v t v t v t v t t x t x t x t x

Занятие 2. Ускорение. Равноускоренное движение
Вариант 1
2.1.1. Какая из нижеперечисленных ситуаций невозможна:
1. Тело в некоторый момент времени имеет скорость, направленную на север, а ускорение, направленное на восток
2. Тело имеет постоянную скорость и переменное ускорение
3. Тело имеет переменную скорость и постоянное ускорение
4. Тело в некоторый момент времени имеет нулевую скорость и
ненулевое ускорение
2.1.2. Тело движется прямолинейно с севера на юг. Скорость тела убывает. Куда направлен вектор ускорения тела?
1. На юг
2. На запад
3. На север
4. На восток
2.1.3. На рисунках приведены графики зависимости координат
четырех прямолинейно движущихся тел от времени. У какого из
этих тел скорость убывает?
1.
x
x
x
x
2.
3.
t
4.
t
t
t
2.1.4. Движение тела является равноускоренным, если:
1. Скорость тела не зависит от времени
2. Масса тела не зависит от времени
3. Координаты тела не зависят от времени
4. Ускорение тела не зависит от времени
2.1.5. На рисунках изображены графики зависимости скорости
прямолинейно движущегося тела от времени. Какой из графиков
соответствует движению с постоянным ускорением (равноускоренному)?
v
v
1.
v
2.
t
v
3.
t
4.
t
1
t
2.1.6. Автомобиль движется прямолинейно из состояния покоя с
ускорением 0,5 м/с2. . Какой путь пройдет автомобиль за 20 с от
начала движения?
1. 50 м
2. 100 м
3. 150 м
4. 200 м
2.1.7. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с
постоянным ускорением 0,5 м/с2, пройдет путь 100 м?
1. 20 с
2. 30 с
3. 40 с
4. 50 с
2.1.8. С каким ускорением движется трогающийся с места автомобиль, если он набирает скорость 10 м/с за время 5 с?
1. 1 м/с2
2. 2 м/с2
3. 3 м/с2
4. 4 м/с2
2.1.9. Зависимость координаты от времени для прямолинейно
движущегося тела дается уравнением x(t )  8t  2t 2 , где 8 и 2 –
числа, имеющие размерность м/с и м/с2 соответственно. В какой
момент времени скорость тела равна нулю?
1. 8 с
2. 2 с
3. 4 с
4. 1 с
2.1.10. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
10 м/с. Какова величина скорости тела через 0,5 с после броска?
Считать, что g  10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
1. 2 м/с
2. 4 м/с
3. 5 м/с
4. 8 м/с
Вариант 2
2.2.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
10 м/с. За какое время после броска тело поднимется на максимальную высоту над поверхностью земли? Считать, что
g  10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
1. 0, 4 с
2. 0, 6 с
3. 0,8 с
4. 1 с
2.2.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
10 м/с с поверхности земли. На какую максимальную высоту поднимется тело? Считать, что g  10 м/с2, сопротивлением воздуха
пренебречь.
1. 5 м
2. 10 м
3. 15 м
4. 20 м
2.2.3. Тело движется равноускоренно из состояния покоя. Во
сколько раз время, затраченное на прохождение пути S , меньше
2
времени, затраченного на прохождение пути 2S ? Оба участка пути
S и 2S отсчитаны от точки, из которой тело начало движение.
1. В 2 раза 2. В 2 раз 3. В 4 раза
4. В 8 раз
2.2.4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
25 м/с. Какой будет скорость тела на высоте 20 м от поверхности
земли? Считать, что g  10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
1. 5 м/с
2. 10 м/с
3. 15 м/с
4. 20 м/с
2.2.5. Автомобиль, трогаясь с места, движется равноускоренно с
ускорением 2 м/с2. Какой путь автомобиль пройдет за третью секунду движения?
1. 3 м
2. 4 м
3. 5 м
4. 6 м
2.2.6. Автомобиль, трогаясь с места, движется равноускоренно с
ускорением 2 м/с2. Какое время затратит автомобиль на прохождение третьего метра пути?
1.
2 1 с
2.
3 2 с
3. 2  3 с
4. 5  2 с
2.2.7. Тело падает на землю с некоторой высоты. Начальная скорость тела равна нулю. При подлете к земле тело имеет скорость
10 м/с. С какой высоты падало тело? Считать, что g  10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
1. 5 м
2. 10 м
3. 15 м
4. 20 м
2.2.8. Тело брошено под углом к горизонту. Как в отсутствии
сопротивления воздуха зависит от времени проекция скорости тела
на горизонтальную ось?
1. Линейно возрастает со временем
2. Линейно убывает со временем
3. Сначала убывает, потом возрастает со временем
4. Не зависит от времени
1
2.2.9. На рисунке даны начальные скорости двух
тел, брошенных из одной точки под углом к горизон2
ту. Какое из этих тел – первое или второе – улетит
3
дальше (номер тела написан около вектора его скорости)?
1. Первое
2. Второе
3. Одинаково
4. По рисунку ответить невозможно
2.2.10. Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью
20 м/с. Какой путь тело пройдет за 3 с? Считать, что g  10 м/с2,
сопротивлением воздуха пренебречь.
1. 15 м
2. 20 м
3. 25 м
4. 30 м
4
Лекция 2. Ускорение. Равноускоренное движение
Вариант 1
Номер задачи
2.1.1-2.1.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
2
3
4
4
1
2
1
2
2
3
Номер задачи
2.2.1-2.2.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
4
1
2
3
3
2
1
4
1
3
Вариант 2
5
РЕШЕНИЯ
Характеристикой изменения скорости является ускорение. Эта
величина определяется как отношение изменения скорости тела к
тому интервалу времени, за который это изменение произошло
a
v2  v1
,
t
(2.1)
где v2 и v1 – скорости тела в конце и начале интервала времени t .
Из определения (2.1) следует, что вектор ускорения тела отличен от
нуля только в том в случае, когда изменяется вектор скорости. При

этом направление вектора a определяется направлением разности
v2  v1 , и может не совпадать с направлениями векторов v1 и v2 .
Поэтому в задаче 2.1.1 ситуации, перечисленные в ответах 1, 3 и 4,
возможны в следующих случаях. В 1 – когда тело, поворачивая на
восток, в некоторый момент времени имеет вектор скорости,
направленный на север. В 3 – при равноускоренном движении. В 4 –
например, в такой ситуации: тело бросили вертикально вверх и в
верхней точке траектории оно имеет нулевую скорость и ускорение,
равное ускорению свободного падения. Ситуация, сформулированная в ответе 2, невозможна: если у тела постоянная скорость, то у
него равное нулю и, следовательно, постоянное ускорение.
В задаче 2.1.2 вектор скорости в конце любого интервала времени меньше вектора скорости в начале этого интервала. Поэтому
при направлении вектора скорости на юг вектор изменения скорости, а, следовательно, и вектор ускорения направлены на север (ответ 3).
Если тело движется с постоянной скоростью, координата линейно зависит от времени, причем наклон графика определяется
скоростью. Поэтому скорость тела уменьшается, если уменьшается
угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси
времени (задача 2.1.3 – ответ 4).
Движение тела, при котором его ускорение (как величина, так и
направление) не изменяется, называется равноускоренным (задача
2.1.4 – ответ 4). Из определения ускорения (2.1) следует, что при
равноускоренном движении зависимость скорости от времени является линейной. Поэтому равноускоренному движению в задаче
6
2.1.5 отвечает график 1 (несмотря на то, что скорость тела убывает). В этой связи отметим, что равноускоренность означает не то,
что тело постоянно разгоняется, а то, что оно имеет «равное ускорение».
При равноускоренном движении зависимости радиус-вектора
тела по отношению к произвольной системе координат и скорости
тела от времени даются соотношениями
R(t )  R0  v0t 
v (t )  v0  at ,
at 2
,
2
(2.2)
(2.3)
где R0 и v0 – радиус-вектор и скорость тела в момент времени
t  0 , a – ускорение тела. После проецирования на оси координат
зависимости (2.2) и (2.3) позволяют находить координаты тела и
проекции его скорости на оси в любые моменты времени.
В задаче 2.1.6 зависимость (2.2) в проекциях на ось x , которая
направлена параллельно ускорению и начало которой находится в
точке начала движения, дает
x(t ) 
at 2
.
2
Поскольку тело движется из начала координат и только в одну сторону, то, очевидно, координата тела совпадает с пройденным путем. Поэтому при ускорении 0,5 м/с2. через 20 с после начала
движения пройденный путь будет равен 100 м (ответ 2). Из этого
результата следует, что задача 2.1.7 является обратной по отношению к задаче 2.1.6, поэтому правильный ответ для времени, за которое тело пройдет путь 100 м – 20 с (ответ 1).
В задаче 2.1.8 необходимо использовать зависимость (2.3) для
скорости. Так как по условию автомобиль движется из состояния
покоя, проекция зависимости (2.3) на ось x , направленную вдоль
вектора ускорения, имеет вид
vx (t )  at ,
где vx – проекция вектора скорости тела на ось x . Так как
vx  10 м/с в момент времени t  5 с, находим a  vx / t  2 м/с2
(правильный ответ – 2).
7
Сравнивая данную в задаче 2.1.9 зависимость координаты от
времени x(t )  8t  2t 2 с законом (2.2), заключаем, что начальная
скорость тела v0 x  8 м/с, проекция ускорения тела на ось x –
ax  4 м/с2. Поэтому из (2.3) получаем зависимость скорости тела
от времени vx (t )  8  4t . Из этой зависимости следует, что скорость тела равна нулю при t  2 с (правильный ответ 2). Можно
было также найти скорость как производную координаты по времени. Дифференцируя данную в условии функцию, получим тот же
ответ
vx (t ) 
dx
 8  4t .
dt
Зависимость проекции скорости от времени на ось, направленную вертикально вверх, для тела из задачи 2.1.10 имеет вид
vx (t )  v0  gt ,
где v0  10 м/с – начальная скорость тела. Подставляя в эту формулу время t  0,5 с, находим скорость тела через 0,5 с после
броска vx  5 м/с (ответ 3). Знак «плюс» для проекции скорости на
рассматриваемую ось показывает, что через 0,5 с после броска
вектор скорости тела все еще направлен вверх.
Чтобы найти время подъема тела, брошенного вертикально
вверх, на максимальную высоту (задача 2.2.1) используем то обстоятельство, что в верхней точке траектории скорость тела равна
нулю. Поэтому подстановка времени подъема  в зависимость скорости от времени дает
0  v0  g  ,
где v0 – начальная скорость тела. Отсюда получаем для времени
подъема   v0 / g  1 с (ответ 4). А самую максимальную высоту
подъема (задача 2.2.2) можно найти, подставляя найденное время
подъема  в зависимость координаты тела по вертикальной оси от
времени
h  v0  
g 2 v02
.

2
2g
8
Подстановка в эту формулу числовых значений дает h  5 м (ответ 1).
Пусть время, затраченное телом на прохождение участка пути
длиной S , отсчитанного от начальной точки, равно t1 , а время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной 2S , отсчитанного от этой же точки, равно t2 (задача 2.2.3). Тогда из уравнения движения (2.2) в проекции на ось, направленную вдоль вектора
ускорения тела, имеем
S
at12
,
2
2S 
at22
.
2
Деля первое уравнение на второе и извлекая из этого отношения
квадратный корень, находим
t1
1
,

t2
2
что означает, что время прохождения пути S меньше времени
прохождения пути 2S в 2 раз (ответ 2).
В некоторых ситуациях приходится применять одновременно
обе зависимости – и координаты и скорости. Например, в задаче
2.2.4 зависимости координаты тела по вертикальной оси и проекции скорости на эту ось имеют вид
gt 2
,
2
vy (t )  v0  gt .
y (t )  v0t 
Из первой зависимости находим время, за которое тело поднимается на высоту h  20 м
t1,2 
v0  v02  2 gh
g
.
(Два корня для времени получилось, поскольку на рассматриваемой высоте тело побывало дважды – в процессе подъема и в процессе спуска.) Подставляя эти значения времени в уравнение для
скорости, получим для проекции скорости на вертикальную ось на
высоте h :
9
vy   v02  2 gh
(«плюс» – на подъеме, «минус» – на спуске). Отсюда находим величину скорости тела на этой высоте – 15 м/с (ответ 3).
Иногда в задачах на равноускоренное движение требуется найти
интервалы времени или расстояния, отсчитанные не от момента
начала движения или от начального положения тела. Трудность
таких задач заключается в том, что такие времена или расстояния
сами не входят в уравнения равноускоренного движения. В этом
случае искомые интервалы времени или расстояния удобно находить как разность интервалов времени или расстояний, отсчитанных от начала движения. Например, зависимость координаты автомобиля от времени в задаче 2.2.5 дается соотношением
x(t ) 
at 2
,
2
где a  2 м/с2 – ускорение автомобиля, в качестве начала координат выбрана точка начала движения. Из этой зависимости находим,
что через 2 с после начала движения автомобиль окажется на расстоянии 4 м от начальной точки, через 3 с после начала движения – на расстоянии 9 м от начальной точки. Поэтому за третью
секунду движения автомобиль пройдет путь 5 м – ответ 3.
Аналогично в задаче 2.2.6 из зависимости координаты тела от
времени находим, что автомобиль окажется на расстоянии 2 м от
начальной точки через время
2 с, на расстоянии 3 м – через
время
3 с. Поэтому на прохождение третьего метра пути автомобиль затратит время 3  2 с (ответ 2).
В задаче 2.2.7 следует из зависимости скорости от времени
найти время падения, а затем подставить его в зависимость координаты от времени. Правильный ответ – 1.
При движении тела под углом к горизонту вектор ускорения тела направлен вертикально вниз (ускорение свободного падения –
g ). Поэтому проекция зависимости скорости от времени (2.3) на
горизонтальную ось имеет вид
vx (t )  v0 cos  ,
10
где v0 – начальная скорость тела,  – угол, под которым бросили
тело (проекция вектора ускорения тела на горизонтальную ось равна нулю). Из этой формулы следует, что проекция скорости на горизонтальную ось не зависит от времени (задача 2.2.8 – правильный ответ 4).
Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту,
определяется из проекции уравнения (2.2) на горизонтальную ось
l  v0 cos t ,
где v0 cos  – проекция вектора начальной скорости на горизонтальную ось, t – полное время движения. По условию задачи 2.2.9
проекции векторов начальной скорости тел на горизонтальную ось
одинаковы (это подчеркнуто на рисунке в условии с помощью вертикальной пунктирной прямой). Поэтому дальше улетит то из них,
у которого больше время движения. А оно, в свою очередь, определяется проекцией уравнения (2.2) на вертикальную ось
y(t )  v0 sin t 
gt 2
,
2
поскольку в момент падения вертикальная координата тела равна
нулю. Отсюда следует, что время движения равно 2v0 sin  / g , т.е.
определяется проекцией вектора начальной скорости на вертикальную ось. А она по условию больше у тела 1, которое, таким образом, и улетит дальше (ответ 1).
Задача 2.2.10 содержит небольшой «подвох». При движении тела по прямой и в одном направлении пройденный путь равен разности координат конца и начала траектории. В этом случае можно,
выбрав начало координат в начальной точке, найти пройденный
путь, просто подставляя время в уравнение для координаты. В
нашем же случае тело движется сначала вверх, потом вниз. Действительно, время подъема для тела, брошенного вертикально
вверх со скоростью 20 м/с, равно 2 с. А пройденный путь нужно
найти за 3 с после броска. Поэтому пройденный путь складывается
из максимальной высоты подъема (для тела, брошенного со скоростью 20 м/с, она равна 20 м) и длины участка пути от верхней
точки траектории до точки, в которой тело окажется через 3 с после броска. Координату этой точки в системе координат, начало
11
которой расположено на земле, а ось y направлена вертикально
вверх, можно найти, подставляя это значение времени в уравнение
y(t )  20t  5t 2
(все величины заданы в международной системе единиц СИ). В результате находим, что пройденный телом путь равен 25 м (ответ 3).
12