычисления ускорения точки действуем аналогично. Учитывая, что по

определению ускорения W точки имеем

 dV (t ) d 2 r (t )
=
,
W=
dt 2
dt
получим:
– при задании движения в декартовых координатах x , y , z выполняются равенства







W = Vx i  Vy j  Vz k = xi  y j  z k ;
– при задании движения в аффинных координатах q (1) , q ( 2) , q (3) эти равенства
приобретают вид
3
3



W  V (i ) (t ) ei   q(i ) (t ) ei .
i 1
i 1

Если обозначим W x , W y , W z — декартовые координаты вектора W , а
W (1) , W ( 2) , W (3) — его аффинные координаты, то связь W x , W y , W z со вторыми производными от заданных координатных функций x(t ) , y (t ) , z (t ) , q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ) будет такова:
W x = x , W y = y , W z = z ;
W (1)  q(1) ,
W ( 2)  q( 2) , W (3)  q(3) .


Из полученных выражений для V и W легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов
этих векторов.


Для V = V и W = W будем иметь:

V = V = x 2  y 2  z 2 = Vx2  V y2  Vz2 ;

W = W = x2  y2  z2 = Wx2  W y2  Wz2 .

Для направляющих косинусов V x0 , V y0 , V z0 вектора скорости V имеем:
Vx0 (t ) 
y
z
x
, V y0 (t )  , V z0 (t )  .
V
V
V
- 25 -

Аналогично, для направляющих косинусов W x0 , W y0 , W z0 вектора ускорения W :
x
y
z
Wx0 (t )  , W y0 (t )  , Wz0 (t )  .
W
W
W

В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости V
может быть получена из следующих соотношений:
3
3
3
2
 
 3

 
V 2  V  (V ,V )  ( q (i ) ei ,  q ( j ) e j )   q (i ) q ( j ) (ei , e j )   q (i ) q ( j ) gij  q *G q ,
i 1
i 1
i , j 1
i , j 1
 q (t ) 


где введены обозначения: q   q ( 2) (t )  — вектор-столбец, составленный из производ ( 3) 
 q (t ) 


ных от заданных координатных функций q (i ) (t ) , i  1,2,3 ; G  gij i , j 1, 2,3 — матрица
(1)
метрических коэффициентов аффинной системы координат; символ  обозначает операцию транспонирования.
 

 2
Аналогично, для W = W получим W 2 = W = (W ,W ) = q * G q .
 q(1) (t ) 


Здесь q   q( 2 ) (t )  — вектор-столбец, составленный из вторых производных от задан ( 3) 
 q (t ) 


ных координатных функций q (i ) (t ) , i  1,2,3 .
2.3. Связь векторного и координатного способов
Пусть движение точки задается координатным способом. Тогда формулы

(1.1.13) и (1.1.15) определяют вектор-функцию r (t ) , которая является основой для векторного способа задания движения.
Пусть движение точки задается векторным способом. Тогда из (1.1.13) и (1.1.15)
можем получить координатный способ задания движения, если вычислим координаты

вектор-функции r (t ) . Если системой отсчета является система Oxyz , то, умно  
жая (1.1.13) скалярно на i , j , k последовательно, получим



 

x(t )  (r (t ), i ) , y(t )  (r (t ), j ) , z (t )  (r (t ), k ) .
Здесь x(t ) , y (t ) , z (t ) — координаты точки, вычисленные по ее заданному по
ложению r (t ) в любой момент времени t . Как видно из этих выражений, геометрические координаты точки в любой момент времени t равны ортогональным проекциям

вектор-функции r (t ) на оси системы отсчета Oxyz в момент времени t .
Аналогично, если система отсчета является аффинной Oq(1) q ( 2) q (3) , то, умножая
     
(1.1.15) последовательно скалярно на векторы e2  e3 , e3  e1 , e1  e2 , получим
  

 
q (1) (t ) (e1 , e2 , e3 )  (r (t ) , e2 , e3 ) .
Отсюда находим
  
(r (t ), e2 , e3 )
(1)
(1)
q  q (t ) 
,
(1.1.19)
g
  
где введено обозначение g  (e1 , e2 , e3 ) .
- 26 -
Замечание.
Легко показать, что g  det G , если система координат правая; g   det G ,
если эта система левая.
 
 
Аналогично (при умножении на (e3  e1 ) и на (e1  e2 ) ), получим
  
(r (t ), e3 , e1 )
,
(1.1.20)
q ( 2)  q ( 2) (t ) 
g
  
(r (t ), e1 , e2 )
.
(1.1.21)
q (3)  q (3) (t ) 
g
Такими действиями находятся координаты q (1) , q ( 2) , q (3) точки P в аффинной

системе при известном векторе r (t ) .
Примечание.
Выражения (1.1.20) и (1.1.21) легко можно записать, зная формулу (1.1.19). Обозначим последовательность индексов у переменных q (i ) , i  1,2,3 в виде
(1.1.22)
1  2  3 1

и последовательность индексов у ортов e также в виде
(1.1.23)
1  2  3  1.
Тогда соотношение (1.1.20) получается из (1.1.19) заменой в равенстве (1.1.19)
индекса «1» при q на следующий за ним в последовательности (1.1.22) индекс «2», и

заменой индексов «2» и «3» у ортов e на следующие за ними в последовательности (1.1.23) индексы «3» и «1».
После записи выражения (1.1.20) соотношение (1.1.21) строится аналогичным

образом из (1.1.20) по правилу замены индексов при q и e согласно схемам
(1.1.22) и (1.1.23).
Если две или более формулы выводятся последовательно друг из друга заменой
переменных и (или) индексов на их другие значения из заданных упорядоченных последовательностей, то говорят, что последовательность формул строится по правилу
круговой перестановки заданных переменных и (или) индексов.
Таким образом, согласно данной формулировке можно сказать, что последовательность формул (1.1.19), (1.1.20), (1.1.21) строится круговой перестановкой




переменных q(1)  q( 2)  q(3)  q (1) и ортов e1  e2  e3  e1 , или круговой пе
рестановкой индексов 1  2  3  1 у переменных q и ортов e .
§2. Естественный способ задания движения точки
1º. Понятие траектории движения
Пусть движение материальной точки описывается векторным способом
 
(1.2.1)
r  r (t ) , t  J ,
где J — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором
рассматривается движение, J  R1 , R1 — множество вещественных чисел.

Вектор-функция r (t ) — вещественная, однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая. Соотношение (1.2.1) в каждый момент времени t задает в евклидовом
пространстве E 3 геометрическую точку, в которой находится в этот момент движущаяся материальная точка.
- 27 -
Если дополнить пространство E 3 четвертым независимым измерением — временной осью t , то в этом четырехмерном пространстве уравнение (1.2.1) при изменении координаты t задает кривую, которая называется графиком движения.
Будем теперь в соотношении (1.2.1) смотреть на t как на параметр, принимающий значения из промежутка J .
В абсолютном пространстве E 3 построим множество M точек P , образованное


концами векторов r (t ) при всех значениях этого параметра. За начало векторов r (t )
при всех t будем брать точку отсчета O . Очевидно, что множество M состоит из положений материальной точки, каждое из которых она может занимать в абсолютном

пространстве хотя бы при одном значении времени t , совершая движение r (t ) .
Определение 1.
Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех
положений материальной точки, каждое из которых она может занимать, совершая

движение r (t ) , называется траекторией материальной точки.
Аналитически траектория описывается равенством (1.2.1). Оно, по сути, является непрерывным отображением множества J  R1 вещественной оси R1 на трехмерное
евклидово пространство E 3 . Такое отображение задает в E 3 однопараметрическое семейство точек, которое в геометрии называется кривой.
Следовательно, траектория движения материальной точки — это кривая в трехмерном евклидовом пространстве. В отличие от графика движения, который строится в
четырехмерном пространстве, где четвертой координатой служит время t , траектория
строится в трехмерном пространстве и является проекцией графика движения на абсолютное пространство E 3 .
Траектория отличается от графика движения еще и тем, что график движения —
всегда самонепересекающаяся кривая, а траектория может быть как самонепересекающейся, так и самопересекающейся и (или) замкнутой кривой. Кроме того, траектория
может быть геометрической точкой, а график движения — нет.
Соотношение (1.2.1) дает векторное описание траектории. Если в пространстве E 3 фиксирована система отсчета Oxyz , то траектория движения определяется в
координатной форме тремя равенствами
x  x(t ) , y  y(t ) , z  z (t ) ,  t  J ,

где x(t ) , y (t ) , z (t ) — координатные функции вектор-функции r (t ) .
Пример.
Пусть точка совершает движение в плоскости Oxy на промежутке времени
[0, T ] по закону
x  R cos t , y  R sin t , t [0,  ) .
Графиком ее движения, очевидно, будет являться винтовая линия на цилиндре радиуса
R с осью, совпадающей с координатной осью изменения времени t (см. рис. 1.2.1).
Траекторией движения является окружность радиуса R в плоскости Oxy (см.
рис. 1.2.2). Стрелками указано направление движения точки по этой траектории при
возрастании t .

В механике для любой вектор-функции a (t ) , заданной и непрерывной на некотором промежутке времени J , вводится понятие ее годографа.
Определение 2.

Годографом вектор-функции a (t ) называется геометрическое место точек в

абсолютном пространстве, образованное концами векторов a (t ) , имеющих своим
началом точку отсчета O .
- 28 -

Очевидно, годограф вектор-функции r (t ) , задающей движение, совпадает с траекторией движения точки.
x
y
+R
+R
O
t
R
O
+R
x
+R
-R
R
y
Рис. 1.2.1
Рис.1.2.2
Понятие годографа чаще всего применяется к скорости движения точки (называется годографом скорости) и к ее ускорению (годограф ускорения).

Если известна скорость V (t ) материальной точки при всех t  J , то для построения ее годографа следует параллельным переносом совместить начало вектора скорости точки P с точкой отсчета O в каждый момент времени t  J . Тогда геометрическое место концов построенного таким образом множества векторов при всех t  J бу
дет являться годографом вектора скорости V (t ) точки P . Аналогично строится годо
граф ускорения W (t ) этой точки.

Годограф скорости V (t ) в трехмерном пространстве параметрически задается
уравнениями
Vx  Vx (t ),
Vy  Vy (t ),
Vz  Vz (t ),
t  J,
где Vx , Vy , Vz — координаты точек годографа скорости, а Vx (t ), Vy (t ), Vz (t ) — координаты скорости материальной точки.

Аналогично для годографа ускорения W (t ) параметрические уравнения имеют
вид
Wx  Wx (t ),
Wy  Wy (t ),
Wz  Wz (t ),
t  J,
где Wx , Wy , Wz — координаты точек годографа ускорения, а Wx (t ), Wy (t ), Wz (t ) — координаты ускорения материальной точки.
2º. Основные определения из дифференциальной геометрии
2.1. Способы задания кривой
Как показано в п.1º, в трехмерном пространстве E 3 с системой отсчета Oxyz
траектория представляет собой кривую линию. Поэтому задать траекторию — это значит задать кривую в трехмерном пространстве. Как известно из дифференциальной
геометрии, кривая в пространстве E 3 с системой координат Oxyz может быть задана
одним из следующих способов: векторный, параметрический, явное задание кривой,
неявное задание кривой.
- 29 -
1). Векторный способ.

Задается векторная функция r (u ) , u   ,   и полагается
 
(1.2.2)
r  r (u) .

Здесь r — радиус-вектор точки на кривой, u — параметр, принимающий все
значения из промежутка   ,   .

Векторная функция r (u ) называется параметризацией кривой.
Если сделаем замену
u1  1 , 1  ,
u  u(u1 ) ,
при которой промежуток  1 , 1  изменения параметра u1 однозначно отображается
в промежуток   ,   изменения параметра u , то подстановкой u (u1 ) в (1.2.2) получим
 
(1.2.3)
u1  1 , 1  ,
r ~
r (u1 ) ,


~
где r (u1 )  r (u(u1 )) . Соотношение (1.2.3) задает геометрически ту же кривую, что и соотношение (1.2.2). В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметриза
ции ~
r (u1 ) .
2). Параметрический способ.
В декартовой прямоугольной системе координат Oxyz задаются координаты
точки на кривой
x  x(u) , y  y(u) , z  z (u) , u   ,   .
3). Явное задание кривой.
В декартовой прямоугольной системе координат Oxyz оно имеет вид:
y  f (x) , x  a, b  — на плоскости Oxy ;
y  f (x) , z   (x) , x  a, b  — в пространстве E 3 с ДПСК Oxyz .
При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата x ).
4). Неявное задание кривой.
Такое задание имеет вид:
F ( x, y)  0 — на плоскости Oxy ;
F ( x, y, z )  0 , G( x, y, z )  0 — в пространстве E 3 с ДПСК Oxyz .
2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии
Пусть дана кривая ( ) (см. рис. 1.2.3). На этой кривой P0 обозначает некоторую
фиксированную точку, а P — произвольную точку.
Определение 3.
Кривая ( ) называется регулярной степени k кривой, если существует пара

метризация r (u ) такая, что вектор-функция r (u ) будет k раз непрерывно диффе
ренцируема, и ru(u )  0 в любой точке кривой. Здесь


dr
.
ru(u ) 
du
Если k  1 , то кривая называется гладкой.
Определение 4.

Точка P кривой называется особой, если для любой параметризации r (u ) в

точке P выполняется равенство ru(u )  0 .
- 30 -
Определение 5.
Предельное положение хорды P0 P (если оно существует), когда точка P
стремится к точке P0 (по кривой), называется касательной прямой в точке P0 к кривой ( ) .
( а)
P0
P
(а )

r(u0)

Рис.1.2.3
r (u )
O
На рисунке обозначены: ( ) – заданная кривая; P0 – фиксированная точка на
кривой ( ) ; P – переменная точка на кривой ( ) ; (a) – касательная прямая в точке P0 ;

O – точка отсчета в пространстве; r (u0 ) – положение точки P0 относительно точки O ;

r (u ) – положение точки P относительно точки O ; () – плоскость, проходящая через касательную (a) и хорду P0 P .
Определение 6.
Предельное положение плоскости (   ) при P  P0 (если оно существует)
называется соприкасающейся плоскостью.
В дифференциальной геометрии доказано, что если можно указать параметриза


цию кривой r (u ) такую, что существуют ru(u ) и ruu (u ) в точке P0 , и при этом


ru(u0 )  ruu (u0 )  0 , то в точке P0 существует соприкасающаяся плоскость, и нормаль к
этой плоскости коллинеарна вектору
 r(u )  r (u )
b  u 0 uu 0 .
ru(u0 )  ruu (u0 )
Здесь штрихом обозначена производная по u , а u 0 — значение параметра, соответствующее точке P0 .
Определение 7.
Нормалью в точке P0 к кривой ( ) называется любая прямая, перпендикулярная
к касательной в точке P0 .
Определение 8.
Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке P0 , называется нормальной плоскостью в точке P0 (см. рис.1.2.4).
Определение 9.
Главной нормалью в точке P0 называется линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей. Иначе, главная нормаль — это нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (см. рис.1.2.4).
Определение 10.
Бинормаль в точке P0 — это прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости в точке P0 (см. рис.1.2.4).
- 31 -
Определение 11.
Спрямляющей плоскостью в точке P0 называется плоскость, перпендикулярная
главной нормали в точке P0 (см. рис.1.2.4).
Очевидно, спрямляющая плоскость проходит через касательную прямую и бинормаль в точке P0 .

n — главная нормаль
( )
нормальная плоскость
соприкасающаяся
плоскость

 —
касательная
P0
( )

b — бинормаль
спрямляющая плоскость
Рис.1.2.4
Определение 12.
Естественным трехгранником в точке P0 называется трехгранник, образованный нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостями точки P0 (см.
рис.1.2.4).
Определение 13.
Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится периметр ломаной, вписанной в дугу, когда количество звеньев стремится к бесконечности, а максимальная длина звена стремится к нулю.

Дифференциал дуги кривой ds связан с параметризацией r (u ) кривой следующей зависимостью

2
2
2
2
(1.2.4)
ds  ru(u) du  xu  yu  zu du .
Здесь





dr (u )
ru (u ) 
 xu i  yu j  zu k .
du
Формула для ds справедлива в декартовой прямоугольной системе координат.
В аффинной системе имеем

dq (1)  dq ( 2)  dq (3) 
ru (u ) 
e 
e 
e .
du 1 du 2 du 3
dq
Поэтому ds через q 
выражается следующим образом
u du
- 32 -
ds 

2
ru(u ) du 
 
(ru, ru ) du  qu*Gqu du 
3
g
i , j 1
ij
dq (i ) dq ( j )
du .
du du
Определение 14.
Параметризация называется естественной, если в качестве параметра при задании кривой выступает s — длина дуги кривой, исчисляемая от некоторой фиксированной точки на этой кривой.
Справедливо утверждение: для регулярной кривой (т.е. кривой без особых то
чек) всегда имеет место неравенство rs( s)  0 для любого s .
Иначе говоря, регулярная кривая в естественной параметризации при любых s


имеет значения rs( s)  0 . Более того, из (1.2.4) следует, что rs( s)  1 .


Обозначим через r (s) и r (s   s) положения точек P0 и P на кривой 
(см. рис.1.2.5). Проведем касательные (a) и (a1 ) к ней в этих точках. Угол  , образованный касательными, называется углом смежности.
Определение 15.
Если существует предел
k  lim

,
s
то он называется кривизной кривой ( ) в точке P0 .
Очевидно, кривизна k кривой ( ) всегда неотрицательна, т.е. k  0 .
В дифференциальной геометрии доказано, что если кривая задается в парамет


ризации r (u ) , то в любой неособой точке, где существуют ru и ruu , кривизна кривой
 
ru  ruu
может быть вычислена по формуле k   3 .
ru

d 2r
Если кривая задается в естественной параметризации, то k 
.
ds 2
Определение 16.
1
Величина   называется радиусом кривизны кривой в точке P0 .
k
Здесь k — кривизна кривой в точке P0 .
Справедливы следующие формулы Френе, устанавливающие связь направляющих ортов касательной, главной нормали и бинормали с естественной параметризацией
кривой:

 dr
— орт, коллинеарный касательной в точке P0 ;
 
ds



 1 d 2r
d 2 r 1 d
n



— орт, коллинеарный главной нормали в точке P0 ,
k ds 2
ds 2 k ds
  
b    n — орт, коллинеарный бинормали в точке P0 .
Отсюда следует, что

 1
d
 kn  n;
ds

  
Векторы  , n , b являются взаимно ортогональными единичными векторами и
образуют правую тройку.
 s 0
- 33 -
Определение 17.
  
Тройка векторов  , n , b с началом в точке P0 называется репером Френе.
Определение 18.
Естественной системой координат называется декартовая прямоугольная система координат с полюсом в выбранной точке P на кривой и базисом, совпадающим
с репером Френе в этой точке.
(a1 )
(a)

P0
P
(a)

r (s)

r ( s   s)
( )
(a1 )
( )
O
Рис.1.2.5
3º. Описание естественного способа задания движения
Суть естественного способа задания движения материальной точки состоит в
следующем:
– задается регулярная кривая не ниже второй кратности (без особых точек)
 
(1.2.5)
r  r (s) ;
– задается закон движения по этой кривой
(1.2.6)
s  s(t ) ,
где s(t ) — дважды непрерывно дифференцируемая функция от t .
Установим связь естественного способа задания движения с векторным. Подставим (1.2.6) в (1.2.5). Получим
 
(1.2.7)
r  r (s(t )) .
Соотношение (1.2.7) — это векторный способ задания движения.
Установим обратную связь. Пусть движение материальной точки задается векторным способом
 
tJ .
(1.2.8)
r  r (t ) ,
Дадим алгоритм перехода к естественному способу.
Будем смотреть на соотношение (1.2.8) как на векторное задание кривой в абсолютном пространстве. В нем t является параметром, принимающим значения из про
межутка J , а вектор-функция r (t ) – параметризацией кривой. По определению, данная

кривая является траекторией движения. Однако ее параметризация r (t ) не является
естественной.
При естественном способе требуется, чтобы траектория задавалась в естествен
ной параметризации ~
r ( s) . Ясно, что алгоритм перехода от векторного способа задания
- 34 -
движения к естественному способу должен содержать описание действий, направленных на построение естественной параметризации.

Поскольку параметризация r (t ) , вообще говоря, не является естественной для
данной траектории, то алгоритм перехода от векторного способа к естественному должен содержать описание действий, направленных на построение естественной пара
метризации ~
r ( s) .

Чтобы определить функцию ~
r ( s) , достаточно найти связь t (s) между длиной
дуги s траектории и временем t . Если такая связь будет найдена, то, заменив в правой
части равенства (1.2.8) аргумент t на t (s) , получим естественную параметриза
цию ~
r ( s) .
Зависимость t (s) может быть найдена из закона движения s  s(t ) как обратная
функция по отношению к нему. Этот закон s(t ) , как и естественная параметризация
траектории, должен быть известен при естественном способе задания движения. А потому задача перехода от векторного способа к естественному будет решена, если ука
жем алгоритм построения s(t ) по вектор-функции r (t ) .

Поставленную задачу будем решать при следующем ограничении на r (t ) (только при его выполнении возможен переход к естественному способу):
– траектория, определяемая заданием (1.2.8), является регулярной кривой
второй кратности и без особых точек.

Установим вид функции s(t ) , соответствующей движению r (t ) . Для этого выполним
следующие операции.
– Находим s(t ) , используя формулу для дифференциала дуги

ds  rt (t ) dt .
С этой целью фиксируем t0  J и интегрируем данное соотношение в пределах от t 0
до t ; в результате получим искомую функцию s(t )
t
s  s0   r( ) d  s(t ) ,
tJ .
(1.2.9)
t0
Очевидно, s(t ) является неубывающей, так как под интегралом стоит неотрицательная функция r( ) .
Находим обратную функцию к функции s  s(t ) , задаваемой формулой (1.2.9),
(1.2.10)
t  t (s) ;

Такая функция t (s) существует, по крайней мере, для всех t , при которых rt (t )  0 , т.е.
при тех t , где s(t ) строго монотонно возрастает.
– Подставим (1.2.10) в (1.2.8); в совокупности с (1.2.9) будем иметь
 
r  r (t (s)) , s  s(t ) .
Таким образом, приходим к естественному способу задания движения.
Замечания.
1. В формуле (1.2.9) s0 обозначает длину дуги траектории, ограниченной точкой
отсчета длин дуг и положением на траектории материальной точки в момент t 0 . Если в

качестве точки отсчета длин дуг взять положение r (t0 ) , то s0  0 .

2. Если в формуле (1.2.9) окажется, что rt( t )  0 при каких-то значениях t , то

подбираем новую параметризацию  (u ) , в которой параметр u связан со временем t
соотношением
–
- 35 -
(1.2.11)
u   (t ) ,
допускающим однозначное и дважды непрерывно дифференцируемое обращение
t  t (u) . Основное требование к указанной параметризации следующее: векторфункция


(1.2.12)
 (u)  r (t (u))

должна иметь значение u (u )  0 при u   (t ) .

Поскольку траектория движения r (t ) является регулярной кривой без особых

точек, то параметризация  (u ) существует. Данное утверждение следует из того, что

для таких кривых всегда существует естественная параметризация ~
r ( s) . А в естественной параметризации при всех значениях длины дуги s выполняется равенство

d~
r ( s)
 1.
ds

После построения параметризации  (u ) функцию u  u (s) находим путем об
ращения функции s  s(u) , где s(u ) имеет следующую зависимость от  (u ) :
u

s  s0   u (u ) du  s(u ) .
(1.2.13)
u0
Соотношение (1.2.13) выводится по той же схеме, по которой получено (1.2.9).
Так как функция s(u ) , определяемая по формуле (1.2.13), обладает свойством

su (u) uu  u (u )  0 , то в окрестности точки u  u , s  s(u ) она допускает обращение
(1.2.14)
u  u (s) .
Подстановка функции (1.2.14) в соотношение (1.2.12) и функции (1.2.11) в
 
(1.2.13) дает окончательно r  r (t (u(s))) , s  s( (t )) — естественный способ задания
движения.
4º. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения


d~
r
По определению скорости материальной точки можем записать V (t ) 
.
dt
 

Здесь ~
r ~
r (t ) – движение точки P , заданное векторным способом; V (t ) – ее скорость
в момент времени t .


Согласно связи векторного способа с естественным имеем ~
r (t )  r (s(t )) , где

r (s) – естественная параметризация траектории движения, а s(t ) – закон движения по

этой траектории. Дифференцируя r ( s(t )) по t , получаем



dr
V  s
 s ,
(1.2.15)
ds

где  — орт касательной к траектории в той ее точке, с которой совпадает положение
материальной точки P в момент времени t .
Из (1.2.15) можем сделать следующие заключения:


а) скорость V (t ) параллельна  — орту касательной к траектории в том положении точки P , которое она занимает в момент времени t ;

б) V (t )  s .
- 36 -

Обратимся теперь к выводу формулы для вычисления ускорения W материаль
 dV
ной точки. По определению имеем W 
. Подставляя правую часть (1.2.15) вместо
dt

V и дифференцируя по t , получим


 d 


d
d
W  ( s )  s  s
 s  s
s .
dt
dt
ds
Воспользуемся формулой Френе


d
1
 n  kn ,
ds 

где n – орт главной нормали к траектории в том положении, которое занимает на ней
точка P в момент времени t ; k – кривизна, а  – радиус кривизны траектории в этом

положении. Тогда выражение для W примет вид:


 s 2  
(1.2.16)
W  s 
n  W  Wn .



Вектор W  s называется касательным (тангенциальным) ускорением точ
s 2  V 2 
ки P , а вектор Wn  n 
n – ее нормальным ускорением.



Величина скорости обозначена V  V  s . Формула (1.2.16) составляет пред-
мет теоремы Гюйгенса.
Теорема Гюйгенса.

Вектор W мгновенного ускорения точки P (ускорения в момент времени t )
находится в соприкасающейся плоскости к траектории ее движения и равен вектор

ной сумме касательного (тангенциального) ускорения W  s и нормального ускоре V2 
ния Wn 
n.

5º. Кинематический способ вычисления кривизны кривой
5.1. Кинематическая формула радиуса кривизны
Из теоремы Гюйгенса имеем:
V2
V2
Wn
W 2  W2
  

V2
W 2  s2
.
(1.2.17)
Покажем, что
2
 dV 
(1.2.18)
W2  s2  
 .
 dt 
Действительно, из (1.2.15) находим V 2  s2 . Тогда, дифференцируя это равенство по t , получим
dV
V
 s s .
dt
Возводим в квадрат и, учитывая, что s 2  V 2 , приходим к соотношению
- 37 -
2
 dV 
V 2s2  V 2 
 .
 dt 
Отсюда следует равенство (1.2.18).
Таким образом, формулы (1.2.17) и (1.2.18) позволяют вычислить радиус кривизны, если известны W , V и V .
5.2. Алгоритм построения радиуса кривизны кривой
Алгоритм расчета величины радиуса кривизны  в регулярной точке кривой
строится на основе кинематических формул (1.2.17) и (1.2.18).
Пусть гладкая кривая задается параметрически:
(1.2.19)
u   ,   .
y  y(u) ,
x  x(u) ,
z  z (u) ,
1). Задаем какое-либо движение по кривой: u  u(t ) . Например, в качестве u (t )
берем функцию u  t .
2). Вычислим величины V 2 и W 2 . На движении u  u(t ) будем иметь:
dy
dz
dx
Vy 
u ,
Vx 
Vz 
u .
u ,
du
du
du
Здесь x(u ) , y (u ) , z (u ) — заданные функции (1.2.19). По величинам Vx , V y , Vz
находим V 2 :
V 2  u 2 ( xu2  yu2  zu2 ) .
Аналогично, для вычисления ускорения находим:
dV
dV
dV
Wx  x  u xu  u 2 xu , Wy  y  u yu  u 2 yu , Wz  z  u zu  u 2 zu . (1.2.20)
dt
dt
dt
Подставляя правые части соотношений (1.2.20) в формулу для квадрата модуля
ускорения находим W 2
W 2  Wx2  Wy2  Wz2 .
3). Определяем величину W2 . Формулу для ее расчета получаем через последовательность следующих очевидных соотношений
2
2
d

 dV 
W2  
V x2  V y2  V z2  
 
 dt 
 dt

.
2
( x u W x  y u W y  z u W z ) 2
 Wx V x  W y V y  Wz V z 
 
 
2
2
2
V
x u  y u  z u


4). Радиус кривизны получим подстановкой вычисленных значений величин V 2 ,
W 2 , W2 , в формулу (1.2.17):

V2
W 2  W2
.
5.3. Пример применения алгоритма
Применение алгоритма рассмотрим на примере вычисления радиуса кривизны
эллипса в любой его точке. Уравнение эллипса в декартовых координатах имеет вид:
x2 y2

 1.
a2 b2
- 38 -
Переходим к параметрическому уравнению эллипса: x  a cos u , y  b sin u .
Задаем закон движения по эллипсу: u  t . Тогда:
1) находим скорость
V  a 2 sin 2 t  b2 cos 2 t .
Vy  y  b cos t ,
Vx  x  a sin t ,
2) находим ускорение
Wy  b sin t ,
Wx  a cos t ,
W 2  a 2 cos 2 t  b2 sin 2 t .
3) находим производную от модуля скорости
dV 1
1
 (Vx Wx  Vy Wy )  (a 2  b 2 ) sin t cos t .
dt V
V
2
 dV 
Подставляя V 2 , W 2 и s2  
 в (1.2.17), получим формулу для вычисления
 dt 
радиуса кривизны эллипса в любой его точке
(a 2 sin 2 t  b 2 cos 2 t )


2
ab
 dV 
W2 

 dt 
В декартовых координатах она будет иметь вид
V2

1 2 b2
a2 3
[ x 2  y2 2 ] 2 .
ab
a
b
3
2
.
(1.2.21)
В частности, если a  b , то эллипс вырождается в окружность. Тогда
x  y  a 2  b 2 , и из (1.2.21) получим   a в любой точке окружности.
Пусть a  b . Вычисляем  в вершинах эллипса. В вершинах на оси x имеем
2
2
x  a, y  0 . Для них получим  
Тогда  
b2
. В вершинах на оси y имеем y  b, x  0 .
a
a2
.
b
§3. Круговое движение точки
В этом параграфе на примере кругового движения точки будем рассматривать
задание ее движения различными способами. Круговое движение точки является частным случаем плоского движения.
Определение 1.
Движение материальной точки называется плоским, если траектория этой
точки является плоской кривой.
Плоскость, в которой совершает свое движение точка, является соприкасающейся плоскостью ее траектории. Для описания плоского движения, как правило, используется следующая система отсчета (см. рис.1.3.1).
За начало отсчета (точка O ) выбирается какая-либо точка в плоскости движения. В системе отсчета плоскость Oxy совпадает с соприкасающейся плоскостью тра

ектории; оси Ox и Oy взаимно ортогональны и имеют направляющие орты i и j .

Ось Oz ортогональна плоскости движения, и направляющий орт k дополняет систе
му Oxyz до правой. Орт k является нормалью к плоскости Oxy и определяет ее ориентацию в абсолютном пространстве.
- 39 -
y
P

r

j

rO


i
O
x

k
Рис. 1.3.1
z
Часто в плоскости движения в рассмотрение вводится угол поворота  радиус
вектора r точки P относительно произвольно выбранного, фиксированного векто
ра r0 . В зависимости от ориентации плоскости движения (в зависимости от направле
ния орта k ) задается правило выбора положительного направления изменения угла поворота.
Определение 2.
Плоское движение точки называется круговым, если траекторией ее движения
является окружность.
1º. Координатный способ задания кругового движения
За точку отсчета O берем центр окружности. Обозначим R радиус траектории
материальной точки P . Выберем систему отсчета Oxyz описанным выше способом.

Обозначим  угол, отсчитываемый от оси Ox до радиус-вектора r  OP материальной точки P в положительном направлении (см. рис.1.3.2).
y

e

j

k

r

R
O
z

er
P

i
P0
x
Рис. 1.3.2
Определение 3.
За положительное направление изменения угла  принимается направление его
возрастания при движении точки P против часовой стрелки, если смотреть с конца

вектора k оси Oz на плоскость Oxy .
- 40 -
Декартовые координаты точки P на окружности через радиус R и угол  будут определяться по формулам:
(1.3.1)
z  0.
x  R cos  ,
y  R sin  ,
Движение точки P будет задано, если укажем закон изменения угла  от времени t
(1.3.2)
   (t ) ,
поскольку при круговом движении, согласно определению 2, выполняется тождество
R (t )  R  const .
Таким образом, круговое движение можем задать в виде
(1.3.3)
x  x(t )  R cos  (t ) , y  y(t )  R sin  (t ) , z  0 .
Формулы (1.3.3) дают координатный способ задания движения.
2º. Векторный способ задания кругового движения


Обозначим er орт радиус-вектора r (t ) точки P относительно точки отсчета O .
Тогда, согласно определению 2, на круговом движении должно выполняться


(1.3.4)
r  R er (t ) ,



(1.3.5)
| er (t ) |  1 , ( er (t ), k )  0 , R  const .
Тождества (1.3.5) выполняются при всех значениях t из промежутка времени, в течение которого совершается движение.

Орт er меняет свое направление при изменении времени. Задавая такой за

кон er (t ) изменения направления орта er , при котором выполняются тождества (1.3.5),
и подставляя его в (1.3.4), придем к векторному способу задания кругового движения
точки.

В частности, как и при координатном способе (см. п.1º), направление орта er
можно задавать не непосредственно в зависимости от времени t , а, например, через закон изменения угла  поворота радиус-вектора точки P относительно некоторого


фиксированного положения r0 этой точки (см. рис. 1.3.1). Тогда er будет представлять 
ся суперпозицией функций er  er ( ) и    (t ) . В таком случае будем иметь


 
er  er ( (t )) , а задание (1.3.4) кругового движения точки примет вид r  R er ( (t )) , где

er ( (t )) и R удовлетворяют тождествам (1.3.5).
Например, если в качестве фиксированного положения точки P , от которого от

считывается угол  , взять положение r0  R i точки P0 (см. рис.1.3.2), то при всех t на
круговом движении точки P будет выполняться равенство  (t )   (t ) , поскольку в та
ком случае определение угла  совпадает с определением угла  . Орт er и круговое
движение точки P через закон изменение угла  будут задаваться формулами



 

(1.3.6)
er  i cos  (t )  j sin  (t )  er ( (t )) , r  R er ( (t )) , R  const .

Легко видеть, что два других тождества (1.3.5) для вектор-функции er ( (t )) выполняются.
3º. Естественный способ задания кругового движения точки

В формуле (1.3.6) вектор-функция er ( (t )) строится через угол  , отсчитываемый от положительного направления оси Ox в плоскости движения материальной точки. Возможны и другие способы построения этой функции. Например, будем задавать
ее через длину дуги окружности.
- 41 -
Будем отсчитывать длину дуги окружности от точки P0 (см. рис.1.3.2) пересечения окружности с осью Ox . Положительное направление отсчета длины дуги считаем
совпадающим с положительным направлением отсчета угла  . Тогда, как известно из
геометрии, длина s дуги P0 P выражается через угол  соотношением
(1.3.7)
s  R .
Подставляя закон движения (1.3.2), получаем
(1.3.8)
s  s(t )  R  (t ) .
Формула (1.3.8) дает закон движения точки P по окружности в естественной
параметризации.
Используя соотношение (1.3.7), перейдем в (1.3.1) от параметра  к длине дуги s . Получим естественную параметризацию траектории движения точки P в координатной форме
s
s
(1.3.9)
x  R cos , y  R sin , z  0 .
R
R
В векторной форме она принимает вид

 s
r  R er ( ) , R  const .
R
Соотношения (1.3.9) в совокупности с (1.3.8) и (1.3.2) дают естественный способ задания кругового движения точки в координатной форме.
4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении
4.1. Репер Френе при круговом движении точки


Построим явные зависимости ортов  и n репера Френе от радиуса R и длины
дуги s на круговом движении. Согласно формулам Френе, имеем



 1 d
 dr
d
,
(1.3.10)
  , n
R
k ds
ds
ds
1
где R — радиус кривизны. Здесь воспользовались известным соотношением  R для
k
окружности. Отсюда после подстановки (1.3.6),(1.3.7) в формулу для орта касательной

 находим



 dr d
de 1 de
 

R r  r.
(1.3.11)
d ds
d R d


de
Далее, введя обозначение e  r и подставляя в него (1.3.6), получим зависиd

мость орта e от угла  в следующем виде:



e  i sin   j cos  .

А тогда, учитывая равенства (1.3.11) и (1.3.7), окончательно для орта  будем иметь

 
s 
s
  e   i sin  j cos .
(1.3.12)
R
R


Зависимость орта n от R и s получим, если подставим орт  из (1.3.12) во вторую формулу Френе (1.3.10). После дифференцирования по s выражение для вектора

n примет вид
- 42 -



s 
s
(1.3.13)
n   ( i cos  j sin )   er .
R
R
Формулы (1.3.12) и (1.3.13) позволяют вычислить два орта репера Френе в любой

точке окружности. Третий вектор репера Френе — орт бинормали совпадает с ортом k .
Он не зависит от положения точки на окружности.
4.2. Формулы для скорости и ускорения при круговом движении точки


Дадим теперь выражения для скорости V и ускорения W в круговом движении.


Согласно выводам §2, скорость V и ускорение W будут вычисляться по формулам






W  W  Wn ,
V  s  R   ,

 V2 



где W  s  R  — касательное ускорение, Wn 
n  R  2 n — нормальное ускоR
рение. Введем обозначения    ,      . Тогда выражения для векторов
   
V , W , Wn , W и их модулей примут следующий вид:



V  R ,
V  V   R;



W   R  ,
W  W   R ;
(1.3.14)



Wn   2 R n ,
Wn  Wn   2 R ;


  
W   R   2 R n, W  | W |  R  2   4 .
Если введем векторы




  d


 d

(1.3.15)
  k   k   k ,
  k   k ,  
 k ,  
dt
dt


то через них скорость V и ускорение W точки P в круговом движении можем записать в следующей форме:
  
(1.3.16)
V   r ,
     
(1.3.17)
W    r    (  r ) .
Соотношение (1.3.16) называется формулой Эйлера для кругового движения материальной точки.
Соотношение (1.3.17) называется формулой Ривальса для ускорения материальной точки в круговом движении.
Справедливость формул (1.3.16), (1.3.17) легко устанавливается, если подста

вить в их левые части соотношения (1.3.14) для V и W , а в правые — соотношения (1.3.15), (1.3.12), (1.3.13) и учесть очевидные равенства
 
 




e  k  er ,
k  e   er ,
r  R er ,
которые выполняются на кругового движении.
  
Для векторов  ,  ,  приняты следующие названия:

  — вектор углового поворота точки в круговом движении;

  — вектор мгновенной угловой скорости кругового движения точки;

  — вектор мгновенного углового ускорения в круговом движении точки.

 
Из (1.3.15) следует, что в любой момент времени t вектора  ,  и  ортогональны плоскости движения материальной точки.
- 43 -
§4. Задание движения точки в полярных координатах
В §3 при описании кругового движения точки использовались две дополнительные переменные r и  . Вводились они на основе геометрических построений. Далее,
находились зависимости положений и координат материальной точки от этих переменных. Различные формы задания движения точки получали подстановкой в найденные
зависимости законов изменения от времени переменных r и  на круговом движении.
Такие переменные r и  , как правило, наиболее часто применяются для описания любого плоского движения материальной точки. Их называют координатами точки
в полярной системе координат.
1º. Понятие полярной системы координат
Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.1.4.1).

e
y

er

j
O

k
P

x

i
полярная ось
z
Рис.1.4.1
Фиксируем в плоскости движения точку отсчета O и ось Ox , проходящую через
точку отсчета. Задаем положительное направление отсчета расстояний от точки O

вдоль этой оси, задаваемое ортом i . Положительная полуось Ox называется полярной
осью.
Пусть в некоторый момент времени t материальная точка P занимает на плос

кости положение r , где r  OP . Будем определять это положение расстоянием


r  OP  r от точки O до точки P и углом  , который образует вектор r с поляр
ной осью. Угол  отсчитываем от полярной оси Ox до вектора r .
Положительным направлением отсчета угла  считается направление против

часовой стрелки, если смотреть с конца орта k , выбранного для ориентации данной
плоскости и ортогонального ей.
Построенная таким образом система координат называется полярной системой,
а координаты r и  называются полярными координатами точки.
Введем декартовую прямоугольную систему координат Oxyz (см. рис.1.4.1), в
которой:
O — точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;
Ox — совпадает с полярной осью;

Oz — ортогональна плоскости движения, и орт k является ее базисным вектором,
определяющим ориентацию плоскости Oxy ;
- 44 -
Oy — дополняет систему Oxyz до правой.
Тогда связь Oxyz и полярной системы задается очевидным соотношением
(1.4.1)
x  r cos  , y  r sin  , z  0 .
Здесь x , y , t — декартовые координаты точки P ; r и  — ее полярные координаты,
причем они изменяются в пределах r  0 и 0    2 .
Из (1.4.1) вытекает, что r и  однозначно определяют координаты x и y точки P в плоскости Oxy . Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость
полярных координат r и  точки P от ее декартовых координат x и y ,
y
(1.4.2)
r  x2  y2 ,
tg   .
x
Второе равенство в (1.4.2) справедливо только при x  0 . Если x  0 , y  0 , то
из первого равенства в (1.4.1) получаем cos   0 . А тогда с учетом второго равенства
в (1.4.1) будем иметь:
если y  0 , то  

;
2
3
если y  0 , то  
.
2
Если x  0 и y  0 , то r  0 , и угол  может принимать любые значения.
Таким образом, если x 2  y 2  0 , то по координатам ( x, y) точки P однозначно
определяются ее полярные координаты r и  :
 y
r  x2  y2 ,
  arg   ,
 x
где функция arg называется функцией аргумент. Она имеет следующую аналитическую структуру:
y

при x  0, y  0 ;
 arctg x

 2  arctg y
при x  0, y  0 ;

x

 y 
arg    
при x  0, y  0 ;
x  2
 3
при x  0, y  0 ;
 2

  arctg y
при x  0.

x
Функция arg не определена в точке (0, 0) и однозначна во всех остальных точках плоскости Oxy .
2º. Задание движения в полярных координатах
Задать движение в полярных координатах — это значит задать закон изменения
координат r и  по времени
(1.4.3)
r  r (t ) ,
   (t )
- 45 -


в вектор-функции r (r , ) , определяющей связь положения r точки с полярными координатами r и  . Эта связь в векторной форме имеет вид
 

 

r  xi  yj  r cos  i  r sin  j  r (r, ) .


Введем орты er и e , вычисляемые через полярные координаты точки P . Положим, по определению,







1 r der
r (r ,  )  

 i sin   j cos  , (1.4.4)
 er  i cos   j sin  , e 
H  d
r
где

r (r ,  )
H 
r.




Очевидно, er — это орт радиус-вектора r точки P , e — орт, показывающий

направление возрастания угла  . Иначе, e — это орт касательной к окружности ради

уса r с центром в точке O (касательной в точке P ). Орты er и e взаимно ортогональны.


Векторы er и e называются базисом полярной системы координат.
Используя закон движения (1.4.3) и первое соотношение в (1.4.4), получим



(1.4.5)
r  r er  r (t ) er ( (t )) .
Это векторный способ задания движения в полярных координатах. Здесь



er ( (t ))  cos  (t ) i  sin  (t ) j .
3º. Скорость точки в полярных координатах
Дифференцируя (1.4.5), получим

 dr



de
(1.4.6)
V
 r er  r (t ) r   r er  r  e .
dt
d

Формула (1.4.6) дает разложение вектора скорости V по базису полярной системы координат. Отсюда следует, что
  




V  Vr  V ,
V  r  e ,
Vr  r er ,

где r и r  — полярные координаты скорости. Вектор Vr называется радиальной ско
ростью, а V — трансверсальной скоростью точки.


Учитывая ортогональность ортов er и e , из (1.4.6) находим выражение для мо
дуля V вектора скорости V :
 
V  (V ,V )1 / 2  Vr2  V2  r 2  r 2 2 .
4º. Ускорение точки в полярных координатах
Дифференцируя (1.4.6) по времени t , получим

 dV d 



W
 (r er  r  e )  Wr  W ,
dt dt
где




Wr  (r  r 2 ) er , W  (2r  r) e .
- 46 -
(1.4.7)


Вектор Wr называется радиальным ускорением точки, а вектор W — трансверсальным ускорением точки.
Замечание.
Из (1.4.6) и (1.4.7) легко получить формулы для скорости и ускорения в круговом движении с учетом того, что на таком движении выполняются тождества
r (t )  R, r(t )  0, r(t )  0 .
§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах
1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки
Определение 1.
Криволинейными или, иначе, обобщенными координатами материальной точки
будем называть три независимые величины q1 , q 2 , q 3 , которые обладают следующими свойствами.
1. Для любых значений q1 , q 2 , q 3 из некоторой области Q трехмерного пространства переменных q1 , q 2 , q 3 определена однозначная, дважды непрерывно диф
ференцируемая вектор-функция r (q1 , q2 , q3 ) , такая, что ее векторное значение
 
r  r (q1 , q2 , q3 )
(1.5.1)
задает положение материальной точки в абсолютном пространстве при
 (q1 , q2 , q3 )  Q .
2. Для любого положения материальной точки в абсолютном пространстве можно
поставить в соответствие одно и только одно значение переменных q1 , q 2 , q 3 .
3. При любых значениях q1 , q 2 , q 3 из области Q смешанное произведение векторов



r r r
,
,
не равно нулю, т.е.
q1 q2 q3
 

 r r r 
  0 .

,
,
(1.5.2)
 q1 q2 q3 
 
Если задана система отсчета O i j k , то в скалярной форме соотношение (1.5.1)
можно записать в виде
x  x (q1 , q2 , q3 ) , y  y (q1 , q2 , q3 ) , z  z (q1 , q2 , q3 ) .
(1.5.3)
Из сформулированных выше свойств вытекает, что
— функции x (q1 , q2 , q3 ) , y (q1 , q2 , q3 ) , z (q1 , q2 , q3 ) однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;
— система (1.5.3) разрешима относительно обобщенных координат q1 , q 2 , q 3 , так
что
q1  q1 ( x, y, z ) , q2  q2 ( x, y, z ) , q3  q3 ( x, y, z ) .
Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (1.5.3) отличен от нуля при всех (q1 , q2 , q3 ) из области Q . Действительно, матрица Якоби для системы (1.5.3) имеет вид:
- 47 -
 x
x
x 


,
,
q2
q3 
 q1
 y
y
y 
.
J 
,
,
q2
q3 
 q1

 z
z
z 

,
,
 q
q2
q3 
 1
Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (1.5.2). А потому
det J  0 . Данное неравенство выполняется в любой точке ( q1 , q2 , q3 ) из области Q .
Поэтому из определения 1 обобщенных координат q1 , q 2 , q 3 следует, что справедливы
условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (1.5.3), а из самой теоремы вытекает существование решений q1 ( x, y, z ) , q2 ( x, y, z ) , q3 ( x, y, z ) этой системы.
Часто криволинейные координаты вводят, исходя из описания специфики тех
условий и ограничений, при которых происходят движения материальной точки. На
основе этого описания устанавливается оценка допустимого множества G положений
материальной точки. В таких случаях обобщенные координаты вводятся для описания
движений точки в пределах этого множества.
Иногда удается подобрать переменные q1 , q2 , q3 не для всех точек множества G ,
а только для подмножества G1  G . На множестве точек, являющемся дополнением G1
до G , вводят другие обобщенные координаты – переменные q1, q2 , q3 .
Если снова не удается охватить переменными q1, q2 , q3 все точки этого дополнения, то для описания координат точек множества G , неохваченных переменными
q1 , q2 , q3 и q1, q2 , q3 , вводятся следующие обобщенные координаты q1, q2, q3 .
Процесс ввода обобщенных координат продолжают до тех пор, пока не будут
охвачены криволинейными координатами все точки множества G .
Процесс конечен, поскольку на любом этапе можно завершить его, приняв в
оставшемся непокрытым множестве в качестве криволинейных координат декартовые
координаты точки.
Итогом такого построения будет являться карта ввода криволинейных координат точки, охватывающая все множество возможных положений точки.
Приведем примеры криволинейных координат.
Пример 1. Цилиндрическая система координат
Положение точки P задается переменными  ,  ,  (см. рис. 1.5.1), где  —
расстояние от полюса O до проекции точки P на плоскость Oxy ;   0 ;  — угол в
плоскости Oxy , отсчитываемый от положительного направления оси Ox до луча OP .
P — это проекция точки P на плоскость Oxy ; 0    2 ; положительное направле
ние отсчета угла  задается правилом правой руки;  — проекция радиус-вектора r
точки P на ось Oz ; | OP |  |  | , P — проекция точки P на ось Oz ;  (,  ) .
Связь декартовых прямоугольных координат x , y , z точки P с цилиндрическими задается следующими формулами:
x   cos  , y   sin  , z   .
Обратная зависимость  ,  ,  от x , y , z , т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид:
- 48 -
 y
x
Если x 2  y 2  0 , то аналогичным образом можно ввести цилиндрические координаты  1 ,  1 ,  1 по отношению к системе координат O1 x1 y1 z1 , у которой, например,
полюс O1 смещен вдоль оси Oy , ось O1 y1 совпадает с осью Oy , а оси O1 x1 и O1 z1 коллинеарны осям Ox и Oz .
P2 (  )
z 
  x 2  y 2 ,   arg  ,   z .

e
P
( )
3
B
P

k
O

i
2

r
A

j

e

e
1
( )
P1
y

B

A
P
x
Рис. 1.5.1
В тех случаях, когда движения точки могут приводить ее на ось Oz , следует переходить к описанию этих движений в переменных  1 ,  1 ,  1 .
Пример 2. Сферическая система координат
Положение точки P задается криволинейными координатами r ,  ,  (см. рис.
1.5.2). Они имеют следующий геометрический смысл.

Координата r  r обозначает расстояние от полюса O декартовой прямоугольной системы координат до точки P . Она может принимать значения r  0 .
Координата  обозначает угол в плоскости Oxy , отсчитываемый от положи
тельного направления оси Ox до проекции OP  вектора r  OP на плоскость Oxy .
Она может изменяться в диапазоне 0    2 . Положительное направление отсчета

угла  задается правилом правой руки относительно орта k .
Координата  определяется значением угла между плоскостью Oxy и радиус
вектором r  OP точки P . Угол  отсчитывается от плоскости Oxy до радиус-вектора




r  OP и может изменяться в диапазоне     . Он принимает значение   ,
2
2
2
если точка P находится на положительной полуоси Oz ;   
- 49 -

2
, если P находится на
отрицательной полуоси Oz , и   0 , если P находится в плоскости Oxy и не совпадает с точкой O .
z
(r )

er

e
P 
P
З 
( ) 
k
P
( )

r
З 
( )
( )

О

i
x

e

j
y
P

Рис. 1.5.2
Угол  положителен, если точка P принадлежит положительному полупространству ( z  0 ) относительно плоскости Oxy ; угол  отрицателен, если P находится в отрицательном полупространстве ( z  0 ) относительно плоскости Oxy .
На рисунке 1.5.2 точка P обозначает ортогональную проекцию точки P на
плоскость Oxy , а P — ортогональную проекцию точки P на ось Oz .
Связь декартовых прямоугольных координат x , y , z точки P со сферическими
задается формулами:
x  r cos  cos  ,
y  r cos  sin  ,
z  r sin  .
Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет
вид:
z
 y
r  x2  y2  z2 ,
  arg   ,
  arcsin .
r
x
Угол  не определен, если точка P находится на оси Oz . Угол  не определен,
если точка P совпадает с точкой отсчета O .
2º. Задание движения в криволинейных координатах
Определение 2.
Движением материальной точки в криволинейных координатах на промежутке
времени J называем дважды непрерывно дифференцируемые функции q1 (t ) , q 2 (t ) ,
q3 (t ) , задающие криволинейные координаты точки в каждый момент времени t  J .
Задать движение в криволинейных координатах — это значит:
- 50 -

— задать зависимость положения r материальной точки P от ее криволинейных
 
координат r  r (q1 , q2 , q3 ) ,
— задать закон изменения криволинейных координат материальной точки P от
времени q1  q1 (t ) , q2  q2 (t ) , q3  q3 (t ) при t  J .
Если известно движение q1 (t ) , q 2 (t ) , q3 (t ) материальной точки в криволинейных координатах q1 , q2 , q3 , то векторное задание ее движения получим подстановкой

функций q1 (t ) , q 2 (t ) , q3 (t ) в вектор-функцию r (q1 , q2 , q3 ) , устанавливающую связь положения точки с криволинейными координатами:
 
r  r (q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) .
3º. Геометрические характеристики криволинейных координат
Пусть соотношение (1.5.1)
 
r  r (q1 , q2 , q3 )

задает связь криволинейных координат q1 , q 2 , q 3 вектора r с декартовыми x , y , z .
Зафиксируем одну из криволинейных координат. Например, положим в (1.5.1)
q1  q10  const . В полученном соотношении
 
(1.5.4)
r  r (q10 , q2 , q3 )
координаты q 2 , q 3 будем рассматривать как переменные параметры.
Очевидно, в пространстве Oxyz уравнение (1.5.4) задает поверхность. Она
называется координатной поверхностью, отвечающей координате q1 , или первой координатной поверхностью. Обозначим ее 1 .
Аналогично определяются координатные поверхности, отвечающие координате q 2 и координате q 3 – вторая и третья координатные поверхности.
Обозначим их  2 и  3 , соответственно. Уравнения поверхностей  2 и  3 получаются из (1.5.1) фиксированием одной из координат q2  q20 или q3  q30 , соответственно.
Если зафиксируем в (1.5.1) значения двух криволинейных координат
q2  q20  const и q3  q30  const , то будем иметь
 
r  r (q1 , q20 , q30 )
Это соотношение задает в пространстве Oxyz кривую, которая является пересечением координатных поверхностей  2 и  3 :
 
 
r  r (q1 , q20 , q3 ) , r  r (q1 , q2 , q30 ) .
Такая кривая называется первой координатной линией. Аналогично определяют 
ся вторая и третья координатные линии. Их уравнения имеют вид r  r (q10 , q2 , q30 ) и
 
r  r (q10 , q20 , q3 ) , соответственно. Вторая координатная линия является пересечением
координатных поверхностей 1 и  3 :
 
 
r  r (q10 , q2 , q3 ) и r  r (q1 , q2 , q30 ) ,
а третья координатная линия — пересечением поверхностей 1 и  2 :
 
 
r  r (q10 , q2 , q3 ) и r  r (q1 , q20 , q3 ) .
- 51 -
Все координатные линии, очевидно, пересекаются в точке P0 , обобщенные координаты которой имеют значения q10 , q 20 , q30 . Здесь q10 , q 20 , q30 — значения переменных q1 , q 2 , q 3 , по которым строились первая, вторая и третья координатные линии.

Положение r0 точки P0 определяется по формуле (1.5.1):
 
r0  r (q10 , q20 , q30 ) .
Обратимся снова к примеру 1. В цилиндрической системе координатные поверхности и координатные линии изображены на рис. 1.5.1.
Координатными поверхностями являются:
— первая – 1    – цилиндрическая поверхность (на рисунке изображена часть
этой поверхности, ограниченная дугами AB и AB и отрезками AA и BB );
— вторая –  2   – полуплоскость, ограниченная осью Oz и проходящая через
ось Oz и точку P (на рисунке – это плоскость прямоугольника OPPP );
— третья –  3   – плоскость, параллельная плоскости Oxy и проходящая через
точку P (на рисунке – это плоскость сектора PAB ).
Координатные линии:

— (q1 )  (  ) – первая (луч PP1 с направляющим ортом e  );
— (q2 )  ( ) ) – вторая (окружность радиуса  с центром в точке P ; ее плоскость
 
ортогональна орту k ; e – орт касательной в точке P );


— (q3 )  ( ) – третья (прямая PP2 с направляющим ортом e  k ).
4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат
Зафиксируем точку P0 с криволинейными координатами q10 , q 20 , q30 . Введем
следующую аффинную систему координат.
Начало ее совпадает с точкой P0 . Первая координатная ось совпадает с касательной в точке P0 к первой координатной линии. Вторая координатная ось совпадает с
касательной в точке P0 ко второй координатной линии. Третья координатная ось совпадает с касательной в точке P0 к третьей координатной линии (см. рис. 1.5.3).
 ( 3)
(q3 )

e3
1
2
( q2 )

e1

e2
P0
3

(1)
(q1 )
Рис. 1.5.3
- 52 -
 ( 2)
На рисунке координатная ось с номером i обозначена  (i ) , i  1,2,3 . Координатная линия с номером i обозначена (qi ) . Координатная поверхность с номером i обозначена  i . Координатные линии выделены жирным цветом.

Так как r (q1 , q2 , q3 ) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то

функция r (q1 , q20 , q30 ) будет также дважды непрерывно дифференцируемой по q1 . Ана
логичное утверждение справедливо для функции r (q10 , q2 , q30 ) относительно q 2 и для

функции r (q10 , q20 , q3 ) относительно q 3 . Поэтому касательные к координатным линиям
в точке P0 существуют.
Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно,
векторам



r
r
r
,
,
.
q2 P
q1 P
q3 P
0
0
0


r
r
Здесь выражение
означает, что вектор
вычислен в точке P0 с коордиqi
qi P
0
натами q10 , q 20 , q30 .



r r r
,
,
в точке P0 будут некомпланарны.
q1 q2 q3

Обозначим орты этих векторов ei , i  1,2,3 . Тогда


1 r
,
(1.5.5)
ei 
i  1,2,3 ,
H i qi
где
2
2
2
 2
 x   y   z 
r
  
  
 .
Hi 
 
qi
 qi   qi   qi 


Очевидно, вектор ei указывает направление изменения положения r точки P
относительно точки P0 при возрастании координаты q i .
Определение 3.
Величина H i называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате q i .
  
Тройка единичных векторов e1 , e2 , e3 , построенная по формуле (1.5.5) по криволинейным координатам q10 , q 20 , q30 точки P0 , является линейно независимой. Поэтому
можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке P0 . Будем обозначать такую систему P0  (1) ( 2) (3) (см. рис. 1.5.4).
В силу условия (1.5.2) векторы
Определение 4.
  
Аффинную систему координат P0  (1) ( 2) (3) с базисом e1 , e2 , e3 будем называть
основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам
q1 , q 2 , q 3 , а координаты  (1) ,  ( 2) ,  (3) произвольной точки P в этой системе — контравариантными координатами точки P .
Из определения 1 (для криволинейных координат), формулы (1.5.5) и определения 4 (основной системы) следует, что основная система координат P0  (1) ( 2) (3) суще- 53 -
ствует в любой в точке P0 . Положение ее полюса P0 относительно точки отсчета O в
  
абсолютном пространстве и базис e1 , e2 , e3 однозначно определяются по формулам
(1.5.1) и (1.5.5) при любых фиксированных значениях q10 , q 20 , q30 криволинейных ко
ординат q1 , q 2 , q 3 из области Q . Обозначим   P0 P радиус-вектор точки P относительно точки P0 . Его связь с контравариантными координатами задается разложением
  
по векторам e1 , e2 , e3 :
 


 e1  (1)  e 2  ( 2)  e 3  (3) .
 ( 3)
(q3 )

e3
( q2 )

e1

r0

(1)


P0
(q1 )

r

e2
 ( 2)
P
O
Рис. 1.5.4
Связь произвольных положений точки P относительно точек отсчета O и P0
определяется соотношением

OP  OP0  PP0  OP0   .
В нем OP и OP0 обозначают положения относительно точки отсчета O то
чек P и P0 , соответственно, а P0 P   — положение точки P относительно точки отсчета P0 .
Пусть (q1 , q2 , q3 ) и (q10 , q20 , q30 ) — криволинейные координаты точек P и P0 , соответственно. Тогда согласно (1.5.1) вектора OP и OP0 определяются равенствами


OP  r (q1 , q2 , q3 ) и OP0  r (q10 , q20 , q30 ) , и указанную связь можем переписать в следующей форме





r (q1 , q2 , q3 )  r (q10 , q20 , q30 ) e1  (1)  e 2  ( 2)  e 3  (3) .
(1.5.6)
Равенство (1.5.6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат q1 , q 2 , q 3 точки P от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки P0 , в которой построена соответствующая основная система P0  (1) ( 2) (3) .
Из формулы (1.5.6) легко получить также связь декартовых координат x , y , z с
контравариантными координатами  (1) ,  ( 2) ,  (3) . Действительно, в (1.5.6) базисные
  
вектора e1 , e2 , e3 основной системы вычисляются через криволинейные координаты
q10 , q 20 , q30 точки P0 , соответственно, по формулам
- 54 -


1 r (q1 0 , q2 0 , q3 0 )
,
ei 
Hi 0
qi 0
Hi 0 

r (q10 , q2 0 , q3 0 )
qi 0
,
i  1,2,3 .
Поэтому, проектируя (1.5.6) на оси Ox , Oy , Oz , получим искомую связь:
3

(1)
( 2)
( 3)
(i )
 x  x0   e1x   e2 x   e3 x  x0    eix ,
i 1

3

(1)
( 2)
( 3)
(i )
 y  y0   e1 y   e2 y   e3 y  y0    eiy ,
i

1

3

(1)
( 2)
( 3)
(i )
 z  z0   e1z   e2 z   e3 z  z0    eiz ,
i 1

где
eix 
(1.5.7)
1 z
1 x
1 y
, eiy 
, eiz 
, i  1,2,3 ,
H i qi
H i qi
H i qi
вычисляются в точке P0 , x , y , z — декартовые координаты точки P , x 0 , y 0 , z 0 —
декартовые координаты точки P0 .
В матричном виде соотношения (1.5.7) запишутся так:
  (1) 
 x   x0 


   
( 2)
 y    y0   B    ,
 ( 3) 
z  z 
 
   0


(1.5.8)
где
 1

 H1
 1
B
 H1
 1

H
 1
x 1 x 1 x 

,
,
q1 H 2 q2 H 3 q3 
y 1 y 1 y 
.
,
,
q1 H 2 q2 H 3 q3 
z 1 z 1 z 
,
,
q1 H 2 q2 H 3 q3 
Матрица B называется матрицей перехода от основной системы координат
P0   ( 2) (3) к декартовой прямоугольной системе Oxyz .
(1)
Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты q10 , q 20 , q30 точ
ки P0 . Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов ei относительно осей системы Oxyz .
Из (1.5.8) находим обратную зависимость  (1) ,  ( 2) ,  (3) от x , y , z :
Матрица B 1
  (1) 
 x  x0 




( 2)
1
    B  y  y0  .
 ( 3) 
z z 
 
0 



называется матрицей перехода от системы Oxyz к основной си-
стеме P0  (1) ( 2) (3) .
- 55 -
Установим теперь связь матрицы G метрических коэффициентов g ij , i, j  1,2,3 ,
основной системы координат с криволинейными координатами q1 , q 2 , q 3 . Поскольку
 
gij  (ei , e j ) , то, подставляя (1.5.5), находим


1 1 r r
1 1 x x y y z z
gij 
(
,
)
(


) , i, j  1,2,3 .
H i H j qi q j
H i H j qi q j qi q j qi q j

Очевидно, gii  1 при i  1,2,3 , так как ei  1 . Поэтому в общем случае основная
система координат, построенная в любой точке P0 , является косоугольной.
Легко видеть, что через матрицу B матрица G может быть представлена произведением
G  B*B.
  
Отсюда следует, в частности, что det G  (det B) 2  (e1 , e2 , e3 ) 2  g 2 , где
  
  
g  (e1 , e2 , e3 )  det B обозначает смешанное произведение векторов e1 , e2 , e3 .
5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия ортогональности
Определение 5.
  
Если e1 , e2 , e3 взаимно ортогональны, то основная система координат называется ортогональной.
Определение 6.
Если основная система координат ортогональна при любых значениях
q10 , q 20 , q30 из области Q , то криволинейные координаты q1 , q 2 , q 3 называются ортогональными.
Справедливо следующее утверждение.
Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при
любых q10 , q 20 , q30 из области Q выполняются условия
 
gij  (ei , e j )  0 , i  j , i, j  1,2,3 .
(1.5.9)
Утверждение очевидно.
Следует отметить, что условия (1.5.9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат q10 , q 20 , q30
из области Q . Иначе говоря, равенства (1.5.9) должны быть справедливы в любом положении точки P0 . Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.
Но данное требование равносильно тому, что соотношения (1.5.9) должны выполняться в любой точке P , имеющей координаты (q1 , q2 , q3 )  Q .


Поэтому при вычислении векторов ei и e j по формулам (1.5.5) можно заменить
в (1.5.5) координаты q10 , q 20 , q30 точки P0 на координаты q1 , q 2 , q 3 точки P .
Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении

тов q10 , q 20 , q30 при вычислении производных от вектор-функции r (q1 , q2 , q3 ) в формулах (1.5.6) и требовать от равенств (1.5.9), чтобы они выполнялись при любых значениях (q1 , q2 , q3 )  Q .
С учетом сказанного условия (1.5.9) в скалярной форме примут вид:
x x y y z z


 0 , i  j , i, j  1,2,3 ,
qi q j qi q j qi q j
- 56 -
при  (q1 , q2 , q3 )  Q . К ним следует присоединить условие (1.5.2) некомпланарности
  
векторов e1 , e2 , e3 :
 x x x 


,
,
 q1 q2 q3 
 y y y 
  H1 H 2 H 3 g  0 .
det 
,
,
 q1 q2 q3 
 z z z 


 q , q , q 
2
3 
 1
При этом выполняется свойство:
  
– если тройка векторов e1 , e2 , e3 правая, то



 1 r 1 r 1 r 
  1 ,
g  det B  det 
,
,
 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3 
  
– если тройка векторов e1 , e2 , e3 левая, то



 1 r 1 r 1 r 
  1 .
g  det B  det 
,
,
 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3 
6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями
в криволинейных координатах
Определение 7.


Дифференциал dr вектор-функции r (q1 , q2 , q3 ) , вычисленный в точке P0 , называется линейным перемещением точки P из положения P0 .
Дифференциал dqi криволинейной координаты q i называется линейным перемещением точки P по обобщенной координате q i , а дифференциал d (i ) — линейным
перемещением точки P по контравариантной координате  (i ) .

Линейное перемещение dr , линейные перемещения dq1 , dq2 , dq3 и линейные перемещения d (i ) , i  1,2,3 , по контравариантным координатам  (i ) связаны между собой следующими соотношениями
 3

dr   d (i ) ei ,
i 1
 3

dr   H i dqi ei ,
i 1
d
(i )
 H i dqi , . i  1,2,3 .

Здесь коэффициенты Ламе H i и базисные векторы ei , i  1,2,3 , вычисляются в
точке P0 .

Согласно определению дифференциала вектор-функции r (q1 , q2 , q3 ) , имеем

 3 r
dr  
dqi .
(1.5.10)
i 1 qi P
0
- 57 -
Здесь dqi — линейное перемещение точки P по координате q i .

Вектор dr имеет своим началом точку P0 . Его контравариантные координаты
~
обозначаем через d  (i ) , так что можем записать
 ~  ~
 ~

(1.5.11)
dr  d  (1) e1  d  ( 2) e2  d  (3) e3 ,
где


1 r
.
ei 
H i qi P
0

С другой стороны, учтем связь (1.5.6) вектор-функции r с контравариантными
координатами  (i ) , i  1,2,3 .
3
 

r  r (q10 , q20 , q30 )    (i ) ei .
i 1


Здесь векторы r (q10 , q20 , q30 ) и ei , i  1,2,3 , не зависят от  (1) ,  ( 2) ,  (3) . Тогда,

согласно определению дифференциала функции r , рассматриваемой как векторная
функция переменных  (1) ,  ( 2) ,  (3) и задаваемой этой формулой, можем записать:
 3

(1.5.12)
dr   d (i ) ei .
i 1
d
обозначают дифференциалы координат  (i ) . Сопоставляя

~
(1.5.11) и (1.5.12), видим, что величины d  (i ) , являющиеся коэффициентами при ei в

(1.5.11), должны совпадать с коэффициентами при ei в формуле (1.5.12). Иначе говоря,

дифференциалы d (i ) в (1.5.12) являются координатами вектора dr в основной системе:
~
i  1,2,3 .
d  (i )  d (i ) ,
Вернемся к соотношению (1.5.10). Преобразуем его правую часть, учитывая, что
из (1.5.5) можем записать равенства


r
 H i ei P ,
i  1,2,3 .
0
qi P
В (1.5.12)
(i )
0
Подставляя их в правую часть (1.5.10), придем к следующему представлению

линейного перемещения dr :
 3

dr   H i dqi ei .
i 1
Сопоставляя его с (1.5.12), получаем
d (i )  H i dqi ,
i  1,2,3 .
Здесь коэффициенты Ламе вычисляются в точке P0 . Таким образом, установили
связь линейных перемещений по контравариантной координате  (i ) с линейными перемещениями по криволинейной координате qi . Такая связь формулируется следующим образом.
Дифференциал контравариантной координаты  (i ) равен произведению коэффициента Ламе, вычисленного в точке P0 , на дифференциал криволинейной координаты qi .
При естественном способе задания движения точки ее траектория часто задается
с использованием криволинейных координат.
- 58 -
Параметрическое задание траектории в таком случае имеет вид
q1  q1 (u) , q2  q2 (u) , q3  q3 (u) , u   ,   ,
где q1 (u ) , q2 (u ) , q3 (u ) — дважды непрерывно дифференцируемые функции на промежутке   ,   .
Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется
построить естественную параметризацию траектории. Для этого, как показано в §2,
необходимо определить связь длины дуги с параметром u , являющимся внутренней
переменной заданной траектории. Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала ds длины дуги от дифференциала du внутренней переменной.

С целью решения поставленной задачи построим параметризацию ~
r (u ) траектории, заданной параметрически функциями q1 (u ) , q2 (u ) , q3 (u ) . Параметризацию

~
r (u ) получим, если подставим вместо криволинейных координат q , q , q коорди1
2
3
натные функции q1 (u ) , q2 (u ) , q3 (u ) , соответственно. В результате придем к следующему векторному соотношению

 
(1.5.13)
r  r (q1 (u), q2 (u), q3 (u))  ~
r (u) ,
которое при каждом значении u   ,   задает положение в пространстве точки P ,
имеющей криволинейные координаты q1 , q 2 , q 3 на заданной траектории. А тогда можем записать

(ds)2  ( d~
r )2 ,


где d~
r — линейное перемещение точки P по кривой ~
r (u ) .
Из (1.5.13) находим


3
3
 d~

r
r dqi
dq
~
dr 
du  
du   H i i du ei ,
du
du
i 1 qi du
i 1
и, следовательно,
dqi dq j
(1.5.14)
(du ) 2 .
du
du
i , j 1
Здесь g ij — метрические коэффициенты основной системы координат, а H i и
(ds) 2 
3
g
ij
Hi H j
H j — коэффициенты Ламе. Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки P на заданной кривой.
Если не фиксировать траекторию точки P (считать ее произвольной), то, учи
тывая, что линейное перемещение dr связано с линейными перемещениями
 3

dq1 , dq2 , dq3 криволинейных координат q1 , q 2 , q 3 соотношением dr   H i dqi ei , поi 1
лучим следующее выражение для дифференциала дуги ds на любой траектории:
3


( ds ) 2  ( dr ) 2  (  H i dqi ei ) 2 
i 1
 
  H i H j ( ei , e j ) dqi dq j 
3
i , j 1
3
g
i , j 1
ij
H i H j dqi dq j .
Здесь следует положить
dqi 
dq
dqi
du , dq j  j du , i, j  1,2,3 ,
du
du
- 59 -
в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами q1  q1 (u) , q2  q2 (u) , q3  q3 (u) . В результате такой замены придем к соотношению (1.5.14).
7º. Союзная система координат и ее связь с основной
Ковариантные координаты
  

Пусть a — произвольный вектор; e1 , e2 , e3 — базис основной системы координат; G  gij , i, j  1,2,3 — матрица метрических коэффициентов этой системы,
 

gij  (ei , e j ) ; a (1) , a ( 2) , a (3) — координаты вектора a в основной системе. Как отмечено

выше, они называются контравариантными координатами вектора a . Введем следующее понятие.
Определение 8.

Ковариантными координатами вектора a называются величины a i , определяемые по формуле:
 
ai  (a, ei ) , i  1,2,3 .

Геометрический смысл ковариантных координат вектора a следующий:

— если вектора ei , i  1,2,3 , являются ортами, то a i — это ортогональные проекции

вектора a на координатные оси основной системы координат,

— если вектора ei , i  1,2,3 , не являются ортами, то a i — это ортогональные проекции

вектора a на указанные оси, умноженные на g ii , где
 
 2
gii  (ei , ei )  ei .



Введем следующие три вектора e (1) , e ( 2) , e (3) :



1  
1  
1  
(1.5.15)
e (1)  (e2  e3 ) , e ( 2)  (e3  e1 ) , e (3)  (e1  e2 )
g
g
g
и изучим их свойства. В формулах (1.5.15) буквой g обозначена величина смешанного
  
произведения векторов e1 , e2 , e3 :
  
g  (e1 , e2 , e3 ) .
(1.5.16)
Как показано в п.5º, в этих обозначениях будем иметь det G  g 2 .
Свойство 1.
Справедлива формула
 1 , если i  j ,
 
(e (i ) , e j )   ij  
 0 , если i  j ,
для всех i, j  1,2,3 .
Докажем утверждение для i  1 . При j  1 в силу (1.5.17) имеем:
 
1   
1   
(e (1) , e1 )  (e2  e3 , e1 )  (e1 , e2 , e3 )  1 .
g
g
При j =2,3 можем записать
 
1   
(e (1) , e j )  (e2 , e3 , e j )  0 .
g
- 60 -
(1.5.17)
 
 
Данное равенство выполняется, поскольку в нем e j  e2 либо e j  e3 , а смешан  
  
ные произведения (e2 , e3 , e2 ) и (e2 , e3 , e3 ) равны нулю. Для i  2,3 справедливость свойства 2 доказывается аналогично.
Свойство 2.



Векторы e (1) , e ( 2) , e (3) линейно независимы, и для смешанного произведения этих
векторов справедлива формула
 

1
(1.5.18)
(e (1) , e ( 2) , e (3) )  .
g
Для доказательства утверждения вычислим сначала векторное произведение


векторов e ( 2) и e (3) :



  
1  
1   
e ( 2)  e (3)  e ( 2)  (e1  e2 )  [e1 (e ( 2) , e2 )  e2 (e ( 2) , e1 )] .
g
g
В данной записи воспользовались третьей формулой в соотношениях (1.5.15) и
формулой двойного векторного произведения.
 
 
Согласно (1.5.17) имеем (e ( 2) , e2 )  1 и (e ( 2) , e1 )  0 . Поэтому окончательно находим


1 
(1.5.19)
e ( 2)  e (3)  e1 .
g



Подставляя (1.5.19) в смешанное произведение векторов e (1) , e ( 2) , e (3) и учитывая (1.5.17) для i  j  1 , получим
 1
1
(e (1) , e1 )  .
g
g
Что и требовалось доказать.
Введем аффинную систему координат с полюсом в точке P и базисными век


торами, совпадающими с e (1) , e ( 2) , e (3) .
Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. ос  
новной, системе координат с базисом e1 , e2 , e3 и полюсом в точке P .
~
Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать G , а
элементы этой матрицы — g ij , i, j  1,2,3 . Так что будем иметь:
 
~
g ij  (e (i ) , e ( j ) ) .
G  g ij , i, j  1,2,3 ,

Пусть a~ 1 , a~ 2 , a~ 3 — координаты вектора a в союзной системе координат, и
a (1) , a ( 2) , a (3) — координаты этого вектора в основной системе координат, другими
словами — его контравариантные координаты.

Покажем, что координаты вектора a в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула
a~ i  a i , i  1,2,3 .
(1.5.20)

Действительно, по определению координат вектора a в союзной системе можем
записать




a  a~1 e (1)  a~2 e ( 2)  a~3 e (3) .

Умножая это равенство скалярно на ei , слева (по определению ковариантных

координат вектора a ) будем иметь
 
(a, ei )  a i ,

где a i — i -я ковариантная координата вектора a .
- 61 -
Учитывая (1.5.17), справа получим


 
(a~1 e (1)  a~2 e ( 2)  a~3 e (3) , ei )  a~i .
Таким образом, равенства (1.5.20) доказаны.
~
Установим связь между матрицами G и G . А именно, докажем справедливость соотношения
~
(1.5.21)
G  G 1 .

Действительно, для любого вектора a можем записать







a  a1 e (1)  a2 e ( 2)  a3 e (3)  a (1)e1  a ( 2)e2  a (3)e3 .
(1.5.22)

Умножая (1.5.22) последовательно (для i  1,2,3 ) скалярно на ei , получим
a i  a (1) gi1  a ( 2) gi 2  a (3) gi 3 , i  1,2,3 .
Эта система в матричном представлении имеет вид:
 a1 
 a (1) 
 


 a 2   G  a ( 2)  .
(1.5.23)
 
 ( 3) 
a 
a3 


 

Умножая (1.5.22) последовательно (для i  1,2,3 ) скалярно на e (i ) , находим
a 1 g i1  a 2 g i 2  a 3 g i 3  a (i ) , i  1,2,3 .
Соответственно, в матричном представлении:
 a 1   a (1) 

~  
G  a 2    a ( 2)  .
   ( 3) 
a3  a 

  
Подставляя в левую часть соотношение (1.5.23), придем к системе
 a (1) 


~
( GG  E )  a ( 2)   0 ,
 ( 3) 
a 



где E — единичная матрица размерности [ 3  3 ] . В силу произвольности вектора a
получаем
~
GG  E  0 .
Отсюда следует справедливость соотношения (1.5.21).
Докажем следующее утверждение. Для этого проделаем построения:
 по заданной исходной основной системе координат построим союзную
систему;
 построенную союзную систему возьмем в качестве новой основной;
 по ней построим систему, союзную к этой новой основной.
Утверждение.
Результатом такого построения будет союзная система, совпадающая с
изначально заданной основной системой.
Коротко это утверждение формулируется так:
«Союзная система к союзной совпадает с основной».
Утверждение будет доказано, если покажем, что
~
~
~






1 
1 
1 
e (1)  ~ (e ( 2)  e (3) )  e1 ,
e ( 2)  ~ (e (3)  e (1) )  e2 ,
e (3)  ~ (e (1)  e ( 2) )  e3 ,
g
g
g
- 62 -
  
где g~  (e (1) , e ( 2) , e (3) ) .
Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).


1 
Выше было установлено (см. (1.5.19)) e ( 2)  e (3)  e1 . Кроме того, из (1.5.18)
g
~

1
(свойство 2) имеем g~  . Поэтому для e (1) можем записать
g
~

1 
1  
e (1)  ~ ( e ( 2)  e (3) )  g e1  e1 ,
g
g
что и требовалось доказать.
Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является
ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает

с основной. В этом случае ковариантные координаты вектора a (величины a i ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами a (i ) ).
Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.
Выше доказали формулу (1.5.23):
 a1 
 a (1) 
 


 a 2   G  a ( 2)  ,
 
 ( 3) 
a 
a3 


 

где a i , i  1,2,3 , — координаты вектора a в союзной системе, a (i ) , i  1,2,3 , — координаты этого же вектора в основной системе, G — матрица метрических коэффициентов
основной системы.
Из (1.5.23) заключаем, что G имеет второй смысл.
Она является матрицей перехода от основной к союзной системе координат.
Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат

вектора a в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным
в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида
 a~1 
 a (1) 
 


 a~ 2   A  a ( 2)  ,
(1.5.24)
~ 
 ( 3) 
a 
a3 


 

~
a i — координаты вектора a в «новой» системе координат, a (i ) , i  1,2,3 , — когде

ординаты вектора a в заданной (фиксированной, «старой») системе, A — неособая
матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.
Фиксируем неособую матрицу A . Будем говорить, что координаты (a~1 , a~2 , a~3 )

любого вектора a согласованно изменяются по отношению к его координатам
(i )
a , i  1,2,3 , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (1.5.24).
Определение 9.
Система координат, для которой A является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу A .
- 63 -
Из (1.5.23) следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу G метрических коэффициентов основной системы. Поэтому координаты

векторов a в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»). Они согласованно изменяются через матрицу G .

Основные координаты вектора a могут быть вычислены через согласованные
координаты a~i (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице A по формуле
 a~1 
 a (1) 
 


 a ( 2)   A1  a~ 2  .
(1.5.25)
~ 
 ( 3) 
a 
a3 


 
1
Очевидно, матрица A является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.
В этом случае выражение (1.5.25) можем трактовать как обратный закон пере
счета координат, а координаты a (i ) вектора a в основной («старой») системе могут
рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной
матрице A по отношению к новым координатам.

Поэтому координаты вектора a в основной системе (координаты a (i ) ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при
переводе с французского слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).
Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл. А именно, он
означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат. Если матрица A задана, то
согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу A1 .
Применим это правило к основной и союзной системам координат.
Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной
матрицы G 1 . А тогда согласно указанному выше правилу координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу G 1 .
8º. Скорость точки в криволинейной системе координат
8.1. Понятие обобщенной скорости точки
Пусть задано движение точки в криволинейных координатах
qi  qi (t ) ,
i  1,2,3 .
Определение 10.
Величина q i называется обобщенной скоростью точки P по координате q i в
момент времени t . Величина qi называется обобщенным ускорением точки P по координате q i в момент времени t .
8.2. Связь скорости точки и ее координат с обобщенными скоростями

Установим формулу связи скорости V и ее контравариантных координат V (i ) с
обобщенными скоростями q i в произвольный момент времени t . Поскольку в векторной форме движение задается формулой
- 64 -
 
r  r ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ) ) ,

то по определению скорости V можем записать
 d 
V
r ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ) ) .
dt
С одной стороны, вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая

d
под символом
, является суперпозицией вектор-функции r от трех переменных
dt
q1 , q 2 , q 3 и заданных функций q1 (t ) , q 2 (t ) , q3 (t ) , зависящих от времени t , будем
иметь
3
 3 r

(1.5.26)
V 
qi (t )   H i ei qi .

q
i 1
i 1
i

  
С другой стороны, вектор V можем разложить по базису e1 , e2 , e3 , вычисленному в точке P , имеющей значения криволинейных координат q1  q1 (t ) , q2  q2 (t ) ,
q3  q3 (t ) в заданный момент времени t . И тогда придем к следующему выражению

для V :




(1.5.27)
V  V (1) e1  V ( 2) e2  V (3) e3 .
Согласно определению координат любого вектора, множители V (1) , V ( 2) , V (3)
  
при базисных векторах e1 , e2 , e3 в разложении (1.5.27) называются контравариантны
ми координатами скорости V в аффинной системе, имеющей начало в точке P .
Сопоставляя (1.5.26) и (1.5.27), получаем
V (i )  H i qi , i  1,2,3 .
(1.5.28)
Здесь H i — коэффициент Ламе по координате q i , соответствующий моменту
времени t .

Формула (1.5.28) дает связь контравариантных координат скорости V с обобщенными скоростями q i , i  1,2,3 .
С учетом (1.5.27) и (28), находим выражение для квадрата модуля скорости:
 
V 2  (V ,V ) 
 
V ( j ) (ei , e j ) 
3
V
(i )
i , j 1
3
g
i , j 1
ij
H i H j qi q j .
(1.5.29)
Установим теперь связь ковариантных координат Vi , i  1,2,3 , с обобщенными
 
скоростями q i . Согласно определению ковариантной координаты имеем Vi  (V , ei ) .
Подставляя (1.5.27) и (1.5.28), находим искомую связь
3
3
 
 
Vi  (V , ei )   H j q j ( e j , ei )   H j q j gij .
j 1
(1.5.30)
j 1
В частности, из (1.5.28), (1.5.29) и (1.5.30) можем сделать следующий вывод.
  
Если e1 , e2 , e3 — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях q1 , q 2 , q 3 (т.е. криволинейные координаты q1 , q 2 , q 3 — ортогональные), то
Vi  V (i ) ,
i  1,2,3 ,
3
V 2   H i2 qi2 .
i 1
- 65 -
В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:
Vi  V (i ) , i  1,2,3 .

8.3. Функция V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) и ее свойства
Дадим другой способ вычисления координат Vi . Для этого сначала введем в рас
смотрение функцию V , зависящую от шести независимых переменных, и докажем

лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции V и от функции

r ( q1 , q2 , q3 ) .

Указанную функцию V определим следующей формулой

3

r
(1.5.31)
V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 )  
qi .
i 1 qi
Независимыми переменными в ней будем считать криволинейные координаты q1 , q 2 , q 3 и обобщенные скорости q1 , q 2 , q 3 . Следует заметить, что точка, стоящая
в обозначениях переменных q1 , q 2 , q 3 , не означает дифференцирование переменных q1 , q 2 , q 3 по времени t . Это всего лишь символ в данных обозначениях.

В правой части равенства (1.5.31) вектор r является вектор-функцией

r ( q1 , q2 , q3 ) , задающей связь (1.5.1) криволинейных координат точки с декартовыми.

Функцию V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) будем считать заданной при всех ( q1 , q2 , q3 )  Q
и при любых значениях q1 , q 2 , q 3 .

Поскольку r ( q1 , q2 , q3 ) дважды непрерывно дифференцируема по своим аргу
ментам, то V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) будет непрерывно дифференцируема по переменным q1 , q 2 , q 3 . Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям q1 , q 2 , q 3 .
Пусть задано произвольное движение точки P в криволинейных координатах

qi  qi (t ) , i  1,2,3 . Вычислим значения функции V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) на этом движеdq (t )
нии, полагая, что переменные q i , i  1,2,3 , связаны с обобщенными скоростями i
dt
в любой момент времени t на данном движении равенствами
dq (t )
qi  i , i  1,2,3 .
dt
Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в
dq (t )
правой части равенства (1.5.31) переменные q i на qi (t ) , а q i — на i , i  1,2,3 .
dt

Действительно, согласно определению мгновенной скорости V в момент време 
ни t , необходимо вычислить движение r  r ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) , а затем взять производную по t от него. Так что будем иметь


3 r ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) dqi (t )
dr ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ))
V (t ) 
 

.
dt
qi
dt
i1

Это выражение будет совпадать со значением функции V , задаваемым формуdq (t )
лой (1.5.31), в котором переменные q i заменены на qi (t ) , а q i на i
для i  1,2,3 .
dt
- 66 -
В результате получим вектор
 
dq dq dq
V  V ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ), 1 , 2 , 3 ) ,
dt dt dt

совпадающий по значению с вектором V , вычисленным по формуле (1.5.26).
Поскольку установленное таким образом равенство справедливо на любом движении и в любой момент времени t , то можем сделать заключение о том, что формула
(1.5.31) дает связь обобщенных скоростей точки с ее скоростью в абсолютном пространстве в соответствующем положении
 
r  r ( q1 , q2 , q3 ) .


r
Установим теперь связь производных
от функции r ( q1 , q2 , q3 ) с производqi



V
V
ными
и
от функции V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) . Такая связь дается леммой Лаqi
qi
гранжа. Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от

r
функции
вдоль движений точки P .
qi

r
8.4. Понятие производной от функции
вдоль движений точки
qi


r
Вычислим производную
от функции r ( q1 , q2 , q3 ) и обозначим ее
qi

rqi ( q1 , q2 , q3 ) . Пусть задано движение точки P в криволинейных координатах
q j  q j (t ) ,
(1.5.32)
j  1,2,3 .

Определим значения функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) , которые она может принимать на
движении
(1.5.32). Ясно, что эти значения задаются вектор-функцией


rqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) , которая получается заменой в rqi ( q1 , q2 , q3 ) аргументов q1 , q2 , q3
на правые части (1.5.32).

Вычислим производную по t от функции rqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) .


drqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) 3  rqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )) dq j (t )


.
(1.5.33)
dt
q j
dt
j 1

drqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ))
Функция
, стоящая в левой части (1.5.33), имеет смысл
dt

скорости изменения функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) вдоль движения (1.5.32). В правой части
(1.5.33) указывается ее аналитический вид, построенный по правилам дифференциро
вания по времени t функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) как сложной функции, в которой аргументы q j , j  1,2,3 , задаются движением (1.5.32).
Как известно, правило дифференцирования сложной функции предполагает выполнение следующих операций.

1. Вычисление частных производных от функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) . В результате получают три функции,


  r ( q1 , q2 , q3 )   2 r ( q1 , q2 , q3 )

 
, j  1,2,3 ,
q j 
qi
q j qi

- 67 -
зависящие от трех переменных q1 , q2 , q3 .

 2 r ( q1 , q 2 , q3 )
2. Каждая функция
с номером j умножается на переменную q j , и
q j qi
производится суммирование по j  1,2,3 всех построенных произведений. В результате
будет построена функция, зависящая от шести переменных q1 , q2 , q3 и q1 , q2 , q3 . Будем

d rqi
записывать эту функцию в операторной форме
или, что то же самое, в форме
dt

d r
( ) . В явном выражении этот оператор принимает вид:
dt qi


3
d r
 2 r ( q1 , q2 , q3 )
( )
q j .
(1.5.34)
dt qi
q j qi
j 1
3. В построенной на этапе 2 функции (1.5.34) переменные q j заменяются функ-
dq j (t )
, j  1,2,3 , где q j (t ) — правые
dt
части (1.5.32), определяющие заданное движение материальной точки.
Результатом произведенных действий, описанных на этапах 1,2,3, является
функция, зависящая только от одной независимой переменной — от времени t , которая совпадает с правой частью равенства (1.5.33).
Обратимся к функции (1.5.34), построенной в процессе вычислений на этапе 2.
Определение 11.
Функция, определяемая правой частью (1.5.34), называется производной от


d r
r
функции
вдоль движений механической системы и обозначается
( ).
dt qi
qi
В отличие от функции (1.5.33), функция (1.5.34) зависит от шести переменных q1 , q2 , q3 и q1 , q2 , q3 . Из ее построения следует, что подстановкой в нее вместо q j
любого фиксированного движения материальной точки, заданного в криволинейных
координатах, и подстановкой в нее вместо q j — обобщенных скоростей на данном

фиксированном движении, будет определена скорость изменения функции rqi ( q1 , q2 , q3 )
вдоль этого движения. Иначе говоря, зная функцию (1.5.34), можно определить ско
рость изменения функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) на любом заданном движении, а не только на
движении (1.5.32). Поэтому функция (1.5.34) играет в дальнейшем важную роль.
Отметим, что функция, стоящая в правой части равенства (1.5.34), получена на
основе действий, описанных в первых двух этапах вычисления производной по време
ни t от функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) . В таких случаях говорят, что «она получена дифферен
цированием функции rqi ( q1 , q2 , q3 ) вдоль движений (на движениях) материальной точ
d r
( ) , записанному в левой части (1.5.34),
ки». Применительно к ее обозначению
dt qi
также говорят, что «в левой части равенства (1.5.34) дифференцирование функции

rqi ( q1 , q2 , q3 ) по времени t производится вдоль движений материальной точки». В
указанных случаях результат дифференцирования, т.е. правая часть равенства (1.5.34),
задающая явный вид построенной функции, как правило, не приводится.
циями q j (t ) , а переменные q j — производными
- 68 -
8.5. Лемма Лагранжа
Докажем следующее утверждение.
Лемма Лагранжа.
При всех ( q1 , q2 , q3 )  Q и любых значениях переменных q1 , q 2 , q 3 выполняются
равенства


 V r
а)
, i  1,2,3 ;

qi qi


 V d r
б)
, i  1,2,3 .

qi dt qi



d r
Здесь r задается формулой (1.5.1), V — формулой (1.5.31), а
— правой частью
dt qi
равенства (1.5.34).
Доказательство.

Равенство а) легко проверяется, поскольку функция V линейно зависит от q .
Равенство б) проверяется непосредственным вычислением левой и правой части. Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:




3
3
V
 3 r
 2r
 2r



q

q

q j .
(1.5.35)



j
j
qi qi j 1 q j
j 1 qi q j
j 1 q j qi
Последнее равенство в соотношении (1.5.35) записано на основе того, что

функция r (q) дважды непрерывно дифференцируема по переменным q1 , q 2 , q 3 . А

тогда смешанные производные от r ( q1 , q2 , q3 ) по q i и q j будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять. При
такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:


 2r
 2r
.

q j qi qi q j
Сопоставляя (1.5.35) и (1.5.34), видим, что правая и левая части равенства б)
совпадают. Лемма доказана.
8.6. Вывод второй формулы для расчета ковариантных координат скорости
Применим лемму Лагранжа к выводу формулы для вычисления ковариантных

координат Vi , i  1,2,3 , скорости V . Поскольку

 

1 r
Vi  (V , ei ) ,
,
ei 
i  1,2,3 ,
H i qi
то можем записать

 1 r
1  r
Vi  (V ,
)
(V ,
).
H i qi
Hi
qi

Подставляя соотношение а) из леммы Лагранжа и учитывая, что V задается
формулой (1.5.31), а для нее справедливо очевидное равенство

 V
T
(V ,
)
,
qi
qi
1   V2
где T  (V ,V ) 
, окончательно находим
2
2
- 69 -
1 T
,
(1.5.36)
i  1,2,3 .
H i qi
Отметим здесь, что полученная формула (1.5.36) для Vi отличается по виду от
(1.5.30). Однако легко видеть, что она совпадает с (1.5.30), если учесть в (1.5.36), что
функция 2T  V 2 задается правой частью равенства (1.5.29). На практике часто бывает
удобнее сначала построить функцию T , а затем для вычисления Vi применить формулу (1.5.36) вместо непосредственного применения (1.5.30).
Vi 
8.7. Связь декартовых координат скорости с обобщенными скоростями точки
Установим связь декартовых и криволинейных координат скорости. Очевидно
3
3
3
 
x
Vx  x  
qi  (V , i )   V (i )eix   eix H i qi .
i 1 qi
i 1
i 1



Отсюда круговой перестановкой координат x  y  z и ортов i  j  k получим выражения для V y и V z :
3
3
3
 
y
Vy  y  
qi  (V , j )   V (i )eiy   eiy H i qi ,
i 1 qi
i 1
i 1
3
3
3


z
Vz  z  
qi  (V , k )   V (i ) eiz   eiz H i qi .
i 1 qi
i 1
i 1
В матричной записи полученные выражения для V x , V y и V z примут вид:
V (1) 
Vx   x 


   
Vy    y   B V ( 2)  ,
 ( 3) 
   z 
V 
Vz   


где B — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,
 1 x 1 x 1 x 


,
,
 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3 
 1 y 1 y 1 y 
.
B
,
,
 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3 
 1 z 1 z 1 z 


 H q , H q , H q 
2
2
3
3 
 1 1
В данном выражении элементы матрицы B вычисляются в точке P (а не в точке P0 ).
9º. Ускорение точки в криволинейных координатах
9.1. Ускорение в декартовых координатах


 dV
Вычислим ускорение точки W согласно определению W 
. Учтем, что
dt
 dr 3 r
V

qi .
dt i1 qi
- 70 -
Дифференцируя правую часть по t , приходим к векторному представлению


ускорения W в зависимости от вектор-функции r ( q1 , q2 , q3 ) , обобщенных скоростей
q j и обобщенных ускорений qi , i  1,2,3 :


3  3
 dV
 3 r
 2r
W
  
qi q j   
qi .
dt
i 1 
 i1 qi
 j 1 qi q j
  
В проекциях на абсолютные оси i , j , k оно примет вид:
Wx  x 
3
2 x
 q q
i , j 1
i
3
qi q j  
i 1
j
x
qi ,
qi
3
2 y
y
Wy  y  
qi q j  
qi ,
i , j 1 qi q j
i 1 qi
3
Wz  z 
3
2 z
 q q
i , j 1
i
3
qi q j  
i 1
j
z
qi .
qi
9.2. Связь контравариантных координат ускорения с его
декартовыми координатами

  
Запишем разложение ускорения W по базису e1 , e2 , e3 основной системы с
  
началом в точке P и по базису i , j , k ДПСК:
3





(1.5.37)
W  W (i )ei  Wx i  Wy j  Wz k .
i 1
  
Умножая обе части равенства последовательно на i , j , k скалярно, находим:
 
 
 
x  W (1) (e1 , i )  W ( 2) (e2 , i )  W (3) (e3 , i )  W (1) e1x  W ( 2) e2 x  W (3) e3 x ,
 
 
 
y  W (1) (e1 , j )  W ( 2) (e2 , j )  W (3) (e3 , j )  W (1) e1 y  W ( 2) e2 y  W (3) e3 y ,
 
 
 
z  W (1) (e1 , k )  W ( 2) (e2 , k )  W (3) (e3 , k )  W (1) e1z  W ( 2) e2 z  W (3) e3 z .
В матричном представлении данные соотношения примут вид:
W (1) 
 x 


 
( 2)
 y   B W  ,
 ( 3) 
 z 
W 
 


или
W (1) 
 x 


 
( 2)
1
W   B  y  .
 ( 3) 
 z 
W 
 



Они дают связь контравариантных координат W (1) , W ( 2) , W (3) ускорения W с

 
его декартовыми координатами x , y , z . Из равенства | W |2  (W ,W ) подстановкой в
него разложения (1.5.37) получаем формулу для W 2 :
W2 
3
W
i , j 1

где W — модуль ускорения W .
- 71 -
(i )
W ( j ) gij ,
9.3. Ковариантные координаты ускорения точки
Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат Wi ,

i  1,2,3 , ускорения W . Согласно определению ковариантных координат можем запи 

сать Wi  (W , ei ) , i  1,2,3 . Подставим в правую часть этого равенства значение орта ei ,
вычисленное в точке P ,


1 r
ei 
H i qi
1 d
и вынесем
за знак скалярного произведения. В результате придем к следующему
H i dt
выражению для Wi :



 d r 
1 dV r
1  d  r
Wi 
(
,
)
(V ,
)  (V ,
) .
H i dt qi
H i  dt
qi
dt qi 
В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная

dV
вычисляется вдоль движения q1  q1 (t ) , q2  q2 (t ) , q3  q3 (t ) . Поэтому в множитеdt


d r
r
ле
производная по времени строится от суперпозиции функций
и
dt qi
qi
q1 (t ) , q 2 (t ) , q3 (t ) .

А потому, согласно свойству б) функции V ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) из леммы Ла

V
d r
гранжа, множитель
можно заменить производной
. Кроме того, по свойству
qi
dt qi


V
r
а) из той же леммы, множитель
можно заменить производной
. А тогда выраqi
qi
жение для Wi примет вид


 V 
 d  V
(
V
,
)

(
V
,
) .
(1.5.38)
 dt
qi
qi 

1 
Введем функцию T  V 2 ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) , где V задается формулой
2
(1.5.31). Будем иметь


 V
 V
T
T
(V ,
)
(V ,
)
,
.
qi
qi
qi
qi
Подставляя в (1.5.38), окончательно найдем
1  d T T 
Wi 

(1.5.39)
 , i  1,2,3 .
H i  dt qi qi 
Эта формула называется формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки. Таким образом, доказали следующую теорему.
Wi 
1
Hi
Теорема Лагранжа.

Ковариантные координаты вектора W ускорения материальной точки выражаются по формуле (1.5.39).
- 72 -
Если криволинейные координаты ортогональны, то Wi  W (i ) , i  1,2,3 . В таком
случае формула (1.5.38) позволяет вычислить контравариантные координаты W (i ) век
тора W .
d 

Оператор Eqi 
называется оператором Эйлера-Лагранжа. Через

dt qi qi
него формула Лагранжа записывается следующим образом
1 
1
T  V 2 ( q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 ) .
Wi 
Eqi (T ) ,
2
Hi
§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах
Определим кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах. Как отметили в §5, связь цилиндрических и декартовых координат задается формулами




(1.6.1)
x   cos  , y   sin  , z   , r  x i  y j  z k .
Полагаем
q1   , q2   , q3   .
1. Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке P


1 r
,
ei 
i  1,2,3 .
H i qi
Для этого находим коэффициенты Ламе:
2
2
2
 x   y   z 
H q1  H           .
        
Подставляя формулы (1.6.1) для x , y , z и вычисляя производные по  , получим H q1  H   1 .
Аналогично вычисляются H  , H : H q2  H   , H q3  H  1 . А тогда




1 r 
e1 
 i cos   j sin   e ,
H  




de 

1 r
e2 
  i sin   j cos  
 e ,
H 
d



1 r 
e3 
 e  k .
H  
  
Направления векторов e , e , e показаны на рис.1.5.1.

 
2. Непосредственным вычислением ei и (ei , e j ) для i, j  1,2,3 легко показать,
  
что e1 , e2 , e3 — ортонормированный ортогональный базис, т.е. цилиндрическая система координат — это ортогональная криволинейная система координат.

  
3. Вычислим скорость V в проекциях на орты e , e , e . Поскольку цилиндрическая система координат ортогональная, то
V1  V (1)  V  ,
V2  V
( 2)
 V ,
V3  V
( 3)
 V .
- 73 -
А тогда, поскольку V (i )  H i qi , получаем
V1  V  H     ,
V2  V  H      ,
V  V  H    ,

3

V  V  V  V   2   2 2   2 ,




V   e    e   e .
2
1
2
2
2
3

Из последней формулы легко находятся направляющие косинусы V в декартовой системе координат Oxyz :
  V
cos (V , i )  x  V 1 (  cos     sin  ) ,
V
  Vy
cos (V , j )   V 1 (  sin     cos  ) ,
V
  V
cos (V , k )  z  V 1  .
V

  
4. Вычислим ускорение W в проекциях на орты e , e , e . Применим формулу
Лагранжа. Для этого определим функцию T :
1
1
T  V 2  (  2   2 2   2 ) .
2
2
T
T
2
Отсюда находим
  . Согласно формуле Лагранжа имеем
  ,


W (1)  W1  W 
1  d T T 

.
H   dt   
Следовательно, W     2 .
Проведя аналогичные расчеты для координат  и  , получим:
T
T
  2 ,
 0,


W ( 2)  W2  W 
1  d T T  1 d


(  2 ) ,
H  dt     dt
или W  2   ,
T
  ,

W (3)  W3  W 
или
T
 0,

1  d T T 

,
H   dt   
W   .

Тогда для W  W будем иметь
W  (    2 ) 2  (2  ) 2  2 .

Направляющие косинусы W в системе Oxyz будут выражаться по формулам:
  W
cos (W , i )  x  W 1 ( (    2 ) cos   (2   ) sin  ) ),
W
- 74 -
  W
cos (W , j )  y  W 1 ((    2 ) sin   (2   ) cos  ) ),
W
  W
cos (W , k )  z  W 1  .
W


Формулы для направляющих косинусов вектора V и вектора W получены про  
ектированием на орты i , j , k векторов

V V  V  V 

e 
e 
e ;
V V
V
V
W W  W  W 

e 
e 
e .
W W
W
W
§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах
Как отметили в §5, формулы связи декартовых и сферических координат имеют
вид:




x  r cos  cos  , y  r cos  sin  , z  r sin  , r  x i  y j  z k .
Полагаем
q1  r , q2   , q3   .
1. Вычислим базис криволинейной аффинной системы координат


1 r
,
ei 
i  1,2,3 .
H i qi
Коэффициенты Ламе H i будут выражаться через криволинейные координаты
r ,  ,  по формулам:
H r  H1 
 x   y   z 
         1;
 r   r   r 
H  H2 
 x   y   z 
         r cos  ;
        
2
2
2
2
H  H 3 
2
2
2
2
2
 x   y   z 

  
  
  r .
        
А тогда


 
1  x  y  z   
e1  er 
i
j  k   i cos  cos   j cos  sin   k sin  ,

H1  r
r
r 





 
1  x
y
z  
1 er
e2  e 
i

j

k


i
sin


j
cos


,
H 2  

 
cos  




 
1  x  y  z  
er
e3  e 
i

j

k


i
sin

cos


j
sin

sin


k
cos


.
H 3  

 


 
2. Легко показать, что (ei , e j )  0 , ei  1 , i  j , i, j  1,2,3 , т.е. сферическая система координат — ортогональная.

  
3. Вычислим скорость V в проекциях на орты er , e , e , т.е. вычислим ковари
антные координаты V1 , V2 , V3 скорости V . Поскольку сферическая система координат
ортогональная, то
- 75 -
V (1)  V1  Vr  H r r  r ,
V ( 2)  V  V  H   r cos   ,
2


V (3)  V3  V  H   r  ,

V  V  V12  V22  V32  r 2  r 2 2cos 2   r 2 2 .

Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы V в системе
Oxyz :
 


 
1
cos (V , i )  ( Vr er  V e  V e , i ) 
V
1
 V ( r cos  cos   r cos  sin   r sin  cos  ),
 
cos (V , j )  V 1 ( r cos  sin   r cos  cos   r sin  sin  ) ,
 
cos (V , k )  V 1 ( r sin   r cos  ) .

  
4. Вычислим ускорение W в проекциях на орты er , e , e , используя формулу
Лагранжа. Для этого построим T :
1
1
T  V 2  ( r 2  r 22 cos 2   r 2 2 ) .
2
2
T
T
Тогда
 r ( 2 cos 2    2 ) . Отсюда, применяя формулу Лагранжа,
 r ,
r
r
находим
1  d T T 
W (1)  W1  Wr 

 r  r ( 2 cos 2    2 ) .
(1.7.1)
H r  dt r r 
Аналогично для W2 получаем
T
T
 r 2 cos 2  ,
 0,



1  d T T 
W ( 2)  W2  W 


H   dt   
(1.7.2)
1 d 2
2





(r  cos  )  2r cos   r cos   2r sin  .
r cos  dt
В свою очередь, для W3 будем иметь
T
T
 r 22 cos  sin  ,
 r 2 ,


1  d T T 

 2 r   r   r 2 cos  sin  .
(1.7.3)
H  dt   

Подстановкой (1.7.1), (1.7.2), (1.7.3) в формулу W  W  W12  W22  W32 моW (3)  W3  W 
жем выписать выражение для модуля ускорения W .
Подстановка W , W1 , W2 , W3 в соотношения
  W
cos (W , i )  x  W 1 (W1 cos  cos   W2 sin   W3 sin  cos  ) ,
W
 
W
cos (W , j )  y  W 1 (W1 cos  sin   W2 cos   W3 sin  sin  ) ,
W
- 76 -
  W
cos (W , k )  z  W 1 (W1 sin   W3 cos  )
W

дает формулы связи направляющих косинусов вектора W в системе Oxyz с криволинейными координатами r ,  ,  , обобщенными скоростями r ,  ,  и обобщенными
ускорениями r ,  ,  .
§8. Примеры решения задач и вопросы
8.1. Примеры решения задач к разделу «Глава 1»
В этом пункте приводятся примеры использования теоретического материала,
изложенного в первой главе, для решения задач кинематики точки. Задачи 1, 2 посвящены определению траектории и закона движения точки по траектории. В задачах 3, 4
находятся скорость и ускорение в декартовой и естественной системах координат. В
задаче 5 рассматривается круговое движение точки. Соответствующий теоретический
материал излагается в §2 (задачи 1-4) и §3 (задача 5).
Задача 1. Даны уравнения движения точки М в координатном виде:
x  2a cos 2 kt / 2, y  a sin kt
где a и k – положительные постоянные. Определить уравнение движения точки в векторном виде. Определить также траекторию и закон движения точки по траектории,
отсчитывая расстояние от начального положения точки.
Решение: Задано движение точки М в координатном виде, то есть x=x(t), y=y(t).
Вектор-функция для радиус-вектора точки М имеет вид:




r (t )  x(t )i  y(t ) j  2a cos(kt / 2)i cos(kt / 2)  j sin(kt / 2) ,
что соответствует векторному заданию движения.
Чтобы определить траекторию, нужно исключить время t из уравнений движения. Для этого преобразуем эти уравнения с помощью формулы
cos2 (kt /2)  1 cos(kt)/2 :
xa
y
cos(kt) 
, sin(kt)  .
a
a
Возводя каждое из преобразованных уравнений в квадрат и складывая их, мы исключим время t и получимуравнение траектории в виде
y 2  (x  a)2  a2 .

Это окружность радиуса a с центром в точке с координатами (a,0). Закон движения
s =s(t) точки М по этой окружности находим по формуле для дифференциала дуги

ds  (dx)2  (dy)2 .
Последовательно вычисляем:
dx  ak sin(kt)dt , dy  ak cos(kt)dt 

ds  ak dt  s  akt  C ,
где С – постоянная интегрирования, получаемая из начальных условий движения. Так
как в начальный момент времени t =0, s =0, то C =0.
Задача 2. Пусть уравнения движения точки М заданы в виде
h
x  R cos t , y  R sin t , z 
t.
2
- 77 -
Определить уравнение движения точки в векторном виде. Определить также траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.
Решение: Согласно уравнениям движения, проекция N точки М на плоскость
Oxy описывает окружность радиуса R. Поскольку для точки N угол поворота  (t )  t ,
то она совершает один оборот вокруг точки O по этой окружности за время T  2 /  ,
так как  (T )  T  2 . В начальный момент времени точки M и N находились на оси
Ox. Координата z точки M пропорциональна времени t и в момент времени t=T:
h
z (T ) 
T  h.
2
Таким образом, точка M, поднимаясь пропорционально времени, за время полного оборота своей проекции N, т.е. за время T, поднимается по вертикали на высоту h. Такое
движение точки называется винтовым, а величина h – шагом винта. Уравнения движения являются параметрическими уравнениями винтовой линии. Из последнего уравнения имеем, что t  2 z /(h) , и, подставляя это значение в первые уравнения, будем
иметь
 2 
 2 
x  R cos
z , y  R sin
z .
 h 
 h 
Каждое из этих уравнений определяет в пространстве поверхность, а совокупность
обоих уравнений – кривую, образованную пересечением этих поверхностей. Эта кривая
и является траекторией движения, т.е., в данном случае, винтовой линией. Чтобы получить закон движения по этой траектории, применим соответствующую формулу дифференциала дуги пространственной кривой:
ds  (dx) 2  (dy) 2  (dz ) 2 .
Пользуясь уравнениями (1.2.15), последовательно получаем:
dx   R sin(t )dt , dy  R cos(t )dt , dz 
h
dt 
2
t
4 2 R 2  h 2  C ,
2
где С – постоянная интегрирования, получаемая из начальных условий движения. Так
как в начальный момент времени t =0, s =0, то C =0.

В заключение примера напишем выражение для радиуса-вектора r (t ) точки

h  

r (t )  R i cos t  j sin t 
tk ,
2 

соответствующее векторному способу задания движения.
s(t ) 
Задача 3. Найти радиус кривизны при x =y =0 траектории точки, описывающей
фигуру Лиссажу согласно уравнениям
x  asin2t,
y  asint.
Решение: Фигура Лиссажу – траектория, возникающая в результате наложения
двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
Вычислим проекции скорости и ускорения на декартовы оси координат:
 V  x  2a cos 2t , V  y  a cos t ,
x
y
W x  x  4 2 a sin 2t , W y  y  a 2 sin t.
Найдем момент времени, когда декартовы координаты точки принимают значения x =y =0:
- 78 -
x  asin2t  0  t  n /2, n  Z 
 t  l /, l  Z
y  asint  0  t  l /, l  Z

Проекции ускорения при найденном значении времени будут равны нулю, следовательно ускорение
W  W x2 W y2  0.

С другой стороны, в естественной системе координат
W  W2 Wn2  0  W  0, Wn  0.
V2
Следовательно, так как 
Wn 
 0, то   .

Задача 4. 
Точка М движется по винтовой линии согласно уравнениям
h
(1.8.1)
x  R cos t , y  R sin t , z 
t.

2

Найти скорость, ускорение и радиус кривизны траектории для точки М. Определить
годографы скорости и ускорения для этой точки.
Решение: Найдем проекции скорости точки М на декартовы оси, исходя из уравнений движения (1.8.1):
dx
dy
dz h
(1.8.2)
Vx 
 R sint, Vy 
 R cos t, Vz 

.
dt
dt
dt 2

Вектор скорости v запишется в виде






h 
V  V x i  V y j  V z k  i R sin t  j R cos t 
k,
2


а его модуль равен

4 2R 2  h 2 .
2
Направляющие косинусы вектора скорости равны

V
2R
cos(V , x )  x  
sin t ,
V



V y 2R
cos(V , y ) 

cos t,
V


V
h
cos(V , z )  z  ,
V

где   4 2 R 2  h 2 . Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, как
это и должно быть в силу известной формулы аналитической геометрии. Поскольку

cos(v , z)  const , то касательная к винтовой линии в каждой её точке образует с осью z
постоянный угол:

h
  (V , z )  arccos .

Поскольку модуль скорости постоянен во все время движения, то заданное уравнениями (1.8.1) движение по винтовой линии является равномерным. В этом случае путь,
пройденный точкой М от нулевого положения, определяется формулой

s(t)  Vt 
t.
2
Найдем теперь проекции ускорения точки М на декартовы оси, исходя из уравнений
движения (1.8.1):
dV
dV
dV
W x  x  R
 2 cos t, W y  y  R 2 sint, W z  z  0.
(1.8.3)
dt
dt
dt
V  Vx2 Vy2 Vz2 
- 79 -


Вектор скорости w запишется в виде r
r
r
r
r
r
W  Wx i Wy j Wz k  i R 2 cost  j R 2 sint,
а его модуль равен
W  W x2 W y2 W z2  R 2
есть величина
 постоянная. Направляющие косинусы вектора ускорения определяются
формулами:

W
cos(W , x )  x   cos t ,

W

Wy
cos(W , y ) 
  sin t,
W

W
cos(W , z )  z  0.
W
Из последней формулы следует, что
r
(W ,z)   /2,
т.е. при движении точки М вектор ускорения всегда перпендикулярен оси Oz и, значит,
расположен в плоскости, параллельной Oxy. Так как модуль скорости есть величина
постоянная, то проекция вектора ускорения точки на касательную равна нулю

dV
W 
 0.
dt

Если касательное ускорение равно нулю, то нормальное ускорение wn будет совпадать

с полным ускорением точки w и, следовательно,
Wn  W  R 2 .

Радиус кривизны траектории (винтовой линии) найдется из формулы:
V 2  2 (4 2 R 2  h 2 )
h2


R

.
 W n
4 2 R 2
4 2 R

Теперь перейдем к определению годографов скорости и ускорения. Уравнения годографа скорости получим, исключая из уравнений (1.8.2) время t. Будем иметь
h

Vx2  Vy2  R 2 2, Vz 
.
2
Эти уравнения определяют окружность, лежащую в плоскости vz  h /( 2 ) с центром
на оси Ovz и радиусом R . Годограф ускорения получим, если из уравнений (1.8.3)
исключим время t. Будем
 иметь
Wx2 Wy2  R2 4 , Wz  0.
Эти уравнения определяют окружность, лежащую в плоскости Owx wy с центром в
начале координат О и радиусом R 2 .
 радиуса R вращается равномерно замедленно вокруг непоЗадача 5. Колесо
движной оси, перпендикулярной плоскости колеса, и, сделав N оборотов, останавливается. Начальная угловая скорость 0  0 . Найти угловое ускорение  колеса и ускорение точки М обода колеса.
Решение: Движение колеса происходит равнозамедленно, следовательно, угловая скорость колеса изменяется равномерно по закону
  0  t ,
(1.8.4)
а закон изменения угла поворота колеса
- 80 -
   0  0 t 
t 2
(1.8.5)
.
2
Угол отсчитывается от нулевого положения, поэтому 0  0 . За один оборот колесо поворачивается на угол 2 . В момент Т остановки колесо, сделав N оборотов, останавливается. Следовательно, угол поворота в этот момент  (T )  2N , а угловая скорость
 (T )  0  T  0 . Из последней формулы находим, что T  0 /  . Подставляя это
выражение и значение  (T ) в формулу (1.8.5), получаем
 (T )  2N  0T 
T 2

02  02
2
 2  0 .
 2
2
2
Отсюда находим   02 /( 4N ).
Перейдем к поиску ускорения точки М обода колеса. Это ускорение складывается из касательной и нормальной составляющих. Проекция ускорения на касательную к
ободу колеса
R 02
W  R  
.
4N
Так как w  0 , то касательная составляющая ускорения направлена противоположно
движению.
Чтобы найти нормальную
составляющую, необходимо знать закон изменения

угловой скорости колеса. Формула (1.8.4) с учетом найденного углового ускорения,
принимает следующий вид:
  0 
следовательно,
02
t,
2N
W n  R 2  R  0   02t /(4N) .
2
Модуль ускорения точки М

 04
 2 
W  W  W  R
 0  0 t  .
2 2  

16 N 
4N 
Для определения направления ускорения w, найдем тангенс угла  между этим ускоре4
2
2
n
нием и направлением нормали:

8.2. Вопросы для тестирования к разделу «Глава 1»
Перечислите способы задания движения материальной точки.
Как найти скорость и ускорения при векторном задании движения?
Как найти скорости и ускорения при координатном способе задания движения.
Что такое годограф вектор-функции, задающей движение?
Какая связь между годограф вектор-функции и траекторией движения?
Что называется естественным трехгранником?
Что такое кривизна кривой и радиус кривизны кривой в точке Р?
Что такое репер Френе?
Какова связь между естественным способом задания движения и векторным
способом?
10. В какой плоскости лежит мгновенное ускорение точки Р и чему оно равно, согласно теореме Гюйгенса?
11. При каком движении радиус кривизны траектории остается постоянным?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
- 81 -
12. Приведите формулу Эйлера для кругового движения.
13. Приведите формулу Ривальса для кругового движения.
14. Какими свойствами по определению должны обладать криволинейные координаты?
15. Что такое полярная система координат.
16. Что такое цилиндрическая система координат.
17. Что такое сферическая система координат.
18. Что такое координатные поверхности и координатные линии? Объясните эти
понятия на примере цилиндрической системы координат.
19. Приведите формулу для вычисления коэффициентов Ламе.
20. Какова связь между декартовыми и контравариантными координатами?
21. Условия ортогональности криволинейной системы координат.
22. Что такое ковариантные координаты?
23. Определите скорость точки в полярной системе координат, используя коэффициенты Ламе.
24. Определите ускорение точки в цилиндрической системе координат.
- 82 -
ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§1. Связи и их классификация
1º. Понятие связи. Способы описания связей
Во введении были даны понятия механической системы (МС), твердого тела,
положения механической системы, ее движения, скорости и ускорения.
В соответствии с понятием механической системы, для того чтобы совокупность
материальных точек образовывала механическую систему, необходимо, чтобы движение каждой точки данной совокупности оказывало влияние на движение хотя бы одной
из точек, входящих в ее состав. Такое влияние осуществляется через связи.
Дадим понятие связи и поясним способы их задания. Здесь и далее N обозначает количество материальных точек, входящих в состав механической системы.
Определение 1.
Ограничения, накладываемые на кинематические характеристики и (или) на
движения точек механической системы, называются связями.
В механике приняты два способа описания связей.
Один способ — это описание связей с помощью задания сил взаимодействия
или силовых полей. Такой способ называется динамическим.
Другой способ — это описание (или иначе, — задание) связей с помощью математических соотношений в виде равенств или неравенств. Такой способ называется кинематическим.
Чтобы пояснить суть динамического способа описания связей, дадим следующие определения.
Определение 2.
Причина, по которой возникает ускорение материальной точки, называется
силой, действующей на эту материальной точку (или иначе, силой, приложенной к
данной точке).
Пусть заданы две материальные точки P1 и P2 .
Определение 3.
Если причиной возникновения ускорения материальной точки P1 является присутствие в пространстве точки P2 , то эта причина (сила) называется силой действия (воздействия) точки P2 на точку P1 .
Если при этом точка P1 является причиной возникновения ускорения точки P2 ,
то это значит, что присутствуют две силы: сила действия точки P1 на точку P2 и
сила действия точки P2 на точку P1 . В таком случае любая из этих двух сил называется силой взаимодействия точек P1 и P2 .
Динамический способ состоит в описании сил взаимодействия, возникающих
между точками. При описании сил среди взаимодействующих точек одна обязательно
принадлежит материальной системе, а другая взаимодействующая с ней точка может
принадлежать или не принадлежать этой системе.
Пример 1 (динамического способа описания связей).
Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух материальных точек,
соединенных пружиной (рис. 2.1.1). Силы взаимодействия точек P1 и P2 с точками
крепления пружины подчиняются закону Гука:


(2.1.1)
F12   c ( x2  x1  l ) i ;


(2.1.2)
F21   c ( x2  x1  l ) i .
- 83 -
В (2.1.1) и (2.1.2) введены обозначения:

F12 — сила, действующая со стороны пружины на точку P2 ;

F 21 — сила, действующая со стороны пружины на точку P1 ;
c — жесткость пружины;
l — длина пружины в уравновешенном (свободном) состоянии;
x i — координаты точки Pi , i  1, 2 .
m1

i
P1
O ———————————

F 21
x1
m2
P2
l

F12
x
x2
Рис.2.1.1
В данном примере связь точек P1 и P2 реализуется пружиной. Не будем включать пружину в состав элементов механической системы. Однако влияние пружины на


движения точек P1 и P2 заменим силами ее реакций F 21 и F12 . Тем самым полагаем,
что движение точек P1 и P2 , связанных пружиной, происходит таким образом, что на


точки P1 и P2 действуют силы F 21 и F12 , подчиняющиеся законам (2.1.1) и (2.1.2).


В такой трактовке, согласно определению 4, силы F 21 и F12 являются силами взаимодействия точек P1 и P2 . Причем законы изменения этих сил известны и имеют
вид (2.1.1) и (2.1.2).
Таким образом, пришли к модели механической системы, состоящей из двух материальных точек с заданными законами взаимодействия этих точек. Описанная модель
дает пример системы с динамическим способом описания связи.
Пример 2.
Другим примером механической системы со связями, описываемыми динамическим способом, может служить Солнечная система. Элементами (материальными объектами) ее будем считать Солнце и планеты, движущиеся вокруг него. Связи элементов
такой механической системы реализуется гравитационными силовыми полями, создаваемыми каждым элементом. Реакцией связи, действующей на любой элемент Солнечной
системы со стороны другого ее элемента, является сила притяжения силового поля,
создаваемого этим (другим) элементом. Она вычисляется через потенциал силового поля, построенный на основе закона всемирного тяготения Ньютона.
Таким образом, данный пример является примером механической системы, в которой в качестве связей выступают силовые поля, и эти связи описываются динамическим способом.


В приведенном выше примере 1 силы взаимодействия F 21 и F12 также можно
трактовать, как силы, которые действуют в силовых полях, называемых силовыми полями упругого взаимодействия. При этом считать, что эти силовые поля создаются материальными точками P1 и P2 .
Поясним теперь суть кинематического способа задания связей. Выше было отмечено, что при таком способе описания связей ограничения на движения и кинемати- 84 -
ческие характеристики материальных объектов задаются математическими соотношениями, записанными в виде равенств и (или) неравенств.
Определение 4.
Математическое соотношение, описывающее связь кинематическим способом,
называется математической моделью связи.
Таким образом, математическая модель связи при кинематическом способе задания в общем случае может иметь вид:
 


 
f (r1 ,..., rN , V1 ,..., VN , W1 ,..., WN , t )  0
или
 


 
f (r1 ,..., rN , V1 ,..., VN , W1 ,..., WN , t )  0 .
В механической системе могут присутствовать связи, описываемые любым способом, как кинематическим, так и динамическим. В зависимости от того, какие связи
присутствуют в механической системе, в механике различают свободные и несвободные механические системы.
Определение 5.
Если на механическую систему не накладываются связи, описываемые кинематическим способом, то такая система называется свободной.
Из понятия «механической системы» и из определения 5 следует, что свободной
может быть только такая система материальных точек, в которой все связи описываются лишь динамическим способом.
Понятие свободной механической системы, данное в определении 5, нельзя
применить к жестким (неизменяемым) системам, ибо в жестких системах существенным является условие, согласно которому взаимное расстояние между точками, входящими в ее состав, остаются постоянными на любых движениях.
Математически данное условие представляется следующей системой равенств

|    |  const для   ,  1, N ,    .
(2.1.3)


В (2.1.3) обозначено     P P , где P и P — точки жесткой системы;    —
положение точки P относительно точки P в любой момент времени t на любом движении механической системы.
Равенства (2.1.3), согласно определению 4, представляют собой математические
модели связей, действующих в жесткой системе, которые описываются кинематическим способом. Они задают ограничения на взаимные расположения точек такой системы.
В определении 5 о свободной механической системе говорится как о системе, в
которой полностью отсутствуют связи, задаваемые кинематическим способом (стало
быть, должны отсутствовать и связи (2.1.3)). Но отсутствие связей (2.1.3) не позволяет
судить о механической системе как о системе жесткой. В связи с этим класс свободных
жестких систем выделяется следующим определением.
Определение 6.
Если в жесткой механической системе нет связей, описываемых кинематическим способом, кроме связей (2.1.3), то такая система называется свободной.
В разделе «Динамика» курса теоретической механики рассматриваются механические системы со связями, описываемые любым способом, как кинематическим, так и
динамическим.
В разделе «Кинематика» рассматриваются механические системы только со связями, которые описываются кинематическим способом.
- 85 -
2º. Кинематический способ описания связей и их классификация
При кинематическом способе описания связей принята следующая их классификация в зависимости от вида математических моделей.
1.
2.
Связи удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) — таковыми являются
связи, математические модели которых представимы в виде равенств:
 


 
f  (r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , W1 , ..., WN , t )  0 ,   1, k .
Связи неудерживающие (односторонние, освобождающие) — это связи, математические модели которых представимы неравенствами:
 


 
f  (r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , W1 , ..., WN , t )  0 ,   1, k .
Примечание 1. В дальнейшем рассматриваются только удерживающие связи.
3.
Геометрическая (голономная, конечная) связь — связь, имеющая математическую
модель следующего вида:


f (r1 ,..., rN , t)  0 (отсутствуют скорости и ускорения всех точек).
4.
Дифференциальные связи.
Дифференциальная связь первого порядка — таковой называется связь, уравнение
которой имеет вид:


 
F (r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , t )  0

(обязательно присутствует скорость V хотя бы одной точки, и отсутствуют ускорения всех точек).
Дифференциальная связь второго порядка — связь, которая задается уравнением:
 


 
 (r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , W1 , ..., WN , t )  0

(обязательно присутствует ускорение W хотя бы одной точки).
Стационарные (склерономные) голономные связи:


f (r1 ,..., rN )  0 .
К таким связям относятся голономные связи, в математические модели которых
время не входит явно.
6. Нестационарные (реаномные) голономные связи:


f (r1 , ..., rN , t )  0 .
К ним относятся голономные связи, в математические модели которых время
входит явно.
7. Внутренняя связь.
Внутренней называется связь, в математической модели которой участвуют
кинематические характеристики только тех материальных точек, которые входят
в состав механической системы. Такая связь накладывает ограничения на взаимные расположения, и, быть может, на относительные скорости и ускорения этих
точек при их движении друг относительно друга.
8. Внешняя связь.
Внешней называется связь, которая накладывает ограничения на кинематические характеристики точек механической системы относительно точек, которые
не входят в ее состав. Иначе говоря, внешняя связь накладывает ограничения на
абсолютные положения, абсолютные скорости и абсолютные ускорения точек системы.
5.
- 86 -
Примечание 2.
Понятие стационарных (дифференциальных) неголономных связей будет дано
ниже в §3, п. 5º.
§2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями
на скорости и ускорения материальных точек
1º. Ограничения, накладываемые геометрическими связями
на скорости материальных точек
Пусть заданы геометрические связи


(2.2.1)
f (r1 , ..., rN , t )  0 ,
  1, l .
Здесь и в дальнейшем рассматриваются только такие геометрические связи, в


которых функции f (r1 , ..., rN , t ) дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности аргументов. Если механическая система, подчиненная связям (2.2.1), совершает
движение
 
(2.2.2)
r  r (t ) ,
  1, N ,
то это значит, что при любых t выполняется


f (r1 (t ), ..., rN (t ), t )  0 ,
  1, l .
В таком случае о движении (2.2.2) будем говорить, что оно тоже подчиняется связям
(2.2.1) ) и называть его возможным или, иначе, допустимым движением.
Дифференцируя по t данные тождества, получим
N
f
f
f
f
(2.2.3)
(  x   y   z )    0 ,
  1, l .


x

y

z
t
 1



Для сокращения записи формул будем применять следующие обозначения:
f  f  f 
f
i
j
k  grad f   .
x
y
z
r
  
Здесь i , j , k — орты фиксированной системы отсчета. Тогда, учитывая, что в систе 



ме отсчета имеет место равенство x i  y j  z k  V , где V — скорость точки P механической системы, тождества (2.2.3) можно записать в виде
N

df
f
(2.2.4)
  ( grad f ,V )    0 ,
  1, N .
dt  1
t
Вектор grad f называется градиентом функции f  по переменным x , y , z ,

или, иначе, градиентом функции f  по радиус-вектору r .
Введем следующие кинематические уравнения связей первого порядка:
N

f
(2.2.5)
( grad f ,V )    0 ,
  1, l .

t
 1
Уравнения (2.2.5) получены из формулы (2.2.4) заменой тождеств на равенства.
Из (2.2.4) следует, что голономные связи (2.2.1) накладывают ограничения вида
(2.2.5) на скорости точек механической системы, так как если движения механической
системы подчиняются голономным связям (2.2.1), то на таких движениях выполняются
и кинематические связи (2.2.5).
Вывод.
Геометрические связи (2.2.1) всегда можно заменить дифференциальными связями первого порядка вида (2.2.5). Дифференциальные связи (2.2.5) задают ограничения на скорости точек механической системы.
- 87 -
 
Однако следует заметить, что другие движения r  r(t ) ,   1, N , механической системы, удовлетворяющие уравнениям геометрических связей


(2.2.6)
f (r1 , ..., rN , t ) = c ,
  1, l ,
где c — произвольно выбранные (фиксированные) постоянные. Эти движения, как и
 
движения r  r (t ) ,   1, N , удовлетворяющие уравнениям связи (2.2.1), обращают
уравнения дифференциальных связей (2.2.5) в тождества.
Это означает, что дифференциальные связи (2.2.5), заменяющие уравнения геометрических связей (2.2.1), задают не только связи (2.2.1), но и связи (2.2.6). Связи
(2.2.1) принадлежат l -параметрическому семейству связей (2.2.6) и получаются из него, если положить c  0 ,   1, l . А потому, если в момент времени t 0 в положении
r 0  1,N механической системы выполняется


(2.2.7)
f (r10 , ..., rN 0 , t0 )  0 ,
  1, l ,
и движение системы удовлетворяет уравнениям дифференциальных связей (2.2.5) при
всех t , то на нем будут выполняться уравнения геометрических связей (2.2.1).
Из приведенных рассуждений следует, что при замене связей (2.2.1) на дифференциальные связи (2.2.5) необходимо дополнительно задать ограничения (2.2.7) на
положения механической системы в некоторый момент времени t 0 .
Такое дополнение требуется для того, чтобы выделить из всего семейства движений, удовлетворяющих уравнениям дифференциальных связей (2.2.5), только такие,
которые удовлетворяют уравнениям геометрических связей (2.2.1), или иначе, уравнениям (2.2.6) при c  0 ,   1, l .
2º. Ограничения, накладываемые геометрическими связями
на ускорения материальных точек
Найдем ограничения, которые накладывают голономные связи на ускорения точек механической системы. Для этого продифференцируем тождества (2.2.3) вдоль
движений (2.2.2). Получим
N
N N

 2 f
 2 f
 2 f
( grad f ,W )   (
x x  
y x 
z x 

y x
z x
 1
 1  1 x x

 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
x y  
y y  
z y  
x z 
y z 
z z ) 
x y
y y
z y
x z 
y z 
z z 
N
 (
 1
N
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
2 f
x 
y 
z )   (
x 
y 
z )  2  0 ,
t x
t y
t z
y t
z t
t
 1 x t
  1, l .
Символически в векторной форме эти тождества будем записывать в следующем виде:
N
N N

 
 ( grad f ,W )   ( grad ( grad f ,V ),V ) 
 1
 1  1
N




2 f
  ( grad f ,V )   ( grad f ,V )  2  0,
t
 1 t
 1 t
N
- 88 -
(2.2.8)
  1, l.

Здесь ( grad f ,W ) — это скалярное произведение градиента функции f  по


вектору r на ускорение W точки P механической системы, а слагаемое
 
( grad ( grad f ,V ),V ) символически заменяет собой следующее выражение:
  2 f

,
  x x
 x   2
 

  f
( grad ( grad  f ,V ),V )   y  
,

 z   y x
  
  2 f
,

 z x
 2 f
 2 f 
,
x y x z  
  x  
 2 f
 2 f  
 y   .
,
y y y z   

  z 


2
2
 f
 f 
,

z y z z  
Правая часть его является формой второго порядка относительно компонент


скоростей V и V  :








V  x i  y j  z k ,
V  x i  y  j  z k .
В третьем члене тождества (2.2.8) скалярное произведение частной производной


grad f на скорость V в дальнейшем символически будем представлять также в
t
виде:


 2 f 
( grad f , V )  (
 ,V ) .
t
t r
Запишем вместо тождеств (2.2.8) равенства:
N
N N

 
 ( grad f ,W )   ( grad ( grad f ,V ),V ) 
 1
 1  1
(2.2.9)


 2 f
 2 ( grad f ,V )  2  0 ,
  1, l .
t
 1 t
При записи соотношения (2.2.9) учтен тот факт, что
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f
 2 f



,
,
,
y t t y
x t t x
z t t z
ибо f  — дважды непрерывно дифференцируемые функции по совокупности аргументов.
Уравнения (2.2.9) являются уравнениями дифференциальных связей второго
порядка. Из тождеств (2.2.8) вытекает, что движения (2.2.2) удовлетворяют полученным уравнениям дифференциальных связей (2.2.9).
Это означает, что геометрические связи (2.2.1) накладывают ограничения вида
(2.2.9) на ускорения точек механической системы.
В свою очередь это означает также, что, как и в п.1º, справедлив вывод о том,
что геометрические связи вида (2.2.1) можно заменить дифференциальными связями
второго порядка вида (2.2.9).
Однако при такой замене следует указывать дополнительно не только ограничения (2.2.7) на начальное положение механической системы, но и ограничения на

начальные скорости V 0  1, N в момент времени t 0 следующего вида
N

f
( grad f ,V 0 )    0 ,
  1, l .

t
 1
N
 
- 89 -
Здесь коэффициенты grad f ,   1, l ,   1, N , при начальных скоростях и

f
свободные члены  ,   1, l , вычисляются в начальном положении r 0  1, N в моt
мент времени t 0 .
3º. Понятие интегрируемых связей
Из выше сказанного делаем общий вывод о том, что любая геометрическая
связь (2.2.1) с номером  может быть представлена как дифференциальная (вида
(2.2.5) или вида (2.2.9)).
Однако обратное утверждение неверно: не всегда можно заменить дифференциальную связь геометрической. Это будет показано далее в §3 на примере линейных
дифференциальных связей.
Определение.
Если дифференциальную связь второго порядка можно заменить дифференциальной связью первого порядка, то такая связь называется интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.
Если дифференциальную связь первого порядка можно заменить геометрической, то такая связь также называется интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.
В следующем параграфе будут даны необходимые и достаточные условия интегрируемости линейных дифференциальных связей первого порядка.
§3. Линейные дифференциальные связи первого порядка
и условия их интегрируемости
1º. Линейные дифференциальные связи первого порядка и их приведение
к дифференциальным уравнениям в полных дифференциалах
Определение 1.
Уравнения связей вида
N


(a  ,V )  a  0 ,


  1, s
(2.3.1)
1
называются линейными дифференциальными связями.

Здесь векторы a   и скалярные функции a  ,   1, s , зависящие от векторов


r1 , ..., rN и времени t , являются непрерывно дифференцируемыми функциями компонент x , y , z ,   1, N , и времени t .
В скалярной форме уравнения линейных дифференциальных связей записываются так:
N
( a 


1
x  a  y y  a  z z )  a  0 ,
x 
  1, s .
Перейдем к матричной записи этих уравнений. Введем обозначения:
1  x1, 1  y1 3  z1, , 3  2  x , 3 1  y , 3  z ,
  1, N ;
  (1 , ..., 3 N ) * — вектор-столбец размерности [ 3N 1] ;
a  (a1 , ..., as ) * — вектор-столбец размерности [ s 1] ;
- 90 -
(2.3.2)
 a11x , a11y , a11z , , a1Nx , a1Ny , a1Nz 


Bs  



;


 as1x , as1 y , as1z , , asNx , asNy , asNz 
(2.3.3)
Bs — матрица размерности [s  3N ] , составленная из коэффициентов при x , y , z
уравнений (2.3.2). Тогда система (2.3.2) примет вид:
Bs   a  0 .
На матрицу (2.3.3) накладываем следующие условия:
1) матрица Bs и вектор a непрерывно дифференцируемы по компонентам вектора
 и по времени t ;
2) rang Bs  s , т.е. строки матрицы Bs линейно независимы при любых
t , 1 , ..., 3 N .
Умножим каждое уравнение системы (2.3.2) на dt . Получим систему
Bs  dt  a dt  0 .
Учтем, что на движениях механической системы  dt  d и введем обозначения:
3 N 1  t ;
i  i , i  1, 3N ,
  3 N 1  a при j  3N  1 ;
 j  d j при j  1, 3N ,
n  3N  1 .
Здесь d j — элемент матрицы Bs под номером j , a  — элемент вектора a .
~
Присоединим к матрице Bs столбец a . Новую матрицу обозначим Bs . Тогда (2.3.2) примет вид
n
   d
j 1
j
j
 0 ,   1, s .
(2.3.4)
Здесь d j — дифференциал функции  j ;  j   j (1 , ...,n ) — функции, непрерывно
дифференцируемые по всем аргументам.
На уравнения (2.3.4) можно смотреть как на уравнения в полных дифференциалах
(или точных дифференциалах), которые должны выполняться при любых значениях
d j вдоль движений механической системы, удовлетворяющих уравнениям связей.
2º. Понятие уравнений в полных дифференциалах
В общем случае под системой уравнений в полных дифференциалах понимается
следующая система уравнений
n
   d
j 1
j
j
  1, s ,
 0,
s n.
В ней:
– коэффициенты  j   j (1 , ...,n ) — функции, заданные и непрерывно дифференцируемые по совокупности аргументов при всех значениях 1 , ...,n ;
– s переменных  j1 , ..., js среди 1 , ...,n являются функциями, зависящими от
остальных переменных  k , k  1, n , k { j1 , ..., js } ; функции  j1 , ..., js предполагаются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам;
- 91 -
– d j – дифференциал функции  j ,   1, s ; dk – дифференциал переменной
 k , k  1, n , k { j1 , ..., js } ;
~
~
– если Bs обозначим матрицу коэффициентов Bs   j ,   1, s , j  1, n , то для
нее выполняется условие:
~
rang Bs  s при любых значениях 1 , ...,n .
Такая система уравнений называется системой уравнений в полных дифференциалах.
3º. Условия интегрируемости уравнения в полных дифференциалах
в случае s  1 (одна дифференциальная связь).
В случае s  1 уравнение в полных дифференциалах имеет вид:
 1d1  ...   n dn  0 .
Здесь  j   j (1 , ...,n ) , j  1, n
(2.3.5)
являются функциями, заданными при   G и
непрерывно дифференцируемыми по переменным 1 , ..., n . Буквой  обозначен вектор размерности [n 1] , компонентами которого являются переменные 1 , ..., n . Область G — открытое связное множество.
Из условия, накладываемого на матрицу коэффициентов Bs ( rang Bs  s ) , вытекает, что для любой точки 0  (10 , ...,n0 )  G существует такой коэффициент  i ( ) ,
что
 i (0 )   i (10 , ...,n0 )  0 .
В силу непрерывности функции  i ( ) это неравенство справедливо в некоторой
окрестности точки 0 , содержащейся в области G .
Введем следующие обозначения. Если какая-либо функция  ( ) не зависит явно
от переменной  i из совокупности n переменных   (1 , ...,n ) , то совокупность переменных (1 , ...,i1 ,i1 , ...,n ) будем обозначать  , а функцию  ( ) , соответственно,  i ( ) .
Дадим понятия интегрируемости уравнения (2.3.5) и определение решения уравнения (2.3.5).
Определение 2.
Уравнение (2.3.5) называется интегрируемым при 0  G , если существует индекс i , i  [1, n] , и функция  i ( ) , обладающие следующими свойствами:
– функция  i ( ) зависит от n  1 переменной 1 , ..., i1 , i1 , ..., n и не зависит от
 i ; при всех  из области G значения функции  i ( ) также принадлежат области G ;
– справедливо равенство
i 0  i (10 , ..., i1,0 , i1,0 , ..., n0 )  i (0 ) ;
– функция  i ( ) определена и непрерывно дифференцируема по совокупности переменных в окрестности точки  0 ;
– при подстановке функции  i ( ) и дифференциала этой функции d i ( ) в уравнение (2.3.5) вместо переменной  i и дифференциала d i оно обращается в
- 92 -
тождество по переменным 1 , ..., i1 , i1 , ..., n и d1 , ..., di1 , di1 , ..., dn при
всех  из окрестности точки  0 .
Определение 3.
Функция i  i ( ) со свойствами, указанными в определении 2, называется
решением уравнения (2.3.5), проходящим через точку 0 .
Определение 4.
Уравнение (2.3.5) называется вполне интегрируемым в области G , если оно
интегрируемо при 0  G .
Докажем условия интегрируемости уравнения (2.3.5). Рассмотрим сначала случай, когда левая часть уравнения (2.3.5) совпадает с дифференциалом некоторой функции f ( ) . Укажем необходимые и достаточные условия, при которых возникает такая
ситуация.
Теорема 1.
Для того чтобы левая часть уравнения (2.3.5) была полным дифференциалом
некоторой функции f ( ) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
f
,
(2.3.6)
i 
i  1, n ,
 i
 j  i
для всех i, j  1, n .
(2.3.7)

i  j
Здесь тождества рассматриваются по переменным 1 , ..., n при всех  , где
определена функция f ( ) .
Доказательство. Докажем необходимость условий (2.3.6), (2.3.7).
Пусть левая часть уравнения (2.3.5) есть полный дифференциал некоторой
функции f ( ) , определенной в области G1  G . Это значит, что:
1) функция f ( ) — непрерывно дифференцируема (ибо существует ее полный
дифференциал);
2) ее дифференциал имеет вид
n
f
df ( )  
d j .
(2.3.8)
j 1  j
Здесь d j — дифференциалы переменных  j , т.е. (по определению дифференциала) — это независимые сколь угодно малые произвольные величины.
Согласно нашему условию, правая часть формулы (2.3.8) совпадает с левой частью уравнения (2.3.5) при всех значениях   G1 и дифференциалов d j , j  1, n :
n
f
 
j 1
n
d j    j d j .
j
j 1
Отсюда в силу произвольности d j для всех значений 1 , ..., n из области G1
получаем
f
 j,
(2.3.9)
j  1, n ,
 j
т.е. выполнено условие (2.3.6).
- 93 -
А тогда из непрерывной дифференцируемости коэффициентов  j , j  1, n ,
уравнения (2.3.5) следует непрерывная дифференцируемость функций
f
по пере j
менным 1 , ..., n .
В свою очередь, это означает, что функция f ( ) должна быть дважды непрерывно дифференцируема по переменным 1 , ..., n . Кроме того, из непрерывности
смешанных производных второго порядка от функции f ( ) следует справедливость
тождеств
2 f
2 f
для всех i ,
(2.3.10)

j  1, n .
i  j  j i
Дифференцируя (2.3.9) по  i , получаем
 j
i

2 f
.
 j i
(2.3.11)
Запишем условие (2.3.9) для индекса i и продифференцируем это соотношение
по переменным  j . Получим
i
2 f
.

 j i  j
Подставляя (2.3.11) и (2.3.12) в
ствам (2.3.7). Необходимость доказана.
(2.3.12)
тождества (2.3.10),
приходим
к
тожде-
Достаточность (см. [16, Т.3, стр.50-55]).
Доказательство будем проводить для случая n  3 . Это доказательство легко
распространяется на случай n  3 .
При n  3 функции  1 ,  2 ,  3 зависят от трех переменных 1 , 2 , 3 :
 1   1 (1 ,2 ,3 ),
 2   2 (1 ,2 ,3 ),
 3   3 (1 ,2 ,3 )
и являются непрерывно дифференцируемыми по этим переменным в области G .
Покажем, что если выполнены условия (2.3.7), то можно построить такую
непрерывно дифференцируемую функцию f (1 ,2 ,3 ) в некоторой области G1  G ,
для которой будет выполняться
f
f
f
  1 (1 ,2 ,3 ),
  2 (1 ,2 ,3 ),
  3 (1 ,2 ,3 ) .
(2.3.13)
1
2
3
Если это будет доказано, то из непрерывной дифференцируемости функции f ( ) следует существование полного дифференциала df этой функции
f
f
f
f 
d1 
d2 
d3 ,
1
2
3
а из тождеств (2.3.13) — его совпадение с левой частью уравнения (2.3.5):
f   1d1   2 d2   3d3 .
Итак, докажем существование такой функции f (1 ,2 ,3 ) .
Зафиксируем любую точку 0  G и выберем ограниченную область G1  G ,
которая содержит эту точку. Положим
- 94 -
f ( )  f (1 , 2 ,3 ) 
1
2
3
10
20
30
   1 (1 , 2 ,3 ) d1    2 (10 , 2 ,3 ) d 2    3 (10 , 20 ,3 ) d3  f (10 , 20 ,30 ) .
Здесь интегрирование осуществляется по каждой координате  i , i  1,2,3 , вне
зависимости от значений двух других координат  j , j  1,2,3 , i  j . Кроме того,
f (10 ,20 ,30 ) — это произвольно выбранное фиксированное значение функции f ( ) в
точке 0 .
Очевидно, функция f ( ) определена и непрерывна по совокупности переменных 1 , 2 , 3 в некоторой области G2 , целиком содержащейся в области G1 . Такой областью G2 , например, является параллелепипед с гранями, параллельными соответствующим координатным осям 1 , 2 , 3 , вписанный в область G1 и содержащий точку 0 .
Из вида функции f ( ) заключаем, что она непрерывно дифференцируема по
переменным 1 , 2 , 3 , поскольку интегралы непрерывно дифференцируемы по верхнему пределу, подынтегральные функции непрерывно дифференцируемы по параметрам, и интегралы берутся по ограниченному промежутку изменения переменных (ибо
область G2 ограничена).
f
f
f
Вычислим
,
,
в любой точке   G2 и покажем, что для них спра1  2 3
ведливы тождества (2.3.13) при любом   G2 . Очевидно, при   G2 будем иметь
f
  1 (1 ,2 ,3 ) ,
1
т.е. справедливо первое тождество в (2.3.13).
Покажем справедливость второго тождества в (2.3.13). При   G2 согласно
правилу Лейбница вычисления производной интеграла, зависящего от параметра
(см. [16, Т.2, стр. 661]), можем записать:
1
f
 ( , , )
(2.3.14)
  1 1 2 3 d1   2 (10 ,2 ,3 ) .
2 10
2
Воспользуемся тождеством (2.3.7), записанным для функций  1 и  2 ,
 1 (1 ,2 ,3 )  2 (1 ,2 ,3 )

,
2
1
и справедливым для всех   G , а значит, и для   G2 .
Подставляя его в интеграл, стоящий в правой части (2.3.14), получим для этого
интеграла:
1
1
 1 (1 , 2 , 3 )
 2 (1 , 2 , 3 )
d


d1 
1


 2
1
10
10
.
  2 (1 , 2 , 3 )
1
 10
  2 (1 , 2 , 3 )   2 (10 , 2 , 3 )
Подставляя в правую часть формулы (2.3.14), получаем
- 95 -
f
  2 (1 ,2 ,3 ) .
2
Данное равенство справедливо при любом   G2 . Этим доказали справедливость второго тождества в (2.3.13).
Докажем справедливость третьего тождества в (2.3.13). Применяя правило Лейf
бница при вычислении
, получим
3


1
2
f
 ( , , )
 ( , , )
  1 1 2 3 d1   2 1 2 3 d2   3 (10 ,20 ,3 ) .
3 10
3
3
20
Учитывая тождества (2.3.7)
 2  3

,
 3,

3 1
3 2
и подставляя их в интегралы, получим
1
2
f
 ( , , )
 ( , , )
  3 1 2 3 d1   3 1 2 3 d 2   3 (10 , 20 ,3 ) 
3 10
1
 2
20
 1
  3 (1 , 2 ,3 )
1
 10
  3 (10 , 2 ,3 )
2
 20
  3 (10 , 20 ,3 ) 
 [  3 (1 , 2 ,3 )   3 (10 , 2 ,3 )]  [  3 (10 , 2 ,3 )   3 (10 , 20 ,3 )]   3 (10 , 20 ,3 ).
Отсюда следует:
f
  3 (1 ,2 ,3 ) для   G2 .
3
Теорема доказана.
Теорема 2 (достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5)).
Если левая часть уравнения (2.3.5) является полным дифференциалом некоторой функции f ( ) в области G , то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.
Доказательство. Пусть существует функция f ( ) такая, что
n
df ( )    j d j .
j 1
Тогда из доказательства теоремы 1 следует
1) функция f ( ) дважды непрерывно дифференцируема;
f
 j,
2)
j  1, n .
 j
Обозначим D ( ) вектор-строку, элементами которой являются коэффициенты
 j   j ( ) , j  1, n , уравнения (2.3.5). Поскольку rang D ( )  1 , то для любого 0 существует индекс i такой, что  i (0 )  0 (для заданной точки 0 ). Это значит
f
 i
 0.
 0
Рассмотрим уравнение
 ( )  f ( )  f (0 )  0 .
Оно обладает свойствами:
- 96 -
(2.3.15)
1)  ( ) дважды непрерывно дифференцируема;
2)  (0 )  0 ;
3)

 i
 0.
 0
А тогда по теореме о неявной функции оно задает функцию
i  i (1 , ...,i1 ,i1, ...,n ) ,
обладающую свойствами:
1)  i дважды непрерывно дифференцируема;
2) i 0  i (10 , ...,i1,0 ,i1,0 , ...,n0 ) ;
3) справедливо следующее тождество по переменным 1 , ..., i1 , i1 , ..., n
(2.3.16)
 (1, ...,i1,i (1, ...,i1,i1, ...,n ),i1, ...,n )  0 .
Вычислим дифференциал функции  ( ) , задаваемой формулой (2.3.15):
n
f
d j    j d j .
(2.3.17)
j 1  j
j 1
Он совпадает с дифференциалом функции f и левой частью уравнения (2.3.5).
Вычислим дифференциал функции  ( ) с учетом того, что
i  i (1 , ...,i1 ,i1, ...,n ) .
n
d ( )  df ( )  
Для этого, с одной стороны, надо в функции  ( ) заменить компоненту i вектора  функцией i  i ( ) . Тогда получим тождество (2.3.16). Из тождества (2.3.16)
следует, что дифференциал его левой части совпадает с дифференциалом правой части.
А потому он будет тождественно равен нулю:
(2.3.18)
d ( ) i i ( )  0 .
В (2.3.18) тождество рассматривается по всем переменным 1 , ..., i1 , i1 , ..., n
и d1 , ..., di1 , di1 , ..., dn .
С другой стороны, можем подставить функцию i  i ( ) в правую часть выражения (2.3.17) и заменить в ней d i (дифференциал переменной i ) на di ( ) (на
дифференциал функции i ( ) ). Результат этих действий должен быть одинаков с результатом, полученным при вычислении d ( ) i i ( ) через дифференцирование тождества (2.3.16), т.е. должен совпасть с (2.3.18) (с нулем).
Поскольку второй путь вычисления d ( ) i i ( ) означает подстановку функции
i ( ) в левую часть уравнения (2.3.5), то можем сделать вывод, что функция i ( ) является решением уравнения (2.3.5). Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что условия теоремы 1 являются достаточными для интегрируемости уравнения (2.3.5).
Установим теперь необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5). Они даются теоремой Фробениуса.
Теорема 3 (первая теорема Фробениуса).
Для того чтобы уравнение (2.3.5) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса
i , i  1, n , для которого  i (0 )  0 :
- 97 -
i(
 p
q

 q
 p
)  p(
 q
i


 i

) q( i  p )  0
q
 p i
(2.3.19)
для всех p , q  1, n , причем p  i и q  i .
Тождества рассматриваются относительно переменных 1 , ...,n во всей области
задания коэффициентов уравнения (2.3.5).
Вообще говоря, тождества (2.3.19) можно рассматривать и при значениях индекса p  i либо индекса q  i .
Легко проверить, что при p  i либо при q  i тождества (2.3.19) выполняются.
Поэтому смысл последней оговорки в условиях теоремы (оговорка, что p  i и
q  i ) заключается в том, что нет нужды строить левые части (2.3.19) для значений p и
q , совпадающих с индексом i , поскольку при p  i либо при q  i тождества (2.3.19)
всегда выполняются.
Тождество (2.3.19) выполняется также и при p  q . Кроме того, условия (2.3.19)
симметричны относительно равенства p  q . Поэтому, по существу, условия (2.3.19)
следует рассматривать только при p  q либо при p  q .
Доказательство теоремы.
Необходимость. Пусть уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо. Проведем предварительное преобразование уравнения (2.3.5).
Так как для 0 существует  i такое, что  i (0 )  0 и  i ( )  0 при  из
окрестности точки  0 , то можем записать уравнение (2.3.5) в виде
di  
p
d p .
p 1, p i  i
n

(2.3.20)
Поскольку уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо, то существует функция i ( ) , которая при подстановке в левую часть уравнения (2.3.5) i  i ( ) и дифференциала di  di ( ) вместо переменной i и дифференциала d i обращает ее в
тождественный нуль. Это значит, что при такой замене i и d i в обеих частях равенства (2.3.20) оно также обращается в тождество. Отсюда можем сделать вывод, что
правая часть соотношения (2.3.20) при подстановке в нее вместо i функции i ( ) , т.е.
при замене в ней в коэффициентах  i и  p переменной i на i ( ) , представляет собой полный дифференциал функции i ( ) .
А тогда для правой части равенства (2.3.20) (если ее рассматривать как функцию
переменных 1 , ..., i1 , i1 , ..., n и d1 , ..., di1 , di1 , ..., dn ) справедливы условия
теоремы 1.
Запишем эти условия для  p (коэффициентов правой части равенства (2.3.20)),
учитывая, что в них сделана замена i  i ( ) . Тогда будем иметь, учитывая, что в
условиях теоремы 1 роль функции f играет функция
i  i ( )  i (1, ...,i1 ,i1 , ...,n ) ,
а роль коэффициентов  p — коэффициенты уравнения (2.3.20), имеющие вид

 p (1 ,...,i1 ,i ( ) ,i1 ,...,n )
 ( (1) )
  p (1) ,
 i (1 ,...,i1 ,i ( ),i1 ,...,n )
 i ( )
где  (1) обозначает совокупность переменных
- 98 -
p  1, n , p  i ,
 (1)  (1 ,...,i1 ,i ( ) ,i1 ,...,n ) .
Тогда условие (2.3.6) примет вид:
 ( (1) )
i
  p (1) ,
 p
 i ( )
p  1, n , p  i .
(2.3.21)
 i
i
обозначим
, имея в виду, что i = i ( ) . Тогда усло p
 p
вие (2.3.7) запишется так:




(2.3.22)
( q ) 
( p ) ,
p, q  1, n, p  i, q  i .
 p  i
q  i
Раскроем условие (2.3.22) с учетом (2.3.21). Получим
 i
 
 q
1 
 i
( ) [ q  q
] q [ i  i
].
 p  i
 i  p i  p  i2  p i  p
Производную
Заменим множитель
 i
, стоящий в первой и второй скобках правой части, по форму p
ле (2.3.21) и умножим обе части равенства на  i2 . Получим

 
 q

 
(2.3.23)
( )   i[ q  q p ]   q[ i  i p ] .
 p  i
 p i  i
 p i  i
Поступая аналогично с правой частью условия (2.3.22), будем иметь

 
 p

 
 i2
( )   i[ p  p q ]   p[ i  i q ] .
(2.3.24)
q  i
q i  i
q i  i
Согласно условию (2.3.22), левые части равенств (2.3.23) и (2.3.24) совпадают.
Поэтому, вычитая (2.3.23) из (2.3.24), получим






 i [ p  q ]   p [ q  i ]  q [ i  p ]  0 ,
 q  p
i  q
 p i
что и требовалось доказать. Необходимость доказана.
Достаточность.
Доказательство достаточности можно найти в монографии [17, стр. 144-163].
 i2
Рассмотрим два частных случая.
1. Уравнение (2.3.5) имеет вид
(2.3.25)
P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz  0 .
2
2
2
Здесь P  Q  R  0 , P , Q , R — непрерывно дифференцируемые функции.






Обозначим F  P i  Q j  R k , rot F    F , где оператор  (набла) имеет вид
     
. Поэтому
i
 j k
x
y
z
  
i j k

  
R Q  P R  Q P 
rot F 
( 
)i  (  ) j  (
 )k.
x y z
y z
z x
x y
P Q R
Следствие 1.
Для того чтобы уравнение (2.3.25) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
- 99 -


( F , rot F )  0 ,
(2.3.26)
или иначе
R Q
P R
Q P

) Q(  ) R(
 )  0.
y z
z x
x y
Доказательство состоит в записи условий Фробениуса для частного случая, описываемого уравнением (2.3.25).
P(
2. Пусть уравнение (2.3.5) имеет вид
(2.3.27)
P( x, y, z) dx  Q( x, y, z) dy  0 .
2
2
Здесь P  Q  0 , P , Q — непрерывно дифференцируемые функции.
Следствие 2.
Для того чтобы уравнение (2.3.27) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий
 Q
 P
(2.3.28)
( )  0 либо
( )  0,
z P
z Q
Q
P
т.е.
либо
не зависит от z .
P
Q
Доказательство вытекает из проверки условия (2.3.26).
Примеры.
1. Движение конька.
На рисунке 2.3.1 конек схематично представлен в виде отрезка AB , положение
которого зафиксировано в некоторый момент времени t в плоскости Oxy его движения. Движение конька рассматриваем в системе отсчета Oxyz с направляющими орта  
ми i , j , k .

VC
B 
y
e

C


rc
P

j
O

k


rP
A
x

i
z
Рис.2.3.1


Обозначим rP  OP — радиус-вектор любой точки P лезвия конька, а rc  OC
— радиус-вектор некоторой фиксированной точки C этого лезвия. На рис.2.3.1 в качестве точки C выбрана середина лезвия конька.
- 100 -

Обозначим e (t ) — направляющий орт прямой AB , на которой в момент времени t находится лезвие конька. Направляющий вектор этой прямой совпадает с направлением стопы фигуриста от пятки к пальцам.

Пусть   CP . Тогда можем записать





   e (t ),
rP (t )  rс (t )   e (t ) .
Здесь   const — расстояние от точки C до точки P в любой момент времени t .
Отсюда следует, что движение любой точки лезвия конька определено, если


определены движение rc (t ) точки C и закон изменения направления орта e (t ) . Это
значит, что для того, чтобы знать движение любой точки лезвия конька, достаточно


определить движение rc (t ) точки C и движение орта e (t ) .
Введем следующие обозначения:
– x c , y c , z c — координаты точки C ;

–  — угол между ортом e и плоскостью Oxy , отсчитываемый от плоскости Oxy
 

 

до орта e ;   [ , ] , причем, если (e , k )  0 , то   [0, ] ;
2 2
2
 

если (e , k )  0 , то   [ , 0) ;
2

–  — угол, отсчитываемый от орта i оси Ox в плоскости Oxy до проекции ор
та e на эту плоскость; угол отсчитывается в положительном направлении оси Ox

относительно орта k ;  [0, 2 ) .
В этих обозначениях будем иметь




rc (t )  xc (t ) i  yc (t ) j  zc (t ) k ,




е (t )  [ i cos  (t )  j sin  (t )] cos  (t )  k sin  (t ) .
Отсюда следует, что для определения движения конька, достаточно знать закон
изменения пяти координат: xc (t ) , yc (t ) , zc (t ) ,  (t ) ,  (t ) .
Будем рассматривать следующую модель движения конька.
Движение лезвия при всех t происходит в плоскости Oxy (конек не отрывается от
плоскости льда).


2. Точка C движется так, что ее скорость VC остается параллельной орту e (t ) .
Из условия 1 вытекает, что в предлагаемой модели движения должны выполняться ограничения, являющиеся голономными стационарными связями:
  0;
zc  0 .
(2.3.29)

Если обозначить V x , V y , V z компоненты вектора VC в системе Oxyz , то из второго условия предлагаемой модели движения находим следующие ограничения, которые имеют вид дифференциальных связей первого порядка:
Vz  0,
Vy  Vx tg .
1.
Учитывая, что Vx  xc , Vx  yc , Vz  zc , от этих уравнений переходим к уравнениям в полных дифференциалах:
dzc  0 ,
(2.3.30)
tg  dxc  dyc  0 .
(2.3.31)
- 101 -
Дифференциальная связь (2.3.30) интегрируема. После ее интегрирования придем к геометрической связи (2.3.29). Поэтому связь (2.3.30) можно исключить из рассмотрения.
Покажем, что связь (2.3.31) неинтегрируема. Уравнение этой связи по виду совпадает с уравнением (2.3.27), в котором следует переобозначить переменную z буквой  , а коэффициенты P и Q заменить функциями
P( x, y, )  tg  ,
Q( x, y, )  1 .
Поэтому, применяя следствие 2, можем записать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости связи (2.3.31) задается тождеством (2.3.28):
 P
( )  0.
 Q
Подставляя в левую часть этого тождества явное выражение для P и Q , получаем
 P

( )
(tg  ) / 0.
 Q

Поскольку данное соотношение не является тождеством, то из следствия 2 делаем вывод, что связь (2.3.31) неинтегрируемая.
2. Пусть даны две дифференциальные связи, которые описываются уравнениями
в полных дифференциалах следующего вида:
( x 2  y 2 ) dx  x z1 dz1  x z2 dz2  0,
(2.3.32)
( x 2  y 2 ) dy  y z1 dz1  y z2 dz2  0.
Уравнения связей заданы при x 2  y 2  0 и любых значениях z1 и z 2 . Проверим
условие интегрируемости каждой связи в отдельности.
Рассматриваем первую связь (2.3.32). В обозначениях, которые приняты для
уравнений в полных дифференциалах, из этой связи находим:
 1  x2  y 2 ,
 2  0,
 3  x z1 ,
 4  x z2 ,
(2.3.33)
1  x,
 2  y,
3  z1 ,
4  z2 .
Запишем условие Фробениуса (2.3.19) для i  1, p  2, q  3 . Подстановка функций (2.3.33) в левую часть (2.3.19) приведет ее к следующему виду:
 xz1

( x2  y 2 ) ( 
)  xz1 ( x 2  y 2 )  2 xz1 y .
y
y
Поскольку функция 2 x z1 y не является тождественным нулем, то это значит, что
условие Фробениуса (2.3.19) не выполняется. А тогда из теоремы Фробениуса следует,
что первое уравнение из (2.3.32) неинтегрируемо.
Аналогично устанавливается, что и вторая дифференциальная связь из (2.3.32)
не будет интегрируемой. Действительно, для второй связи имеем:
 1  0,
 2  x2  y 2 ,
 3  y z1 ,
 4  y z2 ,
1  x,
 2  y,
3  z1 ,
 4  z2 .
А тогда для i  2, p  1, q  3 получим левую часть условия Фробениуса в виде
функции 2 xyz1 , которая не является тождественным нулем. Это значит, что условие
Фробениуса не выполняется.
Однако если эти две связи рассматривать совместно (как систему уравнений в
полных дифференциалах), то такая система связей будет вполне интегрируемой. Это
докажем в следующем пункте после того, как дадим вывод необходимых и достаточ-
- 102 -
ных условий интегрируемости системы уравнений в полных дифференциалах в случае s  1 .
4º. Условия интегрируемости линейных
дифференциальных связей в случае s >1
В случае s  1 линейные дифференциальные связи описываются системой уравнений в полных дифференциалах:
n
 
j 1
j
d j  0 ,
  1, s .
(2.3.34)
Здесь s — количество связей, 2  s  n 1. Коэффициенты   j ,   1, s , j  1, n ,
являются функциями от переменных 1 , ..., n , заданными и непрерывно дифференци~
руемыми при любом  . Коэффициенты   j образуют матрицу Bs размерности [ s  n] .
~
Будем считать, что rang Bs ( )  s при любых  .
~
Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что rang Bs ( ) определяет~
ся по первым s столбцам, т.е. определитель матрицы Bs , составленный из первых s
столбцов, в любой фиксированной точке  отличен от нуля.
~
В силу непрерывности элементов матрицы Bs , рассматриваемых как функции
от  , этот определитель будет отличен от нуля в некоторой окрестности G  E n фиксированной точки  .
Поэтому систему (2.3.34) можем разрешить относительно s дифференциалов
d1 , ..., ds (рассматривая ее как линейную систему алгебраических уравнений относительно d1 , ..., d s ).
Обозначим y — вектор-столбец размерности [ s 1] , составленный из первых s
компонент вектора  , z — вектор-столбец размерности [m 1] , m  n  s  2 , составленный из оставшихся компонент вектора  :
y  ( y1 , ... , y s )*  (1 , , s )*,
z  ( z1 , ... , z m )*  ( s 1 , , n ) * .
Тогда система (2.3.34) перепишется в виде
dy  H ( y, z)dz .
(2.3.35)
Здесь матрица H ( y, z )  hi j ( y, z ) размерности [ s  m] определена и непрерывно дифференцируема по компонентам векторов y и z в области G ; dy и dz — вектора, составленные из дифференциалов dy ,   1, s , и dz j , j  1, m .
Определение 5.
Система (2.3.35) называется интегрируемой при y  y0 и z  z0 , если существует вектор-функция y (z ) , такая, что:
– при любом z , где определена вектор-функция y (z ) , точка ( y ( z), z )  G ;
– вектор-функция y (z ) непрерывно дифференцируема в области ее определения;
– при z  z0 выполняется равенство y0  y ( z0 ) ;
– при подстановке вектор-функции y (z ) в систему (2.3.35) эта система обращается в систему тождеств относительно z и dz .
- 103 -
Определение 6.
Вектор-функция y (z ) , удовлетворяющая определению 5, называется решением
задачи Коши системы уравнений (2.3.35), проходящим через точку ( y0 , z0 ) .
Определение 7.
Система (2.3.35) называется вполне интегрируемой в области G , если она интегрируема при любых ( y0 , z0 )  G .
Необходимые и достаточные условия интегрируемости системы (2.3.35) даются
теоремой Фробениуса.
Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса).
Для того чтобы система (2.3.35) была вполне интегрируема в области G ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
s h
s h
h q
h
   q hi q   p    p hi q
(2.3.36)
z p
zq
i 1 yi
i 1 yi
для всех   1, s ; p, q  1, m ; p  q .
Здесь тождества (2.3.36) рассматриваются по всем значениям переменных
y1 , ..., ys , z1 , ..., zm в области G .
Доказательство. Необходимость.
Пусть система (2.3.35) вполне интегрируема в области G . Это значит, что для
любых ( y0 , z0 )  G существуют функции y (z ) ,   1, s , являющиеся компонентами
вектора y , со свойствами, указанными в определении 5. Тогда подстановка функций
y (z ) в систему (2.3.35) обращает уравнения в тождества. Из этих тождеств делаем вывод о том, что правые части уравнений (2.3.35) являются полными дифференциалами
функций y (z ) ,   1, s .
Тогда, согласно теореме 1 из п.3º, для коэффициентов h p ( y( z ), z ) и h q ( y( z ), z ) ,
p  1, m , q  1, m , p  q , каждого из уравнений с номером  ,   1, s , справедливы
тождества
y
 h p ( y ( z ), z ) ,
(2.3.37)
z p
y
zq
 h q ( y ( z ), z ) ,
D h p ( y ( z ), z )
Dzq

(2.3.38)
D h q ( y ( z ), z )
Dz p
.
(2.3.39)
для всех z , для которых определены функции y  (z ) . Здесь в последнем тождестве через
D
D
и
обозначены операторы вычисления частной производной по координаDz p
Dzq
те z p и z q , соответственно, от суперпозиции функций h p ( y, z ) и y (z ) (для оператора
D
D
) и функций h q ( y, z ) и y (z ) (для оператора
).
Dz p
Dzq
Раскроем левую часть тождества (2.3.39). Будем иметь
s h
h
D
y
(h p ( y( z ), z ))   p    p i .
Dzq
zq
i 1 yi z q
- 104 -
yi
тождество (2.3.38), записанное для  = i , оконz q
Подставляя в правую часть вместо
чательно получим
s h
h
D
(h p ( y( z ), z ))   p ( y ( z ), z )    p ( y ( z ), z ) h iq ( y( z ), z ) . (2.3.40)
Dzq
zq
i 1 yi
Аналогично, вычисляя правую часть тождества (2.3.39) и учитывая тождество (2.3.37) для   i , найдем
s h
h
D
(h q ( y ( z ), z ))   q ( y ( z ), z )    q ( y ( z ), z ) h ip ( y( z ), z ) . (2.3.41)
Dz p
z p
i 1 yi
После подстановки функций (2.3.40) и (2.3.41) в соотношение (2.3.39), оно примет вид:
s h
s h
h p
h q
p
q
( y ( z ), z )  
( y ( z ), z ) h iq ( y ( z ), z ) 
( y ( z ), z )  
( y ( z ), z ) h ip ( y ( z ), z ) ,
zq

y

z

y
i 1
i 1
i
p
i
  1, s ; p, q  1, m ; p  q .
Эти тождества справедливы для всех z , для которых определены функции y (z ) .
Полагая в них z  z0 и учитывая, что y ( z0 )  y0 , придем к системе равенств
h p ( y0 , z0 )
h p ( y0 , z0 )
h q ( y0 , z0 )
h q ( y0 , z0 )
hi p ( y0 , z0 ) ,
zq

y

z
yi
i 1
i 1
i
p
которая формируется при следующих значениях индексов
  1, s ; p, q  1, m ; p  q .
В силу произвольности выбора точки ( y0 , z0 )  G полученные равенства справедливы для всех точек области G . А это значит, что имеют место система тождеств
(2.3.36) по ( y, z )  G . Необходимость доказана.
Достаточность.
Доказательство достаточности можно найти в монографии [17, стр. 144-163].
s

hi q ( y0 , z0 ) 
s

Обратимся к примеру 2 предыдущего пункта (п.3º). Приведем систему (2.3.32) к
виду (2.3.35). Обозначим y1  x , y2  y , s  2 , m  2 . Тогда, разделив первое и второе
уравнения на x 2  y 2 , придем к системе:
y z
y z
dx  dy1   2 1 1 2 dz1  2 1 2 2 dz 2 ,
y1  y 2
y1  y 2
dy  dy 2  
y 2 z1
y z
dz1  2 2 2 2 dz 2 .
2
y  y2
y1  y 2
2
1
Правые части определены при всех ( y1 , y2 , z1 , z2 ) , кроме множества y12  y22  0 .
Имеем
 y1
y
y
y
z1 ,
h12  2 1 2 z 2 , h21  2 2 2 z1 ,
h22  2 2 2 z 2 .
2
y  y2
y1  y 2
y1  y 2
y1  y 2
Проверяем условия второй теоремы Фробениуса. Полагаем для   1 :
а) p  1, q  2 ;
б) p  2, q  1 .
Следует заметить, что условия Фробениуса симметричны относительно p  q
при любом фиксированном  . Поэтому проверять их можно только для значений
p  q (или p  q ).
h11 
2
1
- 105 -
В нашем случае достаточно рассмотреть только p  1, q  2 (при   1 ).
Запишем левую часть условия (2.3.36) при   1 , p  1, q  2 :
h12 h12
h

h11  12 h21 
z1
y1
y2


y
y z

y
y

y
( 2 1 2 z2 )  2 1 1 2
( 2 1 2 z2 )  2 2 2 z1
( 2 1 2 z2 ) .
z1
y1  y2
y1  y2 y1
y1  y2
y1  y2
y2
y1  y2
Легко видеть, что она приводится к виду:
y1

y1
y

y1
(
) 2 2 2
(
)] .
y12  y22 y1 y12  y22
y1  y2 y2 y12  y22
Вычислим правую часть условий Фробениуса для   1 , p  1, q  2 :
h11 h11
h

y

h12  11 h22 
(  2 1 2 z1 
z2
y1
y2
z2
y1  y2
z1 z2 [
y1 z2

y
y

y
( 2 1 2 z1 )  2 2 2 z2
( 2 1 2 z1 ) 
y12  y22 y1
y1  y2
y1  y2
y2
y1  y2

(2.3.42)
(2.3.43)
y1

y
y

y
( 2 1 2 ) 2 2 2
( 2 1 2 ) ].
2
y  y2 y1 y1  y2
y1  y2 y2 y1  y2
Сопоставляя (2.3.42) и (2.3.43), видим, что условия Фробениуса для   1 выполняются. Проверим эти условия для   2 и p  1, q  2 . Вычислим левую часть:
 z1 z2 [
2
1
h 22
z1


h 22
y1
h11 
h 22
y2
h21 

y2
y z

y2
y

y
(
z2 )  2 1 1 2
(
z2 )  2 2 2 z1
( 2 2 2 z2 ) 
z1 y12  y22
y1  y2 y1 y12  y22
y1  y2 y2
y1  y2
 z1 z2 [
y1

y
y

y
( 2 2 2 ) 2 2 2
( 2 2 2 )].
2
y  y2 y1 y1  y2
y1  y2 y2 y1  y2
2
1
Аналогично находим выражение для правой части
h 21 h 21
h

h12  21 h22 
z2
y1
y2


y
y

y
y

y
( 2 2 2 z1 )  2 1 2 z2
( 2 2 2 z1 )  2 1 2 z2
( 2 2 2 z1 ) 
z2 y1  y2
y1  y2
y1 y1  y2
y1  y2
y2 y1  y2
y1

y2
y

y2
(
) 2 2 2
(
) ].
y12  y22 y1 y12  y22
y1  y2 y2 y12  y22
Сопоставляя левую и правую части, видим, что они совпадают, т.е. условия
Фробениуса для   2 выполняются.
Таким образом, выполнены все условия второй теоремы Фробениуса. Поэтому
система (2.3.32) вполне интегрируема при y02  x02  0 .
Пример 2 показывает, что если уравнение хотя бы одной дифференциальной
связи не интегрируемо, то это еще не значит, что в совокупности с другими уравнениями связей оно не будет интегрируемо.
 z1 z2 [
5º. Понятие голономных и неголономных механических систем
Будем рассматривать механические системы, на которые наложены связи, зада- 106 -
ваемые кинематическим способом. Полагаем, что среди них имеются l геометрических
и s дифференциальных связей первого порядка. В дальнейшем будем рассматривать
только такие механические системы, в которых дифференциальные связи являются линейными. Дадим понятие голономных и неголономных механических систем.
Уравнения линейных дифференциальных связей, как отмечено выше, имеют
вид:
N


(2.3.44)
  1, s .
 ( a  ,V )     0 ,
 1
Запишем для каждой связи с номером  соответствующее ей уравнение в полных дифференциалах
N


(2.3.45)
 ( a  , dr )  a dt  0 .
 1
Определение 8.
Линейная дифференциальная связь с номером  (в системе (2.3.44)) называется
интегрируемой, если существует решение уравнения (2.3.45) с номером  в полных

дифференциалах при любых начальных условиях r (t0 ) ,   1, N и t0  J .
Определение 9.
Линейные дифференциальные связи с номерами 1 , ... ,  k , k  s , в системе (2.3.44) называются интегрируемыми в совокупности, если при любых

r (t0 ) ,   1, N , и t0  J является интегрируемой система уравнений в полных дифференциалах:
N


j  1, k .
 ( a j  , dr )  a j dt  0 ,
 1
Определение 10.
Исключим из рассмотрения в системе (2.3.44) все интегрируемые и интегрируемые по совокупности 1 , ... ,  k связи. Оставшиеся связи называются неинтегрируемыми линейными дифференциальными связями, а исключенные связи называются интегрируемыми.
Определение 11.
Неинтегрируемые дифференциальные связи называются «неголономными», или
«кинематическими связями».
Определение 12.
Интегрируемые связи в совокупности с геометрическими называются голономными связями.
Название «кинематические связи» не следует смешивать с кинематическим способом задания связей.
Кинематический способ задания связей — это способ задания связей с помощью
математических моделей, причем эти модели могут задавать как голономные, так и
неголономные связи.
«Кинематические связи» — это класс связей (подмножество связей) во всем
множестве связей, задаваемых «кинематическим способом».
Определение 13.
Линейная дифференциальная связь с номером  называется стационарной

дифференциальной связью, если все коэффициенты a   ,   1, N , не зависят явно
от t , а свободный член a  отсутствует, т.е. a  0 .
- 107 -
В определении стационарной линейной дифференциальной связи требуется,
чтобы a  0 . Поясним смысл этого условия, т.е. чем оно вызвано.
Если связь интегрируема, то, как показано ранее, путем интегрирования можно
заменить ее модель математической моделью геометрической связи. Если коэффициен
ты a   ,   1, N , не зависят явно от t , а коэффициент a  0 , то можно привести примеры, когда математическая модель соответствующей геометрической связи после интегрирования дифференциальной связи будет явно зависеть от t . Иначе говоря, геометрическая связь, соответствующая такой интегрируемой дифференциальной связи, будет
нестационарной. Чтобы исключить такие ситуации, требуется, чтобы коэффициент
a  0 .
Пример нестационарной геометрической связи, соответствующей интегрируе
мой линейной дифференциальной связи, в которой a  0 , хотя все коэффициенты a  
и a  ,   1, N , в ее уравнении не зависят явно от t , — тривиален.
Пример 3.



Пусть a   c , a  const , c  — постоянные векторы.
Тогда после интегрирования соответствующей дифференциальной связи полу

чим функцию f  (r1 , ..., rN , t ) , для которой df   0 :
N


 
f  (r1 , ..., rN , t )   (c , r )  a t .
 1
Соответствующая геометрическая связь задается формулой




f  (r1 , ..., rN , t )  f  (r10 , ..., rN 0 , t0 ) .
Если в ее математической модели a  0 , то такая связь не является стационарной.
Определение 14.
Линейная дифференциальная связь с номером  называется «стационарной ки
нематической связью», если все коэффициенты a   ,   1, N , не зависят явно от t ,
a  0 , и связь с номером  является неинтегрируемой в любой совокупности
1 , ... ,  k , включающей в себя и связь  .
Замечание.
По аналогии с линейной кинематической связью, нелинейную кинематическую
связь будем называть стационарной, если время t явно не входит в уравнение связи, и

при V  0 ,   1, N , уравнение связи обращается в тождественный нуль. Тождество

рассматривается по положениям  r  1, N точек механической системы.
Определение 15.
Механическая система называется голономной, если все связи, накладываемые
на нее кинематическим способом, являются голономными.
Такая система называется стационарной голономной, если все эти связи стационарны. Если хотя бы одна из связей нестационарна, то голономная механическая
система называется нестационарной.
Определение 16.
Механическая система называется неголономной, если среди связей, накладываемых на нее кинематическим способом, имеется хотя бы одна кинематическая, т.е.
имеется хотя бы одна связь, неинтегрируемая в любой совокупности с другими дифференциальными связями.
Такая система называется стационарной неголономной системой, если все ее
- 108 -
связи (и голономные, и неголономные) являются стационарными. В противном случае
она называется нестационарной неголономной системой.
§4. Обобщенные координаты голономной системы
1º. Требования, накладываемые на уравнения голономных связей
Будем рассматривать механические системы с голономными связями. Сформулируем требования, которым должны удовлетворять левые части уравнений голономных связей. Эти уравнения имеют вид


(2.4.1)
f (r1 , ..., rN , t )  0 ,
  1, l .
Сюда включены и интегрируемые дифференциальные связи, предварительно
проинтегрированные. Аргументами функций f являются время t и векторы




r  x i  y j  z k ,   1, N , где x , y , z — координаты точки P ,   1, N , механической системы в выбранной системе отсчета.
Будем смотреть на эти равенства как на систему уравнений относительно поло
жений r ,  1, N , точек механической системы, считая при этом время t параметром.
Ясно, что при таком взгляде на систему уравнений (2.4.1) можно трактовать эту систему следующим образом.
Она определяет (задает) в каждый момент времени t множество допустимых положений материальных точек — положений, которые «связи позволяют материальной
системе занимать в момент времени t ».
Такие положения будем называть возможными или допустимыми положениями

механической системы, а совокупность положений r ,   1, N , являющихся решением
системы уравнений (2.4.1) в фиксированный момент времени t , — множеством допустимых (возможных) положений в этот момент времени.
Запишем систему уравнений (2.4.1) в зависимости от координат материальных
точек. Введем обозначения:
 1  x1 , 2  y1, 3  z1, ,  3 2  x , 3 1  y , 3  z ,   1, N .
После подстановки в (2.4.1) будем иметь
f (  , t )  0 ,   1, l .
(2.4.2)
Здесь для зависимостей левых частей равенств (2.4.2) от новых переменных   ( 1 , ...,  3 N ) и t . сохранено обозначение f из равенств (2.4.1). Ясно, что системой уравнений (2.4.2) множества допустимых положений в момент времени t задаются в координатной форме.
В механике принято считать, что количество связей l и функции f (  , t ) удовлетворяют следующим трем условиям:
1. l  3N .
2. Функции f (  , t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы
в области изменения переменных  и t .
Область изменения  либо совпадает со всем 3N - мерным пространством, либо определяется областью допустимых положений механической системы в период времени, в течение которого могут происходить ее движения.
Область изменения переменных  и t , в которой задаются функции f (  , t ) ,
будем обозначать G .
3. Функции f (  , t ) ,   1, l , независимы друг от друга в области G .
Поясним смысл данных требований. Условие 1 означает, что количество
- 109 -
связей l меньше, чем количество координат механической системы. Если бы было
l  3N , то система уравнений (2.4.2), вообще говоря, определяла бы конкретную функцию  (t ) (при l  3N ), либо была бы несовместна. В том и другом случае нет смысла
изучать движения таких механических систем.
Условие 2 диктуется следующими обстоятельствами. Согласно законам, лежащим в основе всех математических моделей движения, причинами возникновения и
развития механического движения являются силы, создающие ускорения материальных
точек, входящих в состав механической системы. Потому для построения таких математических моделей возникает необходимость вычисления ускорений на движениях
механических систем при действии связей (2.4.2). А это, в свою очередь, требует наложения условия 2 на функции f (  , t ) .
Прежде чем пояснить смысл условия 3, заметим следующее. Пусть определена
функция
   ( f1 , ..., fk ) ,
где 1 , ,  k принимают значения из множества {1,2, , l} . Аргументами функции
 ( f , ..., f ) являются функции f  f (  , t ) , j  1, k , k  l , задающие геометриче1
k
j
j
ские связи. Пусть  ( 0, ..., 0)  0 . Введем другую функцию — функцию  ( , t ) , построенную по формуле
 ( , t )   ( f1 (  , t ), , fk (  , t )).
Если на движениях  (t ) выполняются тождества f1 ( , t )  0, , fk ( , t )  0 , то на таких движениях будет обязательно выполняться тождество  ( f1 ( , t ), ..., fk ( , t ))  0 .
Иначе говоря, если введем дополнительную связь
 ( , t )   ( f1 (  , t ), , fk (  , t ))  0 ,
то она не будет накладывать никаких дополнительных ограничений на движения  (t ) ,
если  (t ) обращает уравнения связей
f1 (  , t )  0, , fk (  , t )  0 ,
в тождества.
Поэтому, если для какой-либо функции f (  , t ) можно найти зависимость
f (  , t )   ( f1 , ..., fk ) от других функций f1 , ..., fk , входящих в систему (2.4.2), то
связь под номером  можно исключить из ограничений, задаваемых данной системой.
Такая связь является лишней. Она автоматически реализуется, если на движениях выполнены ограничения, задаваемые функциями f1 , ..., fk : f j (  , t )  0 , j  1, k .
Теперь обратимся к третьему условию, накладываемому на уравнения связей.
Смысл условия 3 состоит в том, что в совокупности функций f1 , ..., f l нет ни одной такой функции f  , которую можно было бы представить в виде функции
f   ( f1 , ..., fk ) , где 1 , ,  k
— какой-либо набор индексов из множества
{1,2, , l} . Иначе говоря, в указанной совокупности нет ни одной функции f (  , t ) ,
зависимой
от
остальных.
Дадим
определение
независимых
функций
(см. [16, т.1, стр. 477–483]).
Пусть имеется l функций y1 , ..., yl вида:
y  f (  , t ) ,   1, l ,
- 110 -
заданных и непрерывных в некоторой области G изменения переменных  1 , ...,  3 N и t .
Зафиксируем функцию y с номером i .
Определение 1.
Если существует функция  ( y1 , ..., yi1 , yi1 , ..., yl ) такая, что равенство
yi   ( y1 , ..., yi1 , yi1 , ..., yl )
обращается в тождество по  и t в области G в том случае, когда в него вместо
y ,   1, l , подставить y  f (  , t ) ,   1, l , то функция yi называется зависимой
от остальных в области G .
Определение 2.
Функции f  ,   1, l , называются зависимыми в области G , если одна из них
(все равно какая) зависима от остальных.
Определение 3.
Если ни в области G , ни в какой-либо частично в ней содержащейся обла~
сти G для любого i  1, l и для любой функции  ( y1 , ..., yi1 , yi1 , ..., yl ) не имеет место
тождество относительно  , t вида yi   ( y1 , ..., yi1 , yi1 , ..., yl ) , где y  f (  , t ) ,
  1, l , то функции y1 , ..., yl называются независимыми в области G .
Таким образом, условие 3, накладываемое на уравнения голономных связей,
требует, чтобы функции f (  , t ) ,   1, l , удовлетворяли определению 3.
Условия 1 и 2, накладываемые на функции f (  , t ) в математических моделях
голономных связей, проверяются легко. Сложнее с условием 3. Известны лишь достаточные условия независимости функций. Они доказаны в курсе математического анализа. Приведем их применительно к функциям f1 , ..., f l . Напомним, что в нашем случае, согласно условию 2, f (  , t ) заданы и дважды непрерывно дифференцируемы по
совокупности переменных  и t в области G .
Введем следующую матрицу Bl , называемую матрицей Якоби:
f
 f1
, ..., 1

3 N
 1
D ( f1 , ..., f l ) 
Bl 

...
D (1 , ...3 N ) 
 f l , ..., f l
 
3 N
 1


  ( grad f1 ) *

(2.4.3)
...
.
 

  ( grad f l ) *


В соотношения (2.4.3) включены различные формы представления матрицы Bl ,
которые будут использоваться в дальнейшем. Матрица Bl имеет размерность [l  3N ] .
В ней grad f обозначает вектор-столбец
f
f
, ...,  ) * ,
1
3 N
где символ *(звездочка) соответствует операции транспонирования.
Иногда, в более короткой записи, матрицу Bl будем представлять в виде
Df
, где под f и  понимаются векторы-столбцы
Bl 
D
f  ( f 1 ( , t ), ..., f l ( , t )) * ,
  (  1 , ..., 3 N ) * .
grad f  (
- 111 -
Пусть (0 , t0 ) — некоторая точка в области G . Справедлива следующая теорема,
доказанная в курсе математического анализа.
Теорема (об условиях независимости функций)
Если ранг матрицы Якоби равен   1 , и этот ранг достигается в точке
~
(0 , t0 ) , то в некоторой окрестности G точки (0 , t0 ) будут независимы  функций
из числа заданных f (  , t ) ,   1, l , а остальные от них зависят. А именно, независимыми будут те  функций, производные от которых входят в определитель  - го
порядка, не равный нулю в точке (0 , t0 ) и по которому определяется ранг.
Теорема дает достаточные условия независимости функций.
В дальнейшем будем считать, что применительно к функциям f (  , t ) ,   1, l ,
выполнены условия данной теоремы во всей области G , причем в этих условиях   l .
Тем самым вместо условия 3, накладываемого на функции f (  , t ) , будем считать выполненным условие 3', которое формулируется следующим образом.
Условие 3': Ранг матрицы Якоби для функций f (  , t ) ,   1, l , вычисленной по
переменным  1 , ...,  3 N , при всех значениях переменных  , t из области G задания
функций f  , равен l , где l — количество связей:
Df
rang
l.
D
(2.4.4)
Из условия 3' следует, что уравнения геометрических связей независимы во всей
области задания функций f (  , t ) .
2º. Число степеней свободы положения в голономных механических системах
Покажем, что в голономных системах можно уменьшить количество координат,
с помощью которых задается любое положение механической системы.
Итак, пусть выполняются условия 1,2,3', указанные в п.1º для уравнений голономных связей:
1) l  3N ;
2) функции f (  , t ) — дважды непрерывно дифференцируемые по  , t ,   1, l ;
Df
f  ( f 1 , ..., fl ) * ,   ( 1 , ..., 3 N ) * .
3) rang Bl  l , где Bl 
,
D
Для определенности считаем, что ранг реализуется на первых l столбцах матрицы Якоби Bl .
В противном случае изменим нумерацию компонент вектора  и составим из
них вектор  . Изменение нумерации произведем так, чтобы первые l компонент вектора  совпали с теми компонентами вектора  , на которых реализуется ранг матрицы
Df
Якоби
. Построенный таким образом вектор  и его компоненты по-прежнему буD
дем обозначать  и  i , i  1, 3N , соответственно.
Будем смотреть на уравнения связей (2.4.2) как на систему уравнений относительно переменных  1 , ..., l , считая остальные независимые переменные  l 1 , ...,  3 N , t
параметрами. Иначе говоря, считаем, что система уравнений
- 112 -
fl (  , t )  0, , fl (  , t )  0
неявно задает l функций:
1  1 ( l 1 , ..., 3 N , t ), , l  l ( l 1 , ..., 3 N , t ) .
(2.4.5)
(2.4.6)
Пусть в точке (0 , t0 )  G выполняются равенства (2.4.5). Поскольку для функций f (  , t ) ,   1, l , справедливы условия 1,2,3', то система уравнений (2.4.5) удовлетворяет теореме о неявных функциях. Из этой теоремы следует существование указанных функций (2.4.6), обладающих следующими свойствами.
1. По любой точке 3N  1 -мерного пространства (0 , t0 )  G , удовлетворяющей системе уравнений (2.4.5) при выполнении условия (2.4.4), можно построить
~
окрестность G точки ( l01 , ... ,  30N , t0 ) 3N  l  1 -мерного пространства такую,
что функции (2.4.6) будут определены и непрерывно дифференцируемы в обла~
сти G столько раз, сколько раз непрерывно дифференцируемы функции
f (  , t ) .
2.
В точке ( l01 , ... ,  30N , t0 ) выполняются соотношения
 0   ( l01 , ...,  30N , t0 ) ,   1, l .
3.
Подстановка (2.4.6) в уравнения (2.4.5) обращает систему уравнений связей (2.4.5) в тождества относительно переменных  l 1 , ... , 3 N , t .
Из соотношений (2.4.6) следует, что l первых координат  1 , ..., l вектора  в
любой момент времени t зависят от остальных координат  l 1 , ... , 3 N этого вектора.
Значения координат  l 1 , ... , 3 N могут выбираться независимо друг от друга из обла~
сти G , где определены функции  ( l 1 , ..., 3 N , t ) ,   1, l . При таком выборе указанных координат уравнения связей (2.4.2) будут выполняться тождественно, если только
первые l компонент вектора  вычисляются по формуле (2.4.6).
Определение 4.
Число n  3N  l называется числом степеней свободы положения механической системы.
Как следует из проведенного анализа, число n соответствует количеству независимых координат, с помощью которых в каждый фиксированный момент времени t
может быть задано любое положение механической системы, подчиненной l голономным связям. В свою очередь, отмеченное свойство координат, с помощью которых
определяется положение механической системы, позволяет сделать заключение о способе задания ее движения.
А именно, для того чтобы задать любое движение механической системы, подчиненной связям (2.4.2), необходимо и достаточно указать n  3N  l дважды непрерывно дифференцируемых функций  l 1 (t ) , ..., 3 N (t ) , позволяющих определить в каждый момент времени n независимых координат  l 1 , ... , 3 N этой системы. Через них
остальные l координат  1 , ..., l как функции времени вычисляются заменой в формулах (2.4.6) переменных  l 1 , ... , 3 N на заданные функции  l 1 (t ) , ..., 3 N (t ) , соответственно. Построенная таким образом вектор-функция  (t ) будет обращать уравнения связей
в тождества, справедливые для всех t , где определено движение.
3º. Обобщенные координаты голономных механических систем
Введем обозначения:
- 113 -
q1   l 1 , , qn  3 N .
Записывая их в векторно-матричной форме, будем иметь
  l 1 
 q1 


 
(2.4.7)
q   ...   En  ...  .
 
q 
 n
 3N 
Тогда зависимости (2.4.6) координат  1 , ..., l от переменных q 1 , ..., ql примут вид
1   1 ( q1 ,..., qn , t ), ,  l   l ( q1,..., qn , t ) .
Объединяя их с (2.4.7), можем записать
1   1 ( q1 ,..., qn , t ), ,  l   l ( q1,..., qn , t ) ,
  l 1 


    En


 3N 
q 1 
 
  ,
q 
 n
(2.4.8)
где En — единичная матрица размерности [n  n] , n  3N  l .
Иначе (в векторном виде) система соотношений (2.4.8) запишется так:
(2.4.9)
   ( q1 ,..., qn , t ) .
Если сопоставить систему (2.4.9) с (2.4.7), то легко заметить, что соотношения (2.4.7) образуют обратную зависимость переменных q1 , ... , qn от переменных
 1 , ...,  3 N .
Таким образом, соотношения (2.4.7) представляют собой обратные по отношению к (2.4.9) зависимости
(2.4.10)
q  q ( , t ) .
Время t выступает в (2.4.8) и (2.4.10) как параметр.
Матрица Якоби, вычисленная по отношению к функциям  ( q, t ) по переменным q , имеет ранг, равный n , ибо последние n столбцов этой матрицы образуют блок
D ( l 1 ,..., 3 N )
det En  1 .
 En ,
D (q1 ,..., qn )
Функции q (  , t ) обладают такими же свойствами дифференцируемости по  , t ,
как и функции  ( q, t ) по переменным q , t .
Наконец отметим, что подстановка функций  ( q, t ) в уравнения связей (2.4.5)
обращает эти уравнения в тождества по q , t , ибо функции  ( q, t ) ,   1, l , построены
из данных уравнений после подстановки в них замен (2.4.7) вместо  l j , j  1, n .
Если перейдем от переменных 1 ,..., 3 N к переменным x , y , z   1, N ,
исходя из ранее введенных обозначений
3  2  x , 3 1  y , 3  z ,
  1, N ,
то вместо    ( q, t ) и q  q (  , t ) соотношения (2.4.9) и (2.4.10) примут вид
 


r  r (q, t ) ,   1, N ,
q  q ( r1 , ..., rN , t ) .
Из доказанных выше свойств функций  ( q1 , ..., qn , t ) и q (  , t ) вытекают следу


ющие свойства функций r (q, t ) ,   1, N , и q ( r1 , ..., rN , t ) .

1. Существуют такие переменные q  (q1 , ..., qn ) и функции r (q, t ) ,   1, N , что лю
бое положение механической системы  r  1,N из области G в любой момент
- 114 -
времени t может быть однозначно определено через переменные q с помощью
соотношений
 
(2.4.11)
r  r (q, t ) ,
  1, N .

2. Функции r (q, t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы по сово~
купности переменных q и t , принимающих значения из области G .

3. Ранг матрицы Якоби, вычисленный по переменным q от функций r (q, t ) , т.е.


D (r1 ,..., rN )
ранг матрицы
, равен n .
D (q1 ,..., qn )
4. Система соотношений (2.4.11) однозначно разрешима относительно переменных
q  (q1 , ..., qn ) в любой момент времени t в любом допустимом положении
 r  1,N механической системы. Иначе говоря, существуют функции qi (r1,..., rN , t ) ,


вещественные и однозначные при любых значениях векторов ( r1 , ..., rN ) и време 
ни t из области G такие, что подстановка qi  qi (r1,..., rN , t ) , i  1, n , в правые ча 
сти системы (2.4.11) обращают ее в совокупность тождеств r  r ,   1, N .


5. Функции qi (r1 ,..., rN , t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы по


компонентам векторов ( r1 , ..., rN ) и по времени t в области G .


6. Подстановка функций r (q, t ) ,   1, N , вместо векторов r ,   1, N , в уравнения (2.4.1) геометрических связей обращают их в тождества


f (r1 (q, t ) , ..., rN (q, t ) , t )  0 ,
  1, l ,
по совокупности переменных q и t .
Определение 5.
Независимые переменные q1 , ... , qn , связанные с положениями механической си 
стемы зависимостями r  r (q, t ) ,   1, N , и обладающие свойствами 1–6, называются обобщенными координатами голономной механической системы.
Таким образом, доказали следующую теорему.
Теорема 1.

В любой момент времени t любое положение  r  1,N механической системы в
области G , где определены уравнения геометрических связей (2.4.1), может быть задано с помощью n  3N  l независимых координат q1 , ..., qn , удовлетворяющих
условиям 1–6.
Доказанная теорема носит название теоремы существования обобщенных
координат.
Как видно из приведенного выше доказательства теоремы, оно основано на том,
что в качестве таких переменных q1 , ... , qn , с помощью которых может быть задано любое положение механической системы, берут ее n последних декартовых координат.
А далее устанавливается, что данные координаты в любых положениях обладают свойствами 1–6. Однако, как показывает практика, свойствами 1–6 могут обладать и другие
переменные q1 , ... , qn , выбранные из каких-либо геометрических, физических, механических, математических соображений. Важно лишь то, чтобы при любом выборе переменных q в качестве обобщенных координат функции, задающие связь их с положениями механической системы, обладали бы свойствами 1–6, описанными выше.
- 115 -
Иногда не удается подобрать обобщенные координаты q , для которых условия 1–6 выполнялись бы во всей области G . В этих ситуациях вводят координаты q
так, чтобы указанные условия были справедливы в некоторой области G1 , содержащейся в G . Затем подбирают другие обобщенные координаты q для дополнения множества G1 до G .
Если не удается подобрать координаты q для всего дополнения, то подбирают q для какой-либо части этого дополнения. Затем подбирают их для оставшейся области, и т.д. Так продолжают процесс построения q до тех пор, пока не покроется вся
исходная область G . Тем самым будет создана так называемая карта ввода обобщенных координат q . Согласно теореме 1, существуют такие переменные q , для которых
справедливы условия 1–6 во всей области G .
Ясно, что в части области G , оставшейся непокрытой, ничто не мешает в качестве обобщенных координат q ввести n независимых декартовых координат, использованных при доказательстве теоремы. Поэтому процесс построения карты ввода
обобщенных координат q конечен.
Рассмотрим теперь случай, когда голономные связи — стационарны. Для таких
связей теорему о существовании обобщенных координат можно сформулировать в следующем виде.
Следствие 1.
Если голономные связи стационарны, то существуют такие обобщенные координаты q , что зависимость положений механической системы от этих координат
 
будет иметь вид r  r (q) ,   1, N . Иначе говоря, в правые части соотношений (2.4.11) время t не будет входить явно.
Справедливость утверждения следует из доказательства теоремы. В нем надо
учесть, что, поскольку уравнения связей не содержат явно время t , то правые части
системы (2.4.6) также не будут содержать t в явном виде. А это значит, что время не
войдет явно в функции  ( q, t ) системы (2.4.9), и соответственно, системы (2.4.11).
Следствие доказано.
Часто обобщенные координаты q вводятся без предварительного вывода уравнений связей (2.4.1) прямо по описанию механической системы и условий, в которых
осуществляется ее движение. В таких ситуациях функциональная зависимость положе
ния  r  1,N механической системы от обобщенных координат q строится не из уравнений связи, а исходя из геометрических и физических соображений.
Здесь уместно заметить, что если полученная таким образом зависимость поло
жения  r  1,N от переменных q , определяемая соотношениями (2.4.11), будет содержать в явном виде t , то этот факт еще не означает, что связи (2.4.1), являются неста
ционарными. Построенная по описанному способу явная зависимость функций r от
времени t может оказаться результатом неудачного выбора переменных q в качестве
обобщенных координат.
Пример.
Пусть материальная точка P движется по поверхности планеты. Планета рав
номерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью  . Ось планеты сохраняет
неизменным свое направление в абсолютном пространстве. Будем считать, что поверхность планеты имеет форму поверхности вращения, образованной поворотом эллипса
вокруг одной из своих осей, причем эта ось совпадает с осью планеты (см. рис.2.4.1).
- 116 -
Введем абсолютную систему отсчета, связанную со звездами. За полюс системы
примем точку O — центр планеты, за ось Oz — ось вращения планеты, за оси Ox и
Oy — взаимно ортогональные оси, расположенные в плоскости экватора и выбранные
так, чтобы система Oxyz была правой.
Положение точки P на поверхности планеты будем определять сферическими
координатами  ,  :
– угол  — долгота точки P ; отсчитывается в экваториальной плоскости от некоторого фиксированного на планете меридиана, называемого нулевым, до меридиана, проходящего через точку P ; угол  называется планетоцентрической
долготой точки;
– угол  — широта точки P ; отсчитывается в плоскости меридиана точки P от
плоскости экватора до положения этой точки.
z

нулевой меридиан
P
О
 t
меридиан точки P
PЗ

q
y
x
Рис.2.4.1
Пусть точка P движется по параллели планеты с фиксированной широтой   0  const . Тогда для задания движения точки P достаточно определить только
одну обобщенную координату. В качестве такой обобщенной координаты возьмем
планетоцентрическую долготу  , т.е. положим q1  .
При таком введении обобщенной координаты связь положения точки P в абсолютном пространстве с обобщенной координатой q1 будет задаваться формулами
x   cos (q10 (t )),
y   sin (q10 (t )) ,
z  R (0 ) sin 0 ,
где   R ( 0 ) cos  0 , R ( 0 ) — радиус планеты на широте  0 ,  0 (t ) — угол между положительным направлением оси Ox и плоскостью нулевого меридиана планеты в момент времени t .
Если обозначить t — момент времени, в который плоскость нулевого меридиана проходит через положительное направление оси Ox , то можем записать
 0 (t )   (t  t ) .
А тогда связь положения ( x, y, z ) точки P с обобщенной координатой q1 принимает вид
x   cos (q1 (t  t ) ), y   sin (q1 (t  t ) ), z  R (0 ) sin 0  const .
(2.4.12)
В векторном представлении эту связь можем записать в форме (2.4.11)
- 117 -
 



r  R(0 )[ cos 0 cos (q1   (t  t )) i  cos 0 sin (q1   (t  t )) j  sin 0 k ]  r (q1, t ) .

Хотя в вектор-функцию r (q1 , t ) время t входит явно, тем не менее, легко показать, что связи, накладываемые на положение материальной точки, являются стационарными.
Действительно, все положения точки подчинены двум условиям. Одно из них —
это требование, чтобы точка P в любой момент времени находилась на заданной поверхности вращения. Вторым является требование, чтобы широта  0 точки в любом ее
положении оставалась неизменной. Математически эти два условия в декартовых координатах могут быть записаны в виде следующих равенств
f1 (x, y, z)  x 2  y 2  R 2 (0 ) cos 2 0  0 ,
f 2 ( x, y, z)  z  R(0 ) sin 0  0 ,
задающих ограничения на координаты ( x, y, z ) положения точки P в любой момент
времени t .
В них  0 — заданная широта, а R ( 0 ) — известная функция, отражающая зависимость радиуса планеты от широты.
В функциях f ( x, y, z ),   1,2 , время t отсутствует, а потому данная механическая система, состоящая из одной материальной точки, является стационарной. Она
имеет одну степень свободы, и ее движение вполне определено, если задан закон изменения координаты q1 : q1q1(t ) .
Таким образом, с одной стороны, соотношения (2.4.12) показывают, что описание движения точки P по параллели с помощью планетоцентрической долготы приводит к нестационарным зависимостям абсолютного положения точки P от этой
долготы.
С другой стороны, поскольку голономные связи данной механической системы
стационарны, то согласно доказанному выше следствию 1 из теоремы 1 для данной механической системы должна существовать обобщенная координата q , которая связана
с абсолютным положением точки P стационарными зависимостями.
Легко видеть, что такой обобщенной координатой q может служить абсолютная
долгота меридиана, на котором находится точка P в момент времени t . Под такой долготой понимается угол между положительным направлением оси Ox и плоскостью меридиана места точки P . Очевидно, этот угол (обозначим его q ) связан с планетоцентрической долготой q1 точки P следующей зависимостью
q  q10 (t )  q1 (t  t ) .
Формулы связи положения ( x, y, z ) точки P с этой обобщенной координатой q
будут иметь вид
x   cos q,
y   sin q,
z  R (0 ) sin 0  const .
Как видим, в них время t не входит явно (в отличие зависимостей x, y, z от q1
по формулам (2.4.12)).
§5. Обобщенные координаты и число степеней свободы движения
в неголономных системах
1º. Условия, накладываемые на математические модели
связей в неголономных системах
Неголономные механические системы с линейными кинематическими связями
описываются следующими уравнениями
- 118 -


f ( r1 ,..., rN , t )  0 ,
  1, l ,
N

 



 ( a ( r1 ,..., rN , t ) ,V )  a ( r1 ,..., rN , t )  0 ,
(2.5.1)
  1, s .
(2.5.2)
 1
Считаем, что все интегрируемые связи проинтегрированы и вошли в первую
группу уравнений, т.е. вторая группа содержит только неинтегрируемые дифференциальные связи. Причем вторая группа уравнений обязательно присутствует.
В обозначениях, принятых в §4 для вектора-столбца   ( 1, ..., 3 N ) * , составленного из координат точек механической системы
1  x1, 2  y1, 3  z1,  , 3 N 2  xN , 3 N 1  yN , 3 N  z N ,
система уравнений (2.5.1), (2.5.2) примет вид (сохраняем за ней ту же нумерацию):
(2.5.1)
f (  , t )  0 ,
  1, l ,
N


(2.5.2)
 ( a ( , t ), V )  a ( , t )  0 ,   1, s .
 1
Как и в §4, требуем, чтобы уравнения голономных связей удовлетворяли условиям, сформулированным в этом параграфе:
а) l  3N ;
б) функции f (  , t ) ,   1, l — определены и дважды непрерывно дифференцируемы
по совокупности переменных  , t из области G ;
D ( f1 ,..., f l )
в) rang
 l при любых значениях ( , t )  G .
D (1 ,..., 3 N )
На кинематические связи (2.5.2) дополнительно накладываем следующие условия.
1. s  n  3N  l , т.е. общее количество связей (голономных и неголономных)
должно быть меньше 3N .

2. Функции a (  , t ) и a (  , t ) ,   1, s , определены и непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных  , t из области G .
Прежде чем сформулировать третье условие, составим матрицу B размерности [(l  s)  3N ] . Представим ее в блочном виде
 Bl 
B    ,
(2.5.3)
 Bs 
где Bl — матрица размерности [l  3N ] , совпадающая с матрицей Якоби, составленной
3.
по переменным  от функций f (  , t ) ,   1, l ; Bs — матрица коэффициентов при
скоростях в уравнениях (2.5.2).
Матрица Bl определяется формулой (2.4.3) §4, а матрица Bs имеет вид


 a11
, ..., a1N 


(2.5.4)
Bs   ...
.
 
 
 as1 , ..., asN 
В (2.5.4) введены обозначения:

a
 (ax , ay , az ) ,
  1, s ,   1, N ,

a x , a y , a z — координаты вектора a (  , t ) в заданной системе отсчета.
Тогда последнее условие (условие 3), накладываемое на кинематические связи,
состоит в требовании, чтобы
- 119 -
rang B  l  s ,
(2.5.5)
при всех ( , t )  G .
Поясним смысл условия 3. Для этого определим, какие ограничения на скорости
точек неголономной механической системы накладываются всеми ее связями.
Перейдем от уравнений связи (2.5.1) к их дифференциальной форме и присоединим к ним уравнения кинематических связей. Придем к следующей системе уравнений
дифференциальных связей
N

f
(2.5.6)
( grad f ,V )    0 ,
  1, l ,

t
 1
N
 
(2.5.7)
  1, s .
 ( a ,V )  a  0 ,
 1
Легко видеть, что матрица B , имеющая вид (2.5.3), совпадает с матрицей коэффициентов при скоростях в системе (2.5.6), (2.5.7). Каждое уравнение системы (2.5.6),
(2.5.7) при любых фиксированных положениях  в моменты времени t из области G
задает ограничения на скорости механической системы, которые она может иметь в эти
моменты времени в указанных положениях. Следовательно, механическая система может иметь в положении, которое она занимает в момент времени t , только такие скорости, которые являются решениями системы уравнений (2.5.6), (2.5.7).
Из вида системы уравнений (2.5.6), (2.5.7) легко устанавливается смысл условия 3, которое следует наложить на кинематические связи, действующие на механическую систему совместно с голономными связями.
А именно, согласно теореме об условиях независимости функций (см. §4, п.1º)
равенство (2.5.5) означает независимость функций, задающих левые части равенств (2.5.6), (2.5.7). В этих функциях в качестве аргументов выступают скорости механической системы, а ее положения и время рассматриваются как параметры.
Следовательно: условие 3 обеспечивает выполнение требования, чтобы ограничения, которые накладываются на скорости точек механической системы в любой
момент времени t в любом положении, допускаемом голономными связями (2.5.1), были независимыми.
Замечание.
Нетрудно заметить, что выполнение равенства (2.5.5) влечет за собой выполнение следующих равенств
(2.5.8)
rang Bs  s ,
(2.5.9)
rang Bl  l .
Равенство (2.5.9) совпадает с условием в), накладываемым на голономные связи.
Поэтому при выполнении условия 3, накладываемого в неголономных механических системах на дифференциальные связи в виде равенства (2.5.5), нет необходимости выделять условие в), предъявляемое в этих системах к связям геометрическим.
Однако справедливость (2.5.8) и (2.5.9) при выполнении (2.5.5) будет учитываться в дальнейшем.
2º. Обобщенные координаты в неголономной механической системе
Определение 1.
Обобщенными координатами неголономной механической системы называются
обобщенные координаты голономной системы, которая строится из неголономной
системы исключением кинематических связей из состава действующих связей.
Иначе говоря, обобщенные координаты неголономной системы вводятся через
уравнения геометрических связей (2.5.1) таким же образом, как это делается в голо- 120 -
номных системах, имеющих связи, совпадающие с системой (2.5.1).
3º. Число степеней свободы движения механической системы
Введем обозначение m  3N  (l  s) . Поскольку 3N  l  n , то m  n  s .
Определение 2.
Число m  n  s  3N  (l  s) называется числом степеней свободы движения
неголономной механической системы.
Из уравнений (2.5.6), (2.5.7) и условия (2.5.5) можно сделать следующий вывод:
число m задает количество независимых компонент скоростей точек, входящих в состав неголономной механической системы.
Действительно, из уравнений (2.5.6), (2.5.7) при выполнении условия (2.5.5), согласно теореме о неявных функциях, можно выразить l  s компонент скоростей через
3N  (l  s)  m оставшихся независимых компонент этих скоростей.
Если неголономные связи отсутствуют, т.е. механическая система является голономной, то отсутствуют уравнения (2.5.7). А тогда из системы (2.5.6) можем выра
зить l компонент скоростей V ,   1, N , точек, входящих в состав голономной механической системы. Эти компоненты будут выражаться через 3N  l  n остальных независимых компонент.
В таком случае, если распространим понятие числа степеней свободы движения
и на голономные системы, то будем иметь:
m  n,
т.е. для голономных систем число степеней свободы движения m совпадает с числом
степеней свободы положения n .
Иначе говоря, в голономных системах количество независимых координат положения механической системы и число независимых компонент скоростей совпадают.
Что касается неголономных систем, то для них всегда имеет место неравенство
m  n.
§6. Обобщенные скорости и ускорения.
Основные кинематические соотношения Лагранжа
1º. Обобщенные скорости и ускорения и их связь со скоростями
и ускорениями точек механической системы
Пусть задано движение механической системы q j  q j (t ) , j  1, n , через обобщенные координаты.
Определение.
Производная q j по времени t от обобщенной координаты q j на движении
qi  qi (t ) , i  1, n , механической системы называется обобщенной скоростью по обобщенной координате q j , j  1, n .
Вторая производная q j по t называется обобщенным ускорением механической
системы по координате q j , j  1, n .
Установим связь обобщенных скоростей q j и ускорений q j , j  1, n , со скоро

стями V и ускорениями W ,   1, N , точек механической системы.
- 121 -
Для
этого
построим
прямую
зависимость

скоростей V
и ускорений

W ,   1, N , точек механической системы от обобщенных скоростей q j и обобщенных
ускорений q j , j  1, n . Затем найдем искомые обратные зависимости q j и q j , j  1, n ,


от V и W ,   1, N .

Согласно определению обобщенных координат любое положение  r  1,N связано с обобщенными координатами q j , j  1, n , соотношениями
 
r  r (q, t ) ,
  1, N .
Тогда на движении q  q(t ) имеем
 

r  r (t )  r ( q(t ), t ) 



 x ( q, t ) i  y ( q, t ) j  z ( q, t ) k .
(2.6.1)
(2.6.2)


Дифференцируя (2.6.2) дважды по t , получим прямые зависимости V и W ,
  1, N , от qi и q j , соответственно:


n

r
r
V    q j   ,
(2.6.3)
  1, N ,
t
j 1 q j




n
n
n
n

r
 2 r
 2 r
 2r
W    qj  
qi q j  2 
q j  2 ,
  1, N . (2.6.4)
t
j 1 q j
j 1 i 1 qi q j
j 1 q j  t
Проведем анализ этих соотношений. Равенства (2.6.3) можем записать в матричном виде:
 (q, t )
,
(2.6.5)
  Dq 
t
где D — матрица Якоби размерности [3N  n] системы (2.6.1), составленная по пере (q, t )
менным q1 , q2 , ..., qn , а  , q ,
— векторы-столбцы размерности [3N 1] , [n 1] ,
t
[3N 1] , соответственно.
Поэлементно они представляются так:
  (Vx1 ,Vy1 ,Vz1 ,...,VxN ,VyN ,VzN ) * ,
q  (q1 , q2 , ..., qn ) * , q  (q1, q2 ,..., qn ) * ,
 (q, t )  ( x1 (q, t ) , y1 (q, t ) , z1 (q, t ), ..., xN (q, t ) , yN (q, t ) , z N (q, t )) * ,
 (q, t )  x1 (q, t ) y1 (q, t ) z1 (q, t )
x (q, t ) yN (q, t ) z N (q, t ) 

,
,
, , N
,
,
 ,
t

t

t

t
t
t
t 

  1
 1 


,...,
qn 
 q1
,
D

   ( x (q, t ) , y (q, t ) , z (q, t )) * ,
  1, N ,


N
  N


,...,



q
qn 
1

*

   x (q, t ) y (q, t ) z (q, t ) 
,

,
,
  1, N , j  1, n .
q j  q j
q j
q j 
Звездочки  обозначают операцию транспонирования.
- 122 -
Согласно определению обобщенных координат неголономной механической системы и условию 3, которое накладывается на соотношения (2.6.1) в определении 4
обобщенных координат голономной системы (см. п.3º, §4), имеем
(2.6.6)
rang D  n  3N  l  3N .
Прежде чем продолжить анализ соотношений (2.6.1) – (2.6.5), докажем следующее утверждение.
Лемма.
Пусть дана любая прямоугольная матрица D размерности [k  n] , k  n .
Для того чтобы столбцы матрицы D были линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы матрица
A  D*D
была неособой, т.е. det A  0 .
Доказательство.
Очевидно, матрица A является квадратной размерности [n n] .
Необходимость. Пусть столбцы матрицы D линейно независимы. Тогда для
любого вектора c  0 размерности [n 1] выполняется
(2.6.7)
Dc  0.
Предположим, что A — особая матрица. Тогда существует вектор c  0 такой,
что A c  0 , или, подставляя A  D*D , получаем
(2.6.8)
A c  D* D c  0 .
*
Поскольку c  0 , то, умножая равенство (2.6.8) на c слева, получаем
c * A c  c * D* D c  ( D c ) 2  0 ====> D c  0 .
Этот результат противоречит условию (2.6.7), так как оно выполняется для любого вектора c  0 (в частности, оно справедливо и для c  c ). Значит, предположение
о том, что det A  0 , неверно. Необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть det A  0 . Предположим противное, что столбцы матрицы D линейно зависимы. Тогда существует вектор c  0 размерности [n 1] такой, что
(2.6.9)
Dc  0 .
После умножения равенства (2.6.9) на D * слева, получим
D*Dc  Ac  0 .
Отсюда следует, что вектор c  0 является решением однородной системы уравнений. Матрица коэффициентов этой системы совпадает с матрицей A , которая имеет
det A  0 . А это означает, что такая система может иметь только нулевое решение
c  0 . Пришли к противоречию с условием c  0 . Лемма доказана.
Вернемся к равенствам (2.6.5). Они справедливы на любых движениях и любых
положениях механической системы. Умножая равенства (2.6.5) на D * слева, получаем
 (q, t )
.
D*   D* D q  D*
t
Учитывая условие (2.6.6) и утверждение леммы (из условия (2.6.6) следует, что
столбцы матрицы D линейно независимы; из леммы следует тогда, что матрица


A  D* D неособая при любых r1 , ..., rN , t ) находим
 (q, t )
q  ( D* D) 1 D* (  
).
(2.6.10)
t
- 123 -

Если в матрице D и в векторе
аргумент q заменить обратной функцией
t


q  q(r1 , ..., rN , t ) , получаемой из соотношений (2.6.1), то формула (2.6.10) даст одно

значную зависимость обобщенных скоростей q от скоростей V1 , ..., VN на любом поло

жении r1 , ..., rN механической системы в любой момент времени t . Поэтому из (2.6.10)
можно сделать вывод:
обобщенные скорости на любых движениях и в любых положениях однозначно
связаны со скоростями механической системы.
Объединяя теперь равенства (2.6.5) и (2.6.10), приходим к следующему заключению относительно связи между скоростью  и обобщенными скоростями механической системы:
между скоростью  и обобщенными скоростями q механической системы в
любых ее положениях существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулами (2.6.5) и (2.6.10).
Аналогичным путем из (2.6.4) получаем


 
(2.6.11)
q  ( D* D) 1 D* (W   (r1 , ..., rN , V1 ,...,VN , t )) ,


 
где W и  (r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , t ) обозначают векторы-столбцы размерности [3N 1] , со
ставленные из компонент W x , W y , W z ускорений W и компонент   x ,  y ,  z век
 
 
 (r1,..., rN , V1, ..., VN , t ) ,
тор-функций
соответственно.
Функции
  1, N ,


 
 
~
 (r1,..., rN , V1, ..., VN , t ) строятся по функциям  (q, q, t ) , которые имеют вид



n
n
n

 2 r
 2 r
 2r
~ (q, q, t )  
qi q j  2
q j  2 ,   1, N .
(2.6.12)
t
j 1 i 1 qi q j
j 1 q j  t

 
 
Чтобы получить  (r1, ..., rN , V1, ..., VN , t ) , необходимо в (2.6.12) заменить аргу

менты q на q  q (r1 , ..., rN , t ) , а обобщенные скорости q — на их зависимость от




r1 , ..., rN , V1 , ..., VN , t , найденную по формулам (2.6.10).
Обобщая сказанное, можем утверждать, что соотношения (2.6.1), (2.6.3), (2.6.4)
дают прямые зависимости положений, скоростей и ускорений от обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений.
Их можно рассматривать как аналитические зависимости положений, скоростей
и ускорений механической системы, однозначно разрешимые относительно обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений.
Обратная зависимость обобщенных скоростей и обобщенных ускорений от скорости  и ускорения W механической системы задается соотношениями (2.6.10) и
(2.6.11), соответственно.
2º. Кинематическая лемма Лагранжа
Для функций (2.6.1), (2.6.3) на любых движениях механической системы справедлива следующая кинематическая лемма Лагранжа.
Лемма Лагранжа.
На любых движениях механической системы справедливы следующие соотношения:


 V r

,
(2.6.13)
  1, N , j  1, n .
 q j q j
- 124 -


d r
 V
,
(
)
dt q j
 qj
  1, N , j  1, n .
В левой части равенства (2.6.14) выражение
водную по времени t от вектор-функции
(2.6.14)

d r
(
) обозначает полную произdt q j

r
вдоль движения механической системы
t
(см. гл.1, §5, п.8º, определение 11).
Равенства (2.6.13) и (2.6.14) называются основными кинематическими соотно

шениями Лагранжа при дифференцировании функций r (q, t ) и V (q, q, t ) , задаваемых
формулами (2.6.1) и (2.6.3), соответственно.
Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство аналогичных
утверждений, содержащихся в лемме Лагранжа в главе 1, §5, п.8º.
3º. Ограничения, накладываемые голономными связями
на обобщенные координаты и обобщенные скорости
В этом пункте дадим ответ на вопрос, какие ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости накладывают связи в голономных механических системах.
Ответ на этот вопрос следует искать в тех требованиях, которые предъявляются
к обобщенным координатам при их выборе для описания движений механических систем, а также в условиях, которым должны удовлетворять математические модели связей в таких системах.
Согласно определению обобщенных координат голономных механических систем и условий, которые накладываются на выбор обобщенных координат, можно записать следующее.
Подстановка в уравнения геометрических связей


(2.6.15)
f ( r1 , . . . , rN , t )  0 ,
  1, l ,
 
функций r  r (q, t ) ,   1, N , задающих связь обобщенных координат q и положений
точек механической системы, обращают равенства (2.6.15) в тождества по q и t


f (r1 (q, t ) , . . . , rN (q, t ) , t )  0 ,
(2.6.16)
  1, l .
 
Тождества (2.6.16) будут справедливы для функций r  r (q, t ) ,   1, N , соответствующих любому выбору переменных q , который позволяют сделать уравнения
связей (2.6.15).
Из этого свойства получаем следующее.
Вывод 1.
При любом выборе обобщенных координат, который допускают геометрические связи (2.6.15), уравнения связей не накладывают никаких ограничений на значения
этих координат.
Проверим теперь, будут ли уравнения голономных связей накладывать ограничения на значения обобщенных скоростей q  (q1 , ..., qn ) .
В соответствии с ранее сделанными выводами (см. §2, п.1º) эти уравнения дей

ствительно накладывают ограничения на скорости V1 , ..., VN . Они имеют вид (задаются
уравнениями (2.2.5) из §2, п.1º):
- 125 -

f
(2.6.17)
 0,
  1, l ,
t
1

Подставим зависимость (2.6.3) скоростей V ,   1, N , от обобщенных скоростей q в ограничения (2.6.17). Придем к равенствам
N
 ( grad f , V ) 

n
 b q
j 1
в которых
N
bj   ( grad f ,
 1
j
j
 b  0 ,

r
),
q j
  1, l ,

N
f
r
b 
  ( grad f ,
).
t  1
t
(2.6.18)
(2.6.19)
Покажем, что bj  0 при любых j ,  , j  1, n ,   1, l , и b  0 при любых
  1, l . Продифференцируем тождества (2.6.16) по q j , j  1, n , и по t при любых  ,
  1, l :
f
Df
 0,
(2.6.20)
0.
q j
Dt
Раскрывая левую часть тождеств (2.6.20) и сравнивая с (2.6.19), можем записать

N
f
r (q, t )
  ( grad f , 
)  b j , j  1, n ,
q j  1
q j

N
Df
r (q, t )
f
  ( grad f ,
)    b .
Dt  1
t
t
Учитывая (2.6.20), приходим к требуемым тождествам:
b j  0 , b  0
для j  1, n и   1, l .
Вывод 2.
Голономные связи не накладывают никаких ограничений на обобщенные скорости.
4º. Ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости,
накладываемые связями в неголономных системах
В неголономных системах, так же, как и в голономных, выбор обобщенных координат q  (q1 , ..., qn ) для описания движений механической системы производится на
основе уравнений (2.6.15) геометрических связей. Эти уравнения входят в состав математических моделей связей в неголономных системах, задаваемых кинематическим
способом. Неинтегрируемые дифференциальные связи, обязательно присутствующие в
описании неголономной системы, на выбор и на область допустимых значений переменных q1 , ..., qn не влияют. Тем самым они не накладывают никаких ограничений на
обобщенные координаты.
Выше (в п.3º) показано, что геометрические связи (2.6.15) также не накладывают
ограничений на эти координаты. Следовательно, вывод 1, сделанный для голономных
систем, справедлив и для неголономных.
Обратимся теперь к решению вопроса, какими уравнениями описываются ограничения на обобщенные скорости, создаваемые связями в неголономных системах.
Ранее было показано (см. §5, п.1º), что связи, действующие в таких системах,

накладывают ограничения на скорости V ,   1, N . Они задаются уравнениями
- 126 -
N

 ( grad f , V ) 

1
f
 0,
t


 ( a , V )  a  0,
N
  1, l ,
(2.6.21)
  1, s.
 1
Матрица коэффициентов при скоростях в системе (2.6.21) совпадает с матрицей,
определяемой по формуле (2.5.3) из §5:
 Bl 
B    ,
 Bs 
где Bl обозначает матрицу вида (2.4.2) из §4, а Bs — матрицу вида (2.5.4) из §5.
Ранг матрицы B удовлетворяет условию (2.5.5) из §5:
rang B  l  s .
Как отмечалось в п.2º из §5, это условие позволяет утверждать, что l + s компо
нент скоростей V ,   1, N , можно выразить из уравнений (2.6.21) как функции
остальных 3N  (l  s)  m компонент. Поэтому можно записать:

 ~
~
   ( r1 , ..., rN ,V1 , ...,Vm , t ) ,
(2.6.22)
где   (Vx1 ,Vy1 ,Vz1 , ..., VxN ,VyN ,VzN ) * ,

 ~
~
а  ( r1 , ..., rN ,V1 , ...,Vm , t ) — вектор-функция размерности [3N 1] .
~
~
Величины V1 , , Vm обозначают те m компонент вектора скорости механической си
стемы V  1, N , через которые выразили из уравнений (2.6.21) l  s остальных компо-
 
нент.
Подставляя зависимости (2.6.22) в равенство (2.6.10), связывающее q и вектор  , находим:

 ~
 (q, t )
~
q  ( D* D) 1 D* (  (r1 , , rN ,V1 ,  , Vm , t ) 
).
t
Отсюда делаем вывод, что независимыми являются не все обобщенные скорости
q1 ,…, q n , а только m из них. Данное заключение вытекает из того, что n обобщенных
~
~
скоростей зависят от m  n независимых компонент V1 ,  , Vm .
Таким образом, относительно неголономных систем справедливы следующие
утверждения.
1. Связи, действующие в неголономных системах, накладывают ограничения на
обобщенные скорости.
2. Из этих ограничений обобщенные скорости могут быть выражены как функ~
~
ции от m независимых переменных V1 ,  , Vm , являющихся координатами век

торов скоростей V1 ,, VN точек механической системы.
Покажем, что ограничения на обобщенные скорости q , которые накладывают
кинематические связи в неголономных системах, можно записать в форме уравнений
дифференциальных связей, зависящих от q , q и t .

Для этого в уравнения (2.6.21) подставим вместо скоростей V ,   1, N , их зависимости от обобщенных скоростей q , задаваемые формулами (2.6.3), а вместо векто
ров r ,   1, N — их зависимости (2.6.1) от q и t .
Проделав указанные подстановки, будем иметь:
- 127 -


r
r
f

( grad f , 
qj 
)   0,
(2.6.23)
  1, l ,

t
t
 1
j 1 q j


N
n

r
r

(
a
,
q

)  a  0 ,
(2.6.24)
  1, s .
  
j
t
 1
j 1 q j
Группа уравнений (2.6.23) совпадает с системой (2.6.18). Как было показано, левые части (2.6.18) при любых значениях q , q и t принимают нулевые значения. Следовательно, (2.6.23) является системой тождеств относительно q , q и t .
Поэтому ограничения на q будут задаваться только уравнениями (2.6.24), которые после очевидных преобразований приводятся к следующему виду:
N
n
n
 b q
j 1
j
j
 b  0 ,
  1, s .
(2.6.25)
В (2.6.25) введены обозначения


N
N


r
r
bj   (a  ,  ),
b  a   (a  ,  ) .
q j
t
 1
 1
Запишем теперь в матричной форме вторую группу уравнений (2.6.21) и уравне
ний (2.6.25), задающих ограничения на скорости V ,   1, N , и на обобщенные скорости q .
Матричная запись второй группы уравнений (2.6.21) примет вид
(2.6.26)
Bs   a  0 ,
а система (2.6.25) запишется в форме
Bq q  b  0 .
(2.6.27)
В (2.6.26) матрица Bs определяется формулой (2.5.4) из §5, а вектор-столбец
a  (a1 , ..., as ) * составлен из свободных членов a ,   1, s , левых частей второй группы уравнений (2.6.21).
В (2.6.27) вектор-столбец b  (b1 , ..., bs ) * составлен из свободных членов
b ,   1, s , левых частей (2.6.25). Матрица Bq имеет размерность [ s  n] . Она связана с
матрицами Bs и D следующей зависимостью
Bq  Bs  D .
(2.6.28)
Таким образом, подводя итог проведенному анализу неголономных связей с целью построения ограничений, накладываемых ими на обобщенные скорости, можем
сделать следующее заключение.
Вывод 3.
1. Ограничения на обобщенные скорости неголономной системы определяются
системой линейных уравнений (2.6.25) или в матричной форме — системой (2.6.27). В
ней матрица коэффициентов Bq связана с матрицей Bs исходной системы кинематических связей соотношением (2.6.28).
2. Среди n обобщенных скоростей q1 , .. . , qn независимыми являются m обобщенных скоростей, а s остальных зависят от них.
На этом завершаем изложение кинематики системы материальных точек. В заключение дадим здесь несколько понятий, связанных с переменными q j и q j , j  1, n .
- 128 -
Пространство переменных q1 , . . . , qn называется координатным пространством, или иначе, пространством конфигураций, а значения переменных q1 , . . . , qn
называются координатами точки в пространстве конфигураций.
Точка пространства конфигураций, координаты которой совпадают со значениями обобщенных координат механической системы в момент времени t , называется
изображающей точкой.
Обобщенные координаты q , обобщенные скорости q и время t , рассматриваемые как независимые переменные, называются переменными Лагранжа.
В соответствии с этими определениями уравнения (2.6.27) являются уравнениями линейных дифференциальных связей в пространстве конфигураций. Легко доказать,
что эти уравнения будут неинтегрируемыми. Поэтому связи, математическими моделями которых они являются, в пространстве конфигураций называются неголономными.
5º. Вопросы для тестирования к разделу «Глава 2»
1. Приведите примеры кинематического и динамического задания связей.
2. Что такое свободная механическая система и свободная жесткая механическая
система?
3. Классификация связей при кинематическом способе их описания.
4. Какими связями всегда можно заменить геометрические связи?
5. В каком случае дифференциальную связь второго порядка можно назвать интегрируемой?
6. Что доказывается в теоремах Фробениуса?
7. Каким условиям должны удовлетворять уравнения голономных связей?
8. Как определить число степеней свободы положения голономной механической
системы?
9. Какими свойствами обладают обобщенные координаты?
10. В каком случае число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат?
11. Каким условиям должны удовлетворять уравнения неголономных связей?
12. Как определить число степеней свободы движения механической системы?
13. Какие ограничения накладываются геометрическими связями на обобщенные
координаты и обобщенные скорости?
14. Что такое пространство конфигураций?
15. Что называют переменными Лагранжа?
- 129 -
ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§1. Связанная система координат
В этом параграфе показывается существование такой системы координат, в которой координаты любой точки жесткой системы остаются постоянными при любых ее
движениях.
Доказательство проводится на основе анализа уравнений связи     const , которым подчиняются любые две точки P и P .
1º. Анализ взаимного расположения точек жесткой системы
при ее движении

Пусть P1 и P — две фиксированные точки жесткой системы. Обозначим r1 (t ) и


r (t ) — положения этих точек относительно выбранной точки отсчета O , а 1 (t ) —
их разность (см. рис.3.1.1).

1 (t )
P
P1

r (t )

r1 (t )
O
Рис.3.1.1

В соответствии с понятием положения точки P относительно точки P1 вектор
1 (t ) задает такое положение, поскольку P1 P – это радиус-вектор точки P относительно точки P1 в момент времени t . Очевидно, он может быть вычислен через поло

жения r (t ) точки P и r1 (t ) точки P1 по формуле:



P1P  r (t )  r1 (t )  1 (t ) .

Обозначим 1 (t )  1 (t ) – расстояние от точки P1 до точки P в момент вре
мени t , e1 (t ) — орт направления из точки P1 в точку P ,

 (t )

e1 (t )  1 .
1 (t )
Так как механическая система является жесткой, то для всех t и на любых движениях механической системы выполняются следующие свойства:
1) 1  const , 1  0 ;

2) e1 (t ) — дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция времени так же,

как и вектор-функция 1 (t ) ;


3) если известны вектор-функция r1 (t ) и вектор-функция e1 (t ) , то положение точки P
относительно точки P1 по этим функциям определяется по формуле
 


r  r1 (t )  1 e1 (t )  r (t ) ,
- 130 -
где 1 — постоянная величина, которая может быть вычислена независимо
от движения жесткой системы.
Пусть теперь заданы три фиксированные точки P1 , P2, P3 жесткой системы. Обозначим





12 (t )  r2 (t )  r1 (t ) ,
e12   121 12 (t ) ,





13 (t )  r3 (t )  r1 (t ) ,
e13   131 13 (t ) ,






1 
 23 (t )  r3 (t )  r2 (t )  13 (t )  12 (t ) ,
e23   23
 23 (t ) .
Лемма 1.


Угол между векторами 12 (t ) и 13 (t ) остается постоянным на любых движениях жесткой системы.
Доказательство.

Вычислим квадрат длины вектора 23 (t ) . Получим




2
 23
(t )   122 (t )   132 (t )  2 ( 12 (t ), 13 (t ))   122   132  2 12 13 ( e12 (t ) , e13 (t ) ) .


Поскольку 23  const , 13  const , 12  const , а ( e12 (t ) , e13 (t )  cos  (t ) , где  (t ) — угол


между векторами 12 (t ) и 13 (t ) , то cos  (t )  const . Следовательно,   const .
Что и требовалось доказать.
Следствие.
Если три точки P1 , P2 , P3 жесткой механической системы лежат на одной прямой (в какой-либо момент времени), то и при любых t они будут находиться на одной
прямой. Сама прямая может при этом каким-либо образом перемещаться в пространстве. Ориентация точек на этой прямой по отношению друг к другу остается
неизменной на любом движении жесткой системы.
Утверждение очевидно.
Рассмотрим теперь движение четырех точек Pi , i  1,2,3,4 , жесткой системы, не
лежащих на одной прямой.

Обозначим 1i  P1Pi , i  2, 3, 4 . Для определенности будем считать, что точки
P1 , P2 , P3 не лежат на одной прямой. Обозначим  — плоскость, в которой находятся
точки P1 , P2 , P3 . Эта плоскость изменяет свое положение при движении жесткой механической системы.
Лемма 2.
Расстояние от точки P4 до плоскости  остается постоянным при любых t
на любых движениях жесткой системы.
Ориентация точки P4 относительно плоскости  остается неизменной при
любых t и любых движениях жесткой системы.
Замечание.
Поясним, что понимается под ориентацией точки P4 относительно плоско
сти  . Обозначим n (t ) — нормаль к плоскости  в любой момент времени t . Опре
делим ее направление вектором m (t ) , задаваемым по формуле:



m (t )  12 (t )  13 (t ) .

Очевидно, в любой момент времени t вектор m (t ) ортогонален плоскости  ,
проходящей через точки P1 , P2 , P3 (см. рис.3.1.2).
Под ориентацией плоскости  понимается направление орта нормали
- 131 -


m (t )
.
n (t ) 
m (t )

Здесь m (t )  m (t )  12 (t ) 13 (t ) sin  (t ) , где  (t ) — угол между векторами


12 (t ) и 13 (t ) . На любом движении имеем 12 (t )  const , 13 (t )  const (согласно уравнениям связей), sin  (t )  const (согласно лемме 1), sin  (t )  0 (поскольку точки
P1 , P2 , P3 не находятся на одной прямой). Поэтому m (t ) const  0 .

m (t )

P1

13 (t )


12 (t )
P3
P2
Рис.3.1.2

Следовательно, вектор n (t ) может быть вычислен на любом заданном движении
жесткой системы в любой момент времени t . Он определяет положительное и отрицательное полупространства относительно плоскости  в соответствии с неравенствами:
– для любой точки P , находящейся в положительном полупространстве, выполняется
 

(3.1.1)
(r  r1 (t ), n (t ))  0 ;
– для любой точки P , находящейся в отрицательном полупространстве, выполняется
 

(3.1.2)
(r  r1 (t ), n (t ))  0 .
Здесь

 r — положение точки P , взятой произвольно в абсолютном пространстве
в момент времени t ,

 r1 — положение фиксированной нами точки P1 жесткой системы в момент времени t ; через точку P1 проходит плоскость  в любой момент времени t .
Будем говорить, что точка P имеет положительную (отрицательную) ориентацию по отношению к плоскости  в момент времени t , если выполняется неравенство (3.1.1) (неравенство (3.1.2)). Точка P имеет нулевую ориентацию, если она находится в плоскости  , т.е. выполняется равенство
 

(3.1.3)
( r  r1 (t ) , n (t ) )  0 .
Таким образом, лемма 2 утверждает, что ориентация точки P4 по отношению к
плоскости  сохраняется при любых t , т.е. если в некоторый момент t выполняется
одно из условий (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) для вектора



r4 (t )  r1 (t )  14 (t ) ,
то это же самое условие будет выполняться и в любой другой момент времени t (независимо от того, какое движение совершает жесткая механическая система).
Доказательство леммы 2.
  
Введем орты e1 , e2 , e3 по следующим формулам:
- 132 -




 (t ) 
e1 (t )  12 , e2 (t )  e3 (t )  e1 (t ) ,
где
12



 (t )  13 (t ) 
e3 (t )  12 
 n (t ) .

12  13
Эти орты имеют общее начало в точке P1 (см. рис.3.1.3). Очевидно,




  



( 12  13 )  12 (t ) 13122  12 ( 12 , 13 )
.
12 (t )  12 e1 (t ) ,
e2 (t ) 

122 13 sin 
122 13 sin 
  
  
Тройка векторов e1 , e2 , e3 является правой, а векторы e1 , e2 , e3 — единичные.


e3 (t ) = n (t )
(3.1.4)
P4

14 (t )

e2 (t )
P1



e1 (t )
13 (t )
12 (t )
P3
P2
Рис.3.1.3

Разложим вектор 14 (t ) , задающий положение любой точки P4 механической
  
системы относительно точки P1 , по векторам e1 , e2 , e3 .




(3.1.5)
14 (t )  x(t ) e1 (t )  y(t ) e2 (t )  z(t ) e3 (t )
Покажем, что x , y , z на любых движениях механической системы остаются по

стоянными. Умножим 14 (t ) на e1 (t ) скалярно. Получим, согласно лемме 1,


x(t )  ( 14 (t ), 12 (t )) 121  const .


Умножим 14 (t ) на e2 (t ) скалярно. Учитывая формулу (3.1.4), слева получим
 
 
 
( 14 , 13 ) 122  ( 14 , 12 )( 12 , 13 )
 y(t ) .
122 13 sin 
 
 
 
Скалярные произведения ( 14 , 13 ) , ( 14 , 12 ) , ( 12 , 13 ) , согласно лемме 1, остаются постоянными. Поэтому y(t )  const .

Далее, из тождества 14 (t )  14  const , справедливого для жесткой системы, и
из соотношения (3.1.5) следует
x 2  y 2  z 2 (t )  142  const .
Отсюда заключаем, что
z (t )  const .
(3.1.6)






Поскольку z(t )  ( 14 (t ) , e3 (t ) )  ( 14 (t ) , n (t ) ) и векторные функции 14 (t ), n (t )
непрерывны по t на любых движениях, то функция z (t ) также непрерывна на любых
движениях. А тогда из непрерывности z (t ) и тождества (3.1.6) следует, что z (t )  const .
- 133 -
Так как z – это расстояние от точки P4 до плоскости  , а sign z характеризует ориентацию точки P4 относительно плоскости  , то этим доказали справедливость
утверждения леммы 2.
Докажем следующую теорему.
Теорема.
Для любой жесткой механической системы можно указать декартовую прямоугольную систему координат, в которой все точки механической системы сохраняют
неизменными значения координат при любых ее движениях.
Доказательство.
Пусть механическая система содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной
прямой в какой-либо фиксированный момент времени t . Согласно лемме 1, они не будут находиться на одной прямой в любой момент времени t на любых движениях.
В таком случае справедливы условия леммы 2, и можно ввести следующую систему координат.
Начало ее в любой момент времени t совпадает с точкой P1 , а базис совпадает с
  
ортами e1 , e2 , e3 , построенными при доказательстве леммы 2. Заметим, что эта система
координат изменяет свое положение в абсолютном пространстве вместе с точками
P1 , P2 , P3 , поскольку меняет свое положение ее полюс P1 и изменяют направления ба  
зисные векторы e1 , e2 , e3 . Как следует из доказательства леммы 2, введенная таким образом система координат удовлетворяет условиям теоремы.
Рассмотрим теперь другую ситуацию.
Пусть механическая система состоит из точек, лежащих на одной прямой в некоторый момент времени t . Тогда на любых движениях все ее точки будут находиться
на одной прямой, и их ориентация относительно друг друга будет сохраняться (согласно следствию из леммы 1).
Строим систему координат следующим образом:
– полюс ее фиксируем в точке P1 указанной прямой;

– в качестве базисного орта e1 берем направляющий вектор прямой;


– два других базисных орта e2 и e3 выбираем взаимно ортогональными и ортого  

нальными орту e1 так, чтобы тройка векторов e1 , e2 , e3 была правой.
Тогда для любой точки P механической системы можем записать


 (t )  P1P  1 e (t ) ,

где 1  const — расстояние от точки P до точки P1 ; e (t ) — орт, коллинеарный

орту e1 (t ) , направленный из точки P1 в точку P .

Из леммы 1 вытекает, что если e (t ) совпадает (противоположно направлен)

с e1 (t ) в какой-либо момент времени t , то и в любой момент времени t он будет совпа
дать (противоположно направлен) с e1 (t ) .

Это доказывает, что вектор  (t ) для любого t имеет постоянную проекцию






на e1 (t ) , равную 1 при e (t )  e1 (t ) (  1 при e (t )   e1 (t ) , а также то, что  (t ) ор

тогонален ортам e2 и e3 . Теорема доказана полностью.
Рассмотрим жесткую механическую систему, состоящую из N  4 материальных точек, среди которых, по крайней мере, три точки не лежат на одной прямой. Обозначим их P1 , P2 , P3 .
- 134 -
Пусть M — точка, которая совершает какое-либо движение в абсолютном пространстве. В частности, она может находиться в покое в этом пространстве.
Следствие (теорема о трех точках).
Если при движениях жесткой механической системы и точки M расстояния
от точек P1 , P2 , P3 , не лежащих на одной прямой, до точки M остаются неизменными, то расстояния от любой другой точки жесткой системы до точки M будут
также неизменными.
Доказательство.
Пусть при всех t для точки M и для точек P1 , P2 , P3 , не лежащих на одной прямой, выполняются тождества
MP1  const , MP2  const , MP3  const .
Пусть P — произвольная точка механической системы (см. рис.3.1.4). Надо показать, что MP  const при всех t .
z

e3

e1
M

e2
P1
P
y
P3
P2
x
Рис.3.1.4
Вводим систему координат, о которой говорится в теореме. Тогда в этой системе
координаты x M , y M , z M точки M будут постоянными, так как
P1M  const ,
Поэтому можем записать
P2 M  const ,
P3 M  const .



P1M  e1 xM  e2 yM  e3 zM ,
где xM  const , yM  const , zM  const .
Для любой точки P механической системы также можем записать



P1P  e1 x p  e2 y p  e3 z p .
Координаты xP , yP , zP , согласно теореме, также будут постоянны. А тогда



MP  P1P  P1M  ( x p  xM ) e1  ( y p  yM ) e2  ( z p  zM ) e3 .
Отсюда получаем
MP [( x р  xM ) 2  ( y р  yM ) 2  ( z р  zM ) 2 ] 1 / 2  const .
2º. Понятие связанной системы координат
Определение.
Декартовая прямоугольная система координат, в которой координаты любой
точки жесткой системы остаются постоянными во все время движения, называется
связанной системой координат.
- 135 -
Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства жестких систем.
Для любой жесткой системы существует связанная система координат.
Жесткая система неподвижна в том пространстве, которое задается связанной
системой координат.
3. За полюс связанной системы координат можно брать любую точку жесткой механической системы, а также любую точку того пространства, в котором жесткая система неподвижна.
4. За базис связанной системы координат можно брать любые три ортогональных
орта из указанного пространства.
1.
2.
Выводы.
1. Неизменяемая (жесткая) механическая система имеет бесчисленное множество
связанных систем координат.
2. Неизменяемая механическая система определяет пространство, в котором эта
механическая система неподвижна. Все точки этого пространства движутся вместе с механической системой.
3. Поскольку твердое тело — это неизменяемая система, то все сказанное справедливо и для твердого тела.
§2. Способы задания движения твердого тела
1º. Векторный способ задания движения твердого тела
В соответствии с понятием движения системы материальных точек (см. определение 4 в §4 Введения) дадим следующее определение движения твердого тела.
Определение 1.
Движением твердого тела на промежутке времени  t0 ,t1  будем называть

совокупность вектор-функций, состоящую из движений rp (t ) на этом промежутке
всех его точек.
Движение твердого тела считается заданным, если описан алгоритм, по которому может быть построено движение любой его точки.
Пусть P — точка твердого тела, Oa — точка отсчета в абсолютном простран
стве, r  Oa P — положение точки P в абсолютном пространстве относительно точки Oa в некоторый момент времени t (см. рис. 3.2.1).
  
Пусть O — полюс связанной системы координат, i , j , k  — ее ортонормированный ортогональный базис. Указанная система координат определяет (задает) пространство, движущееся вместе с твердым телом.
В нем (в указанном пространстве) все точки твердого тела находятся в покое
независимо от того, какие движения они совершают в абсолютном пространстве. Дру
гими словами, если обозначим   OP — радиус-вектор точки P относительно полюса O , а x , y , z — ее координаты в связанной системе, то положение P в этой си



стеме можно вычислить по формуле   x i   y j  z k  . Величины x , y , z являются постоянными при всех t на любых движениях точки P .
 
Обозначим rO  rO (t ) — положение точки O относительно точки отсчета Oa в

момент времени t . Тогда положение r  Oa P точки P в абсолютном пространстве в
этот момент относительно точки отсчета Oa можно представить в виде суммы двух
- 136 -

векторов: вектора OaO  rO (t ) , задающего положение точки O относительно точки от
счета Oa , и вектора OP   (t ) , соответствующего положению точки P относительно
точки отсчета O .
z
y

k

j
z
O

k
Oa

rO

i
x



r

j
P
y

i
x
Рис. 3.2.1
Таким образом, по правилу сложения векторов можем записать
Oa P  OaO  OP , или иначе,



   
r  rO    rO (t )  x i (t )  y j(t )  z k (t ) .
(3.2.1)
Поскольку в (3.2.1) величины x , y , z постоянны, то их можно считать известными для каждой точки P твердого тела. Они являются координатами точки P в связанной системе, не зависят от движения твердого тела в абсолютном пространстве и
могут быть вычислены заранее (до начала его движения).
А тогда, если известны законы изменения по времени четырех векторов





rO (t ), i (t ), j(t ), k (t ) , то соотношение (3.2.1) позволяет вычислить движение r (t ) любой точки P твердого тела по заданным ее координатам x , y , z в связанной системе.
Отсюда делаем заключение.
Для определения движения твердого тела на промежутке времени  t0 ,t1  достаточно задать дважды непрерывно дифференцируемые на этом промежутке времени вектор-функции




rO (t ) , i (t ) , j(t ) , k (t ) .
Если указанные функции заданы, то движение точки P твердого тела, имеющей геометрические характеристики x , y , z , будет определяться соотношением (3.2.1).
Поскольку (3.2.1) справедливо для любой точки твердого тела, то индекс  в соотношении (3.2.1) можем опустить и записать его в виде



 
r  rO (t )  x i (t )  y j(t )  z k (t ) .
(3.2.2)
В (3.2.2) x , y , z — координаты любой точки твердого тела в связанной системе. Они
являются постоянными величинами.
- 137 -
Более того, равенство (3.2.2) справедливо не только для точек твердого тела, но
и для любой точки пространства, задаваемого связанной системой координат (это следует из теоремы о трех точках).
Соотношение (3.2.2) называется векторным способом задания движения твердого тела.
2º. Координатный способ задания движения твердого тела
  
Обозначим i , j , k — орты абсолютной системы Oa xyz , x , y , z — координаты


вектора r в абсолютной системе, xO (t ) , yO (t ) , zO (t ) — координаты вектора rO (t ) . Тогда
  
после умножения (3.2.2) скалярно на i , j , k получим
 
 
 
x  x (t )  x( i , i (t ))  y( i , j (t ))  z( i , k (t )) ,
o
 
 
 
(3.2.3)
y  y (t )  x( j , i (t ))  y( j , j (t ))  z( j , k (t )) ,
O
 
 
 
z  z (t )  x(k , i (t ))  y(k , j (t ))  z(k , k (t )) .
O
Обозначим в (3.2.3) a (t ) ,   1,2,3 ,   1,2,3 , — коэффициенты при x , y , z .
 
 
 
a11(t )  (i , i (t )), a12 (t )  (i , j (t )), a13 (t )  (i , k (t )),
 
 
 
a21 (t )  ( j , i (t )), a22 (t )  ( j , j (t )), a23 (t )  ( j , k (t )),
 
 
 
a31 (t )  (k , i (t )), a32 (t )  (k , j (t )), a33 (t )  (k , k (t )).
Обозначим A матрицу коэффициентов
 a11, a12 , a13 


A   a21, a22 , a23  .
 a ,a ,a 
 31 32 33 
Определение 2.
Матрица A называется матрицей перехода от связанной системы координат
к абсолютной, или иначе, матрицей ориентации твердого тела в абсолютном пространстве.
Из соотношений (3.2.3) делаем следующий вывод.
Если задано движение полюса связанной системы координат тремя дважды
непрерывно дифференцируемыми координатными функциями xO (t ) , yO (t ) , zO (t ) , и задана матрица A (t ) ориентации твердого тела в абсолютном пространстве, то движение
твердого тела определяется соотношениями (3.2.3).
Выражения (3.2.3) — это координатный способ задания движения твердого
тела.
3º. Матричная и векторно-матричная формы записи
задания движения твердого тела
Перепишем соотношения (3.2.3) в матричном виде
 x   xO (t ) 
 x 

  
 
 y    yO (t )   A (t )  y  .
 z   z (t ) 
 z 
   O 
 
- 138 -
(3.2.4)
Выражение (3.2.4) — это матричная форма записи задания движения твердого тела.
 xO (t ) 


Согласно этой форме необходимо задать столбцовую матрицу  yO (t )  и матри z (t ) 
 O 
цу A (t ) . Элементы матриц должны быть дважды непрерывно дифференцируемыми
функциями времени t . И тогда вектор ( x, y, z ) * , вычисляемый по формуле (3.2.4),
определяет движение твердого тела.
В (3.2.4) вектор ( x, y, z) * является постоянным. Этим вектором задаются геометрические характеристики выбранной точки твердого тела. Таковыми являются координаты указанной точки в той связанной системе координат, которая служит основой

для описания ориентации тела. Обозначим через  вектор




  x i   y j   z k  .


Под вектором r   A будем понимать вектор с компонентами в абсолютном
пространстве, которые задаются соотношениями
 a11, a12 , a13   x 
 
 

r   A   a21, a22 , a23   y  .
 a , a , a   z 
 31 32 33   

Начало вектора r  совпадает с полюсом O связанной системы.
Тогда (3.2.4) можно записать в виде
 
 

r  rO (t )  A (t )   rO (t )  r  .
(3.2.5)
Выражение (3.2.5) – это векторно-матричная форма записи задания движения
твердого тела.
§3. Матрица ориентации, ее геометрический смысл и основные свойства
Отметим основные свойства матрицы ориентации A .
1.
Твердое тело имеет бесчисленное множество матриц ориентации. Это следует из
того, что твердое тело имеет бесчисленное множество связанных систем координат.
2.
Для каждой фиксированной связанной системы матрица A – единственная.
3.
Матрица A не зависит от выбора полюса связанной системы.
4.
Столбцами матрицы A являются направляющие косинусы ортов связанной системы в абсолютной системе координат, а строками – координаты ортов абсолютной системы в связанной. Поэтому матрицу A называют также матрицей направляющих косинусов. Таков ее геометрический смысл.
5.
Элементы a ij (t ) матрицы A на любых движениях твердого тела удовлетворяют
следующим тождествам по времени t :
- 139 -
3

i '2 (t )   a21 (t )  1,
 1
3
2
j ' (t )   a2 2 (t )  1,
 1
3


(i ' (t ) , j ' (t ))   a 1 (t ) a 2 (t )  0 ,
 1
3

k '2 (t )   a2 3 (t )  1,
 1
3


(i ' (t ) , k ' (t ))   a 1 (t ) a 3 (t )  0 ,
(3.3.1)
 1
3


( j ' (t ) , k ' (t ))   a 2 (t ) a 3 (t )  0 .
 1
6.
Из векторных соотношений
  
  
  
i   j  k ,
j   k  i  ,
k  i   j
получаем девять условий, связывающих элементы a  (t ) ,  ,   1, 2, 3 , матрицы A , следующего типа:
a 22 (t ), a23 (t )
a 13 (t ), a 1 2 (t )
a 1 2 (t ), a 13 (t )
(3.3.2)
a 11 (t ) 
, a 21 (t ) 
, a 31 (t ) 
a 32 (t ), a 33 (t )
a 3 3 (t ), a32 (t )
a 22 (t ), a23 (t )
7.
Из соотношений (3.3.1) и (3.3.2) вытекает
  
  
 
det A  ( i , j , k  )  ( i , ( j   k  ))  ( i , i  )  1,
A1  A * .
Здесь A 1 – обратная матрица, A * – транспонированная.
8.
Тождества (3.3.1) означают, что на 9 элементов матрицы A наложено
6 ограничений (в любой момент времени t ). Отсюда делаем вывод, что матрица A (в общем случае) может быть задана с помощью трех независимых переменных.
Пусть имеем две связанные системы координат Ox1 y1z1 и Ox2 y2 z2 . Обозначим A1 – матрицу ориентации системы Ox1 y1z1 , A2 – матрицу ориентации системы
Ox2 y2 z2 и B – матрицу перехода от Ox2 y2 z2 к Ox1 y1z1 .
Очевидно, что при любых t матрица B остается постоянной, поскольку ее элементами являются направляющие косинусы ортов Ox2 y2 z2 (если смотреть по столбцам)
в системе Ox1 y1z1 . А так как орты любой связанной системы неподвижны в теле, то их
направляющие косинусы остаются постоянными в любой связанной системе координат.
Для любой точки P с координатами x , y , z в абсолютном пространстве можно
записать:
 x1 
 x2 
x
x
 
 
 
 
(3.3.3)
 y   A1  y1  ,
 y   A2  y2  .
 z 
 z 
z 
z 
 
 
 1
 2
Здесь x1, y1 , z1 – координаты точки P в системе Oxi yizi , i  1,2 .
Поскольку координаты точки P в системе Ox1 y1z1 связаны с ее координатами в
системе Ox2 y2 z2 через матрицу B соотношением
 x1 
 x2 
 
 
 y1   B  y2  ,
 z 
 z 
 1
 2
то, подставляя (3.3.4) в (3.3.3), получим
- 140 -
(3.3.4)
 x1 
 x2 
 x2 
x
 
 
 
 
(3.3.5)
 y   A1  y1   A1B y2   A2  y2  .
 z 
 z 
 z 
z 
 
 1
 2
 2
Равенства (3.3.5) справедливы для любой точки P , т.е. для любых значений координат x2 , y2 , z2 . А тогда из (3.3.5) следует, что в любой момент времени t будет выполняться
(3.3.6)
A2 (t )  A1 (t ) B .
Формула (3.3.6) устанавливает связь двух матриц ориентации твердого тела в
любой момент времени t .
§4. Теорема Эйлера. Построение матрицы ориентации
твердого тела через углы Эйлера
1º. Углы Эйлера. Теорема Эйлера
Справедлива следующая теорема.
Теорема Эйлера.
Любое положение ортов связанной системы координат может быть задано
через векторные функции, зависящие не более чем от трех независимых угловых параметров. Все элементы матрицы ориентации определяются через эти угловые параметры однозначно.
Доказательство.
Не нарушая общности, можно считать, что полюсы абсолютной и связанной систем совпадают. Обозначим эти полюсы буквой O . Рассмотрим наиболее общую ситуацию, когда оси связанной системы Oxyz не совпадают с осями абсолютной системы
Oxyz .
Для определенности считаем, что Oz и Oz  не совпадают (см. рис.3.4.1).


Обозначим  – угол между k и k  (   0 и    ). Далее введем следующие
обозначения:
 
 k k
– орт линии пересечения плоскостей Oxy и Oxy ;
n
sin 
эту линию назовем линией узлов;
  
n1  k  n – орт линии пересечения плоскости Oxy и плоскости Ozz ,
перпендикулярной линии узлов;
  
n2  k   n – орт линии пересечения плоскости Oxy и плоскости Ozz ,
перпендикулярной линии узлов.
Кроме угла  , введем углы:


  – угол, отсчитываемый в плоскости Oxy от орта i оси Ox до орта n линии

узлов; диапазон значений  [0, 2 ) ; угол  однозначно задает орт n в плоско


сти Oxy по формуле n  cos i  sin j ;

  – угол, отсчитываемый в плоскости Oxy от орта n линии узлов до положи
тельного направления оси Ox  , т.е. до орта i  ; диапазон значений  [0, 2 ) ;




угол  однозначно задает орт n в плоскости Oxy по формуле n  cos  i   sin  j  .
Напомним, что за положительное направление отсчета угла в ориентированной
плоскости принято считать направление изменения этого угла против часовой стрелки,
если смотреть на плоскость с конца орта нормали, задающего ее ориентацию.
- 141 -
  
Чтобы построить матрицу ориентации, надо выразить орты i , j , k  через сум  
му векторов i , j , k .
y

z
z


k

k
O

i

x


j'
 
i j


n2

n1

y

n
x
Рис.3.4.1
 
 
Запишем разложение векторов i  , j  по векторам n и n2 .


j'
n2


i


n
O
Рис.3.4.2

  

Очевидно, n и n2 взаимно ортогональны; векторы n, n2 , i , j  находятся в од
ной плоскости Oxy (см. рис.3.4.2). Орт n2 является направляющим вектором линии

пересечения плоскостей Ozz и Oxy , а орт n – направляющим вектором линии узлов
 
 
(линии пересечения плоскостей Oxy и Oxy ). Проектируя i  , j ' на орты n и n2 , получим
 

(3.4.1)
i   n cos   n2 sin  ,



(3.4.2)
j '   n sin   n2 cos  .





Запишем разложение n2 и k  по векторам n1 и k . Очевидно, орт n1 ортогона


   
лен k , орт n2 ортогонален k  , и орты n1 , n2 , k , k  лежат в одной плоскости Ozz
(см. рис.3.4.3).

Орт n2 является направляющим вектором линии пересечения плоскостей Ozz и

Oxy , а n1 — направляющим вектором линии пересечения плоскостей Oxy и Ozz .




Проектируя n2 и k  на орты n1 и k , найдем их разложение:
- 142 -

 
n2  n1 cos   k sin  ,



k    n1 sin   k cos  .
(3.4.3)
(3.4.4)

k

k


n2


n1
O
Рис.3.4.3
Подставим (3.4.3) в (3.4.1) и (3.4.2). Тогда вместе с (3.4.4) можем записать

 

i   n cos   n1 sin  cos   k sin  sin  ,




j '  n sin   n1 cos  cos   k cos  sin  ,



k   n1 sin   k cos  .
(3.4.5)

j

n1


n


i
O
Рис.3.4.4
   
Воспользуемся, наконец, тем, что векторы n , n1 , i , k находятся в одной плоско
сти Oxy (см. рис.3.4.4). Орт n является направляющим ортом линии пересечения плос
костей Oxy и Oxy ; n1 — направляющим ортом линии пересечения плоскостей Oxy и






Ozz ; орты n и n1 взаимно ортогональны. Проектируя n и n1 на орты i и j , будем
иметь:



 

n  i cos  j sin ,
n1  i sin  j cos .




Подставляя данные зависимости ортов n и n1 от i и j в (3.4.5), окончательно
  
  
находим разложения векторов i  , j , k  по i , j , k :






i   ( i cos  j sin ) cos   ( i sin  j cos ) sin  cos   k sin  sin  ,






j    ( i cos  j sin ) sin   ( i sin  j cos ) cos  cos   k cos  sin  ,




k    ( i sin  j cos ) sin   k cos  .
- 143 -

  
В них коэффициенты при ортах i , j , k в разложении i  (первое равенство) яв
ляются элементами первого столбца матрицы A . Аналогично, в разложении j ' коэф
  
фициенты при ортах i , j , k — элементы второго столбца, а в разложении k  — третьего.
Таким образом, матрица A имеет вид:

i

i

j

k

j
cos cos   sin sin  cos  ,  cos sin   sin cos  cos  ,

k
sin sin 
A  sin cos   cos sin  cos  ,  sin sin   cos cos  cos  ,  cos sin 
sin  sin  ,
cos  sin  ,
.
cos 
Теорема доказана.
Определение.
Углы  , , , введенные при построении матрицы ориентации в доказательстве теоремы Эйлера, называются углами Эйлера.
Знание углов Эйлера в любой момент времени t при движении твердого тела
позволяет вычислить матрицу ориентации твердого тела на данном движении.
2º. Схема ввода углов ориентации
Доказательство теоремы Эйлера позволяет сформулировать простые правила и
построить схему ввода углов Эйлера. Правила и схему легко обобщить на случай ввода
любых других трех независимых угловых величин, по которым может быть однозначно
вычислена матрица ориентации.
Пусть в момент времени t известны углы Эйлера  , , . Перенумеруем оси в
любой декартовой прямоугольной системе координат. Будем называть Ox осью 1, Oy
– осью 2, Oz – осью 3. Соответственно, Ox  – это также ось с номером 1, Oy  – ось с
номером 2, Oz  – ось с номером 3 в связанной системе.
Обозначим Ox0 y0 z0 систему координат, совпадающую в момент времени t с абсолютной системой Oxyz . Покажем, как, зная углы  , , , с помощью трех последовательных поворотов системы Ox0 y0 z0 можно совместить ее со связанной системой
Oxyz .
Процесс совмещения будем проводить в три этапа. На первом этапе повернем
систему Ox0 y0 z0 вокруг третьей оси, т.е. вокруг оси Oz0 , так, чтобы ось Ox0 совпала с
линией узлов. Это значит, что между новым положением оси Ox0 и старым образовался угол  . Новое положение системы Ox0 y0 z0 обозначим Ox1 y1 z1 . Произведенное нами
действие сформулируем в виде первого правила:
«Первый поворот совершается вокруг оси 3 на угол  ».
Схематически действие по такому правилу обозначим:
3

- 144 -
Цифра 3 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот
на угол  на первом этапе.
На втором этапе повернем систему Ox1 y1 z1 вокруг оси Ox1 (т.е. вокруг оси 1)
так, чтобы ось Oz1 совпала с положением оси Oz  связанной системы. Поставленная
цель достигается поворотом на угол  вокруг линии узлов Ox1 . Новое положение осей
Ox1 y1 z1 обозначим Ox2 y2 z2 . Описанное действие формулируется в виде второго правила:
«Второй поворот совершается вокруг оси 1 на угол  ».
Действие схематически изобразим по аналогии с действием по правилу 1:
1

Цифра 1 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот
на угол  на данном этапе.
Поскольку действие по правилу 2 производится только после того, как сделан
поворот на угол  на первом этапе, то, объединяя последовательность двух поворотов
в единую схему, получим:
1
3


Здесь стрелка указывает на то, что поворот вокруг оси 1 на угол  осуществляется после поворота вокруг оси 3 на угол  .
На третьем этапе систему Ox2 y2 z2 , полученную из Oxyz двумя первыми поворотами на углы  и  , повернем вокруг оси Oz  (оси 3) так, чтобы она совместилась
полностью с окончательным положением осей Oxyz . Совмещение осей будет достигнуто, если повернем систему Ox2 y2 z2 на угол  .
Из описанных действий следует, что система координат Ox0 y0 z0 , совпадающая в
момент времени t с абсолютной системой Oxyz , может быть совмещена с угловым положением связанной системы Oxyz с помощью трех последовательных поворотов на
конечные углы  , , вокруг одной из координатных осей промежуточных систем координат.
Каждая промежуточная система получается из предшествующей поворотом на
один из перечисленных углов.
На последнем, третьем этапе действий необходимо руководствоваться правилом:
«Третий поворот совершается вокруг оси 3 на угол  ».
Схематически этап 3 можно представить так:
1
3


В расшифровке предложенная схема означает, что поворот координатных осей
должен проводиться вокруг оси 3 на угол  из положения, которое система достигла
после поворота вокруг оси 1 на угол  .
- 145 -
Объединяя схемы действий, описанных на каждом этапе процесса перевода системы Ox0 y0 z0 в положение связанной системы Oxyz , задаваемое в момент времени t
углами Эйлера  , , , приходим к следующей общей схеме такого перехода:
1
3
3



Она называется схемой ввода углов ориентации. В данном контексте она отражает схему ввода углов Эйлера.
3º. Физический смысл углов Эйлера
Поясним физический смысл углов Эйлера. Рассмотрим их на примере движения
волчка.
Наблюдения показывают, если пренебречь трением опоры волчка, то ось симметрии волчка совершает следующее движение.
Обозначим K — конец орта оси симметрии, начало системы координат — O ,
а K  — проекцию точки K на плоскость Oxy .
Точка K  находится в плоскости Oxy во все время движения, причем, если конструктивно волчок выполнен точно (т.е. является симметричным относительно оси
вращения, и все его массы расположены симметрично), то точка K  движется по
окружности. Радиус  окружности равен sin , где  – угол между осями Oz  и Oz
(см. рис.3.4.5).
Рис.3.4.5
Рис.3.4.6
Об этом движении говорят, что волчок совершает прецессию. Точнее говоря,
прецессией волчка называют вращение вокруг вертикальной оси Oz плоскости, проходящей через эту ось и ось симметрии волчка.
Если симметрия волчка конструктивно нарушена, то точка K  одновременно с
прецессией, т.е. вращением вокруг полюса O в плоскости Oxy , совершает колебательное движение между двумя окружностями радиуса 1  sin 1 и 2  sin  2
(см. рис.3.4.6). Здесь 1 – минимальное значение угла  , а  2 – максимальное. Иначе
говоря,  (t ) – колебательная функция. Такое движение волчка называется его нутационным колебанием.
Все остальные материальные точки волчка, расположенные вне оси симметрии,
по отношению к этой оси совершают круговые движения по углу  . Их движения
называется собственным вращением волчка.
- 146 -
Таков физический смысл углов Эйлера. Отсюда они получили название:
 — угол прецессии,  [0, 2 ) ;
 — угол нутации,  [0,  ] ;
 — угол собственного вращения,  [0, 2 ) .
4º. Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации
Дадим ответ на следующий вопрос: если матрица A задана, то можно ли определить углы Эйлера по ее элементам? Из третьего столбца матрицы A находим
a13
a13
sin 
, cos  
,   arc cos a33 .
2
2
1  a33
1  a33
Из третьей строки матрицы A получим
a31
a32
sin  
,
cos  
2
2
1  a33
1  a33
2
Эти соотношения справедливы только в том случае, когда a33
 1 , т.е. при   0
и    . При   0 и    матрица A , соответственно, принимает вид:
cos (   ),  sin (   ),
A  sin (   ),
0
0
cos (   ), 0 ;
0
1
cos (   ),
sin (   ),
0
A  sin (   ),  cos (   ), 0 .
0
0
1
Из данных выражений матрицы A можно вычислить по первому столбцу
при   0 только угол    и угол    при    .
Эта особенность принципиальная, ибо при   0 и при    плоскости Oxy и
Oxy совпадают, и понятие линии узлов отсутствует. В такой ситуации в качестве линии узлов можно взять любую прямую, находящуюся в плоскости Oxy .
И если по общему правилу задать углы  и  относительно линии узлов, то по
этим углам однозначно будут вычисляться элементы матрицы A , поскольку положение
осей Oxy по отношению к Oxy при   0 определяется суммой углов    ,
а при    — разностью углов    .
Однако обратная задача — задача определения значений углов Эйлера по элементам матрицы A — не будет иметь решения, поскольку углы  и  не могут быть
вычислены при   0 и    .
§5. Выражение матриц ориентации твердого тела
через самолетные и корабельные углы
1º. Самолетные углы
При описании движений самолетов используется следующая связанная система
координат (см. рис.3.5.1).
Ось Ox  — продольная ось симметрии самолета; положительное направление от
хвоста к кабине самолета.
Ось Oy  — в продольной плоскости симметрии, направлена от шасси вверх по
вертикали.
Ось Oz  — в направлении правого крыла перпендикулярно продольной плоскости симметрии.
- 147 -
y
x
O
z
Рис.3.5.1
Для задания ориентации самолета применяется следующая схема ввода углов
ориентации:
2
3


1

 — угол курса,  [0, 2 ) ,  — угол тангажа,   [
 [0, 2 ) . Здесь имеем особенность при   

2
 
, ] ,  — угол крена,
2 2
.
Матрица ориентации имеет вид:


i
j

i

j

k
cos cos  ,
A

k
sin  sin  cos  cos sin  ,
sin  ,
cos  cos  ,
 sin cos  ,
cos  sin  sin  cos sin 
 sin  cos 
sin  cos  cos  sin sin  ,
.
cos  cos  sin  sin sin 
2º. Корабельные углы
При описании движений кораблей используется следующая связанная система
координат (см. рис.3.5.2).
z
y
x
O
Рис.3.5.2
Ось Ox  — по оси симметрии от кормы к носовой части.
Ось Oy  — ортогональна продольной плоскости симметрии, направлена
от правого борта на левый борт.
Ось Oz  — в продольной плоскости симметрии от днища корабля вверх к палубе.
Схема ввода углов ориентации:
2
1
3



- 148 -
 — дифферент корабля,  [ ,  ) ,
 
 — крен корабля,   [ , ] ,
2 2
 — угол рысканья корабля,   ( , ] .
Матрица ориентации имеет вид:

i

i

j

k

k

j
cos cos   sin sin  sin  ,  cos sin   sin cos  sin  ,
sin  cos  ,
A
cos  cos  ,

2
.
 sin 
 sin cos   cos sin  sin  , sin sin   cos cos  sin  ,
Здесь имеем особенность при   
sin cos 
cos cos 
.
§6. Алгебраический метод построения матрицы ориентации
Определение.
Будем называть матрицей элементарного поворота матрицу перехода от системы координат, построенной поворотом исходной системы координат вокруг одной из ее координатных осей на один угол.
Очевидно, существует три независимых элементарных поворота.
z
z1
z z3
z
1
z2  2
1
O
y1
3
y
O
x 2
x2
Рис.3.6.4.
x x1
Рис.3.6.3
y , y2
O
3
x
x3
Рис.3.6.5
1. Поворот вокруг 1-ой оси (оси Ox ) на угол 1 (см. рис.3.6.3). Тогда
x1
y1
z1
x
1
0
0
y
A1 (1 )  0
cos 1
 sin 1
z
0
sin 1
cos 1
.
2. Поворот вокруг 2-ой оси (оси Oy ) на угол  2 (см. рис.3.6.4). Тогда
- 149 -
y3
y
x
y
z
x2
y2
z2
cos  2
0
sin  2
0
1
0
A2 ( 2 ) 
 sin  2
.
0 cos  2
3. Поворот вокруг 3-ой оси (оси Oz ) на угол  3 (см. рис.3.6.5). Тогда
x3
y3
z3
x
cos  3
 sin  3
0
y
A3 ( 3 )  sin  3
cos  3
0
0
1
z
0
.
Если обозначить исходную систему координат через Oxyz , а систему, полученную элементарным поворотом с номером i на угол  i , через O xi yi z i , то можем записать
 xi 
x
 
 
i  1,2,3 .
 y   Ai (i )  yi  ,
z 
z 
 
 i
Теперь обратимся к схеме ввода углов ориентации.
Как отмечено в п.2 §4, эти углы вводятся тремя последовательными поворотами
вокруг одной из осей согласно схеме, задающей последовательность поворотов и углов,
на которые осуществляется поворот. Например, для углов Эйлера имеем
3
1
3



Тогда после первого поворота можем записать
 x1 
x
 
 
 y   A3 ( )  y1  .
z 
z 
 
 1
После второго и третьего поворотов соответственно получим
 x1 
 x2 
 x2 
 x 
 
 
 
 
 y1   A1 ( )  y2  ,
 y2   A3 ( )  y  .
z 
z 
z 
 z 
 
 1
 2
 2
Подставляя зависимость ( x2 , y2 , z2 ) от ( x, y, z) в предшествующую формулу, а
затем полученную зависимость ( x1 , y1 , z1 ) в формулу связи с ( x , y , z ), получим
x
 x 
 
 
 y   A3 ( ) A1 ( ) A3 ( )  y  .
z 
 z 
 
 
Поскольку
- 150 -
x 

y  ,
z 
где ( x, y, z ) и ( x, y, z) — координаты любой (произвольной) точки соответственно в
системе Oxyz и Oxyz , то отсюда находим
A A3 ( ) A1 ( ) A3 ( ) .
Аналогично для самолетных и корабельных углов будем иметь:
A A2 ( ) A3 ( ) A1 ( ) — для самолетных углов,
A A2 ( ) A1 ( ) A3 ( ) — для корабельных углов.
Этот способ вычисления матрицы ориентации может применяться к любой схеме ввода углов ориентации.
x

 

 y   A
z 

 

§7. Число степеней свободы положения свободного твердого тела
Твердое тело называется свободным, если на его точки не наложено никаких
других связей, задаваемых кинематическим способом, кроме условий, входящих в
определение понятия жесткой системы:
«расстояния между любыми точками твердого тела остаются
постоянными на любых движениях твердого тела».
1. Пусть тело состоит из точек, лежащих на одной прямой.
Тогда положение любой его точки P можно определить по формуле

 
r  rO (t )   (t ) ,

где rO (t ) — радиус-вектор полюса связанной системы относительно заданной


точки отсчета,  (t )   e (t ) ,

e (t ) — орт оси, жестко связанной с телом, т.е. оси, на которой находятся все
точки твердого тела,   const (для каждой точки P — свое значение).

Орт e (t ) будет определен в любой момент времени t , если в этот момент зададим два угловых параметра, поскольку для него справедливо

e (t ) 2  1 .
Таким образом, для того, чтобы можно было вычислить (определить) положение
любой точки твердого тела, достаточно знать:
— три координаты точки O ;

— два угловых параметра для определения направления орта e (t ) .
Очевидно также, что если хотя бы одна из перечисленных координат точки O

или один из угловых параметров вектора e неизвестны, то нельзя определить положения всех точек твердого тела. Поэтому знание указанных параметров в любой момент
времени t необходимо и достаточно для определения положения твердого тела. Отсюда делаем следующее заключение.
Вывод.
Если твердое тело состоит из точек, лежащих на одной прямой, то оно имеет
пять степеней свободы положения.
2. Пусть среди точек твердого тела имеется хотя бы три, не лежащие на одной
прямой.
В соответствии с матричным способом задания движения твердого тела можем
записать:
- 151 -
 x   xO (t ) 


  

 y    yO (t )   A(t ) 
 z   z (t ) 

   O 

x 

y  .
z 
(3.7.1)
Имеем:
 три свободные (независимые) координаты xO (t ) , yO (t ) , zO (t ) , задающие
положение полюса связанной системы в любой момент времени t ;
 три независимых угла ориентации для определения матрицы A (t ) .
Итого, необходимо и достаточно знать шесть независимых координат для того,
чтобы определить положение любой точки твердого тела в момент времени t .
Вывод.
Если твердое тело содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой, то оно имеет шесть степеней свободы положения.
Замечание.
Поскольку в общем случае свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы положения, то это значит, что положение любой его точки в любой момент времени t можно задать (определить) с помощью шести независимых координат. Такими координатами, например, могут служить декартовые координаты положения полюса связанной системы координат xO , yO , zO и углы Эйлера  , , , через которые может быть
построена матрица ориентации A твердого тела. Зная эти шесть обобщенных координат в момент времени t , можно вычислить положение любой точки твердого тела по
формуле (3.7.1), подставив значения x, y, z геометрических характеристик этой точки.
§8. Мгновенная угловая скорость твердого тела
1º. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона
Рассмотрим следующую систему векторных уравнений относительно неизвест
ного вектора  :
  
  
  
b1    e1 , b2    e2 , b3    e3 .
(3.8.1)
Систему уравнений (3.8.1) будем называть уравнениями типа Эйлера-Пуассона.
В ней:
  
а) e1 , e2 , e3 — заданная правая ортонормированная тройка векторов, так что
  
  
  

(3.8.2)
ei2  1 , i  1,2,3 , e3  e1  e2 , e1  e2  e3 , e2  e3  e1 ;
  
б) b1 , b2 , b3 — произвольные векторы.
  
Установим, каким условиям должны удовлетворять векторы b1 , b2 , b3 , чтобы су
ществовало решение  системы (3.8.1). Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.

Для того чтобы существовало решение  системы уравнений (3.8.1), необхо  
димо и достаточно, чтобы векторы b1 , b2 , b3 удовлетворяли следующим условиям:
 
(bi , ei )  0 , i  1,2,3 ;
(3.8.3)
 
 
(bi , e j )   (b j , ei ) , i  j , i, j  1,2,3 .
(3.8.4)
Доказательство. Необходимость.

Пусть существует решение  системы (3.8.1). Тогда из i –го, i  1,2,3 , равенства

для этого решения умножением скалярно на ei получаем
- 152 -
 
(bi , ei )  0 ,
i  1,2,3 ,
т.е. справедливо условие (3.8.3).


Умножая скалярно i –ое равенство на e j , а j –ое равенство на ei , i  j , и учитывая, что
 
 
ei  e j   e j  ei ,
получаем справедливость условий (3.8.4).
Достаточность.
Пусть условия (3.8.3), (3.8.4) выполняются. Умножим векторно слева первое ра


венство в системе (3.8.1) на e1 , второе — на e2 , третье — на e3 и сложим. Получим при

умножении i –го равенства на ei
   
    
ei  bi  ei  (  ei )    ei ( , ei ) .
Просуммируем данные равенства по i от 1 до 3.
3


i
i
3

  

  
  
1
2
 e  b  [   e (, e )]  3  [(, e )e  (, e )e
i 1
i 1
i
i
1
2
  
 (, e3 )e3 ] .
(3.8.5)

В квадратных скобках получили разложение вектора  по ортогональному ор  
тонормированному базису e1 , e2 , e3 . Поэтому
  
  
  

(, e1 ) e1  (, e2 ) e2  (, e3 ) e3   .
 3  
Подставляя в (3.8.5), получим 2    ei  bi , или иначе,
i 1
1 3  
(3.8.6)
 ei  bi .
2 i1
Покажем, что при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4) система уравнений (3.8.1)
совместна. Для этого достаточно показать, что формула (3.8.6) действительно задает
решение данной системы.
Подставим (3.8.6) в первое уравнение системы (3.8.1). Справа получим
  1   
 

  
  e1  [(e1  b1 )  e1  (e2  b2 )  e1  (e3  b3 )  e1 ] .
2
Применяя формулу двойного векторного произведения, получим
  
  
  1 
  
  
  
  e1  [b1e12  e1 (b1 , e1 )  b2 (e1 , e2 )  e2 (b2 , e1 )  b3 (e1 , e3 )  e3 (b3 , e1 )] .
2
Учитывая условия (3.8.2), (3.8.3), (3.8.4), окончательно можем записать
  
  
  

  1 
  e1  [b1  (b1 , e1 ) e1  (b1 , e2 ) e2  (b1 , e3 ) e3 )]  b1 .
2
Установили, что правая часть первого уравнения системы (3.8.1) совпадает с ле
вой частью этого уравнения. Этим доказали, что вектор  , задаваемый формулой (3.8.6), является решением первого уравнения системы (3.8.1) при выполнении
условий (3.8.3), (3.8.4).
Аналогично устанавливается справедливость второго и третьего уравнения си
стемы (3.8.1) для вектора  , задаваемого формулой (3.8.6).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2.
Если существует решение системы (3.8.1), то оно единственное.
Доказательство.


- 153 -


Доказываем от противного. Пусть существует два решения 1   2 системы
(3.8.1), т.е. имеем
  
  
bi  1  ei , bi  2  ei ,
i  1,2,3 .
Вычитая одно уравнение из другого, получим
 

(1  2 )  ei  0 ,
i  1,2,3 .
 
Отсюда следует, что вектор 1   2 коллинеарен трем взаимно ортогональным
  
 
векторам e1 , e2 , e3 . А это значит 1  2  0 . Получили противоречие с исходной по

сылкой о том, что 1   2 . Лемма 2 доказана.
Объединяя результаты, сформулированные в леммах 1 и 2, приходим к следующей теореме.
Теорема 1.
Для того чтобы существовало решение системы (3.8.1), необходимо и достаточно выполнение условий (3.8.3), (3.8.4).
Если условия (3.8.3), (3.8.4) выполнены, то решение системы (3.8.1) — единственное и задается формулой (3.8.6).
2º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости
подвижной системы координат
  
Будем рассматривать подвижную систему координат Oxyz с базисом i  , j  , k  и

полюсом O . Пусть rO  OaO — положение полюса O относительно абсолютной точки
отсчета Oa .
Чтобы задать движение подвижной системы координат, надо задать движение
  
 
полюса rO  rO (t ) и задать в любой момент времени t положение ортов i , j  , k  .
  
Положение ортов i  , j  , k  можно определить одним из двух способов:



— либо через известные векторные функции i (t ), j (t ) , k (t ) ;
— либо через известную матрицу ориентации A(t ) .




Векторные функции rO (t ), i (t ), j (t ), k (t ) будем считать дважды непрерывно
дифференцируемыми по времени t .

  


Пусть положение ортов i , j  , k  определяется через функции i  (t ), j (t ) , k (t ) :
 
 
 
i   i  (t ), j   j (t ) , k   k (t ) .
Тогда в каждый момент времени известны скорости



di (t ) dj (t ) dk (t )
,
,
dt
dt
dt
изменения направления этих ортов.



Поскольку функции i  (t ), j (t ) , k (t ) образуют правую ортонормированную
тройку векторов в любой момент времени t , то справедливы следующие тождества:






( i (t ), i (t ))  1, ( j (t ), j (t ))  1, ( k (t ), k (t ))  1,
(3.8.7)






( i (t ), j (t ))  0 , ( i (t ), k (t ))  0 , ( j (t ), k (t ))  0.
- 154 -
Дифференцируя соотношения (3.8.7), придем к следующим тождествам, которые






di (t ) dj (t ) dk (t )
связывают функции i  (t ), j (t ) , k (t ) и их производные
:
,
,
dt
dt
dt



di (t ) 
dj (t ) 
dk (t ) 
(
, i (t ) )  0 ,
(
, j (t ) )  0,
(
, k (t ) )  0 ,
dt
dt
dt




di (t ) 
dj (t ) 
di (t ) 
dk (t ) 
(3.8.8)
(
, j (t ) )   (
, i(t )) ,
(
, k (t ) )   (
, i(t )) ,
dt
dt
dt
dt


dj (t ) 
dk (t ) 
(
, k (t ) )   (
, j(t )) .
dt
dt
  
Пусть теперь положение ортов i , j  , k  задается через матрицу A(t ) перехода к
абсолютной системе Oa xyz .
  
Обозначим через i , j, k орты абсолютной системы, а через a (t ) ,  ,  1,2,3 , —
элементы матрицы перехода A(t ) . Тогда, исходя из определения матрицы перехода,
можем записать
 



i   a11(t ) i  a21(t ) j  a31(t ) k  i  (t ) ,
 



(3.8.9)
j   a12 (t ) i  a22 (t ) j  a32 (t ) k  j (t ) ,

 

k   a13 (t ) i  a23 (t ) j  a33 (t ) k  k (t ) .
Дифференцируя по t каждое из этих равенств, получим




di 
 a11(t )i  a 21(t ) j  a31(t )k ,
dt




dj
 a12 (t ) i  a 22 (t ) j  a32 (t ) k ,
(3.8.10)
dt



dk 
 a13 (t )i  a 23 (t ) j  a33 (t ) k .
dt



d i  dj  dk 
Таким образом, векторы
,
,
вычисляются по формулам (3.8.10) через
dt dt dt
dA
dA
элементы матрицы
. Поскольку матрица A(t ) задана, то элементы матрицы
dt
dt
можно считать известными. Тем самым в любой момент времени t известны векторы



d i  dj  dk 
,
,
.
dt dt dt
Заметим, что матрицу A(t ) можно считать заданной и в том случае, когда зада


ются функции i (t ) , j (t ) , k (t ) , ибо столбцы матрицы A(t ) совпадают с координатами



векторов i (t ) , j (t ) , k (t ) в абсолютной системе координат. Таким образом, из проведенных рассуждений можно сделать следующие выводы.
1. При любом способе задания движения подвижной системы координат в любой момент времени будут известны векторы






di 
dj
dk 
b1 (t ) 
, b2 (t )  , b3 (t ) 
.
(3.8.11)
dt
dt
dt
- 155 -
2. Эти векторы получаются непосредственным дифференцированием функций


  

i (t ) , j (t ) , k (t ) , если положение ортов i  , j  , k  в каждый момент времени t задается через указанные функции.
  
В случае, когда положение ортов i  , j  , k  в каждый момент времени t задает


d i  dj  dk 
ся через матрицу ориентации A(t ) , векторы
,
,
вычисляются по формуdt dt dt
лам (3.8.10).
3. При всех значениях времени t будут выполняться тождества (3.8.7) и (3.8.8).
Обратимся теперь к уравнениям (3.8.1). Обозначим в них
 
 
 
e1  i (t ) , e2  j(t ) , e3  k (t ) .
(3.8.12)

Тогда в любой момент времени t для векторов ei (t ) , i  1,2,3 , справедливы со
отношения (3.8.2). Кроме того, для векторов bi (t ) , i  1,2,3 , задаваемых формула
ми (3.8.11) в совокупности с векторами ei (t ) , i  1,2,3 , справедливы условия (3.8.3),
(3.8.4). Указанные свойства проверяются подстановкой (3.8.11) и (3.8.12) в формулы (3.8.7) и (3.8.8).
А потому справедлива теорема 1, доказанная выше (п.1º), т.е. существует един
ственный вектор  (t ) , задаваемый формулой




1  di   dj  dk 
(3.8.13)
 (t )  [i   j   k   ] ,
2
dt
dt
dt
который в любой момент времени t является решением следующей системы векторных
уравнений



di   
dj  
dk   
(3.8.14)
   i ,
   j ,
   k .
dt
dt
dt
Определение 1.

Вектор  (t ) , вычисляемый по формуле (3.8.13), называется вектором мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.
Из теоремы 1 следует, что он является единственным решением уравнений (3.8.14).
Уравнения (3.8.14) называются уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь




мгновенной угловой скорости  (t ) с базисными вектор-функциями i (t ) , j (t ) , k (t ) и
их производными по времени t .



Поскольку i (t ) , j (t ) , k (t ) — дважды непрерывно дифференцируемые вектор
ные функции, то из формулы (3.8.13) следует, что вектор  (t ) , рассматриваемый как
функция времени t , также непрерывно дифференцируемая векторная функция. Это

свойство вектора  (t ) позволяет ввести следующее понятие.
Определение 2.

Вектор  (t ) , задаваемый формулой

d 
 (t ) ,
dt
называется вектором мгновенного углового ускорения подвижной системы коорди
нат. Здесь  (t ) — вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы
координат.
 (t ) 
- 156 -

Из определения 2 и формулы (3.8.13) для вектора  легко выводится формула

связи мгновенного углового ускорения 
с базисными вектор-функциями



i (t ) , j (t ) , k (t ) и их вторыми производными по времени t :



 1  d 2 j   d 2 j   d 2k 
  [ i  2  j 2  k  2 ] .
2
dt
dt
dt

Вычислим проекции вектора  (t ) на подвижные оси Ox, Oy, Oz . Для этого по


следовательно умножим скалярно на i (t ) , j (t ) , k (t ) равенство (3.8.13). При умноже
нии на орт i (t ) получим:




 
1   dj  1   dk  1 dj  
1  dk 
x ' (t )  (, i )  (i , j , )  (i , k ,
)  ( , k )  ( j ,
).
2
dt
2
dt
2 dt
2
dt
Здесь учли, что






 dj 
  dj 
  dj 
  dk 
  dk 
 dk 
(i , j , )  (i   j ,
)  (k , ) ,
(i , k ,
)  (i   k ,
)   ( j ,
).
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Из тождеств (3.8.8) имеем:


 dj 
 dk 
( j ,
)  (k , ) .
dt
dt
Поэтому окончательно находим

dj  
(3.8.15)
 x '  ( , k ) .
dt
Выражения для  y ' ,  z ' получим из формулы (3.8.15) круговой перестановкой




x  ——> y  ——> z  ,
i  ——> j  ——> k  ——> i  .
Будем иметь


dk  
di  
(3.8.16)
y'  (
, i ) ,
z '  ( , j ) .
dt
dt
Справедливость их легко проверить умножением формулы (3.8.13) на векторы


j  и k  скалярно.
Если в формулы (3.8.15), (3.8.16) подставить (3.8.9) и (3.8.10) — выражения для



   di  dj  dk 
dA
,
,
векторов i  , j  , k  ,
через элементы матрицы A(t ) и ее производной
, то
dt
dt dt dt

получим связь проекций вектора  (t ) на подвижные оси x, y, z с направляющими
  
косинусами векторов i  , j  , k  и их производными. Эта связь имеет вид:



3
3
3
dj  
dk  
di  
x '  ( , k  )   a 2 a 3 ,  y '  ( , i )   a 3a1 , z '  ( , j )   a1a 2 . (3.8.17)
dt
dt
dt
 1
 1
 1

Формулы (3.8.17) позволяют вычислить вектор  (t ) в проекциях на связанные
оси через элементы матрицы ориентации a  и их производные a   ,  ,  1,2,3 .
3º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости твердого тела
Как отмечено в §3, твердое тело имеет несчетное множество связанных систем
координат. Все они обладают общими свойствами:
- 157 -
а) в этих системах координаты всех точек твердого тела остаются постоянными
при любых движениях твердого тела;
б) базис каждой связанной системы координат сохраняет неизменными проекции
на оси всех других связанных систем координат.
В отношении второго свойства (свойства б)) следует сделать оговорку. Оно
справедливо для твердых тел, не являющихся стержнями, т.е. таких тел, все точки которых не сосредоточены на одной прямой.
В случае, когда моделью тела является отрезок прямой, любая система координат, которая одной своей координатной осью совпадает с точками твердого тела, а две
другие оси ортогональны этой прямой и могут вращаться вокруг нее, также будет удовлетворять условию а), т.е. будет удовлетворять определению понятия «связанной системы координат».
Чтобы не усложнять дальнейшие выводы, в случае твердого тела, сосредоточенного на одной прямой, в качестве связанных систем будем рассматривать только такие,
которые неподвижны друг относительно друга(т.е. находятся в покое относительно
друг друга).

Покажем, что векторы  у всех связанных систем координат одного и того же
твердого тела совпадают.




Пусть   x i   y j   z k  — вектор, неподвижный в связанной системе координат.
Лемма 3.

Для любого вектора  , неподвижного в связанной системе координат, справедлива формула

d  
(3.8.18)
   .
dt

Здесь  — вектор мгновенной угловой скорости связанной системы координат по отношению к заданной абсолютной.
Доказательство.
Очевидно,







d
di 
dj 
dk 
.
 ( x i   y  j   z k )  x
 y  z 
dt
dt
dt
dt
Первое слагаемое, обозначенное круглыми скобками, равно нулю, так как
x  0 , y   0 , z  0 .
  
di  dj  dk 
Во втором слагаемом векторы
заменим правыми частями уравне,
,
dt dt dt
ний Эйлера (3.8.14). Получим




 
 
  
 
d
 x   i   y   j   z  k     ( x i   y j   z k )     .
dt
Лемма 3 доказана.
Пусть теперь в твердом теле заданы две связанные системы координат Oxs ys zs ,
s  1, 2 .

Обозначим через  s , s  1, 2 , векторы мгновенной угловой скорости соответствующих связанных систем координат относительно абсолютной.
Теорема 2.

Векторы  s , s  1, 2 , связанных систем координат совпадают в любой момент
времени t .
- 158 -
Доказательство.


Доказываем от противного. Пусть 1 (t )  2 (t ) в некоторый момент времени t .

В соответствии с определением 1  s (t ) удовлетворяют уравнениям Эйлера (3.8.14) в
любой момент времени t .

dis   djs  
dks  
(3.8.19)
 s  is,
 s  js ,
 s  ks .
dt
dt
dt
  
Поскольку векторы i 2 , j 2 , k 2 неподвижны в первой связанной системе координат, то, согласно лемме 3 и формуле (3.8.18) в любой момент времени t выполняется

di2   dj2  
dk2  
(3.8.20)
 1  i2,
 1  j2 ,
 1  k2 .
dt
dt
dt
В частности, соотношения (3.8.19), (3.8.20) выполняются и в момент времени t .
  
Получили, что векторы i2, j2 , k2 в момент времени t удовлетворяют уравнени

ям Эйлера (3.8.19) и (3.8.20) для двух различных 1 (t ) и  2 (t ) . Это невозможно, т.е.


должно быть 1 (t )  2 (t ) в силу единственности решения уравнения Эйлера при фик 
 
 
  
сированной тройке векторов e1 , e2 , e3 (в нашем случае e1  i2(t ) , e2  j2 (t ) , e3  k2 (t ) ).


Пришли к противоречию с исходной посылкой о том, что 1 (t )  2 (t ) .
Теорема 2 доказана.
Определение 3.
Вектором мгновенной угловой скорости твердого тела по отношению к заданной системе отсчета называется вектор мгновенной угловой скорости системы координат, жестко связанной с твердым телом.
Замечания.
1. Из теоремы 2 следует, что твердое тело имеет единственный вектор мгновенной угловой скорости, который может быть определен по движению любой связанной
системы координат.
Его каноническое представление задается формулой (3.8.13), где в качестве ор  
тов i  , j  , k  могут быть взяты орты любой системы координат, жестко связанной с
твердым телом.

 
di  dj  dk 
В качестве производных по времени
должны быть взяты условные
,
,
dt dt dt
~
d
производные
в той системе отсчета, по отношению к которой определяется вектор
dt
мгновенной угловой скорости твердого тела (иначе говоря, по отношению к которой
рассматривается движение твердого тела).

2. Проекции вектора  твердого тела на оси связанной системы координат, как
правило, обозначаются p , q , r . Они зависят от выбора связанной системы.

Однако сам вектор  (его величина и направление в заданной системе отсчета)
не зависит от выбора связанной системы.
3. Связь величин p , q , r с элементами матрицы ориентации a  (t ) и их производными a   ,  ,  1,2,3 , определяется соотношениями (3.8.17), в которых следует положить x '  p,  y '  q, z '  r . В векторной записи эта связь имеет вид (3.8.15) и
(3.8.16).
- 159 -

Отсюда делаем вывод, что  — это свободный вектор. Он не зависит от координат полюса связанной системы, а лишь зависит от матрицы ориентации A и ее производной по времени.
§9. Распределение скоростей в твердом теле
1º. Формула Эйлера для скоростей точек твердого тела
При векторном задании движения твердого тела для любой точки P твердого
тела можем записать

 
(3.9.1)
r  rO (t )   (t ) .

Здесь r — положение точки P твердого тела в момент времени t относительно

заданной точки отсчета в абсолютном пространстве, rO (t ) — положение полюса O свя
занной системы координат в момент времени t ,  (t ) — положение точки P относительно полюса связанной системы координат.
Положение точки P в связанной системе определено координатами x, y, z ,
которые постоянны на любых
движениях твердого
тела. Поэтому можем записать







 (t )  x i (t )  y j (t )  z k (t ) , где i (t ), j (t ) , k (t ) — положения ортов связанной системы координат в момент времени t относительно абсолютного пространства.
Дифференцируя (3.9.1) по t , получим
 dr dr d
.
(3.9.2)
V  O
dt dt dt

Поскольку вектор  в связанной системе координат неподвижен, то согласно
лемме 3 (§8, п.3º) имеем

d  
   ,
dt

где  — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела.
Подставляя в (3.9.2), окончательно получим
   
V VO     ,
(3.9.3)
 drO
где VO 
— скорость полюса связанной системы.
dt
Равенство (3.9.3) называется формулой Эйлера для скоростей точек твердого тела.
Замечание.
Вывод формулы Эйлера позволяет сформулировать следующее правило постро
ения вектора V — скорости любой точки твердого тела.


Для того чтобы построить скорость V , необходимо скорость VO полюса связан 
ной системы координат и вектор    параллельным переносом совместить своими
началами с точкой O — с полюсом абсолютной системы. Построить сумму этих векторов по правилу параллелограмма.

Полученный таким образом вектор V параллельным переносом совместить

началом с точкой P , поскольку скорость V точки P связана с этой точкой.
- 160 -

Иначе говоря, для построения вектора V можно применить правило суммирова
ния свободных векторов, являющихся составляющими вектора V , а затем результат
сложения перенести в точку P своим началом.
2º. Классификация движений твердого тела
Исходя из формулы Эйлера, можно выделить следующие группы движений
твердого тела, т.е. дать следующую классификацию его движений.


1. Если VO (t )  0 и  (t )  0 в некоторый момент времени t , то такое движение называется «мгновенным покоем твердого тела».


2. Если VO (t )  0 и  (t )  0 в некоторый момент времени t , то движение называется
«мгновенным поступательным движением твердого тела».


3. Если VO (t )  0 и  (t )  0 в некоторый момент времени t , то такое движение называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной точки».
Если существуют две точки твердого тела, скорости которых равны нулю в некото
рый момент времени t , и при этом  (t )  0 , то движение твердого тела называется
«мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной оси».
Если оказывается, что равенства или неравенства, которым удовлетворяют век


тор-функции VO (t ) ,  (t ) и V (t ) в данной классификации, выполняются на некотором
промежутке времени t (т.е. справедливы при всех t   ,   ), то слово «мгновенный»
опускается. Тогда движения называются соответственно «покой», «поступательное»,
«вращение вокруг неподвижной точки», «вращение вокруг неподвижной оси».
4.
3º. Следствия из формулы Эйлера
 AB
Пусть e 
, где A и B — две любые, несовпадающие точки твердого тела
AB
(см. рис.3.9.1).
B1

VA
B

e

VB
A1
A
Рис.3.9.1


Обозначим VA и VB скорости точки A и точки B , соответственно.
Следствие 1.
В любой момент времени t справедливо равенство:
 
 
(VA , e )  (VB , e ) , т.е. AA1  BB 1 .
Иначе говоря, в любой момент времени t совпадают проекции скоростей двух
точек твердого тела на ориентированную прямую, соединяющую эти две точки,.
- 161 -
Доказательство.
Возьмем в качестве полюса связанной системы точку A . Тогда в любой момент t согласно формуле Эйлера будем иметь
  
VB VA    AB .

Умножая скалярно на орт e , получим
 
 
(VA , e )  (VB , e ) .
Что и требовалось доказать.
Следствие 2.


Если скорости VA и VB двух точек A и B твердого тела коллинеарны в момент времени t , причем в том случае, когда они сонаправлены — величины этих скоро

стей не равны между собой, то VA и VB в этот момент ортогональны прямой, соединяющей точки A и B (см. рис.3.9.2).
Доказательство.


Пусть в момент времени t VB   VA , где  — любое вещественное число,
кроме   1. Тогда для этого момента t по формуле Эйлера можем записать
  
VB VA    AB .


Подставим VB   VA . Получим
 
( 1)VA    AB .

Поскольку  1 , то отсюда следует, что VA ортогонален AB , а тогда (поскольку



VB коллинеарен VA ) и вектор VB будет ортогонален AB .
Что и требовалось доказать.

VB
B

VA
A

VB
B
A

VA
Рис.3.9.2
Следствие 3.
В произвольный момент времени t скорость любой точки твердого тела однозначно может быть вычислена по известным в этот момент скоростям и положениям трех его точек, не лежащих на одной прямой.
Доказательство.
Пусть в момент времени t для трех точек P0 , P1 , P2 твердого тела, не лежащих на
  
  
одной прямой, известны скорости V0 ,V1 ,V2 и положения r0 , r1 , r2 , соответственно.


     
Обозначим 1  P0 P1 , 2  P0 P2 . Тогда 1  r1  r0 , 2  r2  r0 .


Поскольку P0 , P1 , P2 не лежат на одной прямой, то 1 и  2 — неколлинеарные
  
векторы. Введем вектор 3  1  2 и аффинную систему координат с полюсом в точке
  
P0 и базисом 1 ,  2 ,  3 .
В этой системе можем записать




  11  2 2  3 3 .
(3.9.4)
Согласно формуле Эйлера имеем
   
   
V1 V0    1 , V2 V0    2 .
- 162 -

Подставляя в правые части этих равенств вектор  из (3.9.4), придем к системе
двух векторных уравнений относительно неизвестных 1 , 2 , 3 :
 
 
 

 
V1  V0  2 (  2  1 )  3 ( 3  1 )   2 3  3 ( 3  1 ) ,
 
 
 

 
V2  V0  1 ( 1   2 )  3 ( 3   2 )  13  3 ( 3   2 ) .

Умножим каждое из уравнений скалярно на  3 и найдем 1 , 2 :
1   
1   
2   2 (V1  V0 , 3 ) ,
1  2 (V2  V0 , 3 ) .
3

3
Умножим первое уравнение скалярно на  2 . В результате найдем 3 :
1   
3  2 (V1  V0 ,  2 ) .
3

Подставим 1 , 2 , 3 в соотношение (3.9.4) для угловой скорости  . Получим:
   
   
 1    
  2 [(V2  V0 , 3 ) 1  (V1  V0 , 3 )  2  (V1  V0 ,  2 ) 3 ] .
3
(3.9.5)

Тогда согласно формуле Эйлера для любой точки P твердого тела скорость V
будет определяться по следующей формуле:
 
    
    
1     
(3.9.6)
V  V0  2 [(V2  V0 , 3 ) 1    (V0  V1 , 3 )  2    (V1  V0 ,  2 ) 3   ] .

3
где   P0 P . Что и требовалось доказать.
Следствие 4.

Если в момент времени t   0 , то скорости всех точек одинаковы. Иначе говоря, в состоянии мгновенного покоя и мгновенного поступательного движения скорости всех точек одинаковы.
Доказательство.

Действительно, если   0 в момент времени t , то согласно формуле Эйлера
    
V VО     VО .

Здесь V — скорость любой точки P твердого тела. Из формулы следует, что она сов
падает с VO (t ) — скоростью полюса связанной системы координат.

Согласно принятой классификации движений, при  (t )  0 тело либо находится

в мгновенном покое (тогда VO (t )  0 ), либо совершает мгновенное поступательное дви
жение (тогда VO (t )  0 ). Этим доказано утверждение следствия 4.
Следствие 5.
Если в момент времени t скорости трех точек твердого тела, не лежащих на
одной прямой, равны по величине и направлению, то тело совершает мгновенное поступательное движение или находится в мгновенном покое.
Доказательство.

Из равенства (3.9.5) в момент t вытекает, что   0 при выполнении условий

следствия. Если VO (t )  0 , то тело находится в мгновенном покое.

Если VO (t )  0 , то тело совершает мгновенное поступательное движение (согласно принятой классификации движений). Следствие 5 доказано.
Объединяя следствия 4 и 5, можем сделать вывод:
- 163 -
твердое тело, содержащее хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой,
находится в мгновенном покое или совершает мгновенное поступательное
движение тогда и только тогда, когда в момент времени t указанные три его
точки имеют одинаковые скорости.
Следствие 6.
Если в момент времени t скорости двух точек P0 и P1 твердого тела равны нулю, то:
1)
все точки прямой, проходящей через них, имеют скорость, равную нулю;

2)
вектор мгновенной угловой скорости  твердого тела коллинеарен этой
прямой или равен нулю;
3)
тело совершает мгновенное вращение вокруг неподвижной оси или находится в мгновенном покое.
Доказательство.
Пусть для точек P0 и P1 твердого тела в некоторый момент времени t имеем




V0  0 и V1  0 , где V0 — скорость точки P0 , V1 — скорость точки P1 .

1). Покажем сначала, что в этот момент вектор  коллинеарен прямой, проходящей через точки P0 и P1 .
Действительно, согласно формуле Эйлера имеем
  
V V0    P0 P1 .
 
Отсюда при выполнении условия V1  V0  0 следует равенство

  P0 P1  0 .
Из него находим

   P0 P1 ,
(3.9.7)

т.е. вектор  в момент t коллинеарен указанной прямой.
2). Покажем, что если точка P твердого тела находится на прямой, проходя
щей через точки P0 и P1 , то ее скорость V будет равна нулю.
Ранее было доказано, что если точка P находится на данной прямой в некоторый момент времени t0 , то и при всех t она будет находиться на ней на любых движениях твердого тела. Поэтому P0 P   P0 P1 в любой момент времени t . Здесь  — постоянная величина.
 
P0 P
;
P0 P1
  0 , если точки P и P1 находятся по одну сторону от точки P0 ;
  0 , если точки P и P1 находятся по разные стороны от точки P0 .

По формуле Эйлера находим скорость V точки P в момент t :
  

V V0    P0 P    P0 P .

Поскольку в этот момент вектор  коллинеарен P0 P1 , и вектор P0 P также кол

линеарен P0 P1 , то векторы  и P0 P коллинеарны. А потому   P0 P  0 и, следова
тельно, V  0 .
- 164 -
Таким образом, доказали, что все точки твердого тела, находящиеся на прямой,
проходящей через точки P0 и P1 , будут иметь в момент времени t скорости, равные
нулю.
3). Покажем теперь справедливость утверждения 3) следствия.
Действительно, если в момент t в (3.9.7) имеем   0 , то тело будет находиться


в мгновенном покое, так как   0 и V0  0 в указанный момент.
Если   0 в момент t , то тело совершает мгновенное вращение вокруг оси

P0 P1 , ибо   0 , а точки P0 и P1 имеют скорости, равные нулю. При этом все точки
твердого тела, принадлежащие оси P0 P1 , также имеют скорости, равные нулю. Следствие 6 доказано.
§10. Распределение ускорений в твердом теле
Выведем формулу для вычисления ускорения любой точки твердого тела. По
определению ускорения любой точки P можем записать

 dV
,
(3.10.1)
W
dt


где V — скорость точки P , а W — ее ускорение.
Согласно формуле Эйлера скорости точек твердого тела определяются следую 

щей зависимостью от векторов VO ,  и  :
   
V V0     ,
(3.10.2)
 drO
где VO 
— скорость полюса связанной системы координат,
dt

rO (t ) — положение полюса связанной системы координат относительно
неподвижной точки отсчета,

 — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела,

 — положение точки P твердого тела в связанной системе координат,




(3.10.3)
  x i   y j   z k  ,
x, y, z — координаты точки P в связанной системе (постоянные величины),



i (t ), j (t ) , k (t ) — базис связанной системы координат.

Подставляя (3.10.2) в (3.10.1) и дифференцируя V по t , получим

 dV d   d
W O
   
.
(3.10.4)
dt
dt
dt

dVO 
WO — это ускорение полюса связанной системы координат (по
Очевидно,
dt
определению).

Поскольку вектор  неподвижен в связанной системе координат, то согласно
лемме 3 (из п.3 §8) имеем

d  
   .
(3.10.5)
dt
Введем обозначение:


d
 (t ) 
.
(3.10.6)
dt
- 165 -
Определение.


Вектор  (t ) , задаваемый формулой (3.10.6), где  — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела, называется вектором мгновенного углового ускорения
твердого тела.
Подставляя (3.10.5) и (3.10.6) в правую часть соотношения (3.10.4) и заменяя в


нем первое слагаемое на WO , приходим к следующему выражению для ускорения W :
      
(3.10.7)
W WО        (   ) .
Оно называется формулой Ривальса.
Формулу (3.10.7) запишем в виде
 


W WO WВ WОС .
В ней каждое слагаемое имеет свое название. А именно,

WO — ускорение полюса связанной системы координат;

 
WB     — вращательное ускорение точки твердого тела при ее вращении вокруг
полюса связанной системы координат;

  
WОC   (   ) — осестремительное ускорение точки твердого тела.
Формула Ривальса позволяет вычислить ускорение любой точки P твердого те
ла по ее положению  в теле и кинематическим характеристикам этого тела, заданным в любой момент времени t .
Кинематическими характеристиками твердого тела называются вектора





rO (t ) , VO (t ) , WO (t ) ,  (t ) ,  (t ) и матрица A (t ) , где

rO (t ) — положение полюса связанной системы координат;

VO (t ) — скорость полюса связанной системы координат;

WO (t ) — ускорение полюса связанной системы координат;

 (t ) — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела;

 (t ) — вектор мгновенного углового ускорения твердого тела;
A (t ) — матрица ориентации твердого тела.
Знание этих векторов и матрицы ориентации позволяет вычислить положение,
скорость и ускорение любой точки твердого тела, если заданы ее координаты в связанной системе координат.

Пусть вектор  задается своими проекциями
 на связанные оси



  pi   q j  r k  .
(3.10.8)
Установим связь проекций на связанные оси вектора мгновенного углового

ускорения  твердого тела с производными по времени от проекций p, q, r вектора
мгновенной угловой скорости на эти оси.
Теорема.
Справедливо следующее равенство




  p i   q j   r k  .
(3.10.9)
Доказательство.
Дифференцируя обе части равенства (3.10.8) по t и учитывая формулы Эйлера
(3.8.14) из §8
- 166 -

di   
  i ,
dt

dj  
   j,
dt

dk   
  k ,
dt
получим







 d
di 
dj
dk 







 pi  q j  r k  p
q r

dt
dt
dt
dt





 
 p i   q j   r k   p(  i )  q(  j )  r (  k ) 
  


 p i   q j   r k     .
 
Поскольку     0 , то приходим к (3.10.9). Теорема доказана
Формула (3.10.9) показывает, что проекции вектора углового ускорения твердого тела на связанные оси совпадают с производными от соответствующих проекций на
эти оси вектора угловой скорости.
§11. Поступательное движение твердого тела
Определение 1.
Поступательным движением твердого тела на промежутке времени J  R1
называется такое его движение, при котором выполняется тождество

(3.11.1)
(t )  0 при t  J .
Отметим основные свойства поступательного движения твердого тела.
Пусть твердое тело совершает поступательное движение. Тогда из формул Эйлера и Ривальса с учетом тождества (3.11.1) вытекают следующие свойства скоростей и
ускорений точек твердого тела.

1. Скорости V всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и

совпадают со скоростью VO полюса связанной системы.

2. Ускорения W всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и

совпадают с ускорением WO полюса связанной системы.
3. Любая матрица ориентации твердого тела остается постоянной во все время
движения.
Третье свойство выводится из уравнений Эйлера



di   
dj  
dk   
  i ,
   j,
  k  .
dt
dt
dt

Действительно, поскольку  (t )  0 , то






di 
dj 
dk 
 0,
 0,
 0 ,  i   const ,
j   const ,
k   const.
dt
dt
dt
Отсюда следует, что матрица ориентации постоянна. На основе этих свойств выведем
свойства перемещений точек твердого тела. Пусть P и Q — две точки твердого тела.
Определение 2.



Вектор  rpq (t )  rq (t )  rp (t ) называется перемещением точки Q относительно точки P в момент времени t , или иначе, отклонением точки Q от точки P в момент времени t .
Определение 3.



Вектор  rp (t , t 0 )  rp (t )  rp (t 0 ) называется перемещением точки P за время
t  t 0 вдоль движения точки P :
- 167 -
 
r  rp (t ) .


В определениях 2 и 3 r p и rq обозначают радиус-векторы точек P и Q относи

тельно заданной неподвижной точки отсчета O , соответственно: rp  OP, rq  OQ .
Здесь O обозначает точку отсчета.
Из равенства скоростей точек P и Q при поступательном движении твердого
тела можем сделать следующие выводы.
Следствие 1.
Отклонение точки Q от точки P твердого тела остается постоянным на его
поступательном движении, т.е.

 rpq (t )  const
при t  J .
Доказательство.
По определению отклонения имеем



 rpq (t )  rq (t )  rp (t ) ,


где rq (t ) , rp (t ) — движения точек Q и P , соответственно. Дифференцируя это равенство по t и учитывая, что на поступательном движении твердого тела скорости любых
его точек одинаковы


drq  
dr
Vq V p (t )  p ,
dt
dt
получим

d
 rpq (t )  0 .
dt


Отсюда следует  rpq (t )   rpq (t0 )  const . Следствие 1 доказано.
Следствие 2.
Перемещение точки Q относительно своего начального положения за время
t  t 0 совпадает по величине и направлению с перемещением точки P относительно
своего начального положения за то же время, т.е.


 rq (t , t0 )   rp (t , t0 ) .
Иначе говоря, перемещения всех точек твердого тела за время t  t 0 одинаковы
по величине и направлению.
Доказательство.




drp 
drq 
V p (t ) ,
Vq (t ) , V p (t ) Vq (t ) , то отсюда, интегрируя, находим:
Поскольку
dt
dt
t 



 rp (t , t0 )  rp (t )  rp (t0 )   V p (t ) dt ,
t0
t 




 rq (t , t0 )  rq (t )  rq (t0 )   Vq (t ) dt   V p (t ) dt.
t
t0
t0


Вычитая, получаем  rp (t , t0 )   rq (t , t0 )  0 . Что и требовалось доказать.
На основании следствий 1 и 2 можем сделать следующие выводы.
1. Отрезок P Q , соединяющий две точки твердого тела, перемещается парал



лельно самому себе, ибо  rp (t, t 0 )   rq (t, t 0 ) ,  rpq (t )   rpq (t 0 ) .
- 168 -
Геометрически, свойство 1 показано на рисунке 3.11.1. На нем введены следующие обозначения.
P(t0 ) , Q(t0 ) — положение точек P и Q в момент времени t0 ;
P(t ) и Q(t ) — положение точек P и Q в момент времени t ;




 rp (t, t0 ) ,  rq (t, t0 ) ,  rpq (t ) ,  rpq (t0 ) — перемещения этих точек.
Как видно из рисунка, согласно свойству 1 перемещения образуют параллело-
грамм.
2. При поступательном движении твердого тела положение любых его точек в
любой момент t можно вычислить через положение какой-либо одной точки P тела,
известное в момент t , и положение тела относительно точки P , заданное в какойлибо фиксированный момент времени t0 .
Q(t0 )

 rq (t , t 0 )

 rpq (t )

 rpq (t 0 )
P(t0 )
Q(t )

 rp (t , t 0 )
P(t )
Рис.3.11.1
Доказательство.
Действительно, поскольку






rq (t )  rp (t )  rq (t )  rp (t )  rp (t )   rpq (t ) ,



то в соответствии со следствием 1 получаем rq (t )  rp (t )   rpq (t0 ) .
Утверждение доказано
§12. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
1º. Структура матрицы ориентации твердого тела при его вращении
вокруг неподвижной оси
В настоящем параграфе мы будем отождествлять твердое тело со всем пространством, определяемым связанной системой координат. Рассмотрим группу движений твердого тела, называемую вращением твердого тела вокруг неподвижной оси.
Определение 1.
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси на промежутке времени J
называется такое движение, при котором две точки тела имеют скорость, равную

нулю при всех t  J , а вектор  (t ) / 0 при t  J .
Прямая, проходящая через указанные две точки, называется осью вращения
твердого тела.
В следствии 6 из формулы Эйлера (§9, п.3º) доказывается, что все точки, лежащие на оси вращения, имеют скорость, равную нулю. Кроме того, там же доказано, что
вектор мгновенной угловой скорости твердого тела на всем промежутке времени J

коллинеарен оси вращения. Иначе говоря, если обозначим через k  орт оси вращения,
- 169 -
то при всех t  J этот орт будет сохранять свое направление в абсолютном простран

стве и в теле. Вектор  коллинеарен орту k  , так что будем иметь:



k   const ,  (t )   (t ) k  для t  J .
Теорема.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то существует такая
система отсчета Oxyz и связанная система Oxyz , что матрица ориентации будет
иметь вид:
cos   sin 
0
A  sin 
0
cos 
0
0 .
1
(3.12.1)

При этом вектор  мгновенной угловой скорости твердого тела связан со скоростью  изменения угла  соотношением



(3.12.2)
  k  k  ,


где k и k  — орты осей Oz и Oz  , соответственно.
Доказательство.
Возьмем в качестве точки отсчета O любую точку на оси вращения. Она неподвижна в теле и в абсолютном пространстве, поскольку ее скорость равна нулю при
всех t  J . Поэтому можем считать ее полюсом абсолютной и связанной систем координат.

В качестве орта k (орта оси Oz ) берем орт направляющего вектора оси Oz .


В качестве орта k  (орта оси Oz  ) берем тот же орт k . Это возможно, поскольку ось
вращения неподвижна в теле и в абсолютном пространстве. Тогда будем иметь


k (t )  k при всех t  J .


В качестве ортов i и j берем два взаимно ортогональных орта, фиксированные
  
в абсолютном пространстве и ортогональные оси вращения, причем i , j , k — правая
тройка векторов.
 
В качестве ортов i  , j  берем орты, неподвижные в теле, взаимно ортогональ  
ные и ортогональные оси вращения, так что i  , j  , k  — правая тройка векторов.


Поскольку k и k  совпадают при всех t , то матрица ориентации системы
Oxyz будет иметь вид
a11(t ) a12 (t ) 0
A  a21(t ) a22 (t ) 0 ,
0
0
(3.12.3)
1
причем элементы a11 , a12 , a 21 , a 22 при всех t удовлетворяют тождествам
2
2
2
2
a11
(t )  a12
(t )  1, a21
(t )  a22
(t )  1, a11(t ) a21(t )  a12 (t ) a22 (t )  0 .
(3.12.4)
Положим в этих тождествах
a11  cos  (t ) , a12   sin  (t ) , a21  sin  (t ), a22  cos  (t ) ,
(3.12.5)
где  — угол, принимающий значения из промежутка [0, 2 ) .
При такой замене (3.12.5) тождества (3.12.4) будут выполняться при любых t
для любых  . Обратно, если знаем элементы a11 , a12 , a 21 , a 22 , то угол  будет однозначно определен по этим элементам из соотношений (3.12.5).
- 170 -
Подстановка зависимостей (3.12.5) элементов a ,  ,   1,2 , от угла  в матрицу (3.12.3) приводит к выражению (3.12.1) для матрицы A . Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение — справедливость формулы (3.12.2). Из (3.12.1)
можем записать
 




(3.12.6)
i   i cos   j sin  ,
j   i sin   j cos  .

По определению вектора  имеем




1  di   dj  dk 
(3.12.7)
 (t )  [ i  
 j
 k 
].
2
dt
dt
dt
Дифференцируем (3.12.6) по t :




di 
   i sin    j cos    j ,
dt




dj 
   i cos    j sin     i .
dt



dk 
Кроме того, из тождества k (t )  k следует, что
 0 . Подставляя в (3.12.7),
dt
получаем:

 
 1    
 1 
  [ i   j   j    i  ]   [ i   j   i   j ]   k  .
2
2
Теорема доказана.
Замечания.
 
1. Обозначим   ( , k ) . Как следует из (3.12.2),    , и справедливы неравенства   0 при   0 и   0 при   0 . Величина  является скоростью изменения угла  .

Вектор  , построенный при изучении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, получил название вектор мгновенной угловой скорости. Такое же назва
ние дано тому вектору  , который вычисляется по формуле (3.12.7) на движениях тела, отличных от вращения вокруг неподвижной оси, а также на движениях других механических систем и подвижных систем координат.
Однако следует заметить, что при рассмотрении движений общего характера

данное название вектора  нельзя увязывать с существованием какого-либо угла, по
скорости изменения которого можно было бы судить о модуле этого вектора.
2. Из доказательства теоремы следует, что твердое тело, вращающееся вокруг
неподвижной оси, имеет одну степень свободы.

Действительно, положение r любой точки P твердого тела относительно фиксированной точки O , находящейся на оси вращения, определяется по формуле


r  A .

Здесь  — положение точки P в связанной системе координат.
Как показано в теореме, матрица ориентации A полностью определена в любой
момент времени t , если в этот момент известен угол поворота  твердого тела вокруг
неподвижной оси. Таким образом, для определения положения тела необходимо и достаточно знать одну угловую координату  .
Следствие.
Вектор углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной
оси коллинеарен оси вращения и задается формулой
- 171 -



  k   k  .
Утверждение очевидно.
2º. Скорости точек твердого тела
Здесь речь пойдет о скоростях точек P твердого тела, не лежащих на оси вращения, поскольку скорости точек, лежащих на этой оси, известны — они равны нулю.
По формуле Эйлера можем записать
 
 
   
Vp VO    rp  k  rp   k   rp .
Из нее вытекают следующие свойства:

1. V p ортогонален плоскости, проходящей через ось вращения и точку P , так как
 
 
V p  rp и V p  k (см. рис.3.12.1).



2. Vp   d   d , где d  rp sin   const , ибо Oz  и OP неподвижны в теле, а
потому угол между ними остается постоянным.
Определение 2.
Плоскость, ортогональная оси Oz и проходящая через точку P , называется
плоскостью вращения точки P .




Так как (rp (t ), k )  (rp (t ), k )  const при любых t  J , то точка P находится в
одной и той же плоскости вращения при всех t .
z

Vp


P1
P

З 


rp
O
x
Рис.3.12.1
Уравнение этой плоскости

z  rp cos   const .
Следует иметь в виду, что каждая точка P находится в своей плоскости
вращения. Такое движение твердого тела иначе называется плоским движением твердого тела.

Поскольку d  rp sin   const — это расстояние от точки P до оси вращения, и
оно остается постоянным, то точка P движется по окружности.


Скорость ее движения Vp   d   d совпадает по величине с круговой скоростью.
- 172 -
3º. Ускорение точек твердого тела

По формуле Ривальса ускорение WP точки P можно записать в виде суммы




Wp WO    rp    (   rp ) .




Поскольку WO  0 ,   k ,   k , то приходим к следующему представлению

вектора W p :



Wp Wвр  Wос ,
где
 




Wвр    rp  k  rp , Wос   (   rp )  2 PP1 ,

Wвр — вращательное ускорение точки P ; оно совпадает с вращательным
ускорением при круговом движении точки по окружности радиуса

d  rp sin  вокруг точки P1 ;
P1 — точка пересечения плоскости вращения точки P с осью вращения
(см. рис.3.12.1);

Wос — осестремительное ускорение точки P ; оно совпадает с
центростремительным ускорением при круговом движении точки
по окружности указанного радиуса.
§13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
1º. Мгновенная ось вращения
Определение 1.
Если твердое тело имеет одну точку, неподвижную при всех t  J , и не имеет
ни одной другой точки с этим свойством, то такая группа движений называется
вращением твердого тела вокруг неподвижной точки.
В данном определении, как всегда, J обозначает промежуток времени, на котором рассматривается движение твердого тела.
В определении 1 исключаются ситуации, когда хотя бы одна точка твердого тела, отличная от указанной в определении, имеет равную нулю скорость при всех t  J .
В противном случае имеет место вращение твердого тела вокруг неподвижной оси или
твердое тело находится в покое.
Неподвижную точку обозначим O и примем за точку отсчета в абсолютной и
связанной системах координат. Тогда по определению жесткой системы для любой
точки P твердого тела выполняется тождество

OP  rp (t )  const .
Это означает, что любая точка P твердого тела остается на сфере постоянного
радиуса с центром в неподвижной точке. А потому такое движение по-другому называется сферическим движением твердого тела.
Теорема 1.
При сферическом движении в твердом теле можно указать прямую, все точки
которой будут иметь мгновенную скорость, равную нулю.
Доказательство.
По формуле Эйлера любая точка P тела при вращении вокруг неподвижной
точки O имеет скорость
- 173 -

Vp (t )   (t )  OP ,
(3.13.1)
где OP — это положение точки P относительно точки отсчета O в момент време
ни t . Оно может задаваться как вектором  p (t ) с координатами в связанной систе
ме ( x, y, z) , и тогда эти координаты будут постоянны, так и вектором rp (t ) с координатами в абсолютной системе ( x(t ), y(t ), z(t )) , и тогда эти координаты будут функциями времени, причем








rp (t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k ,
 p (t )  x i (t )  y j (t )  z k (t ) ,
 x(t ) 
 x 


 
 y (t )   A(t )  y  ,
 z (t ) 
 z 


 
где A (t ) — матрица ориентации.

Положим в (3.13.1) Vp (t )  0 (в фиксированный момент времени t ). В таком случае из (3.13.1) вытекает

(3.13.2)
OP    (t )
для любого   (,  ) .
Если рассматривать соотношение (3.13.2) в абсолютном пространстве, то следу

ет положить в нем OP  rp (t ) , а вектор  (t ) считать заданным своими координатами в
абсолютной системе.
При фиксированном значении времени t и произвольных значениях  соотношение (3.13.2) задает параметрическое уравнение прямой, проходящей через неподвижную точку O .
Каждая такая прямая является геометрическим местом тех положений в абсолютном пространстве точек P твердого тела, в которых они (точки P ) имеют скорость, равную нулю в момент времени t .
Если рассматривать равенство (3.13.2) применительно к векторам OP , задаваемым в подвижном пространстве (в системе Oxyz , связанной с твердым телом), то


в (3.13.2) следует положить OP   p (t ) . Тогда и вектор угловой скорости  (t ) должен
рассматриваться в проекциях на связанные оси.
В таком случае при фиксированном значении времени t соотношение (3.13.2)
является параметрическим уравнением прямой в связанной системе. Оно задает положения в теле всех тех его точек, которые в момент t имеют скорость, равную нулю.
Теорема доказана.
Определение 2.
Прямая, проходящая через точку O , все точки P которой в фиксированный

момент времени t имеют скорость Vp (t )  0 , называется мгновенной осью вращения
твердого тела.
Как следует из доказательства теоремы, ее уравнение в векторной форме имеет
вид (3.13.2).
2º. Подвижный и неподвижный аксоиды твердого тела
Запишем уравнение (3.13.2) в виде


   (t ) ,   (,  ) ,
- 174 -
tJ .
(3.13.3)

В правой части (3.13.3) вектор  (t ) задается своими проекциями p(t ) , q(t ), r (t )
на подвижные оси Oxyz :




(t )  p(t ) i   q(t ) j   r (t ) k  .

Вектор  , стоящий в левой части (3.13.3), определяется координатами x, y, z
в тех же подвижных осях:




  x i   y j   z k  .
Будем смотреть на величины  и t как на обобщенные координаты геометриче
ской точки P , имеющей положение OP   в системе Oxyz . При таком рассмотре

нии правую часть (3.13.3) можно трактовать как вектор-функцию  ( , t )    (t ) , задающую связь обобщенных координат  , t точки P с ее декартовыми координатами
x, y, z в подвижной системе Oxyz .
В координатной форме эта связь записывается в виде:
(3.13.4)
x   p(t ) ,
y   q(t ) , z   r (t ) ,
  (,  ), t  J .
Система координат Oxyz является связанной системой для твердого тела, совершающего сферическое движение. Уравнение (3.13.3), рассматриваемое при фиксированном значении времени t , задает в ней положения всех таких точек P , которые в
этот момент находятся на мгновенной оси вращения твердого тела.
Если рассматривать уравнение (3.13.3) при всех значениях  и t из области их
изменения, то легко заметить, что оно определяет в системе Oxyz годограф вектор
функции  ( , t ) . Годограф образует в подвижном пространстве поверхность, которая
состоит из точек пространства Oxyz . Каждая точка ее хотя бы в один момент времени t принадлежит мгновенной оси вращения твердого тела. Уравнения (3.13.4) являются параметрическими уравнениями указанной поверхности. Эту поверхность можно
трактовать как абсолютно твердое тело, для которого Oxyz служит связанной системой координат.
Определение 3.
Поверхность, задаваемая векторным уравнением (3.13.3) в пространстве
Oxyz или в координатной форме системой уравнений (3.13.4), называется подвижным аксоидом.
Легко видеть, что подвижный аксоид является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке O. На это указывают уравнение (3.13.3) и уравнения
(3.13.4), ибо (3.13.3) является векторным уравнением такой поверхности, а (3.13.4) —
ее уравнениями в координатной форме.
Запишем теперь уравнение (3.13.2) в виде:


(3.13.5)
r   (t ) ,   (,  ) , t  J .


Будем считать, что векторы r и  (t ) определяются, соответственно, проекциями x, y, z и  x (t ) ,  y (t ) ,  z (t ) на неподвижные оси, т.е.







r  xi  y j  z k ,
  x (t ) i   y (t ) j  z (t )k .
В координатной форме уравнение (3.13.5) примет вид:
x   x (t ) , y    y (t ) , z   z (t ) .
(3.13.6)
Если рассматривать всю совокупность точек в пространстве Oxyz , координаты
которых определяются правыми частями уравнений (3.13.6), то такая совокупность
представляет собой двух параметрическое геометрическое место точек, образующее
поверхность в абсолютном пространстве.
- 175 -
Каждая точка этой поверхности обладает следующими свойствами: прямая, проходящая через нее (точку) и начало координат O , содержит все положения, которые
занимают в абсолютном пространстве точки мгновенной оси вращения твердого тела
хотя бы в один момент времени t .
Определение 4.
Поверхность, задаваемая в пространстве Oxyz векторным уравнением (3.13.5)
или в координатной форме системой уравнений (3.13.6), называется неподвижным
аксоидом.
Неподвижный аксоид, как и подвижный, является конической поверхностью с
вершиной в неподвижной точке O . Это следует из вида уравнений (3.13.5) и (3.13.6).
При изменении времени t  J все точки неподвижного аксоида сохраняют свои
положения в абсолютном пространстве. Однако точки мгновенной оси вращения изменяют свое положение на этом аксоиде и, тем самым, совершают движение в пространстве Oxyz .
Данное утверждение следует из того, что направляющим вектором мгновенной

оси вращения является вектор мгновенной угловой скорости  (t ) , проекции  x ,  y ,  z
которого на координатные оси Ox, Oy, Oz зависят от времени t .
Подвижный аксоид при изменении времени t  J в общем случае меняет свою
ориентацию в абсолютном пространстве, поскольку меняет ориентацию связанная с
ним система координат Oxyz .
Мгновенная ось вращения совершает в абсолютном пространстве так называемое сложное движение. Оно вызвано, прежде всего, тем, что подвижный аксоид движется в абсолютном пространстве и, тем самым, мгновенная ось движется вместе с
ним.
Кроме того, сама мгновенная ось движется по подвижному аксоиду, поскольку

проекции p(t ), q(t ), r (t ) на подвижные оси Oxyz ее направляющего вектора  (t )
также меняют свои значения при изменении времени t .
Вопрос о связи движения подвижного аксоида с неподвижным при сферическом
движении твердого тела был изучен Пуансо, и результат сформулирован в виде следующей теоремы, которую приведем здесь без доказательства.
Теорема 2 (Пуансо).
При сферическом движении подвижный аксоид катится по неподвижному без
проскальзывания; при этом в каждый момент времени подвижный и неподвижный
аксоиды касаются друг друга в точках мгновенной оси вращения.
3º. Скорости точек твердого тела при сферическом движении
Скорости точек твердого тела определяются по формуле Эйлера
  
V  r .
(3.13.7)
Эта формула имеет тот же вид, что и для скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Однако существенным отличием является то, что

при вращении вокруг неподвижной оси вектор  при всех t коллинеарен оси вращения, которая не изменяет свою ориентацию в абсолютном пространстве, а при сфериче
ском движении вектор  коллинеарен мгновенной оси вращения, но эта ось может изменять свою ориентацию в абсолютном пространстве.
Поэтому при сферическом движении, как и при вращении вокруг неподвижной
оси, каждая точка твердого тела имеет мгновенную скорость, совпадающую по величине с ее круговой скоростью, т.е. со скоростью, которую она имела бы при круговом
- 176 -
движении, совершаемом ею при вращении вокруг оси, совпадающей с мгновенной
осью вращения. Угловая скорость кругового движения при таком вращении совпадает с

вектором  (t ) .
Однако в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, на сферическом движении плоскость кругового движения точки при изменении t не будет занимать неизменное положение в абсолютном пространстве. Она будет менять свою ориентацию в
нем вместе с изменением ориентации мгновенной оси вращения и менять свое положение вместе с этой осью и материальной точкой.
Из формулы (3.13.7) следует, что при решении практических задач, связанных с
построением скоростей точек твердого тела, можно поступить следующим образом.

Определить вектор  (t ) . Затем построить мгновенную ось вращения. Она про
ходит через неподвижную точку O и коллинеарна вектору  (t ) . Далее, для построения
мгновенных скоростей точек твердого тела применить все те приемы, которые разработаны для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, считая, что неподвижной является построенная мгновенная ось вращения.
4º. Ускорения точек твердого тела при сферическом движении
В соответствии с формулой Ривальса имеем:
     


W    r    (   r )  Wвр  Wос ,




d
где  
 p i   q j   r k  — вектор мгновенного углового ускорения,
dt

 
Wвр    r — вращательное ускорение точки твердого тела,

  
Wос    (   r ) — осестремительное ускорение точки твердого тела.
  

Положим    (t ) e (t ) , где e (t ) — орт мгновенной оси вращения. Тогда





d
de 
 (t ) 
  (t ) e (t )   (t )  1 (t )   2 (t ) .
dt
dt
Обозначим


1 (t )   (t ) e (t ) — угловое ускорение вокруг мгновенной оси вращения,


de
— угловое ускорение, возникающее из-за изменения
 2 (t )   (t )
dt
направления орта мгновенной оси вращения.

e

Wос
P1
P


r
O
Рис.3.13.1
В этих обозначениях формула для вращательного ускорения примет вид





Wвр  1 (t )  r (t )   2 (t )  r (t ) .
Первое слагаемое, стоящее в правой части, совпадает с вращательным ускорением, ко
торое имеет точка при вращении тела с угловой скоростью  (t ) вокруг неподвижной
- 177 -
оси. Ось совпадает с мгновенной осью вращения. Наличие второго слагаемого показывает, что ее вращательное ускорение при сферическом движении твердого тела не сов
падает с Wвр при вращении твердого тела вокруг мгновенной оси вращения, если считать эту ось неподвижной.
Теперь обратимся к осестремительному ускорению. Выражение для ускорения

Wос приводится к следующей форме (см. рис.3.13.1)

  
  
   
Wос    (  r )   2 e  (e  r )   2 (e (r , e )  r )   2 PP1 .

Из нее следует, что Wос при сферическом движении тела совпадает с осестремитель
ным ускорением точки, которое она имеет при его вращении с угловой скоростью  (t )
вокруг неподвижной оси, если за неподвижную ось взять мгновенную ось вращения с

направляющим ортом e .
5º. Теорема Эйлера-Даламбера
Пусть известна ориентация твердого тела в моменты времени t 0 и t1 . Справедлива следующая теорема.
Теорема 3 (Эйлера-Даламбера).
При сферическом движении произвольное положение твердого тела, заданное в
момент t1 , можно получить из заданного в момент t 0 начального положения одним
поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку O , на некоторый угол  .
Доказательство теоремы можно найти, например, в учебнике [4, стр.52-53].
§14. Плоское движение твердого тела
1º. Свойства плоского движения
Определение 1.

Движение твердого тела называется плоским, если существует орт e , неподвижный в абсолютном пространстве, такой, что на этом движении для любой точки P твердого тела при всех t  J выполняется тождество
 
(e , rp (t ))  p  const ,
(3.14.1)
где  p — некоторая постоянная (быть может, своя для каждой точки P ).

В тождестве (3.14.1) rp (t ) — это вектор-функция, которой задается движение
точки P относительно точки отсчета O на промежутке времени J .
Если обозначим x p (t ) , y p (t ) , z p (t ) координаты точки P в некоторый момент
времени t  J в абсолютной системе координат Oxyz , а e x , e y , e z — направляющие

косинусы орта e в этой же системе, то тождество (3.14.1) запишется в виде следующего равенства, которое справедливо в любой момент времени t на движениях точки P :
x p (t ) ex  y p (t ) ey  z p (t ) ez  p .
(3.14.2)
Из (3.14.2) можем сделать следующие выводы.
1. Каждая точка P твердого тела движется в одной и той же плоскости, причем плоскости движения всех точек параллельны.


2. Скорость V и ускорение W этой точки находятся в той же плоскости.
- 178 -
3. Расстояние от полюса O абсолютной системы до этой плоскости остается
 
постоянным и равно модулю величины  P , ибо  p  (rp , e )  rp  cos  , где 


— угол между вектором rp и ортом e .
z
 
k e

VP
O
P

Q

rp
p

i
O

e
 
rq e

rq

rp 
P
q
Q
y
x
Рис.3.14.1
В качестве абсолютной системы координат возьмем систему Oxyz , в которой

 

орт k совпадает с ортом e , т.е. k  e (см. рис.3.14.1). Точка O может быть любой фиксированной в абсолютном пространстве.

Представим вектор rP (t ) в виде суммы



rp (t )  rp (t )   p e .
(3.14.3)

Здесь P — точка, являющаяся ортогональной проекцией точки P на плоскость Oxy . Легко видеть, что в равенстве (3.14.3) величина  p задает расстояние полюса O до плоскости  , в которой происходит движение точки P .
Пусть Q — любая другая точка твердого тела, не совпадающая с точкой P , и

rq (t ) — положение точки Q в момент времени t . Обозначим Q ортогональную про
екцию точки Q на плоскость Oxy , а rq ' (t ) — положение точки Q . Можем записать



rq (t )  rq (t )   q e ,
(3.14.4)
где  q — постоянная, определяющая плоскость, в которой движется точка Q . Она за
дается в соответствии с формулой (3.14.1), в которой вместо rp (t ) следует

подставить rq (t ) , а вместо  p — постоянную  q .
На основе формул (3.14.3) и (3.14.4) легко доказываются следующие утверждения.
Следствие 1.
На любом плоском движении твердого тела расстояние между точками P
и Q остается постоянным.
Доказательство.
Поскольку для точек P и Q твердого тела справедливо уравнение связи
- 179 -
2


rq (t )  rp (t )  const ,
то, подставляя в него (3.14.3) и (3.14.4), получим





(rq ' (t )  (rp (t ) )2  2 ( q   p ) (rq ' (t )  rp ' (t ), e )  ( q  p )2  const .
(3.14.5)




Второе слагаемое равно нулю, так как (rp (t ), e )  0 , (rq ' (t ), e )  0 . Поскольку
 q   p  const , из (3.14.5) устанавливаем, что
2


rq (t )  rp (t )  const .
(3.14.6)
Следствие 1 доказано.
Следствие 2.
Если точки P и Q в какой-либо момент времени t находятся на прямой, па
раллельной орту e , то и при всех t они будут находиться на прямой, параллельной

орту e .
Иначе говоря, если положения точек P и Q в некоторый момент времени t
совпадают, то и для всех t  t при плоском движении твердого тела их положения
будут совпадать.
Доказательство.
Из условия следствия 2 в момент времени t имеем:
2


rq (t )  rp (t )  0 ,
ибо P и Q совпадают в момент t . А тогда согласно следствию 1 будет выполняться
2


rq (t ) rp (t )  0


при всех t , т.е. rq (t )  rp (t ) . Это означает, что точки P и Q совпадают при всех t .
Следствие 2 доказано.
Следствие 3.
Если точки P и Q твердого тела в некоторый момент времени t находятся

на прямой, параллельной орту e , то:
1)
перемещение точки P за время t  t0 совпадает с перемещением точки Q за


это же время и равно rp (t )  rp (t0 ) ;
скорости точек P и Q совпадают по величине и направлению со скоростью
точки P ;
3)
ускорения точек P и Q совпадают с ускорением точки P .
Доказательство.

Поскольку точки P и Q находятся на прямой, параллельной орту e в момент
времени t , то согласно следствию 2 точки P и Q совпадают в любой момент. Поэтому в соотношениях (3.14.3) и (3.14.4) равенство (3.14.4) можно записать так:



rq (t )  rp (t )  q e .
(3.14.6)
А тогда из (3.14.3) и (3.14.6) следуют все утверждения следствия 3. Действи
тельно, по определению перемещения  rp (t , t 0 ) точки P за время t  t0 имеем



 rp (t , t 0 )  rp (t )  rp (t 0 ) .
2)
Подставляя равенство (3.14.3), записанное для моментов времени t и t0 , получим


 
 


 rp (t , t0 )  rp (t )   P e  rp (t0 )  P e  rp (t )  rp (t0 )   rp (t , t0 ) .
Аналогично для точек Q и Q с учетом (3.14.4) будем иметь




 rq (t , t0 )  rq (t )  rq (t0 )   rq (t , t0 ) .
- 180 -
По условию следствия 3 в момент времени t точки P и Q находятся на одной

прямой, параллельной орту e . Поэтому, согласно следствию 2, положения точек P
и Q совпадают при всех t , т.е.




rq (t )  rp (t ) ,
rq (t0 )  rp (t0 ) .






А тогда  rq (t , t0 )  rq (t )  rq (t0 )  rp (t )  rp (t0 )   rp (t , t0 ) .
Утверждение 1) доказано.
Справедливость утверждений 2) и 3) будет установлена, если продифференцируем дважды по t соотношения (3.14.3) и (3.14.6). Будем иметь




 drp drp 

dV p dV p 
Vp 

V p ,
Wp 

W p ,
dt
dt
dt
dt




 dr dr  

dV
dV  
Vq  q  p V p ' ,
Wq  q  p W p .
dt dt
dt
dt
Следствие 3 доказано.
2º. Связь движения плоской фигуры и твердого тела
Определение 2.
Геометрическое место точек, образованное ортогональными проекциями всех
точек твердого тела в некоторый момент времени t на плоскость  , ортогональ
ную e и проходящую через заданную точку отсчета O , называется плоской фигурой
твердого тела.
На рисунке 3.14.2 приведен пример плоской фигуры  твердого тела, являюще
гося эллипсоидом, одна из канонических осей которого коллинеарна орту e . Плоская
фигура  совпадает с сечением цилиндра плоскостью  .
Пусть Oxyz — декартовая прямоугольная система координат, в которой полюс O — заданная точка отсчета, Oz — нормаль к плоскости фигуры. Тогда плоская
фигура — это совокупность точек, каждая из которых совершает движение в
плоскости Oxy . При всех t плоскость фигуры совпадает с плоскостью Oxy .

e
O


Рис.3.14.2
Из следствия 1 заключаем, что при любых плоских движениях твердого тела
взаимные расстояния между точками плоской фигуры остаются неизменными.
Определение 3.
Точку P плоской фигуры, полученную проектированием точки P твердого тела на плоскость  , будем называть образом точки P .
- 181 -
Очевидно, любая точка P плоской фигуры является образом всех точек твердо
го тела, лежащих на прямой, параллельной орту e и проходящей через точку P .
Согласно следствию 3, для любой точки P твердого тела можем записать:







rp (t )  rp (t )  p e ,
Vp (t ) Vp (t ),
Wp (t ) Wp (t ) .
Из отмеченных свойств можем сделать следующие два вывода:
– движение и кинематические характеристики любой точки P твердого тела
однозначно определяются через движение и кинематические характеристики
той точки плоской фигуры, которая является образом точки P ;
– движение плоской фигуры можно рассматривать как движение жесткой механической системы, которая является плоским твердым телом, или как движение точки.
Замечание.
Плоская фигура является точкой в том случае, когда заданное твердое тело со
стоит из точек, находящихся на одной прямой, расположенной параллельно орту e .
Иначе говоря, моделью твердого тела является тонкий стержень, который совершает

движение, перемещаясь параллельно самому себе и неподвижному орту e .
3º. Задание движения плоской фигуры. Кинематические характеристики
Для описания движения плоской фигуры введем следующие обозначения:
Oxyz — абсолютная система координат, в которой полюс O находится в плоскости движения фигуры, плоскость Oxy совпадает с плоскостью фигуры (с
плоскостью ее движения), ось Oz — это нормаль к плоскости движения фигуры;
 

 k — орт оси Oz , k  е ;

 r — радиус-вектор точки P плоской фигуры;
 
 V , W — скорость и ускорение точки P .

y
P

x


j
y

r
i

O

j
O



r 
O

i

i
x
  
k  k  e
z
x
 
k e
z
Рис.3.14.3
В соответствии со свойствами движения плоской фигуры для любых двух точек
P и P фигуры можем записать:
- 182 -




(3.14.7)
(r (t ), k )  0 ,
r (t )  r (t )  const ,




(3.14.8)
(V (t ), k )  0 ,
(W (t ), k )  0 .
Тождества (3.14.8) являются следствием тождеств (3.14.7). Поэтому тождества (3.14.7) можно расценивать как уравнения связей для точек плоской фигуры.
Введем связанную систему координат Oxy z  плоской фигуры следующим образом (см. рис. 3.14.3):
– O  — это любая точка, фиксированная в плоскости  фигуры в некоторый момент времени t и перемещающаяся вместе с плоской фигурой так, что в процессе
движения расстояние от нее до всех других точек фигуры остаются постоянными;

– Oz  — прямая, ортогональная плоскости фигуры; базисный орт k  этой прямой в

некоторый момент времени t совпадает с ортом k ; здесь сразу же заметим, что
поскольку плоскость фигуры во все время движения совпадает с плоскостью Oxy ,
то при всех t на любых движениях плоской фигуры будет выполняться тождество


(3.14.9)
k (t )  k ;
– оси Ox и Oy  выбираем в плоскости фигуры взаимно ортогональными; направ


ляющие орты этих осей i  и j  образуют с ортом k  правую тройку векторов.
Поскольку на движениях плоской фигуры выполняется тождество (3.14.9), то
согласно теореме, доказанной в §12 при рассмотрении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, матрица ориентации A плоской фигуры может
быть задана одним углом  . Через этот угол  матрица A записывается в виде:
cos   sin 
0
A( )  A3 ( )  sin 
cos 
0 .
(3.14.10)
0
0
1

Вектор мгновенной угловой скорости  фигуры при этом связан с производной
по времени от угла  следующей зависимостью



(3.14.11)
  k  k  .

Обозначим через  положение точки P фигуры относительно полюса O в
момент времени t . Тогда ее движение относительно точки отсчета O задается вектор


функцией  (t ) . Очевидно, вектор-функция  (t ) связана с движением r (t ) точки P
в абсолютном пространстве относительно полюса O следующим соотношением



 (t )  r (t )  rO (t ) .

Здесь rO (t ) — движение полюса O связанной системы координат относительно точки
отсчета O . Из уравнений связей (3.14.7) следуют тождества





( rO ' (t ) , k )  0,
( r (t ) , k )  0 ,
(3.14.12)

 

 (t )  const .

(  (t ), k )  0 ,
На соотношения (3.14.12) можем смотреть как на ограничения движений точек
фигуры, которые вытекают из определения плоской фигуры и из следующих ее
свойств:
– фигура является плоским абсолютно твердым телом;
– она совершает движение по плоскости, совпадающей с плоскостью фигуры.
Поэтому векторную форму задания движения плоской фигуры можем записать,
исходя из векторной формы задания движения, построенной для произвольного абсо- 183 -
лютно твердого тела (см. (3.2.1) в §2). Затем дополнить уравнения, указанные в этой
форме, связями (3.14.12), справедливыми для плоской фигуры.
С учетом обозначений, принятых в данном параграфе, уравнения (3.2.1) в §2
применительно к плоской фигуре примут вид







r (t )  r  (t )   (t ) , ( r (t ), k )  0 , ( r  (t ), k )  0 , (3.14.13)
O
O

где



 (t )  x i (t )  y j (t ) .
В них x , y обозначают координаты точки P в связанной системе (постоянные вели

чины), а i (t ) и j(t ) — вектор-функции, описывающие ориентацию плоской фигуры.
Таким образом, соотношения (3.14.13) — это векторная форма задания движения плоской фигуры в абсолютном пространстве.
Координатный способ задания движения плоской фигуры получим, если
(3.14.13) запишем в проекциях на абсолютные оси. Тогда с учетом (3.14.10) — (3.14.12)
будем иметь:
x  xO  x cos  (t )  y sin  (t ) , y  yO  x sin  (t )  y cos  (t ) , z  0 . (3.14.14)
Здесь xO '  xO ' (t ) , yO '  yO ' (t ) — движение полюса связанной системы координат,
заданное в координатной форме, а    (t ) — угловое движение плоской фигуры.
Из (3.14.13), (3.14.14) следует, что если плоская фигура не является точкой, то
она имеет три степени свободы положения (для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения трех независимых координат: xO ' , y O ' ,  ).
Если плоская фигура — это точка, то для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения двух координат: xO ' , y O ' . Следовательно, она имеет две
степени свободы положения.
Распределение скоростей и ускорений точек плоской фигуры определим из формул Эйлера и Ривальса с учетом соотношения (3.14.11):



   k   k .
В результате получим
 
 
  
V VO     VO   k   ,
 
  


W  WO '   k     2 (k  (k   )) ,
причем, в этих соотношениях имеют место тождества
 
 
 
(  , k )  0 , (VO , k )  0 , (WO , k )  0.
4º. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды
Определение 4.
Точка C плоскости Oxy  плоской фигуры, которая в момент времени t имеет
скорость, равную нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.
Если движение плоской фигуры не является мгновенно поступательным или
мгновенным покоем, то:
1) в плоскости Oxy  плоской фигуры существует единственная точка C , скорость которой в заданный момент времени t равна нулю;
2) все другие точки плоской фигуры имеют такие скорости, какими они были бы
при мгновенном вращении вокруг этой точки C .
- 184 -
Доказательство.
Докажем первое утверждение. Будем смотреть на формулу Эйлера для скоро
стей точек плоской фигуры как на уравнение, задающее неявно вектор-функцию  в


зависимости от значения скорости V . Решив это уравнение относительно  , найдем
тем самым положения всех точек, имеющих одинаковые скорости. Затем, положив

V  0 , установим все точки, имеющие нулевую скорость.
Согласно формуле Эйлера, указанное уравнение имеет вид
 
 
V VO   k   .

Перенесем VO в левую часть равенства и умножим обе части равенства векторно

на орт k слева. Получим
  
  
  

k  (V VO )   k  ( k   )   (k ( k ,  )   k 2 ).
 
Поскольку (k ,  )  0 , то отсюда находим
  

  k  (V VO ) .
Согласно условию теоремы имеем  (t )  0 . Поэтому при любом t справедливо
равенство
 

1 
(3.14.15)
 
k  (V VO ) .
 (t )

Из (3.14.15) заключаем, что если  (t )  0 , то между положением  точки плоской фигуры и ее скоростью выполняется взаимно однозначное соответствие.


Положим в (3.14.15) V  0 . Этим самым найдем положение  c той единствен
ной точки C плоской фигуры, которая имеет скорость Vc  0 в момент времени t . Оно
будет определяться по формуле:

1  
(3.14.16)
c  k  VO .

Первое утверждение теоремы 1 доказано. Справедливость утверждения 2) будет
установлена, если в формуле Эйлера в качестве точки O  возьмем точку C . В результате она примет вид
    
 
V Vc    (   c )    c ,

где  c — радиус-вектор точки P относительно точки C . Теорема доказана.
Определение 5.
Геометрическое место положений МЦС при всех t в абсолютном пространстве называется неподвижной центроидой.
Геометрическое место положений МЦС при всех t в подвижном пространстве, связанном с плоской фигурой, называется подвижной центроидой.
Выведем уравнения подвижной и неподвижной центроиды.
Уравнение (3.14.16) задает положение МЦС относительно подвижного полю
са O  в векторной форме. В этом уравнении c  OC .
Проектируя его на подвижные оси, получим выражения для координат МЦС в
подвижном пространстве в зависимости от времени t . Построенные таким способом
выражения будут задавать уравнения подвижной центроиды в параметрической форме.
В них время t выступает как переменный параметр. Итак, умножая (3.14.16)


скалярно на i  и на j  , получим
- 185 -
1   
1  
1
( k ,VO ' , i )   (VO ' , j )   VO ' y  ,




1 
1  
1
y c  ( k ,VO  , j  )  (VO ' , i )  VO ' x  .






Если учесть, что проекции скорости VO полюса подвижной системы на оси

Ox , Oy выражаются через угол  (t ) и проекции вектора VO (t ) на абсолютные оси
по формулам
VOx  VOx cos   VOy sin  ,
,
VOy    VOx sin   VOy cos 
то окончательно получим параметрическое уравнение подвижной центроиды:
1
x c 
(VO x (t ) sin  (t )  VO y (t ) cos  (t )) ,
 (t )
1
y c 
( VO x (t ) cos  (t )  VO y (t ) sin  (t )) .
 (t )
Здесь VO 'x (t ) , VO ' y (t ) ,  (t ) — функции, определяемые из уравнений движения плоской
фигуры.
Для вывода уравнений неподвижной центроиды запишем векторное соотноше
ние, задающее положение МЦС rc  OC относительно полюса абсолютной системы координат с его положением относительно подвижного полюса O  .

Радиус-вектор rc связан с положением МЦС в подвижной системе (с вектором

c  OC ) соотношением
  
rc  rO  c ,

где rO  OО — положение полюса O  подвижной системы. Из него, учитывая (3.14.16), находим
  1 
(3.14.17)
rc  rO  k  VO .

Обозначим x c , y c — координаты МЦС в абсолютной системе. Умножим


(3.14.17) скалярно на i и j . Получим уравнения неподвижной центроиды, записанные
в параметрической форме:
1
x c  x O  ( t )  VO ' y ( t ) ,

.
1
y c  y O  ( t )  VO ' x ( t )

Здесь xO ' (t ) , yO ' (t ) ,  (t ) , VO ' y (t ) , VO 'x (t ) — функции, определяемые из уравнений двиx c 
жения плоской фигуры. Время t играет роль внутреннего параметра кривой.
Справедлива следующая теорема Пуансо, которую приведем без доказательства.
Теорема 2 (Пуансо).
Подвижная и неподвижная центроиды в любой момент времени t касаются
друг друга в точке, совпадающей в этот момент времени t с мгновенным центром
скоростей.
Подвижная центроида при изменении t катится по неподвижной центроиде
без проскальзывания.
- 186 -
5º. Геометрические способы построения МЦС

5.1. Построение МЦС по скорости VA одной точки и по угловой скорости 
Пусть известна угловая скорость  плоской фигуры и скорость одной из ее то
чек в некоторый момент времени. Точку обозначим A , а ее скорость VA . Покажем, как
построить МЦС в такой ситуации.
По формуле (3.14.16) (принимая за O  точку A ) можем записать
 1  

 c  ( k  VA ) ,
где c  AC .

Отсюда следует:


1) вектор  c ортогонален VA ;

VA

c 
2)
— расстояние от точки A до МЦС;

  
3) если   0 , то тройка векторов ( k , VA , c ) — правая; если   0 , то эта
тройка векторов — левая.
Из данных свойств получаем следующее правило построения МЦС
(см. рис.3.14.4):

1) через начало вектора VA (через точку A ) проводим прямую, ортогональную

скорости VA ;
2) вычисляем d 
VA

;


3) если   0 , то поворачиваем вектор скорости VA вокруг точки A на угол
2
против часовой стрелки, и вдоль построенной прямой откладываем от точки

A отрезок длиной d  0 в направлении повернутого вектора VA .
(   0 )
C
d

VA
A
d
(   0 )
C
Рис.3.14.4
В результате такого построения получаем точку C , совпадающую с концом отложенного отрезка. Эта точка является искомым МЦС;


4) если   0 , то поворот вектора скорости VA вокруг точки A на угол
дела2
ем по часовой стрелке, и строим МЦС по правилу, указанному во второй части третьего пункта, а именно:
- 187 -
вдоль построенной прямой откладываем от точки A отрезок длиной d  0 в

направлении повернутого вектора VA . Искомый МЦС, как и в ситуации
  0 , будет совпадать с концом отложенного отрезка.
5.2. Построение МЦС по скоростям, заданным в двух точках

Пусть заданы точка A и ее скорость VA , а также точка B и ее скорость
построить (геометрически) точку C (МЦС).
В соответствии с формулой (3.14.16) можем записать
1  
1  
AC  ( k  VA ) ,
BC  ( k  VB ) .


Из этих соотношений вытекает:

AC
VA
1.
  ,
VB
BC


2.
вектор AC ортогонален VA , вектор BC ортогонален VB .

VB . Надо
(3.14.18)
(3.14.19)
Рассмотрим три ситуации, представленные схематично на рисунках 3.14.5,
3.14.6, 3.14.7.


В ситуации а), изображенной на рисунке 3.14.5, скорости VA и VB коллинеарны
и сонаправлены. Очевидно, в этом случае для существования МЦС необходимо, чтобы


VA  VB . В противном случае будем иметь   0 , т.е. плоская фигура совершает поступательное движение.
Согласно следствию 2 из формулы Эйлера, в ситуации а) прямая AB должна


быть ортогональна скоростям VA и VB . Поскольку МЦС находится на прямой, ортого

нальной скоростям VA и VB , то он будет находиться на прямой AB .
а)
A

VB
B
C
Рис.3.14.5

VA
б)

A VA
A
в)
A

VA
A
B
C

B VB B
Рис.3.14.6.

VB
C
B
Рис.3.14.7


Из (3.14.18) следует, что AC и BC сонаправлены, поскольку векторы VA и VB
сонаправлены. Следовательно, точка C находится на прямой, соединяющей точки A и
B , и не принадлежит отрезку AB .


Соединим концы векторов VA и VB прямой и продолжим ее до пересечения с
прямой AB . Из треугольников AAC и BBC следует, что
- 188 -

VA

  .
BC
BB VB
AC
AA
Данное отношение совпадает с отношением (3.14.19). Следовательно,
точка C — это МЦС.


В ситуации б), изображенной на рисунке 3.14.6, скорости VA и VB коллинеарны
и противоположно направлены. В таком случае согласно тому же следствию 2 из фор

мулы Эйлера вытекает, что AB VA и AB VB .
Из (3.14.18) заключаем:
1)
МЦС находится на прямой AB ;
2)
МЦС находится между точками A и B , поскольку AC и BC противоположно направлены.


Соединим концы скоростей VA и VB (точки A и B ) прямой AB . Построенная
прямая пересечет прямую AB в точке C . Из подобных треугольников AAC и BBC
находим:

AC
AA VA

  .
BC
BB VB
Это отношение совпадает с отношением (3.14.19). А потому точка C является
мгновенным центром скоростей.


В ситуации в), изображенной на рисунке 3.14.7, скорости VA и VB не коллине
арны. Тогда точка C должна находиться на прямых, ортогональных скоростям VA и



VB . Если через точку A и точку B проведем прямые, ортогональные VA и VB , то их
пересечение даст единственную точку C .
Очевидно, построенная таким образом точка C совпадает с МЦС.
Данное утверждение следует из того факта, что МЦС должен находиться на указанных перпендикулярах, а также из теоремы существования и единственности МЦС.
Примечание.
Следует иметь в виду, что согласно следствию 1 из формулы Эйлера для задан

ных скоростей VA и VB должно выполняться равенство
 
 
 AB
.
(VA , e )  (VB , e ) , где e 
AB
Поэтому прежде, чем делать построение МЦС, в ситуации в) следует проверить


выполнение равенства проекций заданных скоростей VA и VB на прямую AB с направляющим вектором AB .
Если проекции не равны по величине или противоположны по направлению, то
задача построения МЦС в ситуации в) не имеет решения, так как исходные данные некорректны.
6º. Мгновенный центр ускорений
Определение 6.
Точка Q плоскости Oxy  плоской фигуры, имеющая ускорение, равное нулю в
момент времени t , называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).
- 189 -
Теорема 3.
Если в некоторый момент времени t справедливы соотношения    (t )  0 и
  (t )  0 , то в этот момент времени существует единственная точка Q плоской
фигуры, ускорение которой равно нулю.
Доказательство.
Согласно формуле Ривальса, для любой точки P плоской фигуры можем записать:
 
  
 
 


(3.14.20)
W WО   k     2 [k  (k   )] WО   k     2  ,
где    ,    .



Считая W известным, найдем из (3.14.20) зависимость  от вектора W . Для

этого умножим (3.14.20) векторно на орт k слева. Получим

  
 
 
 

k  (W WО )   k  (k   )   2 (k   )       2 (k   ) .
Соединяя с уравнением (3.14.20), приходим к системе векторных уравнений от 

носительно  и (k   ) :
 
 
 





 (k   )   2   W  WO ' ,
  2 (k   )     k  (W  WO ' ) .
Из нее, умножая первое уравнение на  2 , а второе на  и складывая, получим






 ( 4   2 )    2 (W  WO ' )   (k  (W  WO ' )) .

Разрешая относительно  , окончательно будем иметь






1
  4 2 [ 2 (WO '  W )   ( k  (WO '  W ))] .
 

Положим в правой части W  0 и тем самым найдем положение точки Q , которая будет иметь ускорение, равное нулю. Очевидно, такая точка единственная в силу


однозначной зависимости  от W . Ее положение определяется формулой:
 


1
Q  4
( 2 WO '   k  WO ) .
2
 
Теорема доказана.
Если точку Q принять за полюс связанной системы в момент t , то формула Ри
вальса для ускорения W любой точки P плоской фигуры будет иметь вид:
 
  
 


W   k     2k  (k   )   k     2  ,

где    ,    ,   QP — радиус-вектор точки P плоской фигуры относительно точки Q . Из нее находим величину ускорения.
 2
 2
W  ( 2   4 ) 
§15. Примеры решения задач и вопросы
15.1. Примеры решения задач к разделу «Глава 3»
В этом пункте приводятся примеры использования теоретического материала,
изложенного в третьей главе, для решения задач кинематики твердого тела. Задача 1
посвящена движению твердого тела с неподвижной точкой. В задачах 2-4 рассматривается плоское движение твердого тела. В частности, в задаче 2 находятся уравнения центроид. Задачи 3,4 являются примерами вычисления скоростей точек твердого тела при
- 190 -
плоском движении. Вычисление ускорения точек плоской фигуры приводится в задаче
5. Соответствующий теоретический материал излагается в §13 (задача 1) и §14 (задачи
2-5).
Задача 1. Конус, вершина О которого неподвижна, катится по плоскости без
скольжения (на рисунке 3.15.1 показано осевое сечение конуса вертикальной плоскостью). Высота конуса CO равна h, а угол при вершине равен 90о. Точка С, центр основания конуса, движется вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью  z  2 . Определить скорость конца В диаметра АВ, угловое ускорение конуса  и ускорение точки
В.
Решение: При качении без скольжения мгновенной осью вращения является
образующая ОА – линия соприкосновения поверхности конуса с неподвижной плоскостью Oxy – так как все точки ОА в данный момент имеют скорость, равную нулю. Поверхность конуса будет подвижным аксоидом, а горизонтальная плоскость – неподвижным.
Для определенности, предположим, что конус движется
z
по часовой стрелке. Тогда угловая скорость  z направB
Wвр
лена вниз по оси Oz. Рассмотрим точку С. Она движется
по окружности вокруг оси Oz со скоростью  z  2 .
C
Следовательно, согласно теореме Эйлера, её скорость
WВ Wос
VС
VC  hz cos 45o  h 2
и направлена по оси Ox.
O
A y
С другой стороны, точка С вращается вокруг



мгновенной оси вращения с угловой скоростью  .
z
Следовательно, её скорость можно представить как

 
x
Рис. 3.15.1
VC    l , VC  l  h 2 ,

где l – кратчайшее расстояние от мгновенной оси вращения до точки С. Так как модуль l  h cos 45o , то    z  2  const . Направлена уг
ловая скорость  , согласно векторному произведению, по оси Oy.


Рассмотрим точку В. Её скорость VB    OB . Так как OB  h / cos 45o  h 2 , то
VB    OB  2h 2
и коллинеарна оси Ox.

Определим теперь угловое ускорение конуса. Так как   const , то вектор  изменяется только по направлению, вращаясь вокруг вертикали Oz с угловой скоростью

 z . Тогда, согласно формуле,
 d  
 
 z  
dt

причем вектор  совпадает по направлению с осью Ox. Замечая, что  z   , будем
иметь:
   z  4 2 .
После этого находим по теореме Ривальса, что WB  Wвр  Wос , где вектор Wвр    OB
направлен перпендикулярно к ОВ, а вектор Wос   2  OB перпендикулярен к ОА и
направлен от В к О. По модулю
Wос  4 2 h 2 .
Wвр    OB  4 2 h 2 ,
Оба вектора лежат в плоскости сечения ОАВ и угол между ними равен 90о. Следовательно,
- 191 -
WB  Wвр2  Wос2  64 4 h 2  8 2 h .
Задача 2. Найти геометрически неподвижную и подвижную центроиды шатуна
АВ (рис. 3.15.2), длина которого равна длине кривошипа:
АВ=ОА=r.
Решение: Прежде всего, необходимо построить мгновенный центр скоростей Р
для шатуна АВ. Точка Р – точка пересечения перпендикуляров к скоростям точек А и В
шатуна. Скорость точки В направлена по горизонтали, скорость точки А направлена по
касательной к её траектории, т.е. перпендикулярна кривошипу ОА. Следовательно,
мгновенный центр скоростей – точка пересечения продолжения ОА и перпендикуляра к
ОВ.

y
P

A
O

B
x
Рис. 3.15.2
В качестве неподвижной системы координат выберем оси x и y с центром в точке О.
Принимая AOB   и вычисляя координаты точки Р в системе Oxy, находим:
xP  OP cos  OB  2r cos, yP  BP  OBtg  2r sin .
Исключая из этих уравнений  , получаем траекторию мгновенного центра скоростей в
неподвижной системе координат:
xP2  yP2  4r 2 .
Следовательно, неподвижная центроида – окружность с центром в точке О и радиусом 2r.
За подвижную систему координат примем оси  и  с центром в точке А. Координаты точки Р в системе O
 P  AP cos   r cos  ,  P  AP sin   r sin  .
Исключая из этих уравнений  , получаем траекторию мгновенного центра скоростей в
подвижной системе координат:
 P2   P2  r 2 .
Следовательно, подвижная центроида – окружность с центром в точке А и радиусом r.
Задача 3. Стержень АВ совершает плоское движение. Скорость точки А образует угол 30o со стержнем и равна в данный момент по величине VA . Скорость точки В в
этот же момент составляет угол 60o с продолжением стержня (рис.3.15.3 а). Определить
величину скорости точки В, положение мгновенного центра скоростей, а также угловую скорость стержня, если его длина АВ =l. Найти также скорость точки D, середины
стержня.
Решение:
Способ 1. Воспользуемся для поиска скорости точки В формулой Эйлера. В качестве полюса выберем точку А. Тогда





VB  VA    AB  VA  VAB .
(3.15.1)
- 192 -
Согласно формуле (3.15.1) строим треугольник скоростей. Из произвольной точки от
кладываем в избранном масштабе скорость V A , известную по величине и направлению.


Из конца V A проводим прямую, параллельную VAB , т. е. перпендикулярную к стержню

АВ. Величина вектора VAB неизвестна.

Воспользуемся тем, что известно направление скорости VB . Из начала вектора



V A проводим прямую, параллельную направлению VB , до пересечения с прямой VAB .
Таким образом, получен замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в избранном масштабе определяют скорость точки В и вращательную скорость точки В вокруг полюса А. В этом треугольнике известны одна сторона VA и все три угла
(рис.3.15.3 б). Решая этот треугольник, находим
VA
VB  VAtg 60o  VA 3 .
VAB 
 2VA ,
sin 30o
VA
VA
D
30°
60°
B
A
60°
a)
б)
VB
30°
VB VBA
VA
VA
в)
1
V
2 BA
30°
A
60°
D
B
30°
VD
VD
P
г)
60°
VB
Рис. 3.15.3
Замечая, что
VAB    AB  2 ,
определяем величину угловой скорости:
  VAB .
Скорость точки D середины стержня AB, может быть найдена при помощи формулы
распределения скоростей





VD  VA    AD  VA  1/ 2VAB .
Для построения треугольника скоростей (рис.3.15.3 в) из произвольной точки отклады


ваем скорость V A . Из конца V A откладываем вектор, равный 1 / 2VAB . Соединяя начало


вектора V A с концом вектора 1 / 2VAB , находим искомую скорость точки D. Величина
скорости точки D легко определяется из треугольника скоростей. Две стороны этого
треугольника равны по величине VA  1 / 2VAB , а угол между этими сторонами равен 60о.
Следовательно, этот треугольник равносторонний. Величина скорости точки D равна
также VA .
- 193 -
Способ 2. Эту задачу можно решить и при помощи мгновенного центра скоростей. Для нахождения мгновенного центра скоростей стержня АВ построим перпендикуляры к скоростям точек А и В (рис.3.15.3 г). Пересечение этих прямых определяет
положение мгновенного центра скоростей Р. В прямоугольном треугольнике АВР известны сторона АВ и два прилегающих угла BAP  60o ,
ABP  30o . Находим
мгновенные радиусы AP и BP:
AP  AB sin 30o  l / 2 , BP  AB cos 30o  l 3 / 2 .
Величина угловой скорости стержня
V
  A  2VA / l ,
AP
и, следовательно, величина скорости точки B
VB    BP  VA 3 .
Для определения скорости середины стержня, точки D, проведем мгновенный радиус
PD. Из треугольника ADP следует, что AP =AD = l. Следовательно, треугольник равносторонний и DP = l. Тогда скорость точки D направлена перпендикулярно к мгновенному радиусу DP.
В этой задаче оба метода решения равноценны. Они одинаково быстро позволяют получить ответ на все вопросы, поставленные в задаче. Если бы требовалось найти
лишь величину скорости точки B, то проще всего было бы применить теорему о равенстве проекций скоростей двух точек плоской фигуры на направление отрезка, соединяющего эти точки:
VA cos 30o  VB cos 60o ,
откуда
V cos 30o
VB  A
 VA 3 .
cos 60o
Задача 4. Круглый цилиндр А обмотан тонкой нитью, конец которой B закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Значение
скорости оси цилиндра определяется формулой,
2
V
3gy ,
(3.15.2)
3
где g – ускорение силы тяжести; y – расстояние, пройденное центром цилиндра, отсчитываемое от начального положения по вертикали. Радиус цилиндра равен r. Определить скорости точек обода цилиндра на горизонтальном и вертикальном диаметре.
а)
а)
B
O
x
C
D
A
E
D
A
C
vC
v
yA
H
б)
б)
vH
E
vE
H
y
Рис. 3.15.4
Решение: Выбираем неподвижную систему координат с началом в точке О, где
центр цилиндра находился в начале движения. Ось y направляем по вертикали вниз, ось
- 194 -
x – по горизонтали вправо. Тогда проекция скорости центра цилиндра на вертикальную
ось, равная производной от координаты y по времени, будет
2
Vy  y 
3gy .
3
Разделяя переменные, находим
dy 2

3 g dt .
y 3
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем
2
2 y
3 g t  C1 .
3
Произвольная постоянная интегрирования С1 определяется по начальным данным: при
t=0, y=0. Внося эти данные в последнее уравнение, находим С1=0. Следовательно,
окончательный вид уравнения движения центра цилиндра
g
(3.15.3)
y  t2 .
3
Переходим к определению второго уравнения движения – зависимости угла поворота
цилиндра от времени. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке D.
Следовательно,
V
2
z  z 
3gy .
r 3r
Внося в это уравнение полученное значение y, находим
2g
z 
t.
3r
Но  z  d / dt , следовательно,
2g
d 
tdt .
3r
Переменные разделены. Интегрируя, находим
gt 2

 C2 .
3r
Произвольная постоянная С2 определяется начальными условиями движения:
t  0,   0  C2  0 .
Переходим к определению скоростей точек цилиндра. Мгновенный центр скоростей находится в точке D, где неподвижная часть нити BD соприкасается с цилиндром.
В этом месте скорости точек нити и цилиндра равны между собой и, следовательно,
равны нулю. Скорости остальных точек пропорциональны расстояниям до мгновенного
центра скоростей и перпендикулярны мгновенным радиусам. Для определения модулей
этих скоростей будем учитывать уравнение (3.15.2). Модуль скорости точки E определится из пропорции
V VE
4
 VE 
3gy .
r 2r
3

Направление VE перпендикулярно к мгновенному радиусу DE, т.е. параллельно скорости точки А. Скорости точек C и H равны по модулю, так как они отстоят от точки D на
одинаковых расстояниях DC  DH  r 2 . Модули этих скоростей определяются из
пропорции
V
V
2
 C VC  VH 
6 gy .
r r 2
3
- 195 -
Направлены эти скорости перпендикулярно к мгновенным радиусам CD и HD .
Учитывая уравнение (3.16.3), найдем скорости этих точек как функции времени:
4
2 2
VE  gt ,VC  VH 
gt .
3
3
Задача 5. Прямоугольник ABCD (рис.3.15.5) совершает плоское движение.
Ускорение точки А в данный момент равно wA  2см / c 2 и составляет угол 30о с прямой
АВ. Ускорение точки В равно wB  6см / c 2 и образует угол 60о с прямой ВА. Длины
сторон: АВ = 10 см, BС = 5 см. Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение прямоугольника, а также ускорение точки С.
Решение: Выбираем точку A за полюс. Тогда ускорение точки B, согласно формуле Ривальса
вр
ц
.
(3.15.4)
WB  WA  WBA
 WBA
ц
вр
В формуле (3.15.4) приняты обозначения: WBA
  2  AB .
  k  AB , WBA
Проектируем векторное равенство (3.15.4) на оси х и у (рис.3.15.5 а). В проекции
на ось х имеем
ц
,
WB cos 60o  WA cos 30o  WBA
откуда
вр
WBA
 WB cos 60o  WA cos 30o  4, 73см / с 2 .
Теперь найдем величину мгновенной угловой скорости фигуры:
ц
WBA
 мг 
 0, 69 рад / с .
AB
Проектируя векторное равенство (*) на ось y, получаем
вр
.
WB cos 30o  WA sin 30o  WBA
y
y
WA
A
30°

WBAц
D
x
x
60°
WB
B
A
B
WCBц
WCBвр
WBAвр
D
C
C
60°
WB
а)
б)
Рис. 3.15.5
Отсюда определяется вращательное ускорение точки В:
вр
WBA
 WB cos 30o  WA sin 30o  6,19см / с 2 .
Далее, находим величину мгновенного углового ускорения фигуры:
W вр
 мг  BA  0, 619 рад / с 2 .
AB
Угловое ускорение фигуры направлено по оси z в отрицательную сторону.
Переходим к определению ускорения точки С. Согласно формуле распределения
ускорений, выбирая точку В за полюс, имеем (рис.3.15.5 б):
вр
ц
.
WC  WB  WBC
 WBC
- 196 -
Проектируем это векторное равенство на оси х и у, находим
вр
Wx  WB cos 60o  WBC
 6, 095см / с 2 ,
ц
Wy  WB cos30o  WBC
 2,825см / с 2 .
Теперь легко найдется модуль ускорения точки C:
WC  Wx2  Wy2  45  6, 7см / с 2 .

Направление WC определяется формулами

W
cos WC , x   x  0,906 ,
WC
W

cos WC , y   y  0,422 .
WC
15.2. Вопросы для тестирования к разделу «Глава 3»
Что такое связанная система координат?
Какими свойствами обладают жесткие системы?
Перечислите способы задания движения твердого тела.
Каков геометрический смысл матрицы ориентации?
Как вводятся углы Эйлера?
Что такое самолетные и корабельные углы?
Сколько степеней cвободы положения имеет свободное твердое тело?
Что называется мгновенной угловой скоростью подвижной системы координат?
Как связана угловая скорость подвижной системы координат со скоростью изменения направления базиса (формула Эйлера)?
10. Как определяется мгновенной угловое ускорение подвижной системы координат?
11. Сколько векторов мгновенной угловой скорости имеет твердое тело?
12. Приведите формулу Эйлера для скоростей точек твердого тела.
13. Что называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной
точки»?
14. В каких мгновенных состояниях твердого тела скорости всех его точек одинаковы?
15. Какая формула позволяет вычислить ускорение любой точки твердого тела?
16. Какими свойствами обладает поступательное движение?
17. Как направлены вектора угловой скорости и углового ускорения при вращении
твердого тела вокруг неподвижной оси?
18.Дайте определение сферического движения твердого тела?
19.Что такое мгновенная ось вращения?
20. Что называется подвижным и неподвижным аксоидами?
21. Как определяется плоское движение твердого тела?
22. Что такое мгновенный центр скоростей и каковы геометрические способы его
построения?
23. Сформулируйте теорему Пуансо о центроидах.
24. Что называется мгновенным центром ускорений?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
- 197 -
ГЛАВА 4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§1. Сложное движение материальной точки
1º. Постановка задачи о сложном движении точки
С абсолютным пространством свяжем систему отсчета Oa (см. рис.4.1.1).

z
P

 (t )
y

k (t )

k0
Oa


i0

j (t )

r (t )

rO (t )

j0
O

i (t )
x

Рис.4.1.1

Обозначим r  Oa P — положение произвольной точки P относительно точки
  
отсчета Oa ; i0 , j0 , k 0 — ортонормированный базис системы отсчета Oa ;  ,  , 
— координаты точки P в этой системе. Тогда можем записать




r   i0   j0   k0 .
Пусть задано движение точки P в абсолютном пространстве с системой отсчета
Oa по закону



 
r  r (t )   (t ) i0   (t ) j0   (t ) k0 .
(4.1.1)
В пространстве Oa выберем другую декартовую прямоугольную систему
  
координат с полюсом в точке O и ортонормированным базисом i , j , k . Положение

точки P в ней обозначим   OP , а её координаты — x , y , z . В этих обозначениях
положение точки P в системе Oxyz задается следующим разложением по базисным
  
векторам i , j , k :




(4.1.2)
  xi  y j  z k .
Определение 1.
Будем говорить, что система координат Oxyz является подвижной системой
координат в абсолютном пространстве Oa , если и (или) ее полюс O совершает
  
движение в абсолютном пространстве, и (или) базис i , j , k изменяет свою ориентацию с течением времени.
- 198 -

Обозначим rO — положение точки O в системе Oa и A — матрицу перехода от системы координат Oxyz к системе Oa . Чтобы задать движение системы

Oxyz , необходимо задать вектор-функцию rO (t ) и ортогональную матрицу A (t ) , по
которым в каждый момент времени t должны вычисляться положение полюса O и
матрица ориентации A системы Oxyz :


(4.1.3)
rO  rO (t ),
А  А(t ) .

Если координаты вектор-функции rO (t ) в системе Oa
обозначить
 O (t ) ,  O (t ) ,  O (t ) , то первое равенство в (4.1.3), задающее движение полюса O , можно записать в виде:




(4.1.4)
rO  O (t ) i0  O (t ) j0   O (t ) k0 .
Если известно положение (4.1.2) точки P в подвижной системе Oxyz и задано движение (4.1.3) этой системы, то положение точки P в абсолютном пространстве можно
считать также известным. Оно определяется по формулам преобразования координат.
Определение 2.
Будем называть подвижным пространством, связанным с системой отсчета
Oxyz , множество точек P , которые в этой системе отсчета сохраняют значения
своих координат неизменными с течением времени t .
Иначе говоря, согласно определению 2, точки подвижного пространства находятся в покое относительно системы отсчета Oxyz . Его можно интерпретировать как
некоторое фиктивное твердое тело неограниченных размеров, для которого система
Oxyz является связанной системой координат.
Определение 3.
Движение точки P по отношению к абсолютной системе координат Oa
называется абсолютным движением.

Абсолютное движение точки P задается вектор-функцией r (t ) и соотношением (4.1.1):



 
r  r (t )   (t ) i0   (t ) j0   (t ) k0 .
Определение 4.
Движение точки P по отношению к подвижной системе координат Oxyz
называется относительным движением.
Движение точки P в подвижном пространстве Oxyz будем определять дважды

непрерывно дифференцируемой вектор-функцией  r (t ) , которая в каждый момент
времени t задает положение точки P в системе координат Oxyz . А это значит, что в
каждый момент времени t имеет место равенство:
 
  r (t ) ,
(4.1.5)

где   OP — положение точки P в системе Oxyz , имеющее разложение по базису
  
i , j , k данной системы в виде (4.1.2).

Если xr (t ) , yr (t ) , zr (t ) — координаты вектор-функции  r (t ) в системе Oxyz , то
равенство (4.1.5) примет вид:



 
(4.1.6)
  r (t )  xr (t ) i  yr (t ) j  zr (t ) k .
- 199 -

Таким образом, относительное движение задается вектор-функцией  r (t ) и ра
венствами (4.1.5) или (4.1.6), в которых  обозначает положение точки P в подвиж
ном пространстве, имеющем систему отсчета Oxyz . Индекс r у функции  r (t ) выделя
ет функцию  r (t ) в классе дважды непрерывно дифференцируемых векторных функций как функцию, задающую определенное относительное движение точки.
Определение 5.
Переносным движением пространства будем называть абсолютное движение
всех точек подвижного пространства, связанного с системой отсчета Oxyz , совершающей движение в абсолютном пространстве с системой отсчета Oa .
Иначе говоря, переносное движение пространства — это движение фиктивного
твердого тела в абсолютном пространстве.
Пусть P — произвольная точка фиктивного твердого тела, и ее положение за

дается вектором    OP в системе Oxyz и вектором r   Oa P в системе Oa . Тогда движение точки P в абсолютном пространстве определяется равенством

 
(4.1.7)
r   rO (t )  А(t )   .



Если обозначить правую часть (4.1.7) векторной функцией re (t,  ) , зависящей

от времени t и положения   точки P ,




(4.1.8)
re (t,  )  rO (t )  А(t )  ,
то (4.1.7) перепишется в виде

 
r   re (t,  ) .
(4.1.9)
Очевидно, соотношение (4.1.9), рассматриваемое при всевозможных значениях

векторов   с постоянными координатами в системе Oxyz , задает семейство движений

в абсолютном пространстве, зависящее от векторов   . Согласно определению 5 это
семейство называется переносным движением пространства в задаче о сложном движении точки.

Если фиксировать какое-либо одно значение   в системе отсчета Oxyz , то век

тор-функция re (t,  ) выделяет из семейства (4.1.9) движение в абсолютном простран
стве той точки P , которая занимает неизменное положение OP    в подвижном
пространстве. Поэтому ее движение и кинематические характеристики определяются
по тем методам и формулам, которые разработаны в кинематике твердого тела и жестких систем.
Определение 6.
Переносным движением точки P называется абсолютное движение точки P
фиктивного твердого тела, с которой по своему положению в момент времени t совпадает точка P .
Из определения 6 вытекает, что переносное движение точки P задается равен


ствами (4.1.8)-(4.1.9), в которых следует положить     , где   OP — фиксированное в момент времени t положение точки P в системе отсчета Oxyz . Иначе говоря, переносное движение точки P определяется по формуле

   
r   re (t ,  )  rO (t )  A(t )  .
(4.1.10)
- 200 -



В вектор-функции re (t ,  ) от времени t зависят только rO (t ) и матрица ориен

тации A(t ) , а вектор  остается неизменным. Слева стоит вектор r   Oa P , которым
определяется положение точки P в абсолютном пространстве при ее переносном движением.
Определение 7.
Абсолютное движение точки P , задаваемое ее переносным и относительным
движением, называется сложным движением этой точки.
Основная задача кинематики сложного движения:
установить связь между абсолютным движением точки и ее движениями переносным и относительным;
– установить связь между кинематическими характеристиками указанных
движений точки.
–
Движения переносное и относительное называются составляющими сложного
движения материальной точки.
2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении
материальной точки
Найдем связь между абсолютным, переносным и относительным движениями
материальной точки.
Пусть в фиксированный момент времени t точка P занимает в абсолютном
 
пространстве положение r  r (t ) . Согласно определению ее переносного движения в
этот момент времени точка P по положению совпадает с той точкой P фиктивного

твердого тела, которая занимает в абсолютном пространстве положение r   Oa P , вычисляемое по формуле (4.1.10) переносного движения

  

r   re (t ,  )  rO (t )  А(t )  .

В этой формуле   OP — положение точки P в системе Oxyz , совпадающее в мо
мент времени t с положением OP    точки P .


Из совпадения в момент времени t положений r  Oa P и r   Oa P в абсолютном
пространстве точек P и P следует равенство

 
r (t )  re (t,  ) .
(4.1.11)

Согласно определению относительного движения положение   OP точки P в
системе Oxyz в момент времени t определяется по формуле



 
(4.1.12)
   r (t )  xr (t ) i  yr (t ) j  zr (t ) k .
Подставляя (4.1.12) в (4.1.11), приходим к формуле связи абсолютного движения
точки и составляющих движений



r (t )  re (t,  r (t )) .
(4.1.13)
Этот результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема.

Абсолютное движение r (t ) точки P является суперпозицией её переносного

 
движения re (t ,  ) и относительного движения  r (t ) .
Данная теорема называется теоремой связи абсолютного движения и составляющих движений в сложном движении точки.
- 201 -
 
Формулу (4.1.13) можно записать в другом виде. Поскольку функция re (t ,  )
определяется по формуле (4.1.10), то (4.1.13) принимает вид



(4.1.14)
r (t )  rO (t )  A r (t ) .
§2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки
1º. Понятие кинематических характеристик составляющих движений
материальной точки
Определение 1.
Абсолютной скоростью точки P называется вектор

 dr


Va 
  i0   j0   k0 .
dt
Абсолютным ускорением точки P называется вектор






dV
d 2r
Wa  a  2  i0   j0   k0 .
dt
dt
(4.2.1)
(4.2.2)
Определение 2.
Относительной скоростью точки P называется вектор
~

 d r


(4.2.3)
Vr 
 xr i  y r j  zr k .
dt
Относительным ускорением точки P называется вектор

 d~Vr d~ 2 r


(4.2.4)
Wr 

 xr i  yr j  zr k .
2
dt
dt
~
d
В (4.2.3) и (4.2.4) оператор
обозначает относительную производную вектора,
dt
заданного своими координатами в подвижных осях (производная вектора, заданного
проекциями на подвижные оси). По определению такой производной (условной производной) осуществляется дифференцирование по времени только координат вектора, а
базисные векторы, хотя они и меняются по времени, не дифференцируются.
Определение 3.


Переносной скоростью Ve и переносным ускорением We точки P в момент
времени t называются абсолютные скорость и ускорение точки P фиктивного твердого тела, положение которой в этот момент совпадает с положением точки P .
Определение 4.

Переносной мгновенной угловой скоростью e и переносным мгновенным угло
вым ускорением  e называются мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое
ускорение подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства.
Из определения 4 и определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат (см. гл.3, §8) следует




1   di  dj  dk 
(4.2.5)
e  i 
 j k 
.
2
dt
dt
dt 

Вектор e является решением уравнений Эйлера
- 202 -



 
 
 
di
dj
dk
(4.2.6)
 e  i ,
 e  j ,
 e  k ,
dt
dt
dt

 
   d i dj dk
в которых вектора i , j , k , ,
,
вычисляются на заданном движении
dt dt dt



i (t ), j (t ), k (t ) базиса системы Oxyz в фиксированный момент времени t .


Вектор  e мгновенного углового ускорения переносного движения связан с e
зависимостью

 d
(4.2.7)
e  e .
dt


Выведем формулы для переносной скорости Ve (t ) и переносного ускорения We
точки P .

В соответствии с определением 3 переносная скорость Ve (t ) точки P в момент

времени t совпадает с абсолютной скоростью V p (t ) той точки P фиктивного твердого
тела, которая в этот момент совпадает по своему положению с точкой P .

Абсолютная скорость V p (t ) любой точки P твердого тела задается формулой
Эйлера



Vp (t )  VО (t )   (t )  OP ,


где OP    — положение точки P в системе Oxyz ; VО (t ) — абсолютная скорость

полюса O ;  (t ) — вектор мгновенной угловой скорости фиктивного твердого тела.
Поскольку по определению фиктивного твердого тела система Oxyz является

для него связанной системой координат, то вектор угловой скорости  (t ) фиктивного
твердого тела совпадает с вектором угловой скорости этой системы. Вектор угловой
скорости системы Oxyz , согласно определению 4, является вектором переносной мгно


венной угловой скорости  e (t ) . Следовательно,  (t )  e (t ) .

Кроме того, согласно определению 3, положение    OP точки P совпадает в

момент времени t с положением  точки P , которое, в свою очередь, на относитель 
ном движении совпадает с   r (t ) .

 


Поэтому, подставляя  (t )  e (t ) и OP       r (t ) в выражение для скоро

сти V p (t ) и учитывая, что согласно определению 3 переносная скорость Ve (t ) точки P

совпадает со скоростью V p (t ) точки P , окончательно находим




Ve (t )  VО (t )  e (t )  r (t ) .
(4.2.8)
Действуя аналогично, по определению 3 получим выражение для переносного

ускорения We точки P , используя формулу Ривальса для ускорения точек твердого
тела


 

 
We (t )  WО (t )   e  r (t )  e  (e  r (t )) .
(4.2.9)

2


d r
dV
Здесь WО (t )  2О  О — абсолютное ускорение точки O ;  e — вектор
dt
dt

мгновенной угловой скорости переносного движения;  e — вектор мгновенного угло
вого ускорения подвижной системы координат Oxyz , определяемый по вектору  e по
- 203 -
 
формуле (4.2.7);   r (t ) — радиус-вектор точки P в момент времени t относительно
полюса O подвижной системы, заданный проекциями на подвижные оси.
2º. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях на подвижные оси
Выведем формулу для дифференцирования любого вектора, заданного своими
проекциями на подвижные оси.

Итак, пусть вектор a (t ) задается в проекциях на подвижные оси:




a (t )  ax (t ) i (t )  a y (t ) j (t )  az (t ) k (t ) ,



где i (t ) , j (t ) , k (t ) — орты подвижной системы координат, ax (t ) , a y (t ) , az (t ) — коор
динаты вектора a (t ) в этой системе координат. Дифференцируя по t обе части равенства, получим







da
di
dj
dk
.
(4.2.10)
 a x i  a y j  a z k  ax
 a y  az
dt
dt
dt
dt
По определению относительной производной можем записать
 d~a


.
a x i  a y j  a z k 
dt
Согласно формулам (4.2.6) Эйлера будем иметь






 
 
  
 
di
dj
dk
ax
 a y  az
 axe  i  a ye  j  aze  k  e  (ax i  a y j  az k )  e  a .
dt
dt
dt
Поэтому, подставляя в правую часть равенства (4.2.10) полученные выражения для
сумм векторов, окончательно находим:
 ~
da d a  
(4.2.11)

 e  a .
dt dt
Формула (4.2.11) устанавливает правило дифференцирования по времени любого
вектора, заданного в проекциях на подвижные оси.
3º. Теорема о сложении скоростей
Следующая теорема называется теоремой о сложении скоростей. Докажем ее.
Теорема.
Абсолютная скорость точки P в сложном движении равна сумме переносной
скорости точки P и ее относительной скорости, т.е. справедливо равенство

 
Va  Ve  Vr .
(4.2.12)
Доказательство.

Как показано в п.2º§1, положение r (t ) точки P в абсолютном пространстве в
момент времени t можем представить в виде суммы (см. рис. 4.2.1)



r (t )  rO (t )   (t ) ,
(4.2.13)

где rO (t ) — положение в абсолютном пространстве полюса O подвижной системы

Oxyz , задаваемое в момент времени t проекциями на неподвижные оси;  (t ) — положение точки P в момент времени t относительно полюса O , задаваемое проекциями
на подвижные оси.
Дифференцируем равенство (4.2.13) по времени t :
- 204 -
 dr  d
.
Va 
 VО 
dt
dt

Согласно (4.1.6) из §1 вектор-функция  (t ) задается в проекциях на подвижные



оси, так как  (t )  r (t ) . Применяя к вектору  (t ) формулу (4.2.11), получим
~
  d  d  r  
(4.2.14)
Va  VО 
 VО 
 e   r .
dt
dt

P


 (t )   r (t )

k0
Oa

i0


r (t )
O

rO (t )

j0

Рис.4.2.1
В правой части этого равенства имеем:

– в соответствии с определением 1 из §2, VО — это абсолютная скорость точки O
(полюса подвижной системы);
~
d r 
 Vr — относительная скорость
– в соответствии с определением 2 из §2,
dt
точки P ;
  

– согласно формуле (4.2.8), VО  e   r  Ve (t ) — переносная скорость точки P .


Заменяя в правой части (4.2.14) указанные выражения на Vr и Ve , придем к равенству (4.2.12). Теорема доказана.
4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении
материальной точки
Докажем следующую теорему, которая называется теоремой о сложении
ускорений.
Теорема Кориолиса.
Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме переносного



We , относительного Wr и кориолисова Wk ускорений, где

 
Wk  2 (e Vr ) .
(4.2.15)
Доказательство.
Дифференцируя (4.2.12), получим
- 205 -



~

 
dVa dVe dVr d 
d Vr  
Wa 


 (VO  e   r ) 
 e  Vr 
dt
dt
dt
dt
dt


  
   d
 WO   e   r  e  r  Wr  e  Vr 
dt
~

  
  
 
d
 WO   e   r  e  ( r  e   r )  Wr  e  Vr 
dt





  
 
 
 WO   e   r  e  (e   r )  Wr  2e  Vr  We  Wr  Wk .
В этих преобразованиях использовали:
– формулу (4.2.8) для переносной скорости точки P ;
– выражение (4.2.3) для относительной скорости точки P ;


– применительно к векторам  r и Vr формулу (4.2.11) дифференцирования вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси
 ~
 ~
d d  r  
dVr d Vr  

 e   r ,

 e  Vr .
dt
dt
dt
dt
А также применили формулы:

– (4.2.2) для абсолютного ускорения Wa точки P ;

– (4.2.9) для переносного ускорения We ;

– (4.2.4) для относительного ускорения Wr ;

– (4.2.15) для кориолисова ускорения Wk .
Теорема доказана.
§3. Сложное движение твердого тела
1º. Постановка задачи о сложном движении твердого тела
Будем говорить, что тело совершает сложное движение, если оно движется в
пространстве, которое, в свою очередь, движется, т.е. является подвижным пространством.
Определение 1.
Движение твердого тела относительно подвижного пространства и движение
подвижного пространства относительно абсолютного называются составляющими
сложного движения твердого тела.
Подвижное пространство (в котором движется твердое тело) может совершать
движение в другом подвижном пространстве, т.е. в пространстве, движущемся в абсолютном. Тогда также говорят, что это дополнительное подвижное пространство является составляющим движением сложного движения. Очевидно, в общем случае можем
говорить, что твердое тело совершает сложное движение с n составляющими движениями.
Основными задачами кинематики сложного движения является задача установления связи между абсолютным движением твердого тела и составляющими движениями, а также задача установления связи между кинематическими характеристиками составляющих движений и абсолютного движения твердого тела.
Будем рассматривать решение указанных задач в случае n  2 . Результаты решения задач для n  2 легко распространяются на случай n  2 .
- 206 -
Прежде чем приступить к решению поставленных задач, введем понятия мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения переносного и относительного движения твердого тела. Для этого сначала введем обозначения
(см. рис.4.3.1):
– Oa — абсолютная система координат с полюсом в точке Oa
  
и базисом i0 , j0 , k 0 ;
– Oxyz — подвижная система координат с полюсом в точке O
  
и базисом i , j , k ;
– Cxyz — связанная с твердым телом система координат с полюсом в точке C
  
и базисом i  , j  , k  ;
–
A1 (t ) — матрица ориентации подвижной системы Oxyz в абсолютном простран(1)
стве, иначе, матрица перехода от Oxyz к Oa ; A1 (t )  a
(t ) ,  ,   1,2,3 ;
–
A 2 (t ) — матрица ориентации твердого тела в подвижном пространстве Oxyz ,
( 2)
иначе, матрица перехода от Cxyz к Oxyz ; A2 (t )  a
(t ) ,  ,   1,2,3 .
y
z

k0
Oa

i0

y
z


j
 
k i
O

rО

k
C
x

rc

r

rc

r

j

i
x


P


j0
Рис.4.3.1
Пусть P — произвольно выбранная точка твердого тела. Введем обозначения
для следующих векторов:






rО  OaO, rс  OaС, rс  OС,   CP, r   OP, r  Oa P .
Здесь

r О — положение полюса O подвижной системы Oxyz относительно точки отсчета Oa , выбранной в абсолютном пространстве; оно задается абсолютными
координатами O ,O ,  O ;

rc — положение полюса C связанной с твердым телом системы координат относительно точки отсчета Oa ; задается абсолютными координатами  c ,c ,  c ;
- 207 -

rc — положение полюса C связанной системы относительно полюса O подвижной системы Oxyz ; задается координатами xc , yc , zc в подвижной системе
Oxyz ;

 — положение точки P твердого тела в связанной системе Cxyz ; задается
координатами x, y, z ;

r  — положение точки P твердого тела в подвижном пространстве Oxyz ; задается координатами x, y, z ;

r — положение точки P твердого тела относительно точки отсчета Oa в абсолютном пространстве; задается абсолютными координатами  ,  ,  .
2º. Связь абсолютного движения твердого тела с его
составляющими движениями
Приступим теперь к решению первой задачи кинематики сложного движения
твердого тела — установим связь между его абсолютным движением и составляющими
движениями. Для этого воспользуемся теоремой связи абсолютного движения и составляющих движений материальной точки, доказанной в §1, п.2º.
Каждая точка P твердого тела совершает сложное движение. В соответствии с



указанной теоремой ее абсолютное движение r (t ) связано с переносным re (t ,  ) и от
носительным  r (t ) движениями по формуле (4.1.13) из §1, п.2º



r (t )  re (t,  r (t )) .
В задаче о сложном движении твердого тела переносное движение точки P
определяется функцией
 


re (t , r )  rО (t )  A1 (t ) r  .

Здесь r   OP – положение точки P в подвижном пространстве Oxyz , которое
 
при построении функции re (t , r ) условно считается постоянным. Относительное движение точки описывается функцией
 

 
r   r (t ,  )  rс (t )  A2 (t )  ,
определяемой из формулы задания движения твердого тела в подвижной системе коор
динат Oxyz . В ней   CP – положение точки P в связанной системе Cxyz . Оно является неизменным в этой системе.

 
 
Суперпозиция функций re (t , r ) и r   r (t ,  ) , задающих переносное и относительное движения точки P , с одной стороны, приводит к соотношению




r (t )  rО (t )  A1 (t )(rс (t )  A2 (t )  ) .
(4.3.1)
С другой стороны, согласно указанной теореме, она определяет связь абсолютного движения и составляющих движений точки P .
Поскольку полученное соотношение (4.3.1) справедливо для любой точки твердого тела, то этим установлена связь абсолютного и составляющих движений твердого
тела.
Итак, доказали следующий результат:
Формула связи абсолютного движения с составляющими движениями твердого
тела в его сложном движении имеет вид




r (t )  rО (t )  A1 (t )(rс (t )  A2 (t )  ) .
- 208 -
3º. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела
в переносном и относительном движениях
3.1. Понятия переносной угловой скорости и переносного углового
ускорения в сложном движении твердого тела
Дадим понятия векторов мгновенной угловой скорости и мгновенного углового
ускорения твердого тела в его переносном движении.
Определение 2.

Переносной мгновенной угловой скоростью 1 и переносным мгновенным угло
вым ускорением 1 твердого тела в его сложном движении называются соответственно вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения
подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства.


Сопоставляя данное определение 2 с определением 4 из §2 для векторов  e и  e ,
видим, что


 
1  e
и
1   e .
 
 


Как и вектор  e , вектор 1 связан с движением базиса i  i (t ) , j  j (t ) ,
 
k  k (t ) системы Oxyz в абсолютном пространстве в любой момент времени t соотношением (4.2.5) §2



 dj  dk 
 1   di
(4.3.2)
1  i 
 j k 
.
2
dt
dt
dt 
 
 
 
В (4.3.2) вектор-функции i  i (t ) , j  j (t ) , k  k (t ) задаются своими проекциями на оси абсолютной системы координат, которые совпадают в каждый момент t с

элементами матрицы A1 (t ) , соответственно: проекции вектор-функции i (t ) совпадают


с элементами первого столбца, j (t ) — второго, k (t ) — третьего столбца. Поэтому
можем записать

 


(1)
(1)
(1)
i  i (t )  a11
(t ) i0  a21
(t ) j0  a31
(t ) k0 ,

 


(1)
(1)
(1)
(4.3.3)
j  j (t )  a12
(t ) i0  a22
(t ) j0  a32
(t ) k0 ,
 



(1)
(1)
(1)
k  k (t )  a13 (t ) i0  a23 (t ) j0  a33 (t ) k0 .



  
d i d j dk
Разложения векторов
,
,
по базису i0 , j0 , k 0 получаются дифференdt dt dt
цированием по времени t соотношений (4.3.3)




di
(1)
(1)
(1)
 a11
(t ) i0  a 21
(t ) j0  a31
(t ) k0 ,
dt




dj
(1)
(1)
(1)
 a12
(t ) i0  a 22
(t ) j0  a32
(t ) k0 ,
(4.3.4)
dt




dk
(1)
(1)
(1)
 a13
(t ) i0  a 23
(t ) j0  a33
(t ) k0 .
dt
- 209 -



d i d j dk
Из них следует, что координаты векторов
,
,
в абсолютной системе в
dt dt dt
момент времени t совпадают с элементами соответствующих столбцов матрицы A 1 (t ) :



di
dj
dk
координаты
— с первым столбцом,
— со вторым,
— с третьим столбцом.
dt
dt
dt


 d

Вектор 1 определяется либо дифференцированием вектора 1 , т.е. 1  1 ,
dt
либо по формуле



 d 2 j  d 2k 
 1  d 2i
(4.3.5)
 1  i  2  j  2  k  2  .
2
dt
dt
dt 



  
d 2i d 2 j d 2 k
В ней разложение векторов
,
,
по базису i0 , j0 , k 0 в любой мо2
2
2
dt
dt
dt
мент времени t получается дифференцированием по t соотношений (4.3.4). Таким
образом, будем иметь




d 2i
(1)
(1)
(1)
 a11
(t ) i0  a21
(t ) j0  a31
(t ) k0 ,
2
dt




d2 j
(1)
(1)
(1)
 a12
(t ) i0  a22
(t ) j0  a32
(t ) k0 ,
(4.3.6)
2
dt




d 2k
(1)
(1)
(1)
 a13
(t ) i0  a23
(t ) j0  a33
(t ) k0 .
2
dt
3.2. Понятия относительной угловой скорости и относительного углового
ускорения в сложном движении твердого тела
Дадим понятия векторов мгновенной угловой скорости и мгновенного углового
ускорения твердого тела в его относительном движении.
Определение 3.

Вектором мгновенной угловой скорости  2 и вектором мгновенного углового

ускорения  2 относительного движения твердого тела называются, соответственно,
вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения твердого тела при его движении относительно подвижной системы координат Oxyz ,
условно принимаемой неподвижной.
Из данного определения следует, что
~
~
~

1  d i   d j   d k  
(4.3.7)
2  i  
 j
 k 
,
2
dt
dt
dt 
~
~ 
~ 
~ 
 d  2 1  d 2i   d 2 j   d 2 k  
(4.3.8)
2 
 i   2  j   2  k   2  .
dt
2
dt
dt
dt 
~
~
d2
d
Здесь
и 2 означают условные производные первого и второго порядка от
dt
dt



вектор-функций i (t ), j (t ), k (t ) , заданных своими проекциями на оси подвижной системы Oxyz через элементы матрицы A 2 (t ) ориентации твердого тела в подвижном
  
пространстве. При таком дифференцировании базис i , j , k системы Oxyz условно
- 210 -
принимается неподвижным. Легко заметить, что выражения (4.3.7) и (4.3.8) для векто

ров  2 и  2 получаются из формул (4.3.2) и (4.3.5) путем замены в правых частях равенств (4.3.2) и (4.3.5):
  
– подвижного базиса i , j , k переносного движения — на базис связанной



системы координат i (t ), j (t ), k (t ) ;
d
– дифференцирования
в абсолютной системе — на условное дифференциdt
~
d
рование
.
dt
  
  
Поскольку векторы i  , j  , k  в проекциях на базис i , j , k «условно неподвижной» системы координат Oxyz в момент времени t задаются элементами соответствующих столбцов матрицы A 2 (t ) перехода от связанной системы к системе Oxyz , то
можем записать

 ( 2)  ( 2) 
( 2)
i   a11
(t ) i  a21
(t ) j  a31 (t ) k ,

 ( 2)  ( 2) 
( 2)
(4.3.9)
j   a12 (t ) i  a22 (t ) j  a32 (t ) k ,

 ( 2)  ( 2) 
( 2)
k   a13 (t ) i  a23 (t ) j  a33 (t ) k .
  
В (4.3.9) векторы i , j , k , вообще говоря, зависят от времени t . Однако в
определении относительного движения твердого тела зависимость их от времени не
учитывается. Иначе говоря, при описании движения твердого тела по отношению к системе отсчета Oxyz полагается, что такое движение тело совершает в пространстве Oxyz , условно принятом за абсолютное пространство.
Тем самым относительное движение тела определяется относительным движе


нием полюса его связанной системы и движением базиса i (t ), j (t ), k (t ) этой системы
  
относительно базиса i , j , k , условно принятого неподвижным.
~
~ ~ 
  
d i  d j d k 
Разложения векторов
,
,
по базису i , j , k получаются дифференdt
dt
dt
цированием по времени t соотношений (4.3.9), причем дифференцируются только
  
( 2)
направляющие косинусы a
,  ,   1,2,3 , а базис i , j , k не дифференцируется:
~
 ( 2)  ( 2) 
di 
( 2)
 a11
(t ) i  a 21
(t ) j  a31 (t ) k ,
dt

~
 ( 2)  ( 2) 
d j
( 2)
 a12
(t ) i  a 22
(t ) j  a32 (t ) k ,
(4.3.10)
dt

~
 ( 2)  ( 2) 
dk 
( 2)
 a13
(t ) i  a 23
(t ) j  a33 (t ) k .
dt
Таким же дифференцированием равенств (4.3.10) строятся разложения векторов
~ 
 ( 2)  ( 2) 
d 2i 
( 2)
 a11
(t ) i  a21
(t ) j  a31 (t ) k ,
2
dt
~ 
 ( 2)  ( 2) 
d 2 j
( 2)
 a12
(t ) i  a22
(t ) j  a32 (t ) k ,
2
dt
~ 
 ( 2)  ( 2) 
d 2k 
( 2)
 a13
(t ) i  a23
(t ) j  a33 (t ) k .
2
dt
- 211 -
3.3. Формулы Эйлера для переносной и относительной угловой скорости


Очевидно, для векторов 1 и  2 в любой момент времени t справедливы формулы Эйлера



 
 
 
di
dj
dk
(4.3.11)
 1  i ,
 1  j ,
 1  k .
dt
dt
dt



~
~
~
di   
dj  
dk   
(4.3.12)
 2  i ,
 2  j ,
 2  k  .
dt
dt
dt
Соотношения (4.3.11) следуют из определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства
Oa (см. определение 4 в §2).
Формулы (4.3.12) вытекают из определения относительной производной от век  
торов i  , j  , k  , заданных своими проекциями на оси подвижной системы Oxyz , и из
определения 3 вектора мгновенной угловой скорости относительно системы Oxyz
(условно принятой неподвижной).
4º. Скорости точек твердого тела в сложном движении
4.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении
Пусть P — произвольная точка твердого тела. Она участвует в сложном движении. Одно движение (переносное) — это движение подвижной системы Oxyz . Другое
движение — относительное (это движение точки P в подвижной системе Oxyz ). Поэтому можем применить теорему о сложении скоростей:
  
Va  Ve  Vr ,
(4.3.13)



где Va — абсолютная скорость, Ve — переносная скорость, Vr — относительная скорость точки P .
По определению переносной скорости можем записать
  
    
 
Ve  VО  1  ( rc   )  VО  1  rc  1   .
   
Поскольку VО  1  rc  Vec — переносная скорость точки C , то переносная ско
рость Ve точки P представляется в виде
 
 
Ve  Vес  1   .
(4.3.14)
По определению относительной скорости точки P согласно формуле Эйлера
для скоростей точек твердого тела имеем
 
 
Vr  Vrc  2   ,
(4.3.15)

где Vrc — относительная скорость полюса связанной системы Cxyz (скорость точ 
ки C относительно системы Oxyz ), 2   — вращательная скорость точки P относительно подвижной системы Oxyz .
Подставляя (4.3.14) и (4.3.15) в (4.3.13), придем к следующему выражению для

скорости Va :
 

  
  
 

Vа  Vес  1    Vrc  2    Vес  Vrc  (1  2 )   .



Поскольку Vес  Vrc  Vас — абсолютная скорость точки C , то окончательно получим
- 212 -


 

(4.3.16)
Vа  Vас  (1  2 )   .
Таким образом, доказали теорему.
Теорема.
Абсолютная скорость любой точки P твердого тела равна сумме абсолютной
скорости полюса C связанной с телом системы координат и векторного произведения
суммы мгновенных угловых скоростей составляющих движений на радиус-вектор
точки P относительно полюса C .
4.2. Теорема о сложении угловых скоростей

Пусть  — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно
абсолютного пространства Oa . Справедливо следующее утверждение.
Следствие 1.

Вектор  мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства в сложном движении равен векторной сумме мгновенных угло
вых скоростей  i , i  1,2 , составляющих движений
  
(4.3.17)
  1  2 .
Утверждение следствия 1 легко распространяется на случай n составляющих
движений.
Следствие 2.
Если твердое тело участвует в n составляющих движениях, то формула (4.3.17) имеет вид:
n


(4.3.18)
   i .
i 1
Действительно, если равенство (4.3.17) будет доказано, то по индукции легко
устанавливается справедливость формулы (4.3.18). Поэтому докажем равенство (4.3.17)
(случай n  2 ).

По формуле Эйлера абсолютная скорость Va любой точки твердого тела опреде
ляется через вектор  следующим соотношением:


 
Vа  Vас     .
(4.3.19)
С другой стороны, рассматривая движение твердого тела как сложное, имеющее
два составляющих движения, согласно формуле (4.3.16) имеем


 

Vа  Vас  (1  2 )   .
  

Сопоставляя с (4.3.19), в силу произвольности  получаем   1  2 , что и требовалось доказать.
Доказанное следствие носит название теоремы о сложении угловых скоростей.
§4. Кинематические уравнения Эйлера
1º. Связь углов Эйлера и их производных

Установим связь вектора  угловой скорости твердого тела с производными от
углов ориентации. В качестве углов ориентации выберем углы Эйлера  ,  ,  . Докажем справедливость следующего равенства




(4.4.1)
   k   n   k .
Здесь:
- 213 -
–
–
–

орт k — направляющий вектор оси Oz абсолютной системы координат;

орт k  — направляющий вектор оси Oz подвижной системы координат, связанной с твердым телом;

орт n — направляющий вектор линии узлов.
Соотношение (4.4.1) называется векторным кинематическим уравнением Эйлера.
В основу вывода этого уравнения положим теорему о сложении угловых скоростей. Обратимся к правилам ввода углов Эйлера для задания ориентации подвижной
системы координат в абсолютном пространстве.
Напомним кинематическую схему
3
1
3



Углы вводились последовательными поворотами:

– на угол  вокруг третьей оси (ось с направляющим ортом k );
– на угол  вокруг линии узлов, совпадающей с тем положением в плоскости, образованной первой и второй осью, которое (положение) займет первая ось после
 
 k k

поворота на угол  ; орт этой оси обозначался n , причем n 
;
sin 
– на угол  вокруг третьей оси, которая является неподвижной в теле; направляю
щий орт этой оси совпадает с ортом k  .
Такие последовательные повороты можно рассматривать как три составляющих
движения:
– первое движение — это вращение системы Ox1 y1 z1 вокруг оси Oz1  Oz относительно абсолютной системы Oxyz ;
– второе движение — это вращение системы Ox2 y 2 z 2 вокруг оси Ox2  Ox1 относительно первой подвижной системы Ox1 y1 z1 ;
– третье движение — это вращение твердого тела вокруг оси Oz  Oz2 относительно
второй подвижной системы Ox2 y 2 z 2 .
Таким образом, каждое составляющее движение является элементарным вращением вокруг одной оси, неподвижной в предшествующей системе координат.
Как было показано в кинематике твердого тела, каждое такое движение имеет
вектор мгновенной угловой скорости вращения относительно предшествующей системы, коллинеарный оси вращения. Причем, проекция его на эту ось совпадает с произ


водной по времени от угла поворота, т.е. i   i ei , где ei — орт оси поворота,  i —
d i
, i  1,2,3 .
dt
Применим приведенные здесь рассуждения к углам Эйлера. Будем иметь
 





  k k


1   k ,
2   n  
,
3   k .
sin 

Теперь для определения  — вектора мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства применим теорему о сложении угловых
скоростей. Согласно этой теореме можем записать
угол поворота,  i 
- 214 -

3




  i   k   n   k .
i 1
Справедливость формулы (4.4.1) доказана.
Запишем уравнение (4.4.1) в проекциях на связанные оси. Для этого последова  
тельно умножим скалярно на орты i  , j  , k  обе части равенства (4.4.1).
Учтем, что


( k , i )  sin  sin  ,
( n , i )  cos  ,
 
 
( k , j )  sin  cos  ,
( n , j )   sin  ,
 
 
( k , k )  cos  ,
( n , k )  0,




  p i   q j   r k .
В результате придем к трем равенствам
p   sin  sin   cos  ,
q   cos  sin    sin  ,
r   cos  .
Разрешая относительно производных  ,  ,  , получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:
 
p sin   q cos 
p sin   q cos 
,   p cos   q sin  ,   r 
cos  .
sin 
sin 
(4.4.2)
Система уравнений (4.4.2) называется кинематическими уравнениями Эйлера.
Они являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно

функций  ,  ,  , если считать в них проекции p , q , r вектора  на связанные оси
заданными функциями времени.
2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера
Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1º, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угло
вой скорости  с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.
Общая схема построения этих уравнений такова.
1. В соответствии с заданной последовательностью поворотов вокруг коорди
натных осей при вводе углов ориентации определяется последовательность  s угловых
скоростей s - ой системы координат относительно ( s  1) - ой системы.

Вектор  s вычисляется по формуле


s   s es ,

где es — орт той оси, номер которой указывается в схеме на этапе ввода угла  s . Эта
ось является общей для систем с номером s и s  1 . Вокруг нее осуществляется поворот на угол  s при построении s - ой системы координат.
Таким образом, в кинематической схеме вместе с углами ориентации
1, 2 , ..., n




указываются вектора s   s es , где es — орт той оси, номер которой задан в схеме.
2. Применяется теорема о сложении угловых скоростей, и для вектора угловой
скорости твердого тела записывается равенство
- 215 -

n

n

  s   s es .
s 1
s 1
Оно рассматривается как векторное кинематическое уравнение, связывающее

проекции вектора  на оси выбранной системы отсчета с введенными углами ориентации и их производными.
Уравнение можно проектировать на связанные оси (или любые другие) и полу
чать явную зависимость проекций вектора  на выбранные оси от углов ориентации и
их производных.
Покажем реализацию данного алгоритма построения кинематических уравнений
на примере самолетных углов.
Для самолетных углов схема их ввода такова:
2


1   j ,

1
3



 2   n,



3   i .

Эта схема дополнена указанием угловых скоростей элементарных вращений. В ней

 
n  i sin  k cos .
По теореме сложения угловых скоростей записываем векторное кинематическое
уравнение




(4.4.3)
   j   n   i  .
Проектируем векторное уравнение (4.4.3) на связанные оси. Умножим его последова  
тельно скалярно на орты i  , j  , k  и учтем следующие соотношения, полученные при
построении матрицы ориентации через самолетные углы:
 
 
( j , i )  sin  ,
(n, i )  0,
 
 
( j , j )  cos  cos  ,
(n, j )  sin  ,
 
 
( j , k )   cos  sin  ,
(n, k )  cos .
В результате придем к трем скалярным уравнениям
p   sin    ,
q   cos  cos    sin  ,
r   cos  sin    cos .

Отсюда, разрешая относительно производных  ,  ,  , находим кинематические уравнения для самолетных углов:
q cos   r sin 
q cos   r sin 
 
,
  q sin   r cos  ,
  р 
sin  .
cos
cos
§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона
1º. Задача Дарбу
В правые части кинематических уравнений Эйлера, построенных в §4, входят
функции p , q , r , являющиеся проекциями вектора мгновенной угловой скорости на
оси, связанные с твердым телом:
p sin   q cos 
p sin   q cos 
 
,   p cos   q sin  ,   r 
cos  .
(4.5.1)
sin 
sin 
Если p , q , r известны как функции времени, то система кинематических уравнений становится замкнутой.
- 216 -
Поставим следующую задачу — определить ориентацию твердого тела, если
известна его мгновенная угловая скорость в любой момент времени и заданы значения
углов ориентации в некоторый фиксированный момент t 0 .
Эта задача называется задачей Дарбу.
При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу
сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных
уравнений Эйлера (4.5.1). Однако эти уравнения имеют следующие особенности, которые необходимо учитывать в процессе построения решения поставленной задачи.
Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.
Во-вторых, правые части уравнений при некоторых значениях углов ориентации
не определены. Тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений, и если твердое тело совершает одно из движений, на которых
углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то
это движение не будет решением данных уравнений.
В связи с отмеченными особенностями, при построении решения задачи Дарбу
должны быть предусмотрены действия по распознаванию таких движений и переход к
интегрированию кинематических уравнений, записанных для других угловых
параметров.
Иначе говоря, после того, как будет установлено, что на искомом решении хотя
бы один из углов ориентации близок к критическому значению, необходимо перейти к
описанию движений другими углами. А именно, такими углами, критические значения
которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации. Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу
Дарбу с использованием выведенных для них уравнений.
Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой
скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут
ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.), поскольку критические значения существуют в кинематических уравнениях, построенных для любых углов ориентации.
Ниже (в п.3º) показано, как избежать указанных трудностей при построении
решения задачи Дарбу.
2º. Кинематические уравнения Пуассона
Откажемся от определения ориентации твердого тела через угловые параметры
и будем вычислять его ориентацию по матрице перехода от связанной системы координат к абсолютной. С этой целью выведем дифференциальные уравнения, по решениям которых могут быть построены элементы указанной матрицы.

Пусть e — орт, неподвижный в абсолютном пространстве. Обозначим  1 ,  2 ,  3
— его проекции на подвижные оси, в качестве которых берем оси связанной с твердым
телом системы координат.
Тогда можем записать




e  1 i    2 j   3 k  .
Продифференцируем по t данное равенство. В результате получим векторное
уравнение следующего вида

~
de
de  
0
e .
(4.5.2)
dt
dt
- 217 -

При дифференцировании учли, что e — орт, неподвижный в абсолютном пространстве, задается проекциями на подвижные оси. Поэтому для его производной справедлива формула (4.2.11) из §2, п.2º. Поскольку
~







de
 1 i   2 j   3 k ,
  p i   q j   r k ,
dt
  
где i  , j  , k  — орты связанной системы координат, то, проектируя (4.5.2) на оси
Ox , Oy , Oz , придем к следующей системе
(4.5.3)
1   q  3  r  2 ,
2   r  1  p  3 ,
3   p  2  q  1 .
Уравнения (4.5.3) называются уравнениями Пуассона.
Это линейные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций  1 ,  2 ,  3 .
Матрица коэффициентов в них, взятых со знаком «минус», имеет вид
 0 r q 


   r 0  p .
(4.5.4)
 q p 0 


Она является кососимметрической матрицей.
Если обозначить через x вектор-столбец
1 
 
x   2  ,
 
 3
то система (4.5.3) в матричном виде запишется так:
(4.5.5)
x   х ,
где матрица  задается формулой (4.5.4).
В задаче Дарбу матрица  является известной матричной функцией времени.
Уравнение (4.5.5) — это система уравнений Пуассона (4.5.3), записанная в матричной форме.
Выведем теперь дифференциальные уравнения для матрицы ориентации A
твердого тела. Для этого установим связь решений уравнения (4.5.5) с матрицей ориентации твердого тела.
  

В качестве вектора e последовательно возьмем орты i , j , k абсолютной си
стемы координат. Поскольку координаты орта i совпадают с элементами первой стро

ки матрицы A , орта j — с элементами второй строки, орта k — с элементами третьей
строки, то в уравнении (4.5.5) можно последовательно положить
x1  A1 ,
x2  A2 ,
x3  A3 ,
где As — вектор-строка с номером s , s  1,2,3 , в матрице ориентации A :
A1  (a11, a12 , a13),
A2  (a21, a22 , a23),
A3  (a31, a32 , a33).

s
Тогда уравнение (4.5.5) для векторов A , s  1,2,3 , запишется в виде
A    A ,
A    A ,
A    A.
(4.5.6)
Объединяя эти три уравнения, приходим к следующему матричному дифференциальному уравнению для транспонированной матрицы A :
A   A .
(4.5.7)
Уравнение (4.5.7) — это дифференциальное уравнение Пуассона для матрицы
ориентации.
1
1
2
- 218 -
2
3
3
По существу, уравнение (4.5.7) образует систему девяти линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно элементов матрицы ориентации A
твердого тела. Эта система не зависит явно от углов ориентации. Тем самым она не зависит от выбора угловых параметров ориентации и не зависит от диапазона допустимых значений таких углов. Матричное дифференциальное уравнение (4.5.7) не вырождается ни при каких значениях матрицы A .
Таким образом, кинематическое уравнение Пуассона (4.5.7) не имеет тех
особенностей, о которых говорилось в п.1º.
3º. Решение задачи Дарбу
Ясно, что задача Дарбу будет решена, если построим решение задачи Коши для
уравнения (4.5.7) с начальными условиями:
A  A0 при t  t0 .
Здесь A0 — заданное значение матрицы ориентации A при t  t0 .
Матричное уравнение (4.5.7) эквивалентно системе трех уравнений (4.5.6) для
векторов A1 , A2 , A3 . Напомним, что A1 , A2 , A3 суть столбцы транспонированной матрицы A* . Каждое из уравнений (4.5.6) с точностью до обозначений искомых функций Ai , i  1,2,3 , и вектора-столбца x совпадает с уравнением (4.5.5).
Поэтому решения каждого уравнения (4.5.6) могут быть получены на основе интегрирования уравнения (4.5.5).
Покажем, как построить матрицу A через решения уравнения Пуассона (4.5.5).
Сначала отметим основные свойства решений уравнения (4.5.5).
1. Уравнение (4.5.5) имеет первый интеграл
x * x  const .
Утверждение легко проверяется непосредственным дифференцированием функции x * x , вычисленной на решениях уравнения (4.5.5). Данный интеграл выражает собой условие того, что длина вектора x не меняется на решениях уравнения (4.5.5).
Нас будут интересовать только такие решения уравнения (4.5.5), на которых
x  1 , т.е. x * x  1 .
2. Если x (1) и x ( 2) — два частных решения уравнения (4.5.5), то вектор



(4.5.8)
x (3)  x (1)  x ( 2)
является ее решением.

Здесь под x (s ) , s  1,2,3 , понимаем вектор




x ( s )  x1( s )i   x2( s ) j   x3( s ) k  ,
(4.5.9)
координаты которого в связанной системе совпадают с элементами соответствующего
вектора-столбца
 x1( s ) 


x ( s )   x2( s )  .
 (s) 
 x3 


Действительно, уравнения (4.5.5) в обозначениях (4.5.9) примет вид

 
(4.5.10)
x    x .
 (s )
Тогда, если x , s  1,2 — решения уравнения (4.5.10), то можно записать
 
 


(4.5.11)
x (1)     x (1) ,
x ( 2)     x ( 2) .
- 219 -
Покажем, что



(4.5.12)
x (3)  x (1)  x ( 2)
является решением уравнения (4.5.10). Дифференцируя (4.5.12), получим





x (3)  x (1)  x ( 2)  x (1)  x ( 2) .

Заменим x (s ) , s  1, 2 , правыми частями равенств (4.5.11)

 


 
x (3)   (  x (1) )  x ( 2)  x (1)  (  x ( 2) ) .
Раскрываем правую часть по формуле двойного векторного произведения:
 
 
 
 
 






x (3)   ( x (1) , x ( 2) )  x (1) ( , x ( 2) )  x ( 2) ( , x (1) )   ( x (1) , x ( 2) )    ( x (1)  x ( 2) ) .




Сравнивая с (4.5.10), куда следует подставить x (3)  ( x (1)  x ( 2) ) , видим, что x (3) — решение уравнения (4.5.10).
3. Если x (1) и x ( 2) — два частных решения уравнения (4.5.5), то при любых t
справедливо равенство


( x (1) , x ( 2) )  const .
 ( 2)
 (1)
Здесь x и x — векторы, построенные через решения x (1) и x ( 2) по формуле (4.5.9). В справедливости свойства легко убедиться, если продифференцировать ска

лярное произведение ( x (1) , x ( 2) ) и учесть соотношения (4.5.11).
Из доказанных свойств 1,2,3 вытекает следующий алгоритм построения решения
задачи Дарбу.
Для построения матрицы ориентации твердого тела достаточно получить два


взаимно ортогональных решения x (1) и x ( 2) уравнения (4.5.10) (или уравнения (4.5.5)),
удовлетворяющих условиям


 
x (1)  1,
x ( 2)  1,
( x (1) , x ( 2) )  0.
Действительно, построим решение x (1) уравнения (4.5.5) с начальными услови
ями, совпадающими в момент времени t0 с направляющими косинусами вектора i абсолютной системы координат относительно связанных осей. Очевидно, такое решение

будет определять положение вектора i в связанной системе в любой момент времени
t.
Другими словами, компоненты решения x (1) будут являться элементами первой
строки матрицы A в любой момент времени t .
Затем возьмем в качестве начальных условий в момент t0 направляющие коси
нусы вектора j абсолютной системы координат в связанной системе и по ним построим решение x ( 2) уравнения (4.5.5).

Компоненты этого решения будут давать положение вектора j в связанной системе в любой момент времени t и совпадать с элементами второй строки матрицы A .

В силу свойства 2 решений уравнения (4.5.5) вектор x (3) , определяемый по век (1)  ( 2)
торам x и x согласно формуле
  



(4.5.13)
x (3)  x (1)  x ( 2)  i  j  k ,
 ( 3)
является ее решением. Иначе говоря, компоненты вектора x при любых t будут сов
падать с элементами третьей строки матрицы ориентации A (t ) . В (4.5.13) векторы x (1)

и x ( 2) строятся через решения x (1) и x ( 2) уравнения (4.5.5) по формуле (4.5.9).
- 220 -
В итоге, после проведения описанных действий, получаем решение матричного
уравнения Пуассона (4.5.7) в виде матрицы A  :
A*  ( x (1) , x ( 2) , x (3) ) .
— решения уравнения (4.5.5) с указанными выше начальными
Здесь x (1) и x ( 2)
условиями.
Если компоненты столбца x (1) обозначим x (i1) , i  1,2,3 , а столбца x ( 2) —
x (i2 ) , i  1,2,3 , то элементы третьего столбца матрицы A  (их обозначим x (i3) , i  1,2,3 )
связаны с ними следующими соотношениями:
x (13)  x (21) x 3( 2 )  x 3(1) x 2( 2 ) ,
x 2( 3)  x (31) x1( 2 )  x1(1) x 3( 2 ) ,
x 3( 3)  x (11) x 2( 2 )  x 2(1) x1( 2 ) .
Если начальные условия в задаче Дарбу задаются через значения углов ориентации, то для построения решения по описанному алгоритму необходимо предварительно
вычислить матрицу ориентации в заданный момент времени t0 по формулам связи
элементов этой матрицы с углами ориентации, подставив в них заданные начальные
значения углов.
Далее использовать вычисленные элементы первой и второй строки матрицы
ориентации A в качестве начальных условий для построения решений x (1) и x ( 2) .
§6. Примеры решения задач и вопросы
6.1. Примеры решения задач к разделу «Глава 4»
В этом пункте приводятся примеры решения задач сложного движения точки и
твердого тела. В задаче 1 рассматривается сложение угловых скоростей твердого тела.
Задача 2 иллюстрирует применение теоремы о сложении скоростей материальной точки. Задача 3 посвящена вычислению ускорения сложного движения материальной точки. Соответствующий теоретический материал излагается в § 3 (задача 1) и § 2 (задачи
2, 3).
Задача 1. Ось z волчка равномерно описывает вокруг

вертикали O круговой конус с углом раствора 2 (рис.4.6.1).
z

Угловая скорость вращения оси волчка вокруг оси  равна 1 ,
а постоянная угловая скорость собственного вращения волчка
1
равна  . Определить
величину и направление абсолютной уг
 
ловой скорости  волчка.
Решение: Рассмотрим вращение волчка как сложное
движение. За переносное движение примем вращение волчка с
O

угловой скоростью 1 вокруг оси  . Относительное движение
Рис.4.6.1
– вращение вокруг оси z с угловой скоростью  . Тогда, по теореме о сложении угловых скоростей,

  1   .

Угол между векторами  и 1 равен  . Следовательно, величина абсолютной угловой
скорости волчка, по теореме косинусов, равна
   2  12  21 cos(   )   2  12  21 cos .

Для определения направления вектора  используем направляющий косинус
- 221 -


cos(, z)  z ,


где  z – проекция  на ось z. Находим
 z  1 cos    ,
следовательно,

1 cos   
.
cos(, z ) 
 2  12  21 cos 
Задача 2. Корабль плывет на юг со скоростью 36 2км / ч . Второй корабль идет
курсом на юго-восток со скоростью 36км/ч. Найти величину и направление скорости
второго корабля, определяемые наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля.
Решение: Рассмотрим движение второго корабля как сложное. Примем за абсолютное движение второго корабля его движение относительно Земли. Относительным
будем считать движение второго корабля по отношению к первому кораблю. За переносное движение примем поступательное движение вместе с первым кораблем. Тогда
его абсолютная скорость по теореме о сложении скоростей можно представить как

 
Va  Ve  Vr .
(4.6.1)
Здесь Ve – скорость первого корабля; Vr – неизвестная скорость второго корабля относительно первого.
Для графического нахождения относительной скорости Vr
y
отложим из произвольной точки О переносную скорость Ve ,
направленную на юг (рис.4.6.2), и абсолютную скорость Va ,
направленную на юго-восток. Ось Ox направим на восток, а
vr
ось Oy – на север. Спроектируем равенство (4.6.1) на ось Ox:
2

va cos 45o  vrx  vrx  36
км / ч .
O
2
x
45°
Теперь спроектируем равенство (4.6.1) на ось Oy:
2
va cos 45o  ve  vry  vry  ve  va cos 45o  36
км / ч
va
2
ve

Следовательно, величина V r находится как
Vr  Vrx2  Vry2  36 .
Рис.4.6.2

Из значений Vrx и Vry следует, что вектор vr находится в первой четверти плоскости
Oxy и, кроме того
2
2
Vrx  36
 Vr cos  cos  
  45o .
2
2
Следовательно, относительная скорость второго корабля направлена на северо-восток.
Задача 3. Для сообщения поступательного движения в станках применяют механизм (рис.4.6.3 a), состоящий из прямолинейного стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростью  вокруг точки O так, что угол   t . Дойдя до упора, стержень начинает вращаться с той же угловой скоростью в противоположном направле- 222 -
нии. Ползун A вращается вместе со стержнем и одновременно может перемещаться
вдоль стержня. Прямая AB, шарнирно соединенная с ползуном, движется в горизонтальных направляющих, осуществляя возвратно-поступательное движение. Зная расстояние l от шарнира O до прямой AB, определить ее скорость и ускорение в поступательном движении.
а)
в)
Рис. 4.6.3
Решение: Первый способ. Проведем неподвижные оси координат с началом в
шарнире O. Тогда координаты точки A определяются уравнениями
x  l ctg t ,
yl.
Величина скорости точки A тогда будет:
dx
l
(4.6.2)
V 
 2 ,
dt
sin t
так как точка A движется прямолинейно. Величина ускорения точки A определится
как производная от скорости по времени
dV 2l 2 cos t
W

.
(4.6.3)
dt
sin 3 t
Второй способ. Рассмотрим абсолютное движение точки A ползуна как составное: переносное – вращение вместе со стержнем OA и относительное – прямолинейное движение вдоль стержня OA. Тогда модуль переносной скорости точки A будет:
l
Ve  OA   
.
sin 
Направлена переносная скорость перпендикулярно к стержню OA, следовательно, она
образует со стержнем AB угол 90о – это  . Относительная скорость (в прямолинейном
движении по OA) равна производной от величины OA по времени и направлена по OA
d l 
l cos t
Vr  
.

dt  sin t 
sin 2 t
Проектируя векторное равенство (рис. 4.6.3 б)

 
Va  Ve  Vr ,
определяющее абсолютную скорость точки A, на направление AB, находим
l
V  Va  Ve sin t  Vr cos t   2
,
sin t
что совпадает с (4.6.2).
Переходим к определению абсолютного ускорения точки A. Согласно теореме сложения ускорений
- 223 -




Wa  We  Wr  Wc .
Так как   const , то величина переносного ускорения будет
l 2
We  OA   2 
.
sin t
Оно направлено от A к центру O (рис. в). Значение относительного ускорения в прямолинейном движении равно
dV
l 2 (1  cos 2 t )
.
Wr  r 
dt
sin 2 t
Оно направлено по прямой OA. Ускорение Кориолиса равно
2l 2 cos t
.
Wc  2Vr sin 90 o 
sin 2 t
Направление этого ускорения определится поворотом вектора относительной скорости

на 90о в сторону переносного вращения, так как в рассматриваемом случае V r перпен

дикулярно  . Проектируя, далее, векторное равенство Wa на направление абсолютного ускорения совпадающего с осью х, находим:
2l 2 cos t
W  Wa  (Wr  We ) cos t  Wc sin t 
,
sin 3 t
что совпадает с (4.6.3).
6.2 Вопросы для тестирования к разделу «Глава 4»
1. Дайте определения абсолютного, относительного и переносного движения материальной точки.
2. Как определить абсолютное движение материальной точки, зная её относительное и переносное движение?
3. Что называется переносной мгновенной угловой скоростью и переносным
мгновенным угловым ускорением?
4. Сформулируйте теорему о сложении скоростей.
5. Приведите формулировку теоремы Кориолиса.
6. Чему равна абсолютная скорость любой точки P твердого тела?
7. Как определяется вектор абсолютной мгновенной угловой скорости твердого тела?
8. Какими уравнениями определяются проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси связанной системы координат?
9. Сформулируйте задачу Дарбу.
10. Выпишите уравнения Пуассона и объясните их преимущества перед кинематическими уравнениями Эйлера.
- 224 -
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Бабаджанянц Л.К., Пупышев Ю.А., Пупышева Ю.Ю. Классическая механика. СПб.:
Изд-во «Соло», 2007. 240с.
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть 1. Кинематика,
статика, динамика материальной точки: СПб.: Изд-во «Лань», 2009. 480 с.; Часть 2.
Динамика системы материальных точек: СПб.: Изд-во «Лань», 2009. 336 с.
3. Кирпичников С.Н., Новоселов В.С. Математические аспекты кинематики твердого
тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986, 252 с.
4. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Изд-во ЧеРо, 1999. 572 с.
5. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика М.: Изд-во
«Юрайт», 2012. 593 с.
Дополнительная литература
6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Т.1,2,3, любые издания с 1961 года.
7. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.:Физматлит, 2002. 262 с.
8. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.
9. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.
10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ВШ, 2000. 592 с.
11. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. Т.1, Т.2. М.: Наука, 1983.
12. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986, 448с.
и последующие издания.
13. Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966.
14. Новоселов В.С. Аналитическая динамика управляемого движения. СПб.: Изд-во
СПбГУ, 1998. 146 с.
15. Суслов Г.К. Теоретическая механика. 3-е изд., М-Л, 1948.
16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1, Т.2,
Т.3. М.: Наука, 1969.
17. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
- 225 -
Учебное издание
Ермолин Владислав Степанович
Королев Владимир Степанович
Потоцкая Ирина Юрьевна
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Часть 1. Кинематика
Учебное пособие
Текст настоящего учебного пособия
приводится в авторской редакции.
Редактирование, компьютерную верстку
и оформление выполнили
Г. А. Ермолина, В. С. Королев.
Замечания можно направлять по адресу
[email protected]
Подписано к печати 14.09.12. Формат 70 × 100 1/16 .
Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать цифровая. Печ. л. 16,77
Тираж 500 экз. Заказ 5573.
Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ
198504, СанктПетербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26
Тел.: (812) 4284043, 4286919
Скачать