МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

УДК 628.33
Андреев С.Ю., Давыдов Г.П., Петрунин А.А., Князев В.В., Кулапин В.И., Колдов А.С.
Пензенский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МАССОПЕРЕДАЧИ КИСЛОРОДА В ЖИДКОСТЬ
И ВСПЛЫВАЮЩЕГО ПУЗЫРЬКА ВОЗДУХА
Аннотация. Приведены результаты теоретических исследований процессов массопередачи кислорода в жидкость. Получено уравнение позволяющее определять величину коэффициента массопередачи
для турбулентного режима всплывания пузырька воздуха.
Ключевые слова: система аэрации, пузырек воздуха, турбулентный режим всплывания, скорость
массопередачи.
Процесс биохимического окисления органических загрязнений сточных вод в аэротенках происходит под воздействием биоценоза активного ила, для поддержания жизнедеятельности которого используются различные системы аэрации.
Система аэрации представляет собой комплекс устройств и оборудования, обеспечивающих следующие функции:
1. Подача и распределение воздуха (кислорода) в объеме аэротенка;
2. Поддержание активного ила во взвешенном состоянии и создание необходимых гидродинамических условий работы аэротенка.
В отличие от методики, предложенной в ранее опубликованной статье [4], в данной работе рассматривается специфика турбулентного режима всплывания пузырька воздуха.
Основным техническим признаком, определяющим скорость массопередачи, а, следовательно, и
эффективность работы системы аэрации является способ подачи и распределение в воде воздуха.
В соответствии с этим основным технологическим признаком существующие аэраторы относятся к
следующим системам:
1. Пневматической;
2. Механической;
3. Гидравлической;
4. Комбинированной.
Наибольшее распространение в технологических процессах биологической очистки сточных вод в
аэротенках получили пневматические системы аэрации. В пневматической системе аэрации подаваемый от нагнетательных установок воздух дробится на пузырьки в диспергирующих устройствах размещаемых в определенных точках аэрационного бассейна. Всплывающие пузырьки воздуха служат источником снабжения иловой смеси кислородом воздуха, а также создают необходимые гидродинамические условия для перемешивания иловой смеси в аэрационном бассейне.
Первые образцы пневматических аэраторов были созданы в начале XX в. [3]. В этих аэраторах
распределение пузырьков воздуха в аэрационном бассейне осуществлялось простейшим образом через
перфорированные трубы. В 1913 г. английской фирмой «Джон Атвуд» был получен патент на систему
тонкого диспергирования воздуха предусматривающую применение мелкопористых пластин [3].
В основе массопередачи кислорода при аэрации лежит диффузия молекул кислорода из газовой
фазы в жидкостную. Начало систематического изучения диффузии было положено в середине XIX века
трудами Фика, который установил физическую аналогию процессов диффузии и теплопередачи, что
позволило ему использовать уравнение Фурье для определения скорости диффузионного переноса
dm
кислорода в жидкость
из воздушных пузырьков:
dt
dm
dС
  DA
, кг/с, (1)
dt
dy
dm
– скорость массопередачи, кг/с; D – коэффициент диффузии газа в жидкость, относиdt
тельное количество газа, переносимое в жидкость через единицу поверхности контакта фаз газ–
жидкость в единицу времени (константа скорости диффузии), м2/с; А – площадь поверхности межфаdС
зового контакта, м2;
– градиент концентрации растворенного кислорода в направлении диффуdy
зии (в нормальном направлении к площади диффузии), кг/м4.
Знак «минус» означает, что процесс массопередачи идет в сторону понижения концентрации диффундирующего газа.
Общее решение уравнения диффузии имеет вид:
dm
 KL A(CH  C ) кг/с (2)
dt
Где K L – коэффициент массопередачи жидкой пленки (пленочный коэффициент массопередачи) м/с;
где
C H - концентрация насыщения жидкости газом кг/м³; С – концентрация растворенного газа в жидкости кг/м³;
В соответствии с «пленочной» теорией Льюиса и Уитмена разработанной в 1923-1924 гг. величину пленочного коэффициента массопередачи рекомендуется определять как отношение коэффициента
псевдо стационарной молекулярной диффузии DСД (м²/с) к толщине жидкостной пленки у (м) [1]
D
(3)
K L  K LC  СД м/с
y
В соответствии с теорией «проницания» (пенетрации)
разработанной в 1935г
Хигби перенос
кислорода из пузырька в жидкость происходит по средствам не стационарной молекулярной диффузии
через слой постоянно обновляющейся в процессе движения пузырька воздуха жидкостной пленки.
Считается что прилегающая к слою жидкостной пленки слой воздуха внутри пузырька движется с
той же скоростью, слои движутся как единое целое и по отношению к газовой фазе элемент слоя
жидкостной пленки можно считать не подвижным. Массопередача кислорода в движущийся элемент
жидкости происходит путем не стационарной молекулярной диффузии в течении определенного време-
ни до тех пор, пока этот элемент не сольется со остальным объемом жидкости. Хигби рекомендует
определять величину пленочного коэффициента массопередачи по формуле:
K L  K LH 
4DНД  VП
 dп
м/с
(4)
Где: DНД – коэффициент не стационарной молекулярной диффузии, величина которого отличается
от значения
DСД , м²/с; VП
– скорость всплывания пузырька воздуха, м/с;
dп -диаметр пузырька
воздуха, м..
В теории турбулентной диффузии разработанной Данквертсом было поставлено под сомнение существование ламинарной пленки на границе раздела фаз всплывающего пузырька. В соответствии с
разработанными представлениями элементы жидкости на поверхности пузырька находятся в контакте
с газовой фазой в течении определенного времени, по истечении которого они отрываются с поверхности зародившимися там турбулентными вихрями и заменяются новыми. Вероятность смены рассматриваемого элемента жидкости на поверхности пузырька новым не зависит от возраста элемента,
а средняя скорость обновления поверхности жидкости контактирующей с газовой фазой, зависит от
гидродинамических условий и является постоянной величиной при установившемся режиме движения
пузырька. Для характеристики этой скорости вводится понятие фактора обновления поверхности.S (
c1 ), равного доли поверхности, которая обновляется в единицу времени. Величину пленочного
коэффициента в этом случае рекомендуется определять по формуле:
K L  K LT  DTД  S м/с (5)
Где: DTД – коэффициент турбулентной диффузии, м²/с.
В своей теории Данквертс не приводит какого-либо конкретного подхода для определения величины фактора обновления поверхности границы раздела фаз S.
Одна из попыток по определению численного значения S была сделана исходя из анализа баланса
энергии (термодинамический подход) в работе [2]. Было сделано предположение, что процесс обновления поверхности раздела фаз под действием образующихся на ней турбулентных вихрей должен
быть связан с работой, совершаемой на границе раздела фаз. Поскольку работа, совершаемая при
обновлении поверхности раздела фаз, обусловлена наличием поверхностного натяжения, то величина
доли новой поверхности, образующейся в единицу времени за счет турбулентного обмена элементов
жидкости на единице поверхности, исходя из теории размерности, может быть определена как
P
, с–1, (6)
S
п
где Р – работа, совершаемая на единице поверхности в единицу времени, Дж/(м2с); п – коэффициент
поверхностного натяжения пузырька воздуха, Дж/м2.
Откуда
р  
v п3
, Дж/(м2с); (7)
2
v п3
, с–1.
(8)
2 п
Поскольку S является величиной, обратной среднему времени экспозиции, и может быть интерпретирована как частота обновления поверхности, нами было предложено определять S не в виде
отношения элементарной работы Р к коэффициенту поверхностного натяжения п, а как отношение
секундной работы, совершаемой силами гидродинамического сопротивления Агс, к поверхностной
энергии пузырька воздуха Е :
S  
Fгс l Fгсv п Т
v2
v3

 Fгсv п  fп п v п  fп п , Дж/с;
T
Т
2
2
(10)
  п Sп , Дж,
Агс 
Е
(9)
v п2
– сила гидродинамического сопротивления, Н; l
2
перемещается пузырек воздуха за время, Т , с.
Тогда
где Fгс  fп
S
AГС
V3
f
V3
VП3
1
 fп p П 
 П  p П  p
, с1 .
Е
2  П SП SП
2 П
2 П Кф
– расстояние, м, на которое
(11)
Как видно из формул (8) и (11), предложенное нами уравнение для вычисления значения фактора
обновления границы раздела фаз всплывающего пузырька воздуха отличается от формулы, предложенной в работе [2, 3], лишь наличием дополнительного безразмерного коэффициента формы пузырька
S
воздуха Кф  п .
fп
Введением коэффициента формы пузырька воздуха Кф учитывается специфика сил поверхностного
натяжения Fпн и гидродинамического сопротивления Fгс. Силы гидродинамического сопротивления Fгс
действуют на площадь поверхности сечения пузырька воздуха fп, а силы поверхностного натяжения
– на поверхность раздела фаз пузырька воздуха Sп.
Поскольку при турбулентном всплывании пузырька воздуха устанавливается режим динамического
равновесия сил, то выполняется условие Fгс  FАр  Fпн . По аналогии с выражением (11) имеем
ААр  Агс  FАрvп  Wп g (   в )vп , Дж/с;
Апн  Агс  Fпнv п 
(12)
2
2 п
vп 
Sпv п , Дж/с.
3 Wп
3 п
2
п Sп
(13)
Тогда
А
 v g (   в ) dпv п g (   в ) 1
1
S  Ар  Wп g (   в )v п 
 п п

,c ;
Е
 п Sп
п
К д п
Апн 2  п
v
1
2 vп 2

Sпv п 

 К п , с–1.
Е 3  п
 п Sп 3  п 3 д dп
Таким образом, имеем систему уравнений

v п3
S  
2

п Кф


dпv п g (   в )
, с–1 (16)
S 
К д п


v
2
S  К д п
3
dп

S
(14)
(15)
Подставляя уравнение (15) в уравнение (5), имеем
v
dm
2
 A Dтд К д п (Сн  С ) , кг/с.
dt
3
dп
(17)
dm
(18)
 K L A(Cн  С ) , кг/с;
dt
Формула (18) может описывать процессы массопередачи кислорода в жидкость при всех режимах
всплывания пузырька воздуха. При ламинарном режиме всплывания псевдо твёрдого сферического
пузырька воздуха справедлива теория Льюиса-Уитмена, и в качестве коэффициента массопередачи
жидкой пленки принимается коэффициент псевдо стационарной диффузии КLC. При движении псевдотвёрдого сферического пузырька воздуха (диаметр пузырька dп≤0,12 мм), сопровождающемся
скольжением пристеночного слоя жидкости в ламинарном и переходном режимах (0,12<dп≤1,37 мм), и
во всех турбулентных режимах (dп>0,12 мм) справедлива теория Хигби, и в качестве коэффициента
массопередачи жидкой пленки принимается коэффициент нестационарной диффузии КLн.
Всплывание деформированного пузырька воздуха во всех турбулентных режимах описывается теорией
Данквертса, и в качестве коэффициента массопередачи жидкой пленки принимается коэффициент турбулентной диффузии КLт.

D
 К LC  сд
у


4 Dндv п

, м/с
(19)
 К Lн 

dп


 К  2 K Dтдv п
д
 Lт
3
dп
Подставляя в формулу (17) значение коэффициента турбулентной диффузии
DTД =0,3 109
, м²/с
можно определить величину скорости массопередачи и рассчитать технологические параметры системы аэрации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г.С. Попкович, Б.Н. Репин. Система аэрации сточных вод – М.:СТРОЙИЗДАТ, 2009.
2. Андреев С.Ю. Теоретические основы процессов генерации динамических двухфазных систем вода-воздух и их использование в технологиях очистки воды – Пенза: ПГУАС, 2005.
3. Андреев С.Ю., Гришин Б.М. Совершенствование механической и биологической очистки городских сточных вод с использованием гидродинамических устройств – Пенза: ПГУАС, 2009.
4. Андреев С.Ю., Гришин Б.М., Давыдов Г.П., Князев В.А., Кулапин В.И. Математическое моделирование распределения скоростей турбулентного потока в поперечном сечении трубчатого смесителя – Пенза: ПГУ, 2012