Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений А. А. ДУЮНОВА Московский педагогический государственный университет e-mail: [email protected] УДК 514.763.7 Ключевые слова: многомерная три-ткань, система обыкновенных дифференциальных уравнений, аффинная связность. Аннотация Рассматривается три-ткань W (1, n, 1), образованная на гладком многообразии размерности n + 1 двумя n-параметрическими семействами кривых и однопараметрическим семейством гиперповерхностей. Для таких тканей определено семейство адаптированных реперов, найдена система структурных уравнений, исследованы дифференциально-геометрические объекты, возникающие в дифференциальной окрестности до третьего порядка. Показано, что всякая система обыкновенных дифференциальных уравнений однозначно определяет некоторую три-ткань W (1, n, 1). Это даёт возможность описывать свойства системы обыкновенных дифференциальных уравнений в терминах соответствующей три-ткани. В частности, найдено условие автономности системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Abstract A. A. Duyunova, Three-webs defined by a system of ordinary differential equations, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 16 (2010), no. 2, pp. 13—31. We consider a three-web W (1, n, 1) formed by two n-parametric family of curves and one-parameter family of hypersurfaces on a smooth (n + 1)-dimensional manifold. For such webs, the family of adapted frames is defined and the structure equations are found, geometric objects arising in the third-order differential neighborhood are investigated. It is showed that every system of ordinary differential equations uniquely defines a three-web W (1, n, 1). Thus, there is a possibility to describe some properties of a system of ordinary differential equations in terms of the corresponding three-web W (1, n, 1). In particular, autonomous systems of ordinary differential equations are characterized. Классическую геометрию три-тканей, образованных слоениями одинаковых размерностей, начал развивать в своих работах В. Бляшке в двадцатых годах прошлого века. Современная теория тканей создавалась М. А. Акивисом, его учениками и коллегами начиная с 1960-х годов. Основные результаты этой теории содержатся в [4, 15]. Теорией тканей, образованных слоями разных размерностей, занимались М. А. Акивис [2—4, 15], В. В. Гольдберг [2, 3, 9], ученики А. М. Васильева Фундаментальная и прикладная математика, 2010, том 16, № 2, с. 13—31. c 2010 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы» 14 А. А. Дуюнова Н. Х. Азизова [1, 13, 14], Ю. А. Апресян [5—8], Нгуен Зоан Туан [11, 12] и Г. А. Толстихина (см. [4, гл. 9]). В настоящей статье рассматривается три-ткань W (1, n, 1), образованная двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Найдены структурные уравнения такой ткани, их первое и второе дифференциальные продолжения, структурные тензоры ткани, условия, при которых на ткани W (1, n, 1) возникает аффинная связность. Показано, что с системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ẋ = (x, t) связана три-ткань W (1, n, 1). Компоненты тензоров ткани вычислены через функции, определяющие эту систему. Показано, что к системе естественным образом присоединяется аффинная связность, которая названа канонической. В терминах ткани найдено условие автономности системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 1. Пусть M — гладкое многообразие размерности n + 1. Рассмотрим на нём три-ткань W (1, n, 1), заданную двумя семействами кривых λ1 , λ3 и одним семейством гиперповерхностей λ2 . Обозначим Tp (M ) касательное пространство к многообразию M в точке p, а Tp (Fα ), α = 1, 2, 3, — касательные пространства к слоям Fα ткани W в этой точке. Рассмотрим в точке p многообразие реперов ea , a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1, первые n векторов которых лежат в Tp (F2 ), вектор en+1 — в Tp (F1 ), а вектор en − en+1 — в Tp (F3 ). Пусть ω a — двойственный корепер, т. е. ω a (eb ) = δba , где δba — символ Кронекера. Тогда для любого вектора ξ из Tp имеем ξ = ω a (ξ)ea , (1) а значит, семейства λ1 и λ2 этой ткани задаются следующими уравнениями Пфаффа: (2) λ1 : ω i = 0, λ2 : ω n+1 = 0 (i, j, . . . = 1, 2, . . . , n). Чтобы записать уравнения третьего семейства, рассмотрим произвольный вектор ξ из Tp (F3 ): (3) ξ = ω(ξ)(en − en+1 ). Сравнивая равенства (1) и (3), находим уравнения третьего семейства ткани: λ3 : ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0 (u, v, . . . = 1, 2, . . . , n − 1). (4) Заметим, что базис кольца дифференциальных форм на M образуют как формы ω u , ω n , ω n+1 , так и формы ω u , ω n (или ω n+1 ), ω n + ω n+1 . При этом базисныe формы определены с точностью до преобразований ω̃ u = auv ω v , ω̃ n = anv ω v + aω n , ω̃ n+1 = aω n+1 , det(auv ) = 0, anv = 0, a = 0, сохраняющих вид уравнений (2) и (4). Базисные векторы eu , en , en+1 преобразуются также согласованно: ẽu = avu ev + anu en , ẽn = aen , ẽn+1 = aen+1 . Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений Таким образом, группа допустимых преобразований Tp (M ) состоит из матриц вида 1 a1 a21 . . . an−1 an1 1 n−1 2 a12 a2 . . . a2 an2 .. .. .. .. .. . . . . . n−1 2 n a1 n−1 an−1 . . . an−1 an−1 0 0 ... 0 a 0 0 ... 0 0 15 репера ea пространства 0 0 .. . . 0 0 a Эти преобразования образуют группу Ли G — подгруппу полной линейной группы GL(n + 1, R). Таким образом, с тканью W (1, n, 1) связана G-структура [10]. Системы форм, определяющие слоения ткани, должны быть вполне интегрируемыми. Согласно теореме Фробениуса условия полной интегрируемости слоений λ1 и λ2 (см. (2)) имеют вид dω i = ω j ∧ ωji , ωji , n+1 dω n+1 = ω n+1 ∧ ωn+1 , (5) n+1 ωn+1 где — дифференциальные формы, содержащие дифференциалы параметров, определяющих положение репера eu , en , en+1 . Разобьём уравнения (5) на три части: dω u = ω v ∧ ωvu + ω n ∧ ωnu , dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn , dω n+1 =ω n+1 ∧ (6) n+1 ωn+1 . Из (6) выводим следующие выражения для форм ω u и ω n + ω n+1 , задающих третье семейство ткани: dω u = ω v ∧ ωvu + (ω n + ω n+1 ) ∧ ωnu − ω n+1 ∧ ωnu , n+1 d(ω n + ω n+1 ) = ω u ∧ ωun + (ω n + ω n+1 ) ∧ ωnn + ω n+1 ∧ (ωn+1 − ωnn ). (7) Система форм ω u , ω n +ω n+1 , определяющая кривые третьего семейства, должна быть вполне интегрируемой. Пользуясь теоремой Фробениуса, из (7) получим ω n+1 ∧ ωnu = 0, n+1 ω n+1 ∧ (ωn+1 − ωnn ) = 0. Отсюда следуют равенства ωnu = µu ω n+1 , n+1 ωn+1 − ωnn = µω n+1 . (8) Подставив (8) в (6), получим первую серию структурных уравнений рассматриваемой ткани W : dω u = ω v ∧ ωvu + µu ω n ∧ ω n+1 , dω n = ω u ∧ ωun + ω n ∧ ωnn , (9) dω n+1 = ω n+1 ∧ ωnn . 2. Найдём дифференциальное продолжение уравнений (9). Дифференцируя внешним образом первое уравнение, с учётом этого же уравнения получим u (dµu + µv ωvu − 2µu ωnn ) ∧ ω n ∧ ω n+1 − (dωvu − ωvw ∧ ωw − µu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v = 0. 16 А. А. Дуюнова Введём обозначения ∇µu = dµu + µv ωvu − 2µu ωnn , (10) − (11) Ωuv = dωvu ωvw ∧ u ωw . Тогда предыдущее уравнение примет вид (Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v − ∇µu ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. (12) Дифференцируя второе уравнение системы (9) и обозначая Ωnu = dωun − ωuv ∧ ωvn − ωun ∧ ωnn , (13) Ωnu ∧ ω u + (dωnn − µu ω n+1 ∧ ωun ) ∧ ω n = 0. (14) придём к уравнению Дифференцирование третьего уравнения (9) даёт dωnn ∧ ω n+1 = 0. (15) Итак, внешнее дифференцирование уравнений структуры (9) приводит к уравнениям (12), (14), (15). Решим эти уравнения. Из уравнения (15) по обобщённой лемме Картана выводим, что dωnn = θ ∧ ω n+1 , (16) где θ — некоторая 1-форма. Подставив (16) в уравнение (14), получим Ωnu ∧ ω u − (θ + µu ωun ) ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. (17) Запишем формы θ + µu ωun , Ωnu в виде θ + µu ωun = tu ω u + tn ω n + tn+1 ω n+1 + ϑ, Ωnu = hnuvw ω v ∧ ω w + hnuvn ω v ∧ ω n + hnuv n+1 ω v ∧ ω n+1 + + hnun n+1 ω n где ϑ, ϑnuv , ϑnun u n n+1 ∧ω n+1 + ϑnuv ∧ω + v ϑnun ∧ω + n ϑnu n+1 ∧ω (18) n+1 + ϑnu , и ϑnu n+1 — некоторые 1-формы, не зависящие от базисных а ϑnu — некоторая 2-форма, не содержащая базисных форм и , ω ,ω иω ϑnuv , ϑnun и ϑnu n+1 . Подставив (18) в уравнение (17), получим форм форм (hnun n+1 − tu )ω u ∧ ω n ∧ ω n+1 + hn[uvw] ω v ∧ ω w ∧ ω u + + hn[uv]n ω v ∧ ω n ∧ ω u + hn[uv] n+1 ω v ∧ ω n+1 ∧ ω u + ϑn[uv] ∧ ω v ∧ ω u + + ϑnun ∧ ω n ∧ ω u + ϑnu n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω u + ϑnu ∧ ω u − ϑ ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. Так как все слагаемые, входящие в это тождество, линейно независимы между собой, то каждое из них должно быть равно нулю в отдельности, поэтому hnun n+1 − tu = 0, ϑn[uv] = 0, ϑnun = 0, hn[uv]n ϑnu n+1 = 0, = hn[uv] n+1 = ϑnu = 0, n h[uvw] = 0. ϑ = 0, (19) Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений 17 В результате уравнения (18) примут вид θ + µu ωun = tu ω u + tn ω n + tn+1 ω n+1 , Ωnu = hnuvw ω v ∧ ω w + hnuvn ω v ∧ ω n + hnuv n+1 ω v ∧ ω n+1 + + tu ω ∧ ω n n+1 + ϑnuv (20) ∧ω , v причём входящие сюда величины удовлетворяют условиям (19). Согласно первому уравнению (20) уравнение (16) имеет вид dωnn = tu ω u ∧ ω n+1 + µu ω n+1 ∧ ωun + tn ω n ∧ ω n+1 . (21) Обозначим n ωuv = ϑnuv − hnuvw ω w − hnuvn ω n − hnuv n+1 ω n+1 . Тогда второе уравнение (20) примет вид n Ωnu = tu ω n ∧ ω n+1 + ωuv ∧ ωv , (22) при этом согласно соотношениям (19) будут выполняться условия n n = ωvu . ωuv (23) Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1 в виде u u u w n+1 ω w ∧ ω s + rvwn ω w ∧ ω n + rvw + Ωuv − µu ωvn ∧ ω n+1 = rvws n+1 ω ∧ ω (24) Наконец, решим уравнение (12). Запишем формы ∇µ , u u ∇µu = kvu ω v + knu ω n + kn+1 ω n+1 + ϑu , + u n rvn n+1 ω ∧ω n+1 + ϑuvw ∧ω + u w ϑuvw , ϑuvn ϑuvn ∧ω + n ϑuv n+1 ∧ω n+1 + ϑuv , ϑuv n+1 причём, как и выше, формы ϑ , и не содержат базисных форм ω u , ω n и ω n+1 , а формы ϑuv не содержат базисных форм и форм ϑuvw , ϑuvn и ϑuv n+1 . Внося эти разложения в уравнения (12), получим u u u w n+1 ω w ∧ ω s ∧ ω v + r[vw]n ω w ∧ ω n ∧ ω v + r[vw] ∧ ωv + r[vws] n+1 ω ∧ ω u n n+1 ∧ ω v + ϑu[vw] ∧ ω w ∧ ω v + ϑuvn ∧ ω n ∧ ω v + + rvn n+1 ω ∧ ω + ϑuv n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω v + ϑuv ∧ ω v − kvu ω v ∧ ω n ∧ ω n+1 − ϑu ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. Поскольку все слагаемые, входящие в это тождество, линейно независимы между собой, то каждое из них должно быть равно нулю: u u ϑuvn = 0, ϑuv n+1 = 0, ϑuv = 0, rvn n+1 − kv = 0, u u u ϑu[vw] = 0, r[vw]n = r[vw] n+1 = r[vws] = 0. ϑu = 0, (25) В результате уравнения (24) примут следующий вид: u ω n+1 , ∇µu = kvu ω v + knu ω n + kn+1 u ∧ ωw , Ωuv = µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 + ωvw где использовано обозначение u u u u n+1 ωvw = ϑuvw − rvws ω s − rvwn ω n − rvw , n+1 ω (26) 18 А. А. Дуюнова причём в силу (25) справедливы равенства u u = ωwv . ωvw (27) Итак, первое дифференциальное продолжение уравнений структуры (9) имеет вид (21), (22), (26), или u u dωvu = ωvw ∧ ωw + µu ωvn ∧ ω n+1 + kvu ω n ∧ ω n+1 − ω w ∧ ωvw , n , dωun = ωuv ∧ ωvn + ωun ∧ ωnn + tu ω n ∧ ω n+1 − ω v ∧ ωuv dωnn u =µ ω n+1 ∧ ωun + tu ω ∧ ω u n+1 + tn ω ∧ ω n n+1 (28) , и u dµu = −µv ωvu + 2µu ωnn + kvu ω v + knu ω n + kn+1 ω n+1 , n причём формы ωuv и a 3. Формы ω , ωba u ωvw (29) симметричны по нижним индексам. (a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1), входящие в структурные уравнения, зависят от главных параметров — локальных координат на многообразии M — и от вторичных параметров, определяющих положение репера ea в касательном пространстве. Зафиксируем главные параметры, определяющие положение точки p на M , положив ω a = 0. Получим формы πba = ωba |ωc =0 , определяющие инфинитезимальное перемещение репера в пространстве Tp : δea = πab eb , где символ δ означает дифференцирование по вторичным параметрам. Тогда из уравнений (28) и (29) получим u , δπvu = πvw ∧ πw δπun = πuv ∧ πvn + πun ∧ πnn , δπnn = 0, δµu + µv πvu − 2µu πnn = 0. Первые три уравнения являются уравнениями Маурера—Картана группы G допустимых преобразований репера в точке p многообразия M . Последнее уравнение этой системы показывает, что величины µu образуют тензор. Следуя [3], назовём этот тензор первым структурным тензором G-структуры, определяемой тканью W (1, n, 1), или, короче, первым структурным тензором этой три-ткани. Известно (см., например, [10]), что если на многообразии M задана аффинная связность, то формы Пфаффа θa , θba , a, b, . . . = 1, 2, . . . , n + 1, определяющие эту связность, удовлетворяют уравнениям вида a b θ ∧ θc , dθa = θb ∧ θba + Rbc a dθba = θbc ∧ θca + Rbcd θc ∧ θd , a a , Rbcd — тензоры кручения и кривизны этой связности соответственно, где Rbc a b a θ ∧ θc и Ωab = Rbcd θc ∧ θd — формы кручеа квадратичные формы Ωa = Rbc ния и кривизны этой связности. Как видно из уравнений (9) и (28), они не 19 Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений являются структурными уравнениями уравнениях обозначить u θv θa = (ω u , ω n , ω n+1 ), θba = θun θun+1 аффинной связности. Однако если в этих u u θn+1 ωv n θn+1 = ωun n+1 0 θn+1 θnu θnn θnn+1 0 0 , ωnn µu ω n+1 ωnn 0 мы получим следующую теорему. Теорема 1. Уравнения (9) и (28) определяют на M аффинную связность без n u и ωvw выражаются через кручения в том и только том случае, если формы ωuv u n n+1 . базисные формы ω , ω и ω В частности, если эти формы равны нулю, то существенные компоненты тензора кривизны выражаются через компоненты тензора {kvu , tu , tn }. 4. Найдём дифференциальное продолжение уравнений (28), (29). Дифференцируя внешним образом первое уравнение (28), с учётом уравнений (9), (28), (29) получим u u w u − kw ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn − µw ωvw ) ∧ ω n ∧ ω n+1 + (dkvu + kvw ωw u s u s u u n + ωsu ∧ ωvw − ωvs ∧ ωsw − ωw ∧ ωvs + kw ωv ∧ ω n+1 − + (dωvw n n ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0. − µu ωvw Введём обозначения u u w − kw ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn , ∇kvu = dkvu + kvw ωw Ωuvw = u dωvw + ωsu ∧ s ωvw − ωvs ∧ u ωsw − s ωw ∧ u ωvs −µ u n ωvw (30) ∧ω n+1 . (31) Тогда предыдущее уравнение примет вид u u n n ) ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωuvw + kw ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0. (32) (∇kvu − µw ωvw Дифференцируя внешним образом второе уравнение (28), с учётом уравнений (9) и (28) имеем n n w n ) ∧ ω n ∧ ω n+1 + (dωuv − ωuv ∧ ωw − (dtu + kuv ωvn − tv ωuv − tn ωun − tu ωnn − µv ωuv n n n − ωuv ∧ ωnn + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 + ωuw ∧ ωvw ) ∧ ω v = 0, − ωuw ∧ ωwv или n )∧ω n ∧ω n+1 +(Ωnuv +tv ωun ∧ω n+1 +tu ωvn ∧ω n+1 )∧ω v = 0, (33) (∇tu +kuv ωvn −µv ωuv где обозначено ∇tu = dtu − tv ωuv − tu ωnn − tn ωun , (34) n w n n n n Ωnuv = dωuv − ωuv ∧ ωw − ωuw ∧ ωwv − ωuv ∧ ωnn + ωuw ∧ ωvw . (35) 20 А. А. Дуюнова Дифференцируя третье уравнение (28) и обозначая ∇tn = dtn − 2tn ωnn , (36) придём к уравнению n (∇tu + kuv ωvn − µv ωvu ) ∧ ω u ∧ ω n+1 + (∇tn + knu ωun ) ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. (37) Дифференцируя внешним образом уравнение (29), с учётом (9), (28) и (29) получим u u u w − µw ωwv − knu ωvn − kw ωv − 2kvu ωnn ) ∧ ω v + (dkvu + kvw ωw + (dknu + knv ωvu − 3knu ωnn ) ∧ ω n + u v u + kn+1 ωvu − 3kn+1 ωnn − 3µu µv ωvn ) ∧ ω n+1 + + (dkn+1 + 2µu tv ω v ∧ ω n+1 + 2µu tn ω n ∧ ω n+1 = 0. Обозначим ∇knu = dknu + knv ωvu − 3knu ωnn , u ∇kn+1 = u dkn+1 + v kn+1 ωvu − (38) u 3kn+1 ωnn . (39) Тогда предыдущее уравнение примет вид u (∇kvu − µw ωwv ) ∧ ω v + ∇knu ∧ ω n + u − 3µu µv ωvn + 2µu tv ω v + 2µu tn ω n ) ∧ ω n+1 = 0. + (∇kn+1 (40) Таким образом, дифференцирование второй серии структурных уравнений (28), (29) приводит к уравнениям (32), (33), (37) и (40). Решим эти уравнения. Из уравнения (40), пользуясь леммой Картана, получаем huvw huwv , u = huvw ω w + huvn ω n + huv n+1 ω n+1 , ∇kvu − µw ωwv (41) ∇knu = hunv ω v + hunn ω n + hun n+1 ω n+1 , u ∇kn+1 − 3µu µv ωvn + 2µu tv ω v + 2µu tn ω n = = hun+1 v ω v + hun+1 n ω n + hun+1 n+1 ω n+1 , (42) huvn hunv , huv n+1 hun+1 v , = = = где в уравнение (32), придём к соотношениям hun n+1 = hun+1 n . (43) Подставив (41) u n n ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 ) ∧ ω w = 0. huvw ω w ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωuvw + kw u n n Запишем формы Ωuvw + kw ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 в виде u n n ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 = Ωuvw + kw u u u s n+1 ω s ∧ ω p + rvwsn ω s ∧ ω n + rvws + = rvwsp n+1 ω ∧ ω u n n+1 + ϑuvws ∧ ω s + ϑuvwn ∧ ω n + ϑuvw n+1 ∧ ω n+1 + ϑuvw , (44) + rvwn n+1 ω ∧ ω 21 Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений где ϑuvws , ϑuvwn и ϑuvw n+1 — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм ω u , ω n и ω n+1 , а ϑuvw — некоторая 2-форма не содержащая базисных форм и форм ϑuvws , ϑuvwn и ϑuvw n+1 . Подставив эти разложения в предыдущие уравнения, получим u w n n+1 u + rv[wsp] ωs ∧ ωp ∧ ωw + (huvw + rvwn n+1 )ω ∧ ω ∧ ω u u s n+1 ω s ∧ ω n ∧ ω w + rv[ws] ∧ ω w + ϑuv[ws] ∧ ω s ∧ ω w + + rv[ws]n n+1 ω ∧ ω + ϑuvwn ∧ ω n ∧ ω w + ϑuvw n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω w + ϑuvw ∧ ω w = 0. Так как все слагаемые входящие в это тождество линейно независимы между собой, то каждое из них должно равняться нулю: u huvw + rvwn n+1 = 0, ϑuv[ws] = 0, ϑuvwn = 0, ϑuvw n+1 = 0, u u u rv[wsp] = rv[ws]n = rv[ws] n+1 ϑuvw = 0, = 0. (45) Учитывая эти соотношения, получаем, что (44) примет вид u n n u Ωuvw + kw ωv ∧ ω n+1 + kvu ωw ∧ ω n+1 = −huvw ω n ∧ ω n+1 + ωvws ∧ ωs , (46) где используется обозначение u u u u n+1 = ϑuvws − rvwsp ω p − rvwsn ω n − rvws , ωvws n+1 ω причём в силу (45) справедливы равенства u u = ωvsw . ωvws (47) n Рассмотрим уравнение (37). Запишем формы ∇tu +kuv ωvn −µv ωvu и ∇tn +knu ωun в виде n = muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 + ϑu , ∇tu + kuv ωvn − µv ωvu ∇tn + knu ωun = mnu ω u + mnn ω n + mn n+1 ω n+1 + ϑn , где ϑu и ϑn — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм. Подставив эти разложения в уравнения (37), получим m[uv] ω v ∧ ω u ∧ ω n+1 + ϑu ∧ ω u ∧ ω n+1 + + (mnu − mun )ω u ∧ ω n ∧ ω n+1 + ϑn ∧ ω n ∧ ω n+1 = 0. Так как все слагаемые, входящие в это тожество, линейно независимы, имеем mnu = mun , m[uv] = 0, ϑu = 0, ϑn = 0, n и ∇tn + knu ωun примут вид поэтому формы ∇tu + kuv ωvn − µv ωvu n = muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 , ∇tu + kuv ωvn − µv ωvu (48) ∇tn + (49) knu ωun u n = mun ω + mnn ω + mn(n+1) ω n+1 , 22 А. А. Дуюнова причём справедливы равенства (50) muv = mvu . Решим уравнение (33). С учётом (48) его можно записать в виде muv ω v ∧ ω n ∧ ω n+1 + (Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 ) ∧ ω v = 0. Формы Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 запишем в виде n n Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 = luvws ω w ∧ ω s + luvwn ωw ∧ ωn + n w n+1 n n n+1 + luvn + ϑnuvw ∧ ω w + + luvw n+1 ω ∧ ω n+1 ω ∧ ω + ϑnuvn ∧ ω n + ϑnuv n+1 ∧ ω n+1 + ϑnuv , (51) где ϑnuvw , ϑnuvn , ϑnuv n+1 — некоторые 1-формы, не содержащие базисных форм ω u , ω n и ω n+1 , а ϑnuv — некоторые 2-формы, не содержащие базисных форм и форм ϑnuvw , ϑnuvn , ϑnuv n+1 . Подставив это выражение в предыдущее уравнение, получим n v n n+1 n n (muv + luvn + lu[vws] ω w ∧ ω s ∧ ω v + lu[vw]n ωw ∧ ωn ∧ ωv + n+1 )ω ∧ ω ∧ ω n w n+1 ∧ ω v + ϑnu[vw] ∧ ω w ∧ ω v + ϑnuvn ∧ ω n ∧ ω v + + lu[vw] n+1 ω ∧ ω + ϑnuv n+1 ∧ ω n+1 ∧ ω v + ϑnuv ∧ ω v = 0. Так как все слагаемые в этом тождестве линейно независимы, имеем n muv + luvn n+1 = 0, ϑnu[vw] = 0, ϑnuvn = 0, ϑnuv n+1 = 0, ϑnuv = 0, n n n lu[vw]n = lu[vw] n+1 = lu[vws] = 0. (52) C учётом этих соотношений выражение (51) может быть записано в виде n Ωnuv + tv ωun ∧ ω n+1 + tu ωvn ∧ ω n+1 = −muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw ∧ ωw , (53) где n n n n n+1 ωuvw = ϑnuvw − luvws ω s − luvwn ω n − luvw , n+1 ω причём в силу соотношений (52) будут выполняться условия n n ωuvw = ωuwv . (54) Итак, дифференциальное продолжение второй серии структурных уравнений (28), (29) имеет вид 23 Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений u s u s u n + ωsu ∧ ωvw − ωvs ∧ ωsw − ωw ∧ ωvs − µu ωvw ∧ ω n+1 = dωvw u n n u ωv ∧ ω n+1 − kvu ωw ∧ ω n+1 − huvw ω n ∧ ω n+1 + ωvws ∧ ωs , = −kw n w n n n n dωuv − ωuv ∧ ωw − ωuw ∧ ωwv − ωuv ∧ ωnn + ωuw ∧ ωvw = n ∧ ωw , = −tv ωun ∧ ω n+1 − tu ωvn ∧ ω n+1 − muv ω n ∧ ω n+1 + ωuvw n , dtu − tv ωuv − tu ωnn − tn ωun + kuv ωvn = muv ω v + mun ω n + mu n+1 ω n+1 + µv ωvu dtn − 2tn ωnn + knu ωun = mun ω u + mnn ω n + mn(n+1) ω n+1 , u u w u − kw ωv − knu ωvn − 2kvu ωnn = huvw ω w + huvn ω n + huv n+1 ω n+1 + µw ωwv , dkvu + kvw ωw dknu + knv ωvu − 3knu ωnn = huvn ω v + hunn ω n + hun n+1 ω n+1 , u v u dkn+1 + kn+1 ωvu − 3kn+1 ωnn = = 3µu µv ωvn + (huv n+1 − 2µu tv )ω v + (hun n+1 − 2µu tn )ω n + hun+1 n+1 ω n+1 , (55) причём справедливы равенства huvw = huwv , muv = mvu , n n ωuvw = ωuwv , u u ωvws = ωvsw . Из (55) видно, что при закреплённой точке p ∈ M n , δtu = tv πuv + tu πnn + tn πun − kuv πvn + µv πvu δtn = 2tn πnn − knu πun , u u w u δkvu = −kvw πw + kw πv + knu πvn + 2kvu πnn + µw πwv , δknu = −knv πvu + 3knu πnn , u v u δkn+1 = −kn+1 πvu + 3kn+1 πnn + 3µu µv πvn , a a = ωbc |ωd =0 — формы, определяющие инфинитезимальное где πba = ωba |ωc =0 , πbc перемещение репера в пространстве Tp . Эти уравнения означают, что величины u }, {µu , kvu , knu }, {µu , tu , tn , kvu , knu } являются тензорами. {knu }, {tn , knu }, {µu , kn+1 5. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений dxi = f i (t, xj ) (i, j, . . . = 1, 2, . . . , n). dt (56) С этой системой связана три-ткань W (1, n, 1), заданная на многообразии переменных xi , t, состоящая из семейств λα : λ1 : xi = const, λ2 : t = const, λ3 : ϕi (t) = ci = const, причём последнее семейство состоит из интегральных кривых системы уравнений (56). Исключая из первых n − 1 уравнений системы (56) dt, получим эквивалентную систему f n dxu − f u dxn = 0, dxn − f n dt = 0, 24 А. А. Дуюнова где, как и ранее, u, v, . . . = 1, 2, . . . , n − 1. Обозначим ω u = f n dxu − f u dxn , dxn ωn = n , f n+1 ω = −dt. (57) Тогда слоения ткани W (1, n, 1) имеют вид λ1 : dxi = 0, или ω i = 0, λ2 : dt = 0, или ω n+1 = 0, λ3 : dϕi (t, xj ) = 0, или ω u = 0, ω n + ω n+1 = 0. Следовательно, структурные уравнения три-ткани W , связанной с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, должны иметь вид (9). Из (57) находим, что dxu = (f n )−1 ω u + f u ω n , dxn = f n ω n , dt = −ω n+1 (58) . Так как dω n+1 = 0, то из (9) следует, что ωnn = λ ω n+1 = −λ dt. Дифференцируя внешним образом второе равенство (57), имеем n n dx ∂f ∂f n u 1 −df n ∧ dxn n dt + =− n 2 dx ∧ dxn , dω = d = fn (f n )2 (f ) ∂t ∂xu или, учитывая (58), dω n = ω n ∧ 1 ∂f n 1 ∂f n n u dt + ω ∧ − dx . f n ∂t (f n )3 ∂xu Сравнивая полученное выражение со вторым уравнением (9), находим, что ωnn = 1 ∂f n 1 ∂f n dt, λ = − , f n ∂t f n ∂t 1 ∂f n ωun = − n 3 u dxn . (f ) ∂x (59) (60) Продифференцировав первое равенство (57), получим dω u = df n ∧ dxu − df u ∧ dxn = ∂f n ∂f n ∂f u ∂f u ∂f n dt ∧ dxu + v dxv ∧ dxu + n dxn ∧ dxu − dt ∧ dxn − v dxv ∧ dxn , = ∂t ∂x ∂x ∂t ∂x Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений 25 или, учитывая (58), 1 ∂f n f u ∂f n u dt ∧ ω dt ∧ dxn + + f n ∂t f n ∂t 1 ∂f n + n 2 v (ω v ∧ ω u + f v dxn ∧ ω u + f u ω v ∧ dxn ) + (f ) ∂x 1 ∂f n ∂f u 1 ∂f u dt ∧ dxn − n v ω v ∧ dxn = + n n dxn ∧ ω u − f ∂x ∂t f ∂x w n u 1 f ∂f ∂f ∂f n n 1 1 ∂f n v u n dt + =ω ∧ dx − dx − dx + f n ∂xv f n ∂xv (f n )2 ∂xw f n ∂t ∂f n ∂f u 1 ∂f n − fn + n n dxn δvu − f u ω n+1 ∧ ω n . f ∂x ∂t ∂t dω u = Сравнивая полученное равенство с первым уравнением (9), получаем ∂f n ∂f u − fn , ∂t ∂t n 1 ∂f 1 ∂f u ωvu = n v dxu − n v dxn − f ∂x f ∂x w n f ∂f ∂f n n 1 ∂f n n dt + − n δvu dx + dx . f f n ∂xw ∂t ∂xn µu = f u (61) (62) Теорема 2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений автономна в том и только том случае, если µu и ωnn равны нулю. Доказательство. Пусть система дифференциальных уравнений автономна, т. е. функции f i в правой части (56) зависят только от xj . Тогда из (61) следует, что µu = 0, а из (59) получаем, что ωnn = 0. n Обратно, пусть µu = 0 и ωnn = 0. Тогда из (59) следует, что ∂f ∂t = 0, а u = 0, т. е. система дифференциальных уравнений из (61) получаем, что ∂f ∂t автономна. Найдём выражение форм и тензоров ткани следующей дифференциальной окрестности через производные от функций f i . Дифференцируя (59), получим dωnn n ∂f ∂f n 1 1 ∂f n ∂f n u ∧ dt + n d =d dx ∧ dt − ∧ dt = − n 2 ∂t f ∂t (f ) ∂t ∂xu 1 ∂f n ∂f n n 1 ∂2f n 1 ∂2f n u dx dxn ∧ dt, − n 2 dx ∧ dt + ∧ dt + (f ) ∂t ∂xn f n ∂xu ∂t f n ∂xn ∂t 1 fn или, учитывая (58), 26 А. А. Дуюнова ∂f n ∂f n 1 ∂2f n = − n 2 u ω u ∧ ω n+1 + (f n )3 ∂t ∂xu (f ) ∂x ∂t n u 1 ∂f n n u ∂f n ∂f −f dx ∧ ω n+1 − + f ∂t ∂t (f n )3 ∂xu u 2 n f ∂ f ∂2f n 1 ∂f n ∂f n 1 ∂f n ∂f u + − − − n u ω n ∧ ω n+1 . f n ∂xu ∂t ∂xn ∂t f n ∂t ∂xn f ∂x ∂t dωnn 1 Сравнивая полученное равенство с последним уравнением (28), находим, что 1 ∂2f n ∂f n ∂f n − , (f n )3 ∂xu ∂t (f n )2 ∂xu ∂t n n 2 n ∂f n ∂f u 1 ∂f ∂f ∂2f n u ∂ f + − f . tn = n − f ∂xn ∂t ∂xu ∂t ∂xu ∂t ∂xn ∂t tu = 1 (63) (64) Дифференцируя внешним образом (60) и подставляя в получившееся выражение (58), получаем dωun = ∂f n ∂f n 3 ∂f n ∂f n v n dt ∧ dx + ω ∧ dxn − (f n )4 ∂xu ∂t (f n )5 ∂xu ∂xv ∂2f n 1 1 ∂2f n n dt ∧ dx − ω v ∧ dxn . − n 3 (f ) ∂t∂xu (f n )4 ∂xv ∂xu 3 Теперь, поскольку ωuv ∧ ωvn = − (f n )5 имеем dωun ∂f n ∂f n v 1 ∂f n ∂f n dt ∧ dxn , ω ∧ dxn + n 4 u u v ∂x ∂x (f ) ∂x ∂t 1 ∂f n ∂f n n ωun ∧ ωnn = − n 4 u dx ∧ dt, (f ) ∂x ∂t 1 − ωuv ∧ ωvn − ωun 1 ∂2f n ∂f n ∂f n − n 2 ∧ = ω n ∧ ω n+1 + (f n )3 ∂xu ∂t (f ) ∂t∂xu ∂2f n 4 ∂f n ∂f n v 1 n + n 5 u ω ∧ dx − ω v ∧ dxn . (f ) ∂x ∂xv (f n )4 ∂xv ∂xu ωnn 1 Сравнивая полученный результат со вторым уравнением (28) и учитывая найденные выше выражения для коэффициентов tu , находим, что 2 n ∂ f 1 4 ∂f n ∂f n n ωuv = n 4 − (65) dxn . (f ) ∂xv ∂xu f n ∂xu ∂xv Дифференцирование (61) даёт u n 2 n 2 u ∂f ∂f ∂f n ∂f u u u ∂ f n ∂ f +f − −f dµ = dxv + ∂xv ∂t ∂xv ∂t ∂xv ∂t ∂xv ∂t u n 2 n 2 u 2 n 2 u ∂f ∂f ∂f n ∂f u u ∂ f n ∂ f n u∂ f n∂ f + f − − f + + f − f dt. dx ∂xn ∂t ∂xn ∂t ∂xn ∂t ∂xn ∂t ∂t2 ∂t2 27 Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений Так как µ ∧ v ωvu = f v ∂f n ∂f n ∂f v ∂f n − f n ∂t ∂xv ∂t ∂xv dx − u fu fn ∂f n ∂t 2 ∂f u ∂f n − ∂t ∂t dt + f v ∂f n ∂f u ∂f v ∂f u f u f v ∂f n ∂f n f v ∂f u ∂f n + − + − f n ∂t ∂xv ∂t ∂xv (f n )2 ∂t ∂xv f n ∂t ∂xv ∂f u ∂f n f u ∂f n ∂f n + dxn − n f ∂t ∂xn ∂t ∂xn + − и u µ ωnn fu = n f ∂f n ∂t 2 dt − ∂f u ∂f n dt, ∂t ∂t то с учётом (58) получаем dµu + µv ∧ ωvu − 2µu ωnn = n 2 2 u 2 n u u n ∂f ∂f ∂ f ∂ f f ∂f ω n+1 + +3 n −3 = fn 2 − fu ∂t ∂t2 f ∂t ∂t ∂t 1 ∂f u ∂f n ∂f n ∂f u ∂2f n ∂2f u + n + fu v − − fn v + v v f ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t w n n w n f ∂f ∂f u ∂f ∂f u v + n δ − δ ω + f ∂t ∂xw v ∂t ∂xw v ∂2f n ∂2f u ∂f u ∂f n ∂2f n + f uf n n − + f uf v v − f v f n v + f n n ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t 2 u v u n n w n n 2 ∂ f n ∂f ∂f u ∂f ∂f u ∂f ∂f − (f ) +f −f −f ωn . ∂xn ∂t ∂t ∂xv ∂t ∂xn ∂t ∂xw Сравнивая полученное выражение с уравнением (29), находим, что 2 n ∂f u ∂f n ∂f n ∂f u u ∂ f + f − − ∂xv ∂t ∂xv ∂t ∂xv ∂t f w ∂f n ∂f n u ∂f w ∂f n u ∂2f u − fn v + n δ − δ , ∂x ∂t f ∂t ∂xw v ∂t ∂xw v ∂2f n ∂2f u ∂2f n ∂2f u knu = f u f v v − f v f n v + f u f n n − (f n )2 n + ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t u n v u n n v n n ∂f ∂f n ∂f ∂f u ∂f ∂f u ∂f ∂f +f +f −f −f , n v n ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂xv 2 ∂2f u ∂2f n f u ∂f n ∂f u ∂f n u kn+1 . = fn 2 − fu + 3 −3 2 n ∂t ∂t f ∂t ∂t ∂t kvu 1 = n f (66) (67) (68) 28 А. А. Дуюнова Наконец, дифференцируя (61), получаем n u 2 u ∂f ∂f 1 f w ∂f n ∂f n u u n ∂ f dωv = − n 2 + 2 δ − f − v (f ) ∂t ∂xv f n ∂t ∂xw ∂t∂xv ∂2f n u ∂f n ∂f w u δv − f w − w δ dxn ∧ dt − ∂x ∂t ∂t∂xw v 1 ∂f n ∂f n w 1 ∂2f n u − n 2 w dx ∧ dx + dxw ∧ dxu + (f ) ∂x ∂xv f n ∂xw ∂xv n 2 u ∂f ∂f u f s ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u 1 n ∂ f + 2 δ + δ − f − + n 2 (f ) ∂xw ∂xv f n ∂xw ∂xs v ∂xw ∂xn v ∂xw ∂xv 2 n 2 n ∂f n ∂f s u s ∂ f u n ∂ f − δ − f δ − f δ u dxw ∧ dxn + ∂xs ∂xw v ∂xw ∂xs v ∂xw ∂xn v 1 ∂2f n 1 ∂f n ∂f n 1 ∂f n ∂f n u w u u + n dt ∧ dx δ dx ∧ dt − dt ∧ dx − + f ∂t∂xv (f n )2 ∂xv ∂t (f n )2 ∂xw ∂t v 1 ∂2f n 1 ∂f n ∂f n n 1 ∂2f n dx ∧ dxu . − n w δvu dxw ∧ dt + n n v dxn ∧ dxu − n 2 n f ∂x ∂t f ∂x ∂x (f ) ∂x ∂xv Пользуясь тем, что u ωvw ∧ ωw = n ∂f ∂f n w ∂f u ∂f n w ∂f n ∂f w u 1 u n n dx ∧ dx − dx ∧ dx + dx ∧ dx = n 2 (f ) ∂xv ∂xw ∂xw ∂xv ∂xw ∂xv и µu ωvn ∧ ω n+1 = f u ∂f n ∂f n n 1 ∂f u ∂f n n dx ∧ dt − dx ∧ dt, (f n )3 ∂t ∂xv (f n )2 ∂t ∂xv учитывая (58), получаем 1 ∂f n ∂f u f w ∂f n ∂f n u + n δ − n v f ∂t ∂x f ∂t ∂xw v 2 n ∂2f u ∂f n ∂f w u ∂f u ∂f n u ∂ f δ − fn − − + f ω n ∧ ω n+1 + ∂t∂xv ∂xw ∂t v ∂t ∂xv ∂t∂xv n ∂f ∂f u f s ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u 1 +2 n w δ + w n δv − + n 3 w v (f ) ∂x ∂x f ∂x ∂xs v ∂x ∂x 2 u n s 2 n ∂ f ∂ f ∂2f n ∂f ∂f u − fn w v − δv − f s w s δvu − f n w n δvu + s w ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 n ∂f u ∂f n ∂ f f u ∂f n ∂f n + w −2 n w + f u w v ω w ∧ dxn + ∂x ∂xv f ∂x ∂xv ∂x ∂x 1 ∂2f n 1 2 ∂f n ∂f n f w ∂f n ∂f n w u + n 3 − n w + ∧ ω + + ω −2 (f ) f ∂x ∂xv ∂xw ∂xv (f n )3 f n ∂xw ∂xv 2 n ∂2f n ∂f n ∂f n ∂f n ∂f w n ∂ f + fw w v − + f + dxn ∧ ω u + ∂x ∂x ∂xn ∂xv ∂xn ∂xv ∂xw ∂xv u dωvu − ωvw ∧ ωw − µu ωvn ∧ ω n+1 = Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений 29 1 ∂f n ∂f n ∂2f n − + n 2 ω u ∧ dt + (f ) f n ∂xv ∂t ∂t∂xv 1 ∂f n ∂f n u 1 ∂2f n u δ − δ ω w ∧ dt. + n 2 (f ) f n ∂xw ∂t v ∂xw ∂t v 1 Сравнивая полученный результат с первым уравнением (28) и учитывая найденные ранее выражения для коэффициентов kvu , находим, что 2 ∂f n ∂f n ∂2f n = n 3 − ωu + (f ) f n ∂xw ∂xv ∂xw ∂xv 1 1 ∂f n ∂f n u ∂2f n u ∂2f n u 1 ∂f n ∂f n u δ − δ + δ dt + + n 2 − n v δ + (f ) f ∂x ∂t w f n ∂xw ∂t v ∂t∂xv w ∂xw ∂t v ∂f u ∂f n f s ∂f n ∂f n u f s ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f u 1 − − 2 δ − 2 δ − + n 3 − w (f ) ∂x ∂xv ∂xw ∂xv f n ∂xw ∂xs v f n ∂xs ∂xv w ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f s u ∂f n ∂f s u ∂f n ∂f n δ + δ + δ + − w n δvu − ∂x ∂x ∂xn ∂xv w ∂xs ∂xw v ∂xs ∂xv w ∂2f n ∂2f n u ∂2f n ∂2f n u + f s w s δvu + f s s v δw + f n w n δvu + f n n v δw + ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 2 n 2 u f u ∂f n ∂f n u ∂ f n ∂ f +2 n w − f + f (69) dxn . f ∂x ∂xv ∂xw ∂xv ∂xw ∂xv u ωvw 1 n u и ωvw выраФормулы (65) и (69) показывают, что трёхиндексные формы ωuv жаются через базисные формы ω u , ω n и ω n+1 . Это означает, что к динамической системе dxi = f i (t, xj ) dt естественным образом присоединяется аффинная связность. Назовём её канонической связностью динамической системы. Ненулевые компоненты тензора кривизны находим из предыдущих соотношений: 2 ∂f n ∂f n ∂2f n =− n 3 − w v δsu , (f ) f n ∂xw ∂xv ∂x ∂x n u u ∂f ∂f n 1 ∂f f s ∂f n ∂f n u ∂f u =− − − 2 δ − − Rvwn 2(f n )2 ∂xw ∂xv ∂xw ∂xv f n ∂xw ∂xs v ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f n u ∂f n ∂f s u f s ∂f n ∂f n u δ − δ − δ + δ + −2 n w f ∂xs ∂xv ∂xw ∂xn v ∂xn ∂xv w ∂xs ∂xw v 2 n 2 n 2 n ∂f n ∂f s u s ∂ f u s ∂ f u n ∂ f δ + f δ + f δ + f δu + + w v w ∂xs ∂xv ∂xw ∂xs ∂xs ∂xv ∂xw ∂xn v 2 n 2 u ∂2f n u f u ∂f n ∂f n u ∂ f n ∂ f + f n n v δw +2 n w − f + f , ∂x ∂x f ∂x ∂xv ∂xw ∂xv ∂xw ∂xv 1 1 ∂f n ∂f n u ∂2f n u ∂2f n u 1 ∂f n ∂f n u u δ δ δ = − + δ + Rvw − , n+1 2(f n )2 f n ∂xv ∂t w f n ∂xw ∂t v ∂t∂xv w ∂xw ∂t v u Rvws 1 30 А. А. Дуюнова u n 2 n ∂f ∂f ∂f n ∂f u 1 u 1 u ∂ f + f − − = kv = n 2 2f ∂xv ∂t ∂xv ∂t ∂xv ∂t ∂2f u f w ∂f n ∂f n u ∂f w ∂f n u − fn v + n δ − δ , ∂x ∂t f ∂t ∂xw v ∂t ∂xw v 2 n ∂ f 1 4 ∂f n ∂f n n =− − Ruvn , 2(f n )3 ∂xv ∂xu f n ∂xu ∂xv 1 ∂f n ∂f n 1 1 ∂2f n n n t = R = = − Run , u n+1 nu n+1 2 2(f n )2 f n ∂t ∂xu ∂xu ∂t n n 2 n ∂f ∂f 1 1 ∂f n ∂f u 1 ∂2f n n u ∂ f t − f . = = + Rnn − n n+1 n n u u 2 2f ∂t ∂x ∂x ∂t ∂x ∂t 2 ∂xn ∂t u Rvn n+1 Вернёмся к автономным системам. Следующее утверждение проясняет геометрический смысл условий, найденных в теореме 1. Теорема 3. Условие µu = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы многообразие M ткани W (1, n, 1) расслаивалось на двумерные подмногообразия, несущие слои первого и третьего слоений этой ткани. Поверхности V являются многообразиями абсолютного параллелизма тогда и только тогда, когда выполняются ещё и условия ωnn = 0. Доказательство. Как видно из первого уравнения системы (9), условие µu = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений ω u = 0 была вполне интегрируемой. Отсюда следует первая часть теоремы. Согласно теореме 2 условия автономности системы имеют вид µu = 0 и n ωn = 0. Первые равенства, как только что было показано, означают, что система ω u = 0 вполне интегрируема и многообразие ткани расслаивается на двумерные поверхности V . Из выражений для компонент тензора кривизны следует, что u u n , Rvwn , Ruvn . Поэтому на поверхностях V , ненулевыми являются только Rvws u определяемых уравнениями ω = 0, форма кривизны канонической связности обращается в нуль, т. е. эти поверхности являются поверхностями абсолютного параллелизма относительно этой связности. Обратно, пусть V — поверхности абсолютного параллелизма относительно канонической связности. Тогда формы кривизны этой связности должны обращаться на поверхности V в нуль. Это требование даёт равенство нулю компоu u n , Rvwn , Ruvn , что в свою очередь даёт ωnn = 0. нент Rvws Литература [1] Азизова (Селиванова) Н. Х. О тканях из кривых и поверхностей // Ученые записки МГПИ. Вопросы дифференциальной геометрии. — 1970. — Т. 374, № 1. — С. 7—17 [2] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // ДАН СССР. — 1972. — Т. 203, № 2. — С. 263—266. Три-ткани, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений 31 [3] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. Тр. геом. сем. — 1973. — Т. 4. — С. 179—204. [4] Акивис М. А., Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения. — Тверь: Тверской гос. ун-т., 2010. [5] Апресян Ю. А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых // Изв. высш. учебн. завед. Математика. — 1977. — № 4. — С. 132—135. [6] Апресян Ю. А. Три-ткани из кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий // Дифференциальная геометрия. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1977. — С. 10—12. [7] Апресян Ю. А. Трёхпараметрическое семейство диффеоморфизмов кривой на кривую, содержащее два линейных комплекса однопараметрических подсемейств специального типа // Ткани и квазигруппы. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1984. — С. 8—15. [8] Апресян Ю. А. Об одном классе три-тканей на четырёхмерном многообразии и соответствующем дифференциальном уравнении третьего порядка // Изв. высш. учебн. завед. Математика. — 1985. — № 1. — С. 3—8. [9] Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей // Сборник статей по дифференциальной геометрии. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1974. — С. 52—69. [10] Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. — М.: Моск. педагогич. гос. ун-т., 2003. [11] Нгуен Зоан Туан. О многомерных три-тканях типа W (P, P, Q) // Геометрия погружённых многообразий. — М.: Моск. гос. пед. ин-т, 1986. — С. 101—112. [12] Нгуен Зоан Туан. Некоторые подклассы три-тканей W (P, P, Q) с постоянными компонентами основного тензора // Ткани и квазигруппы. — Калинин: Калининский гос. ун-т, 1987. — С. 82—87. [13] Селиванова (Азизова) Н. Х. Интранзитивные семейства преобразований // Изв. высш. учебн. завед. Математика. — 1984. — № 12. — С. 69—71. [14] Селиванова (Азизова) Н. Х. О три-ткани из кривых и гиперповерхностей и однопараметрическом семействе диффеоморфизмов // Горьковский инж.-строит. ин-т. — Горький, 1988. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР 6.06.1988; № 4448-В88. [15] Akivis M. A., Shelekhov A. M. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1992.